§ 1 Het concept van het vereenvoudigen van een letterlijke uitdrukking

In deze les zullen we kennis maken met het concept van “soortgelijke termen” en aan de hand van voorbeelden leren hoe we soortgelijke termen kunnen reduceren, waardoor letterlijke uitdrukkingen worden vereenvoudigd.

Laten we eens kijken naar de betekenis van het concept ‘vereenvoudiging’. Het woord ‘vereenvoudiging’ is afgeleid van het woord ‘vereenvoudigen’. Vereenvoudigen betekent eenvoudig, eenvoudiger maken. Daarom betekent het vereenvoudigen van een letterlijke uitdrukking deze korter maken, met minimale hoeveelheid acties.

Beschouw de uitdrukking 9x + 4x. Dit is een letterlijke uitdrukking die een som is. De termen worden hier gepresenteerd als producten van een cijfer en een letter. De numerieke factor van dergelijke termen wordt een coëfficiënt genoemd. In deze uitdrukking zijn de coëfficiënten de getallen 9 en 4. Houd er rekening mee dat de factor die door de letter wordt weergegeven hetzelfde is in beide termen van deze som.

Laten we ons de distributieve wet van vermenigvuldiging herinneren:

Om een ​​som met een getal te vermenigvuldigen, kun je elke term met dat getal vermenigvuldigen en de resulterende producten bij elkaar optellen.

IN algemeen beeld als volgt geschreven: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Deze wet geldt in beide richtingen ac + bc = (a + b) ∙ c

Laten we het toepassen op onze letterlijke uitdrukking: de som van de producten van 9x en 4x is gelijk aan het product waarvan de eerste factor is gelijk aan de som 9 en 4 is de tweede factor x.

9 + 4 = 13, dat is 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

In plaats van drie acties in de uitdrukking is er nog maar één actie over: vermenigvuldiging. Dit betekent dat we onze letterlijke uitdrukking eenvoudiger hebben gemaakt, d.w.z. vereenvoudigde het.

§ 2 Vermindering van soortgelijke termen

De termen 9x en 4x verschillen alleen in hun coëfficiënten - dergelijke termen worden vergelijkbaar genoemd. Het lettergedeelte van soortgelijke termen is hetzelfde. Soortgelijke termen omvatten ook getallen en gelijke termen.

In de uitdrukking 9a + 12 - 15 zullen soortgelijke termen bijvoorbeeld de getallen 12 en -15 zijn, en in de som van het product van 12 en 6a, het getal 14 en het product van 12 en 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) de gelijke termen voorgesteld door het product van 12 en 6a.

Het is belangrijk op te merken dat termen waarvan de coëfficiënten gelijk zijn, maar waarvan de letterfactoren verschillend zijn, niet vergelijkbaar zijn, hoewel het soms nuttig is om de distributieve vermenigvuldigingswet daarop toe te passen. De som van de producten 5x en 5y is bijvoorbeeld gelijk aan het product van het getal 5 en de som van x en y

5x + 5y = 5(x + y).

Laten we de uitdrukking -9a + 15a - 4 + 10 vereenvoudigen.

Soortgelijke termen zijn in dit geval de termen -9a en 15a, omdat ze alleen verschillen in hun coëfficiënten. Hun lettervermenigvuldiger is hetzelfde, en de termen -4 en 10 zijn ook vergelijkbaar, omdat het cijfers zijn. Vergelijkbare termen optellen:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Wij krijgen: 6a + 6.

Door de uitdrukking te vereenvoudigen, hebben we de sommen van vergelijkbare termen gevonden; in de wiskunde wordt dit reductie van vergelijkbare termen genoemd.

Als het toevoegen van dergelijke termen moeilijk is, kun je er woorden voor verzinnen en objecten toevoegen.

Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking:

Voor elke letter nemen we ons eigen object: b-appel, c-peer, dan krijgen we: 2 appels minus 5 peren plus 8 peren.

Kunnen we peren van appels aftrekken? Natuurlijk niet. Maar we kunnen 8 peren toevoegen aan min 5 peren.

Laten we vergelijkbare termen presenteren -5 peren + 8 peren. Soortgelijke termen hebben hetzelfde lettergedeelte, dus als u soortgelijke termen gebruikt, volstaat het om de coëfficiënten op te tellen en het lettergedeelte aan het resultaat toe te voegen:

(-5 + 8) peren - je krijgt 3 peren.

Terugkerend naar onze letterlijke uitdrukking: we hebben -5 s + 8 s = 3 s. Dus nadat we soortgelijke termen hebben ingevoerd, verkrijgen we de uitdrukking 2b + 3c.

In deze les maakte je dus kennis met het concept van ‘soortgelijke termen’ en leerde je hoe je letteruitdrukkingen kunt vereenvoudigen door vergelijkbare termen te reduceren.

Lijst met gebruikte literatuur:

1. Wiskunde. Graad 6: lesplannen voor het leerboek van I.I. Zubareva, AG Mordkovich // auteur-compiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Wiskunde. 6e leerjaar: leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs. I.I. Zubareva, AG Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Wiskunde. 6e leerjaar: leerboek voor algemeen vormende onderwijsinstellingen/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov en anderen/onder redactie van G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Russische Academie van Wetenschappen, Russische Academie van Onderwijs. M.: “Verlichting”, 2010.
4. Wiskunde. 6e leerjaar: studie voor algemene onderwijsinstellingen/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, AS Tsjesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Wiskunde. 6e leerjaar: leerboek/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Trap, 2014.

Gebruikte afbeeldingen:

Met elke taal kunt u dezelfde informatie in verschillende woorden en zinnen uitdrukken. Wiskundige taal is geen uitzondering. Maar dezelfde uitdrukking kan op verschillende manieren gelijkwaardig worden geschreven. En in sommige situaties is een van de vermeldingen eenvoudiger. In deze les zullen we het hebben over het vereenvoudigen van uitdrukkingen.

Mensen communiceren verder verschillende talen. Voor ons is een belangrijke vergelijking het paar "Russische taal - wiskundige taal". Dezelfde informatie kan in verschillende talen worden gecommuniceerd. Maar daarnaast kan het in één taal op verschillende manieren worden uitgesproken.

Bijvoorbeeld: “Petya is bevriend met Vasya”, “Vasya is bevriend met Petya”, “Petya en Vasya zijn vrienden”. Anders gezegd, maar hetzelfde. Uit elk van deze zinnen zouden we begrijpen waar we het over hebben.

Laten we eens kijken naar deze zin: "De jongen Petya en de jongen Vasya zijn vrienden." Wij begrijpen wat we bedoelen waar we het over hebben. We houden echter niet van de klank van deze zin. Kunnen we het niet vereenvoudigen, hetzelfde zeggen, maar dan eenvoudiger? "Jongen en jongen" - je kunt één keer zeggen: "De jongens Petya en Vasya zijn vrienden."

“Jongens”... Blijkt uit hun namen niet duidelijk dat het geen meisjes zijn? We verwijderen de ‘jongens’: ‘Petya en Vasya zijn vrienden.’ En het woord ‘vrienden’ kan worden vervangen door ‘vrienden’: ‘Petya en Vasya zijn vrienden.’ Als gevolg hiervan werd de eerste, lange, lelijke zin vervangen door een gelijkwaardige verklaring die gemakkelijker te zeggen en gemakkelijker te begrijpen is. We hebben deze zin vereenvoudigd. Vereenvoudigen betekent het eenvoudiger zeggen, maar de betekenis niet verliezen of verdraaien.

In wiskundige taal gebeurt ongeveer hetzelfde. Eén en hetzelfde kan gezegd worden, maar anders geschreven. Wat betekent het om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen? Dit betekent dat er voor de oorspronkelijke uitdrukking veel gelijkwaardige uitdrukkingen zijn, dat wil zeggen uitdrukkingen die hetzelfde betekenen. En uit al deze verscheidenheid moeten we naar onze mening de eenvoudigste kiezen, of de meest geschikte voor onze verdere doeleinden.

Overweeg bijvoorbeeld numerieke expressie. Het zal gelijkwaardig zijn aan .

Het zal ook gelijk zijn aan de eerste twee: .

Het blijkt dat we onze uitdrukkingen hebben vereenvoudigd en de kortste equivalente uitdrukking hebben gevonden.

Voor numerieke uitdrukkingen moet u altijd alles doen en de equivalente uitdrukking als één getal verkrijgen.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een letterlijke uitdrukking . Het zal duidelijk eenvoudiger zijn.

Bij het vereenvoudigen van letterlijke uitdrukkingen is het noodzakelijk om alle mogelijke acties uit te voeren.

Is het altijd nodig om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen? Nee, soms is het voor ons handiger om een ​​gelijkwaardige, maar langere inschrijving te hebben.

Voorbeeld: u moet een getal van een getal aftrekken.

Het is mogelijk om te berekenen, maar als het eerste getal zou worden weergegeven door de equivalente notatie: , dan zouden de berekeningen onmiddellijk zijn: .

Dat wil zeggen dat een vereenvoudigde uitdrukking voor ons niet altijd gunstig is voor verdere berekeningen.

Niettemin worden we heel vaak geconfronteerd met een taak die klinkt als ‘vereenvoudig de uitdrukking’.

Vereenvoudig de uitdrukking: .

Oplossing

1) Voer de acties tussen de eerste en tweede haakjes uit: .

2) Laten we de producten berekenen: .

Het is duidelijk dat de laatste uitdrukking een eenvoudiger vorm heeft dan de oorspronkelijke. We hebben het vereenvoudigd.

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, moet deze worden vervangen door een equivalent (gelijk).

Om de equivalente uitdrukking te bepalen, hebt u het volgende nodig:

1) voer alle mogelijke acties uit,

2) gebruik de eigenschappen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen om berekeningen te vereenvoudigen.

Eigenschappen van optellen en aftrekken:

1. Commutatieve eigenschap van optelling: het herschikken van de termen verandert de som niet.

2. Combinatieeigenschap van optellen: om een ​​derde getal op te tellen bij de som van twee getallen, kun je de som van het tweede en derde getal optellen bij het eerste getal.

3. De eigenschap van het aftrekken van een som van een getal: om een ​​som van een getal af te trekken, kun je elke term afzonderlijk aftrekken.

Eigenschappen van vermenigvuldigen en delen

1. Commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging: het herschikken van de factoren verandert het product niet.

2. Combinatieeigenschap: om een ​​getal te vermenigvuldigen met het product van twee getallen, kun je het eerst vermenigvuldigen met de eerste factor en vervolgens het resulterende product vermenigvuldigen met de tweede factor.

3. Distributieve eigenschap van vermenigvuldiging: om een ​​getal met een som te vermenigvuldigen, moet je het met elke term afzonderlijk vermenigvuldigen.

Laten we eens kijken hoe we eigenlijk mentale berekeningen uitvoeren.

Berekenen:

Oplossing

1) Laten we ons voorstellen hoe

2) Laten we ons de eerste factor voorstellen als een som van bittermen en de vermenigvuldiging uitvoeren:

3) je kunt je voorstellen hoe en vermenigvuldiging uitvoeren:

4) Vervang de eerste factor door een gelijkwaardige som:

De distributieve wet kan ook worden gebruikt achterkant: .

Volg deze stappen:

1) 2)

Oplossing

1) Voor het gemak kun je de distributieve wet gebruiken, maar alleen in de tegenovergestelde richting: haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes.

2) Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten

Het is noodzakelijk om linoleum te kopen voor de keuken en de gang. Keukengedeelte -, gang - . Er zijn drie soorten linoleum: voor en roebel voor. Hoeveel kost elk? drie soorten linoleum? (Afb. 1)

Rijst. 1. Illustratie bij de probleemstelling

Oplossing

Methode 1. Je kunt afzonderlijk uitzoeken hoeveel geld het kost om linoleum voor de keuken te kopen, en dan in de gang en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Een letterlijke uitdrukking (of variabele uitdrukking) is een wiskundige uitdrukking die bestaat uit cijfers, letters en wiskundige symbolen. De volgende uitdrukking is bijvoorbeeld letterlijk:

a+b+4

Met behulp van alfabetische uitdrukkingen kunt u wetten, formules, vergelijkingen en functies schrijven. Het vermogen om letteruitdrukkingen te manipuleren is de sleutel tot goede kennis van algebra en hogere wiskunde.

Elk serieuze taak in de wiskunde komt het neer op het oplossen van vergelijkingen. En om vergelijkingen te kunnen oplossen, moet je met letterlijke uitdrukkingen kunnen werken.

Om met letterlijke uitdrukkingen te werken, moet je goed thuis zijn in de basisrekenkunde: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, basiswetten van de wiskunde, breuken, bewerkingen met breuken, verhoudingen. En niet alleen studeren, maar grondig begrijpen.

Variabelen

Letters die in letterlijke uitdrukkingen voorkomen, worden genoemd variabelen. Bijvoorbeeld in de uitdrukking a+b+4 de variabelen zijn de letters A En B. Als we getallen vervangen in plaats van deze variabelen, dan is de letterlijke uitdrukking a+b+4 zal veranderen in een numerieke uitdrukking waarvan de waarde kan worden gevonden.

Getallen die in de plaats komen van variabelen worden aangeroepen waarden van variabelen. Laten we bijvoorbeeld de waarden van de variabelen wijzigen A En B. Het gelijkteken wordt gebruikt om waarden te wijzigen

a = 2, b = 3

We hebben de waarden van de variabelen gewijzigd A En B. Variabel A een waarde toegekend 2 , variabel B een waarde toegekend 3 . Als gevolg hiervan is de letterlijke uitdrukking a+b+4 verandert in een reguliere numerieke uitdrukking 2+3+4 waarvan de waarde te vinden is:

2 + 3 + 4 = 9

Wanneer variabelen worden vermenigvuldigd, worden ze samen geschreven. Opnemen bijvoorbeeld ab betekent hetzelfde als de invoer a×b. Als we de variabelen vervangen A En B cijfers 2 En 3 , dan krijgen we er 6

2×3=6

U kunt ook de vermenigvuldiging van een getal samenschrijven met een uitdrukking tussen haakjes. In plaats van bijvoorbeeld a×(b + c) kan worden opgeschreven een(b + c). Door de verdelingswet van vermenigvuldiging toe te passen, verkrijgen we a(b + c)=ab+ac.

Kansen

In letterlijke uitdrukkingen kun je vaak een notatie vinden waarin bijvoorbeeld een getal en een variabele samen worden geschreven 3a. Dit is eigenlijk een afkorting voor het vermenigvuldigen van het getal 3 met een variabele. A en dit bericht ziet eruit als 3×a .

Met andere woorden: de uitdrukking 3a is het product van het getal 3 en de variabele A. Nummer 3 in dit werk noemen ze dat coëfficiënt. Deze coëfficiënt geeft aan hoe vaak de variabele wordt verhoogd A. Deze uitdrukking kan worden gelezen als " A drie keer" of "drie keer A", of" verhoog de waarde van een variabele A drie keer", maar meestal gelezen als "drie A«

Als de variabele bijvoorbeeld A gelijk aan 5 en vervolgens de waarde van de expressie 3a zal gelijk zijn aan 15.

3 × 5 = 15

Simpel gezegd is de coëfficiënt het getal dat vóór de letter (vóór de variabele) verschijnt.

Er kunnen bijvoorbeeld meerdere letters zijn 5abc. Hier is de coëfficiënt het getal 5 . Deze coëfficiënt laat zien dat het product van variabelen is abc vervijfvoudigt. Deze uitdrukking kan worden gelezen als " abc vijf keer" of "verhoog de waarde van de uitdrukking abc vijf keer" of "vijf abc«.

Als in plaats van variabelen abc Vervang de getallen 2, 3 en 4 en vervolgens de waarde van de uitdrukking 5abc zal gelijk zijn 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Je kunt je mentaal voorstellen hoe de getallen 2, 3 en 4 voor het eerst werden vermenigvuldigd, en de resulterende waarde vervijfvoudigde:

Het teken van de coëfficiënt heeft alleen betrekking op de coëfficiënt en is niet van toepassing op de variabelen.

Denk eens aan de uitdrukking −6b. Min vóór de coëfficiënt 6 , is alleen van toepassing op de coëfficiënt 6 , en behoort niet tot de variabele B. Als u dit feit begrijpt, kunt u in de toekomst geen fouten maken met tekens.

Laten we de waarde van de uitdrukking vinden −6b bij b = 3.

−6b −6×b. Laten we voor de duidelijkheid de uitdrukking opschrijven −6b in uitgebreide vorm en vervang de waarde van de variabele B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie −6b bij b = −5

Laten we de uitdrukking opschrijven −6b in uitgebreide vorm

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie −5a+b bij een = 3 En b = 2

−5a+b dit is een verkort formulier voor −5 × a + b, dus voor de duidelijkheid schrijven we de uitdrukking −5×a+b in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen A En B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Soms worden letters bijvoorbeeld zonder coëfficiënt geschreven A of ab. In dit geval is de coëfficiënt eenheid:

maar traditioneel wordt de eenheid niet opgeschreven, dus schrijven ze gewoon A of ab

Als er een minteken vóór de letter staat, is de coëfficiënt een getal −1 . De uitdrukking bijvoorbeeld −een lijkt er eigenlijk op −1a. Dit is het product van min één en de variabele A. Het bleek zo:

−1 × een = −1a

Er zit hier een klein addertje onder het gras. In expressie −een minteken vóór de variabele A verwijst eigenlijk naar een "onzichtbare eenheid" in plaats van naar een variabele A. Daarom moet u voorzichtig zijn bij het oplossen van problemen.

Bijvoorbeeld als de uitdrukking wordt gegeven −een en ons wordt gevraagd de waarde ervan te vinden een = 2, vervolgens hebben we op school een twee vervangen in plaats van een variabele A en kreeg antwoord −2 , zonder zich al te veel te concentreren op hoe het afliep. In feite werd min één vermenigvuldigd met positief getal 2

−a = −1 × een

−1 × een = −1 × 2 = −2

Als de uitdrukking wordt gegeven −een en je moet de waarde ervan vinden a = −2, dan vervangen we −2 in plaats van een variabele A

−a = −1 × een

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Om fouten te voorkomen kunnen in eerste instantie onzichtbare eenheden expliciet worden opgeschreven.

Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie abc bij een=2 , b=3 En c=4

Uitdrukking abc 1×a×b×c. Laten we voor de duidelijkheid de uitdrukking opschrijven abc een, b En C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Voorbeeld 5. Zoek de waarde van een expressie abc bij a=−2, b=−3 En c=−4

Laten we de uitdrukking opschrijven abc in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen een, b En C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Voorbeeld 6. Zoek de waarde van een expressie − abc bij a=3, b=5 en c=7

Uitdrukking − abc dit is een verkort formulier voor −1×a×b×c. Laten we voor de duidelijkheid de uitdrukking opschrijven − abc in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen een, b En C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Voorbeeld 7. Zoek de waarde van een expressie − abc bij a=−2, b=−4 en c=−3

Laten we de uitdrukking opschrijven − abc in uitgebreide vorm:

−abc = −1 × a × b × c

Laten we de waarden van de variabelen vervangen A , B En C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hoe de coëfficiënt te bepalen

Soms moet u een probleem oplossen waarbij u de coëfficiënt van een uitdrukking moet bepalen. In principe is deze taak heel eenvoudig. Het is voldoende om getallen correct te kunnen vermenigvuldigen.

Om de coëfficiënt in een uitdrukking te bepalen, moet u de getallen in deze uitdrukking afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. De resulterende numerieke factor is de coëfficiënt.

Voorbeeld 1. 7m×5a×(−3)×n

De uitdrukking bestaat uit verschillende factoren. Dit is duidelijk te zien als u de uitdrukking in uitgebreide vorm schrijft. Dat wil zeggen: de werken 7m En 5a schrijf het in het formulier 7×m En 5×a

7 × m × 5 × een × (−3) × n

Laten we de associatieve wet van vermenigvuldiging toepassen, waarmee u factoren in willekeurige volgorde kunt vermenigvuldigen. We zullen namelijk de cijfers afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters (variabelen) afzonderlijk vermenigvuldigen:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

De coëfficiënt is −105 . Na voltooiing is het raadzaam om het lettergedeelte in alfabetische volgorde te rangschikken:

−105 uur

Voorbeeld 2. Bepaal de coëfficiënt in de uitdrukking: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

De coëfficiënt is 6.

Voorbeeld 3. Bepaal de coëfficiënt in de uitdrukking:

Laten we cijfers en letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

De coëfficiënt is −1. Houd er rekening mee dat de eenheid niet wordt opgeschreven, omdat het gebruikelijk is om de coëfficiënt 1 niet te schrijven.

Deze ogenschijnlijk eenvoudigste taken kunnen voor ons een heel grote rol spelen. wrede grap. Vaak blijkt dat het teken van de coëfficiënt verkeerd is ingesteld: de min ontbreekt of is integendeel tevergeefs ingesteld. Om deze vervelende fouten te voorkomen, moet het op een goed niveau worden bestudeerd.

Addends in letterlijke uitdrukkingen

Wanneer u meerdere getallen optelt, wordt de som van deze getallen verkregen. Getallen die optellen worden addends genoemd. Er kunnen verschillende termen zijn, bijvoorbeeld:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wanneer een uitdrukking uit termen bestaat, is deze veel gemakkelijker te evalueren, omdat optellen eenvoudiger is dan aftrekken. Maar de uitdrukking kan niet alleen optellen, maar ook aftrekken bevatten, bijvoorbeeld:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In deze uitdrukking zijn de getallen 3 en 5 aftrekkers, geen toevoegingen. Maar niets belet ons om aftrekken te vervangen door optellen. Dan krijgen we opnieuw een uitdrukking die bestaat uit termen:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Het maakt niet uit dat de getallen −3 en −5 nu een minteken hebben. Het belangrijkste is dat alle getallen in deze uitdrukking met elkaar zijn verbonden door een optelteken, dat wil zeggen dat de uitdrukking een som is.

Beide uitdrukkingen 1 + 2 − 3 + 4 − 5 En 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) gelijk aan dezelfde waarde - min één

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

De betekenis van de uitdrukking zal er dus niet onder lijden als we aftrekking ergens vervangen door optelling.

Je kunt aftrekken ook vervangen door optellen in letterlijke uitdrukkingen. Beschouw bijvoorbeeld de volgende uitdrukking:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Voor alle waarden van variabelen a, b, c, d En S uitdrukkingen 7a + 6b − 3c + 2d − 4s En 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) zal gelijk zijn aan dezelfde waarde.

Je moet erop voorbereid zijn dat een leraar op school of een leraar op een instituut even getallen (of variabelen) kan noemen die geen optellingen zijn.

Als het verschil bijvoorbeeld op het bord staat een − b, dan zegt de leraar dat niet A is een minuend, en B- aftrekbaar. Hij zal beide variabelen één noemen in algemene termen — voorwaarden. En dat allemaal vanwege de uitdrukking van de vorm een − b de wiskundige ziet hoe de som a+(−b). In dit geval wordt de uitdrukking een som, en de variabelen A En (-b) termen worden.

Soortgelijke termen

Soortgelijke termen- dit zijn termen die hetzelfde lettergedeelte hebben. Denk bijvoorbeeld eens aan de uitdrukking 7a + 6b + 2a. Componenten 7a En 2a hebben hetzelfde lettergedeelte - variabele A. Dus de voorwaarden 7a En 2a zijn vergelijkbaar.

Meestal worden soortgelijke termen toegevoegd om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen of een vergelijking op te lossen. Deze operatie wordt genoemd soortgelijke termen te brengen.

Om soortgelijke termen te verkrijgen, moet u de coëfficiënten van deze termen optellen en het resulterende resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte.

Laten we bijvoorbeeld soortgelijke termen in de uitdrukking presenteren 3a + 4a + 5a. In dit geval zijn alle termen vergelijkbaar. Laten we hun coëfficiënten bij elkaar optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte - met de variabele A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Meestal komen soortgelijke termen in gedachten en wordt het resultaat onmiddellijk opgeschreven:

3a + 4a + 5a = 12a

Je kunt ook als volgt redeneren:

Er waren 3 a-variabelen, nog eens 4 a-variabelen en er werden nog eens 5 a-variabelen aan toegevoegd. Als resultaat kregen we 12 variabelen a

Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het brengen van soortgelijke termen. Gezien dat dit onderwerp is erg belangrijk, in eerste instantie zullen we elk klein detail in detail opschrijven. Hoewel alles hier heel eenvoudig is, maken de meeste mensen veel fouten. Het komt vooral door onoplettendheid en niet door onwetendheid.

Voorbeeld 1. 3a + 2a + 6a + 8 A

Laten we de coëfficiënten in deze uitdrukking bij elkaar optellen en het resulterende resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × een = 19a

ontwerp (3 + 2 + 6 + 8)×a Je hoeft het niet op te schrijven, dus wij schrijven het antwoord meteen op

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Voorbeeld 2. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 2a+a

Tweede termijn A geschreven zonder coëfficiënt, maar in feite staat er een coëfficiënt voor 1 , die we niet zien omdat het niet is opgenomen. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit:

2a + 1a

Laten we nu vergelijkbare termen presenteren. Dat wil zeggen, we tellen de coëfficiënten op en vermenigvuldigen het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Laten we de oplossing kort opschrijven:

2a + een = 3a

2a+a, je kunt er anders over denken:

Voorbeeld 3. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 2a − een

Laten we aftrekken vervangen door optellen:

2a + (-a)

Tweede termijn (-een) geschreven zonder coëfficiënt, maar in werkelijkheid lijkt het erop (−1a). Coëfficiënt −1 wederom onzichtbaar doordat het niet is opgenomen. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit:

2a + (−1a)

Laten we nu vergelijkbare termen presenteren. Laten we de coëfficiënten optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = een

Meestal korter geschreven:

2a − een = een

Gelijksoortige termen in de uitdrukking geven 2a − een Je kunt anders denken:

Er waren 2 variabelen a, trek daar één variabele a van af, en het resultaat was dat er nog maar één variabele a overbleef

Voorbeeld 4. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Laten we nu vergelijkbare termen presenteren. Laten we de coëfficiënten optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het totale lettergedeelte

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Laten we de oplossing kort opschrijven:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Er zijn uitdrukkingen die er meerdere bevatten diverse groepen soortgelijke termen. Bijvoorbeeld, 3a + 3b + 7a + 2b. Voor dergelijke uitdrukkingen gelden dezelfde regels als voor de andere, namelijk het optellen van de coëfficiënten en het vermenigvuldigen van het resulterende resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte. Maar om fouten te voorkomen, is het handig om verschillende groepen termen met verschillende regels te markeren.

Bijvoorbeeld in de uitdrukking 3a + 3b + 7a + 2b die termen die een variabele bevatten A, kunnen met één regel worden onderstreept, en de termen die een variabele bevatten B, kan worden benadrukt met twee regels:

Nu kunnen we soortgelijke termen presenteren. Dat wil zeggen, voeg de coëfficiënten toe en vermenigvuldig het resulterende resultaat met het totale lettergedeelte. Dit moet voor beide groepen termen gebeuren: voor termen die een variabele bevatten A en voor termen die een variabele bevatten B.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Nogmaals, we herhalen dat de uitdrukking eenvoudig is, en soortgelijke termen kunnen in gedachten worden gehouden:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Voorbeeld 5. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 5a − 6a −7b + b

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Laten we soortgelijke termen met verschillende lijnen onderstrepen. Termen die variabelen bevatten A we onderstrepen met één regel, en de termen zijn de inhoud van de variabelen B, onderstreep met twee regels:

Nu kunnen we soortgelijke termen presenteren. Dat wil zeggen, voeg de coëfficiënten toe en vermenigvuldig het resulterende resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Als de uitdrukking gewone getallen zonder letterfactoren bevat, worden deze afzonderlijk toegevoegd.

Voorbeeld 6. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Laten we soortgelijke termen presenteren. Nummers −5 En 7 hebben geen letterfactoren, maar het zijn vergelijkbare termen - ze hoeven alleen maar te worden toegevoegd. En de termijn 2b blijft ongewijzigd, aangezien het de enige in deze uitdrukking is die een letterfactor heeft B, en er is niets aan toe te voegen:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Laten we de oplossing kort opschrijven:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

De termen kunnen zo worden geordend dat de termen met hetzelfde lettergedeelte zich in hetzelfde deel van de uitdrukking bevinden.

Voorbeeld 7. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 5t+2x+3x+5t+x

Omdat de uitdrukking een som is van verschillende termen, kunnen we deze in willekeurige volgorde evalueren. Daarom de termen die de variabele bevatten T, kan aan het begin van de uitdrukking worden geschreven, en van de termen die de variabele bevatten X aan het einde van de uitdrukking:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nu kunnen we vergelijkbare termen presenteren:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Laten we de oplossing kort opschrijven:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

De som van tegengestelde getallen is nul. Deze regel werkt ook voor letterlijke uitdrukkingen. Als de uitdrukking identieke termen bevat, maar met tegengestelde tekens, kunt u deze verwijderen in de fase van het verminderen van vergelijkbare termen. Met andere woorden, verwijder ze eenvoudigweg uit de uitdrukking, aangezien hun som nul is.

Voorbeeld 8. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 3t − 4t − 3t + 2t

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Componenten 3t En (−3t) zijn tegengesteld. De som van tegengestelde termen is nul. Als we deze nul uit de expressie verwijderen, verandert de waarde van de expressie niet, dus verwijderen we deze. En we zullen het verwijderen door simpelweg de voorwaarden door te strepen 3t En (−3t)

Als gevolg hiervan blijven we achter met de uitdrukking (−4t) + 2t. In deze uitdrukking kunt u soortgelijke termen toevoegen en het uiteindelijke antwoord krijgen:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Laten we de oplossing kort opschrijven:

Vereenvoudiging van uitdrukkingen

"Vereenvoudig de uitdrukking" en hieronder staat de uitdrukking die vereenvoudigd moet worden. Vereenvoudig een uitdrukking betekent dat het eenvoudiger en korter moet worden gemaakt.

In feite hebben we uitdrukkingen al vereenvoudigd toen we breuken verkleinden. Na reductie werd de breuk korter en gemakkelijker te begrijpen.

Laten we eens overwegen volgende voorbeeld. Vereenvoudig de uitdrukking.

Deze taak kan letterlijk als volgt worden opgevat: "Pas alle geldige acties toe op deze uitdrukking, maar maak het eenvoudiger." .

In dit geval kunt u de breuk verkleinen, namelijk door de teller en de noemer van de breuk door 2 te delen:

Wat kun je nog meer doen? U kunt de resulterende breuk berekenen. Dan krijgen we de decimale breuk 0,5

Als gevolg hiervan werd de breuk vereenvoudigd tot 0,5.

De eerste vraag die u uzelf moet stellen bij het oplossen van dergelijke problemen zou moeten zijn “Wat kan er gedaan worden?” . Omdat er acties zijn die je kunt doen, en er zijn acties die je niet kunt doen.

Een andere belangrijk punt Het ding om te onthouden is dat de waarde van de expressie niet mag veranderen na het vereenvoudigen van de expressie. Laten we terugkeren naar de uitdrukking. Deze uitdrukking vertegenwoordigt een deling die kan worden uitgevoerd. Nadat we deze deling hebben uitgevoerd, krijgen we de waarde van deze uitdrukking, die gelijk is aan 0,5

Maar we hebben de uitdrukking vereenvoudigd en een nieuwe vereenvoudigde uitdrukking gekregen. De waarde van de nieuwe vereenvoudigde uitdrukking is nog steeds 0,5

Maar we hebben ook geprobeerd de uitdrukking te vereenvoudigen door deze te berekenen. Als resultaat hiervan kregen wij een eindantwoord van 0,5.

Hoe we de uitdrukking ook vereenvoudigen, de waarde van de resulterende uitdrukkingen is dus nog steeds gelijk aan 0,5. Dit betekent dat de vereenvoudiging in elke fase correct is uitgevoerd. Dit is precies waar we naar moeten streven bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen: de betekenis van de uitdrukking mag niet lijden onder onze daden.

Het is vaak nodig om letterlijke uitdrukkingen te vereenvoudigen. Hiervoor gelden dezelfde vereenvoudigingsregels als voor numerieke uitdrukkingen. U kunt alle geldige acties uitvoeren, zolang de waarde van de expressie niet verandert.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1. Vereenvoudig een uitdrukking 5,21s×t×2,5

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u de cijfers afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Deze taak lijkt sterk op de taak waar we naar keken toen we leerden de coëfficiënt te bepalen:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Dus de uitdrukking 5,21s×t×2,5 vereenvoudigd tot 13.025ste.

Voorbeeld 2. Vereenvoudig een uitdrukking −0,4 × (−6,3b) × 2

Tweede stuk (-6,3b) kan worden vertaald in een voor ons begrijpelijke vorm, namelijk geschreven in de vorm ( −6,3)×b , vermenigvuldig vervolgens de cijfers afzonderlijk en vermenigvuldig de letters afzonderlijk:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Dus de uitdrukking −0,4 × (−6,3b) × 2 vereenvoudigd tot 5.04b

Voorbeeld 3. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we deze uitdrukking gedetailleerder schrijven om duidelijk te zien waar de cijfers staan ​​en waar de letters staan:

Laten we nu de cijfers afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot −abc. Deze oplossing kan kort worden geschreven:

Bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen kunnen breuken worden verkleind tijdens het oplossingsproces, en niet helemaal aan het einde, zoals we deden met gewone breuken. Als we tijdens het oplossen bijvoorbeeld een uitdrukking van de vorm tegenkomen, dan is het helemaal niet nodig om de teller en de noemer te berekenen en zoiets als dit te doen:

Een breuk kan worden verkleind door een factor in de teller en de noemer te selecteren en deze factoren met hun grootste te verminderen gemeenschappelijke deler. Met andere woorden, gebruik waarbij we niet in detail beschrijven waarin de teller en de noemer zijn verdeeld.

In de teller is de factor bijvoorbeeld 12 en in de noemer kan de factor 4 met 4 worden verminderd. We houden de vier in gedachten, en delen 12 en 4 door deze vier, noteren we de antwoorden naast deze getallen, nadat u ze eerst had doorgestreept

Nu kunt u de resulterende kleine factoren vermenigvuldigen. In dit geval zijn er maar een paar en kun je ze in je hoofd vermenigvuldigen:

Na verloop van tijd zul je merken dat bij het oplossen van een bepaald probleem uitdrukkingen ‘dik’ beginnen te worden, dus het is raadzaam om te wennen aan snelle berekeningen. Wat in de geest kan worden berekend, moet in de geest worden berekend. Wat snel kan worden verminderd, moet snel worden verminderd.

Voorbeeld 4. Vereenvoudig een uitdrukking

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot

Voorbeeld 5. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we de cijfers afzonderlijk en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot mn.

Voorbeeld 6. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we deze uitdrukking gedetailleerder schrijven om duidelijk te zien waar de cijfers staan ​​en waar de letters staan:

Laten we nu de cijfers afzonderlijk en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Voor het gemak van de berekening kunnen de decimale breuk −6,4 en een gemengd getal worden omgezet in gewone breuken:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot

De oplossing voor dit voorbeeld kan veel korter worden geschreven. Het zal er als volgt uitzien:

Voorbeeld 7. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we cijfers afzonderlijk en letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Voor het gemak van de berekening, een gemengd getal en decimalen 0,1 en 0,6 kunnen worden omgezet in gewone breuken:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot abcd. Als u de details overslaat, kan deze oplossing veel korter worden geschreven:

Merk op hoe de breuk is verkleind. Nieuwe factoren die worden verkregen als resultaat van de reductie van eerdere factoren kunnen ook worden verminderd.

Laten we het nu hebben over wat we niet moeten doen. Bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen is het ten strengste verboden cijfers en letters te vermenigvuldigen als de uitdrukking een som is en geen product.

Als u bijvoorbeeld de uitdrukking wilt vereenvoudigen 5a+4b, dan kun je het niet zo schrijven:

Dit is hetzelfde als wanneer ons wordt gevraagd twee getallen op te tellen en we deze vermenigvuldigen in plaats van ze op te tellen.

Bij het vervangen van variabelewaarden A En B uitdrukking 5a +4b verandert in een gewone numerieke uitdrukking. Laten we aannemen dat de variabelen A En B hebben de volgende betekenissen:

a = 2, b = 3

Dan is de waarde van de uitdrukking gelijk aan 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Eerst wordt de vermenigvuldiging uitgevoerd en vervolgens worden de resultaten opgeteld. En als we zouden proberen deze uitdrukking te vereenvoudigen door cijfers en letters te vermenigvuldigen, zouden we het volgende krijgen:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Het blijkt een heel andere betekenis van de uitdrukking. In het eerste geval werkte het 22 , in het tweede geval 120 . Dit betekent dat de uitdrukking wordt vereenvoudigd 5a+4b verkeerd werd uitgevoerd.

Na het vereenvoudigen van een uitdrukking mag de waarde ervan niet veranderen bij dezelfde waarden van de variabelen. Als er bij het vervangen van variabele waarden in de oorspronkelijke uitdrukking één waarde wordt verkregen, dan moet na vereenvoudiging van de uitdrukking dezelfde waarde worden verkregen als vóór de vereenvoudiging.

Met expressie 5a+4b je kunt echt niets doen. Het vereenvoudigt het niet.

Als een uitdrukking soortgelijke termen bevat, kunnen deze worden toegevoegd als het ons doel is de uitdrukking te vereenvoudigen.

Voorbeeld 8. Vereenvoudig een uitdrukking 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

of korter: 0,3a − 0,4a + een = 0,9a

Dus de uitdrukking 0,3a−0,4a+a vereenvoudigd tot 0,9a

Voorbeeld 9. Vereenvoudig een uitdrukking −7,5a − 2,5b + 4a

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

of korter −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Termijn (−2,5b) bleef ongewijzigd omdat er niets was om het mee te verbinden.

Voorbeeld 10. Vereenvoudig een uitdrukking

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

De coëfficiënt was bedoeld om de berekening te vergemakkelijken.

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot

Voorbeeld 11. Vereenvoudig een uitdrukking

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot .

IN in dit voorbeeld Het zou passender zijn om eerst de eerste en de laatste coëfficiënten toe te voegen. In dit geval zouden we een korte oplossing hebben. Het zou er als volgt uitzien:

Voorbeeld 12. Vereenvoudig een uitdrukking

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot .

De term bleef ongewijzigd, omdat er niets aan toe te voegen was.

Deze oplossing kan veel korter worden geschreven. Het zal er als volgt uitzien:

De korte oplossing sloeg de stappen over van het vervangen van aftrekken door optellen en het gedetailleerd beschrijven hoe breuken tot een gemeenschappelijke noemer werden teruggebracht.

Een ander verschil is dat in gedetailleerde oplossing het antwoord lijkt , maar kortom als . In feite zijn het dezelfde uitdrukkingen. Het verschil is dat in het eerste geval aftrekking wordt vervangen door optelling, sinds we in het begin de oplossing schreven gedetailleerd, hebben we waar mogelijk het aftrekken vervangen door optellen, en deze vervanging werd bewaard voor het antwoord.

Identiteiten. Identiek gelijke uitdrukkingen

Zodra we een uitdrukking hebben vereenvoudigd, wordt deze eenvoudiger en korter. Om te controleren of de vereenvoudigde uitdrukking correct is, volstaat het om eventuele variabelewaarden eerst te vervangen door de vorige uitdrukking die vereenvoudigd moest worden, en vervolgens door de nieuwe die vereenvoudigd moest worden. Als de waarde in beide expressies hetzelfde is, is de vereenvoudigde expressie waar.

Laten we eens overwegen eenvoudigste voorbeeld. Laat het nodig zijn om de uitdrukking te vereenvoudigen 2a×7b. Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u cijfers en letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Laten we controleren of we de uitdrukking correct hebben vereenvoudigd. Laten we hiervoor alle waarden van de variabelen vervangen A En B eerst naar de eerste uitdrukking die vereenvoudigd moest worden, en vervolgens naar de tweede, die vereenvoudigd moest worden.

Laat de waarden van de variabelen A , B zal als volgt zijn:

a = 4, b = 5

Laten we ze vervangen door de eerste uitdrukking 2a×7b

Laten we nu dezelfde variabelewaarden vervangen door de uitdrukking die het resultaat is van de vereenvoudiging 2a×7b, namelijk in de uitdrukking 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Dat zien we wanneer een=4 En b=5 waarde van de eerste uitdrukking 2a×7b en de betekenis van de tweede uitdrukking 14ab gelijkwaardig

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Hetzelfde zal gebeuren voor alle andere waarden. Laat bijvoorbeeld een=1 En b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Dus voor alle waarden van de expressievariabelen 2a×7b En 14ab zijn gelijk aan dezelfde waarde. Dergelijke uitdrukkingen worden genoemd identiek gelijk.

Dat concluderen we tussen de uitdrukkingen 2a×7b En 14ab je kunt een gelijkteken plaatsen omdat ze gelijk zijn aan dezelfde waarde.

2a × 7b = 14ab

Een gelijkheid is elke uitdrukking die verbonden is door een gelijkteken (=).

En gelijkheid van de vorm 2a×7b = 14ab genaamd identiteit.

Een identiteit is een gelijkheid die geldt voor alle waarden van de variabelen.

Andere voorbeelden van identiteiten:

een + b = b + een

a(b+c) = ab+ac

a(bc) = (ab)c

Ja, de wetten van de wiskunde die we hebben bestudeerd zijn identiteiten.

Echte numerieke gelijkheden zijn ook identiteiten. Bijvoorbeeld:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Bij het oplossen van een complex probleem om de berekening voor uzelf gemakkelijker te maken, complexe uitdrukking vervangen door een eenvoudiger uitdrukking die identiek is aan de vorige. Deze vervanging heet identieke transformatie van de uitdrukking of gewoon het transformeren van de uitdrukking.

We hebben de uitdrukking bijvoorbeeld vereenvoudigd 2a×7b, en kreeg een eenvoudiger uitdrukking 14ab. Deze vereenvoudiging kan de identiteitstransformatie worden genoemd.

Je kunt vaak een taak vinden die zegt "Bewijzen dat gelijkheid een identiteit is" en dan wordt de gelijkheid gegeven die bewezen moet worden. Meestal bestaat deze gelijkheid uit twee delen: het linker- en rechterdeel van de gelijkheid. Onze taak is om identiteitstransformaties uit te voeren met een van de delen van de gelijkheid en het andere deel te verkrijgen. Of voer identieke transformaties uit met beide kanten van de gelijkheid en zorg ervoor dat beide kanten van de gelijkheid dezelfde uitdrukkingen bevatten.

Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat de gelijkheid 0,5a × 5b = 2,5ab is een identiteit.

Laten we de linkerkant van deze gelijkheid vereenvoudigen. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de cijfers en letters afzonderlijk:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Als resultaat van een kleine identiteitstransformatie werd de linkerkant van de gelijkheid gelijk aan de rechterkant van de gelijkheid. Dus we hebben bewezen dat de gelijkheid 0,5a × 5b = 2,5ab is een identiteit.

Van identieke transformaties leerden we getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, breuken verkleinen, soortgelijke termen optellen en ook enkele uitdrukkingen vereenvoudigen.

Maar dit zijn niet allemaal identieke transformaties die in de wiskunde bestaan. Er zijn nog veel meer identieke transformaties. Dit zullen we in de toekomst meer dan eens zien.

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Vond je de les leuk?
Sluit je aan bij onze nieuwe groep VKontakte en ontvang meldingen over nieuwe lessen

Sectie 5 UITDRUKKINGEN EN VERGELIJKINGEN

In dit gedeelte leer je:

ü o uitdrukkingen en hun vereenvoudigingen;

ü wat zijn de eigenschappen van gelijkheden;

ü hoe je vergelijkingen oplost op basis van de eigenschappen van gelijkheden;

ü welke soorten problemen worden opgelost met behulp van vergelijkingen; wat zijn loodrechte lijnen en hoe je ze bouwt;

ü welke lijnen parallel worden genoemd en hoe je ze moet bouwen;

ü wat is een coördinatenvlak?

ü hoe je de coördinaten van een punt op een vlak bepaalt;

ü wat is een grafiek van de relatie tussen hoeveelheden en hoe deze te construeren;

ü hoe je de bestudeerde stof in de praktijk kunt toepassen

§ 30. UITDRUKKINGEN EN HUN VEREENVOUDIGING

Je weet al wat letteruitdrukkingen zijn en weet hoe je ze kunt vereenvoudigen met behulp van de wetten van optellen en vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . In de resulterende uitdrukking wordt het getal -8 de coëfficiënt van de uitdrukking genoemd.

Is de uitdrukking CD coëfficiënt? Dus. Het is gelijk aan 1 omdat cd - 1 ∙ cd .

Bedenk dat het omzetten van een uitdrukking met haakjes naar een uitdrukking zonder haakjes het uitbreiden van de haakjes wordt genoemd. Bijvoorbeeld: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

De omgekeerde actie in dit voorbeeld is om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen.

Termen die dezelfde letterfactoren bevatten, worden soortgelijke termen genoemd. Door de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te verwijderen, worden soortgelijke termen naar voren gebracht:

5x + j + 4 - 2x + 6 j - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 j )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7j - 5.

Regels voor het openen van haakjes

1. Als er een “+” teken voor de haakjes staat, blijven bij het openen van de haakjes de tekens van de termen tussen de haakjes behouden;

2. Als er een “-” teken vóór de haakjes staat, veranderen de tekens van de termen tussen haakjes wanneer de haakjes worden geopend in het tegenovergestelde.

Taak 1. Vereenvoudig de uitdrukking:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 jaar -(-8 + 7 jaar).

Oplossingen. 1. Vóór de haakjes staat een “+” teken, dus bij het openen van de haakjes blijven de tekens van alle termen behouden:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Vóór de haakjes staat een “-” teken, dus bij het openen van de haakjes: de tekens van alle termen zijn omgedraaid:

15 - (- 8 + 7j) = 15j + 8 - 7j = 8j +8.

Om de haakjes te openen, gebruikt u de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging: a( b + c) = ab + ac. Als a > 0, dan zijn de tekens van de termen B en met niet veranderen. Als een< 0, то знаки слагаемых B en verander naar het tegenovergestelde.

Taak 2. Vereenvoudig de uitdrukking:

1) 2(6j -8) + 7j;

2)-5(2-5x) + 12.

Oplossingen. 1. De factor 2 vóór de haakjes is positief, daarom behouden we bij het openen van de haakjes de tekens van alle termen: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. De factor -5 vóór de haakjes is negatief, dus bij het openen van de haakjes veranderen we de tekens van alle termen in het tegenovergestelde:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Meer informatie

1. Het woord “som” komt uit het Latijn summa , wat “totaal”, “totaalbedrag” betekent.

2. Het woord “plus” komt uit het Latijn plus wat 'meer' betekent en het woord 'min' komt uit het Latijn minus Wat betekent "minder"? De tekens “+” en “-” worden gebruikt om de bewerkingen van optellen en aftrekken aan te geven. Deze borden werden in 1489 door de Tsjechische wetenschapper J. Widman geïntroduceerd in het boek “Een snel en prettig verslag voor alle kooplieden”(Afb. 138).

Rijst. 138

DENK AAN HET BELANGRIJKE

1. Welke termen worden vergelijkbaar genoemd? Hoe zijn zulke termen opgebouwd?

2. Hoe open je haakjes voorafgegaan door een “+” teken?

3. Hoe open je haakjes voorafgegaan door een “-” teken?

4. Hoe open je haakjes voorafgegaan door een positieve factor?

5. Hoe open je haakjes die worden voorafgegaan door een negatieve factor?

1374". Noem de coëfficiënt van de uitdrukking:

1)12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Noem de termen die alleen qua coëfficiënt verschillen:

1) 10a + 76-26 + een; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.

Hoe worden deze termen genoemd?

1376". Zijn er vergelijkbare termen in de uitdrukking:

1)11a+10a; 3)6 n + 15 n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12m+m; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Is het nodig om de tekens van de termen tussen haakjes te veranderen, door de haakjes in de uitdrukking te openen:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Vereenvoudig de uitdrukking en onderstreep de coëfficiënt:

1379°. Vereenvoudig de uitdrukking en onderstreep de coëfficiënt:

1380°. Combineer vergelijkbare termen:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Combineer vergelijkbare termen:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b+12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Open de haakjes en combineer vergelijkbare termen;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Open de haakjes en combineer vergelijkbare termen:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s-5 d) - (- d + 5c);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Open de haakjes en zoek de betekenis van de uitdrukking:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Open de haakjes en zoek de betekenis van de uitdrukking:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Vouw de haakjes uit:

1)0,5 ∙ (a+4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2n+m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Vouw de haakjes uit:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-ð + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Vereenvoudig de uitdrukking:

1391. Vereenvoudig de uitdrukking:

1392. Combineer soortgelijke termen:

1393. Combineer vergelijkbare termen:

1394. Vereenvoudig de uitdrukking:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, door ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Vereenvoudig de uitdrukking:

1396. Vind de betekenis van de uitdrukking;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), als a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), als = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), als x = -0,25;

1398*. Zoek de fout in de oplossing:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Open de haakjes en vereenvoudig de uitdrukking:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Rangschik de haakjes om de juiste gelijkheid te krijgen:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) een -2 b -2 een + b = 3 een -3 b .

1401*. Bewijs dat voor alle getallen a en b als a > b , dan geldt de gelijkheid:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Zal deze gelijkheid juist zijn als: a) a< B ; b) een = 6?

1402*. Bewijs dat voor wie dan ook natuurlijk getal en het rekenkundig gemiddelde van de vorige en volgende getallen is gelijk aan het getal a.

ZET HET IN DE PRAKTIJK

1403. Om een ​​fruitdessert voor drie personen te bereiden heb je nodig: 2 appels, 1 sinaasappel, 2 bananen en 1 kiwi. Hoe maak je een letteruitdrukking om de hoeveelheid fruit te bepalen die nodig is om het dessert voor de gasten te bereiden? Help Marin berekenen hoeveel fruit ze moet kopen als: 1) 5 vrienden haar komen bezoeken; 2) 8 vrienden.

1404. Maak een letteruitdrukking om de tijd te bepalen die nodig is om je wiskundehuiswerk te maken als:

1) er werd een minuut besteed aan het oplossen van problemen; 2) de vereenvoudiging van uitdrukkingen is 2 keer groter dan voor het oplossen van problemen. Hoe lang duurde het om te voltooien huiswerk Vasilko, als hij 15 minuten besteedde aan het oplossen van problemen?

1405. De lunch in de schoolkantine bestaat uit salade, borsjt, koolbroodjes en compote. De kosten van de salade bedragen 20%, borsjt - 30%, koolrolletjes - 45%, compote - 5% van de totale kosten van de hele lunch. Schrijf een uitdrukking om de kosten van de lunch in de schoolkantine te berekenen. Hoeveel kost de lunch als de prijs van de salade 2 UAH is?

BEKIJK PROBLEMEN

1406. Los de vergelijking op:

1407. Tanya besteedde aan ijsal het beschikbare geld, en voor snoep -de rest. Hoeveel geld heeft Tanya nog?

als snoep 12 UAH kost?

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, nemen de sommen van monomialen een belangrijke plaats in. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden termen van de polynoom genoemd. Monomialen worden ook geclassificeerd als polynomen, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom dat uit één lid bestaat.

Een polynoom bijvoorbeeld
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan worden vereenvoudigd.

Laten we alle termen weergeven in de vorm van monomials van de standaardvorm:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Laten we soortgelijke termen presenteren in de resulterende polynoom:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Het resultaat is een polynoom, waarvan alle termen monomialen van de standaardvorm zijn, en er zijn geen vergelijkbare. Dergelijke polynomen worden genoemd polynomen van standaardvorm.

Voor graad van polynoom van een standaardformulier de hoogste bevoegdheden van haar leden overneemt. De binomiale \(12a^2b - 7b\) heeft dus de derde graad, en de trinominale \(2b^2 -7b + 6\) heeft de tweede.

Typisch worden de termen van polynomen met een standaardvorm die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van exponenten van de graad ervan. Bijvoorbeeld:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

De som van verschillende polynomen kan worden omgezet (vereenvoudigd) in een polynoom met standaardvorm.

Soms moeten de termen van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat haakjes de omgekeerde transformatie zijn van openingshaakjes, is het gemakkelijk te formuleren regels voor het openen van haakjes:

Als er een “+” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als er een “-” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen de haakjes met tegengestelde tekens geschreven.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Door te gebruiken distributieve eigenschappen vermenigvuldigingen kunnen worden omgezet (vereenvoudigd) in een polynoom, het product van een monomiaal en een polynoom. Bijvoorbeeld:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van dit monomiaal en elk van de termen van het polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je dat monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van het polynoom.

We hebben deze regel al verschillende keren gebruikt om met een som te vermenigvuldigen.

Product van polynomen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

Over het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Meestal wordt de volgende regel gebruikt.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Somkwadraten, verschillen en verschil in kwadraten

Bij algebraïsche transformaties heb je vaker te maken met sommige uitdrukkingen dan met andere. Misschien wel de meest voorkomende uitdrukkingen zijn \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) en \(a^2 - b^2 \), d.w.z. het kwadraat van de som, het kwadraat van het verschil en het verschil van vierkanten. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken te zijn. \((a + b)^2 \) is bijvoorbeeld natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b . Het kwadraat van de som van a en b komt echter in de regel niet vaak voor; in plaats van de letters a en b bevat het verschillende, soms behoorlijk complexe, uitdrukkingen.

De uitdrukkingen \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kunnen eenvoudig worden omgezet (vereenvoudigd) in polynomen van de standaardvorm; je bent een dergelijke taak al tegengekomen bij het vermenigvuldigen van polynomen :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Het is nuttig om de resulterende identiteiten te onthouden en toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - het kwadraat van de som is gelijk aan de som van de kwadraten en het dubbele product.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - het kwadraat van het verschil is gelijk aan de som der kwadraten zonder het dubbele product.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - het verschil tussen de kwadraten is gelijk aan het product van het verschil en de som.

Deze drie identiteiten maken het mogelijk om in transformaties hun linkerdelen te vervangen door rechterdelen en vice versa: rechterdelen door linkerdelen. Het moeilijkste is om de overeenkomstige uitdrukkingen te zien en te begrijpen hoe de variabelen a en b daarin worden vervangen. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.