Afgeleide van pi. Afgeleide van een functie

Bewijs en afleiding van de formules voor de afgeleide van de exponentiële (e tot de macht x) en exponentiële functie(a tot de macht x). Voorbeelden van het berekenen van afgeleiden van e^2x, e^3x en e^nx. Formules voor derivaten van hogere ordes.

De afgeleide van een exponent is gelijk aan de exponent zelf (de afgeleide van e naar de x-macht is gelijk aan e naar de x-macht):
(1) (e X) ′ = e X.

De afgeleide van een exponentiële functie met als grondtal graad a is gelijk aan de functie zelf, vermenigvuldigd met natuurlijke logaritme van een:
(2) .

Afleiding van de formule voor de afgeleide van de exponentiële e naar de macht x

Een exponentieel is een exponentiële functie waarvan de machtsbasis gelijk is aan het getal e, wat de volgende limiet is:
.
Hier kan het een natuurlijk getal of een reëel getal zijn. Vervolgens leiden we formule (1) af voor de afgeleide van de exponentiële waarde.

Afleiding van de exponentiële afgeleide formule

Beschouw het exponentiële, e tot de macht x:
y = eX.
Deze functie is voor iedereen gedefinieerd.
(3) .

Laten we de afgeleide vinden met betrekking tot de variabele x.
Per definitie is de afgeleide de volgende limiet: Laten we deze uitdrukking transformeren om deze terug te brengen tot bekende wiskundige eigenschappen en regels. Om dit te doen hebben we de volgende feiten nodig:
(4) ;
A) Exponenteigenschap:
(5) ;
B) Eigenschap van logaritme:
(6) .
IN)
Continuïteit van de logaritme en de eigenschap van limieten voor een continue functie: Hier is een functie die een limiet heeft en deze limiet is positief.
(7) .

G)
;
.

De betekenis van de tweede opmerkelijke grens:
Laten we deze feiten toepassen op onze limiet (3). We gebruiken eigenschap (4):
.
Laten we een vervanging maken.
.

Dan ; .
.

Vanwege de continuïteit van het exponentiële,
Daarom, wanneer, .
.

Als resultaat krijgen we:
.
Laten we een vervanging maken.
.

Dan . Bij , . En wij hebben:

Laten we de logaritme-eigenschap (5) toepassen:

.
(8)
Dan

Laten we eigenschap (6) toepassen. Omdat er een positieve limiet is en de logaritme continu is, geldt: Hier hebben we ook de tweede opmerkelijke limiet (7) gebruikt. Dan Zo verkregen we formule (1) voor de afgeleide van de exponentiële waarde.
;
.
Afleiding van de formule voor de afgeleide van een exponentiële functie
.

Nu leiden we formule (2) af voor de afgeleide van de exponentiële functie met als grondtal graad a.

Wij geloven dat en.
(14) .
(1) .

We zien dat de afgeleide van functie (14) gelijk is aan functie (14) zelf. Door te differentiëren (1) verkrijgen we afgeleiden van de tweede en derde orde:
;
.

Dit laat zien dat de afgeleide van de nde orde ook gelijk is aan de oorspronkelijke functie:
.

Afgeleiden van hogere orde van de exponentiële functie

Beschouw nu een exponentiële functie met als basis graad a:
.
We hebben de afgeleide van de eerste orde gevonden:
(15) .

Door te differentiëren (15) verkrijgen we afgeleiden van de tweede en derde orde:
;
.

We zien dat elke differentiatie leidt tot de vermenigvuldiging van de oorspronkelijke functie met .
.

Daarom heeft de afgeleide van de n-de orde de volgende vorm: Definitie. Laat de functie $y = f(x)$ gedefinieerd worden in een bepaald interval met daarin het punt $x_0$. Laten we het argument een verhoging $\Delta x $ geven, zodat het dit interval niet verlaat. Laten we de overeenkomstige toename van de functie $\Delta y $ vinden (wanneer we van het punt $x_0 $ naar het punt $x_0 + \Delta x $ gaan) en de relatie $\frac(\Delta) samenstellen y)(\Delta x) $. Als er een limiet is voor deze verhouding op $\Delta x \rightarrow 0$, dan wordt de opgegeven limiet aangeroepen afgeleide van een functie

$y=f(x) $ op het punt $x_0 $ en geef $f"(x_0) $ aan.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$ Het symbool y wordt vaak gebruikt om de afgeleide aan te duiden." Merk op dat y" = f(x) is nieuwe functie , maar natuurlijk geassocieerd met de functie y = f(x), gedefinieerd op alle punten x waar de bovenstaande limiet bestaat. Deze functie heet als volgt:.

afgeleide van de functie y = f(x) Geometrische betekenis van afgeleide
is als volgt. Als het mogelijk is om een raaklijn te tekenen aan de grafiek van de functie y = f(x) op het punt met abscis x=a, dat niet evenwijdig is aan de y-as, dan drukt f(a) de helling van de raaklijn uit :

$k = f"(a)$

Omdat $k = tg(a) $, dan is de gelijkheid $f"(a) = tan(a) $ waar.
Laten we nu de definitie van afgeleide interpreteren vanuit het oogpunt van geschatte gelijkheden. Laat de functie $y = f(x)$ een afgeleide hebben op een specifiek punt $x$:
Dit betekent dat nabij het punt x de geschatte gelijkheid $\frac(\Delta y)(\Delta x) \ca. f"(x) $, d.w.z. $\Delta y \ca. f"(x) \cdot\ Delta x$. De betekenisvolle betekenis van de resulterende benaderende gelijkheid is als volgt: de toename van de functie is “bijna evenredig” met de toename van het argument, en de evenredigheidscoëfficiënt is de waarde van de afgeleide op een bepaald punt x. Voor de functie $y = x^2$ is bijvoorbeeld de geschatte gelijkheid $\Delta y \circa 2x \cdot \Delta x $ geldig. Als we de definitie van een afgeleide zorgvuldig analyseren, zullen we ontdekken dat deze een algoritme bevat om deze te vinden.

Laten we het formuleren.

Hoe vind je de afgeleide van de functie y = f(x)?

1. Bepaal de waarde van $x$, zoek $f(x)$
2. Geef het argument $x$ een verhoging $\Delta x$, ga naar een nieuw punt $x+ \Delta x $, zoek $f(x+ \Delta x) $
3. Zoek de toename van de functie: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Maak de relatie $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Bereken $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Deze limiet is de afgeleide van de functie op punt x.

Als een functie y = f(x) een afgeleide heeft in een punt x, dan wordt deze differentieerbaar genoemd in een punt x. De procedure voor het vinden van de afgeleide van de functie y = f(x) wordt genoemd differentiatie functies y = f(x).

Laten we de volgende vraag bespreken: hoe verhouden continuïteit en differentiatie van een functie op een punt zich tot elkaar?

Laat de functie y = f(x) differentieerbaar zijn in het punt x. Vervolgens kan een raaklijn worden getrokken naar de grafiek van de functie op punt M(x; f(x)), en onthoud: de hoekcoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan f "(x). Zo'n grafiek kan niet "breken" op punt M, dat wil zeggen dat de functie continu moet zijn op punt x.

Dit waren ‘hands-on’-argumenten. Laten we een rigoureuzere redenering geven. Als de functie y = f(x) differentieerbaar is in het punt x, dan geldt de geschatte gelijkheid $\Delta y \ca. f"(x) \cdot \Delta x$. Als in deze gelijkheid $\Delta x $ neigt naar nul, daarna zal $\Delta y $ naar nul neigen, en dit is de voorwaarde voor de continuïteit van de functie op een punt.

Dus, als een functie differentieerbaar is op een punt x, dan is deze op dat punt continu.

De omgekeerde bewering is niet waar. Bijvoorbeeld: functie y = |x| is overal continu, vooral op het punt x = 0, maar de raaklijn aan de grafiek van de functie op het "knooppunt" (0; 0) bestaat niet. Als er op een gegeven moment geen raaklijn aan de grafiek van een functie kan worden getrokken, bestaat de afgeleide op dat punt niet.

Nog een voorbeeld. De functie $y=\sqrt(x)$ is continu op de gehele getallenlijn, ook op het punt x = 0. En de raaklijn aan de grafiek van de functie bestaat op elk punt, ook op het punt x = 0 Maar op dit punt valt de raaklijn samen met de y-as, d.w.z. hij staat loodrecht op de abscis-as, de vergelijking heeft de vorm x = 0. Hellingscoëfficiënt zo'n regel heeft dat niet, wat betekent dat $f"(0) $ ook niet bestaat

We maakten dus kennis met een nieuwe eigenschap van een functie: differentiabiliteit. Hoe kun je uit de grafiek van een functie concluderen dat deze differentieerbaar is?

Het antwoord staat eigenlijk hierboven. Als het op een gegeven moment mogelijk is om een raaklijn te tekenen aan de grafiek van een functie die niet loodrecht op de abscis-as staat, dan is de functie op dit punt differentieerbaar. Als op een gegeven moment de raaklijn aan de grafiek van een functie niet bestaat of loodrecht op de abscis-as staat, dan is de functie op dit punt niet differentieerbaar.

Regels voor differentiatie

De bewerking voor het vinden van de afgeleide wordt genoemd differentiatie. Bij het uitvoeren van deze bewerking moet u vaak werken met quotiënten, sommen, producten van functies, maar ook met 'functies van functies', dat wil zeggen complexe functies. Op basis van de definitie van afgeleide kunnen we differentiatieregels afleiden die dit werk gemakkelijker maken. Als C een constant getal is en f=f(x), g=g(x) enkele differentieerbare functies zijn, dan is het volgende waar differentiatie regels:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Afgeleide complexe functie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel met afgeleiden van sommige functies

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Afleiding van de afgeleide formule machtsfunctie(x tot de macht van a). Er wordt rekening gehouden met derivaten van wortels van x. Formule voor de afgeleide van een machtsfunctie van hogere orde. Voorbeelden van het berekenen van derivaten.

De afgeleide van x naar de macht van a is gelijk aan a maal x tot de macht van a min één:
(1) .

De afgeleide van de n-de wortel van x tot de m-de macht is:
(2) .

Afleiding van de formule voor de afgeleide van een machtsfunctie

Geval x > 0

Beschouw een machtsfunctie van de variabele x met exponent a:
(3) .
Hier is a een willekeurig reëel getal. Laten we eerst de zaak bekijken.

Om de afgeleide van functie (3) te vinden, gebruiken we de eigenschappen van een machtsfunctie en transformeren we deze naar de volgende vorm:
.

Nu vinden we de afgeleide met:
;
.
Hier .

Formule (1) is bewezen.

Afleiding van de formule voor de afgeleide van een wortel van graad n van x naar de graad van m

Beschouw nu een functie die de wortel is van de volgende vorm:
(4) .

Om de afgeleide te vinden, transformeren we de wortel naar een machtsfunctie:
.
Als we vergelijken met formule (3) zien we dat
.
Dan
.

Met behulp van formule (1) vinden we de afgeleide:
(1) ;
;
(2) .

In de praktijk is het niet nodig om formule (2) uit het hoofd te leren. Het is veel handiger om eerst de wortels om te zetten in machtsfuncties en vervolgens hun afgeleiden te vinden met behulp van formule (1) (zie voorbeelden aan het einde van de pagina).

Geval x = 0

Als , dan wordt de machtsfunctie gedefinieerd voor de waarde van de variabele x = 0 . 0 Laten we de afgeleide van functie (3) vinden op x =
.

. 0 :
.
Om dit te doen, gebruiken we de definitie van een afgeleide:

Laten we x = vervangen
.
In dit geval bedoelen we met afgeleide de rechterlimiet waarvoor .
Dus we vonden:
Dus we vonden:
Hieruit blijkt duidelijk dat voor , .
(1) .
Bij , . 0 .

Dit resultaat wordt ook verkregen uit formule (1):< 0

Daarom is formule (1) ook geldig voor x =
(3) .
Geval x Beschouw functie (3) opnieuw: Voor bepaalde waarden van de constante a is deze ook gedefinieerd negatieve waarden variabele x.
,
Namelijk: laat een zijn rationeel getal.

. Dan kan het worden weergegeven als een onherleidbare breuk: 3 waarbij m en n gehele getallen zijn zonder 1 gemeenschappelijke deler
.
Als n oneven is, wordt de machtsfunctie ook gedefinieerd voor negatieve waarden van de variabele x.

Wanneer bijvoorbeeld n =
.
en m=
.
we hebben de derdemachtswortel van x:

.
Het is ook gedefinieerd voor negatieve waarden van de variabele x.
.
Laten we de afgeleide van de machtsfunctie (3) vinden voor en voor rationale waarden van de constante a waarvoor deze is gedefinieerd. Om dit te doen, stellen we x in de volgende vorm voor:
.
Dan
.
Dan ,
(1) .

We vinden de afgeleide door de constante buiten het teken van de afgeleide te plaatsen en de regel voor het differentiëren van een complexe functie toe te passen:

Hier . Maar
(3) .
Sindsdien
.

Dat wil zeggen, formule (1) is ook geldig voor:
.
Derivaten van hogere orde
;

.

Laten we nu hogere orde afgeleiden van de machtsfunctie vinden afgeleide van willekeurige n-de orde heeft de volgende vorm:
.

Merk dat op als een is natuurlijk getal , dan is de nde afgeleide constant:
.
Dan zijn alle volgende afgeleiden gelijk aan nul:
,
bij .

Voorbeelden van het berekenen van derivaten

Voorbeeld

Zoek de afgeleide van de functie:
.

Oplossing

Laten we wortels omzetten in machten:
;
.
Dan heeft de oorspronkelijke functie de vorm:
.

Afgeleiden van machten vinden:
;
.
De afgeleide van de constante is nul:
.

Sollicitatie

Het oplossen van de afgeleide op de site om het materiaal te consolideren dat door studenten en schoolkinderen wordt behandeld. Het berekenen van de afgeleide van een functie in een paar seconden lijkt niet moeilijk als u onze online probleemoplossingsservice gebruikt. Leiding gedetailleerde analyse grondige studie over praktische les elke derde student zal dit kunnen. Vaak is dit de afdeling van de desbetreffende afdeling voor de bevordering van de wiskunde in onderwijsinstellingen landen. Hoe kunnen we in dit geval niet vermelden dat we de afgeleide online moeten oplossen voor een gesloten ruimte? nummerreeksen. Veel rijke individuen mogen hun verbijstering uiten. Maar ondertussen zitten wiskundigen niet stil en werken ze veel. De afgeleide rekenmachine accepteert veranderingen in invoerparameters op basis van lineaire kenmerken, voornamelijk als gevolg van het supremum van de dalende posities van de kubussen. Het resultaat is net zo onvermijdelijk als het oppervlak. Als initiële gegevens elimineert online derivaat de noodzaak om onnodige stappen te ondernemen. Behalve fictief huishoudelijk werk. Naast het feit dat het online oplossen van derivaten noodzakelijk is belangrijk aspect Als ze wiskunde studeren, herinneren studenten zich vaak problemen uit het verleden niet. De student, die een lui wezen is, begrijpt dit. Maar studenten - grappige mensen! Doe het volgens de regels, of de afgeleide van een functie in een hellend vlak kan een materieel punt versnellen. Laten we de vector van de neerwaartse ruimtelijke straal ergens heen richten. In het vereiste antwoord lijkt het vinden van de afgeleide een abstracte theoretische richting te zijn vanwege de instabiliteit van het wiskundige systeem. Laten we een getalrelatie beschouwen als een reeks ongebruikte opties. Het communicatiekanaal werd aangevuld met een vijfde lijn langs een afnemende vector vanaf het punt van de gesloten vertakking van de kubus. Op het vlak van gekromde ruimtes leidt het online oplossen van de afgeleide ons tot een conclusie die de grootste geesten ter wereld er de afgelopen eeuw over heeft laten nadenken. In de loop van de gebeurtenissen op het gebied van de wiskunde zijn vijf fundamenteel belangrijke factoren ter publieke discussie gebracht die bijdragen aan het verbeteren van de positie van variabelenselectie. De wet voor punten stelt dus dat de online afgeleide niet in alle gevallen gedetailleerd wordt berekend, met als enige uitzondering een loyaal progressief moment. De voorspelling bracht ons naar een nieuwe ontwikkelingsfase. We hebben resultaten nodig. In de lijn van de wiskundige helling die onder het oppervlak is gepasseerd, bevindt de modusafgeleide calculator zich in het snijgebied van de producten op de buigset. Rest ons nog de differentiatie van de functie op zijn onafhankelijke punt nabij de epsilon-buurt te analyseren. Iedereen kan dit in de praktijk verifiëren. Als gevolg hiervan zal er iets te beslissen zijn in de volgende fase van de programmering. De student heeft zoals altijd de online afgeleide nodig, ongeacht het denkbeeldige onderzoek dat wordt beoefend. Het blijkt dat een functie vermenigvuldigd met een constante de oplossing van de afgeleide online niet verandert algemene richting beweging van een materieel punt, maar kenmerkt een toename van de snelheid in een rechte lijn. In die zin zal het nuttig zijn om onze afgeleide rekenmachine te gebruiken en alle waarden van de functie op de volledige set van zijn definitie te berekenen. Het is niet nodig om de krachtgolven van het zwaartekrachtveld te bestuderen. In geen geval zal het online oplossen van derivaten de helling van de uitgaande straal laten zien, maar alleen in zeldzame gevallen, wanneer dit echt nodig is, kunnen universiteitsstudenten zich dit voorstellen. Laten we de directeur onderzoeken. De waarde van de kleinste rotor is voorspelbaar. Toepassen op het resultaat van lijnen die naar rechts kijken en de bal beschrijven, maar online rekenmachine derivaten, dit is de basis voor cijfers van bijzondere kracht en niet-lineaire afhankelijkheid. Het wiskundeprojectrapport is klaar. Persoonlijke kenmerken verschil kleinste aantallen en de afgeleide van de functie langs de ordinaatas zal de concaviteit van dezelfde functie naar de hoogte brengen. Er is een richting – er is een conclusie. Het is gemakkelijker om de theorie in de praktijk te brengen. Studenten hebben een voorstel met betrekking tot het tijdstip van aanvang van de studie. Ik heb het antwoord van een leraar nodig. Nogmaals, net als bij de vorige positie, wordt het wiskundige systeem niet gereguleerd op basis van een actie die zal helpen de afgeleide te vinden. Net als de lagere semi-lineaire versie zal de online afgeleide in detail de identificatie van de oplossing aangeven volgens de gedegenereerd voorwaardelijk recht. Het idee om formules te berekenen is zojuist naar voren gebracht. Lineaire differentiatie van een functie leidt de waarheid van de oplossing af naar het eenvoudigweg opmaken van irrelevante positieve variaties. Het belang van vergelijkingstekens zal worden opgevat als een voortdurende breuk in de functie langs de as. Hierin ligt het belang van de meest bewuste conclusie, aldus de studente, waarbij de online afgeleide iets anders is dan een getrouw voorbeeld van wiskundige analyse. De straal van een gebogen cirkel in de Euclidische ruimte daarentegen gaf de derivatencalculator een natuurlijke weergave van de uitwisseling van beslissende problemen voor stabiliteit. De beste methode is gevonden. Het was gemakkelijker om de taak een niveau hoger te plaatsen. Laat de toepasbaarheid van de onafhankelijke verschilverhouding leiden tot de oplossing van de derivaten online. De oplossing roteert rond de abscis-as en beschrijft de figuur van een cirkel. Er is een uitweg, en die is gebaseerd op theoretisch onderbouwd onderzoek van universiteitsstudenten, waar iedereen studeert, en zelfs op die momenten is er een afgeleide van de functie. We hebben een manier gevonden om vooruitgang te boeken en de studenten hebben dit bevestigd. We kunnen het ons veroorloven de afgeleide te vinden zonder verder te gaan dan de onnatuurlijke benadering van het transformeren van het wiskundige systeem. Het linker evenredigheidsteken neemt toe met de geometrische reeks as wiskundige representatie online afgeleide rekenmachine vanwege de onbekende omstandigheid van lineaire factoren op de oneindige ordinaat. Wiskundigen over de hele wereld hebben de uitzonderlijkheid van bewezen productieproces. Er is een kleinste vierkant binnen een cirkel volgens de beschrijving van de theorie. Opnieuw zal de online afgeleide in detail onze veronderstelling weergeven over wat de theoretisch verfijnde mening in de eerste plaats zou kunnen beïnvloeden. Er waren meningen van een andere aard dan het geanalyseerde rapport dat we verstrekten. Speciale aandacht zal wellicht niet uitgaan naar studenten van onze faculteiten, maar niet naar slimme en technologisch geavanceerde wiskundigen, voor wie differentiatie van een functie slechts een excuus is. De mechanische betekenis van de afgeleide is heel eenvoudig. De hefkracht wordt berekend als de online afgeleide voor opwaarts dalende stabiele ruimtes in de tijd. De duidelijk afgeleide rekenmachine is een rigoureus proces om het probleem van de degeneratie van een kunstmatige transformatie als een amorf lichaam te beschrijven. De eerste afgeleide geeft een verandering in de beweging van een materieel punt aan. Driedimensionale ruimte wordt duidelijk waargenomen in de context van speciaal opgeleide technologieën voor het online oplossen van derivaten; dit is in feite in elk colloquium over het onderwerp van een wiskundige discipline. De tweede afgeleide karakteriseert de verandering in de snelheid van een materieel punt en bepaalt de versnelling. De meridiaanbenadering, gebaseerd op het gebruik van affiene transformatie, leidt tot nieuw niveau afgeleide van een functie op een punt uit het definitiedomein van deze functie. Een online afgeleide rekenmachine kan in sommige gevallen niet bestaan zonder cijfers en symbolische notaties op basis van het juiste uitvoerbare moment, naast de transformeerbare rangschikking van dingen in de taak. Verrassend genoeg is er een tweede versnelling van het materiële punt; dit kenmerkt de verandering in versnelling. Binnenkort zullen we beginnen met het online oplossen van de afgeleide, maar zodra een bepaalde mijlpaal in kennis is bereikt, zal onze student dit proces pauzeren. De beste remedie contacten leggen is live communicatie over een wiskundig onderwerp. Er zijn principes die onder geen enkele omstandigheid kunnen worden geschonden, hoe moeilijk de taak ook is. Het is handig om de afgeleide op tijd en foutloos online te vinden. Dit zal leiden tot een nieuwe positie van de wiskundige uitdrukking. Het systeem is stabiel. Fysieke betekenis de afgeleide is niet zo populair als de mechanische. Het is onwaarschijnlijk dat iemand zich herinnert hoe de online afgeleide in detail de omtrek van de lijnen van de functie in de normaal van de driehoek grenzend aan de abscis-as op het vlak weergeeft. De mens verdient een grote rol in het onderzoek van de vorige eeuw. Laten we de functie op punten zowel vanuit het domein van de definitie als op oneindig differentiëren in drie elementaire fasen. Het zal alleen in geschreven vorm zijn op het gebied van onderzoek, maar het kan de plaats innemen van de belangrijkste vector in de wiskunde en de getaltheorie, zodra wat er gebeurt de online afgeleide rekenmachine met het probleem verbindt. Als er een reden was, zou er een reden zijn om een vergelijking te maken. Het is erg belangrijk om alle invoerparameters in gedachten te houden. Het beste wordt niet altijd direct geaccepteerd; hierachter schuilt een enorm aantal van de beste werkende geesten die wisten hoe de online afgeleide in de ruimte wordt berekend. Sindsdien wordt convexiteit beschouwd als een eigenschap van een continue functie. Toch is het beter om eerst de taak te stellen om derivaten in de kortst mogelijke tijd online op te lossen. Zo zal de oplossing compleet zijn. Afgezien van niet-vervulde normen wordt dit niet voldoende geacht. In eerste instantie stelt bijna elke student voor om een eenvoudige methode voor te stellen over hoe de afgeleide van een functie een controversieel augmentatie-algoritme veroorzaakt. In de richting van de opgaande straal. Dit is logisch als algemene situatie. Voorheen markeerden we het begin van de voltooiing van een specifieke wiskundige bewerking, maar vandaag zal het andersom zijn. Misschien zal het online oplossen van de afgeleide de kwestie opnieuw aan de orde stellen en zullen we een gemeenschappelijke mening aannemen om deze tijdens de discussie op de bijeenkomst van leraren te behouden. Wij hopen op begrip van alle kanten van de deelnemers aan de bijeenkomst. De logische betekenis ligt in de beschrijving van de afgeleide rekenmachine in de resonantie van getallen over de volgorde van presentatie van de gedachte aan het probleem, die in de vorige eeuw werd beantwoord door de grote wetenschappers van de wereld. Het zal je helpen een complexe variabele uit een getransformeerde uitdrukking te extraheren en de afgeleide online te vinden om een enorme actie van hetzelfde type uit te voeren. De waarheid is vele malen beter dan gissingen. Laagste waarde in trend. Het resultaat zal niet lang op zich laten wachten bij het gebruik van een unieke service voor nauwkeurige bepaling, waarvoor de essentie van de afgeleide online in detail staat. Indirect, maar to the point, zoals een wijze man zei, werd op verzoek van veel studenten uit verschillende steden van de vakbond een online derivatencalculator gemaakt. Als er een verschil is, waarom dan twee keer beslissen? De gegeven vector ligt aan dezelfde kant als de normaal. Halverwege de vorige eeuw werd differentiatie van functie helemaal niet waargenomen zoals nu het geval is. Dankzij de ontwikkelingen in de vooruitgang ontstond online wiskunde. Met het verstrijken van de tijd vergeten leerlingen wiskundevakken de nodige aandacht te geven. Het online oplossen van de afgeleide zal onze stelling terecht ter discussie stellen op basis van de toepassing van de theorie die wordt ondersteund door praktische kennis. Het zal verder gaan dan de bestaande waarde van de presentatiefactor en we zullen de formule in een expliciete vorm voor de functie schrijven. Het komt voor dat je onmiddellijk een afgeleide online moet vinden zonder een rekenmachine te gebruiken, maar je kunt altijd je toevlucht nemen tot de truc van een student en toch een dienst zoals een website gebruiken. De student bespaart dus veel tijd bij het kopiëren van voorbeelden uit het ruwe notitieboekje naar het uiteindelijke formulier. Als er geen tegenstrijdigheden zijn, gebruik dan de stapsgewijze service voor het oplossen van dergelijke complexe voorbeelden.

Datum: 05/10/2015

Hoe vind je de afgeleide?

Regels voor differentiatie.

Om de afgeleide van een functie te vinden, hoef je slechts drie concepten te beheersen:

2. Regels voor differentiatie.

3. Afgeleide van een complexe functie.

Precies in die volgorde. Dit is een hint.)

Het zou natuurlijk leuk zijn om een idee te hebben over derivaten in het algemeen). Wat een afgeleide is en hoe je met de afgeleidentabel kunt werken, heb je in de vorige les duidelijk uitgelegd. Hier zullen we de regels van differentiatie behandelen.

Differentiatie is de bewerking van het vinden van de afgeleide. Er zit niets meer verborgen achter deze term. Die. uitdrukkingen "vind de afgeleide van een functie" En "een functie differentiëren"- het is hetzelfde.

Uitdrukking "regels voor differentiatie" verwijst naar het vinden van de afgeleide uit rekenkundige bewerkingen. Dit begrip helpt veel om verwarring in je hoofd te voorkomen.

Laten we ons concentreren en alle rekenkundige bewerkingen onthouden. Er zijn er vier). Optellen (som), aftrekken (verschil), vermenigvuldigen (product) en delen (quotiënt). Hier zijn ze, de regels voor differentiatie:

Het bord laat het zien vijf regels op vier rekenkundige bewerkingen. Ik ben niet tekortgeschoten.) Regel 4 is gewoon een elementair gevolg van regel 3. Maar het is zo populair dat het zinvol is om het als een onafhankelijke formule te schrijven (en te onthouden!)

Onder de benamingen U En V sommige (absoluut alle!) functies zijn geïmpliceerd U(x) En V(x).

Laten we een paar voorbeelden bekijken. Ten eerste - de eenvoudigste.

Zoek de afgeleide van de functie y=sinx - x 2

Hier hebben we verschil twee elementaire functies. We passen regel 2 toe. We gaan ervan uit dat sinx een functie is U, en x 2 is de functie V. Wij hebben elk recht schrijven:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Dat is beter, toch?) Het enige dat overblijft is het vinden van de afgeleiden van sinus en kwadraat van x. Hiervoor bestaat een tabel met derivaten. We zoeken gewoon naar de functies die we nodig hebben in de tabel ( zonde En x 2), kijk welke derivaten ze hebben en noteer het antwoord:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Dat is het. Regel 1 van somdifferentiatie werkt precies hetzelfde.

Wat als we meerdere termen hebben? Geen probleem.) We verdelen de functie in termen en zoeken naar de afgeleide van elke term, onafhankelijk van de andere. Bijvoorbeeld:

Bereken de afgeleide van de functie y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Wij schrijven stoutmoedig:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Aan het einde van de les geef ik tips om het leven gemakkelijker te maken bij het differentiëren.)

Praktisch advies:

1. Kijk vóór differentiatie of het mogelijk is de oorspronkelijke functie te vereenvoudigen.

2. In ingewikkelde voorbeelden beschrijven we de oplossing gedetailleerd, met alle haakjes en streepjes.

3. Bij het differentiëren van breuken met een constant getal in de noemer, zetten we delen om in vermenigvuldigen en gebruiken we regel 4.