Wat is een logaritme?

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel graag...”)

Wat is een logaritme? Hoe logaritmes op te lossen? Deze vragen brengen veel afgestudeerden in verwarring. Traditioneel wordt het onderwerp logaritmen als complex, onbegrijpelijk en eng beschouwd. Vooral vergelijkingen met logaritmen.

Dit is absoluut niet waar. Absoluut! Geloof je mij niet? Prima. Nu kunt u in slechts 10 - 20 minuten:

1. Je zult het begrijpen wat is een logaritme.

2. Leer een hele klas op te lossen exponentiële vergelijkingen. Ook al heb je er niets over gehoord.

3. Leer eenvoudige logaritmen berekenen.

Bovendien hoef je hiervoor alleen de tafel van vermenigvuldiging te kennen en hoe je een getal tot een macht kunt verheffen...

Ik heb het gevoel dat je twijfelt... Nou, oké, let op de tijd! Laten we gaan!

Los eerst deze vergelijking in je hoofd op:

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

De logaritme van een positief getal b met grondtal a (a>0, a is niet gelijk aan 1) is een getal c zodat a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Merk op dat de logaritme van een niet-positief getal niet gedefinieerd is. Bovendien moet de basis van de logaritme zijn positief getal, niet gelijk aan 1. Als we bijvoorbeeld -2 kwadrateren, krijgen we het getal 4, maar dit betekent niet dat de logaritme met grondtal -2 van 4 gelijk is aan 2.

Fundamentele logaritmische identiteit

Het is belangrijk dat de reikwijdte van de definitie van de rechter- en linkerkant van deze formule verschillend is. De linkerkant is alleen gedefinieerd voor b>0, a>0 en a ≠ 1. De rechterkant is gedefinieerd voor elke b, en is helemaal niet afhankelijk van a. De toepassing van de fundamentele logaritmische ‘identiteit’ bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden kan dus leiden tot een verandering in de OD.

Twee voor de hand liggende gevolgen van de definitie van logaritme

Als we het getal a tot de eerste macht verheffen, krijgen we hetzelfde getal, en als we het tot de macht nul verheffen, krijgen we er één.

Logaritme van het product en logaritme van het quotiënt

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ik wil schoolkinderen waarschuwen voor het gedachteloos toepassen van deze formules bij het oplossen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden. Als je ze ‘van links naar rechts’ gebruikt, wordt de ODZ smaller, en als je van de som of het verschil van logaritmen naar de logaritme van het product of quotiënt gaat, wordt de ODZ groter.

De uitdrukking log a (f (x) g (x)) wordt in twee gevallen gedefinieerd: wanneer beide functies strikt positief zijn of wanneer f (x) en g (x) beide kleiner zijn dan nul.

Als we deze uitdrukking omzetten in de som log a f (x) + log a g (x), zijn we gedwongen ons alleen te beperken tot het geval waarin f(x)>0 en g(x)>0. Er is sprake van een vernauwing van het bereik van aanvaardbare waarden, en dit is categorisch onaanvaardbaar, omdat dit kan leiden tot het verlies van oplossingen. Een soortgelijk probleem bestaat voor formule (6).

De graad kan uit het teken van de logaritme worden gehaald

En opnieuw zou ik willen oproepen tot nauwkeurigheid. Beschouw het volgende voorbeeld:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

De linkerkant van de gelijkheid is uiteraard gedefinieerd voor alle waarden van f(x) behalve nul. De rechterkant is alleen voor f(x)>0! Door de graad uit de logaritme te halen, verkleinen we de ODZ opnieuw. De omgekeerde procedure leidt tot een uitbreiding van het bereik van aanvaardbare waarden. Al deze opmerkingen gelden niet alleen voor macht 2, maar ook voor elke even macht.

Formule voor het verhuizen naar een nieuwe stichting

Dat zeldzame geval waarin de ODZ niet verandert tijdens transformatie. Als je basis c verstandig hebt gekozen (positief en niet gelijk aan 1), is de formule voor het verhuizen naar een nieuwe basis volkomen veilig.

Als we het getal b als de nieuwe grondtal c kiezen, krijgen we een belangrijk speciaal geval van formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Enkele eenvoudige voorbeelden met logaritmen

Voorbeeld 1. Bereken: log2 + log50.
Oplossing. log2 + log50 = log100 = 2. We gebruikten de som van de logaritmes-formule (5) en de definitie van de decimale logaritme.

Voorbeeld 2. Bereken: lg125/lg5.
Oplossing. log125/log5 = log 5 125 = 3. We gebruikten de formule voor het verplaatsen naar een nieuwe basis (8).

Tabel met formules gerelateerd aan logaritmen

We hebben dus machten van twee. Als je het getal uit de onderste regel neemt, kun je gemakkelijk de macht vinden waartoe je twee moet verhogen om dit getal te krijgen. Om bijvoorbeeld 16 te krijgen, moet je twee tot de vierde macht verheffen. En om 64 te krijgen, moet je twee tot de zesde macht verheffen. Dit is te zien aan de tabel.

En nu - eigenlijk de definitie van de logaritme:

Het grondtal een logaritme van x is de macht waartoe a moet worden verheven om x te krijgen.

Benaming: log a x = b, waarbij a het grondtal is, x het argument, b is waar de logaritme feitelijk gelijk aan is.

Bijvoorbeeld: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (de logaritme met grondtal 2 van 8 is drie omdat 2 3 = 8). Met hetzelfde succes logt u 2 64 = 6, aangezien 2 6 = 64.

De bewerking van het vinden van de logaritme van een getal tot een bepaald grondtal wordt logaritme genoemd. Laten we dus een nieuwe regel aan onze tabel toevoegen:

Helaas worden niet alle logaritmes zo eenvoudig berekend. Probeer bijvoorbeeld log 2 5 te vinden. Het getal 5 staat niet in de tabel, maar de logica dicteert dat de logaritme ergens in het segment zal liggen. Omdat 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Dergelijke getallen worden irrationeel genoemd: de getallen na de komma kunnen tot in het oneindige worden geschreven en worden nooit herhaald. Als de logaritme irrationeel blijkt te zijn, is het beter om het zo te laten: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Het is belangrijk om te begrijpen dat een logaritme een uitdrukking is met twee variabelen (het grondtal en het argument). In eerste instantie verwarren veel mensen waar de basis ligt en waar het argument ligt. Om vervelende misverstanden te voorkomen, kijk maar naar de afbeelding:

Voor ons ligt niets meer dan de definitie van een logaritme. Herinneren: logaritme is een macht, waarin de basis moet worden ingebouwd om een ​​argument te verkrijgen. Het is de basis die tot een macht wordt verheven - deze is in de afbeelding rood gemarkeerd. Het blijkt dat de basis altijd onderaan ligt! Ik vertel mijn leerlingen deze prachtige regel al bij de allereerste les – en er ontstaat geen verwarring.

We hebben de definitie gevonden - het enige dat overblijft is leren logaritmen tellen, d.w.z. verwijder het "log" -teken. Om te beginnen merken we op dat uit de definitie twee belangrijke feiten volgen:

1. Het argument en de grondtal moeten altijd groter zijn dan nul. Dit volgt uit de definitie van een graad door een rationale exponent, waartoe de definitie van een logaritme wordt gereduceerd.
2. De basis moet verschillend zijn van één, aangezien één in zekere zin nog steeds één is. Hierdoor is de vraag “tot welke macht je moet verheven zijn om er twee te krijgen” betekenisloos. Zo'n graad bestaat niet!

Dergelijke beperkingen worden genoemd bereik van aanvaardbare waarden(ODZ). Het blijkt dat de ODZ van de logaritme er als volgt uitziet: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk op dat er geen beperkingen zijn voor het getal b (de waarde van de logaritme). De logaritme kan bijvoorbeeld heel goed negatief zijn: log 2 0,5 = −1, omdat 0,5 = 2 −1.

Nu beschouwen we echter alleen numerieke uitdrukkingen, waarbij het niet vereist is om de VA van de logaritme te kennen. Met alle beperkingen is al rekening gehouden door de auteurs van de problemen. Maar wanneer logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden een rol gaan spelen, zullen DL-vereisten verplicht worden. De onderbouwing en argumentatie kunnen immers zeer sterke constructies bevatten die niet noodzakelijkerwijs overeenkomen met bovenstaande restricties.

Laten we nu eens kijken naar het algemene schema voor het berekenen van logaritmen. Het bestaat uit drie stappen:

1. Druk het grondtal a en het argument x uit als een macht waarvan het minimaal mogelijke grondtal groter is dan één. Onderweg is het beter om decimalen te verwijderen;
2. Los de vergelijking op voor variabele b: x = a b ;
3. Het resulterende getal b zal het antwoord zijn.

Dat is het! Als de logaritme irrationeel blijkt te zijn, zal dit al in de eerste stap zichtbaar zijn. De eis dat de basis groter moet zijn dan één is erg belangrijk: dit verkleint de kans op fouten en vereenvoudigt de berekeningen aanzienlijk. Hetzelfde met decimalen: als je ze onmiddellijk omzet naar gewone, zullen er veel minder fouten optreden.

Laten we eens kijken hoe dit schema werkt aan de hand van specifieke voorbeelden:

Taak. Bereken de logaritme: log 5 25

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van vijf: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Laten we de vergelijking maken en oplossen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Wij kregen het antwoord: 2.

Taak. Bereken de logaritme:

Taak. Bereken de logaritme: log 4 64

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van twee: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Laten we de vergelijking maken en oplossen:
   logboek 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Wij kregen het antwoord: 3.

Taak. Bereken de logaritme: log 16 1

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van twee: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Laten we de vergelijking maken en oplossen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Wij kregen het antwoord: 0.

Taak. Bereken de logaritme: log 7 14

1. Laten we ons de basis en het argument voorstellen als een macht van zeven: 7 = 7 1 ; 14 kan niet worden weergegeven als een macht van zeven, aangezien 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Uit de vorige paragraaf volgt dat de logaritme niet telt;
3. Het antwoord is geen verandering: log 7 14.

Een kleine opmerking erbij laatste voorbeeld. Hoe weet je zeker dat een getal niet de exacte macht is van een ander getal? Het is heel eenvoudig: verwerk het gewoon in hoofdfactoren. Als de uitbreiding ten minste twee verschillende factoren heeft, is het getal geen exacte macht.

Taak. Ontdek of de getallen exacte machten zijn: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exacte graad, omdat er is maar één vermenigvuldiger;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - is geen exacte macht, aangezien er twee factoren zijn: 3 en 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exacte graad;
35 = 7 · 5 - wederom geen exacte macht;
14 = 7 · 2 - wederom geen exacte graad;

Merk ook op dat de priemgetallen zelf altijd exacte machten van zichzelf zijn.

Decimale logaritme

Sommige logaritmen zijn zo gebruikelijk dat ze een speciale naam en een speciaal symbool hebben.

De decimale logaritme van x is de logaritme met grondtal 10, d.w.z. De macht waartoe het getal 10 moet worden verheven om het getal x te verkrijgen. Benaming: lg x.

Logboek 10 = 1; logboek 100 = 2; LG 1000 = 3 - enz.

Vanaf nu, wanneer een zin als "Zoek lg 0.01" in een leerboek verschijnt, weet dan dat dit geen typefout is. Dit is een decimale logaritme. Als u echter niet bekend bent met deze notatie, kunt u deze altijd herschrijven:
log x = log 10 x

Alles wat waar is voor gewone logaritmen, geldt ook voor decimale logaritmen.

Natuurlijke logaritme

Er is nog een logaritme met een eigen aanduiding. In sommige opzichten is het zelfs belangrijker dan decimaal. Het gaat over over de natuurlijke logaritme.

De natuurlijke logaritme van x is de logaritme met grondtal e, d.w.z. de macht waartoe het getal e moet worden verheven om het getal x te verkrijgen. Benaming: ln x .

Velen zullen vragen: wat is het getal e? Dit is een irrationeel getal exacte waarde onmogelijk te vinden en op te nemen. Ik geef alleen de eerste cijfers:
e = 2,718281828459...

We zullen niet in detail treden over wat dit nummer is en waarom het nodig is. Bedenk dat e de basis is van de natuurlijke logaritme:
ln x = log e x

Dus ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - enz. Aan de andere kant is ln 2 een irrationeel getal. Over het algemeen is de natuurlijke logaritme van iedereen rationeel getal irrationeel. Behalve natuurlijk één: ln 1 = 0.

Voor natuurlijke logaritmes alle regels die gelden voor gewone logaritmen zijn geldig.

Logaritmen kunnen, net als alle andere getallen, op elke manier worden opgeteld, afgetrokken en getransformeerd. Maar aangezien logaritmen niet bepaald gewone getallen zijn, zijn er hier regels die worden genoemd belangrijkste eigenschappen.

Je moet deze regels zeker kennen - zonder hen kan geen enkel ernstig logaritmisch probleem worden opgelost. Bovendien zijn er maar heel weinig - je kunt alles op één dag leren. Dus laten we aan de slag gaan.

Logaritmen optellen en aftrekken

Beschouw twee logaritmen met dezelfde grondtallen: log A X en loggen A j. Vervolgens kunnen ze worden opgeteld en afgetrokken, en:

1. loggen A X+ logboek A j= loggen A (X · j);
2. loggen A X− logboek A j= loggen A (X : j).

De som van de logaritmen is dus gelijk aan de logaritme van het product, en het verschil is gelijk aan de logaritme van het quotiënt. Let op: het belangrijkste punt hier is identieke gronden. Als de redenen verschillend zijn, werken deze regels niet!

Deze formules helpen u bij het berekenen logaritmische uitdrukking zelfs als de afzonderlijke delen ervan niet worden meegeteld (zie les “Wat is een logaritme”). Bekijk de voorbeelden en zie:

Stam 6 4 + stam 6 9.

Omdat logaritmen dezelfde grondtal hebben, gebruiken we de somformule:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 2 48 − log 2 3.

De bases zijn hetzelfde, we gebruiken de verschilformule:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 3 135 − log 3 5.

Opnieuw zijn de bases hetzelfde, dus we hebben:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Zoals u kunt zien, bestaan ​​de oorspronkelijke uitdrukkingen uit ‘slechte’ logaritmen, die niet afzonderlijk worden berekend. Maar na de transformaties worden volledig normale getallen verkregen. Velen zijn op dit feit gebouwd testen. Ja, testachtige uitdrukkingen worden in alle ernst aangeboden (soms met vrijwel geen wijzigingen) op het Unified State Examination.

De exponent uit de logaritme halen

Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken. Wat als de grondtal of het argument van een logaritme een macht is? Vervolgens kan de exponent van deze graad uit het teken van de logaritme worden gehaald volgens de volgende regels:

Het is gemakkelijk om dat op te merken laatste regel volgt de eerste twee. Maar het is toch beter om het te onthouden - in sommige gevallen zal het het aantal berekeningen aanzienlijk verminderen.

Natuurlijk zijn al deze regels zinvol als de ODZ van de logaritme in acht wordt genomen: A > 0, A ≠ 1, X> 0. En nog één ding: leer alle formules niet alleen van links naar rechts toe te passen, maar ook andersom, d.w.z. U kunt de getallen vóór het logaritmeteken in de logaritme zelf invoeren. Dit is wat het vaakst nodig is.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 7 49 6 .

Laten we de graad in het argument verwijderen met behulp van de eerste formule:
logboek 7 49 6 = 6 logboek 7 49 = 6 2 = 12

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

[Onderschrift voor de foto]

Merk op dat de noemer een logaritme bevat, waarvan de basis en het argument exacte machten zijn: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wij hebben:

Ik denk dat het laatste voorbeeld enige verduidelijking behoeft. Waar zijn logaritmes gebleven? Tot het allerlaatste moment werken we alleen met de noemer. We presenteerden de basis en het argument van de logaritme die daar stond in de vorm van machten en haalden de exponenten eruit - we kregen een breuk van "drie verdiepingen".

Laten we nu naar de hoofdbreuk kijken. De teller en de noemer bevatten hetzelfde getal: log 2 7. Omdat log 2 7 ≠ 0 kunnen we de breuk verkleinen - 2/4 blijft in de noemer. Volgens de rekenregels kunnen de vier worden overgedragen naar de teller, en dat is ook gebeurd. Het resultaat was het antwoord: 2.

Overgang naar een nieuwe stichting

Sprekend over de regels voor het optellen en aftrekken van logaritmen, heb ik specifiek benadrukt dat ze alleen met dezelfde grondtallen werken. Wat als de redenen verschillend zijn? Wat als het geen exacte machten van hetzelfde getal zijn?

Formules voor de overgang naar een nieuwe stichting komen te hulp. Laten we ze formuleren in de vorm van een stelling:

Laat het gegeven worden logaritme log A X. Dan voor welk nummer dan ook C zodanig dat C> 0 en C≠ 1, de gelijkheid is waar:

[Onderschrift voor de foto]

In het bijzonder, als we zetten C = X, wij krijgen:

[Onderschrift voor de foto]

Uit de tweede formule volgt dat de basis en het argument van de logaritme kunnen worden verwisseld, maar in dit geval wordt de hele uitdrukking “omgedraaid”, d.w.z. de logaritme verschijnt in de noemer.

Deze formules worden zelden aangetroffen in conventionele producten numerieke uitdrukkingen. Het is alleen mogelijk om te evalueren hoe handig ze zijn bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.

Er zijn echter problemen die helemaal niet kunnen worden opgelost, behalve door naar een nieuwe stichting te verhuizen. Laten we er een paar bekijken:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 5 16 log 2 25.

Merk op dat de argumenten van beide logaritmen exacte machten bevatten. Laten we de indicatoren eruit halen: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; logboek 2 25 = logboek 2 5 2 = 2 logboek 2 5;

Laten we nu de tweede logaritme “omkeren”:

Omdat het product niet verandert bij het herschikken van factoren, hebben we rustig vier en twee vermenigvuldigd en vervolgens met logaritmen gewerkt.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 9 100 lg 3.

De basis en het argument van de eerste logaritme zijn exacte machten. Laten we dit opschrijven en de indicatoren verwijderen:

Laten we nu de decimale logaritme verwijderen door naar een nieuwe basis te gaan:

Fundamentele logaritmische identiteit

Vaak is het tijdens het oplossingsproces nodig om een ​​getal weer te geven als een logaritme met een gegeven grondtal. In dit geval zullen de volgende formules ons helpen:

In het eerste geval het nummer N wordt een indicator van de mate waarin het argument staat. Nummer N kan absoluut alles zijn, omdat het slechts een logaritmewaarde is.

De tweede formule is eigenlijk een geparafraseerde definitie. Zo heet het: basic logaritmische identiteit.

Wat zal er eigenlijk gebeuren als het nummer B verheffen tot een zodanige macht dat het getal B aan deze macht geeft het getal A? Dat klopt: u krijgt hetzelfde nummer A. Lees deze paragraaf nog eens aandachtig door - veel mensen blijven erin hangen.

Net als formules om naar een nieuwe basis te gaan, is de logaritmische basisidentiteit soms de enige mogelijke oplossing.

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

[Onderschrift voor de foto]

Merk op dat log 25 64 = log 5 8 - neem eenvoudigweg het kwadraat van de basis en het argument van de logaritme. Denk aan de regels voor het vermenigvuldigen van machten met dezelfde basis, wij krijgen:

Als iemand het niet weet: dit was een echte taak van het Unified State Exam :)

Logaritmische eenheid en logaritmische nul

Tot slot zal ik twee identiteiten geven die nauwelijks eigenschappen kunnen worden genoemd; het zijn eerder consequenties van de definitie van de logaritme. Ze verschijnen voortdurend in problemen en creëren, verrassend genoeg, zelfs voor ‘gevorderde’ studenten problemen.

1. loggen A A= 1 is een logaritmische eenheid. Onthoud voor eens en voor altijd: logaritme met elk grondtal A vanaf deze basis is gelijk aan één.
2. loggen A 1 = 0 is logaritmisch nul. Baseren A kan van alles zijn, maar als het argument er één bevat: logaritme gelijk aan nul! Omdat A 0 = 1 is een direct gevolg van de definitie.

Dat zijn alle eigenschappen. Zorg ervoor dat je oefent om ze in de praktijk te brengen! Download het spiekbriefje aan het begin van de les, print het uit en los de problemen op.

We blijven logaritmes bestuderen. In dit artikel zullen we erover praten logaritmen berekenen, dit proces wordt genoemd logaritme. Eerst zullen we de berekening van logaritmen per definitie begrijpen. Laten we vervolgens kijken hoe de waarden van logaritmen worden gevonden met behulp van hun eigenschappen. Hierna zullen we ons concentreren op het berekenen van logaritmen via de aanvankelijk opgegeven waarden van andere logaritmen. Laten we tot slot leren hoe we logaritmetabellen kunnen gebruiken. De gehele theorie is voorzien van voorbeelden met uitgewerkte oplossingen.

Paginanavigatie.

Logaritmen per definitie berekenen

In de eenvoudigste gevallen is het mogelijk om vrij snel en gemakkelijk uit te voeren per definitie de logaritme vinden. Laten we eens nader bekijken hoe dit proces plaatsvindt.

De essentie ervan is om het getal b weer te geven in de vorm a c, waarvan, volgens de definitie van een logaritme, het getal c de waarde van de logaritme is. Dat wil zeggen dat de volgende reeks gelijkheden per definitie overeenkomt met het vinden van de logaritme: log a b=log a a c =c.

Het berekenen van een logaritme komt dus per definitie neer op het vinden van een getal c zodat a c = b, en het getal c zelf is de gewenste waarde van de logaritme.

Rekening houdend met de informatie in de voorgaande paragrafen, wanneer het getal onder het logaritmeteken wordt gegeven door een bepaalde macht van de logaritmebasis, kunt u onmiddellijk aangeven waar de logaritme gelijk aan is: het is gelijk aan de exponent. Laten we oplossingen voor voorbeelden tonen.

Voorbeeld.

Zoek log 2 2 −3, en bereken ook de natuurlijke logaritme van het getal e 5,3.

Oplossing.

De definitie van de logaritme stelt ons in staat onmiddellijk te zeggen dat log 2 2 −3 =−3. Het getal onder het logaritmeteken is inderdaad gelijk aan grondtal 2 tot de macht −3.

Op dezelfde manier vinden we de tweede logaritme: lne 5,3 =5,3.

Antwoord:

log 2 2 −3 =−3 en lne 5,3 =5,3.

Als het getal b onder het logaritmeteken niet is gespecificeerd als een macht van het grondtal van de logaritme, dan moet je goed kijken of het mogelijk is om een ​​representatie van het getal b te bedenken in de vorm a c. Vaak is deze weergave vrij duidelijk, vooral wanneer het getal onder het logaritmeteken gelijk is aan het grondtal tot de macht 1, of 2, of 3, ...

Voorbeeld.

Bereken de logaritmen log 5 25 , en .

Oplossing.

Het is gemakkelijk in te zien dat 25=5 2, hierdoor kun je de eerste logaritme berekenen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Laten we verder gaan met het berekenen van de tweede logaritme. Het getal kan worden weergegeven als een macht van 7: (kijk indien nodig). Vandaar, .

Laten we de derde logaritme herschrijven het volgende formulier. Nu kun je dat zien , waaruit wij dat concluderen . Daarom volgens de definitie van logaritme .

In het kort zou de oplossing als volgt kunnen worden geschreven: .

Antwoord:

logboek 5 25=2 , En .

Wanneer er onder het teken van de logaritme een voldoende grote is natuurlijk getal, dan zou het geen kwaad kunnen om het in primaire factoren te verwerken. Het helpt vaak om zo’n getal voor te stellen als een macht van de basis van de logaritme, en daarom deze logaritme per definitie te berekenen.

Voorbeeld.

Zoek de waarde van de logaritme.

Oplossing.

Met sommige eigenschappen van logaritmen kunt u onmiddellijk de waarde van logaritmen opgeven. Deze eigenschappen omvatten de eigenschap van de logaritme van één en de eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal: log 1 1=log a a 0 =0 en log a a=log a a 1 =1. Dat wil zeggen, als er onder het logaritmeteken een getal 1 of een getal a staat dat gelijk is aan de basis van de logaritme, dan zijn de logaritmen in deze gevallen respectievelijk gelijk aan 0 en 1.

Voorbeeld.

Waar zijn logaritmen en log10 gelijk aan?

Oplossing.

Sinds , volgt dan uit de definitie van de logaritme .

In het tweede voorbeeld valt het getal 10 onder het logaritmeteken samen met het grondtal, dus de decimale logaritme van tien is gelijk aan één, dat wil zeggen: lg10=lg10 1 =1.

Antwoord:

EN lg10=1 .

Merk op dat de berekening van logaritmen per definitie (die we in de vorige paragraaf hebben besproken) het gebruik impliceert van de gelijkheidslog a a p =p, wat een van de eigenschappen van logaritmen is.

Wanneer een getal onder het logaritmeteken en de basis van de logaritme in de praktijk gemakkelijk kan worden weergegeven als een macht van een bepaald getal, is het erg handig om de formule te gebruiken , wat overeenkomt met een van de eigenschappen van logaritmen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het vinden van een logaritme dat het gebruik van deze formule illustreert.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme.

Oplossing.

Antwoord:

.

Eigenschappen van logaritmen die hierboven niet zijn genoemd, worden ook gebruikt in berekeningen, maar hierover zullen we in de volgende paragrafen praten.

Logaritmen vinden via andere bekende logaritmen

De informatie in deze paragraaf gaat verder met het onderwerp van het gebruik van de eigenschappen van logaritmen bij het berekenen ervan. Maar hier is het belangrijkste verschil dat de eigenschappen van logaritmen worden gebruikt om de oorspronkelijke logaritme uit te drukken in termen van een andere logaritme, waarvan de waarde bekend is. Laten we een voorbeeld geven ter verduidelijking. Laten we zeggen dat we weten dat log 2 3≈1,584963, dan kunnen we bijvoorbeeld log 2 6 vinden door een kleine transformatie uit te voeren met behulp van de eigenschappen van de logaritme: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

In het bovenstaande voorbeeld was het voor ons voldoende om de eigenschap van de logaritme van een product te gebruiken. Veel vaker is het echter nodig om een ​​breder arsenaal aan eigenschappen van logaritmen te gebruiken om de oorspronkelijke logaritme via de gegeven waarden te berekenen.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme van 27 tot grondtal 60 als je weet dat log 60 2=a en log 60 5=b.

Oplossing.

We moeten dus log 60 27 vinden. Het is gemakkelijk in te zien dat 27 = 3 3 , en de oorspronkelijke logaritme, vanwege de eigenschap van de logaritme van de macht, kan worden herschreven als 3·log 60 3 .

Laten we nu eens kijken hoe we log 60 3 kunnen uitdrukken in termen van bekende logaritmen. De eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal stelt ons in staat het gelijkheidslogboek 60 60=1 te schrijven. Aan de andere kant, log 60 60=log60(2 2 3 5)= logboek 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dus, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vandaar, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Tenslotte berekenen we de oorspronkelijke logaritme: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Antwoord:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Afzonderlijk is het de moeite waard om de betekenis van de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme van de vorm te vermelden . Hiermee kunt u van logaritmen met elk grondtal overgaan naar logaritmen met een specifiek grondtal, waarvan de waarden bekend zijn of mogelijk zijn om ze te vinden. Meestal gaan ze van de oorspronkelijke logaritme, met behulp van de overgangsformule, naar logaritmen in een van de basen 2, e of 10, omdat er voor deze basen tabellen met logaritmen zijn waarmee hun waarden met een bepaalde mate van berekening kunnen worden berekend. nauwkeurigheid. In de volgende paragraaf laten we zien hoe dit gebeurt.

Logaritmetabellen en hun gebruik

Voor een geschatte berekening van logaritmewaarden kunnen worden gebruikt logaritme tabellen. De meest gebruikte logaritmetabel met grondtal 2, natuurlijke logaritmetabel en decimale logaritmes. Wanneer u met het decimale getalsysteem werkt, is het handig om een ​​tabel met logaritmen te gebruiken op basis van grondtal tien. Met zijn hulp zullen we leren de waarden van logaritmen te vinden.

Met de gepresenteerde tabel kunt u de waarden vinden van de decimale logaritmen van getallen van 1.000 tot 9.999 (met drie decimalen) met een nauwkeurigheid van één tienduizendste. We zullen het principe van het vinden van de waarde van een logaritme analyseren met behulp van een tabel met decimale logaritmen in specifiek voorbeeld– zo is het duidelijker. Laten we log1.256 vinden.

In de linkerkolom van de tabel met decimale logaritmen vinden we de eerste twee cijfers van het getal 1,256, dat wil zeggen we vinden 1,2 (dit getal is voor de duidelijkheid blauw omcirkeld). Het derde cijfer van het getal 1.256 (cijfer 5) vindt u in de eerste of laatste regel links van de dubbele regel (dit getal is rood omcirkeld). Het vierde cijfer van het oorspronkelijke getal 1.256 (cijfer 6) vindt u in de eerste of laatste regel rechts van de dubbele regel (dit getal is omcirkeld met een groene lijn). Nu vinden we de getallen in de cellen van de tabel met logaritmen op het snijpunt van de gemarkeerde rij en gemarkeerde kolommen (deze getallen zijn gemarkeerd oranje). De som van de gemarkeerde getallen geeft de gewenste waarde van de decimale logaritme nauwkeurig tot op de vierde decimaal, dat wil zeggen: log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Is het mogelijk om met behulp van de bovenstaande tabel de waarden te vinden van decimale logaritmen van getallen met meer dan drie cijfers achter de komma, en ook van getallen die verder gaan dan het bereik van 1 tot 9,999? Ja, dat kan. Laten we laten zien hoe dit wordt gedaan met een voorbeeld.

Laten we lg102.76332 berekenen. Eerst moet je opschrijven nummer in standaardvorm: 102,76332=1,0276332·10 2. Hierna moet de mantisse worden afgerond op de derde decimaal, dat hebben we gedaan 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, terwijl de oorspronkelijke decimale logaritme ongeveer is gelijk aan de logaritme het resulterende getal, dat wil zeggen, we nemen log102,76332≈lg1,028·10 2. Nu passen we de eigenschappen van de logaritme toe: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Ten slotte vinden we de waarde van de logaritme lg1,028 uit de tabel met decimale logaritmen lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Als gevolg hiervan ziet het hele proces van het berekenen van de logaritme er als volgt uit: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Concluderend is het vermeldenswaard dat u met behulp van de tabel met decimale logaritmen de geschatte waarde van elke logaritme kunt berekenen. Om dit te doen, volstaat het om de overgangsformule te gebruiken om naar decimale logaritmen te gaan, hun waarden in de tabel te vinden en de resterende berekeningen uit te voeren.

Laten we bijvoorbeeld log 2 3 berekenen. Volgens de formule voor de overgang naar een nieuw grondtal van de logaritme hebben we . Uit de tabel met decimale logaritmen vinden we log3≈0,4771 en log2≈0,3010. Dus, .

Referenties.

• Kolmogorov AN, Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. en anderen. Algebra en het begin van analyse: leerboek voor de groepen 10 - 11 van instellingen voor algemeen onderwijs.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan).