Heeft een antwoord achtergelaten Gast

Met één dobbelsteen is de situatie onfatsoenlijk eenvoudig. Ik wil u eraan herinneren dat de waarschijnlijkheid wordt gevonden met de formule P=m/n
P
=
M
N
, waar n
N
is het aantal van alle even mogelijke elementaire uitkomsten van een experiment waarbij een kubus of dobbelsteen wordt gegooid, en m
M
- het aantal uitkomsten dat in het voordeel van de gebeurtenis is.

Voorbeeld 1: De dobbelsteen wordt één keer gegooid. Wat is de kans dat er een even aantal punten wordt gegooid?

Omdat een dobbelsteen een kubus is (ze zeggen ook wel een gewone dobbelsteen, dat wil zeggen een uitgebalanceerde dobbelsteen zodat deze met gelijke waarschijnlijkheid aan alle kanten terechtkomt), heeft de kubus 6 vlakken (met een aantal punten van 1 tot 6, meestal aangegeven per punten), en vervolgens En totaal aantal uitkomsten in het probleem n=6
N
=
6
. De enige uitkomsten die in het voordeel van de gebeurtenis zijn, zijn die waarbij een partij met 2, 4 of 6 punten (alleen even getallen) verschijnt; er zijn m = 3 van dergelijke partijen
M
=
3
. De vereiste waarschijnlijkheid is dan P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Voorbeeld 2. Er wordt een dobbelsteen gegooid. Bereken de kans dat je minstens 5 punten gooit.

We redeneren op dezelfde manier als in het vorige voorbeeld. Het totale aantal even mogelijke uitkomsten bij het gooien van een dobbelsteen n=6
N
=
6
, en aan de voorwaarde “minstens 5 punten gegooid”, dat wil zeggen “ofwel 5 of 6 punten gegooid” wordt voldaan door 2 uitkomsten, m=2
M
=
2
. De vereiste waarschijnlijkheid is P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Ik zie niet eens het nut in om meer voorbeelden te geven, laten we verder gaan met twee dobbelstenen, waar alles interessanter en ingewikkelder wordt.

Twee dobbelstenen

Wanneer waar we het over hebben Voor problemen met het gooien van 2 dobbelstenen is het erg handig om een ​​scoretabel te gebruiken. Laten we horizontaal het aantal punten uitzetten dat op de eerste dobbelsteen viel, en verticaal het aantal punten dat op de tweede dobbelsteen viel. Laten we zoiets als dit nemen (ik doe het meestal in Excel, je kunt het bestand hieronder downloaden):

puntentabel voor het gooien van 2 dobbelstenen
Wat staat er in de tabelcellen, vraagt ​​u? En dit hangt af van welk probleem we zullen oplossen. Er zal een taak zijn over de som van de punten - we zullen de som daar opschrijven, over het verschil - we zullen het verschil opschrijven enzovoort. Laten we beginnen?

Voorbeeld 3. Er worden 2 dobbelstenen tegelijkertijd gegooid. Bereken de kans dat het totaal minder dan 5 punten bedraagt.

Laten we eerst eens kijken naar het totale aantal uitkomsten van het experiment. toen we één dobbelsteen gooiden, was alles duidelijk, 6 kanten - 6 uitkomsten. Er zijn hier al twee dobbelstenen, dus de uitkomsten kunnen worden weergegeven als geordende getallenparen in de vorm (x,y)
X
,
j
, waarbij x
X
- hoeveel punten er zijn gegooid met de eerste dobbelsteen (van 1 tot 6), y
j
- hoeveel punten er zijn gegooid met de tweede dobbelsteen (van 1 tot 6). Het is duidelijk dat er n=6⋅6=36 van dergelijke getallenparen zullen zijn
N
=
6
⋅
6
=
36
(en precies 36 cellen in de tabel met uitkomsten komen daarmee overeen).

Nu is het tijd om de tabel in te vullen. In elke cel voeren we de som in van het aantal gegooide punten met de eerste en tweede dobbelsteen en krijgen we het volgende beeld:

tabel met de som van de punten bij het gooien van 2 dobbelstenen
Nu zal deze tabel ons helpen het aantal uitkomsten te vinden die gunstig zijn voor het evenement: “er zal een totaal van minder dan 5 punten verschijnen.” Om dit te doen, tellen we het aantal cellen waarin de somwaarde kleiner is dan 5 (dat wil zeggen 2, 3 of 4). Laten we voor de duidelijkheid deze cellen kleuren, er zal m=6 zijn
M
=
6
:

tabel met totaal aantal punten minder dan 5 bij het gooien van 2 dobbelstenen
Dan is de kans: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Voorbeeld 4. Er worden twee dobbelstenen gegooid. Bereken de kans dat het product van het aantal punten deelbaar is door 3.

We maken een tabel met de producten van de punten die met de eerste en tweede dobbelsteen zijn gegooid. We benadrukken daarin onmiddellijk die getallen die een veelvoud van 3 zijn:

Tabel met het puntenproduct bij het gooien van 2 dobbelstenen
Het enige dat overblijft is op te schrijven dat het totale aantal uitkomsten n=36 is
N
=
36
(zie het vorige voorbeeld, de redenering is hetzelfde), en het aantal gunstige uitkomsten (het aantal gearceerde cellen in de bovenstaande tabel) m=20
M
=
20
. Dan is de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis gelijk aan P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Zoals u kunt zien, kan dit soort problemen, met de juiste voorbereiding (laten we nog een paar problemen bekijken), snel en eenvoudig worden opgelost. Laten we voor de afwisseling nog een taak doen met een andere tabel (alle tabellen kunnen onderaan de pagina worden gedownload).

Voorbeeld 5: Er wordt tweemaal met een dobbelsteen gegooid. Bereken de kans dat het verschil in het aantal punten op de eerste en tweede dobbelsteen tussen 2 en 5 ligt.

Laten we een tabel met puntverschillen opschrijven en de cellen daarin markeren waarin de verschilwaarde tussen 2 en 5 ligt:

tabel met het verschil in punten bij het gooien van 2 dobbelstenen
Het totale aantal even mogelijke elementaire uitkomsten is dus n=36
N
=
36
en het aantal gunstige uitkomsten (het aantal gearceerde cellen in de bovenstaande tabel) m=10
M
=
10
. Dan is de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis gelijk aan P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Dus in het geval dat we het hebben over het gooien van 2 dobbelstenen en een eenvoudige gebeurtenis, moet je een tafel bouwen, de benodigde cellen erin selecteren en hun aantal delen door 36, dit is de waarschijnlijkheid. Naast problemen met de som, het product en het verschil van het aantal punten, zijn er ook problemen met de modulus van het verschil, het kleinste en grootste aantal getrokken punten (geschikte tabellen vind je in het Excel-bestand).

Terug Vooruit

Aandacht! Diavoorbeelden zijn uitsluitend voor informatieve doeleinden en vertegenwoordigen mogelijk niet alle kenmerken van de presentatie. Als je geïnteresseerd bent dit werk, download dan de volledige versie.

Educatieve technologieën : Technologie van verklarend en geïllustreerd onderwijs, computertechnologie, persoonsgerichte benadering van leren, gezondheidsbesparende technologieën.

Lestype: les in het verwerven van nieuwe kennis.

Duur: 1 les.

Groep: groep 8.

Lesdoelstellingen:

Educatief:

• herhaal de vaardigheden van het gebruik van de formule om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te bepalen en leer hoe u deze kunt gebruiken bij problemen met dobbelstenen;
• demonstratief redeneren bij het oplossen van problemen, de logische juistheid van de redenering evalueren, logisch onjuiste redeneringen herkennen.

Educatief:

• vaardigheden ontwikkelen in het zoeken, verwerken en presenteren van informatie;
• het vermogen ontwikkelen om te vergelijken, analyseren en conclusies te trekken;
• observatie- en communicatievaardigheden ontwikkelen.

Educatief:

• cultiveer aandacht en doorzettingsvermogen;
• om inzicht te krijgen in de betekenis van wiskunde als een manier om de wereld om ons heen te begrijpen.

Lesmateriaal: computer, multimedia, stiften, mimio-kopieerapparaat (of interactief whiteboard), envelop (bevat een taak voor praktisch werk, huiswerk, drie kaarten: geel, groen, rood), dobbelsteenmodellen.

Lesplan

Organisatorisch moment.

In de vorige les hebben we geleerd over de klassieke waarschijnlijkheidsformule.

De waarschijnlijkheid P van het optreden van een willekeurige gebeurtenis A is de verhouding van m tot n, waarbij n het aantal van alle mogelijke uitkomsten van het experiment is, en m het aantal van alle gunstige uitkomsten..

De formule vertegenwoordigt de zogenaamde klassieke definitie van waarschijnlijkheid volgens Laplace, die uit het veld kwam gokken, waarbij de waarschijnlijkheidstheorie werd gebruikt om het vooruitzicht op winst te bepalen. Deze formule wordt gebruikt voor experimenten met een eindig aantal even mogelijke uitkomsten.

Waarschijnlijkheid van een gebeurtenis = Aantal gunstige uitkomsten / aantal van alle even mogelijke uitkomsten

Waarschijnlijkheid is dus een getal tussen 0 en 1.

De kans is 0 als de gebeurtenis onmogelijk is.

De kans is 1 als de gebeurtenis zeker is.

Laten we het probleem mondeling oplossen: er staan ​​20 boeken op een boekenplank, waarvan 3 naslagwerken. Hoe groot is de kans dat een boek dat uit een plank wordt gehaald, geen naslagwerk zal zijn?

Oplossing:

Het totale aantal even mogelijke uitkomsten is 20

Aantal gunstige uitkomsten – 20 – 3 = 17

Antwoord: 0,85.

2. Nieuwe kennis opdoen.

Laten we nu terugkeren naar het onderwerp van onze les: "Waarschijnlijkheden van gebeurtenissen", laten we het in onze notitieboekjes ondertekenen.

Doel van de les: problemen leren oplossen bij het vinden van de waarschijnlijkheid bij het gooien van een dobbelsteen of 2 dobbelstenen.

Ons onderwerp van vandaag heeft betrekking op de dobbelstenen of wordt ook wel dobbelstenen genoemd. Dobbelstenen zijn al sinds de oudheid bekend. Het dobbelspel is een van de oudste prototypes van dobbelstenen die in Egypte zijn gevonden en dateren uit de 20e eeuw voor Christus. e. Er zijn veel varianten, van eenvoudige (degene die de meeste punten gooit, wint) tot complexe, waarin je verschillende speltactieken kunt gebruiken.

De oudste botten dateren uit de 20e eeuw voor Christus. e., ontdekt in Thebe. Aanvankelijk dienden botten als gereedschap voor waarzeggerij. Volgens archeologische opgravingen werd overal ter wereld met dobbelstenen gespeeld. De naam komt van het originele materiaal: dierlijke botten.

De oude Grieken geloofden dat de Lydiërs botten uitvonden om aan de honger te ontsnappen, om op zijn minst hun geest ergens mee bezig te houden.

Het dobbelspel werd weerspiegeld in de oude Egyptische, Grieks-Romeinse en Vedische mythologie. Vermeld in de Bijbel, "Ilias", "Odyssee", "Mahabharata", de verzameling Vedische hymnen "Rigveda". In de pantheons van goden was ten minste één god de eigenaar van dobbelstenen als integraal attribuut http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Na de val van het Romeinse Rijk verspreidde het spel zich over heel Europa, en was vooral populair tijdens de Middeleeuwen. Omdat dobbelstenen niet alleen werden gebruikt om te spelen, maar ook om waarzeggerij te doen, probeerde de kerk herhaaldelijk het spel te verbieden; voor dit doel werden de meest geavanceerde straffen bedacht, maar alle pogingen liepen op een mislukking uit.

Volgens archeologische gegevens werd er ook in het heidense Rusland met dobbelstenen gespeeld. Na de doop probeerde de Orthodoxe Kerk het spel uit te roeien, maar onder het gewone volk bleef het populair, in tegenstelling tot in Europa, waar de hoogste adel en zelfs de geestelijkheid zich schuldig maakten aan het dobbelen.

Oorlog verklaard door de autoriteiten verschillende landen Het dobbelspel heeft aanleiding gegeven tot veel verschillende valsspeeltrucs.

In het tijdperk van de Verlichting begon de hobby van het dobbelen geleidelijk af te nemen, ontwikkelden mensen nieuwe hobby's en raakten ze meer geïnteresseerd in literatuur, muziek en schilderkunst. Tegenwoordig is het spelen van dobbelstenen niet zo wijdverbreid.

Correcte dobbelstenen bieden een gelijke kans om een ​​kant te landen. Om dit te doen, moeten alle randen hetzelfde zijn: glad, vlak, hetzelfde oppervlak hebben, afrondingen (indien aanwezig), gaten moeten op dezelfde diepte worden geboord. De som van de punten aan weerszijden is 7.

Een wiskundige dobbelsteen, die in de waarschijnlijkheidstheorie wordt gebruikt, is een wiskundig beeld van een gewone dobbelsteen. Wiskundig het bot heeft geen maat, geen kleur, geen gewicht, enz.

Bij het gooien spelen botten(kubus) elk van de zes vlakken kan eruit vallen, d.w.z. een van evenementen- verlies van 1 tot 6 punten (punten). Maar geen twee en er kunnen niet meer gezichten tegelijk verschijnen. Zo een evenementen worden onverenigbaar genoemd.

Beschouw het geval waarin 1 dobbelsteen wordt gegooid. Laten we nummer 2 doen in de vorm van een tabel.

Beschouw nu het geval waarin 2 dobbelstenen worden gegooid.

Als de eerste dobbelsteen één punt gooit, kan de tweede dobbelsteen 1, 2, 3, 4, 5, 6 gooien. We krijgen de paren (1;1), (1;2), (1;3), (1 ;4), (1;5), (1;6) enzovoort met elk vlak. Alle gevallen kunnen worden gepresenteerd in de vorm van een tabel van 6 rijen en 6 kolommen:

Elementaire gebeurtenissentabel

Er ligt een envelop op uw bureau.

Neem het blad met de taken uit de envelop.

Nu ga je een praktische taak voltooien met behulp van de tabel met elementaire gebeurtenissen.

Toon met arcering de gebeurtenissen die de voorkeur geven aan de gebeurtenissen:

Taak 1. “Hetzelfde aantal punten viel”;

Taak 2. “De som van de punten is 7”;

Taak 3. "De som van de punten is niet minder dan 7."

Wat betekent ‘niet minder’? (Het antwoord is “groter dan of gelijk aan”)

Laten we nu eens kijken naar de waarschijnlijkheid van de gebeurtenissen waarvoor praktisch werk Gunstige gebeurtenissen werden overschaduwd.

Laten we het opschrijven in notitieboekjes nr. 3

Taak 1.

Totaal aantal uitkomsten - 36

Antwoord: 1/6.

Taak 2.

Totaal aantal uitkomsten - 36

Aantal gunstige uitkomsten - 6

Antwoord: 1/6.

Taak 3.

Totaal aantal uitkomsten - 36

Aantal gunstige uitkomsten - 21

P=21/36=7/12.

Antwoord: 7/12.

№4. Sasha en Vlad dobbelen. Iedereen gooit tweemaal met de dobbelsteen. Degene met het hoogste aantal punten wint. Als de punten gelijk zijn, eindigt het spel in een gelijkspel. Sasha was de eerste die de dobbelstenen gooide en hij kreeg 5 punten en 3 punten. Nu gooit Vlad de dobbelstenen.

a) Geef in de tabel met elementaire gebeurtenissen (door arcering) de elementaire gebeurtenissen aan die de gebeurtenis ‘Vlad zal winnen’ bevoordelen.

b) Bereken de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis “Vlad zal winnen”.

3. Minuut lichamelijke opvoeding.

Als de gebeurtenis betrouwbaar is, klappen we allemaal samen,

Als de gebeurtenis onmogelijk is, stampen we allemaal samen,

Als de gebeurtenis willekeurig is, schudt u uw hoofd / naar links en naar rechts

“Er zitten 3 appels in de mand (2 rode, 1 groene).

Er zijn 3 rode uit de mand getrokken - (onmogelijk)

Er werd een rode appel uit de mand getrokken - (willekeurig)

Er werd een groene appel uit de mand getrokken - (willekeurig)

Er zijn 2 rode en 1 groene uit de mand getrokken - (betrouwbaar)

Laten we het volgende getal oplossen.

Er wordt tweemaal met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Welke gebeurtenis is waarschijnlijker:

A: “Beide keren was de score 5”;

Vraag: “De eerste keer kreeg ik 2 punten, de tweede keer kreeg ik 5 punten”;

S: “De ene keer waren het 2 punten, de andere keer waren het 5 punten”?

Laten we gebeurtenis A analyseren: het totale aantal uitkomsten is 36, het aantal gunstige uitkomsten is 1 (5;5)

Laten we gebeurtenis B analyseren: het totale aantal uitkomsten is 36, het aantal gunstige uitkomsten is 1 (2;5)

Laten we gebeurtenis C analyseren: het totale aantal uitkomsten is 36, het aantal gunstige uitkomsten is 2 (2;5 en 5;2)

Antwoord: gebeurtenis C.

4. Huiswerk opgeven.

1. Knip de ontwikkeling uit, lijm de kubussen. Neem het mee naar je volgende les.

2. Voer 25 worpen uit. Schrijf de resultaten in de tabel: (in de volgende les kun je het concept van frequentie introduceren)

3. Los het probleem op: er worden twee dobbelstenen gegooid. Bereken de waarschijnlijkheid:

a) “De som van de punten is 6”;

b) “Som van de punten niet minder dan 5”;

c) “De eerste dobbelsteen levert meer punten op dan de tweede.”

In alle taken B6 aan waarschijnlijkheidstheorie, die erin worden gepresenteerd Open takenbank voor, je moet vinden waarschijnlijkheid welke gebeurtenis dan ook.

Je hoeft er maar één te kennen formule, die wordt gebruikt om te berekenen waarschijnlijkheid:

In deze formule p - waarschijnlijkheid van een gebeurtenis,

k- het aantal gebeurtenissen dat ons ‘bevredigt’, in taal waarschijnlijkheidstheorie ze worden genoemd gunstige uitkomsten.

N- het aantal van alle mogelijke gebeurtenissen, of aantal van alle mogelijke uitkomsten.

Het is duidelijk dat het aantal van alle mogelijke gebeurtenissen groter is dan het aantal gunstige uitkomsten, dus waarschijnlijkheid is een waarde die kleiner is dan of gelijk is aan 1.

Als waarschijnlijkheid gebeurteniswaarde is 1, wat betekent dat deze gebeurtenis zeker zal plaatsvinden. Zo'n evenement heet betrouwbaar. Het feit dat er na zondag bijvoorbeeld maandag zal zijn, is helaas een betrouwbare gebeurtenis en de waarschijnlijkheid ervan is gelijk aan 1.

De grootste moeilijkheden bij het oplossen van problemen ontstaan ​​juist bij het vinden van de getallen k en n.

Natuurlijk, zoals bij het oplossen van eventuele problemen, bij het oplossen van problemen waarschijnlijkheidstheorie U moet de voorwaarde zorgvuldig lezen om goed te begrijpen wat er wordt gegeven en wat u moet vinden.

Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden van het oplossen van problemen uit van de Open Takenbank voor .

Voorbeeld 1. Bij een willekeurig experiment worden er twee dobbelstenen gegooid. Bereken de kans dat het totaal 8 punten bedraagt. Rond het resultaat af op honderdsten.

Laat de eerste dobbelsteen één punt gooien, dan kan de tweede dobbelsteen een 6 gooien verschillende opties. Omdat de eerste dobbelsteen dus 6 verschillende zijden heeft, is het totale aantal verschillende opties 6x6=36.

Maar wij zijn niet met alles tevreden. Volgens de voorwaarden van het probleem moet de som van de getrokken punten gelijk zijn aan 8. Laten we een tabel met gunstige resultaten maken:

We zien dat het aantal uitkomsten dat bij ons past 5 is.

De kans dat er in totaal 8 punten verschijnen is dus 5/36=0,13(8).

Opnieuw lezen we de vraag van het probleem: het resultaat moet worden afgerond op honderdsten.

Laten we het onthouden afrondingsregel.

We moeten afronden op het dichtstbijzijnde honderdtal. Als er op de volgende plaats na de honderdsten (dat wil zeggen op de duizendstenplaats) een getal staat dat groter is dan of gelijk is aan 5, dan tellen we 1 op bij het getal op de honderdstenplaats als dit getal kleiner is dan 5; dan laten we het getal op de honderdste plaats ongewijzigd.

In ons geval is het getal op de duizendste plaats 8, dus verhogen we het getal 3, dat op de honderdste plaats staat, met 1.

Dus p=5/36 ≈0,14

Antwoord: 0,14

Voorbeeld 2. 20 atleten nemen deel aan het gymnastiekkampioenschap: 8 uit Rusland, 7 uit de VS, de rest uit China. De volgorde waarin de gymnasten presteren wordt bepaald door het lot. Bereken de kans dat de atleet die als eerste deelneemt uit China komt.

In dit probleem is het aantal mogelijke uitkomsten 20 - dit is het aantal van alle atleten.

Laten we het aantal gunstige resultaten vinden. Het is gelijk aan het aantal vrouwelijke atleten uit China.

Dus,

Antwoord: 0,25

Voorbeeld 3: Gemiddeld lekken er van de 1000 verkochte tuinpompen 5. Bereken de waarschijnlijkheid dat een willekeurig voor controle geselecteerde pomp niet lekt.

In dit probleem is n=1000.

Wij zijn geïnteresseerd in pompen die niet lekken. Hun aantal is 1000-5=995. Die.

Taken voor waarschijnlijkheid dobbelstenen niet minder populair dan problemen met het opgooien van munten. De toestand van een dergelijk probleem klinkt meestal als volgt: wat is bij het gooien van een of meer dobbelstenen (2 of 3) de kans dat de som van de punten gelijk is aan 10, of dat het aantal punten 4 is, of dat de som van de punten gelijk is aan 10, of dat het aantal punten 4 is, of dat de product van het aantal punten, of het product van het aantal punten gedeeld door 2 enzovoort.

De toepassing van de klassieke waarschijnlijkheidsformule is de belangrijkste methode om dit soort problemen op te lossen.

Eén dobbelsteen, waarschijnlijkheid.

De situatie is vrij eenvoudig met één dobbelsteen.

wordt bepaald door de formule: P=m/n, waarbij m het aantal uitkomsten is die gunstig zijn voor de gebeurtenis, en n het aantal van alle elementaire, even mogelijke uitkomsten is van het experiment met het gooien van een bot of kubus.

Omdat de dobbelsteen een kubus is (of ook wel een gewone dobbelsteen wordt genoemd, zal de dobbelsteen met gelijke waarschijnlijkheid aan alle kanten landen, omdat hij in evenwicht is), heeft de dobbelsteen 6 zijden (het aantal punten van 1 tot 6, dat zijn meestal aangegeven met punten), betekent dit dat het probleem een ​​totaal aantal uitkomsten heeft: n=6. De gebeurtenis wordt alleen begunstigd door uitkomsten waarbij de zijde met de even punten 2,4 en 6 verschijnt en de volgende zijden heeft: m=3. Nu kunnen we de gewenste waarschijnlijkheid van de dobbelsteen bepalen: P=3/6=1/2=0,5.

Taak 2. Er wordt één keer met de dobbelstenen gegooid. Hoe groot is de kans dat u minimaal 5 punten behaalt?

Dit probleem wordt opgelost naar analogie van het hierboven gegeven voorbeeld. Bij het gooien van een dobbelsteen is het totale aantal even mogelijke uitkomsten: n=6, en slechts 2 uitkomsten voldoen aan de voorwaarde van het probleem (minstens 5 punten opgerold, dat wil zeggen 5 of 6 punten uitgerold), wat betekent m =2. Vervolgens vinden we de vereiste waarschijnlijkheid: P=2/6=1/3=0,333.

Twee dobbelstenen, waarschijnlijkheid.

Bij het oplossen van problemen met het gooien van 2 dobbelstenen is het erg handig om een ​​speciale scoretabel te gebruiken. Hierop wordt horizontaal het aantal punten dat op de eerste dobbelsteen viel weergegeven, en verticaal het aantal punten dat op de tweede dobbelsteen viel. Het werkstuk ziet er als volgt uit:

Maar de vraag rijst: wat zal er in de lege cellen van de tabel staan? Het hangt af van het probleem dat moet worden opgelost. Als het probleem om de som van de punten gaat, wordt de som daar opgeschreven, en als het om het verschil gaat, dan wordt het verschil opgeschreven, enzovoort.

Probleem 3. Er worden 2 dobbelstenen tegelijkertijd gegooid. Wat is de kans op minder dan 5 punten?

Eerst moet je uitzoeken wat het totale aantal uitkomsten van het experiment zal zijn. Alles was duidelijk bij het gooien van één dobbelsteen, zes zijden van de dobbelsteen - zes uitkomsten van het experiment. Maar als er al twee dobbelstenen zijn, kunnen de mogelijke uitkomsten worden weergegeven als geordende getallenparen in de vorm (x, y), waarbij x aangeeft hoeveel punten er met de eerste dobbelstenen zijn gegooid (van 1 tot 6), en y - hoeveel punten er zijn gegooid met de tweede dobbelsteen (van 1 tot 6). Er zullen in totaal zulke getalparen zijn: n=6*6=36 (in de uitkomstentabel komen ze exact overeen met 36 cellen).

Nu kunt u de tabel invullen; het aantal punten dat op de eerste en tweede dobbelsteen is gevallen, wordt in elke cel ingevoerd. De ingevulde tabel ziet er als volgt uit:

Met behulp van de tabel bepalen we het aantal uitkomsten dat gunstig is voor het evenement: “Er zullen in totaal minder dan 5 punten verschijnen.” Laten we het aantal cellen tellen, de waarde van de som waarin zal zijn minder aantal 5 (dit zijn 2, 3 en 4). Voor het gemak schilderen we over dergelijke cellen heen; er zullen er m = 6 zijn:

Gezien de tabelgegevens, waarschijnlijkheid van dobbelstenen is gelijk aan: P=6/36=1/6.

Probleem 4. Er werden twee dobbelstenen gegooid. Bepaal de kans dat het product van het aantal punten deelbaar is door 3.

Om het probleem op te lossen, gaan we een tabel maken met de producten van de punten die op de eerste en tweede dobbelsteen vielen. Daarin markeren we onmiddellijk de getallen die een veelvoud van 3 zijn:

We noteren het totale aantal uitkomsten van het experiment n=36 (de redenering is dezelfde als in het vorige probleem) en het aantal gunstige uitkomsten (het aantal cellen dat in de tabel gearceerd is) m=20. De waarschijnlijkheid van de gebeurtenis is: P=20/36=5/9.

Probleem 5. De dobbelstenen worden twee keer gegooid. Wat is de kans dat het verschil in het aantal punten op de eerste en tweede dobbelsteen 2 tot 5 bedraagt?

Om te bepalen waarschijnlijkheid van dobbelstenen Laten we een tabel met puntverschillen opschrijven en daarin die cellen selecteren waarvan de verschilwaarde tussen 2 en 5 ligt:

Het aantal gunstige uitkomsten (het aantal gearceerde cellen in de tabel) is m=10, het totale aantal even mogelijke elementaire uitkomsten is n=36. Bepaalt de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis: P=10/36=5/18.

In het geval van een eenvoudige gebeurtenis en bij het gooien van 2 dobbelstenen, moet je een tafel bouwen, vervolgens de benodigde cellen erin selecteren en hun aantal delen door 36, dit wordt als een waarschijnlijkheid beschouwd.

Problemen 1.4 - 1.6

Probleemtoestand 1.4

Geef de fout aan in de “oplossing” van het probleem: er worden twee dobbelstenen gegooid; Bereken de kans dat de som van de getrokken punten 3 is (gebeurtenis A). "Oplossing". Er zijn twee mogelijke uitkomsten van de test: de som van de getrokken punten is 3, de som van de getrokken punten is niet gelijk aan 3. Gebeurtenis A heeft de voorkeur voor één uitkomst, het totaal aantal uitkomsten is twee. Daarom is de gewenste waarschijnlijkheid gelijk aan P(A) = 1/2.

Oplossing voor probleem 1.4

De fout in deze “oplossing” is dat de uitkomsten in kwestie niet in gelijke mate mogelijk zijn. Juiste oplossing: het totale aantal even mogelijke uitkomsten is gelijk (elk aantal punten dat met één dobbelsteen wordt gegooid, kan worden gecombineerd met alle aantallen punten die met een andere dobbelsteen worden gegooid). Van deze uitkomsten zijn er slechts twee in het voordeel van de gebeurtenis: (1; 2) en (2; 1). Dit betekent dat de vereiste waarschijnlijkheid

Antwoord:

Probleemtoestand 1.5

Er wordt met twee dobbelstenen gegooid. Bereken de waarschijnlijkheid van de volgende gebeurtenissen: a) de som van de getrokken punten is zeven; b) de som van de getrokken punten is acht en het verschil is vier; c) de som van de getrokken punten is acht, als bekend is dat het verschil vier is; d) de som van de gegooide punten is vijf en het product is vier.

Oplossing voor probleem 1.5

a) Zes opties op de eerste dobbelsteen, zes op de tweede. Totaal opties: (volgens de productregel). Opties voor een bedrag gelijk aan 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - zes opties in totaal. Middelen,

b) Er zijn slechts twee geschikte opties: (6,2) en (2,6). Middelen,

c) Er zijn slechts twee geschikte opties: (2,6), (6,2). Maar in totaal mogelijke opties 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Middelen, .

d) Voor een som gelijk aan 5 zijn de volgende opties geschikt: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Het product is 4 voor slechts twee opties. Dan

Antwoord: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probleemtoestand 1.6

Een kubus, waarvan alle randen gekleurd zijn, wordt in duizend kubussen van dezelfde grootte gezaagd, die vervolgens grondig worden gemengd. Bereken de kans dat de door geluk getrokken kubus de volgende gekleurde vlakken heeft: a) één; b) twee; c) drie.

Oplossing voor probleem 1.6

Er werden in totaal 1000 kubussen gevormd. Kubussen met drie gekleurde vlakken: 8 (dit zijn hoekkubussen). Met twee gekleurde vlakken: 96 (aangezien er 12 randen van een kubus zijn met 8 kubussen aan elke rand). Dobbelstenen met gekleurde randen: 384 (aangezien er 6 vlakken zijn en er 64 kubussen op elke zijde liggen). Het enige dat overblijft is om elke gevonden hoeveelheid door 1000 te delen.

Antwoord: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008