Instructies

Partijen en hoeken worden als basiselementen beschouwd A. Een driehoek wordt volledig gedefinieerd door een van de volgende basiselementen: drie zijden, of één zijde en twee hoeken, of twee zijden en een hoek ertussen. Voor het bestaan driehoek gegeven door drie zijden a, b, c, is het noodzakelijk en voldoende om de ongelijkheden te bevredigen die ongelijkheden worden genoemd driehoek:
a+b >c,
a+c > b,
b+c > een.

Om te bouwen driehoek aan drie zijden a, b, c is het noodzakelijk om vanuit punt C van het segment CB = a een cirkel met straal b te tekenen met behulp van een kompas. Teken vervolgens op dezelfde manier een cirkel vanuit punt B met een straal gelijk aan zijde c. Hun snijpunt A is het derde hoekpunt van het gewenste driehoek ABC, waarbij AB=c, CB=a, CA=b - zijden driehoek. Het probleem is als de zijden a, b, c voldoen aan de ongelijkheden driehoek gespecificeerd in stap 1.

Gebied S is op deze manier aangelegd driehoek ABC met bekende zijden a, b, c wordt berekend met de formule van Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
waarbij a, b, c zijden zijn driehoek, p – semi-perimeter.
p = (a+b+c)/2

Als een driehoek gelijkzijdig is, dat wil zeggen, zijn alle zijden gelijk (a=b=c).Oppervlakte driehoek berekend met de formule:
S=(a^2 v3)/4

Als de driehoek rechthoekig is, dat wil zeggen, een van de hoeken is gelijk aan 90°, en de zijden die de driehoek vormen zijn benen, dan is de derde zijde de hypotenusa. In dit geval vierkant is gelijk aan het product van de benen gedeeld door twee.
S=ab/2

Te vinden vierkant driehoek, kunt u een van de vele formules gebruiken. Kies een formule afhankelijk van welke gegevens al bekend zijn.

Je zult nodig hebben

• kennis van formules voor het vinden van de oppervlakte van een driehoek

Instructies

Als u de grootte van een van de zijden kent en de waarde van de hoogte die naar deze zijde is verlaagd vanuit de tegenoverliggende hoek, dan kunt u de oppervlakte als volgt vinden: S = a*h/2, waarbij S de oppervlakte is van de driehoek is a een van de zijden van de driehoek, en h - hoogte, tot zijde a.

Er is een methode bekend om de oppervlakte van een driehoek te bepalen als de drie zijden bekend zijn. Het is de formule van Heron. Om de registratie ervan te vereenvoudigen, wordt een tussenliggende waarde geïntroduceerd: semi-perimeter: p = (a+b+c)/2, waarbij a, b, c - . Dan is de formule van Heron als volgt: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ machtsverheffing.

Laten we aannemen dat je één van de zijden van een driehoek en drie hoeken kent. Dan is het gemakkelijk om de oppervlakte van de driehoek te vinden: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), waarbij β de hoek is tegenovergesteld aan zijde a, en α en γ hoeken zijn grenzend aan de zijkant.

Video over het onderwerp

Let op

De meest algemene formule die voor alle gevallen geschikt is, is de formule van Heron.

Bronnen:

Tip 3: Zo vind je de oppervlakte van een driehoek op basis van drie zijden

Het vinden van de oppervlakte van een driehoek is een van de meest voorkomende problemen bij planimetrie op scholen. Het kennen van de drie zijden van een driehoek is voldoende om de oppervlakte van een driehoek te bepalen. In speciale gevallen van gelijkzijdige driehoeken is het voldoende om de lengtes van respectievelijk twee en één zijde te kennen.

Je zult nodig hebben

• lengtes van zijden van driehoeken, formule van Heron, cosinusstelling

Instructies

De formule van Heron voor de oppervlakte van een driehoek is als volgt: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Als we de halve omtrek p schrijven, krijgen we: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Een formule voor de oppervlakte van een driehoek kun je afleiden uit overwegingen, bijvoorbeeld door de cosinusstelling toe te passen.

Volgens de cosinusstelling is AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Met behulp van de geïntroduceerde notaties kunnen deze ook in de vorm worden geschreven: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dus cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

De oppervlakte van een driehoek wordt ook gevonden met de formule S = a*c*sin(ABC)/2 met behulp van twee zijden en de hoek daartussen. De sinus van hoek ABC kan in termen ervan worden uitgedrukt met behulp van de basis trigonometrische identiteit: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Door de sinus in de formule voor de oppervlakte te vervangen en deze uit te schrijven, kunt u tot de formule voor de oppervlakte komen driehoek ABC.

Video over het onderwerp

Uit te voeren reparatiewerkzaamheden het kan nodig zijn om te meten vierkant muren Het is gemakkelijker om te berekenen benodigde hoeveelheid verf of behang. Voor metingen kunt u het beste een meetlint of meetlint gebruiken. Er moeten daarna metingen worden verricht muren werden genivelleerd.

Je zult nodig hebben

• -roulette;
• -ladder.

Instructies

Om te tellen vierkant muren, je moet de exacte hoogte van de plafonds weten en ook de lengte langs de vloer meten. Dit gaat als volgt: neem een ​​centimeter en leg deze over de plint. Meestal is een centimeter niet genoeg voor de hele lengte, dus zet hem vast in de hoek en rol hem vervolgens uit tot de maximale lengte. Zet op dit punt een markering met een potlood, noteer het verkregen resultaat en voer op dezelfde manier verdere metingen uit, beginnend bij laatste punt metingen

Standaard plafonds zijn 2 meter 80 centimeter, 3 meter en 3 meter 20 centimeter, afhankelijk van de woning. Als het huis vóór de jaren 50 is gebouwd, is de werkelijke hoogte hoogstwaarschijnlijk iets lager dan aangegeven. Als je aan het rekenen bent vierkant voor reparatiewerkzaamheden kan een klein aanbod geen kwaad - overweeg op basis van de standaard. Als u toch de werkelijke hoogte wilt weten, voer dan metingen uit. Het principe is vergelijkbaar met het meten van lengte, maar je hebt dan een trap nodig.

Vermenigvuldig de resulterende indicatoren - dit is vierkant de jouwe muren. Toegegeven, bij het schilderen of schilderen is het noodzakelijk om af te trekken vierkant deur- en raamopeningen. Leg hiervoor een centimeter langs de opening. Als waar we het over hebben over de deur die u vervolgens gaat vervangen, voer dit dan uit terwijl het deurkozijn verwijderd is en houd hier alleen rekening mee vierkant rechtstreeks naar de opening zelf. Het oppervlak van het raam wordt berekend langs de omtrek van het frame. Na vierkant raam en deuropening berekend, trek het resultaat af van de totale resulterende oppervlakte van de kamer.

Houd er rekening mee dat het meten van de lengte en breedte van de kamer door twee personen wordt uitgevoerd, dit maakt het gemakkelijker om de centimeter of het meetlint te bevestigen en daardoor een nauwkeuriger resultaat te krijgen. Voer dezelfde meting meerdere keren uit om er zeker van te zijn dat de cijfers die u krijgt nauwkeurig zijn.

Video over het onderwerp

Het vinden van het volume van een driehoek is echt een niet-triviale taak. Feit is dat een driehoek een tweedimensionale figuur is, d.w.z. het ligt geheel in één vlak, waardoor het eenvoudigweg geen volume heeft. Natuurlijk kun je niet iets vinden dat niet bestaat. Maar laten we niet opgeven! We kunnen de volgende veronderstelling aanvaarden: het volume van een tweedimensionale figuur is zijn oppervlakte. We gaan op zoek naar de oppervlakte van de driehoek.

Je zult nodig hebben

• vel papier, potlood, liniaal, rekenmachine

Instructies

Teken op een stuk papier met behulp van een liniaal en een potlood. Door de driehoek zorgvuldig te onderzoeken, kun je er zeker van zijn dat deze echt geen driehoek heeft, omdat deze in een vlak is getekend. Benoem de zijden van de driehoek: laat de ene zijde zijde "a" zijn, de andere zijde "b" en de derde zijde "c". Label de hoekpunten van de driehoek met de letters "A", "B" en "C".

Meet elke zijde van de driehoek met een liniaal en noteer het resultaat. Herstel hierna een loodlijn op de gemeten zijde vanaf het hoekpunt er tegenover, een dergelijke loodlijn zal de hoogte van de driehoek zijn. In het in de figuur getoonde geval wordt de loodlijn "h" hersteld naar zijde "c" vanaf hoekpunt "A". Meet de resulterende hoogte met een liniaal en noteer het meetresultaat.

Het kan voor u moeilijk zijn om de exacte loodlijn te herstellen. In dit geval moet u een andere formule gebruiken. Meet alle zijden van de driehoek met een liniaal. Bereken hierna de halve omtrek van de driehoek “p” door de resulterende lengtes van de zijden bij elkaar op te tellen en hun som doormidden te delen. Als u de waarde van de semi-perimeter tot uw beschikking heeft, kunt u de formule van Heron gebruiken. Om dit te doen, moet je uitpakken vierkantswortel uit het volgende: p(p-a)(p-b)(p-c).

U hebt de vereiste oppervlakte van de driehoek verkregen. Het probleem van het vinden van het volume van een driehoek is niet opgelost, maar zoals hierboven vermeld, het volume niet. In de driedimensionale wereld kun je een volume vinden dat in essentie een driehoek is. Als we ons voorstellen dat onze oorspronkelijke driehoek een driedimensionale piramide is geworden, dan zal het volume van zo'n piramide het product zijn van de lengte van de basis en het resulterende oppervlak van de driehoek.

Let op

Hoe zorgvuldiger u meet, hoe nauwkeuriger uw berekeningen zullen zijn.

Bronnen:

• Rekenmachine "Alles tot alles" - een portaal voor referentiewaarden
• driehoeksvolume in 2019

De drie punten die een driehoek op unieke wijze definiëren in het cartesiaanse coördinatensysteem zijn de hoekpunten. Als u hun positie kent ten opzichte van elk van de coördinaatassen, kunt u alle parameters van deze vlakke figuur berekenen, inclusief de parameters die beperkt zijn door de omtrek ervan. vierkant. Dit kan op verschillende manieren.

Instructies

Gebruik de formule van Heron om de oppervlakte te berekenen driehoek. Het gaat om de afmetingen van de drie zijden van de figuur, dus begin je berekeningen met . De lengte van elke zijde moet gelijk zijn aan de wortel van de som van de kwadraten van de lengtes van de projecties op de coördinaatassen. Als we de coördinaten A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) en C(X₃,Y₃,Z₃) noteren, kunnen de lengtes van hun zijden als volgt worden uitgedrukt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Om de berekeningen te vereenvoudigen, introduceert u een hulpvariabele: semiperimeter (P). Uit het feit dat dit de helft is van de som van de lengtes van alle zijden: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Driehoek is een van de meest voorkomende geometrische vormen, waarmee we al kennis maken basisschool. Elke student wordt geconfronteerd met de vraag hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt vinden in meetkundelessen. Dus welke kenmerken van het vinden van het gebied van een bepaald figuur kunnen worden geïdentificeerd? In dit artikel zullen we kijken naar de basisformules die nodig zijn om een ​​dergelijke taak te voltooien, en ook de soorten driehoeken analyseren.

Soorten driehoeken

Je kunt de oppervlakte van een driehoek absoluut vinden op verschillende manieren, omdat er in de meetkunde meer dan één type figuren bestaat met drie hoeken. Deze typen omvatten:

• Stomp.
• Gelijkzijdig (correct).
• Rechte driehoek.
• Gelijkbenig.

Laten we elk van de bestaande soorten driehoeken eens nader bekijken.

Deze geometrische figuur wordt als de meest voorkomende beschouwd bij het oplossen van geometrische problemen. Wanneer de noodzaak zich voordoet om een ​​willekeurige driehoek te tekenen, komt deze optie te hulp.

In een scherpe driehoek zijn, zoals de naam al doet vermoeden, alle hoeken scherp en zijn ze samen 180°.

Dit type driehoek komt ook veel voor, maar komt iets minder vaak voor dan een scherpe driehoek. Als u bijvoorbeeld driehoeken oplost (dat wil zeggen dat verschillende zijden en hoeken bekend zijn en u de overige elementen moet vinden), moet u soms bepalen of de hoek stomp is of niet. Cosinus is een negatief getal.

B, de waarde van een van de hoeken is groter dan 90°, dus de overige twee hoeken kunnen kleine waarden aannemen (bijvoorbeeld 15° of zelfs 3°).

Om het gebied van een driehoek van dit type te vinden, moet je enkele nuances kennen, waarover we later zullen praten.

Regelmatige en gelijkbenige driehoeken

Regelmatige veelhoek is een figuur met n hoeken en waarvan de zijden en hoeken allemaal gelijk zijn. Dit is wat een regelmatige driehoek is. Omdat de som van alle hoeken van een driehoek 180° is, is elk van de drie hoeken 60°.

Een regelmatige driehoek wordt vanwege zijn eigenschap ook wel een gelijkzijdige figuur genoemd.

Het is ook vermeldenswaard dat er in een regelmatige driehoek slechts één cirkel kan worden ingeschreven, en dat er slechts één cirkel omheen kan worden beschreven, en dat hun middelpunten zich op hetzelfde punt bevinden.

Naast het gelijkzijdige type kan men ook een gelijkbenige driehoek onderscheiden, die er enigszins van afwijkt. In zo'n driehoek zijn twee zijden en twee hoeken gelijk aan elkaar, en de derde zijde (waaraan de aangrenzende gelijke hoeken) is de basis.

De figuur toont een gelijkbenige driehoek DEF waarvan de hoeken D en F gelijk zijn en DF de basis is.

Rechte driehoek

Een rechthoekige driehoek wordt zo genoemd omdat een van de hoeken gelijk is aan 90°. De andere twee hoeken zijn samen 90°.

Het meest grote kant van zo'n driehoek is degene die tegenover de hoek van 90° ligt de hypotenusa, terwijl de overige twee zijden de benen zijn. Voor dit type driehoek geldt de stelling van Pythagoras:

De som van de kwadraten van de lengtes van de benen is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa.

De figuur toont een rechthoekige driehoek BAC met hypotenusa AC en benen AB en BC.

Om de oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek te vinden, moet je dit weten numerieke waarden zijn benen.

Laten we verder gaan met de formules voor het vinden van de oppervlakte van een bepaald figuur.

Basisformules voor het vinden van oppervlakte

In de meetkunde zijn er twee formules die geschikt zijn om de oppervlakte van de meeste soorten driehoeken te vinden, namelijk voor acute, stompe, regelmatige en gelijkbenige driehoeken. Laten we ze allemaal bekijken.

Aan de zijkant en hoogte

Deze formule is universeel voor het vinden van het gebied van de figuur die we overwegen. Om dit te doen, volstaat het om de lengte van de zijde en de lengte van de hoogte die ernaartoe wordt getrokken te kennen. De formule zelf (de helft van het product van de basis en de hoogte) is als volgt:

waarbij A de zijde van een gegeven driehoek is, en H de hoogte van de driehoek.

Om bijvoorbeeld de oppervlakte van een scherpe driehoek ACB te vinden, moet u de zijde AB vermenigvuldigen met de hoogte CD en de resulterende waarde door twee delen.

Het is echter niet altijd eenvoudig om op deze manier de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als u deze formule bijvoorbeeld voor een stompe driehoek wilt gebruiken, moet u een van de zijden verlengen en er pas daarna een hoogte naar toe tekenen.

In de praktijk wordt deze formule vaker gebruikt dan andere.

Aan beide zijden en hoek

Deze formule is, net als de vorige, geschikt voor de meeste driehoeken en is in zijn betekenis een gevolg van de formule voor het vinden van de oppervlakte naast elkaar en de hoogte van een driehoek. Dat wil zeggen dat de betreffende formule gemakkelijk kan worden afgeleid van de vorige. De formulering ziet er als volgt uit:

S = ½*sinO*A*B,

waarbij A en B de zijden van de driehoek zijn, en O de hoek tussen zijden A en B.

Laten we ons herinneren dat de sinus van een hoek kan worden bekeken in een speciale tabel, genoemd naar de vooraanstaande Sovjetwiskundige V. M. Bradis.

Laten we nu verder gaan met andere formules die alleen geschikt zijn voor uitzonderlijke soorten driehoeken.

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Naast de universele formule, die de noodzaak omvat om de hoogte in een driehoek te vinden, kan het gebied van een driehoek met een rechte hoek worden gevonden vanaf de benen.

De oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek is dus de helft van het product van zijn benen, of:

waarbij a en b de benen zijn van een rechthoekige driehoek.

Regelmatige driehoek

Dit type geometrische figuren verschillen doordat het gebied ervan kan worden gevonden met de aangegeven waarde van slechts één van de zijden (aangezien alle zijden van een regelmatige driehoek gelijk zijn). Dus als u wordt geconfronteerd met de taak om "de oppervlakte van een driehoek te vinden als de zijden gelijk zijn", moet u de volgende formule gebruiken:

S = EEN 2 *√3 / 4,

waarbij A de zijkant is gelijkzijdige driehoek.

De formule van Heron

De laatste optie om de oppervlakte van een driehoek te vinden is de formule van Heron. Om het te kunnen gebruiken, moet je de lengtes van de drie zijden van de figuur kennen. De formule van Heron ziet er als volgt uit:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

waarbij a, b en c de zijden van een gegeven driehoek zijn.

Soms wordt het probleem gegeven: "de oppervlakte van een regelmatige driehoek is het vinden van de lengte van zijn zijde." In dit geval moeten we de formule gebruiken die we al kennen om de oppervlakte van een regelmatige driehoek te vinden en daaruit de waarde van de zijde (of het vierkant) afleiden:

A2 = 4S / √3.

Examen taken

Er zijn veel formules voor GIA-problemen in de wiskunde. Bovendien is het vaak nodig om het gebied van een driehoek op geruit papier te vinden.

In dit geval is het het handigst om de hoogte naar een van de zijkanten van de figuur te tekenen, de lengte ervan uit de cellen te bepalen en de universele formule te gebruiken om het gebied te vinden:

Dus na het bestuderen van de formules die in het artikel worden gepresenteerd, zul je geen problemen hebben om het gebied van een driehoek van welke aard dan ook te vinden.

Een driehoek is de eenvoudigste geometrische figuur, die uit drie zijden en drie hoekpunten bestaat. Vanwege zijn eenvoud wordt de driehoek al sinds de oudheid gebruikt om uit te voeren diverse metingen, en vandaag de dag kan het cijfer nuttig zijn voor het oplossen van praktische en alledaagse problemen.

Kenmerken van een driehoek

Het cijfer wordt al sinds de oudheid gebruikt voor berekeningen. Landmeters en astronomen werken bijvoorbeeld met de eigenschappen van driehoeken om gebieden en afstanden te berekenen. Het is gemakkelijk om het gebied van elke n-hoek uit te drukken door het gebied van deze figuur, en deze eigenschap werd door oude wetenschappers gebruikt om formules af te leiden voor de gebieden van veelhoeken. Vaste baan met driehoeken, vooral met de rechthoekige driehoek, werd de basis voor een hele tak van de wiskunde: trigonometrie.

Driehoeksgeometrie

Eigenschappen geometrische figuur worden al sinds de oudheid bestudeerd: de vroegste informatie over de driehoek werd gevonden in Egyptische papyri van 4000 jaar geleden. Vervolgens werd de figuur bestudeerd Het oude Griekenland en de grootste bijdragen aan de geometrie van de driehoek werden geleverd door Euclides, Pythagoras en Heron. De studie van de driehoek hield nooit op en in de 18e eeuw introduceerde Leonhard Euler het concept van het orthocentrum van een figuur en de Euler-cirkel. Aan het begin van de 19e en 20e eeuw, toen het leek alsof absoluut alles bekend was over de driehoek, formuleerde Frank Morley de stelling over hoektrisectoren, en Waclaw Sierpinski stelde de fractale driehoek voor.

Er zijn verschillende soorten platte driehoeken die ons bekend zijn schoolcursus geometrie:

• acuut - alle hoeken van de figuur zijn acuut;
• stomp - de figuur heeft er een stompe hoek(meer dan 90 graden);
• rechthoekig - de figuur bevat één rechte hoek gelijk aan 90 graden;
• gelijkbenig - een driehoek met twee gelijke zijden;
• gelijkzijdig - een driehoek met allemaal gelijke zijden.
• IN echte leven Er zijn allerlei soorten driehoeken, en in sommige gevallen moeten we misschien de oppervlakte van een geometrische figuur berekenen.

Oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte is een schatting van hoeveel van het vlak een figuur omsluit. De oppervlakte van een driehoek kan op zes manieren worden gevonden, met behulp van de zijkanten, hoogte, hoeken, straal van de ingeschreven of omgeschreven cirkel, maar ook met behulp van de formule van Heron of berekenen dubbele integraal langs de lijnen die het vlak begrenzen. De eenvoudigste formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek is:

waarbij a de zijde van de driehoek is, is h de hoogte.

In de praktijk is het voor ons echter niet altijd handig om de hoogte van een geometrische figuur te vinden. Met het algoritme van onze rekenmachine kunt u de oppervlakte berekenen, wetende:

• drie zijden;
• twee zijden en de hoek ertussen;
• één kant en twee hoeken.

Om de oppervlakte via drie zijden te bepalen, gebruiken we de formule van Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

waarbij p de halve omtrek van de driehoek is.

Het gebied aan twee zijden en een hoek wordt berekend met behulp van de klassieke formule:

S = a × b × sin(alfa),

waarbij alfa de hoek is tussen zijden a en b.

Om de oppervlakte te bepalen in termen van één zijde en twee hoeken, gebruiken we de relatie die:

a / sin(alfa) = b / sin(bèta) = c / sin(gamma)

Met behulp van een eenvoudige verhouding bepalen we de lengte van de tweede zijde, waarna we de oppervlakte berekenen met de formule S = a × b × sin(alfa). Dit algoritme is volledig geautomatiseerd en u hoeft alleen de opgegeven variabelen in te voeren om het resultaat te krijgen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeelden uit het leven

Bestrating platen

Stel dat u de vloer wilt plaveien met driehoekige tegels, en bepaal het aantal benodigde materiaal, zou je het oppervlak van één tegel en het oppervlak van de vloer moeten achterhalen. Stel dat je 6 vierkante meter oppervlak moet verwerken met een tegel waarvan de afmetingen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm zijn. Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruikt de rekenmachine uiteraard de formule van Heron en geeft het resultaat:

Het oppervlak van één tegelelement zal dus 0,021 zijn vierkante meter, en je hebt 6/0,021 = 285 driehoeken nodig voor de vloerverbetering. De getallen 20, 21 en 29 vormen een Pythagoras drietal-getallen die voldoen aan . En dat klopt, onze rekenmachine heeft ook alle hoeken van de driehoek berekend, en de gammahoek is precies 90 graden.

Schooltaak

Bij een schoolprobleem moet je de oppervlakte van een driehoek vinden, wetende dat zijde a = 5 cm, en de hoeken alfa en bèta respectievelijk 30 en 50 graden zijn. Om dit probleem handmatig op te lossen, zouden we eerst de waarde van zijde b vinden met behulp van de verhouding van de beeldverhouding en de sinussen van de tegenovergestelde hoeken, en vervolgens de oppervlakte bepalen met behulp van de eenvoudige formule S = a × b × sin(alfa). Laten we tijd besparen, de gegevens in het rekenmachineformulier invoeren en direct antwoord krijgen

Bij het gebruik van de rekenmachine is het belangrijk om de hoeken en zijden correct aan te geven, anders is het resultaat onjuist.

Conclusie

De driehoek is een uniek figuur die zowel in het echte leven als in abstracte berekeningen voorkomt. Gebruik onze online calculator om de oppervlakte van welke driehoek dan ook te bepalen.

Soms zijn er in het leven situaties waarin je in je geheugen moet duiken op zoek naar lang vergeten dingen schoolkennis. U moet bijvoorbeeld de oppervlakte van een driehoekig stuk grond bepalen, of het is tijd voor een nieuwe renovatie in een appartement of woonhuis, en u moet berekenen hoeveel materiaal nodig is voor een oppervlak met een driehoekige vorm. Er was een tijd dat je zo'n probleem in een paar minuten kon oplossen, maar nu probeer je wanhopig te onthouden hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt bepalen?

Maak je er geen zorgen over! Het is immers heel normaal als iemands brein besluit lang ongebruikte kennis ergens naar een afgelegen hoek over te brengen, waar het soms niet zo eenvoudig is om deze eruit te halen. Om ervoor te zorgen dat je niet hoeft te worstelen met het zoeken naar vergeten schoolkennis om een ​​dergelijk probleem op te lossen, bevat dit artikel verschillende methoden die het gemakkelijk maken om de benodigde oppervlakte van een driehoek te vinden.

Het is bekend dat een driehoek een type veelhoek is dat beperkt is tot het minimaal mogelijke aantal zijden. In principe kan elke polygoon in verschillende driehoeken worden verdeeld door de hoekpunten ervan te verbinden met segmenten die de zijden niet snijden. Daarom kun je, als je de driehoek kent, de oppervlakte van bijna elk figuur berekenen.

Van alle mogelijke driehoeken die in het leven voorkomen, kunnen de volgende specifieke typen worden onderscheiden: en rechthoekig.

De eenvoudigste manier om de oppervlakte van een driehoek te berekenen is wanneer een van de hoeken recht is, dat wil zeggen in het geval van een rechthoekige driehoek. Het is gemakkelijk te zien dat het een halve rechthoek is. Daarom is de oppervlakte gelijk aan de helft van het product van de zijden die een rechte hoek met elkaar vormen.

Als we de hoogte kennen van een driehoek, verlaagd van een van de hoekpunten naar de tegenoverliggende zijde, en de lengte van deze zijde, die de basis wordt genoemd, dan wordt de oppervlakte berekend als de helft van het product van de hoogte en de basis. Dit wordt geschreven met behulp van de volgende formule:

S = 1/2*b*h, waarin

S is het vereiste gebied van de driehoek;

b, h - respectievelijk de hoogte en basis van de driehoek.

Het is zo eenvoudig om de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek te berekenen, omdat de hoogte de tegenoverliggende zijde in tweeën deelt en gemakkelijk kan worden gemeten. Als het gebied wordt bepaald, is het handig om de lengte van een van de zijden die een rechte hoek vormt als hoogte te nemen.

Dit is natuurlijk allemaal goed, maar hoe bepaal je of een van de hoeken van een driehoek goed is of niet? Als de grootte van onze figuur klein is, kunnen we een constructiehoek, een tekendriehoek, een ansichtkaart of een ander object met een rechthoekige vorm gebruiken.

Maar wat als we een driehoek hebben? perceel? Ga in dit geval als volgt te werk: tel vanaf de bovenkant van het verwachte aantal rechte hoek aan de ene kant is de afstand een veelvoud van 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), en aan de andere kant is de afstand een veelvoud van 4 (40 cm, 160 cm, 4 m), gemeten in dezelfde verhouding. Nu moet je de afstand tussen meten eindpunten deze twee segmenten. Als het resultaat een veelvoud van 5 is (50 cm, 250 cm, 5 m), dan kunnen we zeggen dat de hoek goed is.

Als de lengte van elk van de drie zijden van onze figuur bekend is, kan de oppervlakte van de driehoek worden bepaald met behulp van de formule van Heron. Om het een eenvoudiger vorm te geven, wordt een nieuwe waarde gebruikt, die semi-perimeter wordt genoemd. Dit is de som van alle zijden van onze driehoek, in tweeën gedeeld. Nadat de halve omtrek is berekend, kunt u beginnen met het bepalen van het gebied met behulp van de formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), waarbij

sqrt - vierkantswortel;

p - semi-perimeterwaarde (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - randen (zijkanten) van de driehoek.

Maar wat als de driehoek een onregelmatige vorm heeft? Er zijn hier twee mogelijke manieren. De eerste is om te proberen zo'n figuur in tweeën te delen rechthoekige driehoek, waarvan de som van de oppervlakten afzonderlijk wordt berekend en vervolgens bij elkaar opgeteld. Of, als de hoek tussen twee zijden en de grootte van deze zijden bekend zijn, pas dan de formule toe:

S = 0,5 * ab * sinC, waarbij

a,b - zijden van de driehoek;

c is de grootte van de hoek tussen deze zijden.

Laatste geval in de praktijk is het zeldzaam, maar toch is in het leven alles mogelijk, dus de bovenstaande formule is niet overbodig. Veel succes met je berekeningen!

De driehoek is een figuur die iedereen kent. En dit ondanks de rijke verscheidenheid aan vormen. Rechthoekig, gelijkzijdig, acuut, gelijkbenig, stomp. Elk van hen is op de een of andere manier anders. Maar voor iedereen moet je de oppervlakte van een driehoek achterhalen.

Formules die voor alle driehoeken gelden en die de lengtes van zijden of hoogtes gebruiken

De daarin aangenomen aanduidingen: zijden - a, b, c; hoogten op de overeenkomstige zijden op a, n in, n met.

1. De oppervlakte van een driehoek wordt berekend als het product van ½, een zijde en de hoogte daarvan afgetrokken. S = ½ * een * n een. De formules voor de andere twee zijden moeten op dezelfde manier worden geschreven.

2. De formule van Heron, waarin de halve omtrek verschijnt (deze wordt meestal aangegeven met de kleine letter p, in tegenstelling tot de volledige omtrek). De halve omtrek moet als volgt worden berekend: tel alle zijden bij elkaar op en deel ze door 2. De formule voor de halve omtrek is: p = (a+b+c) / 2. Dan de gelijkheid voor de oppervlakte van ​​de figuur ziet er als volgt uit: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Als u geen halve omtrek wilt gebruiken, is een formule die alleen de lengtes van de zijden bevat nuttig: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Het is iets langer dan de vorige, maar het zal helpen als je vergeten bent hoe je de halve omtrek kunt vinden.

Algemene formules met betrekking tot de hoeken van een driehoek

Notaties die nodig zijn om de formules te lezen: α, β, γ - hoeken. Ze liggen respectievelijk tegenover de zijden a, b, c.

1. Volgens dit is de helft van het product van twee zijden en de sinus van de hoek ertussen gelijk aan de oppervlakte van de driehoek. Dat wil zeggen: S = ½ a * b * sin γ. De formules voor de andere twee gevallen moeten op een vergelijkbare manier worden geschreven.

2. De oppervlakte van een driehoek kan worden berekend met één zijde en drie bekende hoeken. S = (a 2 * zonde β * zonde γ) / (2 zonde α).

3. Er is ook een formule met één bekende zijde en twee aangrenzende hoeken. Het ziet er zo uit: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De laatste twee formules zijn niet de eenvoudigste. Het is best moeilijk om ze te onthouden.

Algemene formules voor situaties waarin de stralen van ingeschreven of omgeschreven cirkels bekend zijn

Aanvullende aanduidingen: r, R - stralen. De eerste wordt gebruikt voor de straal van de ingeschreven cirkel. De tweede is voor degene die wordt beschreven.

1. De eerste formule waarmee de oppervlakte van een driehoek wordt berekend, heeft betrekking op de halve omtrek. S = r * r. Een andere manier om het te schrijven is: S = ½ r * (a + b + c).

2. In het tweede geval moet je alle zijden van de driehoek vermenigvuldigen en deze delen door de straal van de omgeschreven cirkel te verviervoudigen. In letterlijke uitdrukking ziet het er als volgt uit: S = (a * b * c) / (4R).

3. In de derde situatie kun je het doen zonder de zijkanten te kennen, maar je hebt de waarden van alle drie de hoeken nodig. S = 2 R 2 * zonde α * zonde β * zonde γ.

Speciaal geval: rechthoekige driehoek

Dit is de eenvoudigste situatie, omdat alleen de lengte van beide benen nodig is. Ze worden aangeduid met de Latijnse letters a en b. De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek die eraan wordt toegevoegd.

Wiskundig gezien ziet het er zo uit: S = ½ a * b. Het is het gemakkelijkst te onthouden. Omdat het lijkt op de formule voor de oppervlakte van een rechthoek, verschijnt er slechts een breuk, die de helft aangeeft.

Speciaal geval: gelijkbenige driehoek

Omdat het twee gelijke zijden heeft, zien sommige formules voor de oppervlakte er enigszins vereenvoudigd uit. De formule van Heron, die de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek berekent, heeft bijvoorbeeld de volgende vorm:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Als je het transformeert, wordt het korter. In dit geval wordt de formule van Heron voor een gelijkbenige driehoek als volgt geschreven:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

De oppervlakteformule ziet er iets eenvoudiger uit dan voor een willekeurige driehoek als de zijden en de hoek daartussen bekend zijn. S = ½ a 2 * zonde β.

Speciaal geval: gelijkzijdige driehoek

Meestal is bij problemen de kant ervan bekend of kan deze op een of andere manier achterhaald worden. Dan is de formule voor het vinden van de oppervlakte van zo'n driehoek als volgt:

S = (een 2 √3) / 4.

Problemen om het gebied te vinden als de driehoek op geruit papier is afgebeeld

De eenvoudigste situatie is wanneer een rechthoekige driehoek zo wordt getekend dat de benen samenvallen met de lijnen van het papier. Dan hoef je alleen maar het aantal cellen te tellen dat in de benen past. Vermenigvuldig ze vervolgens en deel ze door twee.

Wanneer de driehoek scherp of stomp is, moet deze tot een rechthoek worden getekend. Dan heeft de resulterende figuur 3 driehoeken. Eén ervan is degene die in het probleem wordt gegeven. En de andere twee zijn hulp- en rechthoekig. De oppervlakten van de laatste twee moeten worden bepaald met behulp van de hierboven beschreven methode. Bereken vervolgens de oppervlakte van de rechthoek en trek daarvan de berekende oppervlakten voor de hulpstukken af. Het gebied van de driehoek wordt bepaald.

De situatie waarin geen van de zijden van de driehoek samenvalt met de lijnen van het papier blijkt veel ingewikkelder te zijn. Vervolgens moet het in een rechthoek worden ingeschreven, zodat de hoekpunten van de originele figuur op de zijkanten liggen. In dit geval zijn er drie rechthoekige hulpdriehoeken.

Voorbeeld van een probleem met de formule van Heron

Voorwaarde. Sommige driehoeken hebben bekende zijden. Ze zijn gelijk aan 3, 5 en 6 cm. Je moet de oppervlakte ervan achterhalen.

Nu kunt u de oppervlakte van de driehoek berekenen met behulp van de bovenstaande formule. Onder de vierkantswortel bevindt zich het product van vier getallen: 7, 4, 2 en 1. Dat wil zeggen, de oppervlakte is √(4 * 14) = 2 √(14).

Als grotere nauwkeurigheid niet vereist is, kunt u de vierkantswortel van 14 nemen. Deze is gelijk aan 3,74. Dan is de oppervlakte 7,48.

Antwoord. S = 2 √14 cm 2 of 7,48 cm 2.

Voorbeeldprobleem met een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Eén been van een rechthoekige driehoek is 31 cm groter dan de tweede. Je moet hun lengte achterhalen als de oppervlakte van de driehoek 180 cm2 is.
Oplossing. We zullen een stelsel van twee vergelijkingen moeten oplossen. De eerste heeft betrekking op de oppervlakte. De tweede betreft de verhouding van de benen, die in de opgave wordt gegeven.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Ten eerste moet de waarde van "a" in de eerste vergelijking worden vervangen. Het blijkt: 180 = ½ (in + 31) * in. Er is slechts één onbekende grootheid, dus het is gemakkelijk op te lossen. Na het openen van de beugels krijgen we kwadratische vergelijking: in 2 + 31 in - 360 = 0. Het geeft twee waarden voor "in": 9 en - 40. Het tweede getal is niet geschikt als antwoord, aangezien de lengte van de zijde van een driehoek niet negatief kan zijn waarde.

Het blijft nodig om het tweede deel te berekenen: voeg 31 toe aan het resulterende getal. Het blijkt 40 te zijn. Dit zijn de hoeveelheden die in het probleem worden gezocht.

Antwoord. De poten van de driehoek zijn 9 en 40 cm.

Probleem bij het vinden van een zijde door het gebied, de zijde en de hoek van een driehoek

Voorwaarde. De oppervlakte van een bepaalde driehoek is 60 cm2. Het is noodzakelijk om een ​​van de zijden te berekenen als de tweede zijde 15 cm is en de hoek daartussen 30 graden is.

Oplossing. Gebaseerd op de geaccepteerde notatie is de gewenste zijde “a”, de bekende zijde is “b”, de gegeven hoek is “γ”. Vervolgens kan de oppervlakteformule als volgt worden herschreven:

60 = ½ a * 15 * zonde 30º. Hier is de sinus van 30 graden 0,5.

Na transformaties blijkt “a” gelijk te zijn aan 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Dat is 16.

Antwoord. De benodigde zijde is 16 cm.

Probleem over een vierkant ingeschreven in een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Het hoekpunt van een vierkant met een zijde van 24 cm valt samen met de rechte hoek van de driehoek. De andere twee liggen aan de zijkanten. De derde behoort tot de hypotenusa. De lengte van een van de poten is 42 cm. Wat is de oppervlakte van de rechthoekige driehoek?

Oplossing. Beschouw twee rechthoekige driehoeken. De eerste is degene die in de taak is opgegeven. De tweede is gebaseerd op het bekende been van de oorspronkelijke driehoek. Ze lijken op elkaar omdat ze een gemeenschappelijke hoek hebben en worden gevormd door evenwijdige lijnen.

Dan zijn de verhoudingen van hun benen gelijk. De poten van de kleinere driehoek zijn gelijk aan 24 cm (zijde van het vierkant) en 18 cm (gegeven been 42 cm, trek de zijkant van het vierkant 24 cm af). De overeenkomstige benen van een grote driehoek zijn 42 cm en x cm. Het is deze “x” die nodig is om de oppervlakte van de driehoek te berekenen.

18/42 = 24/x, dat wil zeggen x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Dan is de oppervlakte gelijk aan het product van 56 en 42 gedeeld door twee, dat wil zeggen 1176 cm2.

Antwoord. De benodigde oppervlakte is 1176 cm2.