Hypothese: wij geloven dat de perfectie van de vorm van de piramide te danken is aan de wiskundige wetten die inherent zijn aan zijn vorm.

Doel: nadat ik de piramide had bestudeerd als geometrisch lichaam, om de perfectie van zijn vorm te verklaren.

Taken:

1. Geef een wiskundige definitie van een piramide.

2. Bestudeer de piramide als een geometrisch lichaam.

3. Begrijp welke wiskundige kennis de Egyptenaren in hun piramides verwerkten.

Privé vragen:

1. Wat is een piramide als geometrisch lichaam?

2. Hoe kan de unieke vorm van de piramide wiskundig verklaard worden?

3. Wat verklaart de geometrische wonderen van de piramide?

4. Wat verklaart de perfectie van de piramidevorm?

Definitie van een piramide.

PIRAMIDE (van het Griekse pyramis, gen. piramideos) - een veelvlak waarvan de basis een veelhoek is, en de overige vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt (tekening). Op basis van het aantal hoeken van de basis worden piramides geclassificeerd als driehoekig, vierhoekig, enz.

PIRAMIDE - een monumentaal pand met geometrische vorm piramides (soms ook getrapt of torenvormig). Piramides zijn de naam die wordt gegeven aan de gigantische graven van de oude Egyptische farao's uit het 3e en 2e millennium voor Christus. e., evenals oude Amerikaanse tempelsokkels (in Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), geassocieerd met kosmologische sekten.

Het is mogelijk dat Grieks woord‘Piramide’ komt van de Egyptische uitdrukking per-em-us, dat wil zeggen van een term die de hoogte van de piramide betekent. De vooraanstaande Russische egyptoloog V. Struve geloofde dat het Griekse “puram...j” afkomstig is van het oude Egyptische “p"-mr”.

Uit de geschiedenis. Na het materiaal in het leerboek "Geometry" van de auteurs van Atanasyan te hebben bestudeerd. Butuzov en anderen hebben we geleerd dat: een veelvlak bestaande uit een n-hoek A1A2A3 ... An en n driehoeken PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 een piramide wordt genoemd. De veelhoek A1A2A3...An is de basis van de piramide, en de driehoeken PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 zijn de zijvlakken van de piramide, P is de top van de piramide, de segmenten PA1, PA2,.. ., PAn zijn de zijranden.

Deze definitie van een piramide bestond echter niet altijd. De oude Griekse wiskundige, de auteur van theoretische verhandelingen over wiskunde die tot ons zijn gekomen, Euclides, definieert bijvoorbeeld een piramide als een solide figuur begrensd door vlakken die van één vlak naar één punt convergeren.

Maar deze definitie werd al in de oudheid bekritiseerd. Daarom stelde Heron de volgende definitie van een piramide voor: “Het is een figuur begrensd door driehoeken die op één punt samenkomen en waarvan de basis een veelhoek is.”

Onze groep kwam, na deze definities te hebben vergeleken, tot de conclusie dat ze geen duidelijke formulering hebben van het concept ‘fundament’.

We onderzochten deze definities en vonden de definitie van Adrien Marie Legendre, die in 1794 in zijn werk “Elements of Geometry” een piramide als volgt definieert: “Een piramide is een solide figuur gevormd door driehoeken die op één punt samenkomen en eindigen aan verschillende zijden van de piramide. een vlakke basis.”

Het lijkt ons dat de laatste definitie een duidelijk beeld geeft van de piramide, aangezien deze waar we het over hebben dat de basis vlak is. Een andere definitie van een piramide verscheen in een 19e-eeuws leerboek: “een piramide is een ruimtehoek doorsneden door een vlak.”

Piramide als geometrisch lichaam.

Dat. Een piramide is een veelvlak, waarvan één vlakken (basis) een veelhoek is, de overige vlakken (zijkanten) zijn driehoeken die één gemeenschappelijk hoekpunt hebben (de top van de piramide).

De loodlijn getrokken vanaf de top van de piramide naar het vlak van de basis wordt genoemd hoogteH piramides.

Naast de willekeurige piramide zijn er juiste piramide aan de basis waarvan regelmatige veelhoek En afgeknotte piramide.

In de figuur is er een piramide PABCD, ABCD is de basis, PO is de hoogte.

Totale oppervlakte piramide is de som van de oppervlakten van al zijn vlakken.

Sfull = Zijkant + Smain, Waar Kant– de som van de oppervlakten van de zijvlakken.

Volume van de piramide wordt gevonden door de formule:

V=1/3Sbas. H, waar Sbas. - basisoppervlak, H- hoogte.

Het gebied van het zijvlak van een regelmatige piramide wordt als volgt uitgedrukt: Zijkant. =1/2P H, waarbij P de omtrek van de basis is, H- hoogte van het zijvlak (apothema van een regelmatige piramide). Als de piramide wordt doorsneden door vlak A’B’C’D’, evenwijdig aan de basis, dan:

1) de zijribben en hoogte worden door dit vlak in proportionele delen verdeeld;

2) in doorsnede wordt een veelhoek A’B’C’D’ verkregen, vergelijkbaar met de basis;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" breedte = "287" hoogte = "151">

Basissen van een afgeknotte piramide– soortgelijke polygonen ABCD en A`B`C`D`, zijvlakken zijn trapeziums.

Hoogte afgeknotte piramide - de afstand tussen de bases.

Afgeknot volume piramide wordt gevonden met de formule:

V=1/3 H(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Het laterale oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide wordt als volgt uitgedrukt: Szijde = ½(P+P') H, waarbij P en P’ de omtrekken van de bases zijn, H- hoogte van het zijvlak (apothema van een regelmatige afgeknotte pirami

Secties van een piramide.

Secties van een piramide door vlakken die door de top gaan, zijn driehoeken.

Een sectie die door twee niet-aangrenzende zijranden van een piramide loopt, wordt genoemd diagonale doorsnede.

Als de sectie door een punt op de zijkant en de zijkant van de basis gaat, zal het spoor naar het vlak van de basis van de piramide deze kant zijn.

Een doorsnede die door een punt gaat dat op de voorkant van de piramide ligt en een bepaalde doorsnede op het basisvlak volgt, dan moet de constructie als volgt worden uitgevoerd:

· het snijpunt van het vlak van een bepaald vlak en het spoor van de doorsnede van de piramide vinden en dit aanduiden;

· construeer een rechte lijn die door een bepaald punt gaat en het resulterende snijpunt;

· herhaal deze stappen voor de volgende gezichten.

, wat overeenkomt met de verhouding van de benen rechthoekige driehoek 4:3. Deze verhouding van de benen komt overeen met de bekende rechthoekige driehoek met zijden 3:4:5, die de “perfecte”, “heilige” of “Egyptische” driehoek wordt genoemd. Volgens historici kreeg de ‘Egyptische’ driehoek een magische betekenis. Plutarchus schreef dat de Egyptenaren de aard van het universum vergeleken met een ‘heilige’ driehoek; ze vergeleken symbolisch het verticale been met de man, de basis met de vrouw, en de hypotenusa met dat wat uit beide geboren is.

Voor een driehoek 3:4:5 geldt de gelijkheid: 32 + 42 = 52, wat de stelling van Pythagoras weergeeft. Was het niet deze stelling die de Egyptische priesters wilden bestendigen toen ze een piramide bouwden gebaseerd op de driehoek 3:4:5? Het is moeilijk om een ​​succesvoller voorbeeld te vinden om de stelling van Pythagoras te illustreren, die al lang vóór de ontdekking ervan door Pythagoras bij de Egyptenaren bekend was.

Aldus de briljante makers Egyptische piramides probeerden verre nakomelingen te verbazen met de diepgang van hun kennis, en bereikten dit door de ‘gouden’ rechthoekige driehoek te kiezen als het ‘belangrijkste geometrische idee’ voor de Cheops-piramide, en de ‘heilige’ of ‘Egyptische’ driehoek voor de Chefren-piramide .

Heel vaak gebruiken wetenschappers in hun onderzoek de eigenschappen van piramides met Gulden Snede-verhoudingen.

In de wiskunde encyclopedisch woordenboek De volgende definitie van de Gulden Snede wordt gegeven - dit is een harmonische verdeling, een verdeling in uiterste en gemiddelde verhouding - waarbij het segment AB op zo'n manier in twee delen wordt verdeeld dat het grootste deel AC de gemiddelde evenredigheid is tussen het gehele segment AB en zijn segment AB. kleiner deel NO.

Algebraïsche bepaling van de Gulden snede van een segment AB = een reduceert tot het oplossen van de vergelijking a: x = x: (a – x), waarvan x ongeveer gelijk is aan 0,62a. De verhouding x kan worden uitgedrukt als breuken 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, waarbij 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-getallen zijn.

De geometrische constructie van de Gulden Snede van segment AB wordt als volgt uitgevoerd: op punt B wordt een loodlijn op AB hersteld, het segment BE = 1/2 AB wordt erop gelegd, A en E zijn verbonden, DE = BE wordt ontslagen en tenslotte AC = AD, dan is voldaan aan de gelijkheid AB: CB = 2:3.

Gulden snede vaak gebruikt in kunstwerken, architectuur en in de natuur. Levendige voorbeelden zijn het beeldhouwwerk van Apollo Belvedere en het Parthenon. Tijdens de bouw van het Parthenon werd de verhouding tussen de hoogte van het gebouw en de lengte gebruikt en deze verhouding bedraagt ​​0,618. Objecten om ons heen bieden ook voorbeelden van de Gulden Snede; de ​​banden van veel boeken hebben bijvoorbeeld een breedte-lengteverhouding van bijna 0,618. Gezien de opstelling van de bladeren op de gemeenschappelijke stengel van planten, kun je zien dat tussen elke twee paar bladeren het derde zich op de gulden snede (dia's) bevindt. Ieder van ons “draagt” de Gulden Snede met ons “in onze handen” - dit is de verhouding van de vingerkootjes van de vingers.

Dankzij de ontdekking van verschillende wiskundige papyri hebben egyptologen iets geleerd over de oude Egyptische berekenings- en meetsystemen. De taken die ze bevatten, werden opgelost door schriftgeleerden. Een van de bekendste is de Rhind Wiskundige Papyrus. Door deze problemen te bestuderen leerden egyptologen hoe de oude Egyptenaren omgingen met de verschillende grootheden die ontstonden bij het berekenen van maten van gewicht, lengte en volume, waarbij vaak breuken betrokken waren, en hoe ze met hoeken omgingen.

De oude Egyptenaren gebruikten een methode om hoeken te berekenen op basis van de verhouding tussen de hoogte en de basis van een rechthoekige driehoek. Ze drukten elke hoek uit in de taal van een gradiënt. De hellingsgradiënt werd uitgedrukt als een geheel getalsverhouding genaamd "seced". In Mathematics in the Age of the Pharaohs legt Richard Pillins uit: ‘De seked van een regelmatige piramide is de helling van elk van de vier driehoekige vlakken ten opzichte van het vlak van de basis, gemeten als het n-de aantal horizontale eenheden per verticale stijgingseenheid. . Deze meeteenheid is dus gelijkwaardig aan onze moderne cotangens van de hellingshoek. Daarom is het Egyptische woord "afgescheiden" gerelateerd aan onze modern woord"gradiënt"".

De numerieke sleutel tot de piramides ligt in de verhouding tussen hun hoogte en de basis. IN in praktische termen- Dit is de gemakkelijkste manier om de sjablonen te maken die nodig zijn om tijdens de constructie van de piramide voortdurend de juiste hellingshoek te controleren.

Egyptologen willen ons er graag van overtuigen dat elke farao ernaar verlangde zijn individualiteit tot uitdrukking te brengen, vandaar de verschillen in de hellingshoeken voor elke piramide. Maar er kan nog een andere reden zijn. Misschien wilden ze allemaal verschillende symbolische associaties belichamen, verborgen in verschillende proporties. De hoek van de piramide van Chefren (gebaseerd op de driehoek (3:4:5) komt echter voor in de drie problemen die door de piramides in de Wiskundige Papyrus van Rhind worden gepresenteerd). Deze houding was dus goed bekend bij de oude Egyptenaren.

Om eerlijk te zijn tegenover egyptologen die beweren dat de oude Egyptenaren zich niet bewust waren van de 3:4:5-driehoek, werd de lengte van de hypotenusa 5 nooit genoemd. Maar wiskundige problemen met piramides worden altijd opgelost op basis van de seceda-hoek: de verhouding tussen hoogte en basis. Omdat de lengte van de hypotenusa nooit werd vermeld, werd geconcludeerd dat de Egyptenaren nooit de lengte van de derde zijde hadden berekend.

De hoogte-basisverhoudingen die in de piramides van Gizeh werden gebruikt, waren ongetwijfeld bekend bij de oude Egyptenaren. Het is mogelijk dat deze relaties voor elke piramide willekeurig zijn gekozen. Dit is echter in tegenspraak met het belang dat in alle soorten Egyptisch aan getalsymboliek wordt gehecht beeldende kunst. Het is zeer waarschijnlijk dat dergelijke relaties significant waren omdat ze specifiek uitdrukten religieuze ideeën. Met andere woorden, het hele Gizeh-complex was ondergeschikt aan een samenhangend ontwerp dat was ontworpen om een ​​bepaald goddelijk thema te weerspiegelen. Dit zou verklaren waarom de ontwerpers verschillende hoeken kozen voor de drie piramides.

In The Orion Mystery presenteerden Bauval en Gilbert overtuigend bewijs dat de piramides van Gizeh verband hielden met het sterrenbeeld Orion, met name de sterren van Orion's Gordel weergave van een van de drie belangrijkste goden: Osiris, Isis en Horus.

"GEOMETRISCHE" WONDEREN.

Onder de grandioze piramides van Egypte neemt het een speciale plaats in Grote Piramide van farao Cheops (Khufu). Voordat we de vorm en omvang van de Cheops-piramide gaan analyseren, moeten we onthouden welk meetsysteem de Egyptenaren gebruikten. De Egyptenaren hadden drie lengte-eenheden: een "el" (466 mm), wat gelijk was aan zeven "palmen" (66,5 mm), wat op zijn beurt gelijk was aan vier "vingers" (16,6 mm).

Laten we de afmetingen van de Cheops-piramide analyseren (Fig. 2), aan de hand van de argumenten uit het prachtige boek van de Oekraïense wetenschapper Nikolai Vasyutinsky “The Golden Proportion” (1990).

De meeste onderzoekers zijn het erover eens dat de lengte van de zijkant van de basis van de piramide bijvoorbeeld GF gelijk aan L= 233,16 m. Deze waarde komt vrijwel exact overeen met 500 “ellebogen”. Volledige naleving van 500 "ellebogen" zal plaatsvinden als de lengte van de "elleboog" gelijk wordt geacht aan 0,4663 m.

Hoogte van de piramide ( H) wordt door onderzoekers op verschillende manieren geschat van 146,6 tot 148,2 m. En afhankelijk van de geaccepteerde hoogte van de piramide veranderen alle relaties van de geometrische elementen. Wat is de reden voor de verschillen in schattingen van de hoogte van de piramide? Feit is dat de Cheops-piramide strikt genomen is afgekapt. Het bovenste platform meet tegenwoordig ongeveer 10,10 meter, maar een eeuw geleden was het 6,6 meter. Het is duidelijk dat de top van de piramide is gedemonteerd en niet overeenkomt met de oorspronkelijke.

Bij het beoordelen van de hoogte van de piramide moet rekening worden gehouden met een fysieke factor als de "diepgang" van de constructie. Voor lange tijd onder invloed van kolossale druk (tot 500 ton per 1 m2 van het onderoppervlak) nam de hoogte van de piramide af vergeleken met de oorspronkelijke hoogte.

Wat was de oorspronkelijke hoogte van de piramide? Deze hoogte kan worden nagebootst door het ‘geometrische basisidee’ van de piramide te vinden.

Figuur 2.

In 1837 mat de Engelse kolonel G. Wise de hellingshoek van de vlakken van de piramide: deze bleek gelijk te zijn A= 51°51". Deze waarde wordt vandaag de dag nog steeds door de meeste onderzoekers erkend. De opgegeven hoekwaarde komt overeen met de raaklijn (tg A), gelijk aan 1,27306. Deze waarde komt overeen met de verhouding van de hoogte van de piramide AC tot de helft van zijn basis C.B.(Afb. 2), dat wil zeggen A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

En hier stonden de onderzoekers voor een grote verrassing!.png" width="25" height="24">= 1,272. Deze waarde vergelijken met de tg-waarde A= 1,27306, we zien dat deze waarden heel dicht bij elkaar liggen. Als we de hoek nemen A= 51°50", dat wil zeggen, verlaag deze met slechts één boogminuut en vervolgens de waarde A wordt gelijk aan 1,272, dat wil zeggen dat het samenvalt met de waarde. Opgemerkt moet worden dat G. Wise in 1840 zijn metingen herhaalde en verduidelijkte dat de waarde van de hoek A=51°50".

Deze metingen brachten de onderzoekers tot de volgende zeer interessante hypothese: de driehoek ACB van de Cheops-piramide was gebaseerd op de relatie AC / C.B. = = 1,272!

Beschouw nu de rechthoekige driehoek abc, waarin de verhouding van de benen A.C. / C.B.= (Afb. 2). Als nu de lengtes van de zijden van de rechthoek abc aanwijzen door X, j, z, en houd er ook rekening mee dat de verhouding j/X= , dan in overeenstemming met de stelling van Pythagoras, de lengte z kan worden berekend met de formule:

Als we accepteren X = 1, j= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" breedte = "143" hoogte = "27">

Figuur 3."Gouden" rechthoekige driehoek.

Een rechthoekige driehoek waarvan de zijden met elkaar in verband staan T:gouden" rechthoekige driehoek.

Als we vervolgens als basis de hypothese nemen dat het belangrijkste ‘geometrische idee’ van de Cheops-piramide een ‘gouden’ rechthoekige driehoek is, dan kunnen we vanaf hier eenvoudig de ‘ontwerp’-hoogte van de Cheops-piramide berekenen. Het is gelijk aan:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Laten we nu enkele andere relaties voor de Cheops-piramide afleiden, die volgen uit de ‘gouden’ hypothese. In het bijzonder zullen we de verhouding vinden tussen het buitengebied van de piramide en het gebied van de basis. Om dit te doen, nemen we de lengte van het been C.B. per eenheid, dat wil zeggen: C.B.= 1. Maar dan de lengte van de zijkant van de basis van de piramide GF= 2, en het gebied van de basis EFGH zal gelijk zijn SEFGH = 4.

Laten we nu de oppervlakte van het zijvlak van de Cheops-piramide berekenen SD. Vanwege de hoogte AB driehoek AEF gelijk aan T, dan is het oppervlak van het zijvlak gelijk aan SD = T. Dan is de totale oppervlakte van alle vier de zijvlakken van de piramide gelijk aan 4 T, en de verhouding van het totale buitenoppervlak van de piramide tot het oppervlak van de basis zal gelijk zijn aan de gulden snede! Dit is het - het belangrijkste geometrische mysterie van de Cheops-piramide!

De groep ‘geometrische wonderen’ van de Cheops-piramide omvat echte en vergezochte eigenschappen van de relaties tussen verschillende afmetingen in de piramide.

In de regel worden ze verkregen op zoek naar bepaalde “constanten”, in het bijzonder het getal “pi” (het getal van Ludolfo), gelijk aan 3,14159...; gronden natuurlijke logaritmes"e" (nummer van Neper), gelijk aan 2,71828...; het getal "F", het getal van de "gulden snede", gelijk aan bijvoorbeeld 0,618... enz.

Je kunt bijvoorbeeld het volgende benoemen: 1) Eigendom van Herodotus: (Hoogte)2 = 0,5 art. eenvoudig x Apothema; 2) Eigendom van V. Prijs: Hoogte: 0,5 art. basis = Vierkantswortel van "F"; 3) Eigenschap van M. Eist: Omtrek van de basis: 2 Hoogte = "Pi"; in een andere interpretatie - 2 el. eenvoudig : Hoogte = "Pi"; 4) Eigenschap van G. Rand: Straal van de ingeschreven cirkel: 0,5 art. eenvoudig = "F"; 5) Eigendom van K. Kleppisch: (Art. hoofd.)2: 2(Art. hoofd. x Apothema) = (Art. hoofd. W. Apothema) = 2(Art. hoofd. x Apothema) : ((2 kunst . hoofd X Apothema) + (v. hoofd)2). En zo verder. Je kunt veel van dergelijke eigenschappen bedenken, vooral als je twee aangrenzende piramides met elkaar verbindt. Als “Eigenschappen van A. Arefyev” kan bijvoorbeeld worden vermeld dat het verschil in de volumes van de piramide van Cheops en de piramide van Chefren gelijk is aan tweemaal het volume van de piramide van Mikerin...

Veel interessante bepalingen In het bijzonder wordt de constructie van piramides volgens de ‘gulden snede’ beschreven in de boeken van D. Hambidge ‘Dynamic symmetry in architecture’ en M. Gick ‘Aesthetics of proportion in nature and art.’ Laten we ons herinneren dat de ‘gulden snede’ de verdeling van een segment in een zodanige verhouding is dat deel A evenveel keer groter is dan deel B, hoeveel keer A kleiner is dan het gehele segment A + B. De verhouding A/B is gelijk aan het getal “F” == 1.618 .. Het gebruik van de “gulden snede” wordt niet alleen aangegeven in individuele piramides, maar ook in het hele complex van piramides in Gizeh.

Het meest merkwaardige is echter dat één en dezelfde Cheops-piramide simpelweg “niet” zoveel prachtige eigenschappen kan bevatten. Door een bepaalde eigenschap één voor één te nemen, kan deze worden "gemonteerd", maar ze passen niet allemaal tegelijk - ze vallen niet samen, ze spreken elkaar tegen. Als we bijvoorbeeld bij het controleren van alle eigenschappen in eerste instantie dezelfde kant van de basis van de piramide nemen (233 m), dan zullen de hoogten van piramides met verschillende eigenschappen ook anders zijn. Met andere woorden, er is een bepaalde ‘familie’ van piramides die uiterlijk vergelijkbaar zijn met Cheops, maar verschillende eigenschappen hebben. Merk op dat er niets bijzonder wonderbaarlijks is aan de ‘geometrische’ eigenschappen; veel komt puur automatisch voort uit de eigenschappen van de figuur zelf. Een ‘wonder’ mag alleen worden beschouwd als iets dat duidelijk onmogelijk was voor de oude Egyptenaren. Dit omvat in het bijzonder ‘kosmische’ wonderen, waarbij de afmetingen van de Cheops-piramide of het piramidecomplex in Gizeh worden vergeleken met enkele astronomische metingen en ‘even’ getallen worden aangegeven: een miljoen keer minder, een miljard keer minder, en spoedig. Laten we eens kijken naar enkele ‘kosmische’ relaties.

Eén van de uitspraken is: “als je de zijde van de basis van de piramide deelt door de exacte lengte van het jaar, krijg je precies 10 miljoenste van de aardas.” Bereken: deel 233 door 365, we krijgen 0,638. De straal van de aarde bedraagt ​​6378 km.

Een andere verklaring is eigenlijk het tegenovergestelde van de vorige. F. Noetling wees erop dat als we de “Egyptische el” gebruiken die hij zelf heeft uitgevonden, de zijkant van de piramide zal overeenkomen met “de meest nauwkeurige duur van het zonnejaar, uitgedrukt tot op de dichtstbijzijnde miljardste van een dag” - 365.540.903.777 .

Verklaring van P. Smith: "De hoogte van de piramide is precies een miljardste van de afstand van de aarde tot de zon." Hoewel de gewoonlijk gemeten hoogte 146,6 m bedraagt, schatte Smith deze op 148,2 m. Volgens moderne radarmetingen bedraagt ​​de semi-hoofdas van de baan van de aarde 149.597.870 + 1,6 km. Dit is de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, maar in het perihelium is deze 5.000.000 kilometer minder dan in het aphelium.

Nog een laatste interessante uitspraak:

“Hoe kunnen we verklaren dat de massa’s van de piramides van Cheops, Khafre en Mykerinus zich tot elkaar verhouden, zoals de massa’s van de planeten Aarde, Venus, Mars?” Laten we berekenen. De massa's van de drie piramides zijn: Chefren - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. De verhoudingen van de massa's van de drie planeten: Venus - 0,815; Aarde - 1.000; Mars - 0,108.

Dus ondanks het scepticisme merken we de bekende harmonie op van de constructie van uitspraken: 1) de hoogte van de piramide, als een lijn die 'de ruimte in gaat', komt overeen met de afstand van de aarde tot de zon; 2) de zijde van de basis van de piramide, die het dichtst bij ‘het substraat’ ligt, dat wil zeggen bij de aarde, is verantwoordelijk voor de straal van de aarde en de circulatie van de aarde; 3) de volumes van de piramide (lees - massa's) komen overeen met de verhouding van de massa's van de planeten die het dichtst bij de aarde staan. Een soortgelijk ‘cijfer’ kan bijvoorbeeld worden teruggevonden in de bijentaal die door Karl von Frisch is geanalyseerd. Wij onthouden ons echter voorlopig van commentaar op deze kwestie.

PIRAMIDEVORM

De beroemde tetraëdrische vorm van de piramides ontstond niet onmiddellijk. De Scythen maakten begrafenissen in de vorm van aarden heuvels - heuvels. De Egyptenaren bouwden "heuvels" van stenen piramides. Dit gebeurde voor het eerst na de eenwording van Boven- en Beneden-Egypte, in de 28e eeuw voor Christus, toen de stichter van de Derde Dynastie, farao Djoser (Zoser), werd geconfronteerd met de taak om de eenheid van het land te versterken.

En hier, volgens historici, belangrijke rol Het ‘nieuwe concept van vergoddelijking’ van de koning speelde een rol bij het versterken van de centrale macht. Hoewel de koninklijke begrafenissen zich door grotere pracht onderscheidden, verschilden ze in principe niet van de graven van edelen aan het hof, het waren dezelfde structuren: mastaba's. Boven de kamer met de sarcofaag met de mummie werd een rechthoekige heuvel van kleine stenen gestort, waar vervolgens een klein gebouw van grote stenen blokken werd opgetrokken - een "mastaba" (in het Arabisch - "bank"). Farao Djoser richtte de eerste piramide op op de plaats van de mastaba van zijn voorganger Sanakht. Het was getrapt en was een zichtbare overgangsfase van één architectonische vorm naar de andere, van de mastaba - naar de piramide.

Op deze manier ‘hief’ de wijze en architect Imhotep, die later werd beschouwd als een tovenaar en door de Grieken geïdentificeerd met de god Asclepius, de farao ‘op. Het was alsof er zes mastaba’s achter elkaar werden neergezet. Bovendien besloeg de eerste piramide een oppervlakte van 1125 x 115 meter, met een geschatte hoogte van 66 meter (volgens Egyptische normen - 1000 "palmen"). Aanvankelijk was de architect van plan een mastaba te bouwen, maar niet langwerpig, maar vierkant van opzet. Later werd deze uitgebouwd, maar doordat de uitbouw lager werd gemaakt, leek het alsof er twee treden waren.

Deze situatie bevredigde de architect niet, en op het bovenste platform van de enorme platte mastaba plaatste Imhotep er nog drie, die geleidelijk naar boven afliepen. Het graf bevond zich onder de piramide.

Er zijn nog meer trappiramides bekend, maar later zijn de bouwers overgegaan tot het bouwen van tetraëdrische piramides die ons meer bekend zijn. Waarom echter niet driehoekig of bijvoorbeeld achthoekig? Een indirect antwoord wordt gegeven door het feit dat bijna alle piramides perfect langs de vier hoofdrichtingen zijn georiënteerd en daarom vier zijden hebben. Bovendien was de piramide een ‘huis’, het omhulsel van een vierhoekige grafkamer.

Maar wat bepaalde de hellingshoek van de gezichten? In het boek ‘The Principle of Proportions’ is hier een heel hoofdstuk aan gewijd: ‘Wat had de hellingshoeken van de piramides kunnen bepalen?’ In het bijzonder wordt aangegeven dat “het beeld waarnaar de grote piramides worden aangetrokken Oud koninkrijk- een driehoek met een rechte hoek in het hoekpunt.

In de ruimte is het een semi-octaëder: een piramide waarin de randen en zijden van de basis gelijk zijn, de randen zijn gelijkzijdige driehoeken." Bepaalde overwegingen worden over dit onderwerp gegeven in de boeken van Hambidge, Gick en anderen.

Wat is het voordeel van de semi-octaëderhoek? Volgens beschrijvingen van archeologen en historici stortten sommige piramides onder hun eigen gewicht in. Wat nodig was, was een ‘duurzaamheidshoek’, een hoek die energetisch het meest betrouwbaar was. Puur empirisch kan deze hoek worden afgeleid van de tophoek in een hoop afbrokkelend droog zand. Maar om nauwkeurige gegevens te krijgen, moet u een model gebruiken. Als je vier stevig bevestigde ballen neemt, moet je er een vijfde op plaatsen en de hellingshoeken meten. Je kunt hier echter een fout maken, dus een theoretische berekening helpt: je moet de middelpunten van de ballen verbinden met lijnen (mentaal). De basis is een vierkant met een zijde gelijk aan tweemaal de straal. Het vierkant zal slechts de basis van de piramide zijn, waarvan de lengte van de randen ook gelijk zal zijn aan tweemaal de straal.

Een dichte pakking van ballen zoals 1:4 geeft ons dus een regelmatige semi-octaëder.

Maar waarom behouden veel piramides, die naar een vergelijkbare vorm neigen, deze toch niet? De piramides zijn waarschijnlijk aan het verouderen. In tegenstelling tot het bekende gezegde:

“Alles in de wereld is bang voor de tijd, en de tijd is bang voor piramides”, de gebouwen van de piramides moeten verouderen, niet alleen kunnen en moeten er processen van externe verwering in voorkomen, maar ook processen van interne “krimp”, die mogelijk ervoor zorgen dat de piramides lager worden. Krimp is ook mogelijk omdat, zoals blijkt uit het werk van D. Davidovits, de oude Egyptenaren de technologie gebruikten om blokken te maken van limoenchips, met andere woorden van "beton". Het zijn precies soortgelijke processen die de reden voor de vernietiging van de Medum-piramide, 50 km ten zuiden van Caïro, kunnen verklaren. Het is 4600 jaar oud, de afmetingen van de basis zijn 146 x 146 m, de hoogte is 118 m. “Waarom is het zo misvormd?” vraagt ​​V. Zamarovsky. “De gebruikelijke verwijzingen naar de destructieve effecten van de tijd en het “gebruik van steen voor andere gebouwen” zijn hier niet op zijn plaats.

De meeste blokken en gevelplaten zijn tenslotte tot op de dag van vandaag op hun plaats gebleven, in puin aan de voet.' Zoals we zullen zien, doen een aantal voorzieningen ons zelfs denken dat de beroemde piramide van Cheops ook 'is verschrompeld'. hoe dan ook, in alle oude afbeeldingen zijn de piramides puntig ...

De vorm van de piramides zou ook door imitatie kunnen zijn ontstaan: enkele natuurlijke monsters, bijvoorbeeld ‘wonderperfectie’, enkele kristallen in de vorm van een octaëder.

Soortgelijke kristallen kunnen diamant- en goudkristallen zijn. Kenmerkend groot aantal"overlappende" tekens voor concepten als farao, zon, goud, diamant. Overal - nobel, briljant (briljant), geweldig, onberispelijk, enzovoort. De overeenkomsten zijn niet toevallig.

De zonnecultus vormde, zoals bekend, een belangrijk onderdeel van de religie Het oude Egypte. “Het maakt niet uit hoe we de naam van de grootste van de piramides vertalen”, merkt een van op moderne hulpmiddelen- "Het firmament van Khufu" of "Het firmament van Khufu", betekende dat de koning de zon is." Als Khufu zich in de schittering van zijn macht voorstelde de tweede zon te zijn, dan werd zijn zoon Djedef-Ra. de eerste van de Egyptische koningen die zichzelf 'de zoon van Ra' noemde, dat wil zeggen de zoon van de zon. De zon werd onder bijna alle volkeren gesymboliseerd door het 'zonnemetaal', goud. 'Een grote schijf van helder goud” - zo noemden de Egyptenaren ons daglicht. De Egyptenaren kenden goud perfect, ze kenden de oorspronkelijke vormen ervan, waar goudkristallen kunnen verschijnen in de vorm van octaëders.

De ‘zonnesteen’ – diamant – is hier ook interessant als ‘voorbeeld van vormen’. De naam van de diamant kwam precies uit de Arabische wereld, "almas" - de moeilijkste, meest harde, onverwoestbare. De oude Egyptenaren kenden diamant en zijn eigenschappen vrij goed. Volgens sommige auteurs gebruikten ze bij het boren zelfs bronzen buizen met diamantfrezen.

Tegenwoordig is Zuid-Afrika de belangrijkste leverancier van diamant, maar ook West-Afrika is rijk aan diamanten. Het grondgebied van de Republiek Mali wordt zelfs het “Diamantenland” genoemd. Ondertussen leven de Dogon op het grondgebied van Mali, op wie aanhangers van de paleobezoekhypothese veel hoop vestigen (zie hieronder). Diamanten kunnen niet de reden zijn geweest voor de contacten van de oude Egyptenaren met deze regio. Op de een of andere manier is het echter mogelijk dat de oude Egyptenaren, juist door het kopiëren van de octaëders van diamanten en gouden kristallen, daarmee de farao’s vergoddelijkten, ‘onverwoestbaar’ als diamant en ‘briljant’ als goud, de zonen van de zon, die alleen vergelijkbaar zijn. tot de mooiste creaties van de natuur.

Conclusie:

Nadat we de piramide als een geometrisch lichaam hadden bestudeerd en kennis hadden gemaakt met de elementen en eigenschappen ervan, waren we overtuigd van de geldigheid van de mening over de schoonheid van de vorm van de piramide.

Als resultaat van ons onderzoek kwamen we tot de conclusie dat de Egyptenaren, nadat ze de meest waardevolle wiskundige kennis hadden verzameld, deze in een piramide belichaamden. Daarom is de piramide werkelijk de meest perfecte creatie van de natuur en de mens.

LIJST VAN GEBRUIKTE REFERENTIES

"Geometrie: leerboek. voor 7 – 9 klassen. algemeen onderwijs instellingen\, etc. - 9e druk - M.: Onderwijs, 1999

Geschiedenis van de wiskunde op school, M: “Prosveshchenie”, 1982.

Geometrie 10-11 graden, M: "Verlichting", 2000

Peter Tompkins “Geheimen van de Grote Piramide van Cheops”, M: “Tsentropoligraf”, 2005.

Internetbronnen

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Deze video-tutorial helpt gebruikers een idee te krijgen van het Pyramid-thema. Juiste piramide. In deze les maken we kennis met het concept van een piramide en geven we er een definitie aan. Laten we eens kijken wat een gewone piramide is en welke eigenschappen deze heeft. Vervolgens bewijzen we de stelling over het mantelvlak van een regelmatige piramide.

In deze les maken we kennis met het concept van een piramide en geven we er een definitie aan.

Beschouw een veelhoek Een 1 Een 2...Een, die in het α-vlak ligt, en het punt P, die niet in het α-vlak ligt (Fig. 1). Laten we de punten verbinden P met pieken Een 1, een 2, een 3, … Een. Wij krijgen N driehoeken: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R enzovoort.

Definitie. Veelvlak RA 1 A 2 ...Een n, bestaande uit N-vierkant Een 1 Een 2...Een En N driehoeken RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n Een n-1 wordt gebeld N-kolenpiramide. Rijst. 1.

Rijst. 1

Beschouw een vierhoekige piramide PABCD(Afb. 2).

R- de top van de piramide.

ABCD- de basis van de piramide.

RA- zijrib.

AB- basisrib.

Vanaf het punt R laten we de loodlijn laten vallen RN naar het basisvlak ABCD. De getekende loodlijn is de hoogte van de piramide.

Rijst. 2

Volledige oppervlakte De piramide bestaat uit een zijoppervlak, dat wil zeggen het gebied van alle zijvlakken, en het gebied van de basis:

S vol = S-zijde + S hoofd

Een piramide wordt correct genoemd als:

• de basis is een regelmatige veelhoek;
• het segment dat de bovenkant van de piramide met het midden van de basis verbindt, is de hoogte.

Uitleg aan de hand van het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide

Beschouw een regelmatige vierhoekige piramide PABCD(Afb. 3).

R- de top van de piramide. Basis van de piramide ABCD- een regelmatige vierhoek, dat wil zeggen een vierkant. Punt OVER, het snijpunt van de diagonalen, is het middelpunt van het vierkant. Middelen, RO is de hoogte van de piramide.

Rijst. 3

Uitleg: in de juiste N In een driehoek vallen het middelpunt van de ingeschreven cirkel en het middelpunt van de omgeschreven cirkel samen. Dit centrum wordt het centrum van de veelhoek genoemd. Soms zeggen ze dat het hoekpunt in het midden wordt geprojecteerd.

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema en wordt aangewezen h een.

1. alle zijkanten van een regelmatige piramide zijn gelijk;

2. De zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken.

We zullen een bewijs van deze eigenschappen geven aan de hand van het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide.

Gegeven: PABCD- regelmatige vierhoekige piramide,

ABCD- vierkant,

RO- hoogte van de piramide.

Bewijzen:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Zie afb. 4.

Rijst. 4

Bewijs.

RO- hoogte van de piramide. Dat wil zeggen: recht RO loodrecht op het vlak abc en dus direct JSC, VO, SO En DOEN erin liggen. Driehoeken dus ROA, ROV, ROS, ROD- rechthoekig.

Denk eens aan een vierkant ABCD. Uit de eigenschappen van een vierkant volgt dat AO = VO = CO = DOEN.

Dan de rechthoekige driehoeken ROA, ROV, ROS, ROD been RO- algemeen en benen JSC, VO, SO En DOEN zijn gelijk, wat betekent dat deze driehoeken aan twee zijden gelijk zijn. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt de gelijkheid van segmenten, RA = PB = RS = PD. Punt 1 is bewezen.

Segmenten AB En Zon zijn gelijk omdat ze zijden zijn van hetzelfde vierkant, RA = PB = RS. Driehoeken dus AVR En VSR- gelijkbenig en aan drie zijden gelijk.

Op een vergelijkbare manier vinden we die driehoeken ABP, VCP, CDP, DAP zijn gelijkbenig en gelijk, zoals moet worden bewezen in paragraaf 2.

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan de helft van het product van de omtrek van de basis en de apothema:

Laten we, om dit te bewijzen, een regelmatige driehoekige piramide kiezen.

Gegeven: RAVS- juist driehoekige piramide.

AB = BC = AC.

RO- hoogte.

Bewijzen: . Zie afb. 5.

Rijst. 5

Bewijs.

RAVS- regelmatige driehoekige piramide. Dat is AB= AC = BC. Laten OVER- middelpunt van de driehoek abc, Dan RO is de hoogte van de piramide. Aan de voet van de piramide ligt gelijkzijdige driehoek abc. Merk dat op .

Driehoeken RAV, RVS, RSA- gelijke gelijkbenige driehoeken (op eigenschap). Een driehoekige piramide heeft drie zijvlakken: RAV, RVS, RSA. Dit betekent dat het oppervlak van het zijoppervlak van de piramide is:

S-zijde = 3S RAW

De stelling is bewezen.

De straal van een cirkel ingeschreven aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide is 3 m, de hoogte van de piramide is 4 m. Zoek de oppervlakte van het zijoppervlak van de piramide.

Gegeven: regelmatige vierhoekige piramide ABCD,

ABCD- vierkant,

R= 3 meter,

RO- hoogte van de piramide,

RO= 4 meter.

Vinden: S-kant. Zie afb. 6.

Rijst. 6

Oplossing.

Volgens de bewezen stelling, .

Laten we eerst de zijkant van de basis vinden AB. We weten dat de straal van een cirkel ingeschreven aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide 3 meter bedraagt.

Dan, m.

Zoek de omtrek van het vierkant ABCD met een zijde van 6 m:

Beschouw een driehoek BCD. Laten M- midden van de zijkant gelijkstroom. Omdat OVER- midden BD, Dat (M).

Driehoek DPC- gelijkbenig. M- midden gelijkstroom. Dat wil zeggen, RM- mediaan, en dus hoogte in de driehoek DPC. Dan RM- apothema van de piramide.

RO- hoogte van de piramide. Dan, rechtdoor RO loodrecht op het vlak abc en dus direct OM, erin liggen. Laten we de apothema vinden RM uit een rechthoekige driehoek ROM.

Nu kunnen we het zijoppervlak van de piramide vinden:

Antwoord: 60 m2.

De straal van de cirkel rond de basis van een regelmatige driehoekige piramide is gelijk aan m. Zoek de lengte van de apothema.

Gegeven: ABCP- regelmatige driehoekige piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

Z-zijde = 18 m2.

Vinden: . Zie afb. 7.

Rijst. 7

Oplossing.

In een rechthoekige driehoek abc De straal van de omgeschreven cirkel wordt gegeven. Laten we een kant zoeken AB deze driehoek met behulp van de wet van de sinussen.

Als we de zijde van een regelmatige driehoek (m) kennen, vinden we de omtrek ervan.

Volgens de stelling over het manteloppervlak van een regelmatige piramide, waar h een- apothema van de piramide. Dan:

Antwoord: 4 meter.

We hebben dus gekeken naar wat een piramide is, wat een regelmatige piramide is, en we hebben de stelling over het manteloppervlak van een regelmatige piramide bewezen. In de volgende les zullen we kennis maken met de afgeknotte piramide.

Referenties

1. Geometrie. Groepen 10-11: leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs (basis- en profiel niveaus) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e druk, herz. en extra - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Groep 10-11: Leerboek voor algemeen vormend onderwijs onderwijsinstellingen/ Sharygin I.F. - M.: Trap, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Graad 10: Leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs met een diepgaande en gespecialiseerde studie van wiskunde /E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e druk, stereotype. - M.: Trap, 008. - 233 p.: ill.

1. Internetportaal "Yaklass" ()
2. Internetportaal "Festival pedagogische ideeën"Eerste september" ()
3. Internetportaal “Slideshare.net” ()

Huiswerk

1. Kan een regelmatige veelhoek de basis zijn van een onregelmatige piramide?
2. Bewijs dat onsamenhangende randen van een regelmatige piramide loodrecht staan.
3. Zoek de waarde van de tweevlakshoek aan de zijkant van de basis van een regelmatige vierhoekige piramide als het apothema van de piramide gelijk is aan de zijkant van de basis.
4. RAVS- regelmatige driehoekige piramide. Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoek aan de basis van de piramide.

Definitie

Piramide is een veelvlak bestaande uit een veelhoek \(A_1A_2...A_n\) en \(n\) driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt \(P\) (niet liggend in het vlak van de veelhoek) en zijden er tegenover, die samenvallen met de zijden van de veelhoek.
Benaming: \(PA_1A_2...A_n\) .
Voorbeeld: vijfhoekige piramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Driehoeken \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), enz. worden genoemd zijvlakken piramides, segmenten \(PA_1, PA_2\), enz. – laterale ribben, veelhoek \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – basis, punt \(P\) – bovenkant.

Hoogte piramides zijn een loodlijn die afdaalt van de top van de piramide naar het vlak van de basis.

Een piramide met een driehoek aan de basis wordt genoemd tetraëder.

De piramide heet juist, als de basis een regelmatige veelhoek is en aan een van de volgende voorwaarden is voldaan:

\((a)\) de zijkanten van de piramide zijn gelijk;

\((b)\) de hoogte van de piramide gaat door het middelpunt van de omgeschreven cirkel nabij de basis;

\((c)\) de zijribben hellen onder dezelfde hoek ten opzichte van het vlak van de basis.

\((d)\) de zijvlakken hellen onder dezelfde hoek ten opzichte van het vlak van de basis.

Regelmatige tetraëder is een driehoekige piramide, waarvan alle vlakken gelijke gelijkzijdige driehoeken zijn.

Stelling

Voorwaarden \((a), (b), (c), (d)\) zijn gelijkwaardig.

Bewijs

Laten we de hoogte van de piramide \(PH\) vinden. Laat \(\alpha\) het vlak van de basis van de piramide zijn.

1) Laten we bewijzen dat \((a)\) \((b)\) impliceert. Stel \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Omdat \(PH\perp \alpha\), dan staat \(PH\) loodrecht op elke lijn die in dit vlak ligt, wat betekent dat de driehoeken rechthoekig zijn. Dit betekent dat deze driehoeken gelijk zijn in gemeenschappelijk been \(PH\) en hypotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Dit betekent \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Dit betekent dat de punten \(A_1, A_2, ..., A_n\) zich op dezelfde afstand van het punt \(H\) bevinden en daarom op dezelfde cirkel liggen met de straal \(A_1H\) . Deze cirkel wordt per definitie omschreven rond de veelhoek \(A_1A_2...A_n\) .

2) Laten we bewijzen dat \((b)\) \((c)\) impliceert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechthoekig en gelijk op twee poten. Dit betekent dat hun hoeken ook gelijk zijn, dus \(\hoek PA_1H=\hoek PA_2H=...=\hoek PA_nH\).

3) Laten we bewijzen dat \((c)\) \((a)\) impliceert.

Vergelijkbaar met het eerste punt, driehoeken \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechthoekig en langs het been en scherpe hoek. Dit betekent dat hun hypotenussen ook gelijk zijn, dat wil zeggen: \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Laten we bewijzen dat \((b)\) \((d)\) impliceert.

Omdat in een regelmatige veelhoek vallen de middelpunten van de omgeschreven en ingeschreven cirkel samen (in het algemeen wordt dit punt het middelpunt van een regelmatige veelhoek genoemd), dan is \(H\) het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Laten we loodlijnen tekenen vanaf het punt \(H\) naar de zijkanten van de basis: \(HK_1, HK_2\), enz. Dit zijn de stralen van de ingeschreven cirkel (per definitie). Dan zijn volgens TTP (\(PH\) loodrecht op het vlak, \(HK_1, HK_2\), etc. projecties loodrecht op de zijkanten) hellend \(PK_1, PK_2\), etc. loodrecht op de zijkanten \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectievelijk. Per definitie dus \(\hoek PK_1H, \hoek PK_2H\) gelijk aan de hoeken tussen de zijvlakken en de basis. Omdat driehoeken \(PK_1H, PK_2H, ...\) gelijk zijn (als rechthoekig aan twee zijden), dan zijn de hoeken \(\hoek PK_1H, \hoek PK_2H, ...\) zijn gelijk.

5) Laten we bewijzen dat \((d)\) \((b)\) impliceert.

Net als bij het vierde punt zijn de driehoeken \(PK_1H, PK_2H, ...\) gelijk (als rechthoekig langs het been en scherpe hoek), wat betekent dat de segmenten \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) gelijkwaardig. Dit betekent per definitie dat \(H\) het middelpunt is van een cirkel die in de basis is ingeschreven. Maar omdat Voor regelmatige veelhoeken vallen de middelpunten van de ingeschreven en de omgeschreven cirkel samen, en dan is \(H\) het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Chtd.

Gevolg

De zijvlakken van een regelmatige piramide zijn gelijke gelijkbenige driehoeken.

Definitie

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema.
De apothema's van alle zijvlakken van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar en zijn ook medianen en bissectrices.

Belangrijke opmerkingen

1. De hoogte van een regelmatige driehoekige piramide valt op het snijpunt van de hoogten (of bissectrices of medianen) van de basis (de basis is een regelmatige driehoek).

2. De hoogte van een regelmatige vierhoekige piramide valt op het snijpunt van de diagonalen van de basis (de basis is een vierkant).

3. De hoogte van een regelmatige zeshoekige piramide valt op het snijpunt van de diagonalen van de basis (de basis is een regelmatige zeshoek).

4. De hoogte van de piramide staat loodrecht op elke rechte lijn die aan de basis ligt.

Definitie

De piramide heet rechthoekig, als een van de zijkanten loodrecht staat op het vlak van de basis.

Belangrijke opmerkingen

1. Bij een rechthoekige piramide is de rand loodrecht op de basis de hoogte van de piramide. Dat wil zeggen: \(SR\) is de hoogte.

2. Omdat \(SR\) staat dus loodrecht op een lijn vanaf de basis \(\driehoek SRM, \driehoek SRP\)– rechthoekige driehoeken.

3. Driehoeken \(\driehoek SRN, \driehoek SRK\)- ook rechthoekig.
Dat wil zeggen dat elke driehoek gevormd door deze rand en de diagonaal die uit het hoekpunt van deze rand komt en aan de basis ligt, rechthoekig zal zijn.

\[(\Large(\text(Volume en oppervlakte van de piramide)))\]

Stelling

Het volume van de piramide is gelijk aan een derde van het product van de oppervlakte van de basis en de hoogte van de piramide: \

Gevolgen

Laat \(a\) de zijkant van de basis zijn, \(h\) de hoogte van de piramide.

1. Het volume van een regelmatige driehoekige piramide is \(V_(\text(rechthoekige driehoek.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Het volume van een regelmatige vierhoekige piramide is \(V_(\text(rechts.vier.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Het volume van een regelmatige zeshoekige piramide is \(V_(\text(rechts.zes.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Het volume van een regelmatige tetraëder is \(V_(\text(rechter tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Stelling

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het halve product van de omtrek van de basis en de apothema.

\[(\Groot(\text(Frustum)))\]

Definitie

Beschouw een willekeurige piramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Laten we een vlak evenwijdig aan de basis van de piramide tekenen door een bepaald punt dat op de zijkant van de piramide ligt. Dit vliegtuig zal de piramide in twee veelvlakken splitsen, waarvan er één een piramide is (\(PB_1B_2...B_n\) ), en de andere heet afgeknotte piramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

De afgeknotte piramide heeft twee bases - polygonen \(A_1A_2...A_n\) en \(B_1B_2...B_n\) die op elkaar lijken.

De hoogte van een afgeknotte piramide is een loodlijn van een bepaald punt van de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis.

Belangrijke opmerkingen

1. Alle zijvlakken van een afgeknotte piramide zijn trapeziums.

2. Het segment dat de middelpunten van de bases van een regelmatige afgeknotte piramide verbindt (dat wil zeggen een piramide verkregen door een dwarsdoorsnede van een regelmatige piramide) is de hoogte.

We blijven nadenken over de taken die zijn opgenomen in het Unified State Examination in de wiskunde. We hebben al problemen bestudeerd waarbij de voorwaarde gegeven is en het nodig is om de afstand tussen twee gegeven punten of een hoek te vinden.

Een piramide is een veelvlak, waarvan de basis een veelhoek is, de overige vlakken zijn driehoeken en ze hebben een gemeenschappelijk hoekpunt.

Een regelmatige piramide is een piramide aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt, en het hoekpunt ervan wordt geprojecteerd in het midden van de basis.

Een regelmatige vierhoekige piramide - de basis is een vierkant.

ML - apothema
∠MLO - tweevlakshoek aan de voet van de piramide
∠MCO - hoek tussen de zijrand en het vlak van de basis van de piramide

In dit artikel zullen we kijken naar problemen om een ​​reguliere piramide op te lossen. Je moet een element, lateraal oppervlak, volume, hoogte vinden. Natuurlijk moet je de stelling van Pythagoras kennen, de formule voor de oppervlakte van het zijoppervlak van een piramide en de formule voor het vinden van het volume van een piramide.

In het artikel "" presenteert de formules die nodig zijn om problemen in stereometrie op te lossen. Dus de taken:

SABCD punt O- midden van de basis,S hoekpunt, DUS = 51, A.C.= 136. Zoek de zijkantSC.

In dit geval is de basis een vierkant. Dit betekent dat de diagonalen AC en BD gelijk zijn, dat ze elkaar snijden en in tweeën worden gedeeld door het snijpunt. Merk op dat bij een gewone piramide de hoogte die vanaf de bovenkant valt, door het midden van de basis van de piramide gaat. Dus ZO is de hoogte en de driehoekSOCrechthoekig. Dan volgens de stelling van Pythagoras:

Hoe de wortel eruit te halen groot aantal.

Antwoord: 85

Beslis zelf:

In een regelmatige vierhoekige piramide SABCD punt O- midden van de basis, S hoekpunt, DUS = 4, A.C.= 6. Zoek de zijkant SC.

In een regelmatige vierhoekige piramide SABCD punt O- midden van de basis, S hoekpunt, SC = 5, A.C.= 6. Zoek de lengte van het segment DUS.

In een regelmatige vierhoekige piramide SABCD punt O- midden van de basis, S hoekpunt, DUS = 4, SC= 5. Zoek de lengte van het segment A.C..

SABC R- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend AB= 7, een SR= 16. Zoek het zijoppervlak.

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige driehoekige piramide is gelijk aan de helft van het product van de omtrek van de basis en de apothema (apothema is de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf de top):

Of we kunnen dit zeggen: de oppervlakte van het zijoppervlak van de piramide is gelijk aan de som drie vierkanten zijkanten. De zijvlakken in een regelmatige driehoekige piramide zijn driehoeken met een gelijke oppervlakte. In dit geval:

Antwoord: 168

Beslis zelf:

In een regelmatige driehoekige piramide SABC R- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend AB= 1, een SR= 2. Zoek het zijoppervlak.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC R- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend AB= 1, en het oppervlak van het zijoppervlak is 3. Zoek de lengte van het segment SR.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC L- midden van de rib BC, S- bovenkant. Dat is bekend SL= 2, en het oppervlak van het zijoppervlak is 3. Zoek de lengte van het segment AB.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC M. Oppervlakte van een driehoek abc is 25, het volume van de piramide is 100. Zoek de lengte van het segment MEVROUW.

De basis van de piramide is een gelijkzijdige driehoek. Dat is waarom Mis het midden van de basis, enMEVROUW- hoogte van een regelmatige piramideSABC. Volume van de piramide SABC is gelijk aan: bekijk de oplossing

In een regelmatige driehoekige piramide SABC de medianen van de basis snijden elkaar op het punt M. Oppervlakte van een driehoek abc gelijk aan 3, MEVROUW= 1. Zoek het volume van de piramide.

In een regelmatige driehoekige piramide SABC de medianen van de basis snijden elkaar op het punt M. Het volume van de piramide is 1, MEVROUW= 1. Zoek de oppervlakte van de driehoek abc.

Laten we hier eindigen. Zoals u kunt zien, worden problemen in één of twee stappen opgelost. In de toekomst zullen we andere problemen uit dit deel overwegen, waar revolutionaire lichamen worden gegeven, mis het niet!

Veel geluk voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ik zou het op prijs stellen als je me over de site op sociale netwerken vertelt.

Video-tutorial 2: Piramide probleem. Volume van de piramide

Video-tutorial 3: Piramide probleem. Juiste piramide

Lezing: De piramide, de basis, zijribben, hoogte, zijvlak; driehoekige piramide; reguliere piramide

Piramide is een driedimensionaal lichaam met een veelhoek aan de basis en alle vlakken bestaan ​​uit driehoeken.

Een speciaal geval van een piramide is een kegel met een cirkel aan de basis.

Laten we eens kijken naar de belangrijkste elementen van de piramide:

Apothema- dit is een segment dat de bovenkant van de piramide verbindt met het midden van de onderrand van het zijvlak. Met andere woorden, dit is de hoogte van de rand van de piramide.

In de figuur zie je de driehoeken ADS, ABS, BCS, CDS. Als je goed naar de namen kijkt, kun je zien dat elke driehoek één gemeenschappelijke letter in zijn naam heeft: S. Dat wil zeggen, dit betekent dat alle zijvlakken (driehoeken) op één punt samenkomen, wat de top van de piramide wordt genoemd. .

Het segment OS dat het hoekpunt verbindt met het snijpunt van de diagonalen van de basis (in het geval van driehoeken - op het snijpunt van de hoogten) wordt genoemd piramide hoogte.

Een diagonale doorsnede is een vlak dat door de bovenkant van de piramide loopt, evenals door een van de diagonalen van de basis.

Omdat het zijoppervlak van de piramide uit driehoeken bestaat, is het voor het vinden van de totale oppervlakte van het zijoppervlak noodzakelijk om de oppervlakte van elk vlak te vinden en deze bij elkaar op te tellen. Het aantal en de vorm van vlakken hangt af van de vorm en grootte van de zijden van de veelhoek die aan de basis ligt.

Het enige vlak in een piramide dat niet tot zijn toppunt behoort, wordt genoemd basis piramides.

In de figuur zien we dat de basis een parallellogram is, maar dit kan elke willekeurige veelhoek zijn.

Eigenschappen:

Beschouw het eerste geval van een piramide, waarin deze randen van dezelfde lengte heeft:

• Rond de basis van zo'n piramide kan een cirkel worden getekend. Als je de top van zo'n piramide projecteert, bevindt de projectie zich in het midden van de cirkel.
• De hoeken aan de basis van de piramide zijn op elk vlak hetzelfde.
• In dit geval kan een voldoende voorwaarde voor het feit dat een cirkel rond de basis van de piramide kan worden beschreven, en ook dat alle randen een verschillende lengte hebben, worden beschouwd als dezelfde hoeken tussen de basis en elke rand van de vlakken.

Als je een piramide tegenkomt waarvan de hoeken tussen de zijvlakken en de basis gelijk zijn, dan zijn de volgende eigenschappen waar:

• Je zult een cirkel rond de basis van de piramide kunnen beschrijven, waarvan de top precies in het midden geprojecteerd is.
• Als u elke zijrand van de hoogte naar de basis trekt, hebben ze dezelfde lengte.
• Om het zijoppervlak van een dergelijke piramide te vinden, volstaat het om de omtrek van de basis te vinden en deze met de helft van de lengte van de hoogte te vermenigvuldigen.
• S bp = 0,5P oc H.
• Soorten piramides.
• Afhankelijk van welke veelhoek aan de basis van de piramide ligt, kunnen ze driehoekig, vierhoekig, enz. Zijn. Als er aan de basis van de piramide een regelmatige veelhoek is (met gelijke zijden), dan wordt zo'n piramide regelmatig genoemd.

Regelmatige driehoekige piramide