Wat is een derivaat?

Tabel met derivaten.

Afgeleide is een van de belangrijkste concepten van de hogere wiskunde. In deze les introduceren we dit concept. Laten we elkaar leren kennen, zonder strikte wiskundige formuleringen en bewijzen.

Met deze kennismaking kunt u:

Begrijp de essentie van eenvoudige taken met afgeleiden;

Los deze eenvoudigste taken met succes op;

Bereid je voor op serieuzere lessen over derivaten.

Ten eerste - een aangename verrassing.)

De strikte definitie van de afgeleide is gebaseerd op de theorie van limieten en de zaak is behoorlijk ingewikkeld. Dit is verontrustend. Maar de praktische toepassing van derivaten vereist in de regel niet zo'n uitgebreide en diepgaande kennis!

Om de meeste taken op school en universiteit succesvol te voltooien, is het voldoende om te weten slechts een paar termen- de taak begrijpen, en slechts een paar regels- om het op te lossen. Dat is alles. Dit maakt mij blij.

Laten we beginnen kennis te maken?)

Termen en benamingen.

Er zijn veel verschillende wiskundige bewerkingen in de elementaire wiskunde. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, machtsverheffen, logaritme, enz. Als je nog een bewerking aan deze bewerkingen toevoegt, wordt de elementaire wiskunde hoger. Deze nieuwe bewerking wordt genoemd differentiatie. De definitie en betekenis van deze operatie zullen in aparte lessen worden besproken.

Het is belangrijk om hier te begrijpen dat differentiatie eenvoudigweg een wiskundige bewerking van een functie is. We nemen elke functie en, volgens bepaalde regels, transformeer het. Het resultaat zal zijn nieuwe functie. Deze nieuwe functie heet: derivaat.

Differentiatie- actie op een functie.

Derivaat- het resultaat van deze actie.

Net zoals bijvoorbeeld som- het resultaat van de optelling. Of privé- het resultaat van deling.

Als u de termen kent, kunt u in ieder geval de taken begrijpen.) De formuleringen zijn als volgt: vind de afgeleide van een functie; neem de afgeleide; differentieer de functie; afgeleide berekenen enz. Dit is alles één en dezelfde. Natuurlijk zijn er ook complexere taken, waarbij het vinden van de afgeleide (differentiatie) slechts een van de stappen is bij het oplossen van het probleem.

De afgeleide wordt rechtsboven in de functie aangegeven met een streepje. Zoals dit: jij" of f"(x) of S"(t) enzovoort.

Lezing igrek beroerte, ef beroerte van x, es beroerte van te, nou ja, je begrijpt het...)

Het priemgetal kan ook een afgeleide aanduiden specifieke functie, Bijvoorbeeld: (2x+3)", (X 3 )" , (zonde)" enz. Vaak worden afgeleiden aangegeven met differentiëlen, maar in deze les zullen we deze notatie niet behandelen.

Laten we aannemen dat we de taken hebben leren begrijpen. Het enige dat je nog moet leren is hoe je ze kunt oplossen.) Laat me je er nogmaals aan herinneren: het vinden van de afgeleide is transformatie van een functie volgens bepaalde regels. Verrassend genoeg zijn er maar heel weinig van deze regels.

Om de afgeleide van een functie te vinden, hoef je slechts drie dingen te weten. Drie pijlers waarop alle differentiatie steunt. Hier zijn het deze drie pijlers:

1. Tabel met derivaten (differentiatieformules).

3. Afgeleide complexe functie.

Laten we op volgorde beginnen. In deze les zullen we de tabel met derivaten bekijken.

Tabel met derivaten.

Er zijn oneindig veel functies in de wereld. Onder deze variëteit bevinden zich functies die het belangrijkst zijn praktische toepassing. Deze functies zijn terug te vinden in alle natuurwetten. Met deze functies kun je, net als met stenen, alle andere bouwen. Deze klasse van functies wordt genoemd elementaire functies. Het zijn deze functies die op school worden bestudeerd: lineair, kwadratisch, hyperbool, enz.

Differentiatie van functies "vanaf nul", d.w.z. Gebaseerd op de definitie van afgeleide en de theorie van limieten, is dit nogal arbeidsintensief. En wiskundigen zijn ook mensen, ja, ja!) Dus vereenvoudigden ze hun (en ons) leven. Vóór ons berekenden ze de afgeleiden van elementaire functies. Het resultaat is een tabel met derivaten, waarin alles klaar is.)

Hier is hij dan, deze plaat voor de meest populaire functies. Links staat een elementaire functie, rechts de afgeleide ervan.

	Functie j	Afgeleide van functie y jij"
1	C (constante waarde)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - elk getal)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x2)" = 2x
4	zonde x	(zonde x)" = cosx
	omdat x	(cos x)" = - zonde x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	loggen A X
	ln x ( een = e)

Ik raad aan om aandacht te besteden aan de derde groep functies in deze tabel met afgeleiden. Derivaat machtsfunctie- een van de meest voorkomende formules, zo niet de meest voorkomende! Begrijp je de hint?) Ja, het is raadzaam om de tabel met derivaten uit je hoofd te kennen. Overigens is dit niet zo moeilijk als het lijkt. Probeer meer voorbeelden op te lossen, de tabel zelf wordt onthouden!)

Het vinden van de tabelwaarde van de afgeleide is, zoals u begrijpt, niet de moeilijkste taak. Daarom zijn er bij dergelijke taken heel vaak extra chips. Ofwel in de formulering van de taak, ofwel in de oorspronkelijke functie, die niet in de tabel lijkt te staan...

Laten we een paar voorbeelden bekijken:

1. Bereken de afgeleide van de functie y = x 3

Een dergelijke functie bestaat niet in de tabel. Maar er is een afgeleide van de machtsfunctie in algemeen beeld(derde groep). In ons geval n=3. Dus vervangen we drie in plaats van n en noteren we zorgvuldig het resultaat:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Dat is het.

Antwoord: j" = 3x 2

2. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie y = sinx op het punt x = 0.

Deze taak houdt in dat je eerst de afgeleide van de sinus moet vinden en vervolgens de waarde moet vervangen x = 0 in deze afgeleide. Precies in die volgorde! Anders gebeurt het dat ze onmiddellijk nul vervangen door de originele functie... We worden gevraagd om niet de waarde van de originele functie te vinden, maar de waarde zijn afgeleide. Ik wil u eraan herinneren dat de afgeleide een nieuwe functie is.

Met behulp van de tablet vinden we de sinus en de bijbehorende afgeleide:

y" = (zonde x)" = cosx

We substitueren nul in de afgeleide:

y"(0) = cos0 = 1

Dit zal het antwoord zijn.

3. Differentieer de functie:

Wat, inspireert het?) Een dergelijke functie bestaat niet in de tabel met derivaten.

Laat me je eraan herinneren dat het differentiëren van een functie simpelweg het vinden van de afgeleide van deze functie is. Als je de elementaire trigonometrie vergeet, is het zoeken naar de afgeleide van onze functie behoorlijk lastig. De tabel helpt niet...

Maar als we zien dat het onze functie is dubbele hoekcosinus, dan wordt alles meteen beter!

Ja, ja! Onthoud dat het transformeren van de oorspronkelijke functie vóór differentiatie heel acceptabel! En het maakt het leven een stuk gemakkelijker. Met behulp van de dubbele-hoekcosinusformule:

Die. onze lastige functie is niets meer dan y = cosx. En dit is- tafel functie. Wij krijgen onmiddellijk:

Antwoord: y" = - zonde x.

Voorbeeld voor gevorderde afgestudeerden en studenten:

4. Zoek de afgeleide van de functie:

Een dergelijke functie bestaat uiteraard niet in de derivatentabel. Maar als je je de elementaire wiskunde herinnert, bewerkingen met machten... Dan is het heel goed mogelijk om deze functie te vereenvoudigen. Zoals dit:

En x tot de macht van een tiende is al een tabelfunctie! Derde groep, n=1/10. We schrijven rechtstreeks volgens de formule:

Dat is het. Dit zal het antwoord zijn.

Ik hoop dat alles duidelijk is met de eerste pijler van differentiatie: de tabel met derivaten. Het blijft de taak om met de twee overgebleven walvissen om te gaan. In de volgende les zullen we de regels van differentiatie leren.

Afgeleide berekeningen worden vaak aangetroffen in Unified State Exam-opdrachten. Deze pagina bevat een lijst met formules voor het vinden van afgeleiden.

Regels voor differentiatie

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Afgeleide van een complexe functie. Als y=F(u), en u=u(x), dan wordt de functie y=f(x)=F(u(x)) een complexe functie van x genoemd. Gelijk aan y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Afgeleide van een impliciete functie. De functie y=f(x) wordt een impliciete functie genoemd, gedefinieerd door de relatie F(x,y)=0 als F(x,f(x))≡0.
6. Afgeleide van de inverse functie. Als g(f(x))=x, dan wordt de functie g(x) de inverse functie van de functie y=f(x) genoemd.
7. Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie. Laten x en y worden gespecificeerd als functies van de variabele t: x=x(t), y=y(t). Ze zeggen dat y=y(x) parametrisch gegeven functie op het interval x∈ (a;b), als op dit interval de vergelijking x=x(t) kan worden uitgedrukt als t=t(x) en de functie y=y(t(x))=y(x) kan worden gedefinieerd.
8. Machtsafgeleide exponentiële functie. Gevonden door logaritmen naar de basis van de natuurlijke logaritme te brengen.

Het oplossen van fysieke problemen of voorbeelden in de wiskunde is volkomen onmogelijk zonder kennis van de afgeleide en methoden om deze te berekenen. Afgeleide is een van de belangrijkste concepten wiskundige analyse. We hebben besloten het artikel van vandaag aan dit fundamentele onderwerp te wijden. Wat is een afgeleide, wat is de fysieke en geometrische betekenis ervan, hoe bereken je de afgeleide van een functie? Al deze vragen kunnen worden gecombineerd tot één: hoe de afgeleide te begrijpen?

Geometrische en fysieke betekenis van afgeleide

Laat er een functie zijn f(x) , gespecificeerd in een bepaald interval (een, b) . Punten x en x0 behoren tot dit interval. Wanneer x verandert, verandert de functie zelf. Het argument veranderen - het verschil in de waarden ervan x-x0 . Dit verschil wordt geschreven als deltax en wordt argumentverhoging genoemd. Een verandering of verhoging van een functie is het verschil tussen de waarden van een functie op twee punten. Definitie van derivaat:

De afgeleide van een functie op een punt is de limiet van de verhouding tussen de toename van de functie op een bepaald punt en de toename van het argument wanneer dit laatste naar nul neigt.

Anders kan het als volgt worden geschreven:

Wat heeft het voor zin om zo'n grens te vinden? En dit is wat het is:

de afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de hoek tussen de OX-as en de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt.

Fysische betekenis van de afgeleide: de afgeleide van het pad naar de tijd is gelijk aan de snelheid van de rechtlijnige beweging.

Sinds schooltijd weet iedereen dat snelheid een bepaald pad is x=f(t) en tijd T . Gemiddelde snelheid over een bepaalde periode:

Om de bewegingssnelheid op een bepaald moment te achterhalen t0 je moet de limiet berekenen:

Regel één: stel een constante in

De constante kan uit het afgeleide teken worden gehaald. Bovendien moet dit gebeuren. Neem bij het oplossen van voorbeelden in de wiskunde als regel: Als u een uitdrukking kunt vereenvoudigen, zorg er dan voor dat u deze ook vereenvoudigt .

Voorbeeld. Laten we de afgeleide berekenen:

Regel twee: afgeleide van de som van functies

De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van deze functies. Hetzelfde geldt voor de afgeleide van het verschil in functies.

We zullen geen bewijs van deze stelling geven, maar eerder een praktisch voorbeeld bekijken.

Zoek de afgeleide van de functie:

Regel drie: afgeleide van het product van functies

De afgeleide van het product van twee differentieerbare functies wordt berekend met de formule:

Voorbeeld: vind de afgeleide van een functie:

Oplossing:

Het is belangrijk om hier te praten over het berekenen van afgeleiden van complexe functies. De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie met betrekking tot het tussenargument en de afgeleide van het tussenargument met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

In het bovenstaande voorbeeld komen we de uitdrukking tegen:

In dit geval is het tussenargument 8x tot de vijfde macht. Om de afgeleide van een dergelijke uitdrukking te berekenen, berekenen we eerst de afgeleide van de externe functie met betrekking tot het tussenliggende argument, en vermenigvuldigen we vervolgens met de afgeleide van het tussenliggende argument zelf met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

Regel vier: afgeleide van het quotiënt van twee functies

Formule voor het bepalen van de afgeleide van het quotiënt van twee functies:

We probeerden helemaal opnieuw over derivaten voor dummies te praten. Dit onderwerp is niet zo eenvoudig als het lijkt, dus wees gewaarschuwd: er zitten vaak valkuilen in de voorbeelden, dus wees voorzichtig bij het berekenen van afgeleiden.

Met vragen over dit en andere onderwerpen kun je contact opnemen met de studentenservice. In korte tijd helpen we u de moeilijkste test op te lossen en de taken te begrijpen, zelfs als u nog nooit afgeleide berekeningen heeft gemaakt.

Bewijs en afleiding van de formules voor de afgeleide van de exponentiële (e tot de x-macht) en de exponentiële functie (a tot de x-macht). Voorbeelden van het berekenen van afgeleiden van e^2x, e^3x en e^nx. Formules voor derivaten van hogere ordes.

De afgeleide van een exponent is gelijk aan de exponent zelf (de afgeleide van e naar de x-macht is gelijk aan e naar de x-macht):
(1) (e X) ′ = e X.

De afgeleide van een exponentiële functie met als grondtal graad a is gelijk aan de functie zelf, vermenigvuldigd met natuurlijke logaritme van een:
(2) .

Afleiding van de formule voor de afgeleide van de exponentiële e naar de macht x

Een exponentieel is een exponentiële functie waarvan de machtsbasis gelijk is aan het getal e, wat de volgende limiet is:
.
Hier kan het een natuurlijk getal of een reëel getal zijn. Vervolgens leiden we formule (1) af voor de afgeleide van de exponentiële waarde.

Afleiding van de exponentiële afgeleide formule

Beschouw het exponentiële, e tot de macht x:
y = eX.
Deze functie is voor iedereen gedefinieerd.
(3) .

Laten we de afgeleide vinden met betrekking tot de variabele x.
Per definitie is de afgeleide de volgende limiet: Laten we deze uitdrukking transformeren om deze terug te brengen tot bekende wiskundige eigenschappen en regels. Om dit te doen hebben we de volgende feiten nodig:
(4) ;
A) Exponenteigenschap:
(5) ;
B) Eigenschap van logaritme:
(6) .
IN)
Continuïteit van de logaritme en de eigenschap van limieten voor een continue functie: Hier is een functie die een limiet heeft en deze limiet is positief.
(7) .

G)
;
.

De betekenis van de tweede opmerkelijke grens:
Laten we deze feiten toepassen op onze limiet (3). We gebruiken eigenschap (4):
.
Laten we een vervanging maken.
.

Dan ; .
.

Vanwege de continuïteit van het exponentiële,
.
.

Dan
.
Laten we eigenschap (6) toepassen. Omdat er een positieve limiet is en de logaritme continu is, geldt:
.

Hier hebben we ook de tweede opmerkelijke limiet (7) gebruikt. Dan

Zo verkregen we formule (1) voor de afgeleide van de exponentiële waarde.

Afleiding van de formule voor de afgeleide van een exponentiële functie
(8)
Nu leiden we formule (2) af voor de afgeleide van de exponentiële functie met als grondtal graad a.

Wij geloven dat en. Dan de exponentiële functie Voor iedereen gedefinieerd.
;
.
Laten we formule (8) transformeren. Hiervoor zullen we gebruiken
.

eigenschappen van de exponentiële functie

en logaritme.
(14) .
(1) .

Daarom hebben we formule (8) omgezet naar de volgende vorm:
;
.

Afgeleiden van hogere orde van e tot de macht x
.

Laten we nu derivaten van hogere ordes vinden. Laten we eerst naar de exponent kijken:

We zien dat de afgeleide van functie (14) gelijk is aan functie (14) zelf. Door te differentiëren (1) verkrijgen we afgeleiden van de tweede en derde orde:
.
Dit laat zien dat de afgeleide van de nde orde ook gelijk is aan de oorspronkelijke functie:
(15) .

Afgeleiden van hogere orde van de exponentiële functie
;
.

Beschouw nu een exponentiële functie met als basis graad a:
.