Getallen vergelijken is een van de gemakkelijkste en leukste onderwerpen in een wiskundecursus. Het moet echter gezegd worden dat het niet zo eenvoudig is. Weinig mensen hebben bijvoorbeeld moeite met het vergelijken van positieve getallen met één of twee cijfers.

Maar getallen met een groot aantal tekens veroorzaken al problemen; mensen raken vaak de weg kwijt bij het vergelijken negatieve getallen en weet niet meer hoe je twee getallen moet vergelijken verschillende tekens. We zullen proberen al deze vragen te beantwoorden.

Regels voor het vergelijken van positieve getallen

Laten we beginnen met de eenvoudigste: met getallen waarvoor geen teken staat, dat wil zeggen met positieve getallen.

• Allereerst is het de moeite waard om te onthouden dat alle positieve getallen per definitie groter zijn dan nul, zelfs als waar we het over hebben ongeveer een breuk zonder geheel getal. De decimale breuk 0,2 zal bijvoorbeeld groter zijn dan nul, omdat op de coördinatenlijn het overeenkomstige punt nog steeds twee kleine delingen verwijderd is van nul.
• Als we het hebben over het vergelijken van twee positieve getallen met een groot aantal tekens, dan moet je elk van de cijfers vergelijken. Bijvoorbeeld 32 en 33. De plaats van de tientallen voor deze getallen is hetzelfde, maar het getal 33 is groter, omdat er op de plaats van de eenheden meer “3” dan “2” staan.
• Hoe vergelijk je twee decimale breuken? Hier moet je allereerst naar het hele deel kijken - de breuk 3,5 zal bijvoorbeeld kleiner zijn dan 4,6. Wat als het hele onderdeel hetzelfde is, maar de decimalen verschillend zijn? In dit geval is de regel voor gehele getallen van toepassing: u moet de tekens met cijfers vergelijken totdat grotere en kleinere tienden, honderdsten, duizendsten worden ontdekt. Bijvoorbeeld: 4,86 ​​is groter dan 4,75, aangezien acht tienden groter is dan zeven.

Negatieve getallen vergelijken

Als we in een probleem bepaalde getallen -a en -c hebben, en we moeten bepalen welke groter is, dan is de universele regel van toepassing. Eerst worden de modules van deze nummers uitgeschreven - |a| en |s| - en met elkaar vergelijken. Het getal waarvan de modulus groter is, zal kleiner zijn in vergelijking met negatieve getallen, en omgekeerd: het grotere getal zal het getal zijn waarvan de modulus kleiner is.

Wat moet u doen als u een negatief en een positief getal moet vergelijken?

Er is maar één regel die hier werkt, en die is elementair. Positieve getallen zijn altijd groter dan getallen met een minteken, ongeacht wat ze zijn. Het getal “1” zal bijvoorbeeld altijd groter zijn dan het getal “-1458”, simpelweg omdat één zich rechts van nul bevindt op de coördinatenlijn.

Je moet ook onthouden dat elk negatief getal altijd kleiner is dan nul.

Wiskundeles in het 6e leerjaar

Onderwerp: "Positieve en negatieve getallen vergelijken"

Lestype: les in het stellen van een leertaak

Vormen van werk: individueel, frontaal, paar, groep.

Lesmethoden: verbaal, visueel, praktisch, problematisch.

Apparatuur: computer, multimediaprojector.

Lesdoelstellingen:

Cognitief: formuleer een regel voor het vergelijken van getallen met verschillende tekens, leer deze in de praktijk toepassen.

Meta-onderwerpen, waaronder:

Regelgevend: gezet leeropdracht gebaseerd op de correlatie tussen wat leerlingen al weten en leren en wat nog onbekend is; bepaal de volgorde van acties om het probleem op te lossen; het resultaat aanpassen, rekening houdend met de beoordeling door de student, docent en medestudenten; besef de kwaliteit en het niveau van beheersing van het materiaal.

Communicatief: proactief leren samenwerken bij het vinden van een oplossing voor een bepaald probleem; leer uw gedachten voldoende volledig en nauwkeurig uit te drukken in overeenstemming met de taken en communicatievoorwaarden.

Lesvoortgang

Motivatie.

We blijven werken met positieve en negatieve getallen. We zijn al heel lang bekend met positieve getallen. We leerden ze eerst vergelijken en vervolgens verschillende bewerkingen uitvoeren: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen; Denk je dat het mogelijk is om dezelfde bewerkingen uit te voeren met negatieve getallen als met positieve getallen? (antwoord). Wat zou jij vandaag graag willen leren in de klas?

Doelstelling: Leid een regel af voor het vergelijken van getallen met verschillende tekens en leer hoe u deze kunt toepassen.

Basiskennis bijwerken.

Opdrachten voor mondeling werk:

Definieer een module.

Wat is het teken van de getallen op de coördinatenlijn rechts van nul? Links van nul?

Vind de modulus van het getal 6,8; -3,5; 18.11; 0,03; -12,3

Een leertaak instellen.

Vergelijk de modules van getallen

1. Hoe getallen vergelijken met behulp van een coördinatenlijn?

   Punt A op de coördinatenlijn bevindt zich links van punt B. Welk punt heeft de grootste coördinaat?

   Welk punt op de coördinatenlijn ligt links?

   1. A(0,6) of B(3,11)

Het probleem oplossen.

Om de volgende taak te voltooien, verdelen we ons in 5 groepen van 6 personen. Elke groep moet de cijfers vergelijken en de gestelde vragen beantwoorden.

1. 2. 2 en -11

   3. -15 en 16

Primaire consolidatie.

Noem vijf verschillende getallen

groot 0;

kleiner 0;

kleiner -5;

groot -3;

groot -11, maar kleiner -3

Tussen welke aangrenzende gehele getallen bevindt zich het getal 3,8? nummer -8,9

Noteer alle gehele getallen op de coördinatenlijn tussen de getallen -2,5 en 6; tussen de getallen -17,3 en -8,1

Schrijf de cijfers zelf op volgorde aflopend -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Huiswerk instellen. p.29, leer de regel voor het vergelijken van positieve en negatieve getallen, vul nr. 995, 996, 997, 999, 1000 in

Reflectie op leeractiviteiten in de klas.

1. Welke doelen hebben we gesteld voor de les van vandaag, hebben we alle gestelde vragen beantwoord?

   Vertel me hoe ik een positief en een negatief getal kan vergelijken?

   Hoe vergelijk je twee negatieve getallen?

   Vul de scorekaarten voor de les van vandaag in.

Vergelijk getallen met behulp van een coördinatenlijn:

2. 2 en -11

3. -15 en 16

Geef antwoorden op de volgende vragen:

Vergelijk twee positieve getallen

Vergelijk een positief getal met nul

Vergelijk een negatief getal met nul

Vergelijk positieve en negatieve getallen

Vergelijk twee negatieve getallen

Instapniveau

Vergelijking van cijfers. Uitgebreide gids (2019)

Bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden, maar ook bij problemen met modules, moet je de gevonden wortels op de getallenlijn plaatsen. Zoals je weet, kunnen de gevonden wortels verschillend zijn. Ze kunnen er zo uitzien: , of ze kunnen er zo uitzien: , .

Dienovereenkomstig, als de getallen niet rationeel maar irrationeel zijn (als je bent vergeten wat ze zijn, kijk dan in het onderwerp), of complexe wiskundige uitdrukkingen zijn, dan is het erg problematisch om ze op de getallenlijn te plaatsen. Bovendien kun je tijdens het examen geen rekenmachines gebruiken, en geschatte berekeningen bieden geen 100% garantie dat het ene getal kleiner is dan het andere (wat als er een verschil is tussen de getallen die worden vergeleken?).

Je weet natuurlijk dat positieve getallen altijd groter zijn dan negatieve getallen, en dat als we ons een getallenas voorstellen, we bij het vergelijken grootste aantallen bevindt zich aan de rechterkant dan de kleinste: ; ; enz.

Maar is alles altijd zo gemakkelijk? Waar op de getallenlijn markeren we .

Hoe zijn ze bijvoorbeeld te vergelijken met een getal? Dit is het probleem...)

Laten we eerst even praten algemene schets hoe en wat te vergelijken.

Belangrijk: het is raadzaam om transformaties zo uit te voeren dat het ongelijkheidsteken niet verandert! Dat wil zeggen, tijdens transformaties is het onwenselijk om te vermenigvuldigen met een negatief getal, en het is verboden vierkant als een van de delen negatief is.

Vergelijking van breuken

We moeten dus twee breuken vergelijken: en.

Er zijn verschillende opties om dit te doen.

Optie 1. Herleid breuken tot een gemeenschappelijke noemer.

Laten we het in de vorm van een gewone breuk schrijven:

- (zoals je kunt zien, heb ik ook de teller en de noemer verkleind).

Nu moeten we breuken vergelijken:

Nu kunnen we op twee manieren blijven vergelijken. Wij kunnen:

1. breng gewoon alles naar een gemeenschappelijke noemer en presenteer beide breuken als oneigenlijk (de teller is groter dan de noemer):

   Welk getal is groter? Dat klopt, degene met de grootste teller, dat wil zeggen de eerste.

2. "laten we weggooien" (bedenk dat we van elke breuk één hebben afgetrokken, en de verhouding van de breuken tot elkaar is dienovereenkomstig niet veranderd) en vergelijk de breuken:

   We brengen ze ook naar een gemeenschappelijke noemer:

   We kregen precies hetzelfde resultaat als in het vorige geval: het eerste getal is groter dan het tweede:

   Laten we ook eens kijken of we er één correct hebben afgetrokken? Laten we het verschil in de teller in de eerste berekening en de tweede berekenen:
   1)
   2)

We hebben dus gekeken hoe we breuken met elkaar kunnen vergelijken en ze tot een gemeenschappelijke noemer kunnen brengen. Laten we verder gaan met een andere methode: breuken vergelijken en ze naar een gemeenschappelijke... teller brengen.

Optie 2. Breuken vergelijken door terug te brengen tot een gemeenschappelijke teller.

Ja, ja. Dit is geen typefout. Deze methode wordt zelden aan iemand op school geleerd, maar is vaak erg handig. Zodat u de essentie ervan snel begrijpt, zal ik u slechts één vraag stellen: "in welke gevallen is de waarde van een breuk het grootst?" Natuurlijk zul je zeggen “als de teller zo groot mogelijk is en de noemer zo klein mogelijk.”

Kun je bijvoorbeeld zeker zeggen dat het waar is? Wat als we de volgende breuken moeten vergelijken: ? Ik denk dat je het bord ook meteen correct zult plaatsen, omdat ze in het eerste geval in delen zijn verdeeld, en in het tweede geval in hele, wat betekent dat in het tweede geval de stukjes erg klein blijken te zijn, en dienovereenkomstig: . Zoals je kunt zien, zijn de noemers hier verschillend, maar de tellers zijn hetzelfde. Om deze twee breuken met elkaar te vergelijken, hoef je echter niet naar een gemeenschappelijke noemer te zoeken. Hoewel... het vinden en kijken of het vergelijkingsteken nog steeds verkeerd is?

Maar het teken is hetzelfde.

Laten we terugkeren naar onze oorspronkelijke taak: vergelijken en... Wij vergelijken en... Laten we deze breuken niet herleiden tot een gemeenschappelijke noemer, maar tot een gemeenschappelijke teller. Om dit eenvoudig te doen teller en noemer vermenigvuldig de eerste breuk met. Wij krijgen:

En. Welk deel is groter? Dat klopt, de eerste.

Optie 3: Breuken vergelijken met aftrekken.

Hoe breuken vergelijken met aftrekken? Ja, heel simpel. We trekken een ander van één breuk af. Als het resultaat positief is, is de eerste breuk (minuend) groter dan de tweede (aftrekker), en als deze negatief is, dan omgekeerd.

Laten we in ons geval proberen de eerste breuk van de tweede af te trekken: .

Zoals je al begrijpt, converteren we ook naar een gewone breuk en krijgen we hetzelfde resultaat - . Onze uitdrukking heeft de vorm:

Vervolgens zullen we nog steeds onze toevlucht moeten nemen tot reductie tot een gemeenschappelijke noemer. De vraag is: op de eerste manier breuken omzetten in onjuiste breuken, of op de tweede manier, alsof je de eenheid "verwijdert"? Overigens heeft deze actie een volledig wiskundige rechtvaardiging. Kijk:

Ik vind de tweede optie beter, omdat het vermenigvuldigen van de teller, wanneer het wordt teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer, veel gemakkelijker wordt.

Laten we het naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Het belangrijkste hier is om niet in de war te raken over welk getal we hebben afgetrokken en waar. Kijk zorgvuldig naar de voortgang van de oplossing en verwar de tekens niet per ongeluk. We hebben het eerste getal van het tweede getal afgetrokken en kregen een negatief antwoord, dus?.. Dat klopt, het eerste getal is groter dan het tweede.

Heb je het? Probeer breuken te vergelijken:

Houd op, houd op. Haast je niet om tot een gemeenschappelijke noemer te komen of af te trekken. Kijk: je kunt het eenvoudig omzetten naar een decimale breuk. Hoe lang zal het duren? Rechts. Wat is er uiteindelijk nog meer?

Dit is een andere optie: breuken vergelijken door te reduceren tot decimale.

Optie 4: Breuken vergelijken met deling.

Ja, ja. En dit is ook mogelijk. De logica is simpel: wanneer we verdelen groter aantal bij het kleinere getal is het antwoord dat we krijgen een getal groter dan één, en als we het kleinere getal delen door het grotere, valt het antwoord op het interval van tot.

Om deze regel te onthouden, neemt u twee willekeurige priemgetallen ter vergelijking, bijvoorbeeld en. Weet je wat nog meer is? Laten we nu delen door. Ons antwoord luidt. Dienovereenkomstig is de theorie correct. Als we delen door, krijgen we minder dan één, wat op zijn beurt bevestigt dat het feitelijk minder is.

Laten we proberen deze regel toe te passen gewone breuken. Laten we vergelijken:

Deel de eerste breuk door de tweede:

Laten we het steeds korter maken.

Het verkregen resultaat is kleiner, wat betekent dat het dividend kleiner is dan de deler, dat wil zeggen:

We hebben alles op een rijtje gezet mogelijke opties breuken vergelijken. Hoe zie je ze 5:

• reductie tot een gemeenschappelijke noemer;
• reductie tot een gemeenschappelijke teller;
• reductie tot de vorm van een decimale breuk;
• aftrekken;
• divisie.

Klaar om te trainen? Vergelijk breuken op de optimale manier:

Laten we de antwoorden vergelijken:

1. (- converteren naar decimaal)
2. (deel de ene breuk door de andere en verklein deze met teller en noemer)
3. (selecteer het hele deel en vergelijk breuken op basis van het principe van dezelfde teller)
4. (deel de ene breuk door de andere en verminder met teller en noemer).

2. Vergelijking van graden

Stel je nu voor dat we niet alleen getallen moeten vergelijken, maar ook uitdrukkingen met een graad ().

Je kunt natuurlijk eenvoudig een bordje ophangen:

Als we de graad vervangen door vermenigvuldiging, krijgen we immers:

Uit dit kleine en primitieve voorbeeld volgt de regel:

Probeer nu het volgende te vergelijken: . Je kunt ook eenvoudig een bordje plaatsen:

Want als we machtsverheffing vervangen door vermenigvuldiging...

Over het algemeen begrijp je alles, en het is helemaal niet moeilijk.

Moeilijkheden doen zich alleen voor wanneer de graden bij het vergelijken verschillende bases en indicatoren hebben. In dit geval moet je proberen te leiden gemeenschappelijke grond. Bijvoorbeeld:

Natuurlijk weet je dat de uitdrukking dienovereenkomstig de vorm aanneemt:

Laten we de haakjes openen en vergelijken wat we krijgen:

Een enigszins speciaal geval is wanneer de basis van de graad () kleiner is dan één.

Als, dan van twee graden en de grootste is degene waarvan de index kleiner is.

Laten we proberen deze regel te bewijzen. Laat het zo zijn.

Laten we er een paar voorstellen natuurlijk getal, zoals het verschil tussen en.

Logisch, nietwaar?

En laten we nu nogmaals aandacht besteden aan de voorwaarde -.

Respectievelijk: . Vandaar, .

Bijvoorbeeld:

Zoals u begrijpt, hebben we het geval overwogen waarin de bases van de machten gelijk zijn. Laten we nu eens kijken wanneer het grondtal zich in het interval van tot bevindt, maar de exponenten zijn gelijk. Alles is hier heel eenvoudig.

Laten we onthouden hoe we dit kunnen vergelijken aan de hand van een voorbeeld:

Natuurlijk heb je het snel berekend:

Houd daarom, als u ter vergelijking soortgelijke problemen tegenkomt, een eenvoudig, soortgelijk voorbeeld in gedachten dat u snel kunt berekenen, en zet op basis van dit voorbeeld tekens in een complexer voorbeeld.

Houd er bij het uitvoeren van transformaties rekening mee dat als u vermenigvuldigt, optelt, aftrekt of deelt, alle acties met zowel de linker- als de rechterkant moeten worden uitgevoerd (als u vermenigvuldigt met, moet u beide vermenigvuldigen).

Bovendien zijn er gevallen waarin het eenvoudigweg niet rendabel is om manipulaties uit te voeren. Je moet bijvoorbeeld vergelijken. In dit geval is het niet zo moeilijk om tot een macht te verheffen en het bord op basis hiervan te rangschikken:

Laten we oefenen. Vergelijk graden:

Klaar om antwoorden te vergelijken? Dit is wat ik heb:

1. - hetzelfde als
2. - hetzelfde als
3. - hetzelfde als
4. - hetzelfde als

3. Getallen vergelijken met wortels

Laten we eerst onthouden wat wortels zijn? Herinner jij je deze opname nog?

De wortel van een macht van een reëel getal is een getal waarvoor de gelijkheid geldt.

Wortels van oneven graad bestaan ​​voor negatieve en positieve getallen, en zelfs wortels- alleen voor positieve.

De wortelwaarde is vaak een oneindig decimaal getal, wat het moeilijk maakt om nauwkeurig te berekenen. Het is dus belangrijk om wortels te kunnen vergelijken.

Als je bent vergeten wat het is en waarmee je het eet - . Als je alles onthoudt, laten we dan stap voor stap wortels leren vergelijken.

Laten we zeggen dat we moeten vergelijken:

Om deze twee wortels te vergelijken, hoef je geen berekeningen uit te voeren; analyseer gewoon het concept van ‘wortel’ zelf. Begrijp je waar ik het over heb? Ja, hierover: anders kan het worden geschreven als de derde macht van een getal, gelijk aan de radicale uitdrukking.

Wat is meer? of? Uiteraard kun je dit zonder problemen vergelijken. Hoe groter het getal dat we tot een macht verheffen, hoe groter de waarde zal zijn.

Dus. Laten we een regel afleiden.

Als de exponenten van de wortels hetzelfde zijn (in ons geval is dit het geval), dan is het noodzakelijk om de radicale uitdrukkingen (en) te vergelijken - hoe groter het radicale getal, hoe groter de waarde van de wortel met gelijke exponenten.

Moeilijk te onthouden? Houd dan een voorbeeld in je hoofd en... Wat is meer?

De exponenten van de wortels zijn hetzelfde, omdat de wortel vierkant is. De radicale uitdrukking van het ene getal () is groter dan het andere (), wat betekent dat de regel echt waar is.

Wat als de radicale uitdrukkingen hetzelfde zijn, maar de graden van de wortels verschillend zijn? Bijvoorbeeld: .

Het is ook vrij duidelijk dat bij het extraheren van een wortel van grotere graad, een kleiner aantal zal worden verkregen. Laten we bijvoorbeeld nemen:

Laten we de waarde van de eerste wortel aanduiden als, en de tweede - als, dan:

Je kunt gemakkelijk zien dat er meer in deze vergelijkingen moet zitten, daarom:

Als de radicale uitdrukkingen hetzelfde zijn(in ons geval), en de exponenten van de wortels zijn verschillend(in ons geval is dit en), dan is het noodzakelijk om de exponenten te vergelijken(En) - hoe hoger de indicator, hoe kleiner deze uitdrukking.

Probeer de volgende wortels te vergelijken:

Laten we de resultaten vergelijken?

We hebben dit met succes opgelost :). Een andere vraag rijst: wat als we allemaal verschillend zijn? Zowel graad als radicale expressie? Niet alles is zo ingewikkeld, we moeten gewoon... de wortel "wegwerken". Ja, ja. Gewoon wegdoen)

Als we verschillende graden en radicale uitdrukkingen hebben, moeten we het kleinste gemene veelvoud (lees het gedeelte over) vinden voor de exponenten van de wortels en beide uitdrukkingen verheffen tot een macht gelijk aan het kleinste gemene veelvoud.

Dat we allemaal in woorden en woorden zijn. Hier is een voorbeeld:

1. We kijken naar de indicatoren van de wortels - en. Hun kleinste gemene veelvoud is .
2. Laten we beide uitdrukkingen verheffen tot een macht:
3. Laten we de uitdrukking transformeren en de haakjes openen (meer details in het hoofdstuk):
4. Laten we tellen wat we hebben gedaan en een bordje plaatsen:

4. Vergelijking van logaritmen

Langzaam maar zeker kwamen we dus bij de vraag hoe we logaritmen met elkaar konden vergelijken. Als je niet meer weet wat voor dier dit is, raad ik je aan eerst de theorie uit de paragraaf te lezen. Heb je het gelezen? Beantwoord vervolgens een paar belangrijke vragen:

1. Wat is het argument van een logaritme en wat is de basis ervan?
2. Wat bepaalt of een functie stijgt of daalt?

Als je alles onthoudt en het perfect onder de knie hebt, gaan we aan de slag!

Om logaritmen met elkaar te vergelijken, hoeft u slechts 3 technieken te kennen:

• leidt tot dezelfde basis;
• reductie tot hetzelfde argument;
• vergelijking met het derde getal.

Let in eerste instantie op de basis van de logaritme. Weet je nog dat als het minder is, de functie afneemt, en als het meer is, het toeneemt? Dit is waar ons oordeel op gebaseerd zal zijn.

Laten we eens kijken naar een vergelijking van logaritmen die al zijn teruggebracht tot dezelfde grondtal, of hetzelfde argument.

Laten we om te beginnen het probleem vereenvoudigen: laat de vergeleken logaritmen erbij gelijke gronden. Dan:

1. De functie for neemt toe met het interval van, wat per definitie dan betekent (“directe vergelijking”).
2. Voorbeeld:- de gronden zijn dezelfde, we vergelijken de argumenten dienovereenkomstig: daarom:
3. De functie at neemt af op het interval van, wat per definitie dan betekent (“omgekeerde vergelijking”). - de bases zijn hetzelfde, we vergelijken de argumenten dienovereenkomstig: het teken van de logaritmen zal echter "omgekeerd" zijn, aangezien de functie afneemt: .

Beschouw nu gevallen waarin de redenen verschillend zijn, maar de argumenten hetzelfde zijn.

1. De basis is groter.
   • . In dit geval gebruiken we “omgekeerde vergelijking”. Bijvoorbeeld: - de argumenten zijn hetzelfde, en. Laten we de bases vergelijken: het teken van de logaritmen zal echter “omgekeerd” zijn:
2. De basis a bevindt zich in de opening.
   • . In dit geval gebruiken we “directe vergelijking”. Bijvoorbeeld:
   • . In dit geval gebruiken we “omgekeerde vergelijking”. Bijvoorbeeld:

Laten we alles in algemene tabelvorm opschrijven:

Dienovereenkomstig moeten we, zoals je al begreep, bij het vergelijken van logaritmen naar dezelfde basis of hetzelfde argument leiden. We komen uit op dezelfde basis met behulp van de formule om van de ene basis naar de andere te gaan.

Je kunt logaritmen ook vergelijken met het derde getal en op basis hiervan een conclusie trekken over wat minder is en wat meer is. Denk er bijvoorbeeld eens over na hoe u deze twee logaritmen kunt vergelijken?

Een kleine hint - ter vergelijking zal een logaritme je veel helpen, waarvan het argument gelijk zal zijn.

Gedachte? Laten we samen beslissen.

We kunnen deze twee logaritmen gemakkelijk met u vergelijken:

Weet je niet hoe? Zie hierboven. Wij hebben dit zojuist opgelost. Welk teken zal er zijn? Rechts:

Mee eens zijn?

Laten we met elkaar vergelijken:

Je zou het volgende moeten krijgen:

Combineer nu al onze conclusies in één. Heeft het gewerkt?

5. Vergelijking van trigonometrische uitdrukkingen.

Wat is sinus, cosinus, tangens, cotangens? Waar is de eenheidscirkel voor en hoe kun je de waarde ervan vinden trigonometrische functies? Als u de antwoorden op deze vragen niet weet, raad ik u ten zeerste aan de theorie over dit onderwerp te lezen. En als je het weet, dan is het niet moeilijk om trigonometrische uitdrukkingen met elkaar te vergelijken!

Laten we ons geheugen een beetje opfrissen. Laten we een trigonometrische eenheidscirkel tekenen en een driehoek daarin ingeschreven. Is het je gelukt? Markeer nu aan welke kant we de cosinus uitzetten en aan welke kant de sinus, met behulp van de zijden van de driehoek. (je weet natuurlijk nog dat sinus de verhouding is van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa, en cosinus de aangrenzende zijde?). Heb jij het getekend? Geweldig! De laatste hand is om neer te leggen waar we het zullen hebben, waar enzovoort. Heb je het neergezet? Pfff) Laten we vergelijken wat er met jou en mij is gebeurd.

Pff! Laten we nu beginnen met de vergelijking!

Laten we zeggen dat we moeten vergelijken en. Teken deze hoeken met behulp van de aanwijzingen in de vakken (waar we hebben aangegeven waar), door punten op de eenheidscirkel te plaatsen. Is het je gelukt? Dit is wat ik heb.

Laten we nu een loodlijn van de punten die we op de cirkel hebben gemarkeerd naar de as laten vallen... Welke? Welke as toont de waarde van sinussen? Rechts, . Dit is wat je zou moeten krijgen:

Kijkend naar deze foto, die groter is: of? Natuurlijk, omdat het punt boven het punt ligt.

Op een vergelijkbare manier vergelijken we de waarde van cosinus. We verlagen alleen de loodlijn op de as... Dat klopt, . Dienovereenkomstig kijken we welk punt zich rechts bevindt (of hoger, zoals in het geval van sinussen), dan is de waarde groter.

Je weet waarschijnlijk al hoe je raaklijnen moet vergelijken, toch? Het enige wat je hoeft te weten is wat een raaklijn is. Dus wat is een raaklijn?) Dat klopt, de verhouding tussen sinus en cosinus.

Om raaklijnen te vergelijken, tekenen we een hoek op dezelfde manier als in het vorige geval. Laten we zeggen dat we moeten vergelijken:

Heb jij het getekend? Nu markeren we ook de sinuswaarden op de coördinatenas. Heb je het gemerkt? Geef nu de waarden van de cosinus op de coördinatenlijn aan. Heeft het gewerkt? Laten we vergelijken:

Analyseer nu wat je hebt geschreven. - we verdelen een groot segment in een klein segment. Het antwoord bevat een waarde die beslist groter is dan één. Rechts?

En als we de kleine delen door de grote. Het antwoord zal een getal zijn dat precies kleiner is dan één.

Dus welke trigonometrische uitdrukking heeft de grootste waarde?

Rechts:

Zoals je nu begrijpt, is het vergelijken van cotangensen hetzelfde, alleen dan omgekeerd: we kijken hoe de segmenten die cosinus en sinus definiëren zich tot elkaar verhouden.

Probeer zelf de volgende trigonometrische uitdrukkingen te vergelijken:

Voorbeelden.

Antwoorden.

VERGELIJKING VAN CIJFERS. GEMIDDELD NIVEAU.

Welk getal is groter: of? Het antwoord ligt voor de hand. En nu: of? Niet meer zo vanzelfsprekend, toch? Dus: of?

Vaak moet je weten welke numerieke uitdrukkingen meer. Bijvoorbeeld om de punten op de as in de juiste volgorde te plaatsen bij het oplossen van een ongelijkheid.

Nu zal ik je leren hoe je zulke getallen kunt vergelijken.

Als je getallen wilt vergelijken, zetten we er een teken tussen (afgeleid van het Latijnse woord Versus of afgekort vs. - tegen): . Dit teken vervangt het onbekende ongelijkheidsteken (). Vervolgens voeren we identieke transformaties uit totdat duidelijk wordt welk teken tussen de cijfers moet komen.

De essentie van het vergelijken van getallen is dit: we behandelen het teken alsof het een soort ongelijkheidsteken is. En met de uitdrukking kunnen we alles doen wat we gewoonlijk doen met ongelijkheden:

• voeg een willekeurig getal toe aan beide zijden (en we kunnen natuurlijk ook aftrekken)
• "verplaats alles naar één kant", dat wil zeggen, trek een van de vergeleken uitdrukkingen van beide delen af. In plaats van de afgetrokken uitdrukking blijft: .
• vermenigvuldigen of delen door hetzelfde getal. Als dit getal negatief is, is het ongelijkheidsteken omgekeerd: .
• beide kanten tot dezelfde macht verheffen. Als deze macht even is, moet je ervoor zorgen dat beide delen hetzelfde teken hebben; als beide delen positief zijn, verandert het teken niet als het tot een macht wordt verheven, maar als ze negatief zijn, verandert het in het tegenovergestelde.
• haal de wortel eruit in dezelfde mate uit beide delen. Als we een wortel van een even graad extraheren, moeten we er eerst voor zorgen dat beide uitdrukkingen niet-negatief zijn.
• alle andere gelijkwaardige transformaties.

Belangrijk: het is raadzaam om transformaties zo uit te voeren dat het ongelijkheidsteken niet verandert! Dat wil zeggen dat het tijdens transformaties onwenselijk is om met een negatief getal te vermenigvuldigen, en je kunt het niet kwadrateren als een van de delen negatief is.

Laten we eens kijken naar een paar typische situaties.

1. Machtsverheffing.

Voorbeeld.

Wat is meer: ​​of?

Oplossing.

Omdat beide kanten van de ongelijkheid positief zijn, kunnen we deze kwadrateren om van de wortel af te komen:

Voorbeeld.

Wat is meer: ​​of?

Oplossing.

Hier kunnen we het ook kwadrateren, maar dit zal ons alleen maar helpen er vanaf te komen vierkantswortel. Hier is het nodig om het zo hoog te maken dat beide wortels verdwijnen. Dit betekent dat de exponent van deze graad deelbaar moet zijn door zowel (graad van de eerste wortel) als door. Dit getal wordt daarom tot de e macht verheven:

2. Vermenigvuldiging met zijn conjugaat.

Voorbeeld.

Wat is meer: ​​of?

Oplossing.

Laten we elk verschil vermenigvuldigen en delen door de geconjugeerde som:

Het is duidelijk dat de noemer aan de rechterkant groter is dan de noemer aan de linkerkant. Daarom is de rechterfractie kleiner dan de linker:

3. Aftrekken

Laten we dat onthouden.

Voorbeeld.

Wat is meer: ​​of?

Oplossing.

Natuurlijk kunnen we alles in het kwadraat zetten, ons hergroeperen en het nog eens in het kwadraat zetten. Maar je kunt ook iets slimmer doen:

Het is duidelijk dat aan de linkerkant elke term kleiner is dan elke term aan de rechterkant.

Dienovereenkomstig is de som van alle termen aan de linkerkant kleiner dan de som van alle termen aan de rechterkant.

Maar wees voorzichtig! Er werd ons gevraagd wat nog meer...

De rechterkant is groter.

Voorbeeld.

Vergelijk de cijfers en...

Oplossing.

Laten we de trigonometrieformules onthouden:

Laten we eens kijken in welke kwartalen van de trigonometrische cirkel de punten liggen en liggen.

4. Verdeling.

Ook hier hanteren we een eenvoudige regel: .

Bij of, dat wil zeggen.

Wanneer het bord verandert: .

Voorbeeld.

Vergelijken: .

Oplossing.

5. Vergelijk de cijfers met het derde cijfer

Als en, dan (wet van transitiviteit).

Voorbeeld.

Vergelijken.

Oplossing.

Laten we de getallen niet met elkaar vergelijken, maar met het getal.

Blijkbaar.

Aan de andere kant, .

Voorbeeld.

Wat is meer: ​​of?

Oplossing.

Beide getallen zijn groter, maar kleiner. Laten we een getal zo selecteren dat het groter is dan het ene, maar kleiner dan het andere. Bijvoorbeeld, . Laten we eens kijken:

6. Wat te doen met logaritmen?

Niets bijzonders. Hoe u van logaritmen af ​​kunt komen, wordt in het onderwerp gedetailleerd beschreven. De basisregels zijn:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Links-rechtspijl (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wig (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wig y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

We kunnen ook een regel over logaritmen toevoegen met om verschillende redenen en dezelfde redenering:

Het kan op deze manier worden uitgelegd: hoe groter de basis, hoe kleiner de mate waarin deze moet worden verhoogd om hetzelfde te krijgen. Als de basis kleiner is, is het tegenovergestelde waar, aangezien de overeenkomstige functie monotoon afneemt.

Voorbeeld.

Vergelijk de cijfers: en.

Oplossing.

Volgens de bovenstaande regels:

En nu de formule voor gevorderden.

De regel voor het vergelijken van logaritmen kan korter worden geschreven:

Voorbeeld.

Wat is meer: ​​of?

Oplossing.

Voorbeeld.

Vergelijk welk getal groter is: .

Oplossing.

VERGELIJKING VAN CIJFERS. KORT OVER DE BELANGRIJKSTE DINGEN

1. Machtsverheffen

Als beide kanten van de ongelijkheid positief zijn, kunnen ze worden gekwadrateerd om de wortel weg te werken

2. Vermenigvuldiging met zijn conjugaat

Een conjugaat is een factor die de uitdrukking aanvult met de formule voor het verschil in kwadraten: - conjugaat voor en omgekeerd, omdat .

3. Aftrekken

4. Verdeling

Wanneer of dat is

Wanneer het bord verandert:

5. Vergelijking met het derde getal

Als en dan

6. Vergelijking van logaritmen

Basisregels.

Negatieve cijfers zijn getallen met een minteken (−), bijvoorbeeld −1, −2, −3. Leest als: min één, min twee, min drie.

Toepassingsvoorbeeld negatieve getallen is een thermometer die de temperatuur van het lichaam, de lucht, de bodem of het water weergeeft. In de winter, als het buiten erg koud is, kan de temperatuur negatief zijn (of, zoals mensen zeggen, “minus”).

Bijvoorbeeld −10 graden koud:

De gewone getallen waar we eerder naar keken, zoals 1, 2, 3, worden positief genoemd. Positieve getallen zijn getallen met een plusteken (+).

Bij het schrijven van positieve getallen wordt het +-teken niet opgeschreven, daarom zien we de voor ons bekende getallen 1, 2, 3. Maar we moeten er rekening mee houden dat deze positieve getallen er zo uitzien: +1, +2 , +3.

Dit is een rechte lijn waarop alle getallen zich bevinden: zowel negatief als positief. Ziet er zo uit:

De hier getoonde getallen lopen van −5 tot 5. In feite is de coördinatenlijn oneindig. De figuur toont slechts een klein fragment ervan.

Getallen op de coördinatenlijn zijn gemarkeerd als stippen. In de figuur is de dikke zwarte stip de oorsprong. Het aftellen begint vanaf nul. Negatieve getallen zijn links van de oorsprong gemarkeerd, en positieve getallen rechts.

De coördinatenlijn loopt aan beide zijden voor onbepaalde tijd door. Oneindigheid in de wiskunde wordt gesymboliseerd door het symbool ∞. De negatieve richting wordt aangegeven door het symbool −∞, en de positieve richting door het symbool +∞. Dan kunnen we zeggen dat alle getallen van minus oneindig tot plus oneindig op de coördinatenlijn liggen:

Elk punt op de coördinatenlijn heeft zijn eigen naam en coördinaat. Naam is een Latijnse letter. Coördineren is een getal dat de positie van een punt op deze lijn aangeeft. Simpel gezegd is een coördinaat precies het getal dat we op de coördinatenlijn willen markeren.

Punt A(2) luidt bijvoorbeeld als "punt A met coördinaat 2" en wordt als volgt op de coördinatenlijn aangegeven:

Hier A is de naam van het punt, 2 is de coördinaat van het punt A.

Voorbeeld 2. Punt B(4) luidt als volgt "punt B met coördinaat 4"

Hier B is de naam van het punt, 4 is de coördinaat van het punt B.

Voorbeeld 3. Punt M(−3) luidt als "punt M met coördinaat minus drie" en wordt als volgt op de coördinatenlijn aangegeven:

Hier M is de naam van het punt, −3 is de coördinaat van punt M .

Punten kunnen met elke letter worden aangegeven. Maar het is algemeen aanvaard om ze in Latijnse hoofdletters aan te duiden. Bovendien is het begin van het rapport, dat anders wordt genoemd oorsprong meestal aangeduid met de Latijnse hoofdletter O

Het is gemakkelijk op te merken dat negatieve getallen aan de linkerkant liggen ten opzichte van de oorsprong, en positieve getallen aan de rechterkant.

Er zijn uitdrukkingen als “hoe verder naar links, hoe minder” En "hoe verder naar rechts, hoe meer". Je raadt waarschijnlijk al waar we het over hebben. Met elke stap naar links zal het aantal naar beneden afnemen. En met elke stap naar rechts zal het aantal toenemen. Een naar rechts wijzende pijl geeft een positieve referentierichting aan.

Negatieve en positieve getallen vergelijken

Regel 1. Elk negatief getal is kleiner dan elk positief getal.

Laten we bijvoorbeeld twee getallen vergelijken: −5 en 3. Min vijf minder dan drie, ondanks het feit dat vijf in de eerste plaats opvalt als een getal groter dan drie.

Dit komt door het feit dat −5 een negatief getal is en 3 positief. Op de coördinatenlijn kun je zien waar de getallen −5 en 3 zich bevinden

Je kunt zien dat −5 aan de linkerkant ligt en 3 aan de rechterkant. En dat zeiden wij “hoe verder naar links, hoe minder” . En de regel zegt dat elk negatief getal kleiner is dan elk positief getal. Daaruit volgt

−5 < 3

‘Minus vijf is minder dan drie’

Regel 2. Van twee negatieve getallen is het getal dat zich links op de coördinatenlijn bevindt het kleiner.

Laten we bijvoorbeeld de getallen −4 en −1 vergelijken. Min vier minder, dan min één.

Dit komt weer doordat op de coördinatenlijn −4 zich linkser bevindt dan −1

Je kunt zien dat −4 aan de linkerkant ligt en −1 aan de rechterkant. En dat zeiden wij “hoe verder naar links, hoe minder” . En de regel zegt dat van twee negatieve getallen het getal links op de coördinatenlijn kleiner is. Daaruit volgt

Min vier is minder dan min één

Regel 3. Nul is groter dan welk negatief getal dan ook.

Laten we bijvoorbeeld 0 en −3 vergelijken. Nul meer dan min drie. Dit komt door het feit dat op de coördinatenlijn 0 meer naar rechts ligt dan −3

Je kunt zien dat 0 aan de rechterkant ligt en −3 aan de linkerkant. En dat zeiden wij "hoe verder naar rechts, hoe meer" . En de regel zegt dat nul groter is dan welk negatief getal dan ook. Daaruit volgt

Nul is groter dan min drie

Regel 4. Nul is kleiner dan welk positief getal dan ook.

Laten we bijvoorbeeld 0 en 4 vergelijken. Nul minder, dan 4. Dit is in principe duidelijk en waar. Maar we zullen proberen dit met onze eigen ogen te zien, opnieuw op de coördinatenlijn:

Het is te zien dat op de coördinatenlijn 0 zich aan de linkerkant bevindt en 4 aan de rechterkant. En dat zeiden wij “hoe verder naar links, hoe minder” . En de regel zegt dat nul kleiner is dan welk positief getal dan ook. Daaruit volgt

Nul is minder dan vier

Vond je de les leuk?
Sluit je aan bij onze nieuwe groep VKontakte en ontvang meldingen over nieuwe lessen

Er zijn bepaalde regels vergelijking van cijfers. Beschouw het volgende voorbeeld.

Gisteren gaf de thermometer 15˚C aan, vandaag 20˚C. Vandaag is het warmer dan gisteren. Nummer 15 minder aantal 20, we kunnen het zo schrijven: 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

Laten we nu eens kijken naar negatieve temperaturen. Gisteren was het buiten -12˚ C en vandaag -8˚ C. Vandaag is het warmer dan gisteren. Daarom geloven ze dat het getal -12 kleiner is dan het getal -8. Op een horizontale coördinatenlijn bevindt een punt met een waarde van -12 zich links van een punt met een waarde van -8. We kunnen het zo schrijven: -12< -8.

Dus als u getallen vergelijkt met behulp van een horizontale coördinatenlijn, is het kleinste van twee getallen het getal waarvan de afbeelding op de coördinatenlijn zich aan de linkerkant bevindt, en de grootste is het getal waarvan de afbeelding zich aan de rechterkant bevindt. In onze afbeelding bijvoorbeeld A > B en C, maar B > C.

Op de coördinatenlijn bevinden positieve getallen zich rechts van nul, en negatieve getallen bevinden zich links van nul, elk positief getal is groter dan nul, en elk negatief getal is kleiner dan nul, en daarom is elk negatief getal kleiner dan elk positief getal.

Dit betekent dat het eerste waar u op moet letten bij het vergelijken van cijfers, de tekenen zijn dat de cijfers worden vergeleken. Een getal met een min (negatief) is altijd kleiner dan een positief getal.

Als we twee negatieve getallen vergelijken, moeten we hun moduli vergelijken: het grotere getal is het getal waarvan de modulus kleiner is, en het kleinere getal is het getal waarvan de modulus kleiner is. Bijvoorbeeld -7 en -5. De cijfers die worden vergeleken zijn negatief. We vergelijken hun modules 5 en 7. 7 is groter dan 5, wat betekent dat -7 kleiner is dan -5. Als u twee negatieve getallen op een coördinatenlijn markeert, bevindt het kleinere getal zich aan de linkerkant en het grotere getal aan de rechterkant. -7 bevindt zich links van -5, wat -7 betekent< -5.

Breuken vergelijken

Van twee breuken met dezelfde noemer is degene met de kleinere teller kleiner en die met de grotere teller groter.

Je kunt alleen breuken met dezelfde noemers vergelijken.

Algoritme voor het vergelijken van gewone breuken

1) Als een breuk een geheel getal heeft, beginnen we de vergelijking ermee. De grootste fractie zal degene zijn waarvan het hele deel groter is. Als de breuken geen geheel getal hebben of als ze gelijk zijn, ga dan verder met het volgende punt.

2) Als breuken met verschillende noemers het is noodzakelijk om ze onder één noemer te brengen.

3) Vergelijk de tellers van breuken. De breuk met de grootste teller zal groter zijn.

Houd er rekening mee dat een breuk met een geheel getal dat altijd zal zijn meer breuken zonder het hele onderdeel.

Vergelijking van decimalen

Decimalen kunnen alleen worden vergeleken met hetzelfde aantal cijfers (plaatsen) rechts van de komma.

Algoritme voor het vergelijken van decimale breuken

1) Let op het aantal tekens rechts van de komma. Als het aantal cijfers hetzelfde is, kunnen we beginnen met vergelijken. Zo niet, voeg deze dan toe benodigde hoeveelheid nullen in een van de decimalen.

2) Vergelijk decimale breuken van links naar rechts: gehele getallen met gehele getallen, tienden met tienden, honderdsten met honderdsten, enz.

3) De grootste breuk zal de breuk zijn waarin een van de delen groter is dan de andere breuk (we beginnen de vergelijking met hele getallen: als het hele deel van één breuk groter is, dan is de hele breuk groter).

Laten we bijvoorbeeld decimale breuken vergelijken:

1) Laten we de eerste breuk toevoegen benodigde hoeveelheid nullen om het aantal decimalen gelijk te maken

57.300 en 57.321

2) We beginnen met vergelijken van links naar rechts:

gehele getallen met gehele getallen: 57 = 57;

tienden met tienden: 3 = 3;

honderdsten met honderdsten: 0< 2.

Omdat de honderdsten van de eerste decimale breuk kleiner bleken te zijn, zal de hele breuk kleiner zijn:

57,300 < 57,321

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.