Zo'n vorm als een trapezium komen we vaak tegen in het leven. Elke brug die is gemaakt van betonblokken is bijvoorbeeld een goed voorbeeld. Een meer visuele optie kan worden beschouwd als de besturing van elk voertuig enzovoort. De eigenschappen van de figuur waren al bekend Het oude Griekenland , die Aristoteles in meer detail beschreef in zijn wetenschappelijk werk"Begonnen." En de kennis die duizenden jaren geleden werd ontwikkeld, is vandaag de dag nog steeds relevant. Laten we ze daarom eens nader bekijken.

Basisconcepten

Figuur 1. Klassieke trapeziumvorm.

Een trapezium is in wezen een vierhoek die bestaat uit twee segmenten die evenwijdig zijn en twee andere segmenten die niet evenwijdig zijn. Als we het over deze figuur hebben, is het altijd nodig om concepten te onthouden als: basis, hoogte en middellijn. Twee segmenten van een vierhoek die bases voor elkaar worden genoemd (segmenten AD en BC). De hoogte is het segment loodrecht op elk van de bases (EH), d.w.z. snijden elkaar onder een hoek van 90° (zoals weergegeven in figuur 1).

Als je alle interne gradenmetingen bij elkaar optelt, zal de som van de hoeken van de trapezium gelijk zijn aan 2π (360°), zoals die van elke vierhoek. Een segment waarvan de uiteinden de middelpunten van de zijkanten zijn (IF) de middenlijn genoemd. De lengte van dit segment is de som van de basen BC en AD gedeeld door 2.

Er zijn drie soorten geometrische figuur: recht, regelmatig en gelijkzijdig. Als ten minste één hoek op de hoekpunten van de basis recht is (bijvoorbeeld als ABD = 90°), dan wordt zo'n vierhoek een rechte trapezium genoemd. Als de zijsegmenten gelijk zijn (AB en CD), dan wordt het gelijkbenig genoemd (dienovereenkomstig zijn de hoeken aan de basis gelijk).

Hoe gebied te vinden

Daarvoor, om de oppervlakte van een vierhoek te vinden ABCD gebruikt de volgende formule:

Figuur 2. Het probleem van het vinden van een gebied oplossen

Laten we voor een duidelijker voorbeeld een eenvoudig probleem oplossen. Laten we bijvoorbeeld de bovenste en onderste basis respectievelijk 16 en 44 cm zijn, en de zijkanten 17 en 25 cm. Laten we een loodrecht segment construeren vanaf hoekpunt D zodat DE II BC (zoals weergegeven in figuur 2). Vanaf hier krijgen we dat

Laat DF zijn. Van ΔADE (die gelijkbenig zal zijn), krijgen we het volgende:

Dat wil zeggen dat we, in eenvoudige bewoordingen, eerst de hoogte ΔADE hebben gevonden, wat ook de hoogte van het trapezium is. Vanaf hier berekenen we al door bekende formule gebied van vierhoek ABCD, met al bekende waarde hoogte DF.

Het benodigde oppervlak ABCD bedraagt ​​dus 450 cm³. Dat wil zeggen, we kunnen met vertrouwen zeggen dat dit in orde is Om de oppervlakte van een trapezium te berekenen, heb je alleen de som van de basissen en de lengte van de hoogte nodig.

Belangrijk! Bij het oplossen van het probleem is het niet nodig om de waarde van de lengtes afzonderlijk te vinden; het is heel acceptabel als andere parameters van de figuur worden gebruikt, die, met passend bewijs, gelijk zullen zijn aan de som van de bases.

Soorten trapeziums

Afhankelijk van welke zijden de figuur heeft en welke hoeken aan de basis worden gevormd, zijn er drie soorten vierhoeken: rechthoekig, ongelijk en gelijkzijdig.

Veelzijdig

Er zijn twee vormen: acuut en stomp. ABCD is alleen scherp als de basishoeken (AD) scherp zijn en de lengtes van de zijden verschillend zijn. Als de waarde van één hoek groter is dan Pi/2 (de gradenmaat is meer dan 90°), dan krijgen we een stompe hoek.

Als de zijden even lang zijn

Figuur 3. Aanzicht van een gelijkbenig trapezium

Als de niet-parallelle zijden even lang zijn, wordt ABCD gelijkbenig (regelmatig) genoemd. Bovendien is in zo'n vierhoek de mate van de hoeken aan de basis hetzelfde; hun hoek zal altijd kleiner zijn dan een rechte hoek. Het is om deze reden dat een gelijkbenige lijn nooit wordt verdeeld in een scherpe hoek en een stompe hoek. Een vierhoek van deze vorm heeft zijn eigen specifieke verschillen, waaronder:

1. De segmenten die tegenoverliggende hoekpunten verbinden, zijn gelijk.
2. Scherpe hoeken met een grotere basis zijn 45° (illustratief voorbeeld in figuur 3).
3. Als je de graden van tegenovergestelde hoeken bij elkaar optelt, komen ze uit op 180°.
4. Rondom iedereen juiste trapezium kan worden gebouwd.
5. Als je de graadmaat van tegenovergestelde hoeken bij elkaar optelt, is deze gelijk aan π.

Bovendien zijn er vanwege hun geometrische rangschikking van punten basiseigenschappen gelijkbenig trapezium :

Hoekwaarde bij basis 90°

Loodrechtheid van de zijkant van de basis - ruim kenmerk concept van "rechthoekige trapezium". Er kunnen geen twee zijden zijn met hoeken aan de basis, omdat binnen anders het zal al een rechthoek zijn. Bij dit soort vierhoeken zal de tweede zijde altijd een scherpe hoek vormen met de grotere basis, en een stompe hoek met de kleinere. In dit geval is de loodrechte zijde ook de hoogte.

Het segment tussen de middens van de zijwanden

Als we de middelpunten van de zijkanten met elkaar verbinden, en het resulterende segment evenwijdig is aan de bases en in lengte gelijk is aan de helft van hun som, dan is de resulterende rechte lijn zal de middenlijn zijn. De waarde van deze afstand wordt berekend met de formule:

Voor een duidelijker voorbeeld, overweeg een probleem met behulp van middellijn.

Taak. De middellijn van het trapezium is 7 cm; het is bekend dat een van de zijden 4 cm groter is dan de andere (figuur 4). Zoek de lengtes van de basissen.

Figuur 4. Het probleem van het vinden van de lengtes van de bases oplossen

Oplossing. Stel dat de kleinere basis DC gelijk is aan x cm, dan is de grotere basis respectievelijk gelijk aan (x+4) cm. Vanaf hier verkrijgen we, met behulp van de formule voor de middellijn van een trapezium:

Het blijkt dat de kleinere basis-DC 5 cm is, en de grotere 9 cm.

Belangrijk! Het concept van een middellijn is van cruciaal belang bij het oplossen van veel geometrieproblemen. Op basis van de definitie worden veel bewijzen voor andere figuren geconstrueerd. Het concept in de praktijk gebruiken misschien meer rationeel besluit en zoek naar de gewenste waarde.

Bepaling van de hoogte en manieren om deze te vinden

Zoals eerder opgemerkt, is de hoogte een segment dat de bases snijdt onder een hoek van 2Pi/4 en de kortste afstand daartussen is. Voordat u de hoogte van het trapezium bepaalt, het is noodzakelijk om te bepalen welke invoerwaarden worden gegeven. Laten we voor een beter begrip naar het probleem kijken. Bepaal de hoogte van het trapezium, op voorwaarde dat de basis respectievelijk 8 en 28 cm en de zijkanten 12 en 16 cm zijn.

Figuur 5. Het probleem van het vinden van de hoogte van een trapezium oplossen

Laten we de segmenten DF en CH loodrecht op de basis AD tekenen. Volgens de definitie zal elk van hen de hoogte hebben van een gegeven trapezium (Fig. 5). In dit geval zullen we, als we de lengte van elke zijwand kennen, met behulp van de stelling van Pythagoras ontdekken waaraan de hoogte in de driehoeken AFD en BHC gelijk is.

De som van de segmenten AF en HB is gelijk aan het verschil van de bases, d.w.z.:

Stel dat de lengte AF x cm is, dan is de lengte van het segment HB= (20 – x) cm. Zoals vastgesteld, DF=CH, vanaf hier.

Dan krijgen we de volgende vergelijking:

Het blijkt dat het segment AF in de driehoek AFD gelijk is aan 7,2 cm, vanaf hier berekenen we de hoogte van de trapezium DF met behulp van dezelfde stelling van Pythagoras:

Die. de hoogte van de trapeziumvormige ADCB zal gelijk zijn aan 9,6 cm. Hoe kun je er zeker van zijn dat het berekenen van de hoogte een meer mechanisch proces is, en gebaseerd is op het berekenen van de zijden en hoeken van driehoeken. Maar bij een aantal geometrieproblemen kunnen alleen de graden van de hoeken bekend zijn, in welk geval berekeningen zullen worden gemaakt aan de hand van de verhouding van de zijden van de interne driehoeken.

Belangrijk! In wezen wordt een trapezium vaak gezien als twee driehoeken, of als een combinatie van een rechthoek en een driehoek. Om 90% van alle problemen in schoolboeken op te lossen, de eigenschappen en kenmerken van deze cijfers. De meeste formules voor deze GMT zijn afgeleid op basis van de “mechanismen” voor de twee aangegeven soorten cijfers.

Hoe u snel de lengte van de basis kunt berekenen

Voordat u de basis van de trapezium vindt, is het noodzakelijk om te bepalen welke parameters al zijn gegeven en hoe u deze rationeel kunt gebruiken. Een praktische benadering is om de lengte van de onbekende basis uit de middellijnformule te halen. Laten we, voor een duidelijker beeld van de afbeelding, een voorbeeldtaak gebruiken om te laten zien hoe dit kan worden gedaan. Laat het bekend zijn dat de middelste lijn van het trapezium 7 cm is en dat een van de basissen 10 cm is. Zoek de lengte van de tweede basis.

Oplossing: Wetende dat de middellijn gelijk is aan de helft van de som van de bases, kunnen we zeggen dat hun som 14 cm is.

(14 cm = 7 cm × 2). Uit de omstandigheden van het probleem weten we dat één ervan gelijk is aan 10 cm, dus de kleinere zijde van het trapezium zal gelijk zijn aan 4 cm (4 cm = 14 – 10).

Bovendien, voor een comfortabelere oplossing voor dit soort problemen, Wij raden u aan dergelijke formules grondig te leren vanuit het trapeziumgebied:

• middellijn;
• vierkant;
• hoogte;
• diagonalen.

Als u de essentie (precies de essentie) van deze berekeningen kent, kunt u eenvoudig de gewenste waarde achterhalen.

Video: trapezium en zijn eigenschappen

Video: kenmerken van een trapezium

Conclusie

Uit de weloverwogen voorbeelden van problemen kunnen we een eenvoudige conclusie trekken dat de trapezium, in termen van rekenproblemen, een van de eenvoudigste geometrische figuren is. Om problemen met succes op te lossen, moet u allereerst niet beslissen welke informatie bekend is over het object dat wordt beschreven, in welke formules deze kunnen worden toegepast, maar beslissen wat u moet vinden. Door dit eenvoudige algoritme te volgen, zal geen enkele taak met behulp van deze geometrische figuur moeiteloos zijn.

Trapezium. Definitie, formules en eigenschappen

Een trapezium is een vierhoek waarvan het paar tegenoverliggende zijden evenwijdig is.

Opmerking. In dit geval is het parallellogram een ​​speciaal geval van een trapezium.

De parallelle tegenoverliggende zijden worden de basis van de trapezium genoemd, en de andere twee worden de zijkanten genoemd.

Trapezes zijn:

- veelzijdig ;

- gelijkbenig;

- rechthoekig

A - gelijkbenig (gelijkbenig, gelijkbenig) trapezium
B - rechthoekig trapezium
C - scalene trapezium

Een scalenetrapezium heeft alle zijden van verschillende lengte en de basis is evenwijdig.

De zijden zijn gelijk en de basissen zijn evenwijdig.

De bases zijn evenwijdig, één zijde staat loodrecht op de bases en de tweede zijde loopt schuin ten opzichte van de bases.

Eigenschappen van een trapezium

• Middellijn van trapezium evenwijdig aan de bases en gelijk aan hun halve som
• Een segment dat de middelpunten van de diagonalen verbindt, is gelijk aan de helft van het verschil tussen de basissen en ligt op de middellijn. Zijn lengte
• Parallelle lijnen die de zijkanten van een willekeurige hoek van een trapezium snijden, worden afgesneden van de zijkanten van de hoek proportionele segmenten(zie de stelling van Thales)
• Snijpunt van trapeziumvormige diagonalen, het snijpunt van de verlengingen van de zijkanten en het midden van de bases liggen op dezelfde rechte lijn (zie ook eigenschappen van een vierhoek)
• Driehoeken liggend op bases trapeziums waarvan de hoekpunten het snijpunt van de diagonalen zijn, zijn vergelijkbaar. De verhouding van de oppervlakken van dergelijke driehoeken is gelijk aan het kwadraat van de verhouding van de bases van het trapezium
• Driehoeken die aan de zijkanten liggen trapeziums waarvan de hoekpunten het snijpunt van de diagonalen zijn, zijn gelijk in oppervlakte (gelijk in oppervlakte)
• In de trapeze je kunt een cirkel inschrijven, als de som van de lengtes van de bases van een trapezium gelijk is aan de som van de lengtes van zijn zijden. De middellijn is in dit geval gelijk aan de som van de zijden gedeeld door 2 (aangezien de middellijn van een trapezium gelijk is aan de helft van de som van de basissen)
• Segment evenwijdig aan de basis en door het snijpunt van de diagonalen gaat, wordt door laatstgenoemde in tweeën gedeeld en is gelijk aan tweemaal het product van de bases gedeeld door hun som 2ab / (a ​​+ b) (formule van Burakov)

Trapeziumvormige hoeken

U rechthoekig trapezium twee rechte hoeken, en de andere twee zijn scherp en stomp. Andere soorten trapeziums hebben twee scherpe hoeken en twee stompe hoeken.

Stompe hoeken van een trapezium behoren tot de kleinere langs de lengte van de basis, en pittig - meer basis.

Elke trapezium kan worden overwogen als een afgeknotte driehoek, waarvan de snijlijn evenwijdig is aan de basis van de driehoek.
Belangrijk. Houd er rekening mee dat op deze manier (door bovendien een trapezium tot een driehoek te construeren) sommige problemen met betrekking tot trapeziums kunnen worden opgelost en dat sommige stellingen kunnen worden bewezen.

Hoe de zijkanten en diagonalen van een trapezium te vinden

Het vinden van de zijkanten en diagonalen van een trapezium gebeurt met behulp van de onderstaande formules:

In deze formules zijn de gebruikte notaties zoals in de figuur.

a - de kleinste van de bases van de trapezium
b - de grootste van de bases van het trapezium
c,d - zijkanten
h 1 h 2 - diagonalen

De som van de vierkanten van de diagonalen van een trapezium is gelijk aan tweemaal het product van de basissen van het trapezium plus de som van de vierkanten van de zijkanten (Formule 2)

In diverse materialen testen en examens zijn heel gebruikelijk trapezium problemen, waarvan de oplossing kennis van de eigenschappen ervan vereist.

Laten we eens kijken welke interessante en nuttige eigenschappen een trapezium heeft voor het oplossen van problemen.

Na het bestuderen van de eigenschappen van de middellijn van een trapezium, kan men formuleren en bewijzen eigenschap van een segment dat de middelpunten van de diagonalen van een trapezium verbindt. Het segment dat de middelpunten van de diagonalen van een trapezium verbindt, is gelijk aan de helft van het verschil tussen de bases.

MO – middenlijn driehoek ABC en gelijk aan 1/2ВС (Afb. 1).

MQ is de middelste lijn van driehoek ABD en is gelijk aan 1/2AD.

Dan OQ = MQ – MO, dus OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Bij het oplossen van veel problemen met een trapezium is een van de belangrijkste technieken het tekenen van twee hoogten erin.

Denk eens aan het volgende taak.

Laat BT de hoogte zijn van een gelijkbenig trapezium ABCD met bases BC en AD, met BC = a, AD = b. Bereken de lengtes van de segmenten AT en TD.

Oplossing.

Het oplossen van het probleem is niet moeilijk (Afb. 2), maar het geeft je de mogelijkheid om te krijgen eigenschap van de hoogte van een gelijkbenig trapezium getrokken uit het hoekpunt stompe hoek : de hoogte van een gelijkbenig trapezium, getrokken vanuit het hoekpunt van een stompe hoek, verdeelt de grotere basis in twee segmenten, waarvan de kleinste gelijk is aan de helft van het verschil tussen de bases, en de grotere gelijk is aan de helft van de som van de bases .

Bij het bestuderen van de eigenschappen van een trapezium moet je op een dergelijke eigenschap als gelijkenis letten. De diagonalen van een trapezium verdelen het bijvoorbeeld in vier driehoeken, en de driehoeken grenzend aan de basis zijn vergelijkbaar, en de driehoeken grenzend aan de zijkanten zijn even groot. Deze verklaring kan worden genoemd eigenschap van driehoeken waarin een trapezium is verdeeld door zijn diagonalen. Bovendien kan het eerste deel van de bewering heel gemakkelijk worden bewezen door het teken van gelijkenis van driehoeken onder twee hoeken. Laten we het bewijzen tweede deel van de verklaring.

Driehoeken BOC en COD hebben een gemeenschappelijke hoogte (Afb. 3), als we de segmenten BO en OD als basis nemen. Dan is S BOC /S COD = BO/OD = k. Daarom is S COD = 1/k · S BOC .

Op dezelfde manier hebben de driehoeken BOC en AOB een gemeenschappelijke hoogte als we de segmenten CO en OA als basis nemen. Dan is S BOC /S AOB = CO/OA = k en S A O B = 1/k · S BOC .

Uit deze twee zinnen volgt dat S COD = S A O B.

Laten we niet stilstaan ​​bij de geformuleerde verklaring, maar zoeken de relatie tussen de gebieden van de driehoeken waarin het trapezium is verdeeld door zijn diagonalen. Om dit te doen, gaan we het volgende probleem oplossen.

Laat punt O het snijpunt zijn van de diagonalen van het trapezium ABCD met de bases BC en AD. Het is bekend dat de oppervlakten van de driehoeken BOC en AOD respectievelijk gelijk zijn aan S 1 en S 2. Zoek het gebied van het trapezium.

Omdat S COD = S A O B, dan is S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Uit de gelijkenis van de driehoeken BOC en AOD volgt dat BO/OD = √(S₁/S 2).

Daarom geldt S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), wat betekent dat S COD = √(S 1 · S 2).

Dan is S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Met behulp van gelijkenis wordt dat bewezen eigenschap van een segment dat door het snijpunt van de diagonalen van een trapezium loopt, evenwijdig aan de basis.

Laten we eens overwegen taak:

Laat punt O het snijpunt zijn van de diagonalen van het trapezium ABCD met de bases BC en AD. BC = a, AD = b. Zoek de lengte van het segment PK dat door het snijpunt van de diagonalen van het trapezium evenwijdig aan de basis loopt. Van welke segmenten is PK gedeeld door punt O (Fig. 4)?

Uit de gelijkenis van de driehoeken AOD en BOC volgt dat AO/OC = AD/BC = b/a.

Uit de gelijkenis van de driehoeken AOP en ACB volgt dat AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Dus PO = BC b / (a ​​+ b) = ab/(a + b).

Op soortgelijke wijze volgt uit de gelijkenis van de driehoeken DOK en DBC dat OK = ab/(a + b).

Daarom PO = OK en PK = 2ab/(a + b).

De bewezen eigenschap kan dus als volgt worden geformuleerd: een segment evenwijdig aan de basis van de trapezium, dat door het snijpunt van de diagonalen gaat en twee punten aan de zijkanten verbindt, wordt in tweeën gedeeld door het snijpunt van de diagonalen. diagonalen. De lengte is het harmonische gemiddelde van de bases van het trapezium.

Volgende vierpuntseigenschap: in een trapezium liggen het snijpunt van de diagonalen, het snijpunt van de voortzetting van de zijkanten, de middelpunten van de basis van het trapezium op dezelfde lijn.

Driehoeken BSC en ASD zijn gelijkvormig (Afb. 5) en in elk daarvan verdelen de medianen ST en SG de tophoek S in gelijke delen. Daarom liggen de punten S, T en G op dezelfde lijn.

Op dezelfde manier liggen de punten T, O en G op dezelfde lijn. Dit volgt uit de gelijkenis van de driehoeken BOC en AOD.

Dit betekent dat alle vier de punten S, T, O en G op dezelfde lijn liggen.

Je kunt ook de lengte vinden van het segment dat de trapezium in twee vergelijkbare delen verdeelt.

Als trapeziums ALFD en LBCF vergelijkbaar zijn (Afb. 6), dan a/LF = LF/b.

Daarom is LF = √(ab).

Een segment dat een trapezium in twee soortgelijke trapeziums verdeelt, heeft dus een lengte gelijk aan het geometrische gemiddelde van de lengtes van de bases.

Laten we het bewijzen eigenschap van een segment dat een trapezium in twee gelijke gebieden verdeelt.

Laat het gebied van het trapezium S zijn (Afb. 7). h 1 en h 2 zijn delen van de hoogte, en x is de lengte van het gewenste segment.

Dan is S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 en

S = (u 1 + u 2) · (a + b)/2.

Laten we een systeem creëren

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Beslissen dit systeem, krijgen we x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Dus, de lengte van het segment dat het trapezium in twee gelijke verdeelt, is gelijk aan √((a 2 + b 2)/2)(gemiddelde kwadraat van basislengten).

Dus voor de trapezium ABCD met basen AD en BC (BC = a, AD = b) hebben we bewezen dat het segment:

1) MN, die de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt, is evenwijdig aan de bases en gelijk aan hun halve som (gemiddelde rekenkundige getallen a en b);

2) PK die door het snijpunt van de diagonalen van het trapezium evenwijdig aan de bases gaat, is gelijk aan
2ab/(a + b) (harmonisch gemiddelde van de getallen a en b);

3) LF, dat een trapezium in twee soortgelijke trapeziums splitst, heeft een lengte gelijk aan het geometrische gemiddelde van de getallen a en b, √(ab);

4) EH, die een trapezium in twee gelijke verdeelt, heeft lengte √((a 2 + b 2)/2) (het wortelgemiddelde van de getallen a en b).

Teken en eigendom van een ingeschreven en omgeschreven trapezium.

Eigenschap van een ingeschreven trapezium: een trapezium kan in een cirkel worden ingeschreven als en slechts als het gelijkbenig is.

Eigenschappen van de beschreven trapezium. Een trapezium kan rond een cirkel worden beschreven als en slechts als de som van de lengtes van de basissen gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

Nuttige gevolgen van het feit dat een cirkel in een trapezium is ingeschreven:

1. De hoogte van het omgeschreven trapezium is gelijk aan twee stralen van de ingeschreven cirkel.

2. De zijkant van het omgeschreven trapezium is vanuit het midden van de ingeschreven cirkel onder een rechte hoek zichtbaar.

Het eerste is duidelijk. Om het tweede gevolg te bewijzen, is het noodzakelijk vast te stellen dat de hoek COD juist is, wat ook niet het geval is veel werk. Maar als je dit gevolg kent, kun je een rechthoekige driehoek gebruiken bij het oplossen van problemen.

Laten we het specificeren uitvloeisels voor een gelijkbenig omgeschreven trapezium:

De hoogte van een gelijkbenig omgeschreven trapezium is het geometrische gemiddelde van de basis van het trapezium
h = 2r = √(ab).

Met de overwogen eigenschappen kunt u de trapezium dieper begrijpen en zorgen voor succes bij het oplossen van problemen met behulp van de eigenschappen ervan.

Heeft u nog vragen? Weet u niet hoe u trapeziumproblemen moet oplossen?
Om hulp te krijgen van een docent -.
De eerste les is gratis!

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

\[(\Groot(\text(Gratis trapezium)))\]

Definities

Een trapezium is een convexe vierhoek waarin twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee zijden niet evenwijdig.

De evenwijdige zijden van een trapezium worden de basis genoemd, en de andere twee zijden worden de zijden genoemd.

De hoogte van een trapezium is een loodlijn die afdaalt van elk punt van de ene basis naar de andere basis.

Sstellingen: eigenschappen van een trapezium

1) De som van de hoeken aan de zijkant is \(180^\circ\) .

2) De diagonalen verdelen het trapezium in vier driehoeken, waarvan er twee gelijkvormig zijn en de andere twee even groot zijn.

Bewijs

1) Omdat \(AD\parallel BC\), dan zijn de hoeken \(\hoek BAD\) en \(\hoek ABC\) voor deze lijnen eenzijdig en de transversale \(AB\), daarom, \(\hoek SLECHT +\hoek ABC=180^\circ\).

2) Omdat \(AD\parallel BC\) en \(BD\) zijn een secans, dan liggen \(\hoek DBC=\hoek BDA\) kruislings.
Ook \(\hoek BOC=\hoek AOD\) als verticaal.
Daarom onder twee hoeken \(\driehoek BOC \sim \driehoek AOD\).

Laten we dat bewijzen \(S_(\driehoek AOB)=S_(\driehoek COD)\). Laat \(h\) de hoogte van het trapezium zijn. Dan \(S_(\driehoek ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\driehoek ACD)\). Dan: \

Definitie

De middellijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt.

Stelling

De middellijn van het trapezium is evenwijdig aan de bases en gelijk aan hun halve som.

Bewijs*

1) Laten we het parallellisme bewijzen.

Laten we door het punt \(M\) de rechte lijn \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) trekken. Dan, volgens de stelling van Thales (sinds \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) punt \(N"\) is het midden van het segment \(CD\). Dit betekent dat de punten \(N\) en \(N"\) samenvallen.

2) Laten we de formule bewijzen.

Laten we \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) doen. Laten \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Volgens de stelling van Thales zijn \(M"\) en \(N"\) respectievelijk de middelpunten van de segmenten \(BB"\) en \(CC"\). Dit betekent dat \(MM"\) de middelste lijn is van \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) de middelste lijn is van \(\triangle DCC"\) . Dat is waarom: \

Omdat \(MN\parallel AD\parallel BC\) en \(BB", CC"\perp AD\), dan zijn \(B"M"N"C"\) en \(BM"N"C\) rechthoeken. Volgens de stelling van Thales volgt uit \(MN\parallel AD\) en \(AM=MB\) dat \(B"M"=M"B\) . Dus \(B"M"N"C "\) en \(BM"N"C\) zijn gelijke rechthoeken, daarom \(M"N"=B"C"=BC\) .

Dus:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Stelling: eigenschap van een willekeurig trapezium

De middelpunten van de bases, het snijpunt van de diagonalen van het trapezium en het snijpunt van de verlengingen van de zijkanten liggen op dezelfde rechte lijn.

Bewijs*
Het wordt aanbevolen dat u vertrouwd raakt met het bewijs nadat u het onderwerp 'Overeenkomst van driehoeken' heeft bestudeerd.

1) Laten we bewijzen dat de punten \(P\), \(N\) en \(M\) op dezelfde lijn liggen.

Laten we een rechte lijn \(PN\) tekenen (\(P\) is het snijpunt van de verlengingen van de zijkanten, \(N\) is het midden van \(BC\)). Laat het de zijde \(AD\) snijden in het punt \(M\) . Laten we bewijzen dat \(M\) het middelpunt is van \(AD\) .

Denk aan \(\triangle BPN\) en \(\triangle APM\) . Ze zijn vergelijkbaar bij twee hoeken (\(\hoek APM\) – algemeen, \(\hoek PAM=\hoek PBN\) zoals corresponderend bij \(AD\parallel BC\) en \(AB\) secans). Middelen: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Denk aan \(\triangle CPN\) en \(\triangle DPM\) . Ze zijn vergelijkbaar bij twee hoeken (\(\hoek DPM\) – algemeen, \(\hoek PDM=\hoek PCN\) zoals corresponderend bij \(AD\parallel BC\) en \(CD\) secans). Middelen: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Vanaf hier \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Maar \(BN=NC\) dus \(AM=DM\) .

2) Laten we bewijzen dat de punten \(N, O, M\) op dezelfde lijn liggen.

Stel dat \(N\) het middelpunt is van \(BC\) en \(O\) het snijpunt van de diagonalen. Laten we een rechte lijn \(NO\) tekenen, deze zal de zijde \(AD\) snijden in het punt \(M\) . Laten we bewijzen dat \(M\) het middelpunt is van \(AD\) .

\(\driehoek BNO\sim \driehoek DMO\) langs twee hoeken (\(\hoek OBN=\hoek ODM\) kruislings liggend op \(BC\parallel AD\) en \(BD\) secans; \(\hoek BON=\hoek DOM\) als verticaal). Middelen: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Insgelijks \(\driehoek CON\sim \driehoek AOM\). Middelen: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Vanaf hier \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Maar \(BN=CN\) dus \(AM=MD\) .

\[(\Groot(\text(Gelijkbenig trapezium)))\]

Definities

Een trapezium wordt rechthoekig genoemd als een van de hoeken recht is.

Een trapezium wordt gelijkbenig genoemd als de zijden gelijk zijn.

Sstellingen: eigenschappen van een gelijkbenig trapezium

1) Een gelijkbenig trapezium heeft gelijke basishoeken.

2) De diagonalen van een gelijkbenig trapezium zijn gelijk.

3) Twee driehoeken gevormd door diagonalen en een basis zijn gelijkbenig.

Bewijs

1) Beschouw de gelijkbenige trapezium \(ABCD\) .

Van de hoekpunten \(B\) en \(C\) laten we respectievelijk de loodlijnen \(BM\) en \(CN\) naar de zijde \(AD\) vallen. Sinds \(BM\perp AD\) en \(CN\perp AD\) , dan \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , dan is \(MBCN\) een parallellogram, dus \(BM = CN\) .

Laten we eens overwegen rechthoekige driehoeken\(ABM\) en \(CDN\) . Omdat hun hypotenusa gelijk is en het been \(BM\) gelijk is aan het been \(CN\), zijn deze driehoeken gelijk, dus \(\hoek DAB = \hoek CDA\) .

2)

Omdat \(AB=CD, \hoek A=\hoek D, AD\)– algemeen, dan volgens het eerste teken. Daarom \(AC=BD\) .

3) Omdat \(\driehoek ABD=\driehoek ACD\) en vervolgens \(\hoek BDA=\hoek CAD\) . Daarom is de driehoek \(\driehoek AOD\) gelijkbenig. Op dezelfde manier wordt bewezen dat \(\driehoek BOC\) gelijkbenig is.

Sstellingen: tekenen van een gelijkbenig trapezium

1) Als een trapezium gelijke basishoeken heeft, dan is het gelijkbenig.

2) Als een trapezium gelijke diagonalen heeft, dan is het gelijkbenig.

Bewijs

Beschouw het trapezium \(ABCD\) zo dat \(\hoek A = \hoek D\) .

Laten we het trapezium voltooien tot de driehoek \(AED\) zoals weergegeven in de afbeelding. Omdat \(\angle 1 = \angle 2\) , is de driehoek \(AED\) gelijkbenig en \(AE = ED\) . Hoeken \(1\) en \(3\) zijn gelijk als corresponderende hoeken voor evenwijdige lijnen \(AD\) en \(BC\) en secans \(AB\). Op dezelfde manier zijn hoeken \(2\) en \(4\) gelijk, maar \(\hoek 1 = \hoek 2\), dan \(\hoek 3 = \hoek 1 = \hoek 2 = \hoek 4\) Daarom is de driehoek \(BEC\) ook gelijkbenig en \(BE = EC\) .

Op het einde \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), dat wil zeggen \(AB = CD\), wat bewezen moest worden.

2) Stel \(AC=BD\) . Omdat \(\driehoek AOD\sim \driehoek BOC\), dan geven we hun gelijkeniscoëfficiënt aan als \(k\) . Als dan \(BO=x\) , dan \(OD=kx\) . Vergelijkbaar met \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Omdat \(AC=BD\) en vervolgens \(x+kx=y+ky \Rechtspijl x=y\) . Dit betekent dat \(\driehoek AOD\) gelijkbenig is en \(\hoek OAD=\hoek ODA\) .

Dus volgens het eerste teken \(\driehoek ABD=\driehoek ACD\) (\(AC=BD, \hoek OAD=\hoek ODA, AD\)- algemeen). Dus \(AB=CD\) , waarom.

In dit artikel zullen we proberen de eigenschappen van een trapezium zo volledig mogelijk weer te geven. In het bijzonder zullen we erover praten algemene tekenen en eigenschappen van een trapezium, evenals over de eigenschappen van een ingeschreven trapezium en over een cirkel ingeschreven in een trapezium. We zullen ook ingaan op de eigenschappen van een gelijkbenige en rechthoekige trapezium.

Een voorbeeld van het oplossen van een probleem met behulp van de besproken eigenschappen zal u helpen het in uw hoofd op te lossen en de stof beter te onthouden.

Trapeze en alles-alles-alles

Laten we om te beginnen kort herinneren wat een trapezium is en welke andere concepten ermee geassocieerd zijn.

Een trapezium is dus een vierzijdige figuur, waarvan twee zijden evenwijdig aan elkaar zijn (dit zijn de bases). En de twee zijn niet evenwijdig - dit zijn de zijkanten.

In een trapezium kan de hoogte worden verlaagd - loodrecht op de basis. De middellijn en diagonalen worden getekend. Het is ook mogelijk om vanuit elke hoek van het trapezium een ​​bissectrice te tekenen.

We zullen het nu hebben over de verschillende eigenschappen die verband houden met al deze elementen en hun combinaties.

Eigenschappen van trapeziumdiagonalen

Om het duidelijker te maken, schetst u tijdens het lezen de trapezium ACME op een vel papier en tekent u er diagonalen in.

1. Als je de middelpunten van elk van de diagonalen vindt (laten we deze punten X en T noemen) en ze met elkaar verbindt, krijg je een segment. Eén van de eigenschappen van de diagonalen van een trapezium is dat het segment HT op de middellijn ligt. En de lengte ervan kan worden verkregen door het verschil tussen de bases door twee te delen: ХТ = (a – b)/2.
2. Voor ons ligt dezelfde trapezium ACME. De diagonalen snijden elkaar in punt O. Laten we eens kijken naar de driehoeken AOE en MOK, gevormd door segmenten van de diagonalen samen met de basis van het trapezium. Deze driehoeken zijn gelijkvormig. De gelijkeniscoëfficiënt k van driehoeken wordt uitgedrukt door de verhouding van de bases van het trapezium: k = AE/KM.
   De verhouding van de oppervlakten van driehoeken AOE en MOK wordt beschreven door de coëfficiënt k 2 .
3. Hetzelfde trapezium, dezelfde diagonalen die elkaar kruisen in punt O. Alleen deze keer zullen we de driehoeken beschouwen die de segmenten van de diagonalen samen met de zijkanten van het trapezium vormden. De gebieden van de driehoeken AKO en EMO zijn even groot - hun gebieden zijn hetzelfde.
4. Een andere eigenschap van een trapezium betreft de constructie van diagonalen. Dus als je de zijden van AK en ME voortzet in de richting van de kleinere basis, dan zullen ze elkaar vroeg of laat op een bepaald punt kruisen. Teken vervolgens een rechte lijn door het midden van de basis van het trapezium. Het snijdt de bases op de punten X en T.
   Als we nu de lijn XT verlengen, dan zal deze het snijpunt van de diagonalen van de trapezium O met elkaar verbinden, het punt waarop de verlengingen van de zijkanten en het midden van de basissen X en T elkaar snijden.
5. Door het snijpunt van de diagonalen zullen we een segment tekenen dat de basissen van de trapezium zal verbinden (T ligt op de kleinere basis KM, X op de grotere AE). Het snijpunt van de diagonalen verdeelt dit segment in de volgende verhouding: TO/OX = KM/AE.
6. Nu tekenen we door het snijpunt van de diagonalen een segment evenwijdig aan de basis van het trapezium (a en b). Het snijpunt verdeelt het in twee gelijke delen. U kunt de lengte van het segment vinden met behulp van de formule 2ab/(a + b).

Eigenschappen van de middellijn van een trapezium

Trek de middellijn in het trapezium evenwijdig aan de basis.

1. De lengte van de middellijn van een trapezium kan worden berekend door de lengtes van de basissen bij elkaar op te tellen en deze in tweeën te delen: m = (een + b)/2.
2. Als u een segment (bijvoorbeeld hoogte) door beide basissen van de trapezium tekent, zal de middelste lijn het in twee gelijke delen verdelen.

Trapeziumvormige bissectrice eigenschap

Selecteer een willekeurige hoek van het trapezium en teken een bissectrice. Laten we bijvoorbeeld de hoek KAE van onze trapezium ACME nemen. Nadat u de constructie zelf hebt voltooid, kunt u eenvoudig verifiëren dat de bissectrice van de basis (of de voortzetting ervan op een rechte lijn buiten de figuur zelf) een segment afsnijdt van dezelfde lengte als de zijkant.

Eigenschappen van trapeziumhoeken

1. Welke van de twee paren hoeken ook grenzend aan de zijde die je kiest, de som van de hoeken in het paar is altijd 180 0: α + β = 180 0 en γ + δ = 180 0.
2. Laten we de middelpunten van de bases van de trapezium verbinden met een segment TX. Laten we nu eens kijken naar de hoeken aan de basis van het trapezium. Als de som van de hoeken voor een van deze 90 0 is, kan de lengte van het segment TX eenvoudig worden berekend op basis van het verschil in de lengtes van de bases, in tweeën gedeeld: TX = (AE – KM)/2.
3. Als er parallelle lijnen door de zijden van een trapeziumhoek worden getrokken, verdelen ze de zijden van de hoek in proportionele segmenten.

Eigenschappen van een gelijkbenig (gelijkzijdig) trapezium

1. In een gelijkbenig trapezium zijn de hoeken op elke basis gelijk.
2. Bouw nu opnieuw een trapezium, zodat je je gemakkelijker kunt voorstellen waar we het over hebben. Kijk goed naar de basis AE - de top van de tegenoverliggende basis M wordt geprojecteerd naar een bepaald punt op de lijn die AE bevat. De afstand van hoekpunt A tot het projectiepunt van hoekpunt M en de middellijn van het gelijkbenige trapezium zijn gelijk.
3. Een paar woorden over de eigenschap van de diagonalen van een gelijkbenige trapezium - hun lengtes zijn gelijk. En ook de hellingshoeken van deze diagonalen ten opzichte van de basis van het trapezium zijn hetzelfde.
4. Alleen rond een gelijkbenig trapezium kan een cirkel worden beschreven, aangezien de som van de overstaande hoeken van een vierhoek 180 0 is - een voorwaarde hiervoor.
5. De eigenschap van een gelijkbenig trapezium volgt uit de vorige paragraaf: als een cirkel nabij het trapezium kan worden beschreven, is het gelijkbenig.
6. Uit de kenmerken van een gelijkbenig trapezium volgt de eigenschap van de hoogte van een trapezium: als de diagonalen elkaar loodrecht snijden, dan is de lengte van de hoogte gelijk aan de helft van de som van de bases: h = (een + b)/2.
7. Teken opnieuw het segment TX door de middelpunten van de bases van de trapezium - in een gelijkbenige trapezium staat het loodrecht op de bases. En tegelijkertijd is TX de symmetrieas van een gelijkbenig trapezium.
8. Verlaag deze keer de hoogte van het tegenovergestelde hoekpunt van de trapezium naar de grotere basis (laten we het a noemen). Je krijgt twee segmenten. De lengte van één kan worden gevonden als de lengtes van de bases worden opgeteld en in tweeën worden gedeeld: (a+b)/2. We krijgen de tweede als we de kleinere aftrekken van de grotere basis en het resulterende verschil door twee delen: (a – b)/2.

Eigenschappen van een trapezium ingeschreven in een cirkel

Omdat we het al hebben over een trapezium ingeschreven in een cirkel, laten we hier dieper op ingaan. In het bijzonder waar het middelpunt van de cirkel zich bevindt ten opzichte van het trapezium. Ook hier is het raadzaam dat u de tijd neemt om een ​​potlood te pakken en te tekenen wat hieronder wordt besproken. Zo begrijp je het sneller en onthoud je het beter.

1. De locatie van het middelpunt van de cirkel wordt bepaald door de hellingshoek van de diagonaal van het trapezium op zijn zijkant. Een diagonaal kan zich bijvoorbeeld loodrecht op de zijkant uitstrekken vanaf de bovenkant van een trapezium. In dit geval snijdt de grotere basis het midden van de omgeschreven cirkel precies in het midden (R = ½AE).
2. De diagonaal en de zijkant kunnen elkaar ook onder raken scherpe hoek– dan ligt het middelpunt van de cirkel binnen het trapezium.
3. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel mag zich buiten het trapezium bevinden, voorbij de grotere basis, als er een stompe hoek is tussen de diagonaal van het trapezium en de zijkant.
4. De hoek gevormd door de diagonaal en de grotere basis van de trapezium ACME (ingeschreven hoek) is de helft daarvan centrale hoek, wat ermee overeenkomt: MAE = ½MOE.
5. In het kort over twee manieren om de straal van een omgeschreven cirkel te vinden. Methode één: kijk goed naar je tekening – wat zie je? Je kunt gemakkelijk zien dat de diagonaal het trapezium in twee driehoeken splitst. De straal kan worden gevonden door de verhouding van de zijde van de driehoek tot de sinus van de tegenovergestelde hoek, vermenigvuldigd met twee. Bijvoorbeeld, R = AE/2*sinAME. De formule kan op dezelfde manier worden geschreven voor elk van de zijden van beide driehoeken.
6. Methode twee: vind de straal van de omgeschreven cirkel door het gebied van de driehoek gevormd door de diagonaal, zijkant en basis van het trapezium: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Eigenschappen van een trapezium omcirkeld rond een cirkel

Je kunt een cirkel in een trapezium passen als aan één voorwaarde is voldaan. Lees er hieronder meer over. En samen heeft deze combinatie van figuren een aantal interessante eigenschappen.

1. Als een cirkel in een trapezium is ingeschreven, kan de lengte van de middellijn gemakkelijk worden gevonden door de lengtes van de zijden bij elkaar op te tellen en de resulterende som doormidden te delen: m = (c + d)/2.
2. Voor de trapezium ACME, beschreven rond een cirkel, is de som van de lengtes van de bases gelijk aan de som van de lengtes van de zijden: AK + ME = KM + AE.
3. Uit deze eigenschap van de bases van een trapezium volgt de omgekeerde verklaring: een cirkel kan worden ingeschreven in een trapezium waarvan de som van de bases gelijk is aan de som van zijn zijden.
4. Het raakpunt van een cirkel met straal r, ingeschreven in een trapezium, verdeelt de zijde in twee segmenten, laten we ze a en b noemen. De straal van een cirkel kan worden berekend met de formule: r = √ab.
5. En nog een pand. Om verwarring te voorkomen, teken dit voorbeeld ook zelf. We hebben de goede oude trapezium ACME, beschreven rond een cirkel. Het bevat diagonalen die elkaar snijden in punt O. De driehoeken AOK en EOM gevormd door de segmenten van de diagonalen en de zijkanten zijn rechthoekig.
   De hoogten van deze driehoeken, verlaagd tot aan de hypotenusa (dat wil zeggen de zijkanten van het trapezium), vallen samen met de stralen van de ingeschreven cirkel. En de hoogte van het trapezium valt samen met de diameter van de ingeschreven cirkel.

Eigenschappen van een rechthoekig trapezium

Een trapezium wordt rechthoekig genoemd als een van de hoeken recht is. En de eigenschappen ervan komen voort uit deze omstandigheid.

1. Een rechthoekig trapezium heeft een van de zijden loodrecht op de basis.
2. Hoogte en zijkant van het trapezium grenzend aan rechte hoek, zijn gelijk. Hiermee kunt u de oppervlakte van een rechthoekig trapezium berekenen (algemene formule S = (a + b) * h/2) niet alleen door de hoogte, maar ook door de zijde grenzend aan de rechte hoek.
3. Voor een rechthoekig trapezium zijn de algemene eigenschappen van de diagonalen van een trapezium die hierboven al zijn beschreven relevant.

Bewijs van enkele eigenschappen van het trapezium

Gelijkheid van hoeken aan de basis van een gelijkbenig trapezium:

• Je raadde waarschijnlijk al dat we hier de AKME-trapezium opnieuw nodig hebben - teken een gelijkbenige trapezium. Trek een rechte lijn MT vanaf hoekpunt M, evenwijdig aan de zijkant van AK (MT || AK).

De resulterende vierhoek AKMT is een parallellogram (AK || MT, KM || AT). Omdat ME = KA = MT, is ∆ MTE gelijkbenig en MET = MTE.

AK || MT, dus MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Waar komt AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

QED

Nu bewijzen we dat, gebaseerd op de eigenschap van een gelijkbenig trapezium (gelijkheid van diagonalen). trapezium ACME is gelijkbenig:

• Laten we eerst een rechte lijn MX – MX || tekenen KE. We verkrijgen een parallellogram KMHE (basis – MX || KE en KM || EX).

∆AMX is gelijkbenig, aangezien AM = KE = MX, en MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, dus MAE = MHE.

Het blijkt dat de driehoeken AKE en EMA gelijk zijn aan elkaar, omdat AM = KE en AE de gemeenschappelijke zijde van de twee driehoeken zijn. En ook MAE = MXE. We kunnen concluderen dat AK = ME, en hieruit volgt dat de trapezium AKME gelijkbenig is.

Taak beoordelen

De basissen van de trapezium ACME zijn 9 cm en 21 cm, de zijkant KA, gelijk aan 8 cm, vormt een hoek van 150 0 met de kleinere basis. Je moet het gebied van de trapezium vinden.

Oplossing: Vanaf hoekpunt K verlagen we de hoogte naar de grotere basis van het trapezium. En laten we beginnen te kijken naar de hoeken van het trapezium.

Hoeken AEM en KAN zijn eenzijdig. Dit betekent dat ze in totaal 180€ geven. Daarom KAN = 30 0 (gebaseerd op de eigenschap van trapeziumvormige hoeken).

Laten we nu eens kijken naar de rechthoekige ∆ANC (ik geloof dat dit punt voor de lezers duidelijk is zonder aanvullend bewijs). Hieruit zullen we de hoogte van de trapezium KH vinden - in een driehoek is het het been dat tegenover de hoek van 30 0 ligt. Daarom KH = ½AB = 4 cm.

We vinden de oppervlakte van het trapezium met behulp van de formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Nawoord

Als je dit artikel zorgvuldig en bedachtzaam hebt bestudeerd, niet te lui bent om met een potlood in je handen trapeziums voor alle gegeven eigenschappen te tekenen en ze in de praktijk te analyseren, zou je het materiaal goed onder de knie moeten hebben.

Natuurlijk is hier veel informatie, gevarieerd en soms zelfs verwarrend: het is niet zo moeilijk om de eigenschappen van het beschreven trapezium te verwarren met de eigenschappen van het ingeschreven trapezium. Maar je hebt zelf gezien dat het verschil enorm is.

Nu heb je dat gedaan gedetailleerde samenvatting iedereen algemene eigenschappen trapeziums. Evenals specifieke eigenschappen en kenmerken van gelijkbenige en rechthoekige trapeziums. Het is erg handig om te gebruiken om je voor te bereiden op toetsen en examens. Probeer het zelf en deel de link met je vrienden!

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.