Les en presentatie over het onderwerp: "Een primitieve functie. Grafiek van een functie"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 11
Algebraïsche problemen met parameters, graad 9–11
"Interactieve taken over het bouwen van ruimte voor groep 10 en 11"

Antiderivatieve functie. Invoering

Laten we eens naar dit probleem kijken: “De snelheid van een object dat in een rechte lijn beweegt, wordt beschreven door de formule $V=gt$. Het is nodig om de bewegingswet te herstellen.
Oplossing.
We kennen de formule goed: $S"=v(t)$, waarbij S de bewegingswet is.
Onze taak komt neer op het vinden van een functie $S=S(t)$ waarvan de afgeleide gelijk is aan $gt$. Als je goed kijkt, kun je raden dat $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Laten we de juistheid van de oplossing voor dit probleem controleren: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Omdat we de afgeleide van de functie kenden, vonden we de functie zelf, dat wil zeggen, we voerden de inverse bewerking uit.
Maar het is de moeite waard om aandacht te besteden aan dit moment. De oplossing voor ons probleem vereist verduidelijking; als we een getal (constante) aan de gevonden functie toevoegen, zal de waarde van de afgeleide niet veranderen: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Jongens, let op: ons probleem heeft oneindig veel oplossingen!
Als het probleem geen initiële of andere voorwaarde specificeert, vergeet dan niet een constante aan de oplossing toe te voegen. Onze taak kan bijvoorbeeld de positie van ons lichaam aan het begin van de beweging specificeren. Dan is het niet moeilijk om de constante te berekenen; door nul in de resulterende vergelijking te vervangen, verkrijgen we de waarde van de constante.

Hoe heet deze operatie?
De omgekeerde werking van differentiatie wordt integratie genoemd.
Een functie vinden uit een gegeven afgeleide – integratie.
De functie zelf wordt een primitief genoemd, dat wil zeggen het beeld waaruit de afgeleide van de functie is verkregen.
Het is gebruikelijk om de primitiefvorm met een hoofdletter $y=F"(x)=f(x)$ te schrijven.

Definitie. De functie $y=F(x)$ wordt de primitieve afgeleide van de functie $у=f(x)$ op het interval X genoemd als voor elke $хϵХ$ de gelijkheid $F'(x)=f(x)$ geldt .

Laten we een tabel maken met primitieve waarden voor verschillende functies. Het moet als herinnering worden afgedrukt en uit het hoofd worden geleerd.

In onze tabel zijn geen beginvoorwaarden gespecificeerd. Dit betekent dat aan elke uitdrukking aan de rechterkant van de tabel een constante moet worden toegevoegd. We zullen deze regel later verduidelijken.

Regels voor het vinden van primitieve woorden

Regel 1. De primitief van een som is gelijk aan de som van de primitieven. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Voorbeeld.
Zoek de primitief voor de functie $y=4x^3+cos(x)$.
Oplossing.
De primitieve van de som is gelijk aan de som van de primitieve woorden, dan moeten we de primitief vinden voor elk van de gepresenteerde functies.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
De primitieve vorm van de oorspronkelijke functie zal dan zijn: $y=x^4+sin(x)$ of een willekeurige functie van de vorm $y=x^4+sin(x)+C$.

Regel 2. Als $F(x)$ een primitief is voor $f(x)$, dan is $k*F(x)$ een primitief voor de functie $k*f(x)$.(We kunnen de coëfficiënt gemakkelijk als een functie nemen).

Voorbeeld.
Zoek primitieve functies van functies:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Oplossing.
a) De primitief van $sin(x)$ is minus $cos(x)$. Dan zal de primitief van de oorspronkelijke functie de vorm aannemen: $y=-8cos(x)$.

B) De primitief van $cos(x)$ is $sin(x)$. Dan zal de primitief van de oorspronkelijke functie de vorm aannemen: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) De primitief voor $x^2$ is $\frac(x^3)(3)$. De primitief voor x is $\frac(x^2)(2)$. De primitief van 1 is x. Dan zal de primitief van de oorspronkelijke functie de vorm aannemen: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regel 3. Als $у=F(x)$ een primitief is voor de functie $y=f(x)$, dan is de primitief voor de functie $y=f(kx+m)$ de functie $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Voorbeeld.
Vind primitieve woorden van de volgende functies:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Oplossing.
a) De primitief van $cos(x)$ is $sin(x)$. Dan is de primitieve voor de functie $y=cos(7x)$ de functie $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) De primitief van $sin(x)$ is minus $cos(x)$. Dan zal de primitieve voor de functie $y=sin(\frac(x)(2))$ de functie $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) zijn )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) De primitieve voor $x^3$ is $\frac(x^4)(4)$, en dan de primitieve van de oorspronkelijke functie $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Vereenvoudig de uitdrukking enigszins tot de macht $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
De primitief van een exponentiële functie is de exponentiële functie zelf. De primitief van de oorspronkelijke functie is $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Stelling. Als $y=F(x)$ een primitief is voor de functie $y=f(x)$ op het interval X, dan heeft de functie $y=f(x)$ oneindig veel primitieve woorden, en ze hebben allemaal de formulier $y=F( x)+С$.

Als het in alle hierboven beschouwde voorbeelden nodig was om de verzameling van alle primitieve woorden te vinden, dan zou de constante C overal moeten worden toegevoegd.
Voor de functie $y=cos(7x)$ hebben alle primitieve getallen de vorm: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Voor de functie $y=(-2x+3)^3$ hebben alle primitieve getallen de vorm: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Voorbeeld.
Gegeven de wet van verandering in de snelheid van een lichaam in de loop van de tijd $v=-3sin(4t)$, bepaal de bewegingswet $S=S(t)$ als het lichaam op het eerste moment een coördinaat had gelijk aan 1,75.
Oplossing.
Omdat $v=S’(t)$ moeten we de primitief voor een gegeven snelheid vinden.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
In dit probleem wordt een aanvullende voorwaarde gesteld: het initiële tijdstip. Dit betekent dat $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Vervolgens wordt de bewegingswet beschreven door de formule: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problemen om zelfstandig op te lossen

De bewerking die omgekeerd is aan differentiatie wordt integratie genoemd, en het proces dat omgekeerd is aan het vinden van de afgeleide is het proces van het vinden van de primitieve.

Definitie: De functie F(x) wordt de primitieve van de functie genoemd f(x) tussenin I, indien voor elke x uit het interval I gelijkheid geldt:

Of Een primitief voor een functie F(x) is een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de gegeven waarde.

Rug

Met een bepaalde tussenpoos I, dan de functie F- constant over dit interval.

Alle primitieve functies a kunnen worden geschreven met behulp van één formule, die wordt aangeroepen algemene vorm van primitieve woorden voor de functie f.

De belangrijkste eigenschap van primitieve middelen:
Elke primitieve voor een functie f op het interval I kan in de vorm worden geschreven

Waarbij F(x) een van de primitieve waarden is voor de functie f(x) op het interval I, en C een willekeurige constante is.

Deze verklaring luidt twee eigenschappen van het primitief
1) welk getal ook wordt vervangen door C, we krijgen een primitief voor f op het interval I;
2) welk primitief Ф ook voor is F tussenin I wat er ook gebeurt, je kunt zo'n nummer kiezen MET dat is voor iedereen X van tussen I gelijkheid zal worden vervuld Ф(х) =F(x) + C.

De belangrijkste taak van integratie: Schrijf op Alleprimitieve voor deze functie. Om het op te lossen, betekent dit dat je het primitief in de volgende algemene vorm presenteert:F(x)+C

Tabel met primitieve woorden van sommige functies

Geometrische betekenis van de primitief

Grafieken van primitieve waarden zijn curven die uit een ervan worden verkregen door parallelle translatie langs de as van de op-amp

Onbepaalde integraal

De belangrijkste taak van differentiaalrekening was het berekenen van de afgeleide of differentiaal van een bepaalde functie. Integrale calculus, met de studie waarvan we verdergaan, lost het omgekeerde probleem op, namelijk het vinden van de functie zelf op basis van zijn afgeleide of differentiaal. Dat wil zeggen: hebben dF(x)=f(x)d (7.1) of F′(x)= f(x),

Waar f(x)- bekende functie, moet de functie vinden F(x).

Definitie:De functie F(x) wordt aangeroepen primitief functie f(x) op het segment als de gelijkheid op alle punten van dit segment geldt: F′(x) = f(x) of dF(x)=f(x)d.

Bijvoorbeeld, een van de primitieve functies voor de functie f(x)=3x2 zullen F(x)=x3, omdat ( x 3)′=3x 2. Maar een prototype voor de functie f(x)=3x2 er zullen ook functies en zijn, sindsdien .

Deze functie dus f(x)=3x2 heeft een oneindig aantal primitieven, die elk slechts met een constante term verschillen. Laten we aantonen dat dit resultaat ook in het algemene geval geldt.

Stelling Twee verschillende primitieve woorden van dezelfde functie gedefinieerd in een bepaald interval verschillen op dit interval van elkaar met een constante term.

Bewijs

Laat de functie f(x) gedefinieerd op het interval (a¸b) En F 1 (x) En F2 (x) - primitieve middelen, d.w.z. F 1 ′(x)= f(x) en F 2 ′(x)= f(x).

Dan F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Vanaf hier, F2 (x) = F1 (x) + C

Waar MET - constant (hier wordt een uitvloeisel van de stelling van Lagrange gebruikt).

De stelling is dus bewezen.

Geometrische illustratie. Als bij = F 1 (x) En bij = F2 (x) – primitieve woorden van dezelfde functie f(x), dan de raaklijn aan hun grafieken op punten met een gemeenschappelijke abscis X evenwijdig aan elkaar (Fig. 7.1).

In dit geval de afstand tussen deze curven langs de as OU blijft constant F 2 (x) - F 1 (x) = C , dat wil zeggen, deze curven naar binnen enig begrip‘parallel’ aan elkaar.

Gevolg .

De uitdrukking dus F(x)+C , waar , en F(x) – een primitief van een functie f(x) omvat alle mogelijke primitieve woorden voor f(x).

Voorbeeld 1. Controleer of de functies dat wel zijn primitieve woorden van de functie

Oplossing:

Antwoord: primitieve woorden voor een functie er zullen functies zijn En

Definitie: Als de functie F(x) een primitief is van de functie f(x), dan wordt de verzameling van alle primitieve getallen F(x)+ C genoemd onbepaalde integraal van f(x) en geef aan:

∫f(х)dх.

A-prioriteit:

f(x) - integrandfunctie,

f(х)dх - integrand-expressie

Hieruit volgt dat de onbepaalde integraal een functie is van algemene vorm, waarvan het differentieel gelijk is aan de integrand, en waarvan de afgeleide met betrekking tot de variabele X is op alle punten gelijk aan de integrand.

Vanuit geometrisch oogpunt een onbepaalde integraal is een familie van krommen, die elk worden verkregen door een van de krommen evenwijdig aan zichzelf naar boven of naar beneden te verschuiven, dat wil zeggen langs de as OU(Afb. 7.2).

De bewerking voor het berekenen van de onbepaalde integraal van een bepaalde functie wordt genoemd integratie deze functie.

Merk op dat als de afgeleide van een elementaire functie altijd een elementaire functie is, de primitief van een elementaire functie mogelijk niet wordt weergegeven door een eindig aantal elementaire functies.

Laten we nu eens overwegen eigenschappen van de onbepaalde integraal.

Uit definitie 2 volgt:

1. De afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand, dat wil zeggen als F′(x) = f(x) , Dat

2. De differentiaal van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand

. (7.4)

Uit de definitie van differentieel en eigenschap (7.3)

3. De onbepaalde integraal van het differentieel van een functie is gelijk aan deze functie tot een constante term, dat wil zeggen (7.5)

Antiderivaat.

Het primitief is gemakkelijk te begrijpen met een voorbeeld.

Laten we de functie nemen y = x 3. Zoals we uit de vorige paragrafen weten, is de afgeleide van X 3 is 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Daarom vanuit de functie y = x 3 krijgen we een nieuwe functie: bij = 3X 2 .
Figuurlijk gesproken, de functie bij = X 3 geproduceerde functie bij = 3X 2 en is de “ouder”. In de wiskunde bestaat het woord ‘ouder’ niet, maar er is wel een verwant concept: primitief.

Dat wil zeggen: functie y = x 3 is een primitief van de functie bij = 3X 2 .

Definitie van primitief:

In ons voorbeeld ( X 3)" = 3X 2 daarom y = x 3 – primitief voor bij = 3X 2 .

Integratie.

Zoals je weet wordt het proces van het vinden van de afgeleide van een bepaalde functie differentiatie genoemd. En de omgekeerde operatie wordt integratie genoemd.

Voorbeeld-uitleg:

bij = 3X 2 + zonde X.

Oplossing :

We weten dat de primitief voor 3 X 2 is X 3 .

Antiderivaat voor zonde X is –cos X.

We voegen twee primitieve woorden toe en krijgen het primitief voor de gegeven functie:

y = x 3 + (–cos X),

y = x 3 – cos X.

Antwoord :
voor functie bij = 3X 2 + zonde X y = x 3 – cos X.

Voorbeeld-uitleg:

Laten we een primitief voor de functie vinden bij= 2 zonde X.

Oplossing :

We merken op dat k = 2. De primitief voor zonde X is –cos X.

Daarom voor de functie bij= 2 zonde X het primitief is de functie bij= –2cos X.
Coëfficiënt 2 in de functie y = 2 sin X komt overeen met de coëfficiënt van de primitieve waaruit deze functie is gevormd.

Voorbeeld-uitleg:

Laten we een primitief voor de functie vinden j= zonde 2 X.

Oplossing :

Dat merken wij k= 2. Antiderivaat voor zonde X is –cos X.

We passen onze formule toe om de primitief van de functie te vinden j= cos 2 X:

1
j= - · (–cos 2 X),
2

cos 2 X
j = – ----
2

cos 2 X
Antwoord: voor een functie j= zonde 2 X het primitief is de functie j = – ----
2

(4)

Voorbeeld-uitleg.

Laten we de functie uit het vorige voorbeeld nemen: j= zonde 2 X.

Voor deze functie hebben alle primitieve woorden de vorm:

cos 2 X
j = – ---- + C.
2

Uitleg.

Laten we de eerste regel nemen. Het luidt als volgt: als de functie y = f( X) is 0, dan is de primitief 1. Waarom? Omdat de afgeleide van eenheid nul is: 1" = 0.

De overige regels worden in dezelfde volgorde gelezen.

Hoe schrijf ik gegevens uit een tabel? Laten we regel acht nemen:

(-cos X)" = zonde X

We schrijven het tweede deel met het afgeleide teken, vervolgens het gelijkteken en de afgeleide.

We lezen: primitief voor de functie sin X is de -cos-functie X.

Of: functie -cos X is primitief voor de functie sin X.

Deze les is de eerste in een reeks video's over integratie. Daarin zullen we analyseren wat een primitief van een functie is, en ook de elementaire methoden bestuderen voor het berekenen van deze primitief.

In feite is hier niets ingewikkelds: in wezen komt het allemaal neer op het concept van afgeleide, waar je al bekend mee zou moeten zijn :)

Ik zal meteen opmerken dat, aangezien dit de allereerste les in ons nieuwe onderwerp is, er vandaag geen complexe berekeningen en formules zullen zijn, maar wat we vandaag zullen leren zal de basis vormen voor veel complexere berekeningen en constructies bij het berekenen van complexe integralen en gebieden .

Bovendien gaan we er bij de start van de studie van integratie en integralen in het bijzonder impliciet van uit dat de student op zijn minst al bekend is met de concepten van afgeleiden en op zijn minst basisvaardigheden heeft in het berekenen ervan. Zonder een duidelijk begrip hiervan is er absoluut niets te doen op het gebied van integratie.

Hier ligt echter een van de meest voorkomende en verraderlijke problemen. Feit is dat veel studenten, wanneer ze beginnen met het berekenen van hun eerste primitieve afgeleiden, deze verwarren met afgeleiden. Als gevolg hiervan worden tijdens examens en zelfstandig werk domme en aanstootgevende fouten gemaakt.

Daarom zal ik nu geen duidelijke definitie van een primitief geven. In ruil daarvoor stel ik voor dat u ziet hoe het wordt berekend aan de hand van een eenvoudig specifiek voorbeeld.

Wat is een primitief en hoe wordt deze berekend?

Deze formule kennen we:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Deze afgeleide wordt eenvoudig berekend:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Laten we zorgvuldig naar de resulterende uitdrukking kijken en $((x)^(2))$ uitdrukken:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Maar we kunnen het op deze manier schrijven, volgens de definitie van een afgeleide:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

En nu opgelet: wat we zojuist hebben opgeschreven is de definitie van een primitief. Maar om het correct te schrijven, moet je het volgende schrijven:

Laten we de volgende uitdrukking op dezelfde manier schrijven:

Als we deze regel generaliseren, kunnen we de volgende formule afleiden:

\[((x)^(n))\naar \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nu kunnen we een duidelijke definitie formuleren.

Een primitief van een functie is een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Vragen over de primitieve functie

Het lijkt een vrij eenvoudige en begrijpelijke definitie. Bij het horen ervan zal de aandachtige student echter onmiddellijk een aantal vragen hebben:

1. Laten we zeggen: oké, deze formule is correct. In dit geval hebben we echter, met $n=1$, problemen: er verschijnt “nul” in de noemer, en we kunnen niet delen door “nul”.
2. De formule is beperkt tot alleen graden. Hoe u de primitief kunt berekenen, bijvoorbeeld van sinus, cosinus en elke andere trigonometrie, evenals constanten.
3. Existentiële vraag: is het altijd mogelijk om een ​​primitief te vinden? Zo ja, hoe zit het dan met de primitief van de som, het verschil, het product, enz.?

Ik zal de laatste vraag meteen beantwoorden. Helaas wordt het primitief, in tegenstelling tot de afgeleide, niet altijd in overweging genomen. Er bestaat geen universele formule waarmee we uit een initiële constructie een functie zullen verkrijgen die gelijk is aan deze soortgelijke constructie. Wat machten en constanten betreft, daar zullen we het nu over hebben.

Problemen met stroomfuncties oplossen

\[((x)^(-1))\naar \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Zoals u kunt zien, werkt deze formule voor $((x)^(-1))$ niet. De vraag rijst: wat werkt dan? Kunnen we $((x)^(-1))$ niet tellen? Natuurlijk kunnen we. Laten we dit eerst onthouden:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Laten we nu eens nadenken: de afgeleide van welke functie is gelijk aan $\frac(1)(x)$. Het is duidelijk dat elke student die dit onderwerp op zijn minst een beetje heeft bestudeerd, zich zal herinneren dat deze uitdrukking gelijk is aan de afgeleide van de natuurlijke logaritme:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Daarom kunnen we vol vertrouwen het volgende schrijven:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\naar \ln x\]

Je moet deze formule kennen, net als de afgeleide van een machtsfunctie.

Dus wat we tot nu toe weten:

• Voor een machtsfunctie - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Voor een constante - $=const\to \cdot x$
• Een speciaal geval van een machtsfunctie is $\frac(1)(x)\to \ln x$

En als we de eenvoudigste functies gaan vermenigvuldigen en delen, hoe kunnen we dan de primitief van een product of quotiënt berekenen? Helaas werken analogieën met de afgeleide van een product of quotiënt hier niet. Er bestaat geen standaardformule. Voor sommige gevallen zijn er lastige speciale formules - we zullen er in toekomstige videolessen kennis mee maken.

Onthoud echter: er is geen algemene formule die lijkt op de formule voor het berekenen van de afgeleide van een quotiënt en een product.

Echte problemen oplossen

Taak nr. 1

Laten we elk van de machtsfuncties afzonderlijk berekenen:

\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]

Terugkerend naar onze uitdrukking, schrijven we de algemene constructie:

Probleem nr. 2

Zoals ik al zei, worden prototypes van werken en bijzonderheden “to the point” niet in aanmerking genomen. Hier kunt u echter het volgende doen:

We hebben de breuk opgesplitst in de som van twee breuken.

Laten we de wiskunde doen:

Het goede nieuws is dat als je de formules voor het berekenen van primitieve formules kent, je al complexere structuren kunt berekenen. Laten we echter verder gaan en onze kennis nog wat uitbreiden. Feit is dat veel constructies en uitdrukkingen, die op het eerste gezicht niets met $((x)^(n))$ te maken hebben, kunnen worden weergegeven als een macht met een rationale exponent, namelijk:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Al deze technieken kunnen en moeten gecombineerd worden. Krachtuitdrukkingen kunnen zijn

• vermenigvuldigen (graden optellen);
• delen (graden worden afgetrokken);
• vermenigvuldigen met een constante;
• enz.

Machtsuitdrukkingen oplossen met rationele exponent

Voorbeeld nr. 1

Laten we elke wortel afzonderlijk berekenen:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

In totaal kan onze gehele constructie als volgt worden geschreven:

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Daarom krijgen we:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

In totaal kunnen we, door alles in één uitdrukking te verzamelen, schrijven:

Voorbeeld nr. 3

Om te beginnen merken we op dat we $\sqrt(x)$ al hebben berekend:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Laten we herschrijven:

Ik hoop dat ik niemand zal verrassen als ik zeg dat wat we zojuist hebben bestudeerd slechts de eenvoudigste berekeningen van primitieve getallen zijn, de meest elementaire constructies. Laten we nu naar iets complexere voorbeelden kijken, waarbij je naast de tabellarische primitieve woorden ook het schoolcurriculum moet onthouden, namelijk verkorte vermenigvuldigingsformules.

Complexere voorbeelden oplossen

Taak nr. 1

Laten we ons de formule voor het kwadraat van het verschil herinneren:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Laten we onze functie herschrijven:

We moeten nu het prototype van een dergelijke functie vinden:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Laten we alles samenbrengen in een gemeenschappelijke structuur:

Probleem nr. 2

In dit geval moeten we de verschilkubus uitbreiden. Laat ons herdenken:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Als we dit feit in aanmerking nemen, kunnen we het als volgt schrijven:

Laten we onze functie een beetje transformeren:

Wij tellen zoals altijd – voor elke termijn afzonderlijk:

\[((x)^(-3))\naar \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\naar \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\naar \ln x\]

Laten we de resulterende constructie schrijven:

Taak nr. 3

Bovenaan hebben we het kwadraat van de som, laten we deze uitbreiden:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Laten we de uiteindelijke oplossing schrijven:

Nu aandacht! Een heel belangrijk ding, dat verband houdt met het leeuwendeel van de fouten en misverstanden. Feit is dat we tot nu toe, bij het tellen van primitieve waarden met behulp van afgeleiden en het aanbrengen van transformaties, niet hebben nagedacht over waar de afgeleide van een constante gelijk aan is. Maar de afgeleide van een constante is gelijk aan “nul”. Dit betekent dat u de volgende opties kunt schrijven:

1. $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Dit is heel belangrijk om te begrijpen: als de afgeleide van een functie altijd hetzelfde is, dan heeft dezelfde functie een oneindig aantal primitieve getallen. We kunnen eenvoudigweg alle constante getallen aan onze primitieve getallen toevoegen en nieuwe krijgen.

Het is geen toeval dat er in de verklaring van de problemen die we zojuist hebben opgelost stond: 'Schrijf de algemene vorm van primitieve getallen op.' Die. Op voorhand wordt er al van uitgegaan dat er niet één van hen is, maar een hele menigte. Maar in feite verschillen ze alleen in de constante $C$ aan het eind. Daarom zullen we bij onze taken corrigeren wat we niet hebben voltooid.

Opnieuw herschrijven we onze constructies:

In dergelijke gevallen moet u eraan toevoegen dat $C$ een constante is - $C=const$.

In onze tweede functie krijgen we de volgende constructie:

En de laatste:

En nu hebben we werkelijk gekregen wat er van ons werd verlangd in de oorspronkelijke toestand van het probleem.

Problemen oplossen bij het vinden van primitieve woorden met een bepaald punt

Nu we iets weten over constanten en de eigenaardigheden van het schrijven van primitieve woorden, is het heel logisch dat het volgende type probleem zich voordoet wanneer het, uit de verzameling van alle primitieve woorden, nodig is om de enige echte te vinden die door een bepaald punt gaat. . Wat is deze taak?

Feit is dat alle primitieve woorden van een bepaalde functie alleen verschillen doordat ze verticaal met een bepaald getal zijn verschoven. En dit betekent dat, ongeacht welk punt op het coördinatenvlak we nemen, er zeker één primitief zal passeren, en bovendien slechts één.

De problemen die we nu zullen oplossen, zijn dus als volgt geformuleerd: zoek niet alleen de primitieve functie, ken de formule van de oorspronkelijke functie, maar kies precies degene die door het gegeven punt gaat, waarvan de coördinaten in het probleem zullen worden gegeven stelling.

Voorbeeld nr. 1

Laten we eerst eenvoudig elke term tellen:

\[((x)^(4))\naar \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\naar \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nu vervangen we deze uitdrukkingen in onze constructie:

Deze functie moet door het punt $M\left(-1;4 \right)$ gaan. Wat betekent het dat het door een punt gaat? Dit betekent dat als we in plaats van $x$ overal $-1$ plaatsen, en in plaats van $F\left(x \right)$ - $-4$, we de juiste numerieke gelijkheid zouden moeten krijgen. Laten we dit doen:

We zien dat we een vergelijking hebben voor $C$, dus laten we proberen deze op te lossen:

Laten we de oplossing opschrijven waarnaar we op zoek waren:

Voorbeeld nr. 2

Allereerst is het noodzakelijk om het kwadraat van het verschil te onthullen met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule:

\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]

De oorspronkelijke constructie zal als volgt worden geschreven:

Laten we nu $C$ vinden: vervang de coördinaten van punt $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Wij drukken $C$ uit:

Het blijft nodig om de uiteindelijke uitdrukking weer te geven:

Trigonometrische problemen oplossen

Als laatste hand aan wat we zojuist hebben besproken, stel ik voor om twee complexere problemen te bespreken die met trigonometrie te maken hebben. Daarin moet je op dezelfde manier primitieve functies voor alle functies vinden en vervolgens uit deze set de enige selecteren die door het punt $M$ op het coördinatenvlak gaat.

Vooruitkijkend zou ik willen opmerken dat de techniek die we nu zullen gebruiken om primitieve waarden van goniometrische functies te vinden, in feite een universele techniek voor zelftest is.

Taak nr. 1

Laten we de volgende formule onthouden:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Op basis hiervan kunnen we schrijven:

Laten we de coördinaten van punt $M$ vervangen door onze uitdrukking:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Laten we de uitdrukking herschrijven, rekening houdend met dit feit:

Probleem nr. 2

Dit zal iets moeilijker zijn. Nu zul je zien waarom.

Laten we deze formule onthouden:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Om van de "min" af te komen, moet je het volgende doen:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Hier is ons ontwerp

Laten we de coördinaten van punt $M$ vervangen:

In totaal noteren we de uiteindelijke constructie:

Dat is alles wat ik je vandaag wilde vertellen. We hebben de term primitieve begrippen bestudeerd, hoe je ze kunt berekenen op basis van elementaire functies, en ook hoe je een primitief kunt vinden die door een specifiek punt op het coördinatenvlak gaat.

Ik hoop dat deze les je zal helpen dit complexe onderwerp op zijn minst een beetje te begrijpen. In ieder geval zijn het op primitieve getallen die onbepaalde en onbepaalde integralen construeren, dus het is absoluut noodzakelijk om ze te berekenen. Dat is alles voor mij. Tot ziens!