Breuken met gelijke noemers optellen

Er zijn twee soorten optelling van breuken:

1. Breuken met gelijke noemers optellen
2. Breuken optellen met verschillende noemers

Laten we eerst de optelling van breuken met gelijke noemers leren. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en optellen. Voeg de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2. Voeg breuken en toe.

Het antwoord was niet juiste fractie. Wanneer het einde van de taak is bereikt, is het gebruikelijk om onechte breuken te verwijderen. Om van een onechte breuk af te komen, moet je het hele deel ervan selecteren. In ons geval is het hele deel gemakkelijk te isoleren: twee gedeeld door twee is één:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we ons een pizza herinneren die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je één hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.

Nogmaals, we tellen de tellers bij elkaar op en laten de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden opgeteld en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het optellen van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:

1. Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten;

Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we nu leren hoe we breuken met verschillende noemers kunnen optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van de breuken hetzelfde zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemers hebben.

Maar breuken kunnen niet meteen worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te herleiden. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de andere methoden voor een beginner misschien ingewikkeld lijken.

De essentie van deze methode is dat eerst de LCM van de noemers van beide breuken wordt doorzocht. De LCM wordt vervolgens gedeeld door de noemer van de eerste breuk om de eerste aanvullende factor te verkrijgen. Hetzelfde doen ze met de tweede breuk: de LCM wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en er wordt een tweede extra factor verkregen.

De tellers en noemers van de breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.

Voorbeeld 1. Laten we de breuken en optellen

Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6

LCM (2 en 3) = 6

Laten we nu terugkeren naar breuken en . Deel eerst de LCM door de noemer van de eerste breuk en verkrijg de eerste extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3 en we krijgen 2.

Het resulterende getal 2 is de eerste extra vermenigvuldiger. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, trekt u een kleine schuine lijn over de breuk en noteert u de extra factor die erboven staat:

Hetzelfde doen we met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2 en we krijgen 3.

Het resulterende getal 3 is de tweede extra vermenigvuldiger. We schrijven het op in de tweede breuk. We maken opnieuw een kleine schuine lijn over de tweede breuk en noteren de extra factor die erboven staat:

Nu hebben we alles klaar voor toevoeging. Het blijft nodig om de tellers en noemers van de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

Kijk goed naar wat we zijn tegengekomen. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:

Hiermee is het voorbeeld voltooid. Het blijkt toe te voegen.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt, krijg je één hele pizza en nog een zesde deel van een pizza:

Het herleiden van breuken tot dezelfde (gemene) noemer kan ook met behulp van een afbeelding worden weergegeven. Door de breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze twee breuken worden weergegeven door dezelfde stukken pizza. Het enige verschil is dat ze deze keer in gelijke delen worden verdeeld (herleid tot dezelfde noemer).

De eerste tekening vertegenwoordigt een breuk (vier van de zes), en de tweede tekening vertegenwoordigt een breuk (drie van de zes). Als we deze stukken toevoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is ongepast, dus hebben we het hele deel ervan gemarkeerd. Als resultaat kregen we (een hele pizza en nog een zesde pizza).

Houd er rekening mee dat we hebben beschreven dit voorbeeld te gedetailleerd. IN onderwijsinstellingen Het is niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en de gevonden aanvullende factoren snel kunnen vermenigvuldigen met uw tellers en noemers. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:

Maar er zit ook een andere kant aan de medaille. Als je in de eerste fasen van het studeren van wiskunde geen gedetailleerde aantekeningen maakt, beginnen dit soort vragen te verschijnen. “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom veranderen breuken ineens in totaal andere breuken? «.

Om het optellen van breuken met verschillende noemers makkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

1. Zoek de LCM van de noemers van breuken;
2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk;
3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun aanvullende factoren;
4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, selecteer dan het hele deel ervan;

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie .

Laten we de hierboven gegeven instructies gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM van de noemers van de breuken

Zoek de LCM van de noemers van beide breuken. De noemers van breuken zijn de getallen 2, 3 en 4

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk

Verdeel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2 en we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven deze boven de eerste breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We krijgen de tweede extra factor 4. We schrijven deze boven de tweede breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We krijgen de derde extra factor 3. We schrijven deze boven de derde breuk:

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van de breuken met hun aanvullende factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met hun aanvullende factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe met dezelfde noemers

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het enige dat overblijft is het optellen van deze breuken. Voeg het toe:

De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. In de wiskunde is dit toegestaan. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze naar de volgende regel verplaatst en is het noodzakelijk om een ​​gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van de nieuwe regel te plaatsen. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.

Stap 5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, markeer dan het hele deel ervan

Ons antwoord bleek een onechte breuk te zijn. We moeten een heel deel ervan onder de aandacht brengen. Wij benadrukken:

Wij kregen antwoord

Breuken met gelijke noemers aftrekken

Er zijn twee soorten aftrekkingen van breuken:

1. Breuken met gelijke noemers aftrekken
2. Breuken met verschillende noemers aftrekken

Laten we eerst leren hoe we breuken met gelijke noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een ​​andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, maar laat de noemer hetzelfde.

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de expressie vinden. Om dit voorbeeld op te lossen, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van de uitdrukking.

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:

1. Om een ​​andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten;
2. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan benadrukken.

Breuken met verschillende noemers aftrekken

U kunt bijvoorbeeld een breuk van een breuk aftrekken omdat de breuken dezelfde noemers hebben. Maar je kunt geen breuk van een breuk aftrekken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden met behulp van hetzelfde principe dat we hebben gebruikt bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste aanvullende factor verkregen, die boven de eerste breuk wordt geschreven. Op dezelfde manier wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die boven de tweede breuk wordt geschreven.

De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze bewerkingen worden breuken met verschillende noemers omgezet in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.

Voorbeeld 1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12

LCM (3 en 4) = 12

Laten we nu terugkeren naar breuken en

Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3 en je krijgt 4. Schrijf een vier boven de eerste breuk:

Hetzelfde doen we met de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. Schrijf een drie over de tweede breuk:

Nu zijn we klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:

Wij kregen antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza uit een pizza snijdt, krijg je pizza

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld korter moeten oplossen. Zo’n oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:

Het herleiden van breuken tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze in gelijke delen verdeeld (herleid tot dezelfde noemer):

De eerste foto toont een breuk (acht van de twaalf), en de tweede foto toont een breuk (drie van de twaalf). Door drie stukken uit acht stukken te snijden, krijgen we vijf stukken uit twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus eerst moet je ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Laten we de LCM van de noemers van deze breuken vinden.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we voor elke breuk aanvullende factoren. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van elke breuk.

Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. LCM is het getal 30, en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven deze boven de eerste breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. De LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven deze boven de tweede breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven deze boven de derde breuk:

Nu is alles klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, en alles lijkt bij ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het eenvoudiger maken. Wat kan er gedaan worden? Je kunt deze breuk inkorten.

Om een ​​breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer delen door (GCD) van de getallen 20 en 30.

We vinden dus de ggd van de nummers 20 en 30:

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en de noemer van de breuk door de gevonden ggd, dat wil zeggen door 10

Wij kregen antwoord

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een ​​breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dat getal vermenigvuldigen en de noemer hetzelfde laten.

Voorbeeld 1. Vermenigvuldig een breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De opname kan worden opgevat als een halve tijdsbesteding. Als je bijvoorbeeld één keer pizza neemt, krijg je pizza

Uit de vermenigvuldigingswetten weten we dat als het vermenigvuldigtal en de factor worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking wordt geschreven als , zal het product nog steeds gelijk zijn aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:

Deze notatie kan worden opgevat als het nemen van de helft van één. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als u bijvoorbeeld 4 pizza's neemt, krijgt u twee hele pizza's

En als we de vermenigvuldiger en de vermenigvuldiger verwisselen, krijgen we de uitdrukking . Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's uit vier hele pizza's:

Breuken vermenigvuldigen

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan markeren.

Voorbeeld 1. Zoek de waarde van de uitdrukking.

Wij kregen antwoord. Het is raadzaam deze fractie te verkleinen. De breuk kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza uit een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe kun je tweederde van deze helft halen? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee uit deze drie stukken:

Wij gaan pizza maken. Onthoud hoe pizza eruit ziet als deze in drie delen is verdeeld:

Eén stuk van deze pizza en de twee stukken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, waar we het over hebben ongeveer dezelfde grootte pizza. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, maar het zou goed zijn als deze werd ingekort. Om deze breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer van deze breuk delen door de grootste gemeenschappelijke deler(GCD) nummers 105 en 450.

Laten we dus de ggd van de nummers 105 en 450 vinden:

Nu delen we de teller en de noemer van ons antwoord door de ggd die we nu hebben gevonden, dat wil zeggen door 15

Een geheel getal weergeven als een breuk

Elk geheel getal kan als een breuk worden weergegeven. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Dit zal de betekenis van vijf niet veranderen, aangezien de uitdrukking ‘het getal vijf gedeeld door één’ betekent, en dit is, zoals we weten, gelijk aan vijf:

Wederzijdse cijfers

Nu zullen we er kennis mee maken interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet ‘omgekeerde getallen’.

Definitie. Omkeren naar nummerA is een getal dat, vermenigvuldigd metA geeft er een.

Laten we deze definitie vervangen in plaats van de variabele A nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Omkeren naar nummer 5 is een getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft er een.

Is het mogelijk een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één oplevert? Het blijkt mogelijk te zijn. Laten we ons vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk vervolgens met zichzelf, verwissel gewoon de teller en de noemer. Met andere woorden, laten we de breuk met zichzelf vermenigvuldigen, alleen ondersteboven:

Wat zal er als gevolg hiervan gebeuren? Als we dit voorbeeld blijven oplossen, krijgen we er een:

Dit betekent dat het omgekeerde van het getal 5 het getal is, want als je 5 vermenigvuldigt, krijg je er één.

Het omgekeerde van een getal kan ook voor elk ander geheel getal worden gevonden.

Je kunt ook het omgekeerde getal voor elke andere breuk vinden. Om dit te doen, draait u het gewoon om.

Een breuk delen door een getal

Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Laten we het gelijkelijk over twee verdelen. Hoeveel pizza krijgt elke persoon?

Te zien is dat na het verdelen van de helft van de pizza twee gelijke stukken werden verkregen, die elk een pizza vormen. Dus iedereen krijgt een pizza.

Het delen van breuken gebeurt met behulp van reciproque getallen. Met wederkerige getallen kunt u deling vervangen door vermenigvuldiging.

Om een ​​breuk door een getal te delen, moet je de breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

Met behulp van deze regel zullen we de verdeling van onze helft van de pizza in twee delen opschrijven.

Je moet de breuk dus delen door het getal 2. Hier is het deeltal de breuk en de deler het getal 2.

Om een ​​breuk te delen door het getal 2, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler 2. Het omgekeerde van de deler 2 is de breuk. Je moet dus vermenigvuldigen met

Een breuk is een of meer delen van een geheel, wat meestal als één (1) wordt beschouwd. Net als bij natuurlijke getallen, kun je alle basisrekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen) met breuken uitvoeren; je moet de kenmerken van het werken met breuken kennen en onderscheid maken tussen hun typen. Er zijn verschillende soorten breuken: decimaal en gewoon, of eenvoudig. Elk type breuk heeft zijn eigen specifieke kenmerken, maar als je eenmaal goed begrijpt hoe je ermee om moet gaan, kun je alle voorbeelden met breuken oplossen, omdat je de basisprincipes kent van het uitvoeren van rekenkundige berekeningen met breuken. Laten we eens kijken naar voorbeelden van hoe je een breuk kunt delen door een geheel getal met behulp van verschillende soorten breuken.

Hoe deel je een decimaal door een geheel getal?
Een decimaal is een breuk die wordt verkregen door een eenheid in tien, duizend, enzovoort te delen. Rekenen met decimalen is vrij eenvoudig.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van hoe je een breuk deelt door een geheel getal. Laten we zeggen dat we de decimale breuk 0,925 moeten delen door het natuurlijke getal 5.

• om een ​​decimale breuk door een natuurlijk getal te delen, wordt staartdeling gebruikt;
  
• Een komma wordt in een quotiënt geplaatst wanneer de deling van het gehele deel van het deeltal is voltooid.
  

Gewone fractionele getallen ontmoeten schoolkinderen voor het eerst in de 5e klas en begeleiden hen hun hele leven, omdat het in het dagelijks leven vaak nodig is om een ​​object niet als geheel, maar in afzonderlijke delen te beschouwen of te gebruiken. Begin dit onderwerp te bestuderen - aandelen. Aandelen zijn gelijke delen, waarin dit of dat object is verdeeld. Het is immers niet altijd mogelijk om bijvoorbeeld de lengte of prijs van een product in een geheel getal uit te drukken; er moet rekening worden gehouden met delen of aandelen van een bepaalde maatstaf. Gevormd uit het werkwoord "splitsen" - in delen verdelen, en met Arabische wortels, ontstond het woord "fractie" zelf in de Russische taal in de 8e eeuw.

Fractionele uitdrukkingen worden lange tijd beschouwd als de moeilijkste tak van de wiskunde. In de 17e eeuw, toen de eerste wiskundeboeken verschenen, werden ze ‘gebroken getallen’ genoemd, wat voor mensen erg moeilijk te begrijpen was.

Moderne uitstraling eenvoudige fractionele resten, waarvan de delen gescheiden zijn door een horizontale lijn, werden voor het eerst gepromoot door Fibonacci - Leonardo van Pisa. Zijn werken dateren uit 1202. Maar het doel van dit artikel is om de lezer eenvoudig en duidelijk uit te leggen hoe vermenigvuldiging plaatsvindt gemengde fracties met verschillende noemers.

Breuken met verschillende noemers vermenigvuldigen

In eerste instantie is het de moeite waard om te bepalen soorten breuken:

• juist;
• onjuist;
• gemengd.

Vervolgens moet je onthouden hoe gebroken getallen met dezelfde noemers worden vermenigvuldigd. De regel van dit proces is niet moeilijk om onafhankelijk te formuleren: het resultaat van het vermenigvuldigen van eenvoudige breuken met identieke noemers is een breukuitdrukking, waarvan de teller het product van de tellers is, en de noemer het product van de noemers van deze breuken. . Dat wil zeggen dat de nieuwe noemer in feite het kwadraat is van een van de bestaande.

Bij het vermenigvuldigen eenvoudige breuken met verschillende noemers voor twee of meer factoren verandert de regel niet:

A/B * C/D = een*c / b*d.

Het enige verschil is dat het resulterende getal onder de breuklijn het product zal zijn van verschillende getallen en uiteraard het kwadraat van één. numerieke expressie het is onmogelijk om het te benoemen.

Het is de moeite waard om de vermenigvuldiging van breuken met verschillende noemers te overwegen met behulp van voorbeelden:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

In de voorbeelden worden methoden gebruikt voor het reduceren van fractionele expressies. Je kunt alleen tellergetallen verkleinen met noemergetallen die naast elkaar liggen, boven of onder de breuklijn.

Naast eenvoudige breuken bestaat er het concept van gemengde breuken. Een gemengd getal bestaat uit een geheel getal en een gebroken deel, dat wil zeggen dat het de som is van deze getallen:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hoe werkt vermenigvuldigen?

Ter overweging worden diverse voorbeelden gegeven.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

In het voorbeeld wordt de vermenigvuldiging van een getal met gebruikt gewoon fractioneel deel, kan de regel voor deze actie worden geschreven als:

A* B/C = een*b /C.

In feite is zo'n product de som van identieke fractionele resten, en het aantal termen geeft dit natuurlijke getal aan. Speciaal geval:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Er is een andere oplossing voor het vermenigvuldigen van een getal met een fractionele rest. Je hoeft alleen maar de noemer te delen door dit getal:

D* e/F = e/f: d.

Deze techniek is handig om te gebruiken wanneer de noemer wordt gedeeld door een natuurlijk getal zonder rest of, zoals ze zeggen, door een geheel getal.

Converteer gemengde getallen naar onechte breuken en verkrijg het product op de eerder beschreven manier:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Dit voorbeeld omvat een manier om een ​​gemengde breuk weer te geven als een onechte breuk, en kan ook worden weergegeven als een algemene formule:

A BC = a*b+ c / c, waarbij de noemer van de nieuwe breuk wordt gevormd door het hele deel met de noemer te vermenigvuldigen en op te tellen met de teller van de oorspronkelijke fractionele rest, en de noemer blijft hetzelfde.

Dit proces werkt ook in achterkant. Om het hele deel en de fractionele rest te scheiden, moet je de teller van een onechte breuk delen door de noemer met behulp van een "hoek".

Onechte breuken vermenigvuldigen produceren op een algemeen aanvaarde manier. Wanneer u onder een enkele breuklijn schrijft, moet u de breuken indien nodig verkleinen om de getallen met deze methode te verkleinen en het berekenen van het resultaat gemakkelijker te maken.

Er zijn veel helpers op internet om zelfs complexe wiskundige problemen in verschillende programmavarianten op te lossen. Een voldoende aantal van dergelijke diensten biedt hulp bij het tellen van de vermenigvuldiging van breuken verschillende nummers in noemers - zogenaamde online rekenmachines voor het berekenen van breuken. Ze kunnen niet alleen vermenigvuldigen, maar ook alle andere eenvoudige rekenkundige bewerkingen uitvoeren met gewone breuken en gemengde getallen. Het is gemakkelijk om mee te werken; u vult de juiste velden op de websitepagina in, selecteert het teken van de wiskundige bewerking en klikt op ‘berekenen’. Het programma berekent automatisch.

Het onderwerp rekenkundige bewerkingen met breuken is relevant in het hele onderwijs van middelbare en middelbare scholieren. Op de middelbare school beschouwen ze niet langer de eenvoudigste soort, maar gehele fractionele expressies, maar de eerder verkregen kennis van de regels voor transformatie en berekeningen wordt in de oorspronkelijke vorm toegepast. Een goed beheerste basiskennis geeft het volste vertrouwen in het succesvol oplossen van de meest complexe problemen.

Concluderend is het zinvol om de woorden van Lev Nikolajevitsj Tolstoj te citeren, die schreef: “De mens is een fractie. Het ligt niet in de macht van de mens om zijn teller – zijn verdiensten – te vergroten, maar iedereen kan zijn noemer verkleinen – zijn mening over zichzelf, en met deze verlaging dichter bij zijn perfectie komen.

Breuken vermenigvuldigen en delen.

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel erg...”)

Deze bewerking is veel leuker dan optellen-aftrekken! Omdat het makkelijker is. Ter herinnering: als u een breuk met een breuk wilt vermenigvuldigen, moet u de tellers (dit is de teller van het resultaat) en de noemers (dit is de noemer) vermenigvuldigen. Dat is:

Bijvoorbeeld:

Alles is uiterst eenvoudig. En zoek alsjeblieft niet naar een gemeenschappelijke noemer! Hij is hier niet nodig...

Om een ​​breuk door een breuk te delen, moet je omkeren seconde(dit is belangrijk!) breuk en vermenigvuldig ze, d.w.z.:

Bijvoorbeeld:

Als je vermenigvuldiging of deling tegenkomt met gehele getallen en breuken, is dat geen probleem. Net als bij optellen maken we een breuk van een geheel getal met één in de noemer - en ga je gang! Bijvoorbeeld:

Op de middelbare school heb je vaak te maken met breuken van drie verdiepingen (of zelfs vier verdiepingen!) Bijvoorbeeld:

Hoe kan ik ervoor zorgen dat deze fractie er fatsoenlijk uitziet? Ja, heel simpel! Gebruik een tweepuntsverdeling:

Maar vergeet de volgorde van deling niet! In tegenstelling tot vermenigvuldigen is dit hier erg belangrijk! Natuurlijk zullen we 4:2 of 2:4 niet verwarren. Maar het is gemakkelijk om een ​​fout te maken in een breuk van drie verdiepingen. Let bijvoorbeeld op:

In het eerste geval (uitdrukking aan de linkerkant):

In de tweede (uitdrukking aan de rechterkant):

Voel je het verschil? 4 en 1/9!

Wat bepaalt de volgorde van deling? Hetzij met haakjes, of (zoals hier) met de lengte van horizontale lijnen. Ontwikkel je oog. En als er geen haakjes of streepjes zijn, zoals:

dan delen en vermenigvuldigen op volgorde, van links naar rechts!

En nog een heel eenvoudige en belangrijke techniek. Bij acties met graden zal het zo nuttig voor je zijn! Laten we één delen door een willekeurige breuk, bijvoorbeeld door 13/15:

Het schot is gedraaid! En dit gebeurt altijd. Wanneer je 1 deelt door een willekeurige breuk, is het resultaat dezelfde breuk, alleen ondersteboven.

Dat is het voor bewerkingen met breuken. Het ding is vrij eenvoudig, maar het geeft meer dan genoeg fouten. Let op praktisch advies, en er zullen er minder zijn (fouten)!

Praktische tips:

1. Het belangrijkste bij het werken met fractionele uitdrukkingen is nauwkeurigheid en oplettendheid! Dit is niet het geval gewone woorden, geen goede wensen! Dit is bittere noodzaak! Voer alle berekeningen op het Unified State Exam uit als een volwaardige taak, gericht en duidelijk. Het is beter om twee extra regels in je concept te schrijven dan om fouten te maken bij het maken van hoofdberekeningen.

2. In voorbeelden met verschillende soorten breuken - ga naar gewone breuken.

3. We verkleinen alle breuken totdat ze stoppen.

4. We reduceren breukuitdrukkingen op meerdere niveaus tot gewone uitdrukkingen door middel van deling door twee punten (we volgen de volgorde van deling!).

5. Verdeel een eenheid door een breuk in je hoofd, door de breuk simpelweg om te draaien.

Hier zijn de taken die u zeker moet oplossen. Antwoorden worden na alle taken gegeven. Gebruik de materialen over dit onderwerp en praktische tips. Schat hoeveel voorbeelden je goed hebt kunnen oplossen. Gelijk de eerste keer! Zonder rekenmachine! En trek de juiste conclusies...

Onthoud: het juiste antwoord is ontvangen vanaf de tweede (vooral de derde) keer telt niet mee! Zo is het harde leven.

Dus, oplossen in examenmodus ! Dit is overigens al een voorbereiding op het Unified State Exam. We lossen het voorbeeld op, controleren het en lossen het volgende op. We hebben alles besloten - opnieuw gecontroleerd van begin tot eind. En alleen Dan kijk naar de antwoorden.

Berekenen:

Heb je besloten?

Wij zijn op zoek naar antwoorden die bij die van u passen. Ik heb ze met opzet in wanorde opgeschreven, weg van de verleiding, om zo te zeggen... Hier zijn ze, de antwoorden, geschreven met puntkomma's.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nu trekken we conclusies. Als alles gelukt is, ben ik blij voor je! Basisberekeningen met breuken zijn niet jouw probleem! Je kunt serieuzere dingen doen. Zo niet...

Je hebt dus een van de twee problemen. Of allebei tegelijk.) Gebrek aan kennis en (of) onoplettendheid. Maar... Dit oplosbaar problemen.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Om verschillende problemen uit de wiskunde- en natuurkundecursussen op te lossen, moet je breuken delen. Het is heel gemakkelijk om te doen als je het weet bepaalde regels voer deze wiskundige bewerking uit.

Voordat we verder gaan met het formuleren van de regel voor het delen van breuken, moeten we enkele wiskundige termen onthouden:

1. Het bovenste deel van de breuk wordt de teller genoemd en het onderste deel de noemer.
2. Bij het delen worden getallen als volgt genoemd: deeltal: deler = quotiënt

Hoe breuken te verdelen: eenvoudige breuken

Om twee eenvoudige breuken te delen, vermenigvuldigt u het deeltal met het omgekeerde van de deler. Deze breuk wordt ook wel omgekeerd genoemd omdat deze wordt verkregen door de teller en de noemer om te wisselen. Bijvoorbeeld:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Hoe breuken te verdelen: gemengde breuken

Als we gemengde breuken moeten verdelen, dan is alles hier ook vrij eenvoudig en duidelijk. Eerst converteren we de gemengde breuk naar een reguliere onechte breuk. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de noemer van een dergelijke breuk met een geheel getal en voegt u de teller toe aan het resulterende product. Als gevolg hiervan hebben we een nieuwe teller van de gemengde breuk ontvangen, maar de noemer blijft ongewijzigd. Verder zal de deling van breuken op precies dezelfde manier worden uitgevoerd als de deling van eenvoudige breuken. Bijvoorbeeld:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Hoe een breuk door een getal te delen

Om een ​​eenvoudige breuk door een getal te delen, moet deze laatste als breuk (onregelmatig) worden geschreven. Dit is heel gemakkelijk te doen: in plaats van de teller wordt dit getal geschreven en de noemer van zo'n breuk gelijk aan één. Verdere verdeling wordt op de gebruikelijke manier uitgevoerd. Laten we dit eens bekijken met een voorbeeld:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Hoe decimalen te verdelen

Vaak heeft een volwassene moeite met het delen van een geheel getal of een decimale breuk door een decimale breuk zonder de hulp van een rekenmachine.

Dus om decimalen te delen, hoef je alleen maar de komma in de deler door te halen en er geen aandacht meer aan te besteden. In het deeltal moet de komma precies evenveel plaatsen naar rechts worden verplaatst als in het fractionele deel van de deler, eventueel met nullen. En dan voeren ze de gebruikelijke deling door een geheel getal uit. Om dit duidelijker te maken, geven we het volgende voorbeeld.