ЗА ЧАС

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Математическое ожидание - это количество денег, которое в среднем можно выиграть или проиграть на данной ставке. Это предельно важное понятие для игрока, поскольку оно является ключевым для оценки большинства игровых ситуаций. Матожидание - это также наилучший инструмент анализа большинства покерных раскладов.

Предположим, вы играете с приятелем в монетку, ставя поровну по $1 каждый раз независимо от того, какой стороной она упадет. Решка - вы выигрываете, орел - проигрываете. Шансы выпадения решки 1 к 1, и вы ставите $1 к $1. Следовательно, математическое ожидание у вас точно равно нулю, поскольку с точки зрения математики вы не можете ожидать, что вы ведёте или проигрываете после двух бросков или после 200.

Ваш часовой выигрыш равен нулю. Часовой выигрыш - это количество денег, которое вы ожидаете выиграть за час. Вы можете бросать монету 500 раз в течение часа, но поскольку ваши шансы ни положительны, ни отрицательны, вы не выиграете и не проиграете. С точки зрения серьезного игрока такая система ставок неплоха. Но это просто трата времени.

Но положим, какой-то баран желает поставить $2 против вашего $1 в ту же игру. Тогда вы тут же имеете положительное матожидание 50 центов с одной ставки. Почему 50 центов? В среднем одну ставку вы выигрываете, другую проигрываете. Ставите первый доллар - и теряете $1, ставите второй - выигрываете $2. Вы дважды поставили по $1 и идете с опережением в $1. Следовательно, каждая из этих однодолларовых ставок принесла вам 50 центов.

Если за час монета выпала 500 раз, ваш часовой выигрыш составляет теперь $250, поскольку в среднем вы теряли но одному доллару 250 раз и выигрывали по два доллара 250 раз. $500 минус $250 равняется $250, что и есть суммарный выигрыш. Заметьте вновь, что матожидание, которое является суммой, в среднем выигрываемой вами на одной ставке, равняется 50 центам. Вы выиграли $250, поставив доллар 500 раз: это составляет 50 центов со ставки.

Матожидание не имеет ничего общего с кратковременным результатом. Баран мог выиграть первые десять бросков подряд, но, имея преимущество ставок 2 к 1 при равных шансах, вы всё равно получаете 50 центов с каждой ставки в $1. Нет разницы, выигрываете вы либо проигрываете одну ставку или ряд ставок при условии, что у вас достаточно наличности, чтобы легко покрывать расходы. Если вы продолжите ставить так же, то выиграете, и за продолжительный период времени ваш выигрыш приблизится четко к сумме матожиданий в отдельных бросках.

Всякий раз, как вы делаете ставку с лучшим исходом, (то есть, можно ожидать, что она окажется выгодной на длинной дистанции), когда шансы в вашу пользу, вы что-то выигрываете на ней независимо от того, теряете "ли вы ее или нет в конкретной сдаче. И наоборот, если вы делаете ставку с худшим исходом (невыгодную на длинной дистанции), когда шансы не в вашу пользу, вы что-то теряете независимо от того, выиграли вы или проиграли в конкретной сдаче.

Вы ставите с лучшим исходом, когда матожидание положительно, а оно положительно, когда шансы в вашу пользу. Ставя с худшим исходом, вы имеете отрицательное матожидание, а оно бывает, когда шансы против вас. Серьёзные игроки ставят только с лучшим исходом, с худшим они пасуют.

Что это значит шансы в вашу пользу? Это значит в результате выиграть больше, чем дают реальные шансы. Реальные шансы выпадения решки 1 к 1, но у вас получается 2 к 1 за счёт соотношения ставок. Шансы в этом случае в вашу пользу. Лучший исход гарантирован с положительным ожиданием 50 центов за ставку.

А вот пример матожидания немножко посложнее. Товарищ пишет цифры от единицы до пятерки и ставит $5 против вашего $1 за то, что вы не угадаете эту цифру. Принимать ли вам такое пари? Каково здесь матожидание?

В среднем четыре раза вы промахнётесь, а один раз отгадаете. Итого шансы против того, что вы угадаете правильно, составят 4 к 1. Шансы за то, что при одной попытке вы потеряете доллар. Однако вы получаете $5 к $1 при вероятности проиграть 4 к 1. Так что шансы в вашу пользу, вы можете надеяться на лучший исход, и стоит принимать ставку. Если вы поставите таким образом пять раз, в среднем четыре раза вы проиграете по $1 и разок выиграете $5. Таким образом, за пять попыток вы заработаете $1 с положительным ожиданием 20 центов за ставку.

Ставящий ловит шансы, когда он полагает выиграть больше, чем ставит, как в примере выше. И он губит шансы, когда собирается выиграть меньше, чем ставит. Ставящий может иметь либо положительное, либо отрицательное матожидание в зависимости от того, ловит он шансы либо губит их. Если вы ставите $50, чтобы выиграть $10, когда вероятность выигрыша всего 4 к 1, вы имеете отрицательное матожидание $2 за ставку, поскольку в среднем четыре раза вы выиграете $10, но однажды проиграете $50, что составит суммарную потерю $10 после пяти ставок. С другой стороны, если вы поставите $30, чтобы выиграть $10, когда вероятность выигрыша 4 к 1, у вас положительное ожидание $2, поскольку вы вновь выиграете четыре раза по S10, а потеряете всего $30 один раз, что даёт суммарную прибыль $10. Ожидание показывает, что первая ставка плохая, а вторая хорошая.

Математическое ожидание стоит в центре каждой игровой ситуации. Когда букмекер требует от футбольных болельщиков ставить $11, чтобы выиграть $10, он имеет положительное ожидание 50 центов с каждых своих $10. Когда казино платит равные деньги на пассовой линии в крепсе, оно имеет положительное ожидание порядка $1.40 со ставки в $!00. поскольку эта игра устроена так, что ставящий на эту линию в среднем проигрывает 50.7%, а выигрывает 49.3% общего времени. Несомненно, именно это кажущееся минимальным положительное матожидание и создаёт колоссальные прибыли казино по всему миру. Как отметил хозяин казино Vegas World Боб Ступак, «одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».

В большинстве игр, например, крепе и рулетка в казино, шансы на любой ставке постоянны. В других они меняются с течением игры, и матожидание может подсказать вам, как оценивать конкретную ситуацию. В блэкджеке, например, для определения правильной игры математики рассчитали матожидание при разыгрывании боксов различными способами. Тактика, обеспечивающая вам максимальное положительное ожидание или минимальное отрицательное ожидание, является правильной. Например, если у вас 16 против 10 у дилера, скорее всего вы проиграете. Однако если эти 16 состоят из двух восьмерок, лучше всего будет сделать сплит на восьмерках, удвоив ставку. Рассплитовав восьмерки против 10 дилера, вы всё равно потеряете больше денег, чем выиграете, но в данном случае отрицательное ожидание ниже, чем если бы вы просто каждый раз тянули карту, имея 8,8 против 10.

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

На сегодняшний день программное обеспечение компании NetEnt и не только находится на вершине популярности. Рынок онлайн гемблинга активно развивается, а значит максимально востребован. Из данного факта вытекает, что многие игроки находятся в активном поиске информации, которая позволит увеличить шансы на получение максимального выигрыша . Предлагаем вам оценить вероятность получить выигрыш в любом игорном заведении, положившись на математику и статистику. Мы расскажем о том, как увеличить математическое ожидание выигрыша.

В современных онлайн казино у каждого клиента шансы получить положительное математическое ожидание выигрыша находятся на самой высокой отметке. А все потому, что операторы внедряют различные инновации в сфере бонусной политики. Но при этом часто используют демпинг (прим. Демпинг - это продажа товара или услуг по искусственно заниженным ценам). Обратите внимание, что получить вышеуказанное ожидание - просто и абсолютно легально. Вы не нарушите правил игорного заведения, так как будут использоваться бонусы. Кстати, в современном онлайн гемблинге ярко выражена одна тенденция - это закрытие новых виртуальных казино и многочисленных отказов выплаты выигрышей клиентам, в связи с использованием демпинга.

Утверждение, что во всех игровых автоматах казино действует отрицательное математическое ожидание, наталкивает на мысль: «А стоит ли вообще играть?». Именно поэтому мы рекомендуем прочитать нашу статью и узнать, возможно ли получить положительное математическое ожидание.

Способы получения положительного математического ожидания выигрыша в казино

Вы должны знать, что есть несколько правил, которым необходимо следовать, чтобы стратегия сработала. Итак, выбираем игровые автоматы, которые имеют высокий ожидаемый процент выплат. RTP должен быть выше 97%. Также на счету должны быть бонусы, наделенные определенными вейджер требованиями. Наилучший вариант - это вейджер менее х40. Обратите внимание, что данная стратегия обычно приносит небольшие, но стабильные выплаты. Но можно надеяться на получение крупного выигрыша. Это связано с тем, что при применении данного способа математическое ожидание будет перемещено в сторону игрока. Не забывайте, что некоторые казино стали исключать из списка игр для отыгрывания вейджера бонусов самые прибыльные слоты от NetEnt.

Статистика

Разработчики не скрывают, какой процент выплат (RTP) действует в любом слоте. Также операторы всегда предоставляют информацию по вейджер требованиям для бонусных предложений. Наши эксперты раскрыли скрытые данные. Это длина цикла и дисперсия выигрышей. Доступны и рекомендации опытных тестеров. Все эти статистические данные помогут получить положительное ожидание выигрыша. Главное, знать, как пользоваться показателями.

Итак, отрицательное ожидание выигрыша всегда действует в правилах любого игорного заведения. В любом случае, после нескольких весьма удачных спинов любой слот выровняет статистику. Он не позволит уйти победителем и в конечном итоге проигрыш просто неизбежен. Но всегда оператор оставляет возможность исправить это положение дел. Для этого и применяется бонусная политика. Особенно в казино NetEnt.

Выбор бонусного предложения

Каждое игорное заведение предлагает различные виды бонусов. Вы можете воспользоваться приветственным предложением. Например, за пополнение счета на 100 евро можно получить еще 100 евро бонуса. Вейджер требования обычно составляют до 35х от суммы бонуса. Простыми словами, вам необходимо сделать ставок на сумму в 3500 евро. Тогда бонус будет отыгран полностью. Обязательно выбирайте бонусные предложения, которые имеют низкий вейджер.

Выбор игрового автомата

Выбирая онлайн слот, обязательно изучите все предложения. На нашем сайте вы можете найти информацию по каждой игре. Особого внимания требует процент отдачи. RTP указан везде. Теперь расшифруем данный показатель. Например, вы выбрали игровой автомат с ожидаемым процентом выплат в 96%. Это значит, что из 100 евро, потраченных на ставки, вы сможете вернуть 96 евро. Все игры NetEnt наделены процентом выплат, который варьируется от 90% до 99%. Разброс показателя - большой. Но, исходя из этих данных, вы можете подобрать наиболее выгодный слот. Благодаря ему сможете получить больше выплат и отыграть свой бонус. Чем выше будет RTP и ниже вейджер требования, тем меньше риски потратить свои деньги. Предлагаем вам узнать о том, какие использовать все эти значения для получения положительного математического ожидания выигрыша в онлайн казино.

Вейджер требования 35х и расчет

У вас есть бонус в 100 евро и необходимость сделать ставок на общую сумму в 3500 евро. Поэтому следует выбирать максимально прибыльный игровой автомат. Если выберите слот с RTP в 97,14%, сможете получить положительное математическое ожидание. Ведь такие игры помогут сыграть необходимое количество ставок. А, когда действует более низкий вейджер, вероятность дождаться выигрыша будет увеличиваться в несколько раз. Обязательно познакомьтесь со списком игр, которые являются наиболее подходящими для получения положительного математического ожидания выигрыша в онлайн казино.

Рассмотрев внимательно представленную таблицу, можем сделать вывод, что многие игровые автоматы позволяют получить самые высокие ожидания. В нашем рейтинге первые места занимают слоты Mega Joker и Jackpot 6000. Отдельно остановимся на последнем, в котором гарантировано можно вернуть до 98,86 евро. Если будете играть именно в этот автомат, сможете получить прибыль в 1,72 евро. Также обратите внимание на последний игровой автомат в нашем списке. Слот Jack Hammer наделен показателем возврата ставок в 97%. Даже при использовании вейджера 35х можно получить всего лишь 0,14 евро прибыли. Поэтому для нашей стратегии эта игра не подходит. Важно! Исходя из сказанного выше, получить положительное ожидание выигрыша можно только в случае активного бонуса 35х и игры на слоте с RTP, который выше 97%.

Расчет для вейджер требований 40х

А теперь рассмотрим расчет для бонуса с вейджером 40х и выберем оптимальный игровой автомат. Итак, у вас есть 100 евро бонуса, чтобы его отыграть необходимо сделать ставок на сумму 4000 евро. В таком случае необходимо выбирать игры, в которых действует RTP, который выше 97,5%. Мы подобрали три самых лучших игровых автомата, которые идеально подходят для стратегии получения положительного математического ожидания выигрыша.

Представители крупных игорных заведений обычно исключают высоко-дисперсионные игровые автоматы, поскольку они наделены наибольшим потенциалом выигрыша. А все потому, что бонусхантеры могут воспользоваться данной возможностью. Например, создать несколько аккаунтов, залить крупные суммы, получить максимальные бонусы и отыграть их по большим ставкам на любом из слотов с высокой дисперсией . Проиграв большую сумму и значительно пополнив призовой фонд, на последний счет игрок получит внушительный выигрыш. Ведь в казино любая игра не различает, какие деньги были поставлены - бонусные или реальные. Так что бонусхантеры могли бы получить большую прибыль.

Ограничения по странам

Операторы также используют ограничение по странам для бонусных программ. В списке вы всегда можете увидеть, какое предложение не доступно для жителя того или иного региона. Это связано с тем, что в странах различный уровень жизни. Где-то готовы тратить ежедневно на ставки от 100 евро, а где-то могут позволить только 10 евро. Страны, в которых клиенты с помощью бонусов получают максимальные выигрыши, программа исключает из списка допустимых для участия в бонусных предложениях. Стратегия получения положительного математического результата очень выгодна. Она реально работает, поэтому игорные дома признают свои поражения перед активными и знающими игроками, занося в список запрещенных стран целые страны.

Бонус «Приветственный» дают только один раз. Как быть?

У вас наверняка возник вопрос о том, как регулярно получать прибыль с помощью данной схемы. Ведь в любом казино можно получить только один приветственный бонус. Не стоит отчаиваться, ведь игорные заведения регулярно предлагают другие бонусы. Например, за пополнение депозита в определенны дни или часы. Действуют различные промо-акции, в которых следует принимать участие, чтобы выиграть.

Резюме

Подведем итог и выделим главные аспекты, которые касаются получения положительного математического ожидания выигрыша. Итак:

• Все бонусные предложения с вейджером 35х и слоты, в которых RTP выше 97%, позволяют получить положительное математическое ожидание выигрыша.
• При выборе бонуса с вейджером х40, необходимо выбрать игровой автомат с процентом выплат выше 97,5%. В этом случае вам подойдут всего лишь несколько игр, о которых рассказано в этой статье.
• Использование стратегии выбора прибыльного слота значительно увеличивает шансы на победу в казино NetEnt.
• Использование повторных релоад бонусов и других персональных предложений казино, в которых действуют пониженные вейджер требования, являются самыми прибыльными и позволяют получить максимальное плюсовое ожидание.
• Обязательно внимательно изучайте условия по отыгрыванию для выбранного бонуса.
• Следите за новостями казино и принимайте участие только в самых выгодных промо-акциях.

Математическое ожидание — это средний размер выигрыша, на который вы можете рассчитывать, играя на букмекерских ставках. Наверное, это самый важный критерий, которым надо руководиться при выборе букмекера. Статья посвящена расчету этого критерия.

Математическое ожидание — это сумма выигрыша, на которою может рассчитывать игрок, размещая ставки на одни и те же коэффициенты.

Пример: в игре в монетку вы ставите 10$ на «решку», и рассчитываете получить прибыль в 11$, при каждом удачном результате ваше ожидание составит 0.5. Это значит, что если вы будете ставить на решку все время 10$, то на дистанции вы будете выигрывать с каждой ставки 0.50$.

Расчет математического ожидания

Формула для подсчета этого критерия очень проста. Сперва вероятность выигрыша умножаем на размер выигрыша в каждой ставке. Затем с полученного результата вычитываем вероятность проигрыша и умножаем на сумму убытка по каждой ставке.

• вероятность выигрыша * размер выплаты по ставке — вероятность проигрыша * размер убытков ставки

• Для начала найдите коэффициенты для каждого из исходов: ничья, выигрыш, проигрыш.
• Чтобы рассчитать потенциально возможный выигрыш, умножьте сумму ставки на десятичные коэффициенты для каждого из исходов и после этого нужно вычесть сумму ставки.
• Чтобы определить вероятность события разделите 1 на десятичные коэффициенты рассчитываемого нами исхода Вероятность проигрыша равна сумме вероятностей выигрыша для двух других исходов.
• Дальше подставляем полученные нами значение в формулу выше.

Пример: матч Манчестера и Вигана. Кэфы 1.263 и 13.5 соответственно и ничья с кэфом 6.5. Если ставить на Виган 10$, то можно выиграть 125$. Вероятность такого события составит 0.074 или 7.4%. (1 нужно разделить на 13.5).

Шансы другого исхода это сумма вероятности победы Манчестера и ничьей, другими словами 0.792+0.154=0.946. Сумма возможных убытков равна нашей ставке — 10$. Наша итоговая формула получится такой:

• (0,074 *125$) – (0,946 * 10$) = -0,20$

Судя по формуле, тут наше математическое ожидание будет отрицательным. Мы будем проигрывать в среднем 0.20$ при каждой ставке.

Почему подсчет математическое ожидания полезен при ставках?

Отрицательное математическое ожидание не значит что мы будем всегда проигрывать. Все кэфы в букмекерах односторонние, и это значит если нам удастся переиграть букмекера, то мы сможем выиграть.

Как переиграть букмекера? Один из способов — это подсчет собственноручно всех вероятностей того или иного спортивного события. Рассчитывая вероятности событий сами, вы можете найти ошибку букмекера и умело ей воспользоватся. Это существенно повисит ваши шансы на выигрыш.

Пример: судя по коэффициентам шансы победы Вигана составляют 7.4%. Но если при ваших подсчетах Виган будет побеждать в 10% случаях, то наше ожидание от ставки на него увеличится до 3.26$.

Расчет математического ожидания дает нам дополнительную информацию о букмекерах. У большинства букмекеров математическое ожидание составляет -1$ при каждой ставке в 10$, и если вы найдете положительное математическое ожидание, то вы сможете обыграть такого букмекера.