Betrouwbaarder dan de grafische methode die in de vorige paragraaf werd besproken.

Vervangingsmethode

We gebruikten deze methode in groep 7 om systemen op te lossen lineaire vergelijkingen. Het algoritme dat in de 7e klas is ontwikkeld, is redelijk geschikt voor het oplossen van systemen van twee willekeurige vergelijkingen (niet noodzakelijkerwijs lineair) met twee variabelen x en y (de variabelen kunnen uiteraard met andere letters worden aangeduid, wat er niet toe doet). In feite hebben we dit algoritme in de vorige paragraaf gebruikt, toen het probleem van een getal van twee cijfers leidde tot een wiskundig model, een systeem van vergelijkingen. We hebben dit stelsel van vergelijkingen hierboven opgelost met behulp van de substitutiemethode (zie voorbeeld 1 uit § 4).

Een algoritme voor het gebruik van de substitutiemethode bij het oplossen van een stelsel van twee vergelijkingen met twee variabelen x, y.

1. Druk y tot en met x uit vanuit één vergelijking van het systeem.
2. Vervang de resulterende uitdrukking in plaats van y in een andere vergelijking van het systeem.
3. Los de resulterende vergelijking voor x op.
4. Vervang op zijn beurt elk van de wortels van de vergelijking gevonden in de derde stap in plaats van x door de uitdrukking y tot en met x verkregen in de eerste stap.
5. Schrijf het antwoord in de vorm van waardenparen (x; y), die respectievelijk in de derde en vierde stap zijn gevonden.

4) Vervang één voor één elk van de gevonden waarden van y in de formule x = 5 - 3. Als dan
5) Paren (2; 1) en oplossingen voor een bepaald stelsel vergelijkingen.

Antwoord: (2; 1);

Algebraïsche optelmethode

Deze methode is je, net als de substitutiemethode, bekend uit de algebracursus van groep 7, waar deze werd gebruikt om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen. Laten we de essentie van de methode in herinnering brengen aan de hand van het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 2. Systeem van vergelijkingen oplossen

Laten we alle termen van de eerste vergelijking van het systeem met 3 vermenigvuldigen en de tweede vergelijking ongewijzigd laten:
Trek de tweede vergelijking van het systeem af van de eerste vergelijking:

Als resultaat van de algebraïsche optelling van twee vergelijkingen van het oorspronkelijke systeem werd een vergelijking verkregen die eenvoudiger was dan de eerste en tweede vergelijkingen van het gegeven systeem. Met deze eenvoudigere vergelijking hebben we het recht om elke vergelijking van een bepaald systeem te vervangen, bijvoorbeeld de tweede. Dan wordt het gegeven systeem van vergelijkingen vervangen door een eenvoudiger systeem:

Dit systeem kan worden opgelost met behulp van de substitutiemethode. Uit de tweede vergelijking vinden we. Als we deze uitdrukking in plaats van y in de eerste vergelijking van het systeem vervangen, krijgen we

Het blijft nodig om de gevonden waarden van x in de formule te vervangen

Als x = 2 dan

We hebben dus twee oplossingen voor het systeem gevonden:

Methode voor het introduceren van nieuwe variabelen

Je maakte kennis met de methode om een ​​nieuwe variabele te introduceren bij het oplossen van rationale vergelijkingen met één variabele in de algebracursus van groep 8. De essentie van deze methode voor het oplossen van stelsels vergelijkingen is hetzelfde, maar vanuit technisch oogpunt zijn er enkele kenmerken die we in de volgende voorbeelden zullen bespreken.

Voorbeeld 3. Systeem van vergelijkingen oplossen

Laten we een nieuwe variabele introduceren. Vervolgens kan de eerste vergelijking van het systeem worden herschreven in een meer in eenvoudige vorm: Laten we deze vergelijking voor de variabele t oplossen:

Beide waarden voldoen aan de voorwaarde en zijn daarom wortels rationele vergelijking met variabele t. Maar dat betekent ofwel waar we vinden dat x = 2y, of
Door gebruik te maken van de methode van het introduceren van een nieuwe variabele, zijn we er dus in geslaagd om de eerste vergelijking van het systeem, die behoorlijk complex van uiterlijk was, in twee eenvoudiger vergelijkingen te ‘stratificeren’:

x = 2j; j - 2x.

Wat is het volgende? En toen ontving elk van de twee eenvoudige vergelijkingen moeten één voor één worden beschouwd in een systeem met de vergelijking x 2 - y 2 = 3, die we nog niet hebben onthouden. Met andere woorden, het probleem komt neer op het oplossen van twee stelsels vergelijkingen:

We moeten oplossingen vinden voor het eerste systeem, het tweede systeem en alle resulterende waardenparen in het antwoord opnemen. Laten we het eerste stelsel vergelijkingen oplossen:

Laten we de substitutiemethode gebruiken, vooral omdat alles hier klaar voor is: laten we de uitdrukking 2y vervangen in plaats van x in de tweede vergelijking van het systeem. Wij krijgen

Omdat x = 2y vinden we respectievelijk x 1 = 2, x 2 = 2. Zo worden twee oplossingen van het gegeven systeem verkregen: (2; 1) en (-2; -1). Laten we het tweede stelsel vergelijkingen oplossen:

Laten we de substitutiemethode opnieuw gebruiken: vervang de uitdrukking 2x in plaats van y in de tweede vergelijking van het systeem. Wij krijgen

Deze vergelijking heeft geen wortels, wat betekent dat het stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft. Alleen de oplossingen van het eerste systeem hoeven dus in het antwoord te worden opgenomen.

Antwoord: (2; 1); (-2;-1).

De methode voor het introduceren van nieuwe variabelen bij het oplossen van stelsels van twee vergelijkingen met twee variabelen wordt in twee versies gebruikt. Eerste optie: er wordt één nieuwe variabele geïntroduceerd en gebruikt in slechts één vergelijking van het systeem. Dit is precies wat er gebeurde in voorbeeld 3. Tweede optie: twee nieuwe variabelen worden tegelijkertijd geïntroduceerd en gebruikt in beide vergelijkingen van het systeem. Dit zal het geval zijn in voorbeeld 4.

Voorbeeld 4. Systeem van vergelijkingen oplossen

Laten we twee nieuwe variabelen introduceren:

Laten we daar dan rekening mee houden

Hierdoor kun je herschrijven dit systeem in een veel eenvoudiger vorm, maar relatief nieuwe variabelen a en b:

Omdat a = 1, vinden we uit de vergelijking a + 6 = 2: 1 + 6 = 2; 6=1. Met betrekking tot de variabelen a en b hebben we dus één oplossing:

Terugkerend naar de variabelen x en y, verkrijgen we een stelsel van vergelijkingen

Laten we de methode van algebraïsche optelling toepassen om dit systeem op te lossen:

Sindsdien vinden we uit de vergelijking 2x + y = 3:
Met betrekking tot de variabelen x en y hebben we dus één oplossing:

Laten we deze paragraaf afsluiten met een korte maar tamelijk serieuze theoretische discussie. Je hebt al enige ervaring opgedaan met het oplossen van verschillende vergelijkingen: lineair, kwadratisch, rationeel, irrationeel. Je weet dat het belangrijkste idee van het oplossen van een vergelijking is om geleidelijk van de ene vergelijking naar de andere te gaan, eenvoudiger, maar gelijkwaardig aan de gegeven vergelijking. In de vorige paragraaf introduceerden we het concept van gelijkwaardigheid voor vergelijkingen met twee variabelen. Dit concept wordt ook gebruikt voor stelsels vergelijkingen.

Definitie.

Twee stelsels vergelijkingen met variabelen x en y worden equivalent genoemd als ze dezelfde oplossingen hebben of als beide systemen geen oplossingen hebben.

Alle drie de methoden (substitutie, algebraïsche optelling en het introduceren van nieuwe variabelen) die we in deze sectie hebben besproken, zijn vanuit het oogpunt van gelijkwaardigheid absoluut correct. Met andere woorden, met behulp van deze methoden vervangen we het ene systeem van vergelijkingen door een ander, eenvoudiger, maar gelijkwaardig aan het oorspronkelijke systeem.

Grafische methode voor het oplossen van stelsels vergelijkingen

We hebben al geleerd hoe we stelsels vergelijkingen op zulke gebruikelijke en betrouwbare manieren kunnen oplossen, zoals de methode van substitutie, algebraïsche optelling en de introductie van nieuwe variabelen. Laten we nu de methode onthouden die je al in de vorige les hebt bestudeerd. Dat wil zeggen, laten we herhalen wat u weet over de grafische oplossingsmethode.

De methode voor het grafisch oplossen van stelsels vergelijkingen omvat het construeren van een grafiek voor elk van de specifieke vergelijkingen die in een bepaald systeem zijn opgenomen en zich in hetzelfde coördinatenvlak bevinden, evenals waar het nodig is om de snijpunten van de punten van deze vergelijkingen te vinden. grafieken. Om dit systeem van vergelijkingen op te lossen zijn de coördinaten van dit punt (x; y) nodig.

We moeten niet vergeten dat het gebruikelijk is dat een grafisch systeem van vergelijkingen één enkele correcte oplossing heeft, of een oneindig aantal oplossingen, of helemaal geen oplossingen heeft.

Laten we nu elk van deze oplossingen in meer detail bekijken. En dus kan een stelsel vergelijkingen een unieke oplossing hebben als de lijnen die de grafieken van de vergelijkingen van het systeem vormen, elkaar kruisen. Als deze lijnen evenwijdig zijn, heeft zo'n stelsel vergelijkingen absoluut geen oplossingen. Als de directe grafieken van de vergelijkingen van het systeem samenvallen, maakt een dergelijk systeem het mogelijk om veel oplossingen te vinden.

Laten we nu eens kijken naar het algoritme voor het oplossen van een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden met behulp van de grafische methode:

Eerst bouwen we eerst een grafiek van de eerste vergelijking;
De tweede stap zal zijn het construeren van een grafiek die betrekking heeft op de tweede vergelijking;
Ten derde moeten we de snijpunten van de grafieken vinden.
En als resultaat krijgen we de coördinaten van elk snijpunt, wat de oplossing zal zijn voor het systeem van vergelijkingen.

Laten we deze methode in meer detail bekijken aan de hand van een voorbeeld. We krijgen een stelsel vergelijkingen dat moet worden opgelost:

Vergelijkingen oplossen

1. Eerst gaan we een grafiek maken van deze vergelijking: x2+y2=9.

Maar er moet worden opgemerkt dat deze grafiek van de vergelijkingen een cirkel zal zijn met een middelpunt in de oorsprong, en dat de straal gelijk zal zijn aan drie.

2. Onze volgende stap is het tekenen van een grafiek van een vergelijking zoals: y = x – 3.

In dit geval moeten we een rechte lijn construeren en de punten (0;−3) en (3;0) vinden.

3. Laten we eens kijken wat we hebben. We zien dat de rechte lijn de cirkel snijdt in twee van de punten A en B.

Nu gaan we op zoek naar de coördinaten van deze punten. We zien dat de coördinaten (3;0) corresponderen met punt A, en de coördinaten (0;−3) corresponderen met punt B.

En wat krijgen we als resultaat?

De getallen (3;0) en (0;−3) die worden verkregen wanneer de lijn de cirkel snijdt, zijn precies de oplossingen voor beide vergelijkingen van het systeem. En hieruit volgt dat deze getallen ook oplossingen zijn voor dit stelsel van vergelijkingen.

Dat wil zeggen, het antwoord op deze oplossing bestaat uit de getallen: (3;0) en (0;−3).

1. Vervangingsmethode: vanuit elke vergelijking van het systeem drukken we de ene onbekende uit via de andere en vervangen deze in de tweede vergelijking van het systeem.

Taak. Los het stelsel vergelijkingen op:

Oplossing. Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken bij door X en vervang het in de tweede vergelijking van het systeem. Laten we het systeem pakken gelijk aan de originele.

Nadat vergelijkbare termen zijn geïntroduceerd, zal het systeem de volgende vorm aannemen:

Uit de tweede vergelijking vinden we: . Deze waarde in de vergelijking vervangen bij = 2 - 2X, wij krijgen bij= 3. Daarom is de oplossing voor dit systeem een ​​paar getallen.

2. Algebraïsche optelmethode: Door twee vergelijkingen toe te voegen, krijg je een vergelijking met één variabele.

Taak. Los de systeemvergelijking op:

Oplossing. Door beide zijden van de tweede vergelijking met 2 te vermenigvuldigen, krijgen we het systeem gelijk aan de originele. Door de twee vergelijkingen van dit systeem op te tellen, komen we bij het systeem

Na het introduceren van soortgelijke termen, zal dit systeem de vorm aannemen: Uit de tweede vergelijking vinden we . Deze waarde vervangen door vergelijking 3 X + 4bij= 5, krijgen we , waar . Daarom is de oplossing voor dit systeem een ​​paar getallen.

3. Methode voor het introduceren van nieuwe variabelen: we zijn op zoek naar enkele herhalende uitdrukkingen in het systeem, die we zullen aanduiden met nieuwe variabelen, waardoor het uiterlijk van het systeem wordt vereenvoudigd.

Taak. Los het stelsel vergelijkingen op:

Oplossing. Laten we dit systeem anders schrijven:

Laten x + y = jij, xy = v. Dan krijgen we het systeem

Laten we het oplossen met behulp van de substitutiemethode. Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken u door v en vervang het in de tweede vergelijking van het systeem. Laten we het systeem pakken die.

Uit de tweede vergelijking van het systeem vinden we v 1 = 2, v 2 = 3.

Deze waarden in de vergelijking vervangen u = 5 - v, wij krijgen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dan hebben we twee systemen

Als we het eerste systeem oplossen, krijgen we twee paar getallen (1; 2), (2; 1). Het tweede systeem heeft geen oplossingen.

Oefeningen voor zelfstandig werken

1. Los stelsels vergelijkingen op met behulp van de substitutiemethode.

Op deze les we zullen kijken naar methoden voor het oplossen van een systeem van lineaire vergelijkingen. In een cursus hogere wiskunde moeten systemen van lineaire vergelijkingen worden opgelost, zowel in de vorm van afzonderlijke taken, bijvoorbeeld 'Los het systeem op met behulp van de formules van Cramer', als tijdens het oplossen van andere problemen. Systemen van lineaire vergelijkingen komen in bijna alle takken van de hogere wiskunde aan bod.

Eerst een beetje theorie. Wat betekent het wiskundige woord ‘lineair’ in dit geval? Dit betekent dat de vergelijkingen van het systeem Alle variabelen inbegrepen in de eerste graad: zonder fancy dingen zoals enz., waar alleen deelnemers aan wiskundige olympiades blij mee zijn.

In de hogere wiskunde worden niet alleen letters uit de kindertijd gebruikt om variabelen aan te duiden.
Een redelijk populaire optie zijn variabelen met indexen: .
Of de beginletters van het Latijnse alfabet, klein en groot:
Het is niet zo zeldzaam om Griekse letters te vinden: – bij velen bekend als “alpha, beta, gamma”. En ook een setje met indexen van bijvoorbeeld de letter “mu”:

Het gebruik van een of andere reeks letters hangt af van het deel van de hogere wiskunde waarin we worden geconfronteerd met een systeem van lineaire vergelijkingen. Dus bijvoorbeeld in systemen van lineaire vergelijkingen die je tegenkomt bij het oplossen van integralen, differentiaalvergelijkingen Het is traditioneel om de notatie te gebruiken

Maar hoe de variabelen ook worden aangeduid, de principes, methoden en methoden voor het oplossen van een systeem van lineaire vergelijkingen veranderen niet. Dus als je iets engs tegenkomt, zoals , haast je dan niet om het probleemboek uit angst te sluiten. Je kunt immers in plaats daarvan de zon tekenen, in plaats daarvan een vogel en in plaats daarvan een gezicht (de leraar). En hoe grappig het ook mag lijken, een systeem van lineaire vergelijkingen met deze notaties kan ook worden opgelost.

Ik heb het gevoel dat het artikel behoorlijk lang zal worden, dus een kleine inhoudsopgave. De opeenvolgende “debriefing” zal er dus als volgt uitzien:

– Een systeem van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de substitutiemethode (“ schoolmethode») ;
– Het systeem oplossen door de systeemvergelijkingen term voor term op te tellen (aftrekken).;
– Oplossing van het systeem met behulp van de formules van Cramer;
– Het systeem oplossen met behulp van een inverse matrix;
– Het systeem oplossen met behulp van de Gaussiaanse methode.

Iedereen is bekend met stelsels van lineaire vergelijkingen uit schoolcursus wiskunde. Eigenlijk beginnen we met herhaling.

Een stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de substitutiemethode

Deze methode wordt ook wel de “schoolmethode” genoemd, of de methode om onbekenden te elimineren. Figuurlijk gesproken kan het ook ‘een onvoltooide Gaussiaanse methode’ worden genoemd.

Voorbeeld 1

Hier krijgen we een systeem van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Merk op dat de vrije termen (nummers 5 en 7) zich aan de linkerkant van de vergelijking bevinden. Over het algemeen maakt het niet uit waar ze zich bevinden, links of rechts, alleen zitten ze bij problemen in de hogere wiskunde vaak zo. En een dergelijke opname mag indien nodig niet tot verwarring leiden, het systeem kan altijd “zoals gebruikelijk” worden geschreven: . Vergeet niet dat wanneer u een term van deel naar deel verplaatst, het teken ervan moet veranderen.

Wat betekent het om een ​​stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen? Het oplossen van een stelsel vergelijkingen betekent het vinden van veel van de oplossingen ervan. De oplossing van een systeem is een reeks waarden van alle variabelen die erin zijn opgenomen, waardoor ELKE vergelijking van het systeem in een echte gelijkheid verandert. Bovendien kan het systeem dat zijn niet-gezamenlijk (heb geen oplossingen) Maak je geen zorgen, dat is zo algemene definitie=) We zullen slechts één waarde “x” en één waarde “y” hebben, die voldoen aan elke vergelijking c-we.

Er is een grafische methode om het systeem op te lossen, waarmee u in de klas vertrouwd kunt raken. De eenvoudigste problemen met een lijn. Daar heb ik het over gehad geometrische zin stelsels van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Maar nu is dit het tijdperk van algebra, en getallen-getallen, acties-acties.

Laten we beslissen: uit de eerste vergelijking drukken we uit:
We vervangen de resulterende uitdrukking in de tweede vergelijking:

We openen de haakjes, voegen soortgelijke termen toe en vinden de waarde:

Vervolgens herinneren we ons waarvoor we dansten:
We kennen de waarde al, het enige dat overblijft is het vinden van:

Antwoord:

Nadat ELK stelsel vergelijkingen op WELKE manier dan ook is opgelost, raad ik u ten zeerste aan dit te controleren (mondeling, op een concept of op een rekenmachine). Gelukkig gaat dit gemakkelijk en snel.

1) Vervang het gevonden antwoord in de eerste vergelijking:

– de juiste gelijkheid wordt verkregen.

2) Vervang het gevonden antwoord in de tweede vergelijking:

– de juiste gelijkheid wordt verkregen.

Of, eenvoudiger gezegd: “alles kwam samen”

De beschouwde oplossingsmethode is niet de enige uit de eerste vergelijking die mogelijk was om uit te drukken, en niet.
Je kunt het tegenovergestelde doen: iets uit de tweede vergelijking uitdrukken en dit in de eerste vergelijking vervangen. Merk trouwens op dat de meest nadelige van de vier methoden is om uit te drukken op basis van de tweede vergelijking:

Het resultaat zijn breuken, maar waarom? Er is een meer rationele oplossing.

In sommige gevallen kun je echter nog steeds niet zonder breuken. In dit verband zou ik uw aandacht willen vestigen op HOE ik de uitdrukking heb opgeschreven. Niet zo: en in geen geval zo: .

Als je in de hogere wiskunde te maken hebt met breuken, probeer dan alle berekeningen uit te voeren in gewone onechte breuken.

Precies, en niet of!

Een komma kan slechts af en toe worden gebruikt, vooral als dit het definitieve antwoord is op een bepaald probleem en er geen verdere acties met dit getal hoeven te worden uitgevoerd.

Veel lezers dachten waarschijnlijk “waarom zo’n gedetailleerde uitleg als voor een correctieklasse, alles is duidelijk.” Niets van dat alles, het lijkt zo simpel schoolvoorbeeld, en hoeveel ZEER belangrijke conclusies! Hier is er nog een:

Je moet ernaar streven elke taak op de meest rationele manier uit te voeren. Al was het maar omdat het tijd en zenuwen bespaart en bovendien de kans op fouten verkleint.

Als je bij een probleem in de hogere wiskunde een systeem tegenkomt van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden, dan kun je altijd de substitutiemethode gebruiken (tenzij aangegeven wordt dat het systeem op een andere manier opgelost moet worden). Geen enkele leraar zal dat doen denk dat je een sukkel bent en je cijfer zal verlagen voor het gebruik van de “schoolmethode” "
Bovendien is het in sommige gevallen raadzaam om de substitutiemethode te gebruiken met een groter aantal variabelen.

Voorbeeld 2

Los een stelsel lineaire vergelijkingen met drie onbekenden op

Een soortgelijk systeem van vergelijkingen ontstaat vaak bij het gebruik van de zogenaamde methode van onbepaalde coëfficiënten, wanneer we de integraal van een fractionele rationale functie vinden. Het betreffende systeem is door mij daar vandaan gehaald.

Bij het vinden van de integraal is het doel: snel vind de waarden van de coëfficiënten, in plaats van de formules van Cramer, de inverse matrixmethode, enz. te gebruiken. Daarom is in dit geval de substitutiemethode geschikt.

Wanneer een systeem van vergelijkingen wordt gegeven, is het allereerst wenselijk om uit te zoeken of het mogelijk is om het ONMIDDELLIJK op de een of andere manier te vereenvoudigen? Als we de vergelijkingen van het systeem analyseren, merken we dat de tweede vergelijking van het systeem door 2 kan worden gedeeld, en dat is wat we doen:

Referentie: wiskundig teken betekent “hieruit volgt dit”, het wordt vaak gebruikt bij het oplossen van problemen.

Laten we nu de vergelijkingen analyseren; we moeten een variabele uitdrukken in termen van de andere. Welke vergelijking moet ik kiezen? Je raadde waarschijnlijk al dat de eenvoudigste manier om dit doel te bereiken is om de eerste vergelijking van het systeem te nemen:

Hier, ongeacht welke variabele je wilt uitdrukken, kun je net zo gemakkelijk of uitdrukken.

Vervolgens vervangen we de uitdrukking voor in de tweede en derde vergelijkingen van het systeem:

We openen de haakjes en presenteren vergelijkbare termen:

Deel de derde vergelijking door 2:

Vanuit de tweede vergelijking drukken we uit en vervangen we deze in de derde vergelijking:

Bijna alles is klaar, uit de derde vergelijking vinden we:
Uit de tweede vergelijking:
Uit de eerste vergelijking:

Controle: vervang de gevonden waarden van de variabelen in de linkerkant van elke vergelijking van het systeem:

1)
2)
3)

De overeenkomstige rechterkanten van de vergelijkingen worden verkregen, waardoor de oplossing correct wordt gevonden.

Voorbeeld 3

Los een stelsel lineaire vergelijkingen met 4 onbekenden op

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen (antwoord aan het einde van de les).

Het systeem oplossen door term-voor-term optellen (aftrekken) van de systeemvergelijkingen

Bij het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen moet je proberen niet de "schoolmethode" te gebruiken, maar de methode van term voor term optellen (aftrekken) van de vergelijkingen van het systeem. Waarom? Dit bespaart tijd en vereenvoudigt de berekeningen, maar nu wordt alles duidelijker.

Voorbeeld 4

Los een stelsel lineaire vergelijkingen op:

Ik heb hetzelfde systeem genomen als in het eerste voorbeeld.
Als we het systeem van vergelijkingen analyseren, merken we dat de coëfficiënten van de variabele identiek zijn qua grootte en tegengesteld van teken (–1 en 1). In een dergelijke situatie kunnen de vergelijkingen term voor term worden toegevoegd:

Acties die rood omcirkeld zijn, worden MENTAAL uitgevoerd.
Zoals u kunt zien, zijn we door het optellen van termen per term de variabele kwijtgeraakt. Dit is in feite wat de essentie van de methode is om van een van de variabelen af ​​te komen.

1. Het systeem oplossen met behulp van de substitutiemethode.
2. Het systeem oplossen door de systeemvergelijkingen term voor term op te tellen (aftrekken).

Om het stelsel vergelijkingen op te lossen via substitutiemethode je moet een eenvoudig algoritme volgen:
1. Express. Uit elke vergelijking drukken we één variabele uit.
2. Vervanger. We vervangen de resulterende waarde in een andere vergelijking in plaats van de uitgedrukte variabele.
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele. Wij vinden een oplossing voor het systeem.

Om te beslissen systeem door term-voor-term optellen (aftrekken) methode moet:
1. Selecteer een variabele waarvoor we identieke coëfficiënten gaan maken.
2. We voegen vergelijkingen toe of trekken ze af, wat resulteert in een vergelijking met één variabele.
3. Los de resulterende lineaire vergelijking op. Wij vinden een oplossing voor het systeem.

De oplossing voor het systeem zijn de snijpunten van de functiegrafieken.

Laten we de oplossing van systemen in detail bekijken met behulp van voorbeelden.

Voorbeeld #1:

Laten we het oplossen via de substitutiemethode

2x+5y=1 (1 vergelijking)
x-10y=3 (2e vergelijking)

1. Express
Het is te zien dat er in de tweede vergelijking een variabele x is met een coëfficiënt van 1, wat betekent dat het het gemakkelijkst is om de variabele x uit de tweede vergelijking uit te drukken.
x=3+10j

2. Nadat we het hebben uitgedrukt, vervangen we 3+10y in de eerste vergelijking in plaats van de variabele x.
2(3+10j)+5j=1

3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele.
2(3+10y)+5y=1 (open de haakjes)
6+20j+5j=1
25j=1-6
25j=-5 |: (25)
j=-5:25
y=-0,2

De oplossing voor het vergelijkingssysteem zijn de snijpunten van de grafieken, daarom moeten we x en y vinden, omdat het snijpunt bestaat uit x en y. Laten we x vinden, in het eerste punt waar we het uitdrukten, vervangen we daar y .
x=3+10j
x=3+10*(-0,2)=1

Het is gebruikelijk om punten in de eerste plaats te schrijven door de variabele x te schrijven, en in de tweede plaats door de variabele y.
Antwoord: (1; -0,2)

Voorbeeld #2:

Laten we het oplossen met behulp van de term-voor-term optelling (aftrekking) methode.

3x-2y=1 (1 vergelijking)
2x-3y=-10 (2e vergelijking)

1. We kiezen een variabele, laten we zeggen dat we x kiezen. In de eerste vergelijking heeft de variabele x een coëfficiënt van 3, in de tweede - 2. We moeten de coëfficiënten hetzelfde maken, hiervoor hebben we het recht om de vergelijkingen te vermenigvuldigen of te delen door een willekeurig getal. We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met 2 en de tweede met 3 en krijgen een totale coëfficiënt van 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trek de tweede af van de eerste vergelijking om de variabele x weg te werken. Los de lineaire vergelijking op.
__6x-4y=2

5j=32 | :5
j=6,4

3. Zoek x. We vervangen de gevonden y in een van de vergelijkingen, laten we zeggen in de eerste vergelijking.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Het snijpunt zal x=4,6 zijn; j=6,4
Antwoord: (4,6; 6,4)

Wil jij je gratis voorbereiden op examens? Bijlesdocent online gratis. Geen grap.

Los het systeem op met twee onbekenden - dit betekent het vinden van alle paren variabele waarden die aan elk van de gegeven vergelijkingen voldoen. Elk dergelijk paar wordt geroepen systeem oplossing.

Voorbeeld:
Het waardenpaar \(x=3\);\(y=-1\) is een oplossing voor het eerste systeem, omdat bij het vervangen van deze drieën en min-enen in het systeem in plaats van \(x\) en \ (y\), beide vergelijkingen worden de juiste gelijkheden \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( gevallen)\)

Maar \(x=1\); \(y=-2\) - is geen oplossing voor het eerste systeem, omdat na substitutie de tweede vergelijking “niet convergeert” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Merk op dat dergelijke paren vaak korter worden geschreven: in plaats van "\(x=3\); \(y=-1\)" schrijven ze als volgt: \((3;-1)\).

Hoe los je een stelsel lineaire vergelijkingen op?

Er zijn drie manieren om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen:

1. Vervangingsmethode.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Pijl naar rechts\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Pijl-links-rechts\)

Vervang de resulterende uitdrukking in plaats van deze variabele in een andere vergelijking van het systeem.

\(\Pijl naar rechts\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Pijl naar rechts\)

1. \(\begin(gevallen)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(gevallen)\)

   In de tweede vergelijking is elke term even, dus vereenvoudigen we de vergelijking door deze te delen door \(2\).
   

   \(\begin(hoofdletters)13x+9y=17\\6x-y=13\end(hoofdletters)\)

   Dit systeem kan op een van de volgende manieren worden opgelost, maar het lijkt mij dat de vervangingsmethode hier het handigst is. Laten we y uitdrukken uit de tweede vergelijking.
   

   \(\begin(hoofdletters)13x+9y=17\\y=6x-13\end(hoofdletters)\)

   Laten we \(6x-13\) vervangen door \(y\) in de eerste vergelijking.
   

   \(\begin(gevallen)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   De eerste vergelijking veranderde in een gewone. Laten we het oplossen.

   Laten we eerst de haakjes openen.
   

   \(\begin(gevallen)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Laten we \(117\) naar rechts verplaatsen en vergelijkbare termen presenteren.

   \(\begin(gevallen)67x=134\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Laten we beide zijden van de eerste vergelijking delen door \(67\).

   \(\begin(gevallen)x=2\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Hoera, we hebben \(x\) gevonden! Laten we de waarde ervan in de tweede vergelijking vervangen en \(y\) vinden.

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Pijl naar rechts\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Laten we het antwoord opschrijven.