Урок и презентация на тему: "Первообразная функция. График функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"

Первообразная функция. Введение

Давайте рассмотрим вот такую задачу: "Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой $V=gt$. Требуется восстановить закон движения.
Решение.
Мы хорошо знаем формулу: $S"=v(t)$, где S - закон движения.
Наша задача сводится к поиску функции $S=S(t)$, производная которой равна $gt$. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что $S(t)=\frac{g*t^2}{2}$.
Проверим правильность решения этой задачи: $S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"=\frac{g}{2}*2t=g*t$.
Зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполнили обратную операцию.
Но стоит обратить внимание вот на такой момент. Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число (константу), то значение производной не изменится: $S(t)=\frac{g*t^2}{2}+c,c=const$.
$S"(t)=(\frac{g*t^2}{2})"+c"=g*t+0=g*t$.

Ребята, обратите внимание: наша задача имеет бесконечное множество решений!
Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.

Как называется такая операция?
Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.
Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.
Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.
Первообразную принято записывать большой буквой $y=F"(x)=f(x)$.

Определение. Функцию $y=F(x)$ называется первообразной функции $у=f(x)$ на промежутке Х, если для любого $хϵХ$ выполняется равенство $F’(x)=f(x)$.

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции. Ее надо распечатать в качестве памятки и выучить.

В нашей таблице никаких начальных условий задано не было. Значит к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Позже мы уточним это правило.

Правила нахождения первообразных

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Пример.
Найти первообразную для функции $y=4x^3+cos(x)$.
Решение.
Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Тогда первообразной исходной функции будет: $y=x^4+sin(x)$ или любая функция вида $y=x^4+sin(x)+C$.

Правило 2. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, то $k*F(x)$ – первообразная для функции $k*f(x)$. (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).

Пример.
Найти первообразные функций:
а) $y=8sin(x)$.
б) $y=-\frac{2}{3}cos(x)$.
в) $y={3x}^2+4x+5$.
Решение.
а) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-8cos(x)$.

Б) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=-\frac{2}{3}sin(x)$.

В) Первообразной для $x^2$ служит $\frac{x^3}{3}$. Первообразной для x служит $\frac{x^2}{2}$. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид: $y=3*\frac{x^3}{3}+4*\frac{x^2}{2}+5*x=x^3+2x^2+5x$.

Правило 3. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$, то первообразная для функции $y=f(kx+m)$ служит функция $y=\frac{1}{k}*F(kx+m)$.

Пример.
Найти первообразные следующих функций:
а) $y=cos(7x)$.
б) $y=sin(\frac{x}{2})$.
в) $y={-2x+3}^3$.
г) $y=e^{\frac{2x+1}{5}}$.
Решение.
а) Первообразной для $cos(x)$ служит $sin(x)$. Тогда первообразная для функции $y=cos(7x)$ будет функция $y=\frac{1}{7}*sin(7x)=\frac{sin(7x)}{7}$.

Б) Первообразной для $sin(x)$ служит минус $cos(x)$. Тогда первообразная для функции $y=sin(\frac{x}{2})$ будет функция $y=-\frac{1}{\frac{1}{2}}cos(\frac{x}{2})=-2cos(\frac{x}{2})$.

В) Первообразной для $x^3$ служит $\frac{x^4}{4}$, тогда первообразная исходной функции $y=-\frac{1}{2}*\frac{{(-2x+3)}^4}{4}=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}$.

Г) Слегка упростим выражение в степени $\frac{2x+1}{5}=\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}$.
Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет $y=\frac{1}{\frac{2}{5}}e^{\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}*e^{\frac{2x+1}{5}}$.

Теорема. Если $у=F(x)$ - первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке Х, то у функции $y=f(x)$ бесконечно много первообразных, и все они имеют вид $у=F(x)+С$.

Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.
Для функции $y=cos(7x)$ все первообразные имеют вид: $y=\frac{sin(7x)}{7}+C$.
Для функции $y=(-2x+3)^3$ все первообразные имеют вид: $y=-\frac{{(-2x+3)}^4}{8}+C$.

Пример.
По заданному закону изменения скорости тела от времени $v=-3sin(4t)$ найти закон движения $S=S(t)$, если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
Решение.
Так как $v=S’(t)$, нам надо найти первообразную для заданной скорости.
$S=-3*\frac{1}{4}(-cos(4t))+C=\frac{3}{4}cos(4t)+C$.
В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что $t=0$.
$S(0)=\frac{3}{4}cos(4*0)+C=\frac{7}{4}$.
$\frac{3}{4}cos(0)+C=\frac{7}{4}$.
$\frac{3}{4}*1+C=\frac{7}{4}$.
$C=1$.
Тогда закон движения описывается формулой: $S=\frac{3}{4}cos(4t)+1$.

Задачи для самостоятельного решения

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство:

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.

Зад

На некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

Где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С , что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Основная задача интегрирования : записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C

Таблица первообразных некоторых функций

Геометрический смысл первообразной

Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ

Неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления было вычисление производной или дифференциала заданной функции. Интегральное исчисление, к изучению которого мы переходим, решает обратную задачу, а именно, отыскания самой функции по ее производной или дифференциалу. То есть, имея dF(х)= f(х)d (7.1) или F ′(х)= f(х) ,

где f(х) - известная функция, надо найти функцию F(х) .

Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство: F′(х) = f(х) или dF(х)= f(х)d .

Например , одной из первообразных функций для функции f(х)=3х 2 будет F(х)= х 3 , т.к. (х 3)′=3х 2 . Но первоообразной для функции f(х)=3х 2 будет также и функции и , т.к. .

Итак, данная функция f(х)=3х 2 имеет бесконечное множество первоообразных, каждая из которых отличается лишь на постоянное слагаемое. Покажем, что этот результат имеет место и в общем случае.

Теорема Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются одна от другой на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство

Пусть функция f(х) определена на промежутке (a¸b) и F 1 (х) и F 2 (х) - первообразные, т.е. F 1 ′(х)= f(х) и F 2 ′(х)= f(х) .

Тогда F 1 ′(х)=F 2 ′(х)Þ F 1 ′(х) - F 2 ′(х) = (F 1 ′(х) - F 2 (х))′= 0 . Þ F 1 (х) - F 2 (х)=С

Отсюда, F 2 (х) = F 1 (х)+С

где С - константа (здесь использовано следствие из теоремы Лагранжа).

Теорема, таким образом, доказана.

Геометрическая иллюстрация . Если у = F 1 (х) и у = F 2 (х) – первообразные одной и той же функции f(х) , то касательная к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой (рис. 7.1).

В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным F 2 (х) - F 1 (х)=С , то есть эти кривые в некотором понимании "параллельны" одна другой.

Следствие .

Итак, выражение F(х)+С , где , а F(х) – некоторая первообразная функции f(х) включает все возможные первообразные для f(х) .

Пример 1. Проверить, являются ли функции первообразными для функции

Решение:

Ответ : первообразными для функции будут функции и

Определение: Если функция F(х) является некоторой первообразной для функции f(х), то множество всех первообразных F(х)+ С называют неопределенным интегралом от f(х) и обозначают:

∫f(х)dх.

По определению:

f(х) - подынтегральная функция,

f(х)dх - подынтегральное выражение

Из этого следует, чтоо неопределенный интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная от которой по переменной х равна подынтегральной функции во всех точках .

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, то есть вдоль оси Оу (рис. 7.2).

Операция вычисления неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первоообразная от элементарной функции может не представляться при помощи конечного числа элементарных функций.

Рассмотрим теперь свойства неопределенного интеграла .

Из определения 2 вытекает:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть, если F′(х) = f(х) , то

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

. (7.4)

Из определения дифференциала и свойства (7.3)

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть (7.5)

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х 3 . Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х 3 является 3х 2:

(х 3)" = 3х 2 .

Следовательно, из функции у = х 3 мы получаем новую функцию: у = 3х 2 .
Образно говоря, функция у = х 3 произвела функцию у = 3х 2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 .

Определение первообразной:

В нашем примере (х 3)" = 3х 2 , следовательно у = х 3 – первообразная для у = 3х 2 .

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Пример-пояснение :

у = 3х 2 + sin x .

Решение :

Мы знаем, что первообразной для 3х 2 является х 3 .

Первообразной для sin x является –cos x .

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х 3 + (–cos x ),

у = х 3 – cos x .

Ответ :
для функции у = 3х 2 + sin x у = х 3 – cos x .

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x .
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

Пример-пояснение :

Найдем первообразную для функции y = sin 2x .

Решение :

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x .

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x :

1
y = - · (–cos 2x ),
2

cos 2x
y = – ----
2

cos 2x
Ответ : для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ----
2

(4)

Пример-пояснение .

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x .

Для этой функции все первообразные имеют вид:

cos 2x
y = – ---- + C .
2

Пояснение .

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x )равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1" = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x )" = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x .

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x .

Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.

На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)

Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.

Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.

Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.

Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.

Что такое первообразная и как она считается

Мы знаем такую формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

Считается эта производная элементарно:

\[{f}"\left(x \right)={{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=3{{x}^{2}}\]

Посмотрим внимательно на полученное выражение и выразим ${{x}^{2}}$:

\[{{x}^{2}}=\frac{{{\left({{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{3}\]

Но мы можем записать и так, согласно определению производной:

\[{{x}^{2}}={{\left(\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}\]

А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:

Аналогично запишем и такое выражение:

Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

Теперь мы можем сформулировать четкое определение.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Вопросы о первообразной функции

Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:

1. Допустим, хорошо, эта формула верна. Однако в этом случае при $n=1$ у нас возникают проблемы: в знаменателе появляется «ноль», а на «ноль» делить нельзя.
2. Формула ограничивается только степенями. Как считать первообразную, например, синуса, косинуса и любой другой тригонометрии, а также констант.
3. Экзистенциальный вопрос: а всегда ли вообще можно найти первообразную? Если да, то как быть с первообразной суммы, разности, произведения и т.д.?

На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.

Решение задач со степенными функциями

\[{{x}^{-1}}\to \frac{{{x}^{-1+1}}}{-1+1}=\frac{1}{0}\]

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\[{{x}^{-1}}=\frac{1}{x}\]

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\]

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\[\frac{1}{x}={{x}^{-1}}\to \ln x\]

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

• Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
• Для константы — $=const\to \cdot x$
• Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Решение реальных задач

Задача № 1

Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:

Задача № 2

Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:

Мы разбили дробь на сумму двух дробей.

Посчитаем:

Хорошая новость состоит в том, что зная формулы вычисления первообразных, вы уже способны считать более сложные конструкции. Однако давайте пойдем дальше и расширим наши знания еще чуть-чуть. Дело в том, что многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к ${{x}^{n}}$, могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[\sqrt[n]{x}={{x}^{\frac{1}{n}}}\]

\[\frac{1}{{{x}^{n}}}={{x}^{-n}}\]

Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно

• умножать (степени складываются);
• делить (степени вычитаются);
• умножать на константу;
• и т.д.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Пример № 1

Посчитаем каждый корень отдельно:

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{4}}}\to \frac{{{x}^{\frac{1}{4}}}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{{{x}^{\frac{5}{4}}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot {{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:

Пример № 2

\[\frac{1}{\sqrt{x}}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{-1}}={{\left({{x}^{\frac{1}{2}}} \right)}^{-1}}={{x}^{-\frac{1}{2}}}\]

Следовательно, мы получим:

\[\frac{1}{{{x}^{3}}}={{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-3+1}}}{-3+1}=\frac{{{x}^{-2}}}{-2}=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}\]

Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:

Пример № 3

Для начала заметим, что $\sqrt{x}$ мы уже считали:

\[\sqrt{x}\to \frac{4{{x}^{\frac{5}{4}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{3}{2}}}\to \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1}=\frac{2\cdot {{x}^{\frac{5}{2}}}}{5}\]

Перепишем:

Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Вспомним формулу квадрата разности:

\[{{\left(a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\]

Давайте перепишем нашу функцию:

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\[{{x}^{\frac{2}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{5}{3}}}}{5}\]

\[{{x}^{\frac{1}{3}}}\to \frac{3\cdot {{x}^{\frac{4}{3}}}}{4}\]

Собираем все в общую конструкцию:

Задача № 2

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\[{{\left(a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}\cdot b+3a\cdot {{b}^{2}}-{{b}^{3}}\]

С учетом этого факта можно записать так:

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\[{{x}^{-3}}\to \frac{{{x}^{-2}}}{-2}\]

\[{{x}^{-2}}\to \frac{{{x}^{-1}}}{-1}\]

\[{{x}^{-1}}\to \ln x\]

Запишем полученную конструкцию:

Задача № 3

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\[\frac{{{\left(x+\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\frac{{{x}^{2}}+2x\cdot \sqrt{x}+{{\left(\sqrt{x} \right)}^{2}}}{x}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}}{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{x}+\frac{x}{x}=x+2{{x}^{\frac{1}{2}}}+1\]

\[{{x}^{\frac{1}{2}}}\to \frac{2\cdot {{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

Давайте напишем итоговое решение:

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

1. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
2. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
3. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

И последняя:

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой

Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?

Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.

Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

Пример № 1

Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{x}^{3}}\to \frac{{{x}^{4}}}{4}\]

Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:

Эта функция должна проходить через точку $M\left(-1;4 \right)$. Что значит, что она проходит через точку? Это значит, что если вместо $x$ поставить везде $-1$, а вместо $F\left(x \right)$ — $-4$, то мы должны получить верное числовое равенство. Давайте так и сделаем:

Мы видим, что у нас получилось уравнение относительно $C$, поэтому давайте попробуем его решить:

Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:

Пример № 2

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:

\[{{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Исходная конструкция запишется следующим образом:

Теперь давайте найдем $C$: подставим координаты точки $M$:

\[-1=\frac{8}{3}-12+18+C\]

Выражаем $C$:

Осталось отобразить итоговое выражение:

Решение тригонометрических задач

В качестве финального аккорда к тому, что мы только что разобрали, предлагаю рассмотреть две более сложные задачи, в которых содержится тригонометрия. В них точно так же потребуется найти первообразные для всех функций, затем выбрать из этого множества одну-единственную, которая проходит через точку $M$ на координатной плоскости.

Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.

Задача № 1

Вспомним следующую формулу:

\[{{\left(\text{tg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\]

Исходя из этого, мы можем записать:

Давайте подставим координаты точки $M$ в наше выражение:

\[-1=\text{tg}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+C\]

Перепишем выражение с учетом этого факта:

Задача № 2

Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.

Вспомним такую формулу:

\[{{\left(\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:

\[{{\left(-\text{ctg}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\]

Вот наша конструкция

Подставим координаты точки $M$:

Итого запишем окончательную конструкцию:

Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.

Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!