Het concept van ingeschreven en centrale hoek

Laten we eerst het concept introduceren centrale hoek.

Opmerking 1

Merk dat op de graadmaat van een centrale hoek is gelijk aan de graadmaat van de boog waarop deze rust.

Laten we nu het concept van een ingeschreven hoek introduceren.

Definitie 2

Een hoek waarvan de top op een cirkel ligt en waarvan de zijden dezelfde cirkel snijden, wordt een ingeschreven hoek genoemd (figuur 2).

Figuur 2. Ingeschreven hoek

Ingeschreven hoekstelling

Stelling 1

De graadmaat van een ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de graadmaat van de boog waarop deze rust.

Bewijs.

Laten we een cirkel geven met het middelpunt in punt $O$. Laten we de ingeschreven hoek $ACB$ aangeven (Fig. 2). De volgende drie gevallen zijn mogelijk:

• Straal $CO$ valt samen met elke kant van de hoek. Laat dit de zijde $CB$ zijn (Fig. 3).

Figuur 3.

In dit geval is de boog $AB$ kleiner dan $(180)^(()^\circ )$, daarom is de centrale hoek $AOB$ gelijk aan de boog $AB$. Omdat $AO=OC=r$, is de driehoek $AOC$ gelijkbenig. Dit betekent dat de basishoeken $CAO$ en $ACO$ gelijk zijn aan elkaar. Volgens de stelling over de uitwendige hoek van een driehoek hebben we:

• Ray $CO$ verdeelt een binnenhoek in twee hoeken. Laat het de cirkel snijden in punt $D$ (Fig. 4).

Figuur 4.

Wij krijgen

• Straal $CO$ verdeelt de binnenhoek niet in twee hoeken en valt niet samen met een van de zijden ervan (Fig. 5).

Figuur 5.

Laten we de hoeken $ACD$ en $DCB$ afzonderlijk bekijken. Volgens wat werd bewezen in punt 1, krijgen we

Wij krijgen

De stelling is bewezen.

Laten we geven gevolgen uit deze stelling.

Gevolg 1: Ingeschreven hoeken die op dezelfde boog rusten, zijn gelijk aan elkaar.

Gevolg 2: Een ingeschreven hoek die een diameter insluit, is een rechte hoek.

Planimetrie is een tak van de meetkunde die de eigenschappen bestudeert platte figuren. Deze omvatten niet alleen iedereen bekende driehoeken, vierkanten, rechthoeken, maar ook rechte lijnen en hoeken. In de planimetrie zijn er ook concepten als hoeken in een cirkel: centraal en ingeschreven. Maar wat bedoelen ze?

Wat is een centrale hoek?

Om te begrijpen wat een centrale hoek is, moet je een cirkel definiëren. Een cirkel is de verzameling van alle punten die op gelijke afstand liggen van een bepaald punt (het middelpunt van de cirkel).

Het is erg belangrijk om het te onderscheiden van een cirkel. Je moet onthouden dat een cirkel een gesloten lijn is en dat een cirkel deel uitmaakt van een vlak dat erdoor wordt begrensd. Een veelhoek of een hoek kan in een cirkel worden ingeschreven.

Een centrale hoek is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel en waarvan de zijden de cirkel op twee punten snijden. De boog die een hoek begrenst door zijn snijpunten, wordt de boog genoemd waarop de gegeven hoek rust.

Laten we naar voorbeeld nr. 1 kijken.

In de afbeelding staat hoek AOB centraal, omdat het hoekpunt van de hoek en het middelpunt van de cirkel één punt O zijn. Het rust op de boog AB, die geen punt C bevat.

Hoe verschilt een ingeschreven hoek van een centrale hoek?

Naast centrale hoeken zijn er echter ook ingeschreven hoeken. Wat is hun verschil? Net als de centrale hoek rust de in de cirkel ingeschreven hoek op een bepaalde boog. Maar het hoekpunt valt niet samen met het middelpunt van de cirkel, maar ligt erop.

Laten we geven volgende voorbeeld.

Hoek ACB wordt een hoek genoemd die is ingeschreven in een cirkel met een middelpunt in punt O. Punt C behoort tot de cirkel, dat wil zeggen dat het erop ligt. De hoek rust op boog AB.

Om met succes met geometrische problemen om te kunnen gaan, is het niet voldoende om onderscheid te kunnen maken tussen ingeschreven en centrale hoeken. Om ze op te lossen, moet je in de regel precies weten hoe je de centrale hoek in een cirkel kunt vinden en de waarde ervan in graden kunt berekenen.

De centrale hoek is dus gelijk aan de graadmaat van de boog waarop deze rust.

In de afbeelding rust hoek AOB op boog AB, gelijk aan 66°. Dit betekent dat hoek AOB ook 66° is.

De centrale hoeken die worden ingesloten door gelijke bogen zijn dus gelijk.

In de figuur is boog DC gelijk aan boog AB. Dus hoek AOB gelijk aan hoek DOC.

Het lijkt misschien dat de hoek die in de cirkel is ingeschreven gelijk is aan de centrale hoek, die op dezelfde boog rust. Dit is echter een ernstige fout. Als je alleen maar naar de tekening kijkt en deze hoeken met elkaar vergelijkt, kun je zelfs zien dat hun mate van grootte zal hebben verschillende betekenissen. Dus wat is de ingeschreven hoek in een cirkel?

De graadmaat van een ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de boog waarop deze rust, of de helft van de centrale hoek als ze op dezelfde boog rusten.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld. Hoek ASV rust op een boog gelijk aan 66°.

Dit betekent hoek ACB = 66°: 2 = 33°

Laten we enkele consequenties van deze stelling bekijken.

• Ingeschreven hoeken zijn gelijk als ze op dezelfde boog, koorde of gelijke bogen zijn gebaseerd.
• Als ingeschreven hoeken op één koorde rusten, maar hun hoekpunten aan weerszijden ervan liggen, is de som van de gradenmaten van dergelijke hoeken 180°, aangezien in dit geval beide hoeken rusten op bogen waarvan de gradenmaten samen 360° bedragen (de hele cirkel), 360°: 2 = 180°
• Als een ingeschreven hoek gebaseerd is op de diameter van een bepaalde cirkel, is de graadmaat 90°, aangezien de diameter een boog omvat gelijk aan 180°, 180°: 2 = 90°
• Als de centrale en ingeschreven hoeken in een cirkel op dezelfde boog of koorde rusten, dan is de ingeschreven hoek gelijk aan de helft van de centrale hoek.

Waar kunnen problemen over dit onderwerp worden gevonden? Hun typen en oplossingen

Omdat de cirkel en zijn eigenschappen een van de belangrijkste onderdelen van de meetkunde zijn, en met name de planimetrie, zijn de ingeschreven en centrale hoeken in een cirkel een onderwerp dat uitgebreid en gedetailleerd wordt bestudeerd in schoolcursus. Problemen die verband houden met hun eigendommen worden voornamelijk gevonden staatsexamen(OGE) en het Unified State Exam (USE). Om deze problemen op te lossen, moet je in de regel de hoeken van een cirkel in graden vinden.

Hoeken gebaseerd op één boog

Dit type probleem is misschien wel een van de gemakkelijkste, omdat je om het op te lossen slechts twee eenvoudige eigenschappen hoeft te kennen: als beide hoeken zijn ingeschreven en op hetzelfde akkoord zijn gebaseerd, zijn ze gelijk, als een van hen centraal staat, dan is de overeenkomstige ingeschreven hoek is gelijk aan de helft ervan. Bij het oplossen ervan moet je echter uiterst voorzichtig zijn: soms is het moeilijk om deze eigenschap op te merken en lopen studenten dood bij het oplossen van zulke eenvoudige problemen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Taak nr. 1

Gegeven een cirkel met middelpunt in punt O. Hoek AOB is 54°. Zoek de graadmaat van hoek ASV.

Deze taak is in één actie opgelost. Het enige dat je nodig hebt om er snel het antwoord op te vinden, is opmerken dat de boog waarop beide hoeken rusten gemeenschappelijk is. Nadat u dit heeft gezien, kunt u een reeds bekende eigenschap toepassen. Hoek ACB is gelijk aan de helft van hoek AOB. Middelen,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Antwoord: 54°.

Hoeken die worden ingesloten door verschillende bogen van dezelfde cirkel

Soms geven de probleemomstandigheden niet direct de grootte aan van de boog waarop de gewenste hoek rust. Om het te berekenen, moet je de grootte van deze hoeken analyseren en vergelijken met de bekende eigenschappen van de cirkel.

Probleem 2

In een cirkel met het middelpunt in punt O is hoek AOC 120° en hoek AOB 30°. Vind de hoek van JOU.

Om te beginnen is het de moeite waard om te zeggen dat het mogelijk is om dit probleem op te lossen met behulp van de eigenschappen van gelijkbenige driehoeken, maar dit vereist een groter aantal wiskundige bewerkingen. Daarom zullen we hier een analyse van de oplossing geven met behulp van de eigenschappen van centrale en ingeschreven hoeken in een cirkel.

Hoek AOS rust dus op boog AC en staat centraal, wat betekent dat boog AC gelijk is aan hoek AOS.

Op dezelfde manier rust hoek AOB op boog AB.

Als je dit weet en de graadmaat van de hele cirkel (360°) kent, kun je gemakkelijk de grootte van de boog BC vinden.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

Het hoekpunt van hoek CAB, punt A, ligt op de cirkel. Dit betekent dat hoek CAB een ingeschreven hoek is en gelijk is aan de helft van boog NE.

Hoek CAB = 210°: 2 = 110°

Antwoord: 110°

Problemen gebaseerd op de relatie van bogen

Sommige problemen bevatten helemaal geen gegevens over hoekwaarden, dus ze moeten alleen worden gezocht op basis van bekende stellingen en eigenschappen van de cirkel.

Probleem 1

Zoek de hoek die is ingeschreven in de cirkel die het akkoord onderspant, gelijk aan de straal gegeven cirkel.

Als je mentaal lijnen tekent die de uiteinden van het segment verbinden met het midden van de cirkel, krijg je een driehoek. Nadat je het hebt onderzocht, kun je zien dat deze lijnen de stralen van de cirkel zijn, wat betekent dat alle zijden van de driehoek gelijk zijn. Het is bekend dat alle hoeken van een gelijkzijdige driehoek gelijk zijn aan 60°. Dit betekent dat de boog AB die het hoekpunt van de driehoek bevat, gelijk is aan 60°. Vanaf hier vinden we de boog AB waarop de gewenste hoek rust.

AB = 360° - 60° = 300°

Hoek ABC = 300°: 2 = 150°

Antwoord: 150°

Probleem 2

In een cirkel met een middelpunt in punt O hebben de bogen een verhouding van 3:7. Zoek de kleinste ingeschreven hoek.

Om dit op te lossen, laten we één deel aanduiden als X, dan is één boog respectievelijk gelijk aan 3X en de tweede is respectievelijk 7X. Omdat we weten dat de graadmaat van een cirkel 360° is, gaan we een vergelijking maken.

3X + 7X = 360°

Afhankelijk van de voorwaarde moet je een kleinere hoek vinden. Het is duidelijk dat als de grootte van de hoek recht evenredig is met de boog waarop deze rust, de gewenste (kleinere) hoek overeenkomt met een boog gelijk aan 3X.

Dit betekent dat de kleinere hoek (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54° is

Antwoord: 54°

In een cirkel met het middelpunt in punt O is hoek AOB 60° en is de lengte van de kleinere boog 50. Bereken de lengte van de grotere boog.

Om de lengte van een grotere boog te berekenen, moet u een verhouding creëren: hoe de kleinere boog zich verhoudt tot de grotere. Om dit te doen, berekenen we de grootte van beide bogen in graden. De kleinere boog is gelijk aan de hoek die erop rust. De graadmaat zal 60° zijn. De grote boog is gelijk aan het verschil tussen de graadmaat van de cirkel (deze is gelijk aan 360°, ongeacht andere gegevens) en de kleine boog.

De grote boog is 360° - 60° = 300°.

Aangezien 300°: 60° = 5, is de grotere boog 5 keer groter dan de kleinere.

Grote boog = 50 * 5 = 250

Er zijn dus natuurlijk andere benaderingen om soortgelijke problemen op te lossen, maar ze zijn allemaal op de een of andere manier gebaseerd op de eigenschappen van centrale en ingeschreven hoeken, driehoeken en cirkels. Om ze met succes op te lossen, moet je de tekening zorgvuldig bestuderen en vergelijken met de gegevens van het probleem, en je theoretische kennis in de praktijk kunnen toepassen.

Gemiddeld niveau

Cirkel en ingeschreven hoek. Visuele gids (2019)

Basisvoorwaarden.

Hoe goed herinner jij je alle namen die bij de cirkel horen? Voor het geval dat, laten we u eraan herinneren - kijk naar de foto's - fris uw kennis op.

Nou, allereerst - Het middelpunt van een cirkel is een punt waarvandaan de afstanden tot alle punten op de cirkel hetzelfde zijn.

ten tweede - radius - een lijnstuk dat het middelpunt en een punt op de cirkel verbindt.

Er zijn veel stralen (zoveel als er punten op de cirkel zijn), maar Alle stralen hebben dezelfde lengte.

Soms kort radius ze noemen het precies lengte van het segment‘het middelpunt is een punt op de cirkel’, en niet het segment zelf.

En dit is wat er gebeurt als je twee punten op een cirkel met elkaar verbindt? Ook een segment?

Dit segment wordt dus genoemd "akkoord".

Net als bij de straal is de diameter vaak de lengte van een segment dat twee punten op een cirkel verbindt en door het middelpunt gaat. Hoe zijn diameter en straal trouwens gerelateerd? Kijk goed. Natuurlijk de straal is gelijk aan de helft van de diameter.

Naast akkoorden zijn er ook secans.

Weet je nog het eenvoudigste?

De centrale hoek is de hoek tussen twee stralen.

En nu - de ingeschreven hoek

Ingeschreven hoek - de hoek tussen twee akkoorden die elkaar snijden in een punt op een cirkel.

In dit geval zeggen ze dat de ingeschreven hoek op een boog (of op een akkoord) rust.

Kijk naar de foto:

Metingen van bogen en hoeken.

Omtrek. Bogen en hoeken worden gemeten in graden en radialen. Eerst over graden. Er zijn geen problemen met hoeken - je moet leren hoe je de boog in graden kunt meten.

De graadmaat (booggrootte) is de waarde (in graden) van de overeenkomstige centrale hoek

Wat betekent het woord ‘passend’ hier? Laten we goed kijken:

Zie je twee bogen en twee centrale hoeken? Welnu, een grotere boog komt overeen met een grotere hoek (en het is prima dat deze groter is), en een kleinere boog komt overeen met een kleinere hoek.

We waren het er dus over eens: de boog bevat hetzelfde aantal graden als de overeenkomstige centrale hoek.

En nu over het enge ding: over radialen!

Wat voor soort beest is deze “radiaal”?

Voorstellen: Radialen zijn een manier om hoeken te meten... in stralen!

Een hoek in radialen is een centrale hoek waarvan de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel.

Dan rijst de vraag: hoeveel radialen zijn er in een rechte hoek?

Met andere woorden: hoeveel stralen “passen” in een halve cirkel? Of op een andere manier: hoeveel keer is de lengte van een halve cirkel groter dan de straal?

Wetenschappers stelden deze vraag al in het oude Griekenland.

En zo ontdekten ze na lang zoeken dat de verhouding van de omtrek tot de straal niet uitgedrukt wil worden in “menselijke” getallen zoals, etc.

En het is niet eens mogelijk om deze houding via wortels tot uitdrukking te brengen. Dat wil zeggen, het blijkt dat het onmogelijk is om te zeggen dat een halve cirkel keer of keer groter is dan de straal! Kun je je voorstellen hoe geweldig het was voor mensen om dit voor de eerste keer te ontdekken?! Voor de verhouding tussen de lengte van een halve cirkel en de straal waren ‘normale’ getallen niet voldoende. Ik moest een letter invoeren.

Dus - dit is een getal dat de verhouding uitdrukt tussen de lengte van de halve cirkel en de straal.

Nu kunnen we de vraag beantwoorden: hoeveel radialen zijn er in een rechte hoek? Het bevat radialen. Juist omdat de helft van de cirkel keer groter is dan de straal.

Oude (en niet zo oude) mensen door de eeuwen heen (!) geprobeerd het nauwkeuriger te berekenen mysterieus nummer, is het beter om het (althans bij benadering) uit te drukken in ‘gewone’ getallen. En nu zijn we ongelooflijk lui - twee tekens na een drukke dag zijn genoeg voor ons, dat zijn we gewend

Denk er eens over na, dit betekent bijvoorbeeld dat de lengte van een cirkel met een straal van één ongeveer gelijk is, maar deze exacte lengte is simpelweg onmogelijk om op te schrijven met een "menselijk" getal - je hebt een letter nodig. En dan zal deze omtrek gelijk zijn. En natuurlijk is de omtrek van de straal gelijk.

Laten we teruggaan naar radialen.

We hebben al ontdekt dat een rechte hoek radialen bevat.

Wat we hebben:

Dat betekent dat ik blij ben, dat wil zeggen: ik ben blij. Op dezelfde manier wordt een plaat met de meest populaire hoeken verkregen.

De relatie tussen de waarden van de ingeschreven en centrale hoeken.

Er is een verbazingwekkend feit:

De ingeschreven hoek is de helft van de overeenkomstige centrale hoek.

Kijk hoe deze verklaring er op de foto uitziet. Een “corresponderende” centrale hoek is een hoek waarvan de uiteinden samenvallen met de uiteinden van de ingeschreven hoek, en het hoekpunt zich in het midden bevindt. En tegelijkertijd moet de “corresponderende” centrale hoek naar hetzelfde akkoord () “kijken” als de ingeschreven hoek.

Waarom is dit zo? Laten we eerst eens naar een eenvoudig geval kijken. Laat een van de akkoorden door het midden gaan. Zo gebeurt het soms, toch?

Wat gebeurt hier? Laten we eens overwegen. Het is tenslotte gelijkbenig en - stralen. Dus (noemde ze).

Laten we nu eens kijken. Dit is de buitenste hoek voor! We herinneren ons dat een externe hoek gelijk is aan de som van twee interne hoeken die er niet aan grenzen, en schrijven:

Dat is! Onverwacht effect. Maar er is ook een centrale hoek voor de ingeschrevenen.

Dit betekent dat ze voor dit geval hebben bewezen dat de centrale hoek tweemaal de ingeschreven hoek is. Maar het is een pijnlijk speciaal geval: is het niet waar dat het akkoord niet altijd dwars door het midden gaat? Maar het is oké, dit specifieke geval zal ons veel helpen. Kijk: tweede geval: laat het midden binnen liggen.

Laten we dit doen: teken de diameter. En dan... zien we twee foto's die in het eerste geval al geanalyseerd waren. Daarom hebben wij dat al

Dit betekent (in de tekening a)

Nou, ik ben gebleven laatste geval: midden buiten de hoek.

We doen hetzelfde: teken de diameter door het punt. Alles is hetzelfde, maar in plaats van een som is er een verschil.

Dat is het!

Laten we nu twee belangrijke en zeer belangrijke consequenties trekken uit de bewering dat de ingeschreven hoek de helft is van de centrale hoek.

Gevolg 1

Alle ingeschreven hoeken op basis van één boog zijn gelijk aan elkaar.

Wij illustreren:

Er zijn talloze ingeschreven hoeken gebaseerd op dezelfde boog (we hebben deze boog), ze zien er misschien heel anders uit, maar ze hebben allemaal dezelfde centrale hoek (), wat betekent dat al deze ingeschreven hoeken onderling gelijk zijn.

Gevolg 2

De hoek die wordt ingesloten door de diameter is een rechte hoek.

Kijk: welke hoek staat centraal?

Zeker, . Maar hij is gelijk! Nou ja, daarom (evenals nog veel meer ingeschreven hoeken die erop rusten) en is gelijk.

Hoek tussen twee akkoorden en secansen

Maar wat als de hoek waarin we geïnteresseerd zijn NIET ingeschreven en NIET centraal is, maar bijvoorbeeld zo:

of zoals dit?

Is het mogelijk om dit op de een of andere manier uit te drukken via enkele centrale hoeken? Het blijkt dat het mogelijk is. Kijk: wij zijn geïnteresseerd.

a) (als buitenhoek voor). Maar - ingeschreven, rust op de boog -. - ingeschreven, rust op de boog - .

Voor schoonheid zeggen ze:

De hoek tussen de akkoorden is gelijk aan de helft van de som van de hoekwaarden van de bogen die in deze hoek zijn ingesloten.

Ze schrijven dit kortheidshalve, maar bij het gebruik van deze formule moet je natuurlijk rekening houden met de centrale hoeken

b) En nu - "buiten"! Hoe kan dit? Ja, bijna hetzelfde! Alleen nu (we passen opnieuw de eigenschap van de externe hoek toe). Dat is nu.

En dat betekent... Laten we schoonheid en beknoptheid toevoegen aan de noten en bewoordingen:

De hoek tussen de secans is gelijk aan de helft van het verschil in de hoekwaarden van de bogen die in deze hoek zijn ingesloten.

Welnu, nu ben je gewapend met alle basiskennis over hoeken gerelateerd aan een cirkel. Ga je gang, ga de uitdagingen aan!

CIRKEL EN GEINSINEERDE HOEK. MIDDEN NIVEAU

Zelfs een vijfjarig kind weet wat een cirkel is, toch? Wiskundigen hebben, zoals altijd, een diepzinnige definitie over deze kwestie, maar we zullen die niet geven (zie), maar laten we ons herinneren hoe de punten, lijnen en hoeken worden genoemd die bij een cirkel horen.

Belangrijke termen

Nou, allereerst:

Ten tweede:

Er is nog een andere geaccepteerde uitdrukking: ‘het akkoord trekt de boog samen’. Hier in de figuur onderspant het akkoord bijvoorbeeld de boog. En als een akkoord plotseling door het midden gaat, heeft het een speciale naam: “diameter”.

Hoe zijn diameter en straal trouwens gerelateerd? Kijk goed. Natuurlijk

En nu - de namen voor de hoeken.

Natuurlijk, nietwaar? De zijkanten van de hoek strekken zich uit vanuit het midden, wat betekent dat de hoek centraal staat.

Hier ontstaan ​​soms moeilijkheden. Let op - GEEN ENKELE hoek binnen een cirkel is ingeschreven, maar slechts één waarvan het hoekpunt op de cirkel zelf “zit”.

Laten we het verschil op de foto's zien:

Een andere manier waarop ze zeggen:

Er is hier één lastig punt. Wat is de ‘overeenkomende’ of ‘eigen’ centrale hoek? Gewoon een hoek met het hoekpunt in het midden van de cirkel en de uiteinden aan de uiteinden van de boog? Niet echt. Kijk naar de tekening.

Eén ervan ziet er echter niet eens uit als een hoek: hij is groter. Maar een driehoek kan niet meer hoeken hebben, maar een cirkel wel! Dus: de kleinere boog AB komt overeen met een kleinere hoek (oranje), en de grotere boog komt overeen met een grotere. Net zo, nietwaar?

De relatie tussen de grootten van de ingeschreven en centrale hoeken

Onthoud deze zeer belangrijke verklaring:

In schoolboeken schrijven ze ditzelfde feit graag als volgt:

Is het niet waar dat de formulering eenvoudiger is met een centrale hoek?

Maar laten we toch een overeenkomst zoeken tussen de twee formuleringen, en tegelijkertijd leren om in de tekeningen de ‘overeenkomende’ centrale hoek te vinden en de boog waarop de ingeschreven hoek ‘rust’.

Kijk: hier is een cirkel en een ingeschreven hoek:

Waar is de ‘corresponderende’ centrale hoek?

Laten we nog eens kijken:

Wat is de regel?

Maar! In dit geval is het belangrijk dat de ingeschreven en centrale hoeken vanaf één kant naar de boog "kijken". Hier bijvoorbeeld:

Vreemd genoeg, blauw! Omdat de boog lang is, langer dan de helft van de cirkel! Raak dus nooit in de war!

Welk gevolg kan worden afgeleid uit de ‘halfheid’ van de ingeschreven hoek?

Maar bijvoorbeeld:

Hoek ingesloten door diameter

Je hebt al gemerkt dat wiskundigen graag over dezelfde dingen praten. in verschillende woorden? Waarom hebben ze dit nodig? Zie je, de taal van de wiskunde, hoewel formeel, leeft, en daarom wil je het, net als in de gewone taal, elke keer op een manier zeggen die handiger is. Welnu, we hebben al gezien wat ‘een hoek rust op een boog’ betekent. En stel je voor dat hetzelfde beeld ‘een hoek rust op een akkoord’ wordt genoemd. Welke? Ja, natuurlijk, voor degene die deze boog strakker maakt!

Wanneer is het handiger om op een akkoord te vertrouwen dan op een boog?

Nou ja, vooral als dit akkoord een diameter heeft.

Er is een verrassend eenvoudige, mooie en nuttige verklaring voor zo'n situatie!

Kijk: hier is de cirkel, de diameter en de hoek die erop rust.

CIRKEL EN GEINSINEERDE HOEK. KORT OVER DE BELANGRIJKSTE DINGEN

1. Basisconcepten.

3. Metingen van bogen en hoeken.

Een hoek in radialen is een centrale hoek waarvan de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel.

Dit is een getal dat de verhouding uitdrukt tussen de lengte van een halve cirkel en zijn straal.

De omtrek van de straal is gelijk aan.

4. De relatie tussen de waarden van de ingeschreven en centrale hoeken.

Hoek ABC is een ingeschreven hoek. Het rust op de boog AC, ingesloten tussen de zijkanten (Fig. 330).

Stelling. Een ingeschreven hoek wordt gemeten door de helft van de boog waarop deze zich uitstrekt.

Dit moet op deze manier worden begrepen: een ingeschreven hoek bevat evenveel hoekgraden, minuten en seconden als er booggraden, minuten en seconden zijn in de helft van de boog waarop hij rust.

Bij het bewijzen van deze stelling moeten drie gevallen in aanmerking worden genomen.

Eerste geval. Het middelpunt van de cirkel ligt aan de kant van de ingeschreven hoek (Fig. 331).

Stel dat ∠ABC een ingeschreven hoek is en dat het middelpunt van de cirkel O op zijde BC ligt. Er moet worden bewezen dat deze wordt gemeten met een halve boog AC.

Verbind punt A met het middelpunt van de cirkel. We verkrijgen een gelijkbenige \(\Delta\)AOB, waarin AO = OB, als de stralen van dezelfde cirkel. Daarom is ∠A = ∠B.

∠AOC ligt buiten driehoek AOB, dus ∠AOC = ∠A + ∠B, en aangezien de hoeken A en B gelijk zijn, is ∠B 1/2 ∠AOC.

Maar ∠AOC wordt gemeten door boog AC, daarom wordt ∠B gemeten door de helft van boog AC.

Als bijvoorbeeld \(\breve(AC)\) 60°18' bevat, dan bevat ∠B 30°9'.

Tweede geval. Het middelpunt van de cirkel ligt tussen de zijden van de ingeschreven hoek (Fig. 332).

Laat ∠ABD een ingeschreven hoek zijn. Het middelpunt van cirkel O ligt tussen de zijkanten. We moeten bewijzen dat ∠ABD wordt gemeten over de helft van de boog AD.

Om dit te bewijzen, tekenen we de diameter BC. Hoek ABD is opgesplitst in twee hoeken: ∠1 en ∠2.

∠1 wordt gemeten met een halve boog AC, en ∠2 wordt gemeten met een halve boog CD, daarom wordt de gehele ∠ABD gemeten met 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve (CD)\), d.w.z. halve boog AD.

Als \(\breve(AD)\) bijvoorbeeld 124° bevat, dan bevat ∠B 62°.

Derde geval. Het middelpunt van de cirkel ligt buiten de ingeschreven hoek (Fig. 333).

Laat ∠MAD een ingeschreven hoek zijn. Het middelpunt van cirkel O ligt buiten de hoek. We moeten bewijzen dat ∠MAD wordt gemeten met de helft van de boog MD.

Om dit te bewijzen, tekenen we de diameter AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Maar ∠MAB meet 1/2 \(\breve(MB)\), en ∠DAB meet 1/2 \(\breve(DB)\).

Daarom meet ∠MAD 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), d.w.z. 1/2 \(\breve(MD)\).

Als \(\breve(MD)\) bijvoorbeeld 48° 38" bevat, dan bevat ∠MAD 24° 19' 8".

Gevolgen
1. Alle ingeschreven hoeken die dezelfde boog insluiten, zijn gelijk aan elkaar, aangezien ze worden gemeten door de helft van dezelfde boog (Afb. 334, a).

2. Een ingeschreven hoek die wordt ingesloten door een diameter, is een rechte hoek, aangezien deze een halve cirkel omvat. Een halve cirkel bevat 180 booggraden, wat betekent dat de hoek op basis van de diameter 90 booggraden bevat (Fig. 334, b).

Ingeschreven hoek, theorie van het probleem. Vrienden! In dit artikel zullen we het hebben over taken waarvoor je de eigenschappen van een ingeschreven hoek moet kennen. Dit is een hele groep taken, ze zijn opgenomen in het Unified State Exam. De meeste kunnen heel eenvoudig in één handeling worden opgelost.

Er zijn moeilijkere problemen, maar die zullen voor jou niet veel problemen opleveren; je moet de eigenschappen van een ingeschreven hoek kennen. Geleidelijk zullen we alle prototypes van taken analyseren, ik nodig je uit voor de blog!

Nu de nodige theorie. Laten we ons herinneren wat een centrale en ingeschreven hoek, een akkoord, een boog is, waarop deze hoeken rusten:

De centrale hoek in een cirkel is een vlakke hoek mettop in het midden.

Het deel van een cirkel dat zich binnen een vlakke hoek bevindteen cirkelboog genoemd.

De graadmaat van een cirkelboog wordt de graadmaat genoemdde overeenkomstige centrale hoek.

Er wordt gezegd dat een hoek in een cirkel is ingeschreven als het hoekpunt van de hoek ligtop een cirkel, en de zijden van de hoek snijden deze cirkel.

Een segment dat twee punten op een cirkel verbindt, wordt genoemdakkoord. Het grootste akkoord gaat door het midden van de cirkel en wordt genoemddiameter.

Om problemen op te lossen waarbij hoeken in een cirkel zijn ingeschreven,je moet de volgende eigenschappen kennen:

1. De ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de centrale hoek gebaseerd op dezelfde boog.

2. Alle ingeschreven hoeken die dezelfde boog onderspannen, zijn gelijk.

3. Alle ingeschreven hoeken die op hetzelfde akkoord zijn gebaseerd en waarvan de hoekpunten aan dezelfde kant van dit akkoord liggen, zijn gelijk.

4. Elk paar hoeken gebaseerd op hetzelfde akkoord, waarvan de hoekpunten aan weerszijden van het akkoord liggen, is samen 180°.

Gevolg: de tegenovergestelde hoeken van een vierhoek ingeschreven in een cirkel zijn samen 180 graden.

5. Alle ingeschreven hoeken die door een diameter worden ingesloten, zijn rechte hoeken.

Over het algemeen is deze eigenschap een gevolg van eigenschap (1); dit is het speciale geval ervan. Kijk - de centrale hoek is gelijk aan 180 graden (en deze uitgevouwen hoek is niets meer dan een diameter), wat betekent dat volgens de eerste eigenschap de ingeschreven hoek C gelijk is aan de helft ervan, dat wil zeggen 90 graden.

Als u deze eigenschap kent, kunt u veel problemen oplossen en kunt u vaak onnodige berekeningen vermijden. Als je het goed onder de knie hebt, kun je meer dan de helft van dit soort problemen mondeling oplossen. Twee conclusies die kunnen worden getrokken:

Gevolg 1: als een driehoek in een cirkel is ingeschreven en een van zijn zijden valt samen met de diameter van deze cirkel, dan is de driehoek rechthoekig (hoekpunt rechte hoek ligt op de cirkel).

Gevolg 2: het centrum van het beschrevene rechthoekige driehoek cirkel valt samen met het midden van zijn hypotenusa.

Veel prototypes van stereometrische problemen worden ook opgelost door deze eigenschap en deze consequenties te gebruiken. Onthoud het feit zelf: als de diameter van een cirkel een zijde is van een ingeschreven driehoek, dan is deze driehoek rechthoekig (de hoek tegenover de diameter is 90 graden). Alle andere conclusies en consequenties kun je zelf trekken; je hoeft ze niet te leren.

In de regel wordt de helft van de problemen met een ingeschreven hoek gegeven met een schets, maar zonder symbolen. Om het redeneerproces bij het oplossen van problemen (hieronder in het artikel) te begrijpen, worden notaties voor hoekpunten (hoeken) geïntroduceerd. U hoeft dit niet te doen tijdens het Unified State Examination.Laten we de taken eens bekijken:

Wat is de waarde van een scherpe ingeschreven hoek, ingesloten door een koorde gelijk aan de straal van de cirkel? Geef je antwoord in graden.

Laten we een centrale hoek construeren voor een gegeven ingeschreven hoek en de hoekpunten aanduiden:

Volgens de eigenschap van een hoek ingeschreven in een cirkel:

Hoek AOB is gelijk aan 60 0, aangezien driehoek AOB gelijkzijdig is, en in gelijkzijdige driehoek alle hoeken zijn gelijk aan 60 0. De zijden van de driehoek zijn gelijk, omdat de voorwaarde zegt dat het akkoord gelijk is aan de straal.

De ingeschreven hoek ACB is dus gelijk aan 30 0.

Antwoord: 30

Zoek het akkoord ondersteund door een hoek van 30 0, ingeschreven in een cirkel met straal 3.

Dit is in wezen het omgekeerde probleem (van het vorige). Laten we de centrale hoek construeren.

Het is twee keer zo groot als de ingeschreven, dat wil zeggen, hoek AOB is gelijk aan 60 0. Hieruit kunnen we concluderen dat driehoek AOB gelijkzijdig is. Het akkoord is dus gelijk aan de straal, dat wil zeggen drie.

Antwoord: 3

De straal van de cirkel is 1. Vind de grootte van de stompe ingeschreven hoek die wordt ingesloten door het akkoord, gelijk aan de wortel van twee. Geef je antwoord in graden.

Laten we de centrale hoek construeren:

Als we de straal en het akkoord kennen, kunnen we de centrale hoek ASV vinden. Dit kan gedaan worden met behulp van de cosinusstelling. Als we de centrale hoek kennen, kunnen we gemakkelijk de ingeschreven hoek ACB vinden.

Cosinusstelling: het kwadraat van elke zijde van een driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden, zonder tweemaal het product van deze zijden door de cosinus van de hoek ertussen.

Daarom is de tweede centrale hoek 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Hoek ACB is, volgens de eigenschap van een ingeschreven hoek, gelijk aan de helft ervan, dat wil zeggen 135 graden.

Antwoord: 135

Zoek het akkoord dat wordt ingesloten door een hoek van 120 graden, ingeschreven in een cirkel met een straalwortel van drie.

Laten we de punten A en B verbinden met het middelpunt van de cirkel. Laten we het aanduiden als O:

We kennen de straal en de ingeschreven hoek ASV. We kunnen de centrale hoek AOB vinden (groter dan 180 graden) en vervolgens de hoek AOB in driehoek AOB vinden. En bereken vervolgens AB met behulp van de cosinusstelling.

Volgens de eigenschap van een ingeschreven hoek zal de centrale hoek AOB (die groter is dan 180 graden) gelijk zijn aan tweemaal de ingeschreven hoek, dat wil zeggen 240 graden. Dit betekent dat hoek AOB in driehoek AOB gelijk is aan 360 0 – 240 0 = 120 0.

Volgens de cosinusstelling:

Antwoord: 3

Zoek de ingeschreven hoek die wordt ingesloten door een boog die 20% van de cirkel bedraagt. Geef je antwoord in graden.

Volgens de eigenschap van een ingeschreven hoek is deze de helft van de centrale hoek gebaseerd op dezelfde boog, in dit geval hebben we het over boog AB.

Er wordt gezegd dat boog AB 20 procent van de omtrek bedraagt. Dit betekent dat de centrale hoek AOB ook 20 procent van 360 0 bedraagt.*Een cirkel is een hoek van 360 graden. Middelen,

De ingeschreven hoek ACB is dus 36 graden.

Antwoord: 36

Boog van een cirkel A.C., zonder punt B, bedraagt ​​200 graden. En de boog van een cirkel BC, die geen punt bevat A, bedraagt ​​80 graden. Zoek de ingeschreven hoek ACB. Geef je antwoord in graden.

Laten we voor de duidelijkheid de bogen aanduiden waarvan de hoekmaten zijn gegeven. Boog overeenkomend met 200 graden – blauw, de boog die overeenkomt met 80 graden is rood, het resterende deel van de cirkel is geel.

De graadmaat van de boog AB (geel), en dus de centrale hoek AOB, is dus: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

De ingeschreven hoek ACB is de helft van de centrale hoek AOB, dat wil zeggen gelijk aan 40 graden.

Antwoord: 40

Wat is de ingeschreven hoek die wordt ingesloten door de diameter van de cirkel? Geef je antwoord in graden.