Laten we eens kijken naar het onderwerp van het transformeren van uitdrukkingen met machten, maar laten we eerst stilstaan ​​bij een aantal transformaties die kunnen worden uitgevoerd met alle uitdrukkingen, inclusief machtsuitdrukkingen. We zullen leren haakjes te openen, soortgelijke termen toe te voegen, met basen en exponenten te werken en de eigenschappen van machten te gebruiken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wat zijn machtsuitdrukkingen?

IN schoolcursus Weinig mensen gebruiken de uitdrukking ‘ machtsuitdrukkingen“, maar deze term wordt voortdurend aangetroffen in collecties ter voorbereiding op het Unified State Exam. In de meeste gevallen duidt een zinsnede uitdrukkingen aan die graden in hun invoer bevatten. Dit is wat we in onze definitie zullen weerspiegelen.

Definitie 1

Krachtuitdrukking is een uitdrukking die bevoegdheden bevat.

Laten we een aantal voorbeelden geven van machtsuitdrukkingen, beginnend met een macht met een natuurlijke exponent en eindigend met een macht met een reële exponent.

De eenvoudigste machtsuitdrukkingen kunnen worden beschouwd als machten van een getal met een natuurlijke exponent: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + een 2, x 3 − 1 , (een 2) 3 . En ook machten met een exponent nul: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. En machten met negatieve gehele machten: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Het is iets moeilijker om te werken met een graad die rationele en irrationele exponenten heeft: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

De indicator kan de variabele 3 x - 54 - 7 3 x - 58 of de logaritme zijn x 2 · l g x − 5 · x l g x.

We hebben de vraag behandeld wat machtsuitdrukkingen zijn. Laten we nu beginnen met het converteren ervan.

Belangrijkste soorten transformaties van machtsuitdrukkingen

Allereerst zullen we kijken naar de fundamentele identiteitstransformaties van uitdrukkingen die met machtsuitdrukkingen kunnen worden uitgevoerd.

Voorbeeld 1

Bereken de waarde van een machtsuitdrukking 2 3 (4 2 − 12).

Oplossing

We zullen alle transformaties uitvoeren in overeenstemming met de volgorde van acties. In dit geval beginnen we met het uitvoeren van de acties tussen haakjes: we vervangen de graad door een digitale waarde en berekenen het verschil tussen twee getallen. Wij hebben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Het enige wat we moeten doen is het diploma vervangen 2 3 de betekenis ervan 8 en bereken het product 8 4 = 32. Hier is ons antwoord.

Antwoord: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Voorbeeld 2

Vereenvoudig de uitdrukking met machten 3 een 4 b − 7 − 1 + 2 een 4 b − 7.

Oplossing

De uitdrukking die ons in de probleemstelling wordt gegeven, bevat soortgelijke termen die we kunnen geven: 3 een 4 b − 7 − 1 + 2 een 4 b − 7 = 5 een 4 b − 7 − 1.

Antwoord: 3 · een 4 · b − 7 − 1 + 2 · een 4 · b − 7 = 5 · een 4 · b − 7 − 1 .

Voorbeeld 3

Druk de uitdrukking met machten 9 - b 3 · π - 1 2 uit als een product.

Oplossing

Laten we ons het getal 9 voorstellen als een macht 3 2 en pas de verkorte vermenigvuldigingsformule toe:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antwoord: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Laten we nu verder gaan met de analyse van identiteitstransformaties die specifiek op machtsuitingen kunnen worden toegepast.

Werken met grondtal en exponent

De graad in het grondtal of de exponent kan getallen, variabelen en enkele uitdrukkingen bevatten. Bijvoorbeeld, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 En . Het is moeilijk om met dergelijke records te werken. Het is veel gemakkelijker om de uitdrukking in het grondtal van de graad of de uitdrukking in de exponent te vervangen door een identiek gelijke uitdrukking.

Transformaties van graad en exponent worden uitgevoerd volgens de ons bekende regels afzonderlijk van elkaar. Het belangrijkste is dat de transformatie resulteert in een uitdrukking die identiek is aan de originele.

Het doel van transformaties is om de oorspronkelijke uitdrukking te vereenvoudigen of een oplossing voor het probleem te verkrijgen. In het voorbeeld dat we hierboven gaven, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7, kun je bijvoorbeeld de stappen volgen om naar de graad te gaan 4 , 1 1 , 3 . Door de haakjes te openen, kunnen we soortgelijke termen presenteren aan de basis van de macht (een · (een + 1) − een 2) 2 · (x + 1) en krijg een krachtuitdrukking van meer eenvoudig soort een 2 (x + 1).

Graadeigenschappen gebruiken

Eigenschappen van machten, geschreven in de vorm van gelijkheden, zijn een van de belangrijkste hulpmiddelen voor het transformeren van uitdrukkingen met machten. We presenteren hier de belangrijkste, rekening houdend daarmee A En B zijn eventuele positieve getallen, en R En S- willekeurige reële getallen:

Definitie 2

• een r · een s = een r + s ;
• een r: een s = een r − s ;
• (a · b) r = een r · b r ;
• (a: b) r = een r: b r ;
• (een r) s = een r · s .

In gevallen waarin we te maken hebben met natuurlijke, gehele, positieve exponenten, kunnen de beperkingen op de getallen a en b veel minder streng zijn. Dus als we bijvoorbeeld naar de gelijkheid kijken een m · een n = een m + n, Waar M En N natuurlijke getallen zijn, dan geldt dit voor alle waarden van a, zowel positief als negatief, evenals voor een = 0.

U kunt de eigenschappen van machten zonder beperkingen toepassen in gevallen waarin de grondslagen van machten positief zijn of variabelen, oppervlakte bevatten aanvaardbare waarden die zodanig is dat de basis daarop slechts aanvaardt positieve waarden. Sterker nog: binnen schoolcurriculum Bij wiskunde is het de taak van de leerling om een ​​geschikte eigenschap te kiezen en deze correct toe te passen.

Wanneer u zich voorbereidt om naar de universiteit te gaan, kunt u problemen tegenkomen waarbij een onnauwkeurige toepassing van eigenschappen zal leiden tot een vernauwing van de DL en andere problemen bij het oplossen. In deze sectie zullen we slechts twee van dergelijke gevallen onderzoeken. Meer informatie over dit onderwerp vindt u in het onderwerp “Uitdrukkingen converteren met behulp van eigenschappen van machten”.

Voorbeeld 4

Stel je de uitdrukking voor een 2, 5 (een 2) − 3: een − 5, 5 in de vorm van een macht met een basis A.

Oplossing

Eerst gebruiken we de eigenschap machtsverheffen en transformeren we de tweede factor met behulp daarvan (een 2) − 3. Vervolgens gebruiken we de eigenschappen van vermenigvuldiging en deling van machten met hetzelfde grondtal:

een 2 , 5 · een − 6: een − 5 , 5 = een 2 , 5 − 6: een − 5 , 5 = een − 3 , 5: een − 5 , 5 = een − 3 , 5 − (− 5 , 5) = een 2 .

Antwoord: een 2, 5 · (een 2) − 3: een − 5, 5 = een 2.

Transformatie van machtsuitdrukkingen volgens de eigenschap van machten kan zowel van links naar rechts als in de tegenovergestelde richting worden gedaan.

Voorbeeld 5

Zoek de waarde van de machtsuitdrukking 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Oplossing

Als we gelijkheid toepassen (a · b) r = een r · b r, van rechts naar links krijgen we een product van de vorm 3 · 7 1 3 · 21 2 3 en dan 21 1 3 · 21 2 3 . Laten we de exponenten optellen bij het vermenigvuldigen van machten met op dezelfde gronden: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Er is een andere manier om de transformatie uit te voeren:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antwoord: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Voorbeeld 6

Gegeven een machtsuitdrukking een 1, 5 − een 0, 5 − 6, voer een nieuwe variabele in t = een 0,5.

Oplossing

Laten we ons de graad voorstellen een 1, 5 Hoe een 0,5 3. Gebruik de eigenschap van graden naar graden (een r) s = een r · s van rechts naar links en we krijgen (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . U kunt eenvoudig een nieuwe variabele in de resulterende expressie introduceren t = een 0,5: wij krijgen t3 − t−6.

Antwoord: t 3 − t − 6 .

Breuken met machten omrekenen

Meestal hebben we te maken met twee versies van machtsuitdrukkingen met breuken: de uitdrukking vertegenwoordigt een breuk met een macht of bevat zo'n breuk. Alle basistransformaties van breuken zijn zonder beperkingen van toepassing op dergelijke uitdrukkingen. Ze kunnen worden gereduceerd, naar een nieuwe noemer worden gebracht of afzonderlijk met de teller en de noemer worden gewerkt. Laten we dit illustreren met voorbeelden.

Voorbeeld 7

Vereenvoudig de machtsuitdrukking 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Oplossing

We hebben te maken met een breuk, dus we zullen transformaties uitvoeren in zowel de teller als de noemer:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Plaats een minteken voor de breuk om het teken van de noemer te veranderen: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antwoord: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Breuken die machten bevatten, worden op dezelfde manier als rationale breuken tot een nieuwe noemer herleid. Om dit te doen, moet je een extra factor vinden en de teller en de noemer van de breuk ermee vermenigvuldigen. Het is noodzakelijk om een ​​extra factor zo te selecteren dat deze niet naar nul gaat voor waarden van variabelen uit de ODZ-variabelen voor de oorspronkelijke uitdrukking.

Voorbeeld 8

Reduceer de breuken tot een nieuwe noemer: a) a + 1 a 0, 7 tot de noemer A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 tot de noemer x + 8 · y 1 2 .

Oplossing

a) Laten we een factor selecteren waarmee we tot een nieuwe noemer kunnen herleiden. een 0, 7 een 0, 3 = een 0, 7 + 0, 3 = een, daarom zullen we als extra factor nemen een 0, 3. Het bereik van toegestane waarden van de variabele a omvat de verzameling van alle positieve reële getallen. Diploma op dit gebied een 0, 3 gaat niet naar nul.

Laten we de teller en de noemer van een breuk vermenigvuldigen met een 0, 3:

een + 1 een 0, 7 = een + 1 een 0, 3 een 0, 7 een 0, 3 = een + 1 een 0, 3 een

b) Laten we aandacht besteden aan de noemer:

x 2 3 - 2 x 1 3 j 1 6 + 4 j 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 j 1 6 + 2 j 1 6 2

Laten we deze uitdrukking vermenigvuldigen met x 1 3 + 2 · y 1 6, we krijgen de som van de kubussen x 1 3 en 2 · y 1 6, d.w.z. x + 8 · j 1 2 . Dit is onze nieuwe noemer waarnaar we de oorspronkelijke breuk moeten herleiden.

Zo vonden we de extra factor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Over het bereik van toegestane waarden van variabelen X En j de uitdrukking x 1 3 + 2 · y 1 6 verdwijnt niet, daarom kunnen we de teller en de noemer van de breuk ermee vermenigvuldigen:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 j 1 6 + 4 j 1 3 = = x 1 3 + 2 j 1 6 x 1 3 + 2 j 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 j 1 6 + 4 j 1 3 = = x 1 3 + 2 j 1 6 x 1 3 3 + 2 j 1 6 3 = x 1 3 + 2 j 1 6 x + 8 j 1 2

Antwoord: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · j 1 2 .

Voorbeeld 9

Verklein de breuk: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 een 1 2 - b 1 2.

Oplossing

a) We gebruiken de grootste gemene deler (GGD), waarmee we de teller en de noemer kunnen reduceren. Voor de nummers 30 en 45 is dit 15. We kunnen ook een reductie doorvoeren x0,5+1 en op x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Wij krijgen:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Hier is de aanwezigheid van identieke factoren niet duidelijk. Je zult enkele transformaties moeten uitvoeren om dezelfde factoren in de teller en de noemer te krijgen. Om dit te doen, breiden we de noemer uit met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 een 1 4 - b 1 4 = 1 een 1 4 + b 1 4

Antwoord: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) een 1 4 - b 1 4 een 1 2 - b 1 2 = 1 een 1 4 + b 1 4 .

Basisbewerkingen met breuken omvatten het omzetten van breuken naar een nieuwe noemer en het verkleinen van breuken. Beide acties worden uitgevoerd met inachtneming van een aantal regels. Bij het optellen en aftrekken van breuken worden de breuken eerst herleid tot een gemeenschappelijke noemer, waarna bewerkingen (optellen of aftrekken) met de tellers worden uitgevoerd. De noemer blijft hetzelfde. Het resultaat van onze acties is een nieuwe breuk, waarvan de teller het product van de tellers is, en de noemer het product van de noemers.

Voorbeeld 10

Voer de stappen x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 uit.

Oplossing

Laten we beginnen met het aftrekken van de breuken die tussen haakjes staan. Laten we ze onder één noemer brengen:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Laten we de tellers aftrekken:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nu vermenigvuldigen we de breuken:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Laten we verminderen met een macht x 1 2, krijgen we 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Bovendien kunt u de machtsuitdrukking in de noemer vereenvoudigen met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten: kwadraten: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Antwoord: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Voorbeeld 11

Vereenvoudig de machtswetuitdrukking x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Oplossing

We kunnen de breuk verminderen met (x 2, 7 + 1) 2. We krijgen de breuk x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Laten we doorgaan met het transformeren van de machten van x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Nu kun je de eigenschap gebruiken om machten met dezelfde grondtallen te delen: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Wij verhuizen van laatste werk tot de breuk x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Antwoord: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

In de meeste gevallen is het handiger om factoren met negatieve exponenten over te dragen van de teller naar de noemer en terug, waardoor het teken van de exponent verandert. Met deze actie kunt u de verdere beslissing vereenvoudigen. Laten we een voorbeeld geven: de machtsuitdrukking (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kan worden vervangen door x 3 · (x + 1) 0, 2.

Uitdrukkingen met wortels en machten omzetten

Bij problemen zijn er machtsuitdrukkingen die niet alleen machten met fractionele exponenten bevatten, maar ook wortels. Het is raadzaam dergelijke uitdrukkingen alleen tot wortels of alleen tot machten te beperken. Het behalen van een diploma verdient de voorkeur, omdat het gemakkelijker is om ermee te werken. Deze overgang heeft vooral de voorkeur wanneer u met de ODZ van variabelen voor de oorspronkelijke uitdrukking de wortels kunt vervangen door machten zonder dat u toegang hoeft te krijgen tot de modulus of de ODZ in verschillende intervallen hoeft te splitsen.

Voorbeeld 12

Druk de uitdrukking x 1 9 · x · x 3 6 uit als een macht.

Oplossing

Bereik van toegestane variabelewaarden X wordt gedefinieerd door twee ongelijkheden x ≥ 0 en x x 3 ≥ 0, die de set definiëren [ 0 , + ∞) .

Op deze set hebben we het recht om van wortels naar krachten te gaan:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Met behulp van de eigenschappen van machten vereenvoudigen we de resulterende machtsuitdrukking.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antwoord: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Machten omzetten met variabelen in de exponent

Deze transformaties zijn vrij eenvoudig uit te voeren als je de eigenschappen van de graad correct gebruikt. Bijvoorbeeld, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

We kunnen vervangen door het product van machten, waarvan de exponenten de som zijn van een variabele en een getal. Aan de linkerkant kan dit gedaan worden met de eerste en laatste termen van de linkerkant van de uitdrukking:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Laten we nu beide kanten van de gelijkheid delen door 7 2x. Deze uitdrukking voor de variabele x neemt alleen positieve waarden aan:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Laten we breuken reduceren met machten, we krijgen: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Tenslotte de machtsverhouding met dezelfde indicatoren wordt vervangen door machten van de verhoudingen, resulterend in de vergelijking 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, wat overeenkomt met 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Laten we een nieuwe variabele t = 5 7 x introduceren, die de oplossing van de oorspronkelijke exponentiële vergelijking reduceert tot de oplossing van de kwadratische vergelijking 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Uitdrukkingen converteren met machten en logaritmen

Uitdrukkingen die machten en logaritmen bevatten, komen ook voor in problemen. Een voorbeeld van dergelijke uitdrukkingen is: 1 4 1 - 5 · log 2 3 of log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. De transformatie van dergelijke uitdrukkingen wordt uitgevoerd met behulp van de hierboven besproken benaderingen en eigenschappen van logaritmen, die we in detail hebben besproken in het onderwerp "Transformatie van logaritmische uitdrukkingen".

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Exponentiële vergelijkingen oplossen. Voorbeelden.

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel erg...”)

Wat is er gebeurd exponentiële vergelijking ? Dit is een vergelijking waarin de onbekenden (x-en) en uitdrukkingen daarmee voorkomen indicatoren enkele graden. En alleen daar! Dit is belangrijk.

Alsjeblieft voorbeelden van exponentiële vergelijkingen:

3 x 2 x = 8 x+3

Let op! In de basis van graden (hieronder) - alleen cijfers. IN indicatoren graden (hierboven) - een grote verscheidenheid aan uitdrukkingen met een X. Als er plotseling ergens anders dan een indicator een X in de vergelijking verschijnt, bijvoorbeeld:

dit zal een vergelijking zijn gemengde soort. Dergelijke vergelijkingen hebben geen duidelijke regels om ze op te lossen. Wij zullen ze voorlopig niet in overweging nemen. Hier gaan we mee aan de slag exponentiële vergelijkingen oplossen in zijn puurste vorm.

In feite worden zelfs zuivere exponentiële vergelijkingen niet altijd duidelijk opgelost. Maar er zijn bepaalde soorten exponentiële vergelijkingen die kunnen en moeten worden opgelost. Dit zijn de typen die we zullen overwegen.

Eenvoudige exponentiële vergelijkingen oplossen.

Laten we eerst iets heel basaals oplossen. Bijvoorbeeld:

Zelfs zonder theorieën is het door eenvoudige selectie duidelijk dat x = 2. Verder niets, toch!? Geen enkele andere waarde van X werkt. Laten we nu eens kijken naar de oplossing van deze lastige exponentiële vergelijking:

Wat hebben we gedaan? In feite gooiden we gewoon dezelfde honken weg (triples). Volledig weggegooid. En het goede nieuws is: we slaan de spijker op de kop!

Als er in een exponentiële vergelijking links en rechts zijn identiek getallen in welke macht dan ook, deze getallen kunnen worden verwijderd en de exponenten kunnen worden gelijkgesteld. Wiskunde maakt het mogelijk. Rest ons nog een veel eenvoudigere vergelijking op te lossen. Geweldig, toch?)

Laten we echter krachtig onthouden: Je kunt alleen basen verwijderen als de basisnummers links en rechts zich in uitstekende isolatie bevinden! Zonder buren en coëfficiënten. Laten we in de vergelijkingen zeggen:

2x+2x+1 = 2 3, of

tweeën kunnen niet worden verwijderd!

Welnu, we hebben het belangrijkste onder de knie. Hoe je van slechte exponentiële uitdrukkingen naar eenvoudigere vergelijkingen kunt gaan.

"Dat zijn de tijden!" - zeg je. “Wie zou zo’n primitieve les geven over toetsen en examens!?”

Ik moet het ermee eens zijn. Niemand zal dat doen. Maar nu weet je waar je op moet letten bij het oplossen van lastige voorbeelden. Het moet naar het formulier worden gebracht waar links en rechts hetzelfde basisnummer staat. Dan zal alles gemakkelijker zijn. Eigenlijk is dit een klassieker uit de wiskunde. We nemen het originele voorbeeld en transformeren het naar het gewenste voorbeeld ons verstand. Volgens de regels van de wiskunde uiteraard.

Laten we eens kijken naar voorbeelden die wat extra inspanning vergen om ze tot de eenvoudigste terug te brengen. Laten we ze bellen eenvoudige exponentiële vergelijkingen.

Eenvoudige exponentiële vergelijkingen oplossen. Voorbeelden.

Bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen zijn de belangrijkste regels: acties met graden. Zonder kennis van deze acties zal niets werken.

Aan acties met graden moet men persoonlijke observatie en vindingrijkheid toevoegen. Hebben we dezelfde basisnummers nodig? Daarom zoeken we ze in het voorbeeld in expliciete of gecodeerde vorm.

Laten we eens kijken hoe dit in de praktijk wordt gedaan?

Laten we een voorbeeld geven:

2 2x - 8x+1 = 0

De eerste scherpe blik is op gronden. Ze... Ze zijn anders! Twee en acht. Maar het is nog te vroeg om ontmoedigd te raken. Het is tijd om dat te onthouden

Twee en acht zijn qua graad verwant.) Het is heel goed mogelijk om te schrijven:

8 x+1 = (2 3) x+1

Als we ons de formule herinneren van bewerkingen met graden:

(een n) m = een nm,

dit lukt uitstekend:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Het originele voorbeeld begon er als volgt uit te zien:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Wij transfereren 2 3 (x+1) naar rechts (niemand heeft de elementaire bewerkingen van de wiskunde geannuleerd!), krijgen we:

2 2x = 2 3(x+1)

Dat is praktisch alles. De basis verwijderen:

We lossen dit monster op en krijgen

Dit is het juiste antwoord.

In dit voorbeeld heeft het kennen van de krachten van twee ons geholpen. Wij geïdentificeerd in acht is er een gecodeerde twee. Deze techniek (encryptie gemeenschappelijke gronden onder verschillende nummers) is een zeer populaire techniek in exponentiële vergelijkingen! Ja, en ook in logaritmen. Je moet machten van andere getallen in getallen kunnen herkennen. Dit is uiterst belangrijk voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen.

Feit is dat het geen probleem is om welk getal dan ook tot welke macht dan ook te verheffen. Vermenigvuldig, zelfs op papier, en dat is alles. Iedereen kan bijvoorbeeld 3 tot de vijfde macht verheffen. 243 komt uit als je de tafel van vermenigvuldiging kent.) Maar in exponentiële vergelijkingen is het veel vaker niet nodig om tot een macht te verheffen, maar omgekeerd... Ontdek het welk getal in welke mate is verborgen achter het getal 243, of bijvoorbeeld 343... Geen enkele rekenmachine helpt je hier.

Je moet de machten van sommige getallen op zicht kennen, toch... Laten we oefenen?

Bepaal welke machten en welke getallen de getallen zijn:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Antwoorden (in een puinhoop natuurlijk!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Als je goed kijkt, zie je een vreemd feit. Er zijn aanzienlijk meer antwoorden dan taken! Nou, het gebeurt... Bijvoorbeeld 2 6, 4 3, 8 2 - dat is allemaal 64.

Laten we aannemen dat u kennis hebt genomen van de informatie over de bekendheid met getallen.) Ik wil u er ook aan herinneren dat we voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen alle voorraad wiskundige kennis. Inclusief die uit de lagere en middenklasse. Je bent niet meteen naar de middelbare school gegaan, toch?)

Bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen helpt het bijvoorbeeld vaak om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten (hallo tegen groep 7!). Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

3 2x+4 -11 9x = 210

En nogmaals, de eerste blik is op de fundamenten! De basis van de graden is verschillend... Drie en negen. En we willen dat ze hetzelfde zijn. Welnu, in dit geval wordt de wens volledig vervuld!) Omdat:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Gebruik dezelfde regels voor het omgaan met graden:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Dat is geweldig, je kunt het opschrijven:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Om dezelfde redenen hebben we een voorbeeld gegeven. En wat nu!? Je kunt geen drieën weggooien... Doodlopende weg?

Helemaal niet. Denk aan de meest universele en krachtige beslissingsregel iedereen wiskunde taken:

Als je niet weet wat je nodig hebt, doe dan wat je kunt!

Kijk, alles komt goed).

Wat staat er in deze exponentiële vergelijking? Kan Doen? Ja, aan de linkerkant vraagt ​​het er gewoon om om uit de haakjes te worden gehaald! De totale vermenigvuldiger van 3 2x duidt hier duidelijk op. Laten we het proberen, en dan zullen we zien:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Het voorbeeld wordt steeds beter en beter!

We herinneren ons dat we, om gronden te elimineren, een zuivere graad nodig hebben, zonder enige coëfficiënten. Het getal 70 stoort ons. Dus delen we beide kanten van de vergelijking door 70, dan krijgen we:

Oeps! Alles werd beter!

Dit is het definitieve antwoord.

Het komt echter voor dat taxiën op dezelfde basis mogelijk is, maar de eliminatie ervan niet mogelijk. Dit gebeurt in andere soorten exponentiële vergelijkingen. Laten we dit type onder de knie krijgen.

Een variabele vervangen bij het oplossen van exponentiële vergelijkingen. Voorbeelden.

Laten we de vergelijking oplossen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ten eerste - zoals gewoonlijk. Laten we verder gaan naar één basis. Tot een deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

We krijgen de vergelijking:

2 2x - 3 2x +2 = 0

En dit is waar we rondhangen. De voorgaande technieken zullen niet werken, hoe je het ook bekijkt. We zullen nog een krachtige en universele methode. Het heet variabele vervanging.

De essentie van de methode is verrassend eenvoudig. In plaats van één complex pictogram (in ons geval - 2 x) schrijven we een ander, eenvoudiger pictogram (bijvoorbeeld - t). Zo'n schijnbaar zinloze vervanging leidt tot verbluffende resultaten!) Alles wordt gewoon duidelijk en begrijpelijk!

Dus laat

Dan 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

In onze vergelijking vervangen we alle machten door x's door t:

Nou, dringt het tot je door?) Kwadratische vergelijkingen Ben je het nog vergeten? Als we de discriminant oplossen, krijgen we:

Het belangrijkste hier is om niet te stoppen, zoals gebeurt... Dit is nog niet het antwoord, we hebben x nodig, niet t. Laten we terugkeren naar de X's, d.w.z. we maken een omgekeerde vervanging. Eerst voor t 1:

Daarom,

Er werd één wortel gevonden. Wij zijn op zoek naar de tweede van t 2:

Hm... 2 x links, 1 x rechts... Probleem? Helemaal niet! Het is voldoende om te onthouden (van operaties met bevoegdheden, ja...) dat het een eenheid is elk getal tot de macht nul. Elk. Wat er ook nodig is, wij installeren het. We hebben er een twee nodig. Middelen:

Dat is het nu. We hebben 2 wortels:

Dit is het antwoord.

Bij exponentiële vergelijkingen oplossen aan het einde krijg je soms een soort ongemakkelijke uitdrukking. Type:

Van zeven naar twee door eenvoudige graad het werkt niet. Ze zijn geen familie... Hoe kunnen we dat wel zijn? Iemand is misschien in de war... Maar de persoon die op deze site het onderwerp "Wat is een logaritme?" , glimlacht slechts spaarzaam en schrijft met vaste hand het absoluut juiste antwoord op:

Een dergelijk antwoord kan niet bestaan ​​in taak “B” van het Unified State Examination. Daar is een specifiek nummer vereist. Maar bij taken “C” is het eenvoudig.

Deze les geeft voorbeelden van het oplossen van de meest voorkomende exponentiële vergelijkingen. Laten we de belangrijkste punten benadrukken.

Praktisch advies:

1. Allereerst kijken we naar gronden graden. Wij vragen ons af of het mogelijk is om deze te maken identiek. Laten we proberen dit te doen door actief gebruik te maken van acties met graden. Vergeet niet dat getallen zonder x-en ook kunnen worden omgezet in machten!

2. We proberen de exponentiële vergelijking in de vorm te brengen die er links en rechts is identiek getallen in welke macht dan ook. Wij gebruiken acties met graden En factorisatie. Wat in cijfers kan worden geteld, tellen wij.

3. Als de tweede tip niet werkt, probeer dan variabele vervanging. Het resultaat kan een vergelijking zijn die gemakkelijk kan worden opgelost. Meestal - vierkant. Of fractioneel, wat ook reduceert tot vierkant.

4. Om exponentiële vergelijkingen succesvol op te lossen, moet je de machten van sommige getallen op zicht kennen.

Zoals gewoonlijk wordt u aan het einde van de les uitgenodigd om een ​​beetje te beslissen.) Zelf. Van eenvoudig tot complex.

Los exponentiële vergelijkingen op:

Moeilijker:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Vind het product van wortels:

2 3'en + 2 x = 9

Heeft het gewerkt?

Nou dan het meest ingewikkelde voorbeeld(maar in gedachten besloten...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Wat is interessanter? Dan is hier een slecht voorbeeld voor jou. Best verleidelijk voor een hogere moeilijkheidsgraad. Laat me erop wijzen dat wat u in dit voorbeeld redt vindingrijkheid is en de meest universele regel voor het oplossen van alle wiskundige problemen.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Een eenvoudiger voorbeeld, ter ontspanning):

9 2 x - 4 3 x = 0

En als toetje. Zoek de som van de wortels van de vergelijking:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja, ja! Dit is een vergelijking van het gemengde type! Waar we in deze les niet bij stil stonden. Waarom zou je ze overwegen, ze moeten worden opgelost!) Deze les is voldoende om de vergelijking op te lossen. Nou, je hebt vindingrijkheid nodig... En moge de zevende klas je helpen (dit is een hint!).

Antwoorden (in wanorde, gescheiden door puntkomma's):

1; 2; 3; 4; er zijn geen oplossingen; 2; -2; -5; 4; 0.

Is alles succesvol? Geweldig.

Zijn er problemen? Geen vraag! Speciale Sectie 555 lost al deze exponentiële vergelijkingen op met gedetailleerde uitleg. Wat, waarom en waarom. En natuurlijk is er aanvullende waardevolle informatie over het werken met allerlei exponentiële vergelijkingen. Niet alleen deze.)

Nog een laatste leuke vraag om over na te denken. In deze les hebben we gewerkt met exponentiële vergelijkingen. Waarom heb ik hier geen woord over ODZ gezegd? In vergelijkingen is dit trouwens heel belangrijk...

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

De macht wordt gebruikt om de bewerking van het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf te vereenvoudigen. In plaats van schrijven kunt u bijvoorbeeld schrijven 4 5 (\displaystyle 4^(5))(een verklaring voor deze overgang wordt gegeven in het eerste deel van dit artikel). Graden maken het gemakkelijker om lang of lang te schrijven complexe uitdrukkingen of vergelijkingen; machten zijn ook gemakkelijk op te tellen en af ​​te trekken, wat resulteert in een vereenvoudigde uitdrukking of vergelijking (bijvoorbeeld 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Opmerking: als je een exponentiële vergelijking moet oplossen (in zo'n vergelijking staat de onbekende in de exponent), lees dan.

Stappen

Eenvoudige problemen oplossen met graden

Vermenigvuldig het grondtal van de exponent een aantal keren met zichzelf, gelijk aan de exponent. Als je een machtsprobleem met de hand moet oplossen, herschrijf de macht dan als een vermenigvuldigingsoperatie, waarbij de basis van de macht met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Bijvoorbeeld het behalen van een diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In dit geval moet de basis van macht 3 4 keer met zichzelf worden vermenigvuldigd: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Hier zijn andere voorbeelden:

Vermenigvuldig eerst de eerste twee getallen. Bijvoorbeeld, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Maak je geen zorgen: het berekeningsproces is niet zo ingewikkeld als het op het eerste gezicht lijkt. Vermenigvuldig eerst de eerste twee vieren en vervang ze vervolgens door het resultaat. Zoals dit:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Vermenigvuldig het resultaat (16 in ons voorbeeld) met het volgende getal. Elk volgend resultaat zal proportioneel toenemen. In ons voorbeeld vermenigvuldig je 16 met 4. Zo:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Ga door met het vermenigvuldigen van het resultaat van de eerste twee getallen met het volgende getal totdat je je definitieve antwoord krijgt. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de eerste twee getallen en vermenigvuldigt u vervolgens het resulterende resultaat met het volgende getal in de reeks. Deze methode is geldig voor elke graad. In ons voorbeeld zou u het volgende moeten krijgen: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Los de volgende problemen op. Controleer je antwoord met een rekenmachine.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Zoek op uw rekenmachine naar de sleutel met het label "exp" of " x n (\displaystyle x^(n))", of "^". Met deze toets verhef je een getal tot een macht. Het is bijna onmogelijk om handmatig een graad te berekenen met een grote indicator (bijvoorbeeld de graad 9 15 (\displaystyle 9^(15))), maar de rekenmachine kan deze taak gemakkelijk aan. In Windows 7 kan de standaardrekenmachine naar de engineeringmodus worden geschakeld; Om dit te doen, klikt u op “Bekijken” -> “Techniek”. Om naar de normale modus te schakelen, klikt u op “Beeld” -> “Normaal”.

   • Controleer het ontvangen antwoord met behulp van een zoekmachine (Google of Yandex). Gebruik de "^"-toets op het toetsenbord van uw computer om de uitdrukking in de zoekmachine in te voeren, die onmiddellijk het juiste antwoord zal weergeven (en mogelijk soortgelijke uitdrukkingen zal voorstellen die u kunt bestuderen).

   Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen van machten

   1. Je kunt alleen machten optellen en aftrekken als ze hetzelfde grondtal hebben. Als u machten met dezelfde grondtallen en exponenten moet optellen, kunt u de optelbewerking vervangen door de vermenigvuldigingsbewerking. Gezien de uitdrukking bijvoorbeeld 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Vergeet niet dat de graad 4 5 (\displaystyle 4^(5)) kan in de vorm worden weergegeven 1 * 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Dus, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(waarbij 1 +1 =2). Dat wil zeggen: tel het aantal vergelijkbare graden en vermenigvuldig vervolgens die graad met dit getal. In ons voorbeeld verhef je 4 tot de vijfde macht en vermenigvuldig je het resulterende resultaat met 2. Houd er rekening mee dat de optelbewerking kan worden vervangen door de vermenigvuldigingsbewerking, bijvoorbeeld: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Hier zijn andere voorbeelden:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal worden hun exponenten opgeteld (het grondtal verandert niet). Gezien de uitdrukking bijvoorbeeld x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In dit geval hoeft u alleen maar de indicatoren toe te voegen, waarbij de basis ongewijzigd blijft. Dus, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Hier is een visuele uitleg van deze regel:

      Bij het verheffen van een macht tot een macht worden de exponenten vermenigvuldigd. Er wordt bijvoorbeeld een diploma uitgereikt. Omdat exponenten worden vermenigvuldigd, dus (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Het punt van deze regel is dat je vermenigvuldigt met machten (x 2) (\displaystyle (x^(2))) vijf keer op zichzelf. Zoals dit:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Omdat de basis hetzelfde is, tellen de exponenten eenvoudigweg op: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Graad c negatieve indicator moet worden omgezet in een breuk (omgekeerde macht). Het maakt niet uit als je niet weet wat een wederzijdse graad is. Als je een diploma krijgt met een negatieve exponent, b.v. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), schrijf deze graad in de noemer van de breuk (zet 1 in de teller) en maak de exponent positief. In ons voorbeeld: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Hier zijn andere voorbeelden:

      Bij het delen van graden met hetzelfde grondtal worden de exponenten ervan afgetrokken (het grondtal verandert niet). De delingsoperatie is het tegenovergestelde van de vermenigvuldigingsoperatie. Gezien de uitdrukking bijvoorbeeld 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Trek de exponent in de noemer af van de exponent in de teller (verander het grondtal niet). Dus, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • De macht in de noemer kan als volgt worden geschreven: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Onthoud dat een breuk een getal (macht, uitdrukking) is met een negatieve exponent.

   4. Hieronder staan ​​enkele uitdrukkingen die u zullen helpen bij het leren oplossen van problemen met exponenten. De gegeven uitdrukkingen hebben betrekking op het materiaal dat in deze sectie wordt gepresenteerd. Om het antwoord te zien, markeert u eenvoudigweg de lege ruimte na het gelijkteken.

   Problemen met fractionele exponenten oplossen

   Een macht met een fractionele exponent (bijvoorbeeld ) wordt omgezet in een wortelbewerking. In ons voorbeeld: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Hier maakt het niet uit welk getal in de noemer van de fractionele exponent staat. Bijvoorbeeld, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- is dus de vierde wortel van “x”. x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Als de exponent dat is onechte breuk, dan kan een dergelijke graad in twee graden worden ontleed om de oplossing van het probleem te vereenvoudigen. Hier is niets ingewikkelds aan - onthoud gewoon de regel van het vermenigvuldigen van machten. Er wordt bijvoorbeeld een diploma uitgereikt. Zet zo'n macht om in een wortel waarvan de macht gelijk is aan de noemer van de fractionele exponent, en verhef deze wortel vervolgens tot een macht gelijk aan de teller van de fractionele exponent. Om dit te doen, onthoud dat = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . In ons voorbeeld:
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Sommige rekenmachines hebben een knop om exponenten te berekenen (u moet eerst het grondtal invoeren, vervolgens op de knop drukken en vervolgens de exponent invoeren). Het wordt aangegeven als ^ of x^y.
   3. Onthoud dat elk getal tot de eerste macht gelijk is aan zichzelf, bijvoorbeeld 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Bovendien is elk getal vermenigvuldigd of gedeeld door één gelijk aan zichzelf, b.v. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) En 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Weet dat de macht 0 0 niet bestaat (zo'n macht heeft geen oplossing). Als je zo'n graad probeert op te lossen op een rekenmachine of op een computer, krijg je een foutmelding. Maar onthoud dat elk getal tot de macht nul bijvoorbeeld 1 is: 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. In de hogere wiskunde, die werkt met denkbeeldige getallen: e een ik X = c O s een X + ik s ik n een X (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Waar ik = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e is een constante die ongeveer gelijk is aan 2,7; a is een willekeurige constante. Het bewijs van deze gelijkheid is te vinden in elk leerboek over hogere wiskunde.

   Waarschuwingen

   • Naarmate de exponent toeneemt, neemt de waarde ervan enorm toe. Dus als het antwoord u verkeerd lijkt, kan het in werkelijkheid juist zijn. U kunt dit controleren door er een te plotten exponentiële functie bijvoorbeeld 2x.

Instapniveau

Graad en zijn eigenschappen. Uitgebreide gids (2019)

Waarom zijn graden nodig? Waar heb je ze nodig? Waarom zou je de tijd nemen om ze te bestuderen?

Om alles te leren over graden, waar ze voor zijn, hoe je je kennis kunt gebruiken het dagelijks leven lees dit artikel.

En natuurlijk zal kennis van graden je dichter bij succes brengen passeren van de OGE of het Unified State Exam en toelating tot de universiteit van je dromen.

Laten we gaan... (Laten we gaan!)

Belangrijke opmerking! Als je gobbledygook ziet in plaats van formules, wis dan je cache. Om dit te doen, drukt u op CTRL+F5 (op Windows) of Cmd+R (op Mac).

INVOERNIVEAU

Machtsverheffing is een wiskundige bewerking, net als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Nu zal ik alles in menselijke taal in zeer korte tijd uitleggen eenvoudige voorbeelden. Wees voorzichtig. De voorbeelden zijn elementair, maar leggen belangrijke zaken uit.

Laten we beginnen met optellen.

Er valt hier niets uit te leggen. Je weet alles al: we zijn met z’n achten. Iedereen heeft twee flessen cola. Hoeveel cola is er? Dat klopt - 16 flessen.

Nu vermenigvuldiging.

Hetzelfde voorbeeld met cola kan anders worden geschreven: . Wiskundigen zijn sluwe en luie mensen. Ze merken eerst enkele patronen op en bedenken dan een manier om ze sneller te ‘tellen’. In ons geval merkten ze dat elk van de acht mensen hetzelfde aantal colaflesjes had en bedachten ze een techniek die vermenigvuldiging heet. Mee eens, het wordt als gemakkelijker en sneller beschouwd dan.

Dus om sneller, gemakkelijker en foutloos te tellen, hoeft u het alleen maar te onthouden tafel van vermenigvuldiging. Natuurlijk kun je alles langzamer, moeilijker en met fouten doen! Maar…

Hier is de tafel van vermenigvuldiging. Herhalen.

En nog een, mooiere:

Welke andere slimme teltrucs hebben luie wiskundigen bedacht? Rechts - een getal tot een macht verheffen.

Een getal tot een macht verheffen

Als je een getal vijf keer met zichzelf moet vermenigvuldigen, zeggen wiskundigen dat je dat getal tot de vijfde macht moet verheffen. Bijvoorbeeld, . Wiskundigen herinneren zich dat twee tot de vijfde macht... En ze lossen dergelijke problemen in hun hoofd op - sneller, gemakkelijker en zonder fouten.

Het enige wat u hoeft te doen is onthoud wat in kleur is gemarkeerd in de tabel met machten van getallen. Geloof me, dit zal je leven een stuk gemakkelijker maken.

Trouwens, waarom wordt het de tweede graad genoemd? vierkant cijfers, en de derde - kubus? Wat betekent het? Zeer goede vraag. Nu heb je zowel vierkanten als kubussen.

Voorbeeld uit het echte leven #1

Laten we beginnen met het kwadraat of de tweede macht van het getal.

Stel je een vierkant zwembad voor van één meter bij één meter. Het zwembad bevindt zich in uw datsja. Het is warm en ik wil heel graag zwemmen. Maar... het zwembad heeft geen bodem! Je moet de bodem van het zwembad bedekken met tegels. Hoeveel tegels heb je nodig? Om dit te bepalen, moet u het bodemgedeelte van het zwembad kennen.

U kunt eenvoudig door met uw vinger te wijzen berekenen dat de bodem van het zwembad uit kubussen van meter bij meter bestaat. Als je tegels van één meter bij één meter hebt, heb je stukjes nodig. Het is gemakkelijk... Maar waar heb je zulke tegels gezien? De tegel zal hoogstwaarschijnlijk cm bij cm zijn. En dan word je gemarteld door ‘met je vinger te tellen’. Dan moet je vermenigvuldigen. Dus aan de ene kant van de bodem van het zwembad passen we tegels (stukjes) en aan de andere kant ook tegels. Vermenigvuldig met en je krijgt tegels ().

Is het je opgevallen dat we, om de oppervlakte van de zwembadbodem te bepalen, hetzelfde getal met zichzelf hebben vermenigvuldigd? Wat betekent het? Omdat we hetzelfde getal vermenigvuldigen, kunnen we de techniek van machtsverheffing gebruiken. (Als je maar twee getallen hebt, moet je ze natuurlijk nog steeds vermenigvuldigen of tot een macht verheffen. Maar als je er veel hebt, dan is het veel gemakkelijker om ze tot een macht te verheffen en zijn er ook minder fouten in de berekeningen Voor het Unified State Exam is dit erg belangrijk).
Dus dertig tot de tweede macht is (). Of we kunnen zeggen dat het dertig kwadraat zal zijn. Met andere woorden: de tweede macht van een getal kan altijd als een vierkant worden weergegeven. En omgekeerd: als je een vierkant ziet, is dit ALTIJD de tweede macht van een getal. Een vierkant is een afbeelding van de tweede macht van een getal.

Voorbeeld uit het echte leven #2

Hier is een taak voor je: tel hoeveel vakjes er op het schaakbord zijn met behulp van het kwadraat van het getal... Aan de ene kant van de cellen en ook aan de andere kant. Om hun aantal te berekenen, moet je acht met acht vermenigvuldigen, of... als je merkt dat een schaakbord een vierkant is met een zijde, dan kun je vierkant acht maken. Je krijgt cellen. () Dus?

Voorbeeld uit het echte leven #3

Nu de derde macht of de derde macht van een getal. Hetzelfde zwembad. Maar nu moet je uitvinden hoeveel water er in dit zwembad moet worden gegoten. U moet het volume berekenen. (Volumes en vloeistoffen worden trouwens gemeten in kubieke meters. Onverwacht, toch?) Teken een bassin: de bodem is een meter groot en een meter diep, en probeer te berekenen hoeveel kubussen van een meter bij een meter er zullen zijn passen in uw zwembad.

Wijs gewoon met uw vinger en tel! Eén, twee, drie, vier...tweeëntwintig,drieëntwintig...Hoeveel heb je er gekregen? Niet verloren? Is het moeilijk om met je vinger te tellen? Dat is het! Neem een ​​voorbeeld van wiskundigen. Ze zijn lui, dus merkten ze dat je, om het volume van het zwembad te berekenen, de lengte, breedte en hoogte met elkaar moet vermenigvuldigen. In ons geval zal het volume van het zwembad gelijk zijn aan kubussen... Makkelijker, toch?

Stel je nu eens voor hoe lui en sluw wiskundigen zijn als ze dit ook vereenvoudigden. We hebben alles teruggebracht tot één actie. Ze merkten dat de lengte, breedte en hoogte gelijk zijn en dat hetzelfde getal met zichzelf wordt vermenigvuldigd... Wat betekent dit? Dit betekent dat u kunt profiteren van het diploma. Dus wat je ooit met je vinger telde, doen ze in één handeling: drie in blokjes is gelijk. Het is als volgt geschreven: .

Het enige dat overblijft is onthoud de gradentabel. Tenzij je natuurlijk net zo lui en sluw bent als wiskundigen. Als je graag hard werkt en fouten maakt, kun je met je vinger blijven tellen.

Nou, om je eindelijk te overtuigen dat graden zijn uitgevonden door opgevers en sluwe mensen om hun eigen problemen op te lossen levensproblemen, en om geen problemen voor je te creëren, zijn hier nog een paar voorbeelden uit het leven.

Voorbeeld uit het echte leven #4

Je hebt een miljoen roebel. Aan het begin van elk jaar verdient u voor elk miljoen dat u verdient nog een miljoen. Dat wil zeggen, elk miljoen dat je hebt, verdubbelt aan het begin van elk jaar. Hoeveel geld heb je over jaren? Als je nu zit en 'met je vinger telt', dan ben je een heel hardwerkend persoon en... dom. Maar hoogstwaarschijnlijk geef je binnen een paar seconden antwoord, omdat je slim bent! Dus, in het eerste jaar - twee vermenigvuldigd met twee... in het tweede jaar - wat gebeurde er, met nog eens twee, in het derde jaar... Stop! Je hebt gemerkt dat het getal keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Dus twee tot de vijfde macht is een miljoen! Stel je nu voor dat je een wedstrijd hebt en degene die het snelst kan tellen, krijgt deze miljoenen... Het is de moeite waard om de macht van getallen te onthouden, vind je niet?

Voorbeeld uit het echte leven #5

Je hebt een miljoen. Aan het begin van elk jaar verdien je voor elk miljoen dat je verdient er nog twee. Geweldig toch? Elk miljoen wordt verdrievoudigd. Hoeveel geld heb je over een jaar? Laten we tellen. Het eerste jaar - vermenigvuldig met, dan het resultaat met nog een... Het is al saai, omdat je alles al hebt begrepen: drie wordt vermenigvuldigd met zichzelf. Dus tot de vierde macht is het gelijk aan een miljoen. Je hoeft alleen maar te onthouden dat drie tot de vierde macht of is.

Nu weet je dat je je leven een stuk gemakkelijker zult maken door een getal tot een macht te verheffen. Laten we eens nader bekijken wat u met diploma's kunt doen en wat u erover moet weten.

Termen en concepten... om geen verwarring te veroorzaken

Laten we dus eerst de concepten definiëren. Denk je dat wat is een exponent? Het is heel eenvoudig: het is het getal dat "bovenaan" de macht van het getal staat. Niet wetenschappelijk, maar duidelijk en gemakkelijk te onthouden...

Nou ja, tegelijkertijd, wat een dergelijke graadbasis? Nog eenvoudiger: dit is het nummer dat zich hieronder, aan de basis, bevindt.

Hier is een tekening voor de goede orde.

Wel binnen algemeen beeld, om te generaliseren en beter te onthouden... Een graad met een grondtal “ ” en een exponent “ ” wordt gelezen als “tot op de graad” en wordt als volgt geschreven:

Macht van een getal met natuurlijke exponent

Je raadt het waarschijnlijk al: omdat de exponent dat is natuurlijk getal. Ja, maar wat is het natuurlijk getal? Elementair! Natuurlijke getallen zijn de getallen die worden gebruikt bij het tellen bij het opsommen van objecten: één, twee, drie... Als we objecten tellen, zeggen we niet: ‘min vijf’, ‘min zes’, ‘min zeven’. We zeggen ook niet: “een derde”, of “nul komma vijf”. Dit zijn geen natuurlijke getallen. Welke cijfers zijn dit volgens jou?

Getallen als “min vijf”, “min zes”, “min zeven” verwijzen naar hele getallen. Over het algemeen omvatten gehele getallen alle natuurlijke getallen, getallen die tegengesteld zijn aan natuurlijke getallen (dat wil zeggen, genomen met een minteken) en getallen. Nul is gemakkelijk te begrijpen: het is wanneer er niets is. Wat betekenen negatieve (“minus”) getallen? Maar ze zijn vooral uitgevonden om schulden aan te geven: als je een saldo op je telefoon hebt in roebels, betekent dit dat je de operator roebels verschuldigd bent.

Alle breuken zijn rationale getallen. Hoe zijn ze ontstaan, denk je? Heel eenvoudig. Enkele duizenden jaren geleden ontdekten onze voorouders dat ze geen natuurlijke getallen hadden om lengte, gewicht, oppervlakte, enz. te meten. En ze kwamen met rationale getallen... Interessant, nietwaar?

Er zijn ook irrationele getallen. Wat zijn deze cijfers? Kortom, eindeloos decimale. Als u bijvoorbeeld de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, krijgt u een irrationeel getal.

Cv:

Laten we het concept definiëren van een graad waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen geheel getal en positief).

1. Elk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf:
2. Een getal kwadrateren betekent het met zichzelf vermenigvuldigen:
3. Een getal tot een derde vermenigvuldigen betekent het drie keer met zichzelf vermenigvuldigen:

Definitie. Verhoog het getal naar natuurlijke graad- betekent het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf maal:
.

Eigenschappen van graden

Waar kwamen deze eigendommen vandaan? Ik zal het je nu laten zien.

Laten we eens kijken: wat is het En ?

Per definitie:

Hoeveel vermenigvuldigers zijn er in totaal?

Het is heel eenvoudig: we hebben vermenigvuldigers aan de factoren toegevoegd, en het resultaat zijn vermenigvuldigers.

Maar per definitie is dit een macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen: , en dat is wat bewezen moest worden.

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing:

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing: Het is belangrijk om dit in onze regel op te merken Noodzakelijkerwijs er moeten dezelfde redenen zijn!
Daarom combineren we de krachten met de basis, maar het blijft een aparte factor:

alleen voor het product van machten!

Dat kun je in geen geval schrijven.

2. Dat is alles e macht van een getal

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, kijken naar de definitie van graad:

Het blijkt dat de uitdrukking keer op keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat dit volgens de definitie de e-macht van het getal is:

In wezen kan dit worden genoemd: “de indicator tussen haakjes zetten.” Maar je kunt dit nooit in totaal doen:

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven?

Maar dit is tenslotte niet waar.

Macht met negatieve basis

Tot nu toe hebben we alleen besproken wat de exponent zou moeten zijn.

Maar wat moet de basis zijn?

In bevoegdheden van natuurlijke indicator de basis kan zijn elk nummer. We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn.

Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") graden van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Is het getal bijvoorbeeld positief of negatief? A? ? Bij de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar de negatieve zijn iets interessanter. We herinneren ons de eenvoudige regel uit het 6e leerjaar: “min voor min geeft een plus.” Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen, werkt het.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

Is het je gelukt?

Hier zijn de antwoorden: Ik hoop dat alles duidelijk is in de eerste vier voorbeelden? We kijken eenvoudigweg naar het grondtal en de exponent en passen de juiste regel toe.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt immers niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is gelijk, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn.

Nou ja, behalve als de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, aangezien (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig!

6 voorbeelden om te oefenen

Analyse van de oplossing 6 voorbeelden

Wat zien we hier als we de achtste macht negeren? Laten we het programma van groep 7 niet vergeten. Weet je nog? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil in kwadraten! Wij krijgen:

Laten we goed naar de noemer kijken. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? De volgorde van de termen is verkeerd. Als ze zouden worden teruggedraaid, zou de regel van toepassing kunnen zijn.

Maar hoe moet je dit doen? Het blijkt heel eenvoudig: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Op magische wijze veranderden de termen van plaats. Dit ‘fenomeen’ is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes gemakkelijk veranderen.

Maar het is belangrijk om te onthouden: alle borden veranderen tegelijkertijd!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Geheel we noemen de natuurlijke getallen, hun tegenpolen (dat wil zeggen, genomen met het teken " ") en het getal.

positief geheel getal, en het is niet anders dan natuurlijk, dan ziet alles er precies zo uit als in de vorige sectie.

Laten we nu naar nieuwe gevallen kijken. Laten we beginnen met een indicator gelijk aan.

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één:

Laten we ons zoals altijd de vraag stellen: waarom is dit zo?

Laten we een graad met een basis overwegen. Neem bijvoorbeeld en vermenigvuldig met:

Dus vermenigvuldigden we het getal met, en we kregen hetzelfde als het was: . Met welk getal moet je vermenigvuldigen zodat er niets verandert? Dat klopt, op. Middelen.

We kunnen hetzelfde doen met een willekeurig getal:

Laten we de regel herhalen:

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één.

Maar op veel regels bestaan ​​uitzonderingen. En hier is het ook daar - dit is een getal (als basis).

Aan de ene kant moet het in welke mate dan ook gelijk zijn - hoeveel je nul ook met zichzelf vermenigvuldigt, je krijgt nog steeds nul, dit is duidelijk. Maar aan de andere kant moet het, zoals elk getal tot de macht nul, gelijk zijn. Dus hoeveel hiervan is waar? De wiskundigen besloten er niet bij betrokken te raken en weigerden nul tot de macht nul te verheffen. Dat wil zeggen, nu kunnen we niet alleen door nul delen, maar het ook tot de macht nul verheffen.

Laten we verder gaan. Naast natuurlijke getallen en getallen omvatten gehele getallen ook negatieve getallen. Om te begrijpen wat een negatieve graad is, gaan we doen zoals de vorige keer: vermenigvuldig een normaal getal met hetzelfde getal in negatieve graad:

Vanaf hier kunt u eenvoudig aangeven wat u zoekt:

Laten we nu de resulterende regel in willekeurige mate uitbreiden:

Laten we dus een regel formuleren:

Een getal met een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal met een positieve macht. Maar tegelijkertijd De basis kan niet nul zijn:(omdat je niet kunt delen door).

Laten we het samenvatten:

I. De uitdrukking is niet gedefinieerd in de casus. Als, dan.

II. Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één: .

III. Nummer, niet gelijk aan nul, in negatieve mate is het omgekeerde van hetzelfde getal in positieve mate: .

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Zoals gewoonlijk voorbeelden van onafhankelijke oplossingen:

Analyse van problemen voor onafhankelijke oplossing:

Ik weet het, ik weet het, de cijfers zijn beangstigend, maar bij het Unified State Exam moet je op alles voorbereid zijn! Los deze voorbeelden op of analyseer hun oplossingen als u ze niet kunt oplossen. Op het examen leert u er gemakkelijk mee omgaan!

Laten we doorgaan met het uitbreiden van het bereik van getallen die “geschikt” zijn als exponent.

Laten we nu eens overwegen rationale getallen. Welke getallen worden rationeel genoemd?

Antwoord: alles dat kan worden weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn, en.

Om te begrijpen wat het is "fractionele graad", beschouw de breuk:

Laten we beide kanten van de vergelijking verheffen tot een macht:

Laten we nu de regel onthouden "graad tot graad":

Welk getal moet verheven worden tot een macht om te krijgen?

Deze formulering is de definitie van de wortel van de e graad.

Laat me je eraan herinneren: de wortel van de e-macht van een getal () is een getal dat, wanneer het tot een macht wordt verheven, gelijk is aan.

Dat wil zeggen, de wortel van de e-macht is de omgekeerde werking van het verheffen tot een macht: .

Dat blijkt. Uiteraard is dit speciale geval uitbreidbaar: .

Nu voegen we de teller toe: wat is het? Het antwoord is eenvoudig te verkrijgen met behulp van de power-to-power-regel:

Maar kan de basis een willekeurig getal zijn? De wortel kan immers niet uit alle getallen worden afgeleid.

Geen!

Laten we de regel onthouden: elk getal tot een even macht is een positief getal. Dat wil zeggen, het is onmogelijk om zelfs wortels uit negatieve getallen te halen!

Dit betekent dat dergelijke getallen niet kunnen worden verheven tot een fractionele macht met een even noemer, dat wil zeggen dat de uitdrukking geen betekenis heeft.

Hoe zit het met de uitdrukking?

Maar hier ontstaat een probleem.

Het getal kan bijvoorbeeld worden weergegeven in de vorm van andere, reduceerbare breuken, of.

En het blijkt dat het bestaat, maar niet bestaat, maar dit zijn slechts twee verschillende records van hetzelfde nummer.

Of nog een voorbeeld: één keer, dan kun je het opschrijven. Maar als we de indicator anders opschrijven, komen we opnieuw in de problemen: (dat wil zeggen, we hebben een heel ander resultaat!).

Om dergelijke paradoxen te vermijden, overwegen we alleen positieve basisexponent met fractionele exponent.

Dus als:

• — natuurlijk getal;
• - geheel getal;

Voorbeelden:

Rationele exponenten zijn erg handig voor het transformeren van uitdrukkingen met wortels, bijvoorbeeld:

5 voorbeelden om te oefenen

Analyse van 5 voorbeelden voor training

Nou, nu komt het moeilijkste deel. Nu gaan we het uitzoeken graad met irrationele exponent.

Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als die voor een graad met een rationale exponent, met uitzondering van die

Irrationele getallen zijn immers per definitie getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen dat irrationele getallen allemaal reële getallen zijn, behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met natuurlijke, gehele en rationele exponenten creëerden we elke keer een bepaald ‘beeld’, ‘analogie’ of beschrijving in meer vertrouwde termen.

Een graad met een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd;

...getal tot de macht nul- dit is als het ware een getal dat één keer met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat ze nog niet zijn begonnen het te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaald "leeg getal" , namelijk een getal;

...negatieve gehele graad- het is alsof er een "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe exponent gebruikt, dat wil zeggen dat de exponent niet eens een reëel getal is.

Maar op school denken we niet aan zulke moeilijkheden; op het instituut krijg je de kans om deze nieuwe concepten te begrijpen.

WAAR WE ZEKER ZIJN DAT JE GAAT! (als je dergelijke voorbeelden leert oplossen :))

Bijvoorbeeld:

Beslis zelf:

Analyse van oplossingen:

1. Laten we beginnen met de gebruikelijke regel om een ​​macht tot een macht te verheffen:

Kijk nu naar de indicator. Herinnert hij je nergens aan? Laten we ons de formule herinneren voor de verkorte vermenigvuldiging van het verschil in vierkanten:

In dit geval

Het blijkt dat:

Antwoord: .

2. We reduceren breuken in exponenten tot dezelfde vorm: beide decimalen of beide gewone decimalen. We krijgen bijvoorbeeld:

Antwoord: 16

3. Niets bijzonders, we gebruiken de gebruikelijke eigenschappen van graden:

GEAVANCEERD NIVEAU

Bepaling van de graad

Een graad is een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

• — graadbasis;
• - exponent.

Graad met natuurlijke indicator (n = 1, 2, 3,...)

Een getal verheffen tot de natuurlijke macht n betekent dat je het getal keer met zichzelf vermenigvuldigt:

Graad met een gehele exponent (0, ±1, ±2,...)

Als de exponent dat is positief geheel getal nummer:

Bouw tot nul graden:

De uitdrukking is onbepaald, omdat enerzijds dit in elke graad is, en anderzijds elk getal tot de e graad dit is.

Als de exponent dat is negatief geheel getal nummer:

(omdat je niet kunt delen door).

Nogmaals over nullen: de uitdrukking is niet gedefinieerd in het geval. Als, dan.

Voorbeelden:

Macht met rationele exponent

• — natuurlijk getal;
• - geheel getal;

Voorbeelden:

Eigenschappen van graden

Laten we, om het gemakkelijker te maken om problemen op te lossen, proberen te begrijpen: waar komen deze eigenschappen vandaan? Laten we ze bewijzen.

Laten we eens kijken: wat is en?

Per definitie:

Dus aan de rechterkant van deze uitdrukking krijgen we het volgende product:

Maar per definitie is het een macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen:

QED

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : .

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : Het is belangrijk om dit in onze regel op te merken Noodzakelijkerwijs er moeten dezelfde redenen zijn. Daarom combineren we de krachten met de basis, maar het blijft een aparte factor:

Nog een belangrijke opmerking: deze regel - alleen voor het product van machten!

Dat kun je in geen geval schrijven.

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, kijken naar de definitie van graad:

Laten we dit werk als volgt hergroeperen:

Het blijkt dat de uitdrukking keer op keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat dit volgens de definitie de e-macht van het getal is:

In wezen kan dit worden genoemd: “de indicator tussen haakjes zetten.” Maar je kunt dit nooit in totaal doen: !

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven? Maar dit is tenslotte niet waar.

Macht met een negatieve basis.

Tot nu toe hebben we alleen besproken hoe het zou moeten zijn indicator graden. Maar wat moet de basis zijn? In bevoegdheden van natuurlijk indicator de basis kan zijn elk nummer .

We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn. Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") graden van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Is het getal bijvoorbeeld positief of negatief? A? ?

Bij de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar de negatieve zijn iets interessanter. We herinneren ons de eenvoudige regel uit het 6e leerjaar: “min voor min geeft een plus.” Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen met (), krijgen we - .

En zo verder tot in het oneindige: bij elke volgende vermenigvuldiging verandert het teken. We kunnen het volgende formuleren eenvoudige regels:

1. zelfs graad, - getal positief.
2. Negatief getal verhoogd naar vreemd graad, - getal negatief.
3. Positief getal in welke mate dan ook is een positief getal.
4. Nul tot elke macht is gelijk aan nul.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

Is het je gelukt? Hier zijn de antwoorden:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ik hoop dat alles duidelijk is in de eerste vier voorbeelden? We kijken eenvoudigweg naar het grondtal en de exponent en passen de juiste regel toe.

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt immers niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is gelijk, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn. Nou ja, behalve als de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, aangezien (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig. Hier moet je uitzoeken wat minder is: of? Als we dat onthouden, wordt dat duidelijk, wat betekent dat de basis kleiner is dan nul. Dat wil zeggen, we passen regel 2 toe: het resultaat zal negatief zijn.

En opnieuw gebruiken we de definitie van graad:

Alles is zoals gewoonlijk - we schrijven de definitie van graden op en verdelen ze door elkaar, verdelen ze in paren en krijgen:

Voordat je het uit elkaar haalt laatste regel Laten we een paar voorbeelden oplossen.

Bereken de uitdrukkingen:

Oplossingen :

Wat zien we hier als we de achtste macht negeren? Laten we het programma van groep 7 niet vergeten. Weet je nog? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil in kwadraten!

Wij krijgen:

Laten we goed naar de noemer kijken. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? De volgorde van de termen is verkeerd. Als ze omgekeerd zouden worden, zou regel 3 van toepassing kunnen zijn. Maar hoe? Het blijkt heel eenvoudig: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Als je het vermenigvuldigt, verandert er niets, toch? Maar nu komt het zo uit:

Op magische wijze veranderden de termen van plaats. Dit ‘fenomeen’ is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes gemakkelijk veranderen. Maar het is belangrijk om te onthouden: Alle borden veranderen tegelijkertijd! Je kunt het niet vervangen door slechts één nadeel te veranderen dat we niet leuk vinden!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Dus nu de laatste regel:

Hoe gaan we het bewijzen? Natuurlijk, zoals gewoonlijk: laten we het concept van diploma uitbreiden en vereenvoudigen:

Laten we nu de haakjes openen. Hoeveel letters zijn er in totaal? maal door vermenigvuldigers - waar doet dit je aan denken? Dit is niets meer dan een definitie van een operatie vermenigvuldiging: Er waren daar alleen vermenigvuldigers. Dat wil zeggen, dit is per definitie een macht van een getal met een exponent:

Voorbeeld:

Graad met irrationele exponent

Naast informatie over graden voor het gemiddelde niveau, analyseren we de graad met een irrationele exponent. Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor een graad met een rationale exponent, met de uitzondering: irrationele getallen zijn immers per definitie getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen irrationele getallen zijn alle reële getallen behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met natuurlijke, gehele en rationele exponenten creëerden we elke keer een bepaald ‘beeld’, ‘analogie’ of beschrijving in meer vertrouwde termen. Een graad met een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd; een getal tot de macht nul is als het ware een getal dat keer met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen, ze zijn nog niet begonnen het te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaalde “leeg getal”, namelijk een getal; een graad met een geheel getal negatieve exponent - het is alsof er een "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Het is uiterst moeilijk om een ​​graad met een irrationele exponent voor te stellen (net zoals het moeilijk is om een ​​vierdimensionale ruimte voor te stellen). Het is eerder een puur wiskundig object dat wiskundigen hebben gemaakt om het concept van graad uit te breiden naar de hele ruimte van getallen.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe exponent gebruikt, dat wil zeggen dat de exponent niet eens een reëel getal is. Maar op school denken we niet aan zulke moeilijkheden; op het instituut krijg je de kans om deze nieuwe concepten te begrijpen.

Dus wat doen we als we een irrationele exponent zien? Wij doen ons best om er vanaf te komen! :)

Bijvoorbeeld:

Beslis zelf:

Antwoorden:

1. Laten we de formule voor het verschil in vierkanten onthouden. Antwoord: .
2. We reduceren de breuken tot dezelfde vorm: beide decimalen of beide gewone. Wij krijgen bijvoorbeeld: .
3. Niets bijzonders, we gebruiken de gebruikelijke eigenschappen van graden:

SAMENVATTING VAN DE SECTIE EN BASISFORMULES

Rang heet een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

Graad met een gehele exponent

een graad waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen geheel getal en positief).

Macht met rationele exponent

graad, waarvan de exponent negatieve en fractionele getallen is.

Graad met irrationele exponent

een graad waarvan de exponent een oneindige decimale breuk of wortel is.

Eigenschappen van graden

Kenmerken van graden.

• Negatief getal verhoogd naar zelfs graad, - getal positief.
• Negatief getal verhoogd naar vreemd graad, - getal negatief.
• Een positief getal, in welke mate dan ook, is een positief getal.
• Nul is gelijk aan elke macht.
• Elk getal tot de macht nul is gelijk.

NU HEB JE HET WOORD...

Wat vind je van het artikel? Schrijf hieronder in de reacties of je het leuk vond of niet.

Vertel ons over uw ervaringen met het gebruik van diploma-eigenschappen.

Misschien heeft u vragen. Of suggesties.

Schrijf in de reacties.

En succes met je examens!

I. Werk N factoren, die allemaal gelijk zijn A genaamd N-de macht van het getal A en wordt aangewezen AN.

Voorbeelden. Schrijf het product als een diploma.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Oplossing.

1) mmmm=m 4, aangezien een graad per definitie het product is van vier factoren, die elk gelijk zijn M, zullen vierde macht van m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. De actie waarmee het product van verschillende gelijke factoren wordt gevonden, wordt machtsverheffing genoemd. Het getal dat tot een macht wordt verheven, wordt het grondtal van de macht genoemd. Het getal dat aangeeft tot welke macht het grondtal wordt verhoogd, wordt de exponent genoemd. Dus, AN- rang, A– de basis van de graad, N– exponent. Bijvoorbeeld:

2 3 — het is een diploma. Nummer 2 is het grondtal van de graad waaraan de exponent gelijk is 3 . Graad waarde 2 3 gelijk aan 8, omdat 2 3 =2·2·2=8.

Voorbeelden. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder de exponent.

5) 4 3; 6) een3b2c3; 7) een 3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Oplossing.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) een 3 b 2 c 3 = aaabbcccc; 7) een 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. en 0 =1 Elk getal (behalve nul) tot de macht nul is gelijk aan één. Bijvoorbeeld 25 0 =1.
IV. een 1 =eenElk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf.

V. ben∙ een= ben + N Bij het vermenigvuldigen van machten met dezelfde grondtallen blijft het grondtal hetzelfde, evenals de exponenten gevouwen

Voorbeelden. Vereenvoudigen:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 + b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Oplossing.

9) een · een 3 · een 7=een 1+3+7 =een 11 ; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b2+3 =1+b5;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. ben: een= ben - NBij het delen van machten met hetzelfde grondtal blijft het grondtal hetzelfde en wordt de exponent van de deler afgetrokken van de exponent van het deeltal.

Voorbeelden. Vereenvoudigen:

12) een 8:a3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12)een 8:een 3=een 8-3 =een 5; 13)m11:m4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (ben) N= een mn Wanneer je een macht tot een macht verheft, blijft het grondtal hetzelfde en worden de exponenten vermenigvuldigd.

Voorbeelden. Vereenvoudigen:

15) (een 3) 4; 16) (c5) 2.

15) (een 3) 4=een 3·4 =een 12 ; 16) (c5) 2=c 5 2 =c 10.

Let op, wat, aangezien het product niet verandert door het herschikken van de factoren, Dat:

15) (een 3) 4 = (een 4) 3; 16) (c5) 2 = (c2) 5 .

VI II. (a∙b) n =een n ∙b n

Voorbeelden. Vereenvoudigen:

Wanneer je een product tot een macht verheft, wordt elk van de factoren tot die macht verheven.

Oplossing.

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 40 2. 17) (2a 2) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6

=(0,2·5) 6 =1 6 =1; 19) 0,25 2 40 2

=(0,25·40) 2 =10 2 =100. IX.

Voorbeelden. Vereenvoudigen:

Oplossing.

Wanneer je een breuk tot een macht verheft, worden zowel de teller als de noemer van de breuk tot die macht verheven.