Video-tutorial 2: Piramide probleem. Volume van de piramide

Video-tutorial 3: Piramide probleem. Juiste piramide

Lezing: De piramide, zijn basis, zijribben, hoogte, zijvlak; driehoekige piramide; reguliere piramide

Piramide- Dit volumetrisch lichaam, die een veelhoek aan de basis heeft, en al zijn vlakken bestaan ​​uit driehoeken.

Een speciaal geval van een piramide is een kegel met een cirkel aan de basis.

Laten we eens kijken naar de belangrijkste elementen van de piramide:

Apothema- dit is een segment dat de bovenkant van de piramide verbindt met het midden van de onderrand van het zijvlak. Met andere woorden, dit is de hoogte van de rand van de piramide.

In de figuur zie je de driehoeken ADS, ABS, BCS, CDS. Als je goed naar de namen kijkt, kun je zien dat elke driehoek één gemeenschappelijke letter in zijn naam heeft: S. Dat wil zeggen, dit betekent dat alle zijvlakken (driehoeken) op één punt samenkomen, wat de top van de piramide wordt genoemd. .

Het segment OS dat het hoekpunt verbindt met het snijpunt van de diagonalen van de basis (in het geval van driehoeken - op het snijpunt van de hoogten) wordt genoemd piramide hoogte.

Een diagonale doorsnede is een vlak dat door de bovenkant van de piramide gaat, evenals door een van de diagonalen van de basis.

Omdat het zijoppervlak van de piramide uit driehoeken bestaat, is het voor het vinden van de totale oppervlakte van het zijoppervlak noodzakelijk om de oppervlakte van elk vlak te vinden en deze bij elkaar op te tellen. Het aantal en de vorm van vlakken hangt af van de vorm en grootte van de zijden van de veelhoek die aan de basis ligt.

Het enige vlak in een piramide dat niet tot zijn hoekpunt behoort, wordt genoemd basis piramides.

In de figuur zien we dat de basis een parallellogram is, maar dit kan elke willekeurige veelhoek zijn.

Eigenschappen:

Beschouw het eerste geval van een piramide, waarin deze randen van dezelfde lengte heeft:

• Rond de basis van zo'n piramide kan een cirkel worden getekend. Als je de top van zo'n piramide projecteert, bevindt de projectie zich in het midden van de cirkel.
• De hoeken aan de basis van de piramide zijn op elk vlak hetzelfde.
• In dit geval kan een voldoende voorwaarde voor het feit dat een cirkel rond de basis van de piramide kan worden beschreven, en ook dat alle randen een verschillende lengte hebben, worden beschouwd als dezelfde hoeken tussen de basis en elke rand van de vlakken.

Als je een piramide tegenkomt waarvan de hoeken tussen de zijvlakken en de basis gelijk zijn, dan zijn de volgende eigenschappen waar:

• Je zult een cirkel rond de basis van de piramide kunnen beschrijven, waarvan de top precies in het midden geprojecteerd is.
• Als u elke zijrand van de hoogte naar de basis trekt, hebben ze dezelfde lengte.
• Om het zijoppervlak van een dergelijke piramide te vinden, volstaat het om de omtrek van de basis te vinden en deze met de helft van de lengte van de hoogte te vermenigvuldigen.
• S bp = 0,5P oc H.
• Soorten piramides.
• Afhankelijk van welke polygoon aan de basis van de piramide ligt, kunnen deze driehoekig, vierhoekig, etc. zijn. Als de basis van de piramide ligt regelmatige veelhoek(met gelijke zijden), dan wordt zo'n piramide regelmatig genoemd.

Regelmatige driehoekige piramide

• apothema- de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, die wordt getrokken vanaf het hoekpunt (bovendien is de apothema de lengte van de loodlijn, die wordt verlaagd van het midden van de regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden);
• zijvlakken (ASB, BSC, CSD, DSA) - driehoeken die elkaar ontmoeten bij het hoekpunt;
• laterale ribben ( ALS , B.S. , C.S. , DS ) — gemeenschappelijke zijden van de zijvlakken;
• top van de piramide (t. S) - een punt dat de zijribben verbindt en dat niet in het vlak van de basis ligt;
• hoogte ( DUS ) - een loodrecht segment dat door de top van de piramide naar het vlak van de basis wordt getrokken (de uiteinden van een dergelijk segment zijn de top van de piramide en de basis van de loodlijn);
• diagonale doorsnede van de piramide- een deel van de piramide dat door de bovenkant en de diagonaal van de basis loopt;
• baseren (ABCD) - een veelhoek die niet tot het hoekpunt van de piramide behoort.

Eigenschappen van de piramide.

1. Als alle zijranden even groot zijn, dan:

• het is gemakkelijk om een ​​cirkel nabij de basis van de piramide te beschrijven, en de top van de piramide zal in het midden van deze cirkel worden geprojecteerd;
• de zijribben vormen gelijke hoeken met het vlak van de basis;
• Bovendien is het tegenovergestelde ook waar, d.w.z. wanneer de laterale ribben zich vormen met het vlak van de basis gelijke hoeken, of wanneer een cirkel kan worden beschreven nabij de basis van de piramide en de top van de piramide in het midden van deze cirkel wordt geprojecteerd, wat betekent dat alle zijranden van de piramide even groot zijn.

2. Als de zijvlakken een hellingshoek hebben met het vlak van de basis van dezelfde waarde, dan:

• het is gemakkelijk om een ​​cirkel nabij de basis van de piramide te beschrijven, en de top van de piramide zal in het midden van deze cirkel worden geprojecteerd;
• de hoogten van de zijvlakken zijn even lang;
• de oppervlakte van het zijoppervlak is gelijk aan ½ van het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het zijvlak.

3. Een bol kan rond een piramide worden beschreven als er aan de basis van de piramide een veelhoek is waarrond een cirkel kan worden beschreven (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Het middelpunt van de bol zal het snijpunt zijn van de vlakken die door het midden van de randen van de piramide loodrecht daarop gaan. Uit deze stelling concluderen we dat een bol zowel rond elke driehoekige als rond elke reguliere piramide kan worden beschreven.

4. Een bol kan in een piramide worden ingeschreven als de bissectricevlakken van de interne tweevlakshoeken van de piramide elkaar snijden in het eerste punt (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Dit punt wordt het middelpunt van de bol.

De eenvoudigste piramide.

Op basis van het aantal hoeken is de basis van de piramide verdeeld in driehoekig, vierhoekig, enzovoort.

Er zal een piramide zijn driehoekig, vierhoekig, enzovoort, wanneer de basis van de piramide een driehoek, een vierhoek, enzovoort is. Een driehoekige piramide is een tetraëder - een tetraëder. Vierhoekig - vijfhoekig enzovoort.

Piramide. Afgeknotte piramide

Piramide is een veelvlak, waarvan één zijde een veelhoek is ( baseren ), en alle andere vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt ( zijvlakken ) (Afb. 15). De piramide heet juist , als de basis een regelmatige veelhoek is en de top van de piramide in het midden van de basis geprojecteerd is (Fig. 16). Een driehoekige piramide waarvan alle randen gelijk zijn, wordt genoemd tetraëder .

Laterale rib van een piramide is de zijde van het zijvlak die niet tot de basis behoort Hoogte piramide is de afstand van de top tot het vlak van de basis. Alle zijranden van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar, alle zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken. De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema . Diagonaal gedeelte wordt een doorsnede van een piramide genoemd door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Zijoppervlak piramide is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Gebied volledige oppervlakte wordt de som van de oppervlakten van alle zijvlakken en de basis genoemd.

Stellingen

1. Als in een piramide alle zijranden even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van de omgeschreven cirkel nabij de basis.

2. Als in een piramide alle zijranden dezelfde lengte hebben, wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die nabij de basis wordt omgeschreven.

3. Als alle vlakken in een piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die in de basis is ingeschreven.

Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de juiste formule:

Waar V- volume;

S-basis– basisoppervlakte;

H– hoogte van de piramide.

Voor een gewone piramide zijn de volgende formules correct:

Waar P– basisomtrek;

h een– apothema;

H- hoogte;

S vol

S-kant

S-basis– basisoppervlakte;

V– volume van een regelmatige piramide.

Afgeknotte piramide wordt het deel van de piramide genoemd dat is ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide (Fig. 17). Regelmatige afgeknotte piramide is het deel van een regelmatige piramide, ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide.

Redenen afgeknotte piramide - vergelijkbare veelhoeken. Zijkanten – trapeziums. Hoogte van een afgeknotte piramide is de afstand tussen de bases. Diagonaal een afgeknotte piramide is een segment dat de hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen. Diagonaal gedeelte is een doorsnede van een afgeknotte piramide door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Voor een afgeknotte piramide gelden de volgende formules:

(4)

Waar S 1 , S 2 – gebieden van de bovenste en onderste basis;

S vol– totale oppervlakte;

S-kant– zijoppervlak;

H- hoogte;

V– volume van een afgeknotte piramide.

Voor een regelmatige afgeknotte piramide is de formule correct:

Waar P 1 , P 2 – omtrekken van de bases;

h een– apothema van een regelmatige afgeknotte piramide.

Voorbeeld 1. Rechts driehoekige piramide tweevlakshoek aan de basis is 60º. Zoek de raaklijn van de hellingshoek van de zijkant met het vlak van de basis.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 18).

De piramide is correct, dat wil zeggen aan de basis gelijkzijdige driehoek en alle zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken. De tweevlakshoek aan de basis is de hellingshoek van het zijvlak van de piramide ten opzichte van het vlak van de basis. De lineaire hoek is de hoek A tussen twee loodlijnen: enz. De top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de driehoek (het midden van de omgeschreven cirkel en de ingeschreven cirkel van de driehoek abc). De hellingshoek van de zijkant (bijv S.B.) is de hoek tussen de rand zelf en de projectie ervan op het vlak van de basis. Voor de rib S.B. deze hoek zal de hoek zijn SBD. Om de raaklijn te vinden, moet je de benen kennen DUS En O.B.. Laten we de lengte van het segment bepalen BD gelijk aan 3 A. Punt OVER segment BD is verdeeld in delen: en Van vinden we DUS: Van vinden we:

Antwoord:

Voorbeeld 2. Vind het volume van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide als de diagonalen van de basis gelijk zijn aan cm en cm, en de hoogte 4 cm is.

Oplossing. Om het volume van een afgeknotte piramide te vinden, gebruiken we formule (4). Om de oppervlakte van de basissen te vinden, moet je de zijden van de basisvierkanten vinden, waarbij je hun diagonalen kent. De zijkanten van de bases zijn respectievelijk gelijk aan 2 cm en 8 cm. Dit betekent de oppervlakte van de bases en door alle gegevens in de formule te vervangen, berekenen we het volume van de afgeknotte piramide:

Antwoord: 112cm3.

Voorbeeld 3. Zoek het gebied van het zijvlak van een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide, waarvan de zijkanten van de basis 10 cm en 4 cm zijn, en de hoogte van de piramide 2 cm.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 19).

Het zijvlak van deze piramide is gelijkbenig trapezium. Om de oppervlakte van een trapezium te berekenen, moet je de basis en hoogte kennen. De basissen worden gegeven volgens de staat, alleen de hoogte blijft onbekend. We zullen haar vinden waar vandaan A 1 E loodrecht op een punt A 1 op het vlak van de onderste basis, A 1 D– loodrecht vanaf A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, aangezien dit de hoogte van de piramide is. Te vinden DE Laten we een extra tekening maken die het bovenaanzicht laat zien (Fig. 20). Punt OVER– projectie van de middelpunten van de bovenste en onderste basis. sinds (zie figuur 20) en aan de andere kant OK– straal ingeschreven in de cirkel en OM– straal ingeschreven in een cirkel:

MK = DE.

Volgens de stelling van Pythagoras uit

Zijvlak:

Antwoord:

Voorbeeld 4. Aan de basis van de piramide ligt een gelijkbenige trapezium, waarvan de basis A En B (A> B). Elk zijvlak vormt een hoek gelijk aan het vlak van de basis van de piramide J. Zoek de totale oppervlakte van de piramide.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 21). Totale oppervlakte van de piramide SABCD gelijk aan de som van de gebieden en het gebied van het trapezium ABCD.

Laten we de stelling gebruiken dat als alle vlakken van de piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven. Punt OVER– hoekpuntprojectie S aan de voet van de piramide. Driehoek ZODE is de orthogonale projectie van de driehoek CSD naar het vlak van de basis. Volgens de stelling over het gebied van orthogonale projectie plat figuur wij krijgen:

Zo betekent het ook Het probleem werd dus beperkt tot het vinden van het gebied van de trapezium ABCD. Laten we een trapezium tekenen ABCD afzonderlijk (Afb. 22). Punt OVER– het middelpunt van een cirkel ingeschreven in een trapezium.

Omdat een cirkel in een trapezium kan worden ingeschreven, hebben we volgens de stelling van Pythagoras

We blijven nadenken over de taken die zijn opgenomen in het Unified State Examination in de wiskunde. We hebben al problemen bestudeerd waarbij de voorwaarde gegeven is en het nodig is om de afstand tussen twee gegeven punten of een hoek te vinden.

Een piramide is een veelvlak, waarvan de basis een veelhoek is, de overige vlakken zijn driehoeken en ze hebben een gemeenschappelijk hoekpunt.

Een regelmatige piramide is een piramide aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt, en het hoekpunt ervan wordt geprojecteerd in het midden van de basis.

Een regelmatige vierhoekige piramide - de basis is een vierkant en wordt geprojecteerd op het snijpunt van de diagonalen van de basis.

ML - apothema
∠MLO - tweevlakshoek aan de basis van de piramide
∠MCO - hoek tussen de zijrand en het vlak van de basis van de piramide

In dit artikel zullen we kijken naar problemen om een ​​reguliere piramide op te lossen. Je moet een element, lateraal oppervlak, volume, hoogte vinden. Natuurlijk moet je de stelling van Pythagoras kennen, de formule voor de oppervlakte van het zijoppervlak van een piramide en de formule voor het vinden van het volume van een piramide.

In het artikel "" presenteert de formules die nodig zijn om problemen in stereometrie op te lossen. Dus de taken:

SABCD punt O- midden van de basis,S hoekpunt, DUS = 51, A.C.= 136. Zoek de zijkantSC.

In dit geval is de basis een vierkant. Dit betekent dat de diagonalen AC en BD gelijk zijn, dat ze elkaar snijden en in tweeën worden gedeeld door het snijpunt. Merk op dat bij een gewone piramide de hoogte die vanaf de bovenkant valt, door het midden van de basis van de piramide gaat. Dus ZO is de hoogte en de driehoekSOCrechthoekig. Dan volgens de stelling van Pythagoras:

Hoe de wortel eruit te halen groot aantal.

Antwoord: 85

Beslis zelf:

Rechts vierhoekige piramide SABCD punt O- midden van de basis, S hoekpunt, DUS = 4, A.C.= 6. Zoek de zijkant SC.

In een regelmatige vierhoekige piramide SABCD punt O- midden van de basis, S hoekpunt, SC = 5, A.C.= 6. Zoek de lengte van het segment DUS.

In een regelmatige vierhoekige piramide SABCD punt O- midden van de basis, S hoekpunt, DUS = 4, SC= 5. Zoek de lengte van het segment A.C..

SABC R- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend AB= 7, een SR= 16. Zoek het zijoppervlak.

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige driehoekige piramide is gelijk aan de helft van het product van de omtrek van de basis en de apothema (apothema is de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf de top):

Of we kunnen dit zeggen: de oppervlakte van het zijoppervlak van de piramide is gelijk aan de som drie vierkanten zijkanten. De zijvlakken in een regelmatige driehoekige piramide zijn driehoeken met een gelijke oppervlakte. In dit geval:

Antwoord: 168

Beslis zelf:

In een regelmatige driehoekige piramide SABC R- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend AB= 1, een SR= 2. Zoek het zijoppervlak.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC R- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend AB= 1, en het oppervlak van het zijoppervlak is 3. Zoek de lengte van het segment SR.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC L- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend SL= 2, en het oppervlak van het zijoppervlak is 3. Zoek de lengte van het segment AB.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC M. Oppervlakte van een driehoek abc is 25, het volume van de piramide is 100. Zoek de lengte van het segment MEVROUW.

De basis van de piramide is een gelijkzijdige driehoek. Dat is waarom Mis het midden van de basis, enMEVROUW- hoogte van een regelmatige piramideSABC. Volume van de piramide SABC is gelijk aan: bekijk de oplossing

In een regelmatige driehoekige piramide SABC de medianen van de basis snijden elkaar op het punt M. Oppervlakte van een driehoek abc gelijk aan 3, MEVROUW= 1. Zoek het volume van de piramide.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC de medianen van de basis snijden elkaar op het punt M. Het volume van de piramide is 1, MEVROUW= 1. Zoek de oppervlakte van de driehoek abc.

Laten we hier eindigen. Zoals u kunt zien, worden problemen in één of twee stappen opgelost. In de toekomst zullen we andere problemen uit dit deel overwegen, waar revolutionaire lichamen worden gegeven, mis het niet!

Veel geluk voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ik zou het op prijs stellen als je me over de site op sociale netwerken vertelt.