Een driehoek is de eenvoudigste geometrische figuur, die uit drie zijden en drie hoekpunten bestaat. Vanwege zijn eenvoud wordt de driehoek al sinds de oudheid gebruikt om uit te voeren diverse metingen, en vandaag de dag kan het cijfer nuttig zijn voor het oplossen van praktische en alledaagse problemen.

Kenmerken van een driehoek

Het cijfer wordt al sinds de oudheid gebruikt voor berekeningen. Landmeters en astronomen werken bijvoorbeeld met de eigenschappen van driehoeken om gebieden en afstanden te berekenen. Het is gemakkelijk om het gebied van elke n-hoek uit te drukken door het gebied van deze figuur, en deze eigenschap werd door oude wetenschappers gebruikt om formules af te leiden voor de gebieden van veelhoeken. Vaste baan met driehoeken, vooral met de rechthoekige driehoek, werd de basis voor een hele tak van de wiskunde: trigonometrie.

Driehoeksgeometrie

De eigenschappen van de geometrische figuur worden al sinds de oudheid bestudeerd: de vroegste informatie over de driehoek werd gevonden in Egyptische papyri van 4.000 jaar geleden. Vervolgens werd de figuur bestudeerd Het oude Griekenland en de grootste bijdragen aan de geometrie van de driehoek werden geleverd door Euclides, Pythagoras en Heron. De studie van de driehoek hield nooit op en in de 18e eeuw introduceerde Leonhard Euler het concept van het orthocentrum van een figuur en de Euler-cirkel. Aan het begin van de 19e en 20e eeuw, toen het leek alsof absoluut alles bekend was over de driehoek, formuleerde Frank Morley de stelling over hoektrisectoren, en Waclaw Sierpinski stelde de fractale driehoek voor.

Er zijn verschillende soorten platte driehoeken die ons bekend zijn schoolcursus geometrie:

• acuut - alle hoeken van de figuur zijn acuut;
• stomp - de figuur heeft er een stompe hoek(meer dan 90 graden);
• rechthoekig - de figuur bevat één rechte hoek gelijk aan 90 graden;
• gelijkbenig - een driehoek met twee gelijke zijden;
• gelijkzijdig - een driehoek met allemaal gelijke zijden.
• IN echte leven Er zijn allerlei soorten driehoeken, en in sommige gevallen moeten we misschien de oppervlakte van een geometrische figuur berekenen.

Oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte is een schatting van hoeveel van het vlak een figuur omsluit. De oppervlakte van een driehoek kan op zes manieren worden gevonden, met behulp van de zijkanten, hoogte, hoeken, straal van de ingeschreven of omgeschreven cirkel, maar ook met behulp van de formule van Heron of berekenen dubbele integraal langs de lijnen die het vlak begrenzen. De eenvoudigste formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek is:

waarbij a de zijde van de driehoek is, is h de hoogte.

In de praktijk is het voor ons echter niet altijd handig om de hoogte van een geometrische figuur te vinden. Met het algoritme van onze rekenmachine kunt u de oppervlakte berekenen, wetende:

• drie zijden;
• twee zijden en de hoek ertussen;
• één kant en twee hoeken.

Om de oppervlakte via drie zijden te bepalen, gebruiken we de formule van Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

waarbij p de halve omtrek van de driehoek is.

Het gebied aan twee zijden en een hoek wordt berekend met behulp van de klassieke formule:

S = a × b × sin(alfa),

waarbij alfa de hoek is tussen zijden a en b.

Om de oppervlakte te bepalen in termen van één zijde en twee hoeken, gebruiken we de relatie die:

a / sin(alfa) = b / sin(bèta) = c / sin(gamma)

Met behulp van een eenvoudige verhouding bepalen we de lengte van de tweede zijde, waarna we de oppervlakte berekenen met de formule S = a × b × sin(alfa). Dit algoritme is volledig geautomatiseerd en u hoeft alleen de opgegeven variabelen in te voeren om het resultaat te krijgen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeelden uit het leven

Bestrating platen

Stel dat u de vloer wilt plaveien met driehoekige tegels, en bepaal het aantal benodigde materiaal, zou je het oppervlak van één tegel en het oppervlak van de vloer moeten achterhalen. Stel dat je 6 vierkante meter oppervlak moet verwerken met een tegel waarvan de afmetingen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm zijn. Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruikt de rekenmachine uiteraard de formule van Heron en geeft het resultaat:

Het oppervlak van één tegelelement zal dus 0,021 zijn vierkante meter, en je hebt 6/0,021 = 285 driehoeken nodig voor de vloerverbetering. De getallen 20, 21 en 29 vormen een Pythagoras drietal-getallen die voldoen aan . En dat klopt, onze rekenmachine heeft ook alle hoeken van de driehoek berekend, en de gammahoek is precies 90 graden.

Schooltaak

Bij een schoolprobleem moet je de oppervlakte van een driehoek vinden, wetende dat zijde a = 5 cm, en de hoeken alfa en bèta respectievelijk 30 en 50 graden zijn. Om dit probleem handmatig op te lossen, zouden we eerst de waarde van zijde b vinden met behulp van de verhouding van de beeldverhouding en de sinussen van de tegenovergestelde hoeken, en vervolgens de oppervlakte bepalen met behulp van de eenvoudige formule S = a × b × sin(alfa). Laten we tijd besparen, de gegevens in het rekenmachineformulier invoeren en direct antwoord krijgen

Bij het gebruik van de rekenmachine is het belangrijk om de hoeken en zijden correct aan te geven, anders is het resultaat onjuist.

Conclusie

De driehoek is een uniek figuur die zowel in het echte leven als in abstracte berekeningen voorkomt. Gebruik onze online calculator om de oppervlakte van welke driehoek dan ook te bepalen.

Een driehoek is een geometrische figuur die bestaat uit drie rechte lijnen die met elkaar verbonden zijn op punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen. De verbindingspunten van de lijnen zijn de hoekpunten van de driehoek, die worden aangegeven met Latijnse letters (bijvoorbeeld A, B, C). De verbindende rechte lijnen van een driehoek worden segmenten genoemd, die meestal ook worden aangegeven met Latijnse letters. Er worden de volgende soorten driehoeken onderscheiden:

• Rechthoekig.
• Stomp.
• Acuut hoekig.
• Veelzijdig.
• Gelijkzijdig.
• Gelijkbenig.

Algemene formules voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek

Formule voor de oppervlakte van een driehoek op basis van lengte en hoogte

S= a*u/2,
waarbij a de lengte is van de zijde van de driehoek waarvan de oppervlakte moet worden gevonden, is h de lengte van de hoogte getekend naar de basis.

De formule van Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
waar √ is vierkantswortel, p is de halve omtrek van de driehoek, a,b,c is de lengte van elke zijde van de driehoek. De halve omtrek van een driehoek kan worden berekend met de formule p=(a+b+c)/2.

Formule voor de oppervlakte van een driehoek op basis van de hoek en de lengte van het segment

S = (a*b*sin(α))/2,
Waar b,c is de lengte van de zijden van de driehoek, sin(α) is de sinus van de hoek tussen de twee zijden.

Formule voor de oppervlakte van een driehoek gegeven de straal van de ingeschreven cirkel en drie zijden

S=p*r,
waarbij p de halve omtrek is van de driehoek waarvan de oppervlakte moet worden gevonden, is r de straal van de cirkel die in deze driehoek is ingeschreven.

Formule voor de oppervlakte van een driehoek gebaseerd op drie zijden en de straal van de cirkel eromheen

S= (a*b*c)/4*R,
waar a,b,c de lengte is van elke zijde van de driehoek, is R de straal van de cirkel die om de driehoek heen wordt beschreven.

Formule voor de oppervlakte van een driehoek met behulp van de cartesiaanse coördinaten van punten

Cartesische coördinaten van punten zijn coördinaten in het xOy-systeem, waarbij x de abscis is en y de ordinaat. Het cartesiaanse coördinatensysteem xOy op een vlak is de onderling loodrechte numerieke assen Ox en Oy met gemeenschappelijk begin referentie op punt O. Als de coördinaten van punten op dit vlak worden gegeven in de vorm A(x1, y1), B(x2, y2) en C(x3, y3), dan kun je de oppervlakte van de driehoek berekenen met behulp van de volgende formule, die wordt verkregen uit vectorproduct twee vectoren.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
waar || staat voor moduul.

Hoe de oppervlakte van een rechthoekige driehoek te vinden

Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één hoek van 90 graden. Een driehoek kan slechts één dergelijke hoek hebben.

Formule voor de oppervlakte van een rechthoekige driehoek aan twee zijden

S= a*b/2,
waarbij a,b de lengte van de benen is. Benen zijn de zijkanten die grenzen aan een rechte hoek.

Formule voor de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gebaseerd op de hypotenusa en de scherpe hoek

S = a*b*sin(α)/ 2,
waarbij a, b de benen van de driehoek zijn, en sin(α) de sinus is van de hoek waaronder de lijnen a, b elkaar snijden.

Formule voor de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gebaseerd op de zijkant en de tegenovergestelde hoek

S = a*b/2*tg(β),
waar a, b de benen van de driehoek zijn, is tan(β) de tangens van de hoek waaronder de benen a, b verbonden zijn.

Hoe de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek te berekenen

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden. Deze zijden worden de zijkanten genoemd en de andere zijde is de basis. Om de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek te berekenen, kunt u een van de volgende formules gebruiken.

Basisformule voor het berekenen van de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek

S=h*c/2,
waarbij c de basis van de driehoek is, is h de hoogte van de driehoek verlaagd tot de basis.

Formule van een gelijkbenige driehoek gebaseerd op zijde en basis

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
waarbij c de basis van de driehoek is, is a de grootte van een van de zijden van de gelijkbenige driehoek.

Hoe de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek te vinden

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan alle zijden gelijk zijn. Om de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek te berekenen, kun je de volgende formule gebruiken:
S = (√3*a*a)/4,
waarbij a de lengte is van de zijde van de gelijkzijdige driehoek.

Met de bovenstaande formules kunt u de vereiste oppervlakte van de driehoek berekenen. Het is belangrijk om te onthouden dat u bij het berekenen van de oppervlakte van driehoeken rekening moet houden met het type driehoek en de beschikbare gegevens die voor de berekening kunnen worden gebruikt.

Concept van gebied

Het concept van het gebied van elke geometrische figuur, in het bijzonder een driehoek, zal worden geassocieerd met een figuur zoals een vierkant. Voor de eenheidsoppervlakte van elke geometrische figuur nemen we de oppervlakte van een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan één. Laten we voor de volledigheid twee basiseigenschappen in herinnering brengen voor het concept van gebieden van geometrische figuren.

Eigenschap 1: Als geometrische vormen gelijk zijn, dan zijn hun oppervlakten ook gelijk.

Eigenschap 2: Elk figuur kan in verschillende figuren worden verdeeld. Bovendien is de oppervlakte van de oorspronkelijke figuur gelijk aan de som van de oppervlakten van alle samenstellende figuren.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Voorbeeld 1

Het is duidelijk dat een van de zijden van de driehoek een diagonaal is van een rechthoek, waarvan de ene zijde een lengte heeft van $5$ (aangezien er $5$-cellen zijn) en de andere zijde $6$ is (aangezien er $6$-cellen zijn). Daarom zal de oppervlakte van deze driehoek gelijk zijn aan de helft van zo'n rechthoek. De oppervlakte van de rechthoek is

Dan is de oppervlakte van de driehoek gelijk aan

Antwoord: $ 15 $.

Vervolgens zullen we verschillende methoden overwegen om de gebieden van driehoeken te vinden, namelijk met behulp van de hoogte en basis, met behulp van de formule van Heron en de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek.

Hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt vinden aan de hand van de hoogte en basis

Stelling 1

De oppervlakte van een driehoek kun je vinden als de helft van het product van de lengte van een zijde en de hoogte tot die zijde.

Wiskundig gezien ziet het er zo uit

$S=\frac(1)(2)αh$

waarbij $a$ de lengte van de zijde is, en $h$ de hoogte die ernaar toe getrokken wordt.

Bewijs.

Beschouw een driehoek $ABC$ waarin $AC=α$. De hoogte $BH$ wordt naar deze kant getrokken, wat gelijk is aan $h$. Laten we het opbouwen tot het vierkant $AXYC$ zoals in figuur 2.

De oppervlakte van rechthoek $AXBH$ is $h\cdot AH$, en de oppervlakte van rechthoek $HBYC$ is $h\cdot HC$. Dan

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daarom is de vereiste oppervlakte van de driehoek, volgens eigenschap 2, gelijk aan

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

De stelling is bewezen.

Voorbeeld 2

Zoek de oppervlakte van de driehoek in de onderstaande afbeelding als de cel een oppervlakte gelijk aan één heeft

De basis van deze driehoek is gelijk aan $9$ (aangezien $9$ vierkanten van $9$ zijn). De hoogte is ook $ 9 $. Dan krijgen we volgens Stelling 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwoord: $ 40,5 $.

De formule van Heron

Stelling 2

Als we drie zijden van een driehoek $α$, $β$ en $γ$ krijgen, dan kan de oppervlakte ervan als volgt worden gevonden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier betekent $ρ$ de halve omtrek van deze driehoek.

Bewijs.

Beschouw het volgende figuur:

Volgens de stelling van Pythagoras verkrijgen we uit de driehoek $ABH$

Uit de driehoek $CBH$, volgens de stelling van Pythagoras, hebben we

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Uit deze twee relaties verkrijgen we de gelijkheid

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Omdat $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dan $α+β+γ=2ρ$, wat betekent

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Volgens Stelling 1 krijgen we

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Zoals u zich wellicht herinnert van schoolcurriculum Volgens de geometrie is een driehoek een figuur gevormd uit drie segmenten verbonden door drie punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen. Een driehoek vormt drie hoeken, vandaar de naam van de figuur. De definitie kan anders zijn. Een driehoek kan ook een veelhoek met drie hoeken worden genoemd, het antwoord zal ook correct zijn. Driehoeken worden verdeeld volgens het aantal gelijke zijden en de grootte van de hoeken in de figuren. Zo worden driehoeken onderscheiden als gelijkbenig, gelijkzijdig en ongelijkzijdig, evenals respectievelijk rechthoekig, scherp en stomp.

Er zijn veel formules voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek. Kies hoe u de oppervlakte van een driehoek wilt vinden, d.w.z. Welke formule u moet gebruiken, is aan u. Maar het is de moeite waard om slechts enkele van de notaties te vermelden die in veel formules worden gebruikt voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek. Onthoud dus:

S is de oppervlakte van de driehoek,

a, b, c zijn de zijden van de driehoek,

h is de hoogte van de driehoek,

R is de straal van de omgeschreven cirkel,

p is de halve omtrek.

Hier zijn de basisnotaties die nuttig voor u kunnen zijn als u uw meetkundecursus helemaal bent vergeten. Hieronder staan ​​​​de meest begrijpelijke en ongecompliceerde opties voor het berekenen van het onbekende en mysterieus plein driehoek. Het is niet moeilijk en zal zowel nuttig zijn voor uw huishoudelijke behoeften als voor het helpen van uw kinderen. Laten we onthouden hoe we de oppervlakte van een driehoek zo eenvoudig mogelijk kunnen berekenen:

In ons geval is de oppervlakte van de driehoek: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 vierkante cm. Houd er rekening mee dat de oppervlakte wordt gemeten in vierkante centimeters (sqcm).

Rechthoekige driehoek en zijn oppervlakte.

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek gelijk is aan 90 graden (vandaar rechts genoemd). Een rechte hoek wordt gevormd door twee loodrechte lijnen (in het geval van een driehoek twee loodrechte segmenten). In een rechthoekige driehoek kan er maar één rechte hoek zijn, omdat... de som van alle hoeken van een driehoek is gelijk aan 180 graden. Het blijkt dat 2 andere hoeken de resterende 90 graden moeten verdelen, bijvoorbeeld 70 en 20, 45 en 45, enz. Dus je onthoudt het belangrijkste, het enige dat overblijft is uitzoeken hoe je de oppervlakte van een rechthoekige driehoek kunt vinden. Laten we ons voorstellen dat we zo'n rechthoekige driehoek voor ons hebben, en we moeten het gebied S ervan vinden.

1. De eenvoudigste manier om de oppervlakte van een rechthoekige driehoek te bepalen, wordt berekend met behulp van de volgende formule:

In ons geval is de oppervlakte van de rechthoekige driehoek: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 vierkante cm.

Het is in principe niet meer nodig om de oppervlakte van de driehoek op andere manieren te verifiëren, omdat Alleen deze zal nuttig zijn en helpen in het dagelijks leven. Maar er zijn ook mogelijkheden om de oppervlakte van een driehoek via scherpe hoeken te meten.

2. Voor andere rekenmethoden heb je een tabel met cosinussen, sinussen en raaklijnen nodig. Oordeel zelf, hier zijn enkele opties voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek die nog steeds kunnen worden gebruikt:

We besloten de eerste formule te gebruiken en met enkele kleine vlekken (we tekenden het in een notitieboekje en gebruikten een oude liniaal en gradenboog), maar we kregen de juiste berekening:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). We kregen de volgende resultaten: 3,6=3,7, maar rekening houdend met de verschuiving van cellen kunnen we deze nuance vergeven.

Gelijkbenige driehoek en zijn oppervlakte.

Als u voor de taak staat om de formule voor een gelijkbenige driehoek te berekenen, dan is de eenvoudigste manier om de hoofdformule te gebruiken en wat wordt beschouwd als de klassieke formule voor de oppervlakte van een driehoek.

Maar laten we eerst, voordat we het gebied van een gelijkbenige driehoek vinden, uitvinden wat voor soort figuur dit is. Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan twee zijden dezelfde lengte hebben. Deze twee zijden worden lateraal genoemd, de derde zijde wordt de basis genoemd. Verwar een gelijkbenige driehoek niet met een gelijkzijdige driehoek, d.w.z. een regelmatige driehoek waarvan alle drie de zijden gelijk zijn. In zo'n driehoek zijn er geen speciale neigingen voor de hoeken, of beter gezegd, voor hun grootte. De hoeken aan de basis van een gelijkbenige driehoek zijn echter gelijk, maar verschillen van de hoek tussen gelijke zijden. Dus je kent de eerste en hoofdformule al; het blijft nog om erachter te komen welke andere formules bekend zijn voor het bepalen van de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek:

De driehoek is een figuur die iedereen kent. En dit ondanks de rijke verscheidenheid aan vormen. Rechthoekig, gelijkzijdig, acuut, gelijkbenig, stomp. Elk van hen is op de een of andere manier anders. Maar voor iedereen moet je de oppervlakte van een driehoek achterhalen.

Formules die voor alle driehoeken gelden en die de lengtes van zijden of hoogtes gebruiken

De daarin aangenomen aanduidingen: zijden - a, b, c; hoogten op de overeenkomstige zijden op a, n in, n met.

1. De oppervlakte van een driehoek wordt berekend als het product van ½, een zijde en de hoogte daarvan afgetrokken. S = ½ * een * n een. De formules voor de andere twee zijden moeten op dezelfde manier worden geschreven.

2. De formule van Heron, waarin de halve omtrek verschijnt (deze wordt meestal aangegeven met de kleine letter p, in tegenstelling tot de volledige omtrek). De halve omtrek moet als volgt worden berekend: tel alle zijden bij elkaar op en deel ze door 2. De formule voor de halve omtrek is: p = (a+b+c) / 2. Dan de gelijkheid voor de oppervlakte van ​​de figuur ziet er als volgt uit: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Als u geen halve omtrek wilt gebruiken, is een formule die alleen de lengtes van de zijden bevat nuttig: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Het is iets langer dan de vorige, maar het zal helpen als je vergeten bent hoe je de halve omtrek kunt vinden.

Algemene formules met betrekking tot de hoeken van een driehoek

Notaties die nodig zijn om de formules te lezen: α, β, γ - hoeken. Ze liggen respectievelijk tegenover de zijden a, b, c.

1. Volgens dit is de helft van het product van twee zijden en de sinus van de hoek daartussen gelijk aan de oppervlakte van de driehoek. Dat wil zeggen: S = ½ a * b * sin γ. De formules voor de andere twee gevallen moeten op een vergelijkbare manier worden geschreven.

2. De oppervlakte van een driehoek kan worden berekend met één zijde en drie bekende hoeken. S = (a 2 * zonde β * zonde γ) / (2 zonde α).

3. Er is ook een formule met één bekende zijde en twee aangrenzende hoeken. Het ziet er zo uit: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De laatste twee formules zijn niet de eenvoudigste. Het is best moeilijk om ze te onthouden.

Algemene formules voor de situatie waarin de stralen van ingeschreven of omgeschreven cirkels bekend zijn

Aanvullende aanduidingen: r, R - stralen. De eerste wordt gebruikt voor de straal van de ingeschreven cirkel. De tweede is voor degene die wordt beschreven.

1. De eerste formule waarmee de oppervlakte van een driehoek wordt berekend, heeft betrekking op de halve omtrek. S = r * r. Een andere manier om het te schrijven is: S = ½ r * (a + b + c).

2. In het tweede geval moet je alle zijden van de driehoek vermenigvuldigen en deze delen door de straal van de omgeschreven cirkel te verviervoudigen. In letterlijke uitdrukking ziet het er als volgt uit: S = (a * b * c) / (4R).

3. In de derde situatie kun je het doen zonder de zijkanten te kennen, maar je hebt de waarden van alle drie de hoeken nodig. S = 2 R 2 * zonde α * zonde β * zonde γ.

Speciaal geval: rechthoekige driehoek

Dit is de eenvoudigste situatie, omdat alleen de lengte van beide benen nodig is. Ze worden aangeduid met de Latijnse letters a en b. De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek die eraan wordt toegevoegd.

Wiskundig gezien ziet het er als volgt uit: S = ½ a * b. Het is het gemakkelijkst te onthouden. Omdat het lijkt op de formule voor de oppervlakte van een rechthoek, verschijnt er slechts een breuk, die de helft aangeeft.

Speciaal geval: gelijkbenige driehoek

Omdat het twee gelijke zijden heeft, zien sommige formules voor de oppervlakte er enigszins vereenvoudigd uit. De formule van Heron, die de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek berekent, heeft bijvoorbeeld de volgende vorm:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Als je het transformeert, wordt het korter. In dit geval wordt de formule van Heron voor een gelijkbenige driehoek als volgt geschreven:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

De oppervlakteformule ziet er iets eenvoudiger uit dan voor een willekeurige driehoek als de zijden en de hoek daartussen bekend zijn. S = ½ a 2 * zonde β.

Speciaal geval: gelijkzijdige driehoek

Meestal is bij problemen de kant ervan bekend of kan deze op een of andere manier achterhaald worden. Dan is de formule voor het vinden van de oppervlakte van zo'n driehoek als volgt:

S = (een 2 √3) / 4.

Problemen om het gebied te vinden als de driehoek op geruit papier is afgebeeld

De eenvoudigste situatie is wanneer een rechthoekige driehoek zo wordt getekend dat de benen samenvallen met de lijnen van het papier. Dan hoef je alleen maar het aantal cellen te tellen dat in de benen past. Vermenigvuldig ze vervolgens en deel ze door twee.

Wanneer de driehoek scherp of stomp is, moet deze tot een rechthoek worden getekend. Dan heeft de resulterende figuur 3 driehoeken. Eén ervan is degene die in het probleem wordt gegeven. En de andere twee zijn hulp- en rechthoekig. De oppervlakten van de laatste twee moeten worden bepaald met behulp van de hierboven beschreven methode. Bereken vervolgens de oppervlakte van de rechthoek en trek daarvan de berekende oppervlakten voor de hulpstukken af. Het gebied van de driehoek wordt bepaald.

De situatie waarin geen van de zijden van de driehoek samenvalt met de lijnen van het papier blijkt veel ingewikkelder te zijn. Vervolgens moet het in een rechthoek worden ingeschreven, zodat de hoekpunten van de originele figuur op de zijkanten liggen. In dit geval zijn er drie rechthoekige hulpdriehoeken.

Voorbeeld van een probleem met de formule van Heron

Voorwaarde. Sommige driehoeken hebben bekende zijden. Ze zijn gelijk aan 3, 5 en 6 cm. Je moet de oppervlakte ervan achterhalen.

Nu kunt u de oppervlakte van de driehoek berekenen met behulp van de bovenstaande formule. Onder de vierkantswortel bevindt zich het product van vier getallen: 7, 4, 2 en 1. Dat wil zeggen, de oppervlakte is √(4 * 14) = 2 √(14).

Als grotere nauwkeurigheid niet vereist is, kunt u de vierkantswortel van 14 nemen. Deze is gelijk aan 3,74. Dan is de oppervlakte 7,48.

Antwoord. S = 2 √14 cm 2 of 7,48 cm 2.

Voorbeeldprobleem met een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Eén been van een rechthoekige driehoek is 31 cm groter dan de tweede. Je moet hun lengte achterhalen als de oppervlakte van de driehoek 180 cm2 is.
Oplossing. We zullen een stelsel van twee vergelijkingen moeten oplossen. De eerste heeft betrekking op de oppervlakte. De tweede betreft de verhouding van de benen, die in de opgave wordt gegeven.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Ten eerste moet de waarde van "a" in de eerste vergelijking worden vervangen. Het blijkt: 180 = ½ (in + 31) * in. Er is slechts één onbekende grootheid, dus het is gemakkelijk op te lossen. Na het openen van de beugels krijgen we kwadratische vergelijking: in 2 + 31 in - 360 = 0. Het geeft twee waarden voor "in": 9 en - 40. Het tweede getal is niet geschikt als antwoord, aangezien de lengte van de zijde van een driehoek niet negatief kan zijn waarde.

Het blijft nodig om het tweede deel te berekenen: voeg 31 toe aan het resulterende getal. Het blijkt 40 te zijn. Dit zijn de hoeveelheden die in het probleem worden gezocht.

Antwoord. De poten van de driehoek zijn 9 en 40 cm.

Probleem bij het vinden van een zijde door het gebied, de zijde en de hoek van een driehoek

Voorwaarde. De oppervlakte van een bepaalde driehoek is 60 cm2. Het is noodzakelijk om een ​​van de zijden te berekenen als de tweede zijde 15 cm is en de hoek daartussen 30 graden is.

Oplossing. Gebaseerd op de geaccepteerde notatie is de gewenste zijde “a”, de bekende zijde is “b”, de gegeven hoek is “γ”. Vervolgens kan de oppervlakteformule als volgt worden herschreven:

60 = ½ a * 15 * zonde 30º. Hier is de sinus van 30 graden 0,5.

Na transformaties blijkt “a” gelijk te zijn aan 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Dat is 16.

Antwoord. De benodigde zijde is 16 cm.

Probleem over een vierkant ingeschreven in een rechthoekige driehoek

Voorwaarde. Het hoekpunt van een vierkant met een zijde van 24 cm valt samen met de rechte hoek van de driehoek. De andere twee liggen aan de zijkanten. De derde behoort tot de hypotenusa. De lengte van een van de poten is 42 cm. Wat is de oppervlakte van de rechthoekige driehoek?

Oplossing. Laten we er twee overwegen rechthoekige driehoek. De eerste is degene die in de taak is opgegeven. De tweede is gebaseerd op het bekende been van de oorspronkelijke driehoek. Ze lijken op elkaar omdat ze een gemeenschappelijke hoek hebben en worden gevormd door evenwijdige lijnen.

Dan zijn de verhoudingen van hun benen gelijk. De poten van de kleinere driehoek zijn gelijk aan 24 cm (zijde van het vierkant) en 18 cm (gegeven been 42 cm, trek de zijkant van het vierkant 24 cm af). De overeenkomstige benen van een grote driehoek zijn 42 cm en x cm. Het is deze “x” die nodig is om de oppervlakte van de driehoek te berekenen.

18/42 = 24/x, dat wil zeggen x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Dan is de oppervlakte gelijk aan het product van 56 en 42 gedeeld door twee, dat wil zeggen 1176 cm2.

Antwoord. De benodigde oppervlakte is 1176 cm2.