Invoering

Toen we begonnen met het bestuderen van stereometrische figuren, raakten we het onderwerp “Piramide” aan. We vonden dit onderwerp leuk omdat de piramide heel vaak wordt gebruikt in de architectuur. En sinds de onze toekomstig beroep architect, geïnspireerd door deze figuur, denken we dat ze ons naar grote projecten kan stuwen.

De kracht van architectonische constructies is hun belangrijkste kwaliteit. Door kracht in de eerste plaats te koppelen aan de materialen waaruit ze zijn gemaakt, en in de tweede plaats aan de kenmerken van ontwerpoplossingen, blijkt dat de sterkte van een constructie rechtstreeks verband houdt met de geometrische vorm die eraan ten grondslag ligt.

Met andere woorden, we hebben het over die geometrische figuur die kan worden beschouwd als een model van het overeenkomstige architectonische vorm. Het blijkt dat geometrische vormen ook de sterkte van een architectonisch bouwwerk bepalen.

Sinds de oudheid worden de Egyptische piramides beschouwd als de meest duurzame architectonische bouwwerken. Zoals je weet hebben ze de vorm van regelmatige vierhoekige piramides.

Het is deze geometrische vorm die door het grote basisoppervlak de grootste stabiliteit biedt. Aan de andere kant zorgt de piramidevorm ervoor dat de massa afneemt naarmate de hoogte boven de grond toeneemt. Het zijn deze twee eigenschappen die de piramide stabiel en dus sterk maken onder de omstandigheden van de zwaartekracht.

Projectdoel: leer iets nieuws over piramides, verdiep je kennis en vind praktische toepassing.

Om dit doel te bereiken, was het noodzakelijk om de volgende taken op te lossen:

· Leer historische informatie over de piramide

· Beschouw de piramide als geometrische figuur

· Vind toepassing in het leven en de architectuur

· Zoek de overeenkomsten en verschillen tussen de piramides in verschillende onderdelen Sveta

Theoretisch gedeelte

Historische informatie

Het begin van de geometrie van de piramide werd gelegd in het oude Egypte en Babylon, maar werd actief ontwikkeld Het oude Griekenland. De eerste die de omvang van de piramide vaststelde was Democritus, en Eudoxus van Cnidus bewees dit. De oude Griekse wiskundige Euclides systematiseerde de kennis over de piramide in het XII-deel van zijn 'Elementen', en leidde ook de eerste definitie van een piramide af: een solide figuur begrensd door vlakken die van één vlak naar één punt convergeren.

Graven van Egyptische farao's. De grootste daarvan - de piramides van Cheops, Chefren en Mikerin in El Gizeh - werden in de oudheid beschouwd als een van de zeven wereldwonderen. De bouw van de piramide, waarin de Grieken en Romeinen al een monument zagen voor de ongekende trots van koningen en de wreedheid die het hele Egyptische volk tot zinloze constructie verdoemde, was de belangrijkste cultusdaad en moest blijkbaar uitdrukking geven aan de mystieke identiteit van het land en zijn heerser. De bevolking van het land werkte gedurende het deel van het jaar dat vrij was van landbouwwerkzaamheden aan de bouw van het graf. Een aantal teksten getuigen van de aandacht en zorg die de koningen zelf (zij het van latere tijd) besteedden aan de bouw van hun tombe en de bouwers ervan. Het is ook bekend over de speciale cultusonderscheidingen die aan de piramide zelf werden gegeven.

Basisconcepten

Piramide wordt een veelvlak genoemd waarvan de basis een veelhoek is, en de overige vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt.

Apothema- de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt;

Zijkanten- driehoeken die elkaar ontmoeten in een hoekpunt;

Zijribben- gemeenschappelijke zijden van de zijvlakken;

Bovenkant van de piramide- een punt dat de zijribben verbindt en niet in het vlak van de basis ligt;

Hoogte- een loodrecht segment dat door de top van de piramide naar het vlak van de basis wordt getrokken (de uiteinden van dit segment zijn de top van de piramide en de basis van de loodlijn);

Diagonale doorsnede van een piramide- gedeelte van de piramide dat door de bovenkant en diagonaal van de basis gaat;

Baseren- een veelhoek die niet tot het hoekpunt van de piramide behoort.

Basiseigenschappen van een regelmatige piramide

De zijranden, zijvlakken en apothema's zijn respectievelijk gelijk.

De tweevlakshoeken aan de basis zijn gelijk.

De tweevlakshoeken aan de zijkanten zijn gelijk.

Elk hoogtepunt ligt op gelijke afstand van alle hoekpunten van de basis.

Elk hoogtepunt ligt op gelijke afstand van alle zijvlakken.

Basispiramideformules

Zijgedeelte en volledige oppervlakte piramides.

De oppervlakte van het zijoppervlak van een piramide (volledig en afgeknot) is de som van de oppervlakten van al zijn zijvlakken, de totale oppervlakte is de som van de oppervlakten van al zijn vlakken.

Stelling: De oppervlakte van het manteloppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan de helft van het product van de omtrek van de basis en de apothema van de piramide.

P- basisomtrek;

H- apothema.

Het gebied van de laterale en volledige oppervlakken van een afgeknotte piramide.

blz. 1, P 2 - basisomtrekken;

H- apothema.

R- totale oppervlakte van een regelmatige afgeknotte piramide;

S-kant- gebied van het zijoppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide;

S1 + S2- basisoppervlak

Volume van de piramide

Formulier volume ula wordt gebruikt voor piramides van welke aard dan ook.

H- hoogte van de piramide.

Piramide hoeken

De hoeken gevormd door het zijvlak en de basis van de piramide worden tweevlakshoeken genoemd aan de basis van de piramide.

Een tweevlakshoek wordt gevormd door twee loodlijnen.

Om deze hoek te bepalen, moet je vaak de stelling van de drie loodlijnen gebruiken.

De hoeken gevormd door de zijrand en de projectie ervan op het basisvlak worden genoemd hoeken tussen de zijrand en het vlak van de basis.

De hoek gevormd door twee zijranden wordt genoemd tweevlakshoek aan de zijkant van de piramide.

De hoek gevormd door twee zijranden van één vlak van de piramide wordt genoemd hoek aan de top van de piramide.

Piramide secties

Het oppervlak van een piramide is het oppervlak van een veelvlak. Elk van zijn vlakken is een vlak, daarom is het gedeelte van een piramide dat wordt gedefinieerd door een snijvlak een onderbroken lijn die bestaat uit individuele rechte lijnen.

Diagonaal gedeelte

De doorsnede van een piramide door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet op hetzelfde vlak liggen, wordt genoemd diagonale doorsnede piramides.

Parallelle secties

Stelling:

Als de piramide wordt doorsneden door een vlak evenwijdig aan de basis, dan worden de zijranden en hoogten van de piramide door dit vlak in evenredige delen verdeeld;

De doorsnede van dit vlak is een veelhoek die lijkt op de basis;

De gebieden van de sectie en de basis zijn aan elkaar gerelateerd als de kwadraten van hun afstanden tot het hoekpunt.

Soorten piramides

Juiste piramide- een piramide waarvan de basis is regelmatige veelhoek, en de top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de basis.

Voor een gewone piramide:

1. Zijribben zijn gelijk

2. zijvlakken zijn gelijk

3. Apothemen zijn gelijk

4. tweevlakshoeken aan de basis zijn gelijk

5. de tweevlakshoeken aan de zijkanten zijn gelijk

6. elk hoogtepunt ligt op gelijke afstand van alle hoekpunten van de basis

7. elk hoogtepunt ligt op gelijke afstand van alle zijranden

Afgeknotte piramide- een deel van de piramide, ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis.

De basis en het bijbehorende gedeelte van een afgeknotte piramide worden genoemd basis van een afgeknotte piramide.

Een loodlijn getrokken vanuit een willekeurig punt van de ene basis naar het vlak van een andere wordt genoemd de hoogte van een afgeknotte piramide.

Taken

Nr. 1. In een regelmatige vierhoekige piramide is punt O het middelpunt van de basis, SO=8 cm, BD=30 cm. Zoek de zijrand SA.

Probleem oplossen

Nr. 1. In een regelmatige piramide zijn alle vlakken en randen gelijk.

Overweeg OSB: OSB is een rechthoekige rechthoek, omdat.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB2 =64+225=289

Piramide in architectuur

Een piramide is een monumentaal bouwwerk in de vorm van een gewone regelmatige geometrische piramide, waarbij de zijkanten op één punt samenkomen. Volgens hun functionele doel waren piramides in de oudheid plaatsen van begrafenis of cultusaanbidding. De basis van een piramide kan driehoekig, vierhoekig of in de vorm van een veelhoek zijn met een willekeurig aantal hoekpunten, maar de meest voorkomende versie is de vierhoekige basis.

Er zijn een aanzienlijk aantal piramides gebouwd door verschillende culturen. Oude wereld voornamelijk als tempels of monumenten. Grote piramides omvatten de Egyptische piramides.

Over de hele aarde zie je architecturale structuren in de vorm van piramides. De piramidegebouwen doen denken aan de oudheid en zien er erg mooi uit.

Egyptische piramides zijn de grootste architectonische monumenten Het oude Egypte, waaronder een van de 'Zeven Wereldwonderen' de Piramide van Cheops. Van de voet tot de top bereikt hij 137,3 m, en voordat hij de top verloor, was de hoogte 146,7 m

Het radiostationgebouw in de hoofdstad van Slowakije, dat lijkt op een omgekeerde piramide, werd gebouwd in 1983. Naast kantoren en dienstgebouwen bevindt zich in het volume een vrij ruime concertzaal, dat een van de grootste orgels van Slowakije heeft.

Het Louvre, dat ‘stil en majestueus is, als een piramide’, heeft in de loop der eeuwen veel veranderingen ondergaan voordat het een monument werd grootste museum vrede. Het werd geboren als een fort, gebouwd door Filips Augustus in 1190, dat al snel een koninklijke residentie werd. In 1793 werd het paleis een museum. Collecties worden verrijkt door schenkingen of aankopen.

• apothema- de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, die wordt getrokken vanaf het hoekpunt (bovendien is de apothema de lengte van de loodlijn, die wordt verlaagd van het midden van de regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden);
• zijvlakken (ASB, BSC, CSD, DSA) - driehoeken die elkaar ontmoeten bij het hoekpunt;
• laterale ribben ( ALS , B.S. , C.S. , DS ) — gemeenschappelijke zijden van de zijvlakken;
• top van de piramide (t. S) - een punt dat de zijribben verbindt en dat niet in het vlak van de basis ligt;
• hoogte ( DUS ) - een loodrecht segment dat door de top van de piramide naar het vlak van de basis wordt getrokken (de uiteinden van een dergelijk segment zijn de top van de piramide en de basis van de loodlijn);
• diagonale doorsnede van de piramide- een deel van de piramide dat door de bovenkant en de diagonaal van de basis loopt;
• baseren (ABCD) - een veelhoek die niet tot het hoekpunt van de piramide behoort.

Eigenschappen van de piramide.

1. Als alle zijranden even groot zijn, dan:

• het is gemakkelijk om een ​​cirkel nabij de basis van de piramide te beschrijven, en de top van de piramide zal in het midden van deze cirkel worden geprojecteerd;
• de zijribben vormen gelijke hoeken met het vlak van de basis;
• Bovendien is het tegenovergestelde ook waar, d.w.z. wanneer de zijribben gelijke hoeken vormen met het vlak van de basis, of wanneer een cirkel kan worden beschreven rond de basis van de piramide en de top van de piramide in het midden van deze cirkel zal worden geprojecteerd, betekent dit dat alle zijranden van de piramide zijn even groot.

2. Als de zijvlakken een hellingshoek hebben met het vlak van de basis van dezelfde waarde, dan:

• het is gemakkelijk om een ​​cirkel nabij de basis van de piramide te beschrijven, en de top van de piramide zal in het midden van deze cirkel worden geprojecteerd;
• de hoogten van de zijvlakken zijn even lang;
• de oppervlakte van het zijoppervlak is gelijk aan ½ van het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het zijvlak.

3. Een bol kan rond een piramide worden beschreven als er aan de basis van de piramide een veelhoek is waarrond een cirkel kan worden beschreven (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Het middelpunt van de bol zal het snijpunt zijn van de vlakken die door het midden van de randen van de piramide loodrecht daarop gaan. Uit deze stelling concluderen we dat een bol zowel rond elke driehoekige als rond elke reguliere piramide kan worden beschreven.

4. Een bol kan in een piramide worden ingeschreven als de bissectricevlakken van de binnenkant zijn tweevlakshoeken de piramides snijden elkaar op het eerste punt (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Dit punt wordt het middelpunt van de bol.

De eenvoudigste piramide.

Op basis van het aantal hoeken is de basis van de piramide verdeeld in driehoekig, vierhoekig, enzovoort.

Er zal een piramide zijn driehoekig, vierhoekig, enzovoort, wanneer de basis van de piramide een driehoek, een vierhoek, enzovoort is. Een driehoekige piramide is een tetraëder - een tetraëder. Vierhoekig - vijfhoekig enzovoort.

Hypothese: wij geloven dat de perfectie van de vorm van de piramide te danken is aan de wiskundige wetten die inherent zijn aan zijn vorm.

Doel: nadat ik de piramide had bestudeerd als geometrisch lichaam, om de perfectie van zijn vorm te verklaren.

Taken:

1. Geef een wiskundige definitie van een piramide.

2. Bestudeer de piramide als een geometrisch lichaam.

3. Begrijp welke wiskundige kennis de Egyptenaren in hun piramides verwerkten.

Privé vragen:

1. Wat is een piramide als geometrisch lichaam?

2. Hoe kan de unieke vorm van de piramide wiskundig verklaard worden?

3. Wat verklaart de geometrische wonderen van de piramide?

4. Wat verklaart de perfectie van de piramidevorm?

Definitie van een piramide.

PIRAMIDE (van het Griekse pyramis, gen. piramideos) - een veelvlak waarvan de basis een veelhoek is, en de overige vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt (tekening). Op basis van het aantal hoeken van de basis worden piramides geclassificeerd als driehoekig, vierhoekig, enz.

PIRAMIDE - een monumentaal pand met geometrische vorm piramides (soms ook getrapt of torenvormig). Piramides zijn de naam die wordt gegeven aan de gigantische graven van de oude Egyptische farao's uit het 3e en 2e millennium voor Christus. e., evenals oude Amerikaanse tempelsokkels (in Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), geassocieerd met kosmologische sekten.

Het is mogelijk dat Grieks woord‘Piramide’ komt van de Egyptische uitdrukking per-em-us, dat wil zeggen van een term die de hoogte van de piramide betekent. De vooraanstaande Russische egyptoloog V. Struve geloofde dat het Griekse “puram...j” afkomstig is van het oude Egyptische “p"-mr".

Uit de geschiedenis. Na het materiaal in het leerboek "Geometry" van de auteurs van Atanasyan te hebben bestudeerd. Butuzov en anderen hebben we geleerd dat: een veelvlak bestaande uit een n-hoek A1A2A3 ... An en n driehoeken PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 een piramide wordt genoemd. De veelhoek A1A2A3...An is de basis van de piramide, en de driehoeken PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 zijn de zijvlakken van de piramide, P is de top van de piramide, de segmenten PA1, PA2,.. ., PAn zijn de zijranden.

Deze definitie van een piramide bestond echter niet altijd. De oude Griekse wiskundige, de auteur van theoretische verhandelingen over wiskunde die tot ons zijn gekomen, Euclides, definieert bijvoorbeeld een piramide als een solide figuur begrensd door vlakken die van één vlak naar één punt convergeren.

Maar deze definitie werd al in de oudheid bekritiseerd. Daarom stelde Heron de volgende definitie van een piramide voor: “Het is een figuur begrensd door driehoeken die op één punt samenkomen en waarvan de basis een veelhoek is.”

Onze groep kwam, na deze definities te hebben vergeleken, tot de conclusie dat ze geen duidelijke formulering hebben van het concept ‘fundament’.

We onderzochten deze definities en vonden de definitie van Adrien Marie Legendre, die in 1794 in zijn werk “Elements of Geometry” een piramide als volgt definieert: “Een piramide is een solide figuur gevormd door driehoeken die op één punt samenkomen en eindigen aan verschillende zijden van de piramide. een vlakke basis.”

Het lijkt ons dat de laatste definitie een duidelijk beeld geeft van de piramide, aangezien deze waar we het over hebben dat de basis vlak is. Een andere definitie van een piramide verscheen in een 19e-eeuws leerboek: “een piramide is een ruimtehoek doorsneden door een vlak.”

Piramide als geometrisch lichaam.

Dat. Een piramide is een veelvlak, waarvan één vlakken (basis) een veelhoek is, de overige vlakken (zijkanten) zijn driehoeken die één gemeenschappelijk hoekpunt hebben (de top van de piramide).

De loodlijn getrokken vanaf de top van de piramide naar het vlak van de basis wordt genoemd hoogteH piramides.

Naast de willekeurige piramide zijn er reguliere piramide, aan de basis daarvan bevindt zich een regelmatige veelhoek en afgeknotte piramide.

In de figuur is er een piramide PABCD, ABCD is de basis, PO is de hoogte.

Totale oppervlakte piramide is de som van de oppervlakten van al zijn vlakken.

Sfull = Zijkant + Smain, Waar Kant– de som van de oppervlakten van de zijvlakken.

Volume van de piramide wordt gevonden door de formule:

V=1/3Sbas. H, waar Sbas. - basisoppervlak, H- hoogte.

Het gebied van het zijvlak van een regelmatige piramide wordt als volgt uitgedrukt: Zijkant. =1/2P H, waarbij P de omtrek van de basis is, H- hoogte van het zijvlak (apothema van een regelmatige piramide). Als de piramide wordt doorsneden door het vlak A’B’C’D’, evenwijdig aan de basis, dan:

1) de zijribben en hoogte worden door dit vlak in proportionele delen verdeeld;

2) in doorsnede wordt een veelhoek A’B’C’D’ verkregen, vergelijkbaar met de basis;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" breedte = "287" hoogte = "151">

Basissen van een afgeknotte piramide– vergelijkbare polygonen ABCD en A`B`C`D`, zijvlakken zijn trapeziums.

Hoogte afgeknotte piramide - de afstand tussen de bases.

Afgeknot volume piramide wordt gevonden met de formule:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Het laterale oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide wordt als volgt uitgedrukt: Szijde = ½(P+P') H, waarbij P en P’ de omtrekken van de bases zijn, H- hoogte van het zijvlak (apothema van een regelmatige afgeknotte pirami

Secties van een piramide.

Secties van een piramide door vlakken die door de top gaan, zijn driehoeken.

Een sectie die door twee niet-aangrenzende zijranden van een piramide loopt, wordt genoemd diagonale doorsnede.

Als de sectie door een punt op de zijkant en de zijkant van de basis gaat, zal het spoor naar het vlak van de basis van de piramide deze kant zijn.

Een doorsnede die door een punt gaat dat op de voorkant van de piramide ligt en een bepaalde doorsnede op het basisvlak volgt, dan moet de constructie als volgt worden uitgevoerd:

· het snijpunt van het vlak van een bepaald vlak en het spoor van de doorsnede van de piramide vinden en dit aanduiden;

· construeer een rechte lijn die door een bepaald punt gaat en het resulterende snijpunt;

· herhaal deze stappen voor de volgende gezichten.

, wat overeenkomt met de verhouding van de benen van een rechthoekige driehoek 4:3. Deze verhouding van de benen komt overeen met de bekende rechthoekige driehoek met zijden 3:4:5, die de “perfecte”, “heilige” of “Egyptische” driehoek wordt genoemd. Volgens historici kreeg de ‘Egyptische’ driehoek een magische betekenis. Plutarchus schreef dat de Egyptenaren de aard van het universum vergeleken met een ‘heilige’ driehoek; ze vergeleken symbolisch het verticale been met de man, de basis met de vrouw, en de hypotenusa met dat wat uit beide geboren is.

Voor een driehoek 3:4:5 geldt de gelijkheid: 32 + 42 = 52, wat de stelling van Pythagoras weergeeft. Was het niet deze stelling die de Egyptische priesters wilden bestendigen toen ze een piramide bouwden gebaseerd op de driehoek 3:4:5? Het is moeilijk om een ​​succesvoller voorbeeld te vinden om de stelling van Pythagoras te illustreren, die al lang vóór de ontdekking ervan door Pythagoras bij de Egyptenaren bekend was.

Aldus de briljante makers Egyptische piramides probeerden verre nakomelingen te verbazen met de diepgang van hun kennis, en bereikten dit door ‘gouden’ te kiezen als het ‘belangrijkste geometrische idee’ voor de Cheops-piramide rechthoekige driehoek, en voor de piramide van Chefren - de "heilige" of "Egyptische" driehoek.

Heel vaak gebruiken wetenschappers in hun onderzoek de eigenschappen van piramides met Gulden Snede-verhoudingen.

In de wiskunde encyclopedisch woordenboek De volgende definitie van de Gulden Snede wordt gegeven - dit is een harmonische verdeling, een verdeling in uiterste en gemiddelde verhouding - waarbij het segment AB op zo'n manier in twee delen wordt verdeeld dat het grootste deel AC de gemiddelde evenredigheid is tussen het gehele segment AB en zijn segment AB. kleiner deel NO.

Algebraïsche bepaling van de Gulden snede van een segment AB = een reduceert tot het oplossen van de vergelijking a: x = x: (a – x), waarbij x ongeveer gelijk is aan 0,62a. De verhouding x kan worden uitgedrukt als breuken 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, waarbij 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-getallen zijn.

De geometrische constructie van de Gulden Snede van segment AB wordt als volgt uitgevoerd: op punt B wordt de loodlijn op AB hersteld, het segment BE = 1/2 AB wordt erop gelegd, A en E zijn verbonden, DE = BE wordt ontslagen en tenslotte AC = AD, dan is voldaan aan de gelijkheid AB: CB = 2:3.

Gulden snede vaak gebruikt in kunstwerken, architectuur en in de natuur. Levendige voorbeelden zijn het beeldhouwwerk van Apollo Belvedere en het Parthenon. Tijdens de bouw van het Parthenon werd de verhouding tussen de hoogte van het gebouw en de lengte gebruikt en deze verhouding bedraagt ​​0,618. Objecten om ons heen bieden ook voorbeelden van de Gulden Snede; de ​​banden van veel boeken hebben bijvoorbeeld een breedte-lengteverhouding van bijna 0,618. Gezien de opstelling van de bladeren op de gemeenschappelijke stengel van planten, kun je zien dat tussen elke twee paar bladeren het derde zich op de gulden snede (dia's) bevindt. Ieder van ons “draagt” de Gulden Snede met ons “in onze handen” - dit is de verhouding van de vingerkootjes van de vingers.

Dankzij de ontdekking van verschillende wiskundige papyri hebben egyptologen iets geleerd over de oude Egyptische berekenings- en meetsystemen. De taken die ze bevatten, werden opgelost door schriftgeleerden. Een van de bekendste is de Rhind Wiskundige Papyrus. Door deze problemen te bestuderen leerden egyptologen hoe de oude Egyptenaren omgingen met de verschillende grootheden die ontstonden bij het berekenen van maten van gewicht, lengte en volume, waarbij vaak breuken betrokken waren, en hoe ze met hoeken omgingen.

De oude Egyptenaren gebruikten een methode om hoeken te berekenen op basis van de verhouding tussen de hoogte en de basis van een rechthoekige driehoek. Ze drukten elke hoek uit in de taal van een gradiënt. De hellingsgradiënt werd uitgedrukt als een geheel getalsverhouding genaamd "seced". In Mathematics in the Age of the Pharaohs legt Richard Pillins uit: ‘De seked van een regelmatige piramide is de helling van elk van de vier driehoekige vlakken ten opzichte van het vlak van de basis, gemeten als het n-de aantal horizontale eenheden per verticale stijgingseenheid. . Deze meeteenheid is dus gelijkwaardig aan onze moderne cotangens van de hellingshoek. Daarom is het Egyptische woord "afgescheiden" gerelateerd aan onze modern woord"gradiënt"".

De numerieke sleutel tot de piramides ligt in de verhouding tussen hun hoogte en de basis. IN in praktische termen- Dit is de gemakkelijkste manier om de sjablonen te maken die nodig zijn om tijdens de constructie van de piramide voortdurend de juiste hellingshoek te controleren.

Egyptologen willen ons er graag van overtuigen dat elke farao ernaar verlangde zijn individualiteit tot uitdrukking te brengen, vandaar de verschillen in de hellingshoeken voor elke piramide. Maar er kan nog een andere reden zijn. Misschien wilden ze allemaal verschillende symbolische associaties belichamen, verborgen in verschillende proporties. De hoek van de piramide van Chefren (gebaseerd op de driehoek (3:4:5) komt echter voor in de drie problemen die door de piramides in de Wiskundige Papyrus van Rhind worden gepresenteerd). Deze houding was dus goed bekend bij de oude Egyptenaren.

Om eerlijk te zijn tegenover egyptologen die beweren dat de oude Egyptenaren zich niet bewust waren van de 3:4:5-driehoek, werd de lengte van de hypotenusa 5 nooit genoemd. Maar wiskundige problemen met piramides worden altijd opgelost op basis van de seceda-hoek: de verhouding tussen de hoogte en de basis. Omdat de lengte van de hypotenusa nooit werd vermeld, werd geconcludeerd dat de Egyptenaren nooit de lengte van de derde zijde hadden berekend.

De hoogte-basisverhoudingen die in de piramides van Gizeh werden gebruikt, waren ongetwijfeld bekend bij de oude Egyptenaren. Het is mogelijk dat deze relaties voor elke piramide willekeurig zijn gekozen. Dit is echter in tegenspraak met het belang dat in alle soorten Egyptisch aan getalsymboliek wordt gehecht beeldende kunst. Het is zeer waarschijnlijk dat dergelijke relaties significant waren omdat ze specifiek uitdrukten religieuze ideeën. Met andere woorden, het hele Gizeh-complex was ondergeschikt aan een samenhangend ontwerp dat was ontworpen om een ​​bepaald goddelijk thema te weerspiegelen. Dit zou verklaren waarom de ontwerpers verschillende hoeken kozen voor de drie piramides.

In The Mystery of Orion presenteerden Bauval en Gilbert overtuigend bewijs dat de piramides van Gizeh verbindt met het sterrenbeeld Orion, in het bijzonder met de sterren van Orion's Gordel. Hetzelfde sterrenbeeld is aanwezig in de mythe van Isis en Osiris, en er is reden om dit te zien elke piramide als representatie van een van de drie belangrijkste goden: Osiris, Isis en Horus.

"GEOMETRISCHE" WONDEREN.

Onder de grandioze piramides van Egypte neemt het een speciale plaats in Grote Piramide van farao Cheops (Khufu). Voordat we de vorm en omvang van de Cheops-piramide gaan analyseren, moeten we onthouden welk meetsysteem de Egyptenaren gebruikten. De Egyptenaren hadden drie lengte-eenheden: een "el" (466 mm), wat gelijk was aan zeven "palmen" (66,5 mm), wat op zijn beurt gelijk was aan vier "vingers" (16,6 mm).

Laten we de afmetingen van de Cheops-piramide analyseren (Fig. 2), aan de hand van de argumenten uit het prachtige boek van de Oekraïense wetenschapper Nikolai Vasyutinsky “The Golden Proportion” (1990).

De meeste onderzoekers zijn het erover eens dat de lengte van de zijkant van de basis van de piramide bijvoorbeeld GF gelijk aan L= 233,16 m. Deze waarde komt vrijwel exact overeen met 500 “ellebogen”. Volledige naleving van 500 "ellebogen" zal plaatsvinden als de lengte van de "elleboog" gelijk wordt geacht aan 0,4663 m.

Hoogte van de piramide ( H) wordt door onderzoekers op verschillende manieren geschat van 146,6 tot 148,2 m. En afhankelijk van de geaccepteerde hoogte van de piramide veranderen alle relaties van de geometrische elementen. Wat is de reden voor de verschillen in schattingen van de hoogte van de piramide? Feit is dat de Cheops-piramide strikt genomen is afgekapt. Het bovenste platform meet tegenwoordig ongeveer 10,10 meter, maar een eeuw geleden was het 6,6 meter. Het is duidelijk dat de top van de piramide is gedemonteerd en niet overeenkomt met de oorspronkelijke.

Bij het beoordelen van de hoogte van de piramide moet rekening worden gehouden met een fysieke factor als de "diepgang" van de constructie. Voor lange tijd onder invloed van kolossale druk (tot 500 ton per 1 m2 van het onderoppervlak) nam de hoogte van de piramide af vergeleken met de oorspronkelijke hoogte.

Wat was de oorspronkelijke hoogte van de piramide? Deze hoogte kan worden nagebootst door het ‘geometrische basisidee’ van de piramide te vinden.

Figuur 2.

In 1837 mat de Engelse kolonel G. Wise de hellingshoek van de vlakken van de piramide: deze bleek gelijk te zijn A= 51°51". Deze waarde wordt vandaag de dag nog steeds door de meeste onderzoekers erkend. De opgegeven hoekwaarde komt overeen met de raaklijn (tg A), gelijk aan 1,27306. Deze waarde komt overeen met de verhouding van de hoogte van de piramide AC tot de helft van zijn basis C.B.(Afb. 2), dat wil zeggen A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

En hier stonden de onderzoekers voor een grote verrassing!.png" width="25" height="24">= 1,272. Deze waarde vergelijken met de tg-waarde A= 1,27306, we zien dat deze waarden heel dicht bij elkaar liggen. Als we de hoek nemen A= 51°50", dat wil zeggen: verlaag deze met slechts één boogminuut en vervolgens de waarde A wordt gelijk aan 1,272, dat wil zeggen dat het samenvalt met de waarde. Opgemerkt moet worden dat G. Wise in 1840 zijn metingen herhaalde en verduidelijkte dat de waarde van de hoek A=51°50".

Deze metingen brachten de onderzoekers tot de volgende zeer interessante hypothese: de driehoek ACB van de Cheops-piramide was gebaseerd op de relatie AC / C.B. = = 1,272!

Beschouw nu de rechthoekige driehoek abc, waarin de verhouding van de benen A.C. / C.B.= (Afb. 2). Als nu de lengtes van de zijden van de rechthoek abc aanwijzen door X, j, z, en houd er ook rekening mee dat de verhouding j/X= , dan in overeenstemming met de stelling van Pythagoras, de lengte z kan worden berekend met de formule:

Als we accepteren X = 1, j= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" breedte = "143" hoogte = "27">

Figuur 3."Gouden" rechthoekige driehoek.

Een rechthoekige driehoek waarvan de zijden met elkaar verbonden zijn T:gouden" rechthoekige driehoek.

Als we vervolgens als basis de hypothese nemen dat het belangrijkste ‘geometrische idee’ van de Cheops-piramide een ‘gouden’ rechthoekige driehoek is, dan kunnen we vanaf hier eenvoudig de ‘ontwerp’-hoogte van de Cheops-piramide berekenen. Het is gelijk aan:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Laten we nu enkele andere relaties voor de Cheops-piramide afleiden, die volgen uit de ‘gouden’ hypothese. In het bijzonder zullen we de verhouding vinden tussen het buitengebied van de piramide en het gebied van de basis. Om dit te doen, nemen we de lengte van het been C.B. per eenheid, dat wil zeggen: C.B.= 1. Maar dan de lengte van de zijkant van de basis van de piramide GF= 2, en het gebied van de basis EFGH zal gelijk zijn SEFGH = 4.

Laten we nu de oppervlakte van het zijvlak van de Cheops-piramide berekenen SD. Vanwege de hoogte AB driehoek AEF gelijk aan T, dan is het oppervlak van het zijvlak gelijk aan SD = T. Dan is de totale oppervlakte van alle vier de zijvlakken van de piramide gelijk aan 4 T, en de verhouding van het totale buitenoppervlak van de piramide tot het oppervlak van de basis zal gelijk zijn aan de gulden snede! Dit is het - het belangrijkste geometrische mysterie van de Cheops-piramide!

De groep ‘geometrische wonderen’ van de Cheops-piramide omvat echte en vergezochte eigenschappen van de relaties tussen verschillende afmetingen in de piramide.

In de regel worden ze verkregen op zoek naar bepaalde “constanten”, in het bijzonder het getal “pi” (het getal van Ludolfo), gelijk aan 3,14159...; gronden natuurlijke logaritmes"e" (nummer van Neper), gelijk aan 2,71828...; het getal "F", het getal van de "gulden snede", gelijk aan bijvoorbeeld 0,618... enz.

Je kunt bijvoorbeeld het volgende noemen: 1) Eigendom van Herodotus: (Hoogte)2 = 0,5 art. eenvoudig x Apothema; 2) Eigendom van V. Prijs: Hoogte: 0,5 art. basis = Vierkantswortel van "F"; 3) Eigenschap van M. Eist: Omtrek van de basis: 2 Hoogte = "Pi"; in een andere interpretatie - 2 el. eenvoudig : Hoogte = "Pi"; 4) Eigenschap van G. Rand: Straal van de ingeschreven cirkel: 0,5 art. eenvoudig = "F"; 5) Eigendom van K. Kleppisch: (Art. hoofd.)2: 2(Art. hoofd. x Apothema) = (Art. hoofd. W. Apothema) = 2(Art. hoofd. x Apothema) : ((2 kunst . hoofd X Apothema) + (v. hoofd)2). En zo verder. Je kunt veel van dergelijke eigenschappen bedenken, vooral als je twee aangrenzende piramides met elkaar verbindt. Als “Eigenschappen van A. Arefyev” kan bijvoorbeeld worden vermeld dat het verschil in de volumes van de piramide van Cheops en de piramide van Chefren gelijk is aan tweemaal het volume van de piramide van Mikerin...

Veel interessante bepalingen In het bijzonder wordt de constructie van piramides volgens de ‘gulden snede’ beschreven in de boeken van D. Hambidge ‘Dynamic symmetry in architecture’ en M. Gick ‘Aesthetics of proportion in nature and art.’ Laten we ons herinneren dat de ‘gulden snede’ de verdeling van een segment in een zodanige verhouding is dat deel A evenveel keer groter is dan deel B, hoeveel keer A kleiner is dan het gehele segment A + B. De verhouding A/B is gelijk aan het getal “F” == 1.618 .. Het gebruik van de “gulden snede” wordt niet alleen aangegeven in individuele piramides, maar ook in het hele complex van piramides in Gizeh.

Het meest merkwaardige is echter dat één en dezelfde Cheops-piramide simpelweg “niet” zoveel prachtige eigenschappen kan bevatten. Door een bepaalde eigenschap één voor één te nemen, kan deze worden "gemonteerd", maar ze passen niet allemaal tegelijk - ze vallen niet samen, ze spreken elkaar tegen. Als we bijvoorbeeld bij het controleren van alle eigenschappen in eerste instantie dezelfde kant van de basis van de piramide nemen (233 m), dan zullen de hoogten van piramides met verschillende eigenschappen ook anders zijn. Met andere woorden, er is een bepaalde ‘familie’ van piramides die uiterlijk vergelijkbaar zijn met Cheops, maar verschillende eigenschappen hebben. Merk op dat er niets bijzonder wonderbaarlijks is aan de “geometrische” eigenschappen; veel komt puur automatisch voort uit de eigenschappen van de figuur zelf. Een ‘wonder’ mag alleen worden beschouwd als iets dat duidelijk onmogelijk was voor de oude Egyptenaren. Dit omvat in het bijzonder ‘kosmische’ wonderen, waarbij de afmetingen van de Cheops-piramide of het piramidecomplex in Gizeh worden vergeleken met enkele astronomische metingen en ‘even’ getallen worden aangegeven: een miljoen keer minder, een miljard keer minder, en spoedig. Laten we eens kijken naar enkele ‘kosmische’ relaties.

Eén van de uitspraken is: “als je de zijde van de basis van de piramide deelt door de exacte lengte van het jaar, krijg je precies 10 miljoenste van de aardas.” Bereken: deel 233 door 365 en je krijgt 0,638. De straal van de aarde bedraagt ​​6378 km.

Een andere verklaring is eigenlijk het tegenovergestelde van de vorige. F. Noetling wees erop dat als we de “Egyptische el” gebruiken die hij zelf heeft uitgevonden, de zijkant van de piramide zal overeenkomen met “de meest nauwkeurige duur van het zonnejaar, uitgedrukt tot op de dichtstbijzijnde miljardste van een dag” - 365.540.903.777 .

Verklaring van P. Smith: "De hoogte van de piramide is precies een miljardste van de afstand van de aarde tot de zon." Hoewel de gewoonlijk gemeten hoogte 146,6 m bedraagt, schatte Smith deze op 148,2 m. Volgens moderne radarmetingen bedraagt ​​de semi-hoofdas van de baan van de aarde 149.597.870 + 1,6 km. Dit is de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, maar in het perihelium is deze 5.000.000 kilometer minder dan in het aphelium.

Nog een laatste interessante uitspraak:

“Hoe kunnen we verklaren dat de massa’s van de piramides van Cheops, Khafre en Mykerinus zich tot elkaar verhouden, zoals de massa’s van de planeten Aarde, Venus, Mars?” Laten we berekenen. De massa's van de drie piramides zijn: Chefren - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. De verhoudingen van de massa's van de drie planeten: Venus - 0,815; Aarde - 1.000; Mars - 0,108.

Dus ondanks het scepticisme merken we de bekende harmonie op van de constructie van uitspraken: 1) de hoogte van de piramide, als een lijn die 'de ruimte in gaat', komt overeen met de afstand van de aarde tot de zon; 2) de zijde van de basis van de piramide, die het dichtst bij ‘het substraat’ ligt, dat wil zeggen bij de aarde, is verantwoordelijk voor de straal van de aarde en de circulatie van de aarde; 3) de volumes van de piramide (lees - massa's) komen overeen met de verhouding van de massa's van de planeten die het dichtst bij de aarde staan. Een soortgelijk ‘cijfer’ kan bijvoorbeeld worden teruggevonden in de bijentaal die door Karl von Frisch is geanalyseerd. Wij onthouden ons echter voorlopig van commentaar op deze kwestie.

PIRAMIDEVORM

De beroemde tetraëdrische vorm van de piramides ontstond niet onmiddellijk. De Scythen maakten begrafenissen in de vorm van aarden heuvels - heuvels. De Egyptenaren bouwden "heuvels" van stenen piramides. Dit gebeurde voor het eerst na de eenwording van Boven- en Beneden-Egypte, in de 28e eeuw voor Christus, toen de stichter van de Derde Dynastie, farao Djoser (Zoser), werd geconfronteerd met de taak om de eenheid van het land te versterken.

En hier, volgens historici, belangrijke rol Het ‘nieuwe concept van vergoddelijking’ van de koning speelde een rol bij het versterken van de centrale macht. Hoewel de koninklijke begrafenissen zich door grotere pracht onderscheidden, verschilden ze in principe niet van de graven van edelen aan het hof, het waren dezelfde structuren: mastaba's. Boven de kamer met de sarcofaag met de mummie werd een rechthoekige heuvel van kleine stenen gestort, waar vervolgens een klein gebouw van grote stenen blokken werd geplaatst - een "mastaba" (in het Arabisch - "bank"). Farao Djoser richtte de eerste piramide op op de plaats van de mastaba van zijn voorganger Sanakht. Het was getrapt en vormde een zichtbare overgangsfase van de ene architectonische vorm naar de andere, van een mastaba naar een piramide.

Op deze manier ‘hief’ de wijze en architect Imhotep, die later werd beschouwd als een tovenaar en door de Grieken geïdentificeerd met de god Asclepius, de farao ‘op. Het was alsof er zes mastaba’s achter elkaar werden neergezet. Bovendien besloeg de eerste piramide een oppervlakte van 1125 x 115 meter, met een geschatte hoogte van 66 meter (volgens Egyptische normen - 1000 "palmen"). Aanvankelijk was de architect van plan een mastaba te bouwen, maar niet langwerpig, maar vierkant van opzet. Later werd deze uitgebouwd, maar doordat de uitbouw lager werd gemaakt, leek het alsof er twee treden waren.

Deze situatie bevredigde de architect niet, en op het bovenste platform van de enorme platte mastaba plaatste Imhotep er nog drie, die geleidelijk naar boven afliepen. Het graf bevond zich onder de piramide.

Er zijn nog meer trappiramides bekend, maar later zijn de bouwers overgegaan tot het bouwen van tetraëdrische piramides die ons meer bekend zijn. Waarom echter niet driehoekig of bijvoorbeeld achthoekig? Een indirect antwoord wordt gegeven door het feit dat bijna alle piramides perfect langs de vier hoofdrichtingen zijn georiënteerd en daarom vier zijden hebben. Bovendien was de piramide een ‘huis’, het omhulsel van een vierhoekige grafkamer.

Maar wat bepaalde de hellingshoek van de gezichten? In het boek ‘The Principle of Proportions’ is hier een heel hoofdstuk aan gewijd: ‘Wat had de hellingshoeken van de piramides kunnen bepalen?’ In het bijzonder wordt aangegeven dat “het beeld waarnaar de grote piramides worden aangetrokken Oud koninkrijk- een driehoek met een rechte hoek in het hoekpunt.

In de ruimte is het een semi-octaëder: een piramide waarin de randen en zijden van de basis gelijk zijn, de randen zijn gelijkzijdige driehoeken." Bepaalde overwegingen worden over dit onderwerp gegeven in de boeken van Hambidge, Gick en anderen.

Wat is het voordeel van de semi-octaëderhoek? Volgens beschrijvingen van archeologen en historici stortten sommige piramides onder hun eigen gewicht in. Wat nodig was, was een ‘levensduurhoek’, een hoek die energetisch het meest betrouwbaar was. Puur empirisch kan deze hoek worden afgeleid van de tophoek in een hoop afbrokkelend droog zand. Maar om nauwkeurige gegevens te krijgen, moet u een model gebruiken. Als je vier stevig bevestigde ballen neemt, moet je er een vijfde op plaatsen en de hellingshoeken meten. Je kunt hier echter een fout maken, dus een theoretische berekening helpt: je moet de middelpunten van de ballen verbinden met lijnen (mentaal). De basis is een vierkant met een zijde gelijk aan tweemaal de straal. Het vierkant zal slechts de basis van de piramide zijn, waarvan de lengte van de randen ook gelijk zal zijn aan tweemaal de straal.

Een dichte pakking van ballen zoals 1:4 geeft ons dus een regelmatige semi-octaëder.

Maar waarom behouden veel piramides, die naar een vergelijkbare vorm neigen, deze toch niet? De piramides zijn waarschijnlijk aan het verouderen. In tegenstelling tot het bekende gezegde:

"Alles in de wereld is bang voor de tijd, en de tijd is bang voor piramides", de gebouwen van de piramides moeten verouderen, niet alleen processen van externe verwering kunnen en moeten daarin voorkomen, maar ook processen van interne "krimp", waaruit de piramides kunnen lager worden. Krimp is ook mogelijk omdat, zoals blijkt uit het werk van D. Davidovits, de oude Egyptenaren de technologie gebruikten om blokken te maken van kalkspaanders, met andere woorden van "beton". Het zijn precies soortgelijke processen die de reden voor de vernietiging van de Medum-piramide, 50 km ten zuiden van Caïro, kunnen verklaren. Het is 4600 jaar oud, de afmetingen van de basis zijn 146 x 146 m, de hoogte is 118 m. “Waarom is het zo misvormd?” vraagt ​​V. Zamarovsky. “De gebruikelijke verwijzingen naar de destructieve effecten van de tijd en het “gebruik van steen voor andere gebouwen” zijn hier niet op zijn plaats.

De meeste blokken en gevelplaten zijn tenslotte tot op de dag van vandaag op hun plaats gebleven, in puin aan de voet.' Zoals we zullen zien, doen een aantal voorzieningen ons zelfs denken dat de beroemde piramide van Cheops ook 'is verschrompeld'. hoe dan ook, in alle oude afbeeldingen zijn de piramides puntig ...

De vorm van de piramides zou ook door imitatie kunnen zijn ontstaan: enkele natuurlijke monsters, bijvoorbeeld ‘wonderperfectie’, enkele kristallen in de vorm van een octaëder.

Soortgelijke kristallen kunnen diamant- en goudkristallen zijn. Een groot aantal ‘overlappende’ kenmerken zijn typerend voor concepten als Farao, Zon, Goud en Diamant. Overal - nobel, briljant (briljant), geweldig, onberispelijk, enzovoort. De overeenkomsten zijn niet toevallig.

De zonnecultus was, zoals bekend, een belangrijk onderdeel van de religie van het oude Egypte. “Het maakt niet uit hoe we de naam van de grootste van de piramides vertalen”, merkt een van op moderne hulpmiddelen- "Het uitspansel van Khufu" of "Het uitspansel van Khufu", het betekende dat de koning de zon is." Als Khufu zich in de schittering van zijn macht voorstelde de tweede zon te zijn, dan werd zijn zoon Djedef-Ra. de eerste van de Egyptische koningen die zichzelf 'de zoon van Ra' noemde, dat wil zeggen de zoon van de zon. De zon van bijna alle volkeren werd gesymboliseerd door het 'zonnemetaal', goud. 'Een grote schijf van helder goud' - dit is wat de Egyptenaren ons daglicht noemden. De Egyptenaren kenden goud perfect, ze kenden de oorspronkelijke vormen ervan, waar goudkristallen kunnen verschijnen in de vorm van octaëders.

De ‘zonnesteen’ – diamant – is hier ook interessant als ‘voorbeeld van vormen’. De naam van de diamant kwam precies uit de Arabische wereld, "almas" - de moeilijkste, meest harde, onverwoestbare. De oude Egyptenaren kenden diamant en zijn eigenschappen vrij goed. Volgens sommige auteurs gebruikten ze bij het boren zelfs bronzen buizen met diamantfrezen.

Tegenwoordig is Zuid-Afrika de belangrijkste leverancier van diamant, maar ook West-Afrika is rijk aan diamanten. Het grondgebied van de Republiek Mali wordt zelfs het “Diamantenland” genoemd. Ondertussen leven de Dogon op het grondgebied van Mali, op wie aanhangers van de paleobezoekhypothese veel hoop vestigen (zie hieronder). Diamanten kunnen niet de reden zijn geweest voor de contacten van de oude Egyptenaren met deze regio. Op de een of andere manier is het echter mogelijk dat de oude Egyptenaren, juist door het kopiëren van de octaëders van diamanten en gouden kristallen, daarmee de farao’s vergoddelijkten, ‘onverwoestbaar’ als diamant en ‘briljant’ als goud, de zonen van de zon, die alleen vergelijkbaar zijn. tot de mooiste creaties van de natuur.

Conclusie:

Nadat we de piramide als een geometrisch lichaam hadden bestudeerd en kennis hadden gemaakt met de elementen en eigenschappen ervan, waren we overtuigd van de geldigheid van de mening over de schoonheid van de vorm van de piramide.

Als resultaat van ons onderzoek kwamen we tot de conclusie dat de Egyptenaren, nadat ze de meest waardevolle wiskundige kennis hadden verzameld, deze in een piramide belichaamden. Daarom is de piramide werkelijk de meest perfecte creatie van de natuur en de mens.

LIJST VAN GEBRUIKTE REFERENTIES

"Geometrie: leerboek. voor 7 – 9 graden. algemeen onderwijs instellingen\, enz. - 9e druk - M.: Onderwijs, 1999

Geschiedenis van de wiskunde op school, M: “Prosveshchenie”, 1982.

Geometriecijfers 10-11, M: “Verlichting”, 2000

Peter Tompkins “Geheimen van de Grote Piramide van Cheops”, M: “Tsentropoligraf”, 2005.

Internetbronnen

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Instapniveau

Piramide. Visuele gids (2019)

Wat is een piramide?

Hoe ziet ze eruit?

Zie je: onderaan de piramide (ze zeggen “ aan de basis") een polygoon, en alle hoekpunten van deze polygoon zijn verbonden met een punt in de ruimte (dit punt wordt " hoekpunt»).

Deze hele structuur bestaat nog steeds zijvlakken, zij ribben En basis ribben. Laten we nogmaals een piramide tekenen samen met al deze namen:

Sommige piramides zien er misschien heel vreemd uit, maar het zijn nog steeds piramides.

Hier is bijvoorbeeld volledig “schuin” piramide.

En iets meer over de namen: als er een driehoek aan de basis van de piramide staat, dan wordt de piramide driehoekig genoemd, als het een vierhoek is, dan vierhoekig, en als het een centagon is, dan... raad het zelf maar .

Tegelijkertijd het punt waar het viel hoogte, genaamd hoogte basis. Houd er rekening mee dat dit bij de “kromme” piramides het geval is hoogte kan zelfs buiten de piramide terechtkomen. Zoals dit:

En daar is niets mis mee. Het lijkt op een stompe driehoek.

Juiste piramide.

Veel ingewikkelde woorden? Laten we ontcijferen: "Aan de basis - correct" - dit is begrijpelijk. Laten we nu bedenken dat een regelmatige veelhoek een middelpunt heeft – een punt dat het middelpunt is van en , en .

Welnu, de woorden “de bovenkant wordt geprojecteerd in het midden van de basis” betekenen dat de basis van de hoogte precies in het midden van de basis valt. Kijk eens hoe soepel en schattig het eruit ziet reguliere piramide.

Zeshoekig: aan de basis bevindt zich een regelmatige zeshoek, het hoekpunt wordt in het midden van de basis geprojecteerd.

Vierhoekig: de basis is een vierkant, de bovenkant wordt geprojecteerd op het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant.

Driehoekig: aan de basis bevindt zich een regelmatige driehoek, het hoekpunt wordt geprojecteerd op het snijpunt van de hoogten (ze zijn ook medianen en bissectrices) van deze driehoek.

Erg Belangrijke eigenschappen van een regelmatige piramide:

In de rechter piramide

• alle zijranden zijn gelijk.
• alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Volume van de piramide

De hoofdformule voor het volume van een piramide:

Waar kwam het precies vandaan? Dit is niet zo eenvoudig, en in eerste instantie hoef je alleen maar te onthouden dat een piramide en een kegel volume hebben in de formule, maar een cilinder niet.

Laten we nu het volume van de meest populaire piramides berekenen.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant gelijk. We moeten vinden en.

Dit is de oppervlakte van een regelmatige driehoek.

Laten we onthouden hoe we naar dit gebied moeten zoeken. We gebruiken de oppervlakteformule:

Voor ons is “ ” dit, en “ ” is ook dit, hè.

Laten we het nu vinden.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Wat is het verschil? Dit is de circumradius in omdat piramidejuist en dus het centrum.

Sinds - ook het snijpunt van de medianen.

(Stelling van Pythagoras voor)

Laten we het vervangen door de formule voor.

En laten we alles vervangen door de volumeformule:

Aandacht: als je een regelmatige tetraëder hebt (d.w.z.), dan ziet de formule er als volgt uit:

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant gelijk.

Het is niet nodig om hier te kijken; De basis is immers een vierkant, en daarom.

Wij zullen het vinden. Volgens de stelling van Pythagoras voor

Weten wij het? Nou ja, bijna. Kijk:

(we zagen dit door ernaar te kijken).

Vervang in de formule voor:

En nu vervangen we en in de volumeformule.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant.

Hoe te vinden? Kijk, een zeshoek bestaat uit precies zes identieke regelmatige driehoeken. Bij het berekenen van de inhoud van een regelmatige driehoek hebben we al gezocht naar de oppervlakte van een regelmatige driehoek. driehoekige piramide, hier gebruiken we de gevonden formule.

Laten we nu (het) vinden.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Maar wat maakt het uit? Het is eenvoudig omdat (en ook alle anderen) gelijk heeft.

Laten we vervangen:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDE. KORT OVER DE BELANGRIJKSTE DINGEN

Een piramide is een veelvlak dat bestaat uit een platte veelhoek (), een punt dat niet in het vlak van de basis ligt (bovenkant van de piramide) en alle segmenten die de bovenkant van de piramide verbinden met punten van de basis (zijranden).

Een loodlijn die van de top van de piramide naar het vlak van de basis valt.

Juiste piramide- een piramide waarin een regelmatige veelhoek aan de basis ligt en de top van de piramide in het midden van de basis wordt geprojecteerd.

Eigenschap van een regelmatige piramide:

• In een regelmatige piramide zijn alle zijranden gelijk.
• Alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Een driedimensionale figuur die vaak voorkomt in geometrische problemen is de piramide. De eenvoudigste van alle figuren in deze klasse is driehoekig. In dit artikel zullen we de basisformules en eigenschappen van het juiste in detail analyseren

Geometrische ideeën over de figuur

Voordat we verder gaan met het beschouwen van de eigenschappen van een regelmatige driehoekige piramide, laten we eens nader bekijken over wat voor soort figuur we het hebben.

Laten we aannemen dat er een willekeurige driehoek is in de driedimensionale ruimte. Laten we een punt in deze ruimte selecteren dat niet in het vlak van de driehoek ligt, en dit verbinden met de drie hoekpunten van de driehoek. We hebben een driehoekige piramide.

Het bestaat uit 4 zijden, die allemaal driehoeken zijn. De punten waar drie vlakken samenkomen, worden hoekpunten genoemd. De figuur heeft er ook vier. De snijlijnen van twee vlakken zijn randen. De piramide in kwestie heeft 6 randen. Onderstaande figuur toont een voorbeeld van deze figuur.

Omdat de figuur uit vier zijden bestaat, wordt deze ook wel een tetraëder genoemd.

Juiste piramide

Hierboven hebben we een willekeurige figuur met een driehoekige basis beschouwd. Stel nu dat we een loodrecht segment tekenen van de top van de piramide naar de basis. Dit segment wordt hoogte genoemd. Uiteraard kun je voor het figuur 4 verschillende hoogtes tekenen. Als de hoogte elkaar kruist op geometrisch centrum driehoekige basis, dan wordt zo'n piramide recht genoemd.

Een rechte piramide, waarvan de basis een gelijkzijdige driehoek is, wordt regelmatig genoemd. Voor haar vormen zich alle drie de driehoeken zijvlak figuren zijn gelijkbenig en gelijk aan elkaar. Een speciaal geval van een regelmatige piramide is de situatie waarin alle vier de zijden gelijkzijdige, identieke driehoeken zijn.

Laten we de eigenschappen van een regelmatige driehoekige piramide bekijken en de bijbehorende formules geven voor het berekenen van de parameters.

Basiszijde, hoogte, zijrand en apothema

Elke twee van de genoemde parameters bepaalt op unieke wijze de overige twee kenmerken. Laten we formules presenteren die deze hoeveelheden met elkaar in verband brengen.

Laten we aannemen dat de zijkant van de basis van een regelmatige driehoekige piramide a is. De lengte van de zijrand is b. Wat zal de hoogte zijn van een regelmatige driehoekige piramide en zijn apothema?

Voor hoogte h krijgen we de uitdrukking:

Deze formule volgt uit de stelling van Pythagoras waarbij de zijkant, de hoogte en 2/3 van de hoogte van de basis zijn.

Het apothema van een piramide is de hoogte van elke zijdriehoek. De lengte van het apothema a b is gelijk aan:

een b = √(b 2 - een 2 /4)

Uit deze formules wordt duidelijk dat, ongeacht de zijde van de basis van een driehoekige, regelmatige piramide en de lengte van de zijrand, de apothema altijd groter zal zijn dan de hoogte van de piramide.

De twee gepresenteerde formules bevatten alle vier de lineaire kenmerken van de figuur in kwestie. Daarom kun je, gegeven de twee bekende, de rest vinden door het systeem van geschreven gelijkheden op te lossen.

Figuurvolume

Voor absoluut elke piramide (inclusief een hellende) kan de waarde van het daardoor begrensde ruimtevolume worden bepaald door de hoogte van de figuur en het gebied van de basis te kennen. De bijbehorende formule is:

Als we deze uitdrukking toepassen op de figuur in kwestie, verkrijgen we de volgende formule:

Waarbij de hoogte van een regelmatige driehoekige piramide h is en de basiszijde a is.

Het is niet moeilijk om een ​​formule te verkrijgen voor het volume van een tetraëder waarin alle zijden gelijk aan elkaar zijn en gelijkzijdige driehoeken vertegenwoordigen. In dit geval wordt het volume van de figuur bepaald door de formule:

Dat wil zeggen, het wordt op unieke wijze bepaald door de lengte van zijde a.

Oppervlakte

Laten we doorgaan met het beschouwen van de eigenschappen van een regelmatige driehoekige piramide. De totale oppervlakte van alle vlakken van een figuur wordt de oppervlakte genoemd. Dit laatste kan gemakkelijk worden bestudeerd door de overeenkomstige ontwikkeling te beschouwen. Onderstaande figuur laat zien hoe de ontwikkeling van een regelmatige driehoekige piramide eruit ziet.

Laten we aannemen dat we de hoogte h en de zijkant van de basis a van de figuur kennen. Dan is het gebied van de basis gelijk aan:

Elk schoolkind kan deze uitdrukking verkrijgen als hij onthoudt hoe hij de oppervlakte van een driehoek kan vinden en er ook rekening mee houdt dat de hoogte van een gelijkzijdige driehoek ook een bissectrice en een mediaan is.

Het zijoppervlak gevormd door drie identieke gelijkbenige driehoeken is:

Sb = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Deze gelijkheid volgt uit de uitdrukking van het apothema van de piramide in termen van de hoogte en lengte van de basis.

De totale oppervlakte van de figuur is:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Merk op dat voor een tetraëder waarin alle vier de zijden gelijk zijn gelijkzijdige driehoeken, gebied S zal gelijk zijn aan:

Eigenschappen van een regelmatige afgeknotte driehoekige piramide

Als de top van de beschouwde driehoekige piramide wordt afgesneden met een vlak evenwijdig aan de basis, wordt het resterende onderste deel een afgeknotte piramide genoemd.

In het geval van een driehoekige basis is het resultaat van de beschreven snijmethode een nieuwe driehoek, die eveneens gelijkzijdig is, maar een kortere zijdelengte heeft dan de zijkant van de basis. Hieronder wordt een afgeknotte driehoekige piramide weergegeven.

We zien dat dit cijfer al beperkt is tot twee driehoekige basissen en drie gelijkbenige trapeziums.

Laten we aannemen dat de hoogte van de resulterende figuur gelijk is aan h, dat de lengtes van de zijkanten van de onderste en bovenste basis respectievelijk a 1 en a 2 zijn, en dat de apothema (hoogte van de trapezium) gelijk is aan a b. Vervolgens kan het oppervlak van de afgeknotte piramide worden berekend met behulp van de formule:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Hier is de eerste term het gebied van het zijoppervlak, de tweede term is het gebied van de driehoekige bases.

Het volume van het figuur wordt als volgt berekend:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Om de kenmerken van een afgeknotte piramide ondubbelzinnig te bepalen, moet je de drie parameters kennen, wat wordt aangetoond door de gegeven formules.