Trigonometrische functies voor het oplossen van voorbeelden. Basismethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

De relaties tussen de basistrigonometrische functies - sinus, cosinus, tangens en cotangens - worden gegeven trigonometrische formules. En aangezien er nogal wat verbindingen zijn tussen goniometrische functies, verklaart dit de overvloed aan goniometrische formules. Sommige formules verbinden trigonometrische functies van dezelfde hoek, andere - functies van een meervoudige hoek, andere - stellen je in staat de graad te verkleinen, ten vierde - drukken alle functies uit via de raaklijn van een halve hoek, enz.

In dit artikel zullen we alle belangrijkste op volgorde zetten trigonometrische formules, die voldoende zijn om de overgrote meerderheid van trigonometrieproblemen op te lossen. Voor het gemak van het onthouden en gebruiken zullen we ze per doel groeperen en in tabellen invoeren.

Paginanavigatie.

Fundamentele trigonometrische identiteiten

Basis trigonometrische identiteiten definieer de relatie tussen sinus, cosinus, tangens en cotangens van één hoek. Ze volgen uit de definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens, evenals uit het concept van de eenheidscirkel. Ze stellen je in staat er één uit te drukken trigonometrische functie via een ander.

Zie het artikel voor een gedetailleerde beschrijving van deze trigonometrieformules, hun afleiding en toepassingsvoorbeelden.

Reductieformules

Reductieformules volgen uit de eigenschappen van sinus, cosinus, tangens en cotangens, dat wil zeggen dat ze de eigenschap van periodiciteit van trigonometrische functies weerspiegelen, de eigenschap van symmetrie, evenals de eigenschap van verschuiving over een bepaalde hoek. Met deze trigonometrische formules kunt u overstappen van het werken met willekeurige hoeken naar het werken met hoeken variërend van nul tot 90 graden.

De grondgedachte voor deze formules, een geheugensteuntje om ze te onthouden en voorbeelden van hun toepassing kunnen in het artikel worden bestudeerd.

Formules voor optelling

Trigonometrische optelformules laat zien hoe goniometrische functies van de som of het verschil van twee hoeken worden uitgedrukt in termen van goniometrische functies van die hoeken. Deze formules dienen als basis voor het afleiden van de volgende trigonometrische formules.

Formules voor dubbel, drievoudig, enz. hoek

Formules voor dubbel, drievoudig, enz. hoek (ze worden ook formules voor meerdere hoeken genoemd) laten zien hoe trigonometrische functies van dubbel, drievoudig, enz. hoeken () worden uitgedrukt in termen van goniometrische functies van een enkele hoek. Hun afleiding is gebaseerd op optelformules.

Meer gedetailleerde informatie wordt verzameld in de artikelformules voor dubbel, drievoudig, enz. hoek

Formules voor halve hoeken

Formules voor halve hoeken laat zien hoe trigonometrische functies van een halve hoek worden uitgedrukt in termen van de cosinus van een hele hoek. Deze trigonometrische formules volgen uit de formules voor dubbele hoeken.

Hun conclusie en toepassingsvoorbeelden zijn te vinden in het artikel.

Formules voor graadreductie

Trigonometrische formules voor het verminderen van graden zijn bedoeld om de overgang van te vergemakkelijken natuurlijke graden trigonometrische functies tot sinussen en cosinussen tot de eerste graad, maar met meerdere hoeken. Met andere woorden, ze stellen u in staat de machten van trigonometrische functies tot de eerste terug te brengen.

Formules voor de som en het verschil van goniometrische functies

Hoofddoel formules voor de som en het verschil van goniometrische functies is om naar het product van functies te gaan, wat erg handig is bij het vereenvoudigen van goniometrische uitdrukkingen. Deze formules worden ook veel gebruikt bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen, omdat je hiermee de som en het verschil van sinussen en cosinussen kunt ontbinden.

Formules voor het product van sinus, cosinus en sinus voor cosinus

De overgang van het product van goniometrische functies naar een som of verschil wordt uitgevoerd met behulp van de formules voor het product van sinussen, cosinussen en sinus voor cosinus.

Bashmakov M.I. Algebra en het begin van analyse: leerboek. voor 10-11 klassen. gem. school - 3e druk. - M.: Onderwijs, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra en het begin van de analyse: Proc. voor 10-11 klassen. algemeen onderwijs instellingen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn en anderen; Ed. A. N. Kolmogorov - 14e druk. M.: Onderwijs, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan): Proc. toelage.- M.; Hoger school, 1984.-351 p., ill.

Auteursrecht door slimme studenten

Alle rechten voorbehouden.
Beschermd door auteursrechtwetgeving. Geen enkel deel van www.site, inclusief interne materialen en uiterlijk, mag in welke vorm dan ook worden gereproduceerd of gebruikt zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de houder van het auteursrecht.

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle problemen 1-13 Profiel Unified State Examination in de wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10 t/m 11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle manieren oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.

Een les in het geïntegreerd toepassen van kennis.

Lesdoelstellingen.

Bekijk verschillende methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.
Het ontwikkelen van de creatieve vaardigheden van studenten door vergelijkingen op te lossen.
Studenten aanmoedigen tot zelfcontrole, wederzijdse controle en zelfanalyse van hun onderwijsactiviteiten.

Uitrusting: scherm, projector, referentiemateriaal.

Lesvoortgang

Inleidend gesprek.

De belangrijkste methode voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen is ze terug te brengen tot hun eenvoudigste vorm. In dit geval worden de gebruikelijke methoden gebruikt, bijvoorbeeld factorisatie, evenals technieken die alleen worden gebruikt voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Er zijn nogal wat van deze technieken, bijvoorbeeld verschillende trigonometrische substituties, hoektransformaties, transformaties van trigonometrische functies. De willekeurige toepassing van trigonometrische transformaties vereenvoudigt de vergelijking meestal niet, maar compliceert deze catastrofaal. Om in te sporten algemene schets plan voor het oplossen van de vergelijking, schets een manier om de vergelijking tot de eenvoudigste terug te brengen, je moet eerst de hoeken analyseren - de argumenten van de trigonometrische functies die in de vergelijking zijn opgenomen.

Vandaag zullen we het hebben over methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Met de correct gekozen methode kunt u de oplossing vaak aanzienlijk vereenvoudigen, dus alle methoden die we hebben bestudeerd moeten altijd binnen uw aandachtsgebied worden gehouden om het probleem op te lossen goniometrische vergelijkingen de meest geschikte methode.

II. (Met behulp van een projector herhalen we de methoden voor het oplossen van vergelijkingen.)

1. Methode voor het reduceren van een trigonometrische vergelijking tot een algebraïsche vergelijking.

Het is noodzakelijk om alle trigonometrische functies via één uit te drukken, met hetzelfde argument. Dit kan worden gedaan met behulp van de fundamentele trigonometrische identiteit en de gevolgen ervan. We verkrijgen een vergelijking met één goniometrische functie. Door het als een nieuwe onbekende te beschouwen, verkrijgen we een algebraïsche vergelijking. We vinden de wortels ervan en keren terug naar het oude onbekende, waarbij we de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen oplossen.

2. Factorisatiemethode.

Om hoeken te veranderen zijn formules voor reductie, som en verschil van argumenten vaak nuttig, evenals formules voor het omzetten van de som (verschil) van goniometrische functies in een product en vice versa.

zonde x + zonde 3x = zonde 2x + zonde4x

3. Methode voor het introduceren van een extra hoek.

4. Methode voor het gebruik van universele vervanging.

Vergelijkingen van de vorm F(sinx, cosx, tanx) = 0 worden gereduceerd tot algebraïsch met behulp van een universele trigonometrische substitutie

Sinus, cosinus en tangens uitdrukken in termen van de tangens van een halve hoek. Deze techniek kan leiden tot een vergelijking van hogere orde. Waarvoor de oplossing lastig is.

Concept van het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Om een goniometrische vergelijking op te lossen, converteert u deze naar een of meer goniometrische basisvergelijkingen. Het oplossen van een goniometrische vergelijking komt uiteindelijk neer op het oplossen van de vier fundamentele goniometrische vergelijkingen.

Het oplossen van elementaire goniometrische vergelijkingen.

Er zijn vier soorten basistrigonometrische vergelijkingen:
zonde x = een; cos x = een
bruin x = een; ctg x = een
Bij het oplossen van fundamentele trigonometrische vergelijkingen wordt gekeken naar verschillende x-posities op de eenheidscirkel, en wordt er ook een conversietabel (of rekenmachine) gebruikt.
Voorbeeld 1. zonde x = 0,866. Met behulp van een conversietabel (of rekenmachine) krijgt u het antwoord: x = π/3. De eenheidscirkel geeft een ander antwoord: 2π/3. Onthoud: alle trigonometrische functies zijn periodiek, wat betekent dat hun waarden worden herhaald. De periodiciteit van sin x en cos x is bijvoorbeeld 2πn, en de periodiciteit van tg x en ctg x is πn. Daarom wordt het antwoord als volgt geschreven:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Voorbeeld 2. cos x = -1/2. Met behulp van een conversietabel (of rekenmachine) krijgt u het antwoord: x = 2π/3. De eenheidscirkel geeft een ander antwoord: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Voorbeeld 3. tg (x - π/4) = 0.
Antwoord: x = π/4 + πn.
Voorbeeld 4. ctg 2x = 1,732.
Antwoord: x = π/12 + πn.

Transformaties gebruikt bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Om trigonometrische vergelijkingen te transformeren, worden algebraïsche transformaties gebruikt (factorisatie, reductie homogene leden enz.) en trigonometrische identiteiten.
Voorbeeld 5: Met behulp van trigonometrische identiteiten wordt de vergelijking sin x + sin 2x + sin 3x = 0 omgezet naar de vergelijking 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. De volgende trigonometrische basisvergelijkingen moeten worden opgelost: cos x = 0; zonde(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hoeken zoeken door bekende waarden functies.
- Voordat u leert hoe u goniometrische vergelijkingen oplost, moet u leren hoe u hoeken kunt vinden met behulp van bekende functiewaarden. Dit kan gedaan worden met behulp van een conversietabel of een rekenmachine.
- Voorbeeld: cos x = 0,732. De rekenmachine geeft het antwoord x = 42,95 graden. De eenheidscirkel geeft extra hoeken, waarvan de cosinus ook 0,732 is.
Leg de oplossing op de eenheidscirkel opzij.
- U kunt oplossingen voor een goniometrische vergelijking op de eenheidscirkel uitzetten. Oplossingen voor een trigonometrische vergelijking op de eenheidscirkel zijn de hoekpunten van een regelmatige veelhoek.
- Voorbeeld: De oplossingen x = π/3 + πn/2 op de eenheidscirkel vertegenwoordigen de hoekpunten van het vierkant.
- Voorbeeld: De oplossingen x = π/4 + πn/3 op de eenheidscirkel vertegenwoordigen de hoekpunten van een regelmatige zeshoek.
Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.
- Als een bepaalde goniometrische vergelijking slechts één goniometrische functie bevat, los die vergelijking dan op als een goniometrische basisvergelijking. Als een gegeven vergelijking twee of meer trigonometrische functies bevat, zijn er 2 methoden om een dergelijke vergelijking op te lossen (afhankelijk van de mogelijkheid van transformatie).
  - Methode 1.
- Transformeer deze vergelijking in een vergelijking in de vorm: f(x)*g(x)*h(x) = 0, waarbij f(x), g(x), h(x) de trigonometrische basisvergelijkingen zijn.
- Voorbeeld 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Oplossing. Gebruik de formule voor dubbele hoeken sin 2x = 2*sin x*cos x en vervang sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Los nu de twee goniometrische basisvergelijkingen op: cos x = 0 en (sin x + 1) = 0.
- Voorbeeld 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Oplossing: Transformeer deze vergelijking met behulp van trigonometrische identiteiten in een vergelijking in de vorm: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Los nu de twee fundamentele trigonometrische vergelijkingen op: cos 2x = 0 en (2cos x + 1) = 0.
- Voorbeeld 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Oplossing: Transformeer deze vergelijking met behulp van trigonometrische identiteiten in een vergelijking in de vorm: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Los nu de twee fundamentele trigonometrische vergelijkingen op: cos 2x = 0 en (2sin x + 1) = 0 .
  - Methode 2.
- Converteer de gegeven goniometrische vergelijking naar een vergelijking die slechts één goniometrische functie bevat. Vervang deze trigonometrische functie vervolgens door een onbekende, bijvoorbeeld t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, enz.).
- Voorbeeld 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Oplossing. Vervang in deze vergelijking (cos^2 x) door (1 - sin^2 x) (volgens de identiteit). De getransformeerde vergelijking is:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Vervang sin x door t. De vergelijking is nu: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dit is het geval kwadratische vergelijking, met twee wortels: t1 = -1 en t2 = 9/5. De tweede wortel t2 voldoet niet aan het functiebereik (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Voorbeeld 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Oplossing. Vervang tg x door t. Herschrijf de oorspronkelijke vergelijking in het volgende formulier: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Zoek nu t en vind dan x voor t = tan x.