Чему равна сумма всех углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника
Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.
Виды по величине углов
Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:
- остроугольный, у которого все углы острые;
- прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
- тупоугольный, когда один ;
- равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
- равносторонний, имеющий все три равные стороны.
Свойства
Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:
- напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
- напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
- у любого треугольника есть два острых угла;
- внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
- сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
- внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.
Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.
Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.
Следствие
Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.
Свойство внешних углов
Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.
Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,
∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.
Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).
С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.
Прямоугольный треугольник
Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.
Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.
Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.
В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:
- углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
- гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
- сумма катетов больше гипотенузы;
- катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.
Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
Сумма углов равнобедренного треугольника
Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.
Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.
От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.
Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.
Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:
- в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
- медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.
Равносторонний треугольник
Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.
Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.
Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.
Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:
- медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
- если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
- если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
- площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.
Тупоугольный треугольник
Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.
. (Слайд 1)
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
- Образовательные
:
- рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
- показать применение теоремы при решении задач.
- Воспитательные
:
- воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
- воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
- Развивающие
:
- развитие аналитического мышления,
- развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
- развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.
Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.
ХОД УРОКА
– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.
II. Устно (Слайд 2)
1) Найти на рисунках прямоугольный,
равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего
и равнобедренного треугольника.
4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)
– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы,
внутренние накрест лежащие углы, назвать их
свойства
III. Объяснение нового материала
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о
По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.
Дано: Доказать: |
Доказательство:
1. Через вершину В треугольника проведем прямую
BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать
запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.
IV. Закончи предложение. (Слайд 4)
1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой,
третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного
треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами
равнобедренного треугольника равен 1000, то углы
при основании равны …
V. Немного истории. (Слайды 5-7)
Доказательство теоремы о сумме углов
треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.) |
|
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.), |
Цели и задачи:
Образовательные:
- повторить и обобщить знания о треугольнике;
- доказать теорему о сумме углов треугольника;
- практически убедиться в правильности формулировки теоремы;
- научиться применять полученные знания при решении задач.
Развивающие:
- развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, умение самостоятельно добывать знания.
Воспитательные:
- развивать личностные качества учащихся, таких как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.
Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.
Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».
Тип урока : изучение нового материала.
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.
II. Разминка
С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?
Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.
Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:
Рисунок 1
III. Формулируем задачу урока
Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?
Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.
IV. Объяснение нового материала
Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).
Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:
а)
Рисунок 2
б)
Рисунок 3
в)
Рисунок 4
г)
Рисунок 5
д)
Рисунок 6
После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.
Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?
Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):
Рисунок 7
Рисунок 8
Чертежи высвечиваются на экране через проектор.
Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.
Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.
Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»
Рисунок 9
Доказательство:
а)
Рисунок 10
б)
Рисунок 11
в)
Рисунок 12
Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.
Рисунок 13
Дано: Δ АВС
Доказать: А + В + С = 180°.
Доказательство:
Что требовалось доказать.
V. Физ. минутка.
VI. Объяснение нового материала (продолжение)
Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .
Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .
Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .
Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .
Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)
Таблица 1
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
Прямоугольный | |||
Тупоугольный | |||
Остроугольный |
VII. Закрепление изученного материала.
- Решить задачи устно:
(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)
Задача 1. Найдите угол С.
Рисунок 14
Задача 2. Найдите угол F.
Рисунок 15
Задача 3. Найдите углы К и N.
Рисунок 16
Задача 4. Найдите углы P и T.
Рисунок 17
- Решить задачу самостоятельно № 223 (б, г).
- Решить задачу на доске и в тетрадях уч-ся №224.
- Вопросы: Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол.
- (выполняется устно) На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники. Определите на глаз вид каждого треугольника.
Рисунок 18
- Найдите сумму углов 1, 2 и 3.
Рисунок 19
VIII. Итог урока.
Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?
IX. Рефлексия.
Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.
Рисунок 20
Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.
“Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я научусь”
Восточная пословица
Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.
Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.
2. Повторение.
Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.
3. Новый материал.
3.1. Практическая работа.
У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.
Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.
Историческая справка
Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.
3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.
Теорема о сумме углов треугольника.
Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.
3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.
Доказать: A + B + C = 180 °
Доказательство:
1. Проведем через вершину B прямую BD // AC
2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.
3. ABD =ACB +CBD
Отсюда, A + B+C = ABD+BAC
4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.
3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.
Дано: АВС
Доказать: А+B +C=180 °
Доказательство:
1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ
2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей
3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.
4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.
3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.
Следствие 2.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
прямоугольный | |||
тупоугольный | |||
остроугольный |
4. Закрепление.
4.1. Решение задач по готовым чертежам.
Найти неизвестные углы треугольника.
4.2. Проверка знаний.
1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:
Существуют ли треугольники с углами:
а) 30, 60, 90 градусов,
b) 46, 4, 140 градусов,
с) 56, 46, 72 градуса?
2. Может ли в треугольнике быть:
а) два тупых угла,
b) тупой и прямой углы,
с) два прямых угла?
3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.
4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?
5. Можно ли измерить углы любого треугольника?
Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)
5. Итог урока.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.
Домашнее задание.
П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.