Het oplossen van problemen in de wiskunde voor leerlingen gaat vaak gepaard met veel moeilijkheden. Het hoofddoel van onze site is om de student te helpen met deze moeilijkheden om te gaan, en hem te leren zijn bestaande theoretische kennis toe te passen bij het oplossen van specifieke problemen in alle secties van de cursus in het onderwerp 'Wiskunde'.

Wanneer leerlingen beginnen met het oplossen van problemen over dit onderwerp, moeten ze in staat zijn een punt op een vlak te construeren met behulp van de coördinaten ervan, en de coördinaten van een bepaald punt te vinden.

Berekening van de afstand tussen twee punten A(x A; y A) en B(x B; y B) genomen op een vlak wordt uitgevoerd met behulp van de formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), waarbij d de lengte is van het segment dat deze punten in het vlak verbindt.

Als een van de uiteinden van het segment samenvalt met de oorsprong van de coördinaten, en de andere de coördinaten M(x M; y M) heeft, dan zal de formule voor het berekenen van d de vorm aannemen OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Berekening van de afstand tussen twee punten op basis van de gegeven coördinaten van deze punten

Voorbeeld 1.

Zoek de lengte van het segment dat de punten A(2; -5) en B(-4; 3) op het coördinatenvlak verbindt (Fig. 1).

Oplossing.

In de probleemstelling staat: x A = 2; x B = -4; y A = -5 en y B = 3. Zoek d.

Als we de formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) toepassen, krijgen we:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Berekening van de coördinaten van een punt dat op gelijke afstand ligt van drie gegeven punten

Voorbeeld 2.

Zoek de coördinaten van punt O 1, dat op gelijke afstand ligt van drie punten A(7; -1) en B(-2; 2) en C(-1; -5).

Oplossing.

Uit de formulering van de probleemvoorwaarden volgt dat O 1 A = O 1 B = O 1 C. Laat het gewenste punt O 1 coördinaten (a; b) hebben. Met behulp van de formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) vinden we:

O 1 EEN = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Laten we een systeem van twee vergelijkingen maken:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nadat we de linker- en rechterkant van de vergelijkingen hebben gekwadrateerd, schrijven we:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vereenvoudigen, laten we schrijven

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Nadat we het systeem hebben opgelost, krijgen we: a = 2; b = -1.

Punt O 1 (2; -1) ligt op gelijke afstand van de drie punten gespecificeerd in de voorwaarde die niet op dezelfde rechte lijn liggen. Dit punt is het middelpunt van een cirkel die door drie gegeven punten gaat (Afb. 2).

3. Berekening van de abscis (ordinaat) van een punt dat op de abscis (ordinaat) ligt en zich op een bepaalde afstand van een bepaald punt bevindt

Voorbeeld 3.

De afstand van punt B(-5; 6) tot punt A dat op de Ox-as ligt, is 10. Zoek punt A.

Oplossing.

Uit de formulering van de probleemvoorwaarden volgt dat de ordinaat van punt A gelijk is aan nul en AB = 10.

Door de abscis van punt A aan te duiden met a, schrijven we A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

We krijgen de vergelijking √((a + 5) 2 + 36) = 10. Als we het vereenvoudigen, hebben we

a 2 + 10a – 39 = 0.

De wortels van deze vergelijking zijn a 1 = -13; en 2 = 3.

We krijgen twee punten A 1 (-13; 0) en A 2 (3; 0).

Inspectie:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Beide verkregen punten zijn geschikt volgens de omstandigheden van het probleem (Afb. 3).

4. Berekening van de abscis (ordinaat) van een punt dat op de abscis (ordinaat) ligt en zich op dezelfde afstand van twee gegeven punten bevindt

Voorbeeld 4.

Zoek een punt op de Oy-as dat zich op dezelfde afstand bevindt van de punten A (6, 12) en B (-8, 10).

Oplossing.

Laat de coördinaten van het punt dat vereist is door de omstandigheden van het probleem, liggend op de Oy-as, O 1 (0; b) zijn (op het punt dat op de Oy-as ligt, is de abscis nul). Uit de voorwaarde volgt dat O 1 A = O 1 B.

Met behulp van de formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) vinden we:

O 1 EEN = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

We hebben de vergelijking √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) of 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Na vereenvoudiging krijgen we: b – 4 = 0, b = 4.

Punt O 1 (0; 4) vereist door de omstandigheden van het probleem (Afb. 4).

5. Berekening van de coördinaten van een punt dat zich op dezelfde afstand van de coördinaatassen en een bepaald punt bevindt

Voorbeeld 5.

Zoek punt M op het coördinatenvlak op dezelfde afstand van de coördinaatassen en van punt A(-2; 1).

Oplossing.

Het vereiste punt M bevindt zich, net als punt A(-2; 1), in de tweede coördinaathoek, omdat het op gelijke afstand ligt van de punten A, P 1 en P 2 (Afb. 5). De afstanden van punt M tot de coördinaatassen zijn hetzelfde, daarom zijn de coördinaten (-a; a), waarbij a > 0.

Uit de voorwaarden van het probleem volgt dat MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP2 = |-a|,

die. |-een| = een.

Met behulp van de formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) vinden we:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Laten we een vergelijking maken:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Na kwadrateren en vereenvoudigen krijgen we: a 2 – 6a + 5 = 0. Los de vergelijking op, vind a 1 = 1; en 2 = 5.

We verkrijgen twee punten M 1 (-1; 1) en M 2 (-5; 5) die aan de voorwaarden van het probleem voldoen.

6. Berekening van de coördinaten van een punt dat zich op dezelfde gespecificeerde afstand van de abscis-as (ordinaat) en van het gegeven punt bevindt

Voorbeeld 6.

Zoek een punt M zo dat de afstand tot de ordinaat en tot punt A(8; 6) gelijk is aan 5.

Oplossing.

Uit de voorwaarden van het probleem volgt dat MA = 5 en de abscis van punt M is gelijk aan 5. Laat de ordinaat van punt M gelijk zijn aan b, dan is M(5; b) (Afb. 6).

Volgens de formule d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) hebben we:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Laten we een vergelijking maken:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Vereenvoudigd krijgen we: b 2 – 12b + 20 = 0. De wortels van deze vergelijking zijn b 1 = 2; b 2 = 10. Er zijn dus twee punten die aan de voorwaarden van het probleem voldoen: M 1 (5; 2) en M 2 (5; 10).

Het is bekend dat veel studenten bij het zelfstandig oplossen van problemen voortdurend overleg nodig hebben over technieken en methoden om deze op te lossen. Vaak kan een leerling geen manier vinden om een ​​probleem op te lossen zonder de hulp van een leraar. Op onze website kan de student het nodige advies krijgen over het oplossen van problemen.

Heeft u nog vragen? Weet u niet hoe u de afstand tussen twee punten in een vlak moet vinden?
Om hulp te krijgen van een docent, registreer je.
De eerste les is gratis!

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Het berekenen van afstanden tussen punten op basis van hun coördinaten in een vlak is elementair; op het aardoppervlak is het iets ingewikkelder: we zullen overwegen de afstand en initiële azimut tussen punten te meten zonder projectietransformaties. Laten we eerst de terminologie begrijpen.

Invoering

Door twee willekeurige punten op het oppervlak van een bol kan, als ze niet direct tegenover elkaar liggen (dat wil zeggen, ze zijn geen antipoden), een unieke grote cirkel worden getekend. Twee punten verdelen een grote cirkel in twee bogen. De lengte van een korte boog is de kortste afstand tussen twee punten. Er kan een oneindig aantal grote cirkels worden getekend tussen twee antipodale punten, maar de afstand daartussen zal op elke cirkel hetzelfde zijn en gelijk zijn aan de helft van de omtrek van de cirkel, of π*R, waarbij R de straal van de bol is.

Op een vlak (in een rechthoekig coördinatensysteem) vertegenwoordigen grote cirkels en hun fragmenten, zoals hierboven vermeld, bogen in alle projecties behalve de gnomonische, waar grote cirkels rechte lijnen zijn. In de praktijk betekent dit dat vliegtuigen en ander luchtvervoer altijd de route met de minimale afstand tussen punten gebruiken om brandstof te besparen, dat wil zeggen dat de vlucht over een grote cirkelafstand wordt uitgevoerd, in een vlak lijkt het op een boog.

De vorm van de aarde kan omschreven worden als een bol, dus de vergelijkingen voor het berekenen van afstanden zijn op grote cirkel zijn belangrijk voor het berekenen van de kortste afstand tussen punten op het aardoppervlak en worden vaak gebruikt bij navigatie. Het berekenen van de afstand met deze methode is efficiënter en in veel gevallen nauwkeuriger dan het berekenen ervan voor geprojecteerde coördinaten (in rechthoekige coördinatensystemen), omdat het in de eerste plaats niet vereist dat geografische coördinaten worden omgezet naar een rechthoekig coördinatensysteem (projectietransformaties worden uitgevoerd) en Ten tweede kunnen veel projecties, als ze verkeerd worden geselecteerd, leiden tot aanzienlijke lengtevervormingen vanwege de aard van projectievervormingen. Het is bekend dat het geen bol is, maar een ellipsoïde die de vorm van de aarde nauwkeuriger beschrijft, maar in dit artikel wordt de berekening van afstanden op een bol besproken, er wordt een bol met een straal van 6.372.795 meter gebruikt; wat kan leiden tot een fout bij het berekenen van afstanden in de orde van 0,5%.

Formules

Mijn implementatie op PHP

Afstand van punt tot punt is de lengte van het segment dat deze punten op een bepaalde schaal verbindt. Dus wanneer waar we het over hebben over het meten van afstanden moet u weten op welke schaal (lengte-eenheid) de metingen zullen worden uitgevoerd. Daarom wordt het probleem van het vinden van de afstand van punt tot punt gewoonlijk beschouwd op een coördinatenlijn of in een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem op een vlak of in een driedimensionale ruimte. Met andere woorden, meestal moet u de afstand tussen punten berekenen met behulp van hun coördinaten.

In dit artikel zullen we ons eerst herinneren hoe de afstand van punt tot punt op een coördinatenlijn wordt bepaald. Vervolgens verkrijgen we formules voor het berekenen van de afstand tussen twee punten van een vlak of ruimte volgens gegeven coördinaten. Tot slot zullen we de oplossingen voor typische voorbeelden en problemen in detail bekijken.

Paginanavigatie.

De afstand tussen twee punten op een coördinatenlijn.

Laten we eerst de notatie definiëren. De afstand van punt A tot punt B noteren we als .

Hieruit kunnen we dat concluderen de afstand van punt A met coördinaat tot punt B met coördinaat is gelijk aan de modulus van het verschil in coördinaten, dat wil zeggen, voor elke locatie van punten op de coördinatenlijn.

Afstand van punt tot punt op een vlak, formule.

We verkrijgen een formule voor het berekenen van de afstand tussen punten, gegeven in een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem op een vlak.

Afhankelijk van de ligging van de punten A en B zijn de volgende opties mogelijk.

Als de punten A en B samenvallen, is de afstand daartussen nul.

Als de punten A en B op een rechte lijn loodrecht op de abscis-as liggen, vallen de punten samen en is de afstand gelijk aan de afstand . In de vorige paragraaf hebben we ontdekt dat de afstand tussen twee punten op een coördinatenlijn gelijk is aan de modulus van het verschil tussen hun coördinaten, dus . Vandaar, .

Op dezelfde manier, als de punten A en B op een rechte lijn loodrecht op de ordinaat liggen, wordt de afstand van punt A tot punt B gevonden als .

In dit geval is driehoek ABC rechthoekig van constructie, en En . Door Stelling van Pythagoras we kunnen de gelijkheid opschrijven, vanwaar .

Laten we alle verkregen resultaten samenvatten: de afstand van een punt tot een punt op een vlak wordt gevonden via de coördinaten van de punten met behulp van de formule .

De resulterende formule voor het vinden van de afstand tussen punten kan worden gebruikt wanneer de punten A en B samenvallen of op een rechte lijn loodrecht op een van de coördinatenassen liggen. Als A en B samenvallen, dan geldt . Als de punten A en B op een rechte lijn loodrecht op de Ox-as liggen, dan. Als A en B op een rechte lijn loodrecht op de Oy-as liggen, dan is .

Afstand tussen punten in de ruimte, formule.

Laten we een rechthoekig coördinatensysteem Oxyz in de ruimte introduceren. Laten we een formule bedenken om de afstand vanaf een punt te vinden tot het punt .

Over het algemeen liggen de punten A en B niet in een vlak evenwijdig aan een van de coördinaatvlakken. Laten we door de punten A en B vlakken tekenen die loodrecht staan ​​op de coördinaatassen Ox, Oy en Oz. De snijpunten van deze vlakken met de coördinaatassen geven ons projecties van de punten A en B op deze assen. We duiden de projecties aan .

De vereiste afstand tussen de punten A en B is de diagonaal van het rechthoekige parallellepipedum zoals weergegeven in de figuur. Door de constructie zijn de afmetingen van dit parallellepipedum gelijk En . In de loop van de geometrie middelbare school het is bewezen dat het kwadraat van de diagonaal van een balk is gelijk aan de som vierkanten van de drie dimensies, dus . Op basis van de informatie in het eerste deel van dit artikel kunnen we daarom de volgende gelijkheden schrijven:

waar halen we het vandaan formule voor het vinden van de afstand tussen punten in de ruimte .

Deze formule is ook geldig als de punten A en B

• overeenkomst;
• behoren tot een van de coördinaatassen of een lijn evenwijdig aan een van de coördinaatassen;
• behoren tot een van de coördinaatvlakken of tot een vlak evenwijdig aan een van de coördinaatvlakken.

Het vinden van de afstand van punt tot punt, voorbeelden en oplossingen.

We hebben dus formules verkregen voor het vinden van de afstand tussen twee punten op een coördinatenlijn, vlak en driedimensionale ruimte. Het is tijd om naar oplossingen voor typische voorbeelden te kijken.

Het aantal problemen waarbij de laatste stap bestaat uit het vinden van de afstand tussen twee punten op basis van hun coördinaten is werkelijk enorm. Een volledig overzicht van dergelijke voorbeelden valt buiten het bestek van dit artikel. Hier beperken we ons tot voorbeelden waarin de coördinaten van twee punten bekend zijn en het nodig is om de afstand daartussen te berekenen.

In dit artikel zullen we kijken naar manieren om de afstand van punt tot punt theoretisch te bepalen en aan de hand van het voorbeeld van specifieke taken. Laten we om te beginnen enkele definities introduceren.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definitie 1

Afstand tussen punten is de lengte van het segment dat ze verbindt, op de bestaande schaal. Het is noodzakelijk om een ​​schaal in te stellen om een ​​lengte-eenheid voor meting te hebben. Daarom wordt het probleem van het vinden van de afstand tussen punten in principe opgelost door hun coördinaten te gebruiken op een coördinatenlijn, in een coördinatenvlak of in een driedimensionale ruimte.

Begingegevens: coördinaatlijn O x en een willekeurig punt A dat daarop ligt. Elk punt op de lijn heeft één reëel getal: laat dit een bepaald getal zijn voor punt A x EEN, het is ook de coördinaat van punt A.

In het algemeen kunnen we zeggen dat de lengte van een bepaald segment wordt beoordeeld in vergelijking met een segment dat wordt beschouwd als een lengte-eenheid op een bepaalde schaal.

Als punt A overeenkomt met een geheel reëel getal, kunnen we, door opeenvolgend van punt O naar punt langs de rechte lijn O A-segmenten - lengte-eenheden af ​​te leggen, de lengte van het segment O A bepalen op basis van het totale aantal gereserveerde eenheidssegmenten.

Punt A komt bijvoorbeeld overeen met het getal 3 - om er vanaf punt O te komen, moet u drie eenheidssegmenten ontslaan. Als punt A coördinaat - 4 heeft, worden eenheidssegmenten op een vergelijkbare manier ingedeeld, maar in een andere, negatieve richting. In het eerste geval is de afstand O A dus gelijk aan 3; in het tweede geval O A = 4.

Als punt A als coördinaat heeft rationeel getal Vervolgens zetten we vanaf de oorsprong (punt O) een geheel aantal eenheidssegmenten opzij, en vervolgens het noodzakelijke deel ervan. Maar geometrisch is het niet altijd mogelijk om een ​​meting te doen. Het lijkt bijvoorbeeld moeilijk om de breuk 4 111 op de coördinatenlijn uit te zetten.

Met de bovenstaande methode is het volkomen onmogelijk om een ​​irrationeel getal op een rechte lijn te plotten. Bijvoorbeeld wanneer de coördinaat van punt A 11 is. In dit geval is het mogelijk om tot abstractie te komen: als de gegeven coördinaat van punt A groter is dan nul, dan is O A = x A (het getal wordt genomen als de afstand); als de coördinaat kleiner is dan nul, dan O A = - x A . Over het algemeen gelden deze uitspraken voor elk reëel getal x A.

Samenvattend: de afstand van de oorsprong tot het punt dat overeenkomt met een reëel getal op de coördinatenlijn is gelijk aan:

• 0 als het punt samenvalt met de oorsprong;

• xA, als xA > 0;

• - x A als x A< 0 .

In dit geval is het duidelijk dat de lengte van het segment zelf niet negatief kan zijn. Daarom schrijven we met behulp van het modulusteken de afstand van punt O naar punt A met de coördinaat x EEN: O EEN = x EEN

De volgende bewering zal waar zijn: de afstand van het ene punt naar het andere zal gelijk zijn aan de modulus van het coördinatenverschil. Die. voor de punten A en B die op dezelfde coördinatenlijn liggen voor elke locatie en die overeenkomstige coördinaten hebben x EEN En x B: EEN B = x B - x EEN .

Initiële gegevens: punten A en B liggend op een vlak in een rechthoekig coördinatensysteem O x y met gegeven coördinaten: A (x A, y A) en B (x B, y B).

Laten we loodlijnen door de punten A en B tekenen op de coördinaatassen O x en O y en als resultaat de projectiepunten verkrijgen: A x, A y, B x, By y. Op basis van de ligging van de punten A en B zijn dan de volgende opties mogelijk:

Als de punten A en B samenvallen, is de afstand daartussen nul;

Als de punten A en B op een rechte lijn loodrecht op de O x-as (abscissa-as) liggen, vallen de punten samen, en | EEN B | = | A y B y | . Omdat de afstand tussen de punten gelijk is aan de modulus van het verschil van hun coördinaten, dan is A y B y = y B - y A, en dus A B = A y B y = y B - y A.

Als de punten A en B op een rechte lijn liggen loodrecht op de O y-as (ordinaatas) - naar analogie met de vorige paragraaf: A B = A x B x = x B - x A

Als de punten A en B niet op een rechte lijn loodrecht op een van de coördinaatassen liggen, zullen we de afstand daartussen vinden door de berekeningsformule af te leiden:

We zien dat driehoek A B C rechthoekig van constructie is. In dit geval is A C = A x B x en B C = A y By y. Met behulp van de stelling van Pythagoras creëren we de gelijkheid: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , en transformeren deze vervolgens: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Laten we een conclusie trekken uit het verkregen resultaat: de afstand van punt A naar punt B in het vlak wordt bepaald door berekening met behulp van de formule met behulp van de coördinaten van deze punten

EEN B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

De resulterende formule bevestigt ook eerder gevormde uitspraken voor gevallen van samenvallen van punten of situaties waarin de punten op rechte lijnen loodrecht op de assen liggen. Dus als de punten A en B samenvallen, zal de gelijkheid waar zijn: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Voor een situatie waarin de punten A en B op een rechte lijn loodrecht op de x-as liggen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Voor het geval dat de punten A en B op een rechte lijn loodrecht op de ordinaat liggen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Begingegevens: een rechthoekig coördinatensysteem O x y z met willekeurige punten erop met gegeven coördinaten A (x A, y A, z A) en B (x B, y B, z B). Het is noodzakelijk om de afstand tussen deze punten te bepalen.

Laten we het algemene geval bekijken waarin de punten A en B niet in een vlak liggen dat evenwijdig is aan een van de coördinaatvlakken. Laten we vlakken loodrecht op de coördinatenassen tekenen door de punten A en B en de overeenkomstige projectiepunten verkrijgen: A x , A y , A z , B x , By , B z

De afstand tussen de punten A en B is de diagonaal van het resulterende parallellepipedum. Volgens de constructie van de afmetingen van dit parallellepipedum: A x B x , A y By y en A z B z

Uit de cursus geometrie weten we dat het kwadraat van de diagonaal van een parallellepipedum gelijk is aan de som van de kwadraten van zijn afmetingen. Op basis van deze stelling verkrijgen we de gelijkheid: A B 2 = A x B x 2 + A y By y 2 + A z B z 2

Gebruikmakend van de eerder verkregen conclusies, schrijven we het volgende:

EEN X B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Laten we de uitdrukking transformeren:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finale formule voor het bepalen van de afstand tussen punten in de ruimte zal er als volgt uitzien:

EEN B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

De resulterende formule is ook geldig voor gevallen waarin:

De punten vallen samen;

Ze liggen op één coördinaatas of op een rechte lijn evenwijdig aan een van de coördinaatassen.

Voorbeelden van het oplossen van problemen bij het vinden van de afstand tussen punten

Initiële gegevens: een coördinatenlijn en daarop liggende punten met gegeven coördinaten A (1 - 2) en B (11 + 2) worden gegeven. Het is noodzakelijk om de afstand te vinden van het oorsprongspunt O tot punt A en tussen de punten A en B.

Oplossing

1. De afstand van het referentiepunt tot het punt is gelijk aan de modulus van de coördinaat van dit punt, respectievelijk O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. We definiëren de afstand tussen de punten A en B als de modulus van het verschil tussen de coördinaten van deze punten: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Antwoord: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Voorbeeld 2

Initiële gegevens: een rechthoekig coördinatensysteem en twee daarop liggende punten A (1, - 1) en B (λ + 1, 3) worden gegeven. λ is een reëel getal. Het is noodzakelijk om alle waarden van dit getal te vinden waarbij de afstand AB gelijk is aan 5.

Oplossing

Om de afstand tussen de punten A en B te vinden, moet je de formule gebruiken A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Vervanging echte waarden coördinaten, krijgen we: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

We gebruiken ook de bestaande voorwaarde dat A B = 5 en dan zal de gelijkheid waar zijn:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Antwoord: A B = 5 als λ = ± 3.

Voorbeeld 3

Begingegevens: een driedimensionale ruimte wordt gespecificeerd in het rechthoekige coördinatensysteem O x y z en de daarin liggende punten A (1, 2, 3) en B - 7, - 2, 4.

Oplossing

Om het probleem op te lossen gebruiken we de formule A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Als we reële waarden vervangen, krijgen we: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Antwoord: | EEN B | = 9

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Volgens het algemeen aanvaarde standpunt wordt aangenomen dat de nulmeridiaan de meridiaan is die door het oude Greenwich Observatorium in Greenwich loopt. Geografische coördinaten van de locatie kunnen worden verkregen met behulp van een GPS-navigator. Dit apparaat ontvangt signalen van het satellietpositioneringssysteem in het WGS-84-coördinatensysteem, uniform voor de hele wereld.

Navigatormodellen verschillen qua fabrikant, functionaliteit en interface. Momenteel zijn in sommige modellen ook ingebouwde GPS-navigators beschikbaar mobiele telefoons. Maar elk model kan de coördinaten van een punt registreren en opslaan.

Afstand tussen GPS-coördinaten

U kunt bijvoorbeeld de afstand tussen de volgende coördinaten bepalen: punt nr. 1 - breedtegraad 55°45′07″ N, lengtegraad 37°36′56″ E; punt nr. 2 - breedtegraad 58°00′02″ N, lengtegraad 102°39′42″ E.

De eenvoudigste manier is om een ​​rekenmachine te gebruiken om de lengte tussen twee punten te berekenen. In de browserzoekmachine moet u de volgende zoekparameters instellen: online - om de afstand tussen twee coördinaten te berekenen. In de online calculator worden waarden voor de breedtegraad en lengtegraad ingevoerd in de zoekvelden voor de eerste en tweede coördinaten. Bij het berekenen gaf de online calculator het resultaat: 3.800.619 m.

De volgende methode is arbeidsintensiever, maar ook visueler. U moet elk beschikbaar kaart- of navigatieprogramma gebruiken. Programma's waarin u punten kunt creëren met behulp van coördinaten en de afstanden daartussen kunt meten, omvatten de volgende toepassingen: BaseCamp (een moderne analoog van het MapSource-programma), Google Earth, SAS.Planet.

Alle bovenstaande programma's zijn beschikbaar voor elke netwerkgebruiker. Als u bijvoorbeeld de afstand tussen twee coördinaten in Google Earth wilt berekenen, moet u twee labels maken die de coördinaten van het eerste punt en het tweede punt aangeven. Vervolgens moet u met behulp van het hulpmiddel "liniaal" de eerste en tweede markering met een lijn verbinden, het programma geeft automatisch het meetresultaat weer en toont het pad op het satellietbeeld van de aarde.

In het geval van het hierboven gegeven voorbeeld retourneerde het Google Earth-programma het resultaat: de lengte van de afstand tussen punt nr. 1 en punt nr. 2 is 3.817.353 m.

Waarom er een fout optreedt bij het bepalen van de afstand