Definitie 1. Prismatisch oppervlak
Stelling 1. Op evenwijdige doorsneden van een prismatisch oppervlak
Definitie 2. Loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak
Definitie 3. Prisma
Definitie 4. Prismahoogte
Definitie 5. Rechter prisma
Stelling 2. Zijoppervlak van het prisma

Parallellepipedum:
Definitie 6. Parallellepipedum
Stelling 3. Op het snijpunt van de diagonalen van een parallellepipedum
Definitie 7. Rechter parallellepipedum
Definitie 8. Rechthoekig parallellepipedum
Definitie 9. Metingen van een parallellepipedum
Definitie 10. Kubus
Definitie 11. Rhomboëder
Stelling 4. Op de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum
Stelling 5. Volume van een prisma
Stelling 6. Volume van een recht prisma
Stelling 7. Volume van een rechthoekig parallellepipedum

Prisma is een veelvlak waarvan de twee vlakken (bases) in evenwijdige vlakken liggen, en de randen die niet in deze vlakken liggen evenwijdig aan elkaar.
Andere gezichten dan de bases worden genoemd lateraal.
De zijkanten van de zijvlakken en bases worden genoemd prisma ribben, worden de uiteinden van de randen genoemd de hoekpunten van het prisma. Laterale ribben randen die niet tot de bases behoren, worden genoemd. De vereniging van zijvlakken wordt genoemd zijvlak van het prisma, en de vereniging van alle gezichten wordt genoemd het volledige oppervlak van het prisma. Prisma hoogte heet de loodlijn die valt van het punt van de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis of de lengte van deze loodlijn. Direct prisma een prisma genoemd waarvan de zijribben loodrecht op de vlakken van de basis staan. Juist een recht prisma genoemd (Fig. 3), aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt.

Benamingen:
l - zijrib;
P - basisomtrek;
S o - basisgebied;
H - hoogte;
P^ - loodrechte doorsnedeomtrek;
Sb - lateraal oppervlak;
V-volume;
Sp is de oppervlakte van het totale oppervlak van het prisma.

Definitie 2 . Een loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak is een doorsnede van dit oppervlak door een vlak loodrecht op de randen ervan. Gebaseerd op de vorige stelling zullen alle loodrechte secties van hetzelfde prismatische oppervlak gelijke polygonen zijn.

Definitie 3 . Een prisma is een veelvlak dat wordt begrensd door een prismatisch oppervlak en twee vlakken evenwijdig aan elkaar (maar niet evenwijdig aan de randen van het prismatische oppervlak)
De gezichten die in deze laatste vlakken liggen, worden opgeroepen prisma-basissen; vlakken die tot het prismatische oppervlak behoren - zijvlakken; randen van het prismatische oppervlak - zijribben van het prisma. Op grond van de vorige stelling is de basis van het prisma dat gelijke veelhoeken. Alle zijvlakken van het prisma - parallellogrammen; alle zijribben zijn gelijk aan elkaar.
Als de basis van het prisma ABCDE en een van de randen AA" in grootte en richting worden gegeven, is het uiteraard mogelijk een prisma te construeren door de randen BB", CC", ... gelijk en evenwijdig aan de rand AA" te tekenen. .

Definitie 4 . De hoogte van een prisma is de afstand tussen de vlakken van zijn basis (HH").

Definitie 5 . Een prisma wordt recht genoemd als de basis ervan loodrechte delen van het prismatische oppervlak zijn. In dit geval is de hoogte van het prisma natuurlijk de hoogte ervan zijrib; de zijranden zullen zijn rechthoeken.
Prisma's kunnen worden geclassificeerd op basis van het aantal zijvlakken dat gelijk is aan het aantal zijden van de veelhoek die als basis dient. Prisma's kunnen dus driehoekig, vierhoekig, vijfhoekig, enz. zijn.

Stelling 2 . Het oppervlak van het zijoppervlak van het prisma is gelijk aan het product van de zijrand en de omtrek van het loodrechte gedeelte.
Laat ABCDEA"B"C"D"E" een gegeven prisma zijn en abcde de loodrechte doorsnede ervan, zodat de segmenten ab, bc, .. loodrecht op de zijranden staan. Het vlak ABA"B" is een parallellogram; de oppervlakte ervan is gelijk aan het product van de basis AA " tot een hoogte die samenvalt met ab; het gebied van het gezicht ВСВ "С" is gelijk aan het product van de basis ВВ" door de hoogte bc, enz. Bijgevolg, zijvlak(d.w.z. de som van de oppervlakten van de zijvlakken) is gelijk aan het product van de zijrand, met andere woorden, de totale lengte van de segmenten AA", BB", .., met de som ab+bc+cd +de+ea.

Veelvlakken

Het belangrijkste object van studie van stereometrie zijn ruimtelijke lichamen. Lichaam vertegenwoordigt een deel van de ruimte dat wordt begrensd door een bepaald oppervlak.

Veelvlak is een lichaam waarvan het oppervlak bestaat uit een eindig aantal platte veelhoeken. Een veelvlak wordt convex genoemd als het zich aan één kant van het vlak van elke vlakke veelhoek op zijn oppervlak bevindt. Het gemeenschappelijke deel van zo'n vlak en het oppervlak van een veelvlak wordt genoemd rand. De vlakken van een convex veelvlak zijn platte convexe veelhoeken. De zijkanten van de gezichten worden genoemd randen van het veelvlak, en de hoekpunten zijn hoekpunten van het veelvlak.

Een kubus bestaat bijvoorbeeld uit zes vierkanten, die de vlakken zijn. Het bevat 12 randen (de zijkanten van de vierkanten) en 8 hoekpunten (de bovenkanten van de vierkanten).

De eenvoudigste veelvlakken zijn prisma's en piramides, die we verder zullen bestuderen.

Prisma

Definitie en eigenschappen van een prisma

Prisma is een veelvlak dat bestaat uit twee platte veelhoeken die in parallelle vlakken liggen, gecombineerd door parallelle translatie, en alle segmenten die de overeenkomstige punten van deze veelhoeken verbinden. Veelhoeken worden genoemd prisma-basissen, en de segmenten die de overeenkomstige hoekpunten van de polygonen verbinden, zijn dat ook zijranden van het prisma.

Prisma hoogte wordt de afstand tussen de vlakken van zijn bases () genoemd. Een segment dat twee hoekpunten van een prisma verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren, wordt genoemd prisma diagonaal(). Het prisma wordt genoemd n-koolstof, als de basis een n-hoek bevat.

Elk prisma heeft de volgende eigenschappen, die voortvloeien uit het feit dat de bases van het prisma worden gecombineerd door parallelle translatie:

1. De basis van het prisma is gelijk.

2. De zijkanten van het prisma zijn evenwijdig en gelijk.

Het oppervlak van het prisma bestaat uit bases en zijvlak. Het manteloppervlak van het prisma bestaat uit parallellogrammen (dit volgt uit de eigenschappen van het prisma). De oppervlakte van het zijvlak van een prisma is de som van de oppervlakten van de zijvlakken.

Recht prisma

Het prisma wordt genoemd direct, als de zijranden loodrecht op de basis staan. IN anders een prisma wordt genoemd van plan.

De vlakken van een rechter prisma zijn rechthoeken. De hoogte van een recht prisma is gelijk aan de zijvlakken.

Volledige oppervlakte prisma's wordt de som genoemd van het laterale oppervlak en de oppervlakken van de bases.

Met het juiste prisma een recht prisma genoemd met een regelmatige veelhoek aan de basis.

Stelling 13.1. Het oppervlak van het zijoppervlak van een recht prisma is gelijk aan het product van de omtrek en de hoogte van het prisma (of, wat hetzelfde is, aan de zijkant).

Bewijs. De zijvlakken van een rechter prisma zijn rechthoeken, waarvan de basis de zijden zijn van de veelhoeken aan de basis van het prisma, en de hoogten de zijranden van het prisma. Dan is het zijoppervlak per definitie:

,

waar is de omtrek van de basis van een recht prisma.

Parallellepipedum

Als parallellogrammen aan de basis van een prisma liggen, wordt dit genoemd parallellepipedum. Alle vlakken van een parallellepipedum zijn parallellogrammen. In dit geval zijn de tegenoverliggende vlakken van het parallellepipedum evenwijdig en gelijk.

Stelling 13.2. De diagonalen van een parallellepipedum snijden elkaar op één punt en worden door het snijpunt in tweeën gedeeld.

Bewijs. Beschouw bijvoorbeeld twee willekeurige diagonalen, en . Omdat de vlakken van een parallellepipedum zijn parallellogrammen, dan en , wat betekent dat er volgens To twee rechte lijnen evenwijdig aan de derde zijn. Bovendien betekent dit dat rechte lijnen en lijnen in hetzelfde vlak (vlak) liggen. Dit vlak snijdt evenwijdige vlakken en langs evenwijdige lijnen en . Een vierhoek is dus een parallellogram, en door de eigenschap van een parallellogram snijden de diagonalen elkaar en worden ze in tweeën gedeeld door het snijpunt, wat moest worden bewezen.

Een recht parallellepipedum waarvan de basis een rechthoek is, wordt genoemd rechthoekig parallellepipedum. Alle vlakken van een rechthoekig parallellepipedum zijn rechthoeken. De lengtes van de niet-parallelle randen van een rechthoekig parallellepipedum worden de lineaire afmetingen (afmetingen) genoemd. Er zijn drie van dergelijke maten (breedte, hoogte, lengte).

Stelling 13.3. In een rechthoekig parallellepipedum is dit het vierkant van een willekeurige diagonaal gelijk aan de som vierkanten van de drie dimensies (bewezen door tweemaal Pythagoras T toe te passen).

Een rechthoekig parallellepipedum waarvan alle randen gelijk zijn, wordt genoemd kubus.

Taken

13.1 Hoeveel diagonalen heeft het? N-koolstof prisma

13.2 In een hellend driehoekig prisma zijn de afstanden tussen de zijranden 37, 13 en 40. Bereken de afstand tussen de grotere zijrand en de tegenoverliggende zijrand.

13.3 Via de zijkant van de onderste basis van de juiste driehoekig prisma Er wordt een vlak getekend dat de zijvlakken snijdt langs segmenten, met een hoek ertussen van . Bereken de hellingshoek van dit vlak ten opzichte van de basis van het prisma.

Algemene informatie over recht prisma

Het zijoppervlak van een prisma (meer precies: het zijoppervlak) wordt genoemd som gebieden van de zijvlakken. Het totale oppervlak van het prisma is gelijk aan de som van het zijoppervlak en de oppervlakten van de bases.

Stelling 19.1. Het zijoppervlak van een recht prisma is gelijk aan het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het prisma, dat wil zeggen de lengte van de zijkant.

Bewijs. De zijvlakken van een recht prisma zijn rechthoeken. De basis van deze rechthoeken zijn de zijden van de veelhoek die aan de basis van het prisma liggen, en de hoogten zijn gelijk aan de lengte van de zijranden. Hieruit volgt dat het zijoppervlak van het prisma gelijk is aan

S = een 1 l + een 2 l + ... + een n l = pl,

waarbij a 1 en n de lengtes van de basisranden zijn, p de omtrek van de basis van het prisma is, en I de lengte van de zijranden. De stelling is bewezen.

Praktische taak

Probleem (22) . In een hellend prisma wordt het uitgevoerd sectie, loodrecht op de zijribben en alle zijribben kruisend. Zoek het mantelvlak van het prisma als de omtrek van de doorsnede gelijk is aan p en de zijranden gelijk zijn aan l.

Oplossing. Het vlak van de getekende doorsnede verdeelt het prisma in twee delen (Fig. 411). Laten we een ervan onderwerpen aan een parallelle vertaling, waarbij we de bases van het prisma combineren. In dit geval verkrijgen we een recht prisma, waarvan de basis de dwarsdoorsnede is van het originele prisma, en de zijranden gelijk zijn aan l. Dit prisma heeft hetzelfde zijvlak als het origineel. Het zijoppervlak van het oorspronkelijke prisma is dus gelijk aan pl.

Samenvatting van het behandelde onderwerp

Laten we nu proberen het onderwerp dat we hebben besproken over prisma’s samen te vatten en te onthouden welke eigenschappen een prisma heeft.

Prisma-eigenschappen

Ten eerste heeft een prisma al zijn bases als gelijke veelhoeken;
Ten tweede zijn bij een prisma alle zijvlakken parallellogrammen;
Ten derde zijn in zo'n veelzijdige figuur als een prisma alle zijranden gelijk;

Houd er ook rekening mee dat veelvlakken zoals prisma's recht of schuin kunnen zijn.

Welk prisma wordt een recht prisma genoemd?

Als de zijkant van een prisma loodrecht op het vlak van de basis staat, wordt zo'n prisma een recht prisma genoemd.

Het zou niet overbodig zijn om te onthouden dat de zijvlakken van een recht prisma rechthoeken zijn.

Welk type prisma wordt schuin genoemd?

Maar als de zijkant van een prisma niet loodrecht op het vlak van de basis staat, kunnen we gerust zeggen dat het een hellend prisma is.

Welk prisma wordt correct genoemd?

Als een regelmatige veelhoek aan de basis van een recht prisma ligt, dan is zo'n prisma regelmatig.

Laten we nu de eigenschappen onthouden die een gewoon prisma heeft.

Eigenschappen van een regulier prisma

Ten eerste: altijd redenen juiste prisma dienen regelmatige veelhoeken;
Ten tweede: als we de zijvlakken van een gewoon prisma beschouwen, zijn het altijd gelijke rechthoeken;
Ten derde, als je de afmetingen van de zijribben vergelijkt, dan zijn ze in een gewoon prisma altijd gelijk.
Ten vierde is een correct prisma altijd recht;
Ten vijfde: als in een regelmatig prisma de zijvlakken de vorm van vierkanten hebben, wordt zo'n figuur gewoonlijk een semi-regelmatige veelhoek genoemd.

Dwarsdoorsnede van het prisma

Laten we nu eens kijken naar de dwarsdoorsnede van het prisma:

Huiswerk

Laten we nu proberen het onderwerp dat we hebben geleerd te consolideren door problemen op te lossen.

Laten we een hellend driehoekig prisma tekenen, de afstand tussen de randen zal gelijk zijn aan: 3 cm, 4 cm en 5 cm, en het zijoppervlak van dit prisma zal gelijk zijn aan 60 cm2. Met deze parameters zoekt u de zijrand van dit prisma.

Weet jij dat? geometrische vormen omring ons voortdurend, niet alleen in meetkundelessen, maar ook in het dagelijks leven Er zijn objecten die op een of andere geometrische figuur lijken.

Iedereen thuis, op school of op het werk heeft een computer, systeem eenheid die de vorm heeft van een recht prisma.

Als je een eenvoudig potlood oppakt, zul je zien dat het grootste deel van het potlood een prisma is.

Als we door de centrale straat van de stad lopen, zien we dat onder onze voeten een tegel ligt die de vorm heeft van een zeshoekig prisma.

A. V. Pogorelov, Geometrie voor groep 7-11, leerboek voor onderwijsinstellingen

Verschillende prisma's verschillen van elkaar. Tegelijkertijd hebben ze veel gemeen. Om het gebied van de basis van het prisma te vinden, moet u begrijpen welk type het heeft.

Algemene theorie

Een prisma is elk veelvlak waarvan de zijden de vorm hebben van een parallellogram. Bovendien kan de basis elk veelvlak zijn - van een driehoek tot een n-hoek. Bovendien zijn de bases van het prisma altijd gelijk aan elkaar. Wat voor de zijvlakken niet geldt, is dat deze sterk in grootte kunnen variëren.

Bij het oplossen van problemen wordt niet alleen het gebied van de basis van het prisma aangetroffen. Het kan kennis vereisen van het zijoppervlak, dat wil zeggen van alle vlakken die geen basis zijn. Het volledige oppervlak zal de vereniging zijn van alle vlakken waaruit het prisma bestaat.

Soms hebben problemen te maken met hoogte. Het staat loodrecht op de bases. De diagonaal van een veelvlak is een segment dat twee hoekpunten die niet tot hetzelfde vlak behoren, paarsgewijs verbindt.

Opgemerkt moet worden dat het basisoppervlak van een recht of hellend prisma niet afhankelijk is van de hoek tussen hen en de zijvlakken. Als ze aan de boven- en onderkant dezelfde figuren hebben, zijn hun oppervlakten gelijk.

Driehoekig prisma

Het heeft aan de basis een figuur met drie hoekpunten, dat wil zeggen een driehoek. Zoals u weet, kan het anders zijn. Als dat zo is, is het voldoende om te onthouden dat het gebied wordt bepaald door de helft van het product van de benen.

De wiskundige notatie ziet er als volgt uit: S = ½ av.

Om het gebied van de basis te achterhalen algemeen beeld, de formules zullen nuttig zijn: Reiger en degene waarin de helft van de zijkant naar de hoogte wordt gebracht die ernaartoe wordt getrokken.

De eerste formule moet als volgt worden geschreven: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Deze notatie bevat een halve omtrek (p), dat wil zeggen de som van drie zijden gedeeld door twee.

Tweede: S = ½ n a * a.

Als je het gebied van de basis van een driehoekig prisma wilt weten, dat regelmatig is, dan blijkt de driehoek gelijkzijdig te zijn. Er is een formule voor: S = ¼ a 2 * √3.

Vierhoekig prisma

De basis is een van de bekende vierhoeken. Het kan een rechthoek of vierkant, parallellepipedum of ruit zijn. Om het gebied van de basis van het prisma te berekenen, heeft u in elk geval uw eigen formule nodig.

Als de basis een rechthoek is, wordt de oppervlakte als volgt bepaald: S = ab, waarbij a, b de zijden van de rechthoek zijn.

Wanneer waar we het over hebben over een vierhoekig prisma, dan wordt het oppervlak van de basis van een gewoon prisma berekend met behulp van de formule voor een vierkant. Omdat hij het is die aan de basis ligt. S = een 2.

In het geval dat de basis een parallellepipedum is, is de volgende gelijkheid nodig: S = a * n a. Het komt voor dat de zijkant van een parallellepipedum en een van de hoeken gegeven zijn. Om de hoogte te berekenen, moet u vervolgens een aanvullende formule gebruiken: n a = b * sin A. Bovendien grenst hoek A aan zijde "b", en hoogte n is tegengesteld aan deze hoek.

Als er een ruit aan de basis van het prisma zit, heb je voor het bepalen van de oppervlakte dezelfde formule nodig als voor een parallellogram (aangezien dit een speciaal geval is). Maar je kunt ook dit gebruiken: S = ½ d 1 d 2. Hier zijn d 1 en d 2 twee diagonalen van de ruit.

Regelmatig vijfhoekig prisma

In dit geval wordt de veelhoek in driehoeken verdeeld, waarvan de gebieden gemakkelijker te achterhalen zijn. Hoewel het voorkomt dat figuren een ander aantal hoekpunten kunnen hebben.

Omdat de basis van het prisma een regelmatige vijfhoek is, kan deze in vijf gelijkzijdige driehoeken worden verdeeld. Dan is het gebied van de basis van het prisma gelijk aan het gebied van zo'n driehoek (de formule is hierboven te zien), vermenigvuldigd met vijf.

Regelmatig zeshoekig prisma

Volgens het principe beschreven voor een vijfhoekig prisma is het mogelijk om de zeshoek van de basis in 6 gelijkzijdige driehoeken te verdelen. De formule voor het basisoppervlak van een dergelijk prisma is vergelijkbaar met de vorige. Alleen moet het met zes worden vermenigvuldigd.

De formule ziet er als volgt uit: S = 3/2 a 2 * √3.

Taken

Nr. 1. Gegeven een regelmatige rechte lijn is de diagonaal 22 cm, de hoogte van het veelvlak is 14 cm. Bereken het gebied van de basis van het prisma en het gehele oppervlak.

Oplossing. De basis van het prisma is een vierkant, maar de zijkant is onbekend. Je kunt de waarde ervan afleiden uit de diagonaal van het vierkant (x), die gerelateerd is aan de diagonaal van het prisma (d) en de hoogte ervan (h). x 2 = d2 - n2. Aan de andere kant is dit segment “x” de hypotenusa in een driehoek waarvan de benen gelijk zijn aan de zijkant van het vierkant. Dat wil zeggen: x 2 = een 2 + een 2. Het blijkt dus dat a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Vervang het getal 22 in plaats van d, en vervang "n" door de waarde ervan - 14, het blijkt dat de zijkant van het vierkant 12 cm is. Ontdek nu gewoon de oppervlakte van de basis: 12 * 12 = 144 cm 2.

Om de oppervlakte van het gehele oppervlak te bepalen, moet u tweemaal het basisoppervlak toevoegen en het zijoppervlak verviervoudigen. Dit laatste kan eenvoudig worden gevonden met behulp van de formule voor een rechthoek: vermenigvuldig de hoogte van het veelvlak en de zijkant van de basis. Dat wil zeggen, 14 en 12, dit getal is gelijk aan 168 cm 2. De totale oppervlakte van het prisma blijkt 960 cm2 te zijn.

Antwoord. Het oppervlak van de basis van het prisma is 144 cm2. De gehele oppervlakte bedraagt ​​960 cm2.

Nr. 2. Gegeven Aan de basis bevindt zich een driehoek met een zijde van 6 cm. In dit geval is de diagonaal van het zijvlak 10 cm.

Oplossing. Omdat het prisma regelmatig is, is de basis dat ook gelijkzijdige driehoek. Daarom blijkt de oppervlakte gelijk te zijn aan 6 kwadraat, vermenigvuldigd met ¼ en met de wortel van 3. Een eenvoudige berekening leidt tot het resultaat: 9√3 cm 2. Dit is het gebied van één basis van het prisma.

Alle zijvlakken zijn hetzelfde en zijn rechthoeken met zijden van 6 en 10 cm. Om hun oppervlakte te berekenen, hoeft u alleen maar deze getallen te vermenigvuldigen. Vermenigvuldig ze dan met drie, want het prisma heeft precies zoveel zijvlakken. Dan blijkt het oppervlak van het zijoppervlak van de wond 180 cm2 te zijn.

Antwoord. Gebieden: basis - 9√3 cm 2, zijoppervlak van het prisma - 180 cm 2.

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle problemen 1-13 Profiel Unified State Examination in de wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10 t/m 11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle manieren oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.