wordt gegeven, met andere woorden, bekend als voor elke waarde mogelijk aantal argumenten kunt u de overeenkomstige waarde van de functie achterhalen. De meest voorkomende drie manier om een ​​functie te specificeren: tabellarisch, grafisch, analytisch, er zijn ook verbale en recursieve methoden.

1. Tabellarische methode de meest gebruikte (tabellen met logaritmen, vierkantswortels), het belangrijkste voordeel is de mogelijkheid om te verkrijgen numerieke waarde functies, de nadelen zijn dat de tabel moeilijk leesbaar kan zijn en soms geen tussenliggende argumentwaarden bevat.

Bijvoorbeeld:

Argument X neemt de waarden gespecificeerd in de tabel, en bij wordt bepaald op basis van dit argument X.

2. Grafische methode bestaat uit het tekenen van een lijn (grafiek) waarin de abscis de waarden van het argument vertegenwoordigt, en de ordinaat de overeenkomstige waarden van de functie. Voor de duidelijkheid worden de schalen op de assen vaak anders genomen.

Bijvoorbeeld: op schema te vinden bij, wat overeenkomt met x = 2,5 het is noodzakelijk om een ​​loodlijn op de as te tekenen X bij het merk 2,5 . Met een liniaal kan de markering vrij nauwkeurig worden gemaakt. Dan vinden we dat op X = 2,5 bij gelijk aan 7,5 , echter als we de waarde moeten vinden bij bij X gelijkwaardig 2,76 , dan zal de grafische methode voor het specificeren van de functie niet nauwkeurig genoeg zijn, omdat De liniaal maakt dergelijke nauwkeurige metingen niet mogelijk.

De voordelen van deze methode voor het specificeren van functies zijn het gemak en de integriteit van de waarneming, de continuïteit van veranderingen in het betoog; Het nadeel is de verminderde nauwkeurigheid en de moeilijkheid om nauwkeurige waarden te verkrijgen.

3. Analytische methode bestaat uit het specificeren van een functie met een of meer formules. Het belangrijkste voordeel van deze methode is de hoge nauwkeurigheid bij het bepalen van de functie van het interessante argument, maar het nadeel is de tijd die nodig is om aanvullende wiskundige bewerkingen uit te voeren.

Bijvoorbeeld:

De functie kan worden gespecificeerd met behulp van een wiskundige formule j=x2, dan als X gelijk aan 2 , Dat bij gelijk aan 4, wij zijn aan het bouwen X in een vierkant.

4. Verbale methode bestaat uit het specificeren van een functie in gewone taal, d.w.z. woorden. In dit geval is het noodzakelijk om invoer-, uitvoerwaarden en de correspondentie daartussen op te geven.

Bijvoorbeeld:

U kunt mondeling een functie (taak) specificeren die als een natuurlijk argument wordt geaccepteerd X met de overeenkomstige waarde van de som van de cijfers waaruit de waarde bestaat bij. Laten we het verduidelijken: als X gelijk aan 4 , Dat bij gelijk aan 4 , en als X gelijk aan 358 , Dat bij gelijk aan de som 3 + 5 + 8 , d.w.z. 16 . Verder vergelijkbaar.

5. Recursieve manier bestaat uit het specificeren van een functie via zichzelf, while functie waarden worden bepaald door de andere waarden. Deze methode voor het specificeren van een functie wordt gebruikt bij het specificeren van sets en reeksen.

Bijvoorbeeld:

Tijdens ontbinding Euler-nummers wordt gegeven door de functie:

De afkorting vindt u hieronder:

Bij directe berekeningen treedt een oneindige recursie op, maar het kan worden bewezen dat de waarde f(n) met toenemen N neigt naar eenheid (dus, ondanks de oneindigheid van de reeks, de waarde Euler-nummers Zeker). Voor een geschatte berekening van de waarde e het is voldoende om de recursiediepte kunstmatig te beperken tot een vooraf bepaald aantal en, wanneer u dit bereikt, deze in plaats daarvan te gebruiken f(n) eenheid.

>>Wiskunde: methoden voor het specificeren van een functie

Methoden voor het opgeven van een functie

Door in de vorige paragraaf verschillende voorbeelden van functies te geven, hebben we het begrip functie zelf enigszins verarmd.

Het definiëren van een functie betekent immers dat u een regel specificeert waarmee u de overeenkomstige waarde y kunt berekenen uit een willekeurig gekozen waarde x uit B(0. Meestal wordt deze regel geassocieerd met een formule of meerdere formules - deze methode voor het specificeren van een functie wordt meestal analytisch genoemd. Alle functies die in § 7 worden besproken, zijn analytisch gegeven. Ondertussen zijn er andere manieren om een ​​functie te definiëren, die in deze sectie zullen worden besproken.

Als de functie analytisch gespecificeerd was en we erin geslaagd zijn een grafiek van de functie te construeren, dan zijn we in feite overgegaan van de analytische methode om de functie te specificeren naar de grafische methode. De omgekeerde transitie is niet altijd mogelijk. In de regel is dit een nogal moeilijke maar interessante taak.

Niet elke lijn op het coördinatenvlak kan worden beschouwd als een grafiek van een bepaalde functie. Een cirkel gedefinieerd door de vergelijking x 2 + y 2 - 9 (Fig. 51) is bijvoorbeeld geen grafiek van een functie, aangezien elke rechte lijn x = a, waarbij | een |<3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).

Tegelijkertijd, als deze cirkel in twee delen wordt gesneden - de bovenste halve cirkel (Fig. 52) en de onderste halve cirkel (Fig. 53), dan kan elk van de halve cirkels worden beschouwd als een grafiek van een bepaalde functie, en in beide gevallen het is gemakkelijk om over te schakelen van de grafische methode voor het specificeren van de functie naar analytisch.

Uit de vergelijking x 2 + y 2 = 9 vinden we y 2 = 9 - x 2 en verder De grafiek van de functie is de bovenste halve cirkel van de cirkel x 2 + y 2 = 9 (Fig. 52), en de grafiek van de functie is de onderste halve cirkel van de cirkel x 2 + y 2 = 9 (Fig. 53) .

Dit voorbeeld stelt ons in staat de aandacht te vestigen op één belangrijke omstandigheid. Kijk naar de grafiek van de functie (Fig. 52). Het is meteen duidelijk dat D(f) = [-3, 3]. En als we het hadden over het vinden van het domein van de definitie van een analytisch gegeven functie, dan zouden we, zoals we deden in § 7, tijd en moeite moeten besteden aan het oplossen van de ongelijkheid. Daarom proberen ze meestal tegelijkertijd met beide te werken analytische en grafische methoden voor het specificeren van functies. Maar na twee jaar algebra studeren op school ben je hier al aan gewend geraakt.

Naast analytisch en grafisch wordt in de praktijk een tabellarische methode gebruikt om een ​​functie te specificeren. Met deze methode wordt een tabel geleverd die de waarden van de functie aangeeft (soms exact, soms bij benadering) voor een eindige set argumentwaarden. Voorbeelden van tabelfuncties kunnen tabellen met kwadraten van getallen, kubussen van getallen, vierkantswortels, enz. zijn.

In veel gevallen is tabelspecificatie van een functie handig. Hiermee kunt u zonder enige berekening de waarde van een functie vinden voor de argumentwaarden die beschikbaar zijn in de tabel.

Analytisch, grafisch, tabelvormig - naitabulair, eenvoudiger en daarom de meest populaire verbale taakfuncties, deze methoden zijn ruimschoots voldoende voor onze behoeften. In feite zijn er in de wiskunde nogal wat verschillende manieren om een ​​functie te definiëren, maar we zullen je nog maar één methode laten zien, die in zeer bijzondere situaties wordt gebruikt. We hebben het over de verbale methode, wanneer de regel voor het specificeren van een functie in woorden wordt beschreven. Laten we voorbeelden geven.

Voorbeeld 1.

De functie y = f(x) wordt gedefinieerd op de verzameling van alle niet-negatieve getallen met behulp van volgende regel: elk getal x > 0 wordt toegewezen aan de eerste decimaal in de decimale notatie van het getal x. Als bijvoorbeeld x = 2,534, dan is f(x) = 5 (de eerste decimaal is het getal 5); als x = 13,002, dan f(x) = 0; als we dan 0,6666... ​​​​schrijven als een oneindige decimale breuk, vinden we f(x) = 6. Wat is de waarde van f(15)? Het is gelijk aan 0, aangezien 15 = 15.000..., en we zien dat de eerste decimaal na de komma 0 is (in feite is de gelijkheid 15 = 14.999... ook waar, maar wiskundigen zijn overeengekomen dat niet te doen). denk aan oneindige periodieke decimale breuken met een punt 9).

Elk niet-negatief getal x kan worden geschreven als decimale(eindig of oneindig), en daarom kunnen we voor elke waarde van x een bepaalde waarde van de eerste decimaal vinden, zodat we over een functie kunnen praten, zij het een enigszins ongebruikelijke. Deze functie
Voorbeeld 2.

De functie y = f(x) wordt gedefinieerd op de verzameling van alle reële getallen met behulp van de volgende regel: elk getal x wordt geassocieerd met het grootste van alle gehele getallen die x niet overschrijden. Met andere woorden, de functie y = f(x) wordt bepaald door de volgende voorwaarden:

a) f(x) - een geheel getal;
b) f(x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
c) f(x) + 1 > x (aangezien f(x) het grootste gehele getal is dat x niet overschrijdt, wat betekent dat f(x) + 1 al groter is dan r). Als bijvoorbeeld x = 2,534, dan is f(x) = 2, aangezien ten eerste 2 een geheel getal is, en ten tweede 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....

Deze functie heeft (set gehele getallen).

De functie die in voorbeeld 2 wordt besproken, wordt het gehele deel van een getal genoemd; gebruik voor het gehele deel van het getal x de notatie [x]. Bijvoorbeeld = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. De grafiek van de functie y = [x] ziet er heel eigenaardig uit (Fig. 54).

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een verzoek indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Functie en manieren om deze in te stellen.

Het definiëren van een functie betekent het vaststellen van een regel (wet) met behulp waarvan men, gegeven de waarden van de onafhankelijke variabele, de overeenkomstige functiewaarden zou moeten vinden. Laten we eens kijken naar enkele manieren om functies te specificeren.

Tabellarische methode. Een vrij gebruikelijke methode is het specificeren van een tabel met individuele argumentwaarden en de bijbehorende functiewaarden. Deze methode voor het definiëren van een functie wordt gebruikt wanneer het domein van de definitie van de functie een discrete eindige verzameling is.

Met de tabellarische methode voor het specificeren van een functie is het mogelijk om bij benadering de waarden van de functie te berekenen die niet in de tabel staan, overeenkomend met tussenwaarden van het argument. Gebruik hiervoor de interpolatiemethode.

De voordelen van de tabellarische methode voor het specificeren van een functie zijn dat het mogelijk is om bepaalde specifieke waarden onmiddellijk te bepalen, zonder aanvullende metingen of berekeningen. In sommige gevallen definieert de tabel de functie echter niet volledig, maar alleen voor sommige waarden van het argument en biedt deze geen visuele weergave van de aard van de verandering in de functie, afhankelijk van de verandering in het argument.

Grafische methode. De grafiek van de functie y = f(x) is de verzameling van alle punten op het vlak waarvan de coördinaten voldoen aan de gegeven vergelijking.

De grafische methode voor het specificeren van een functie maakt het niet altijd mogelijk om de numerieke waarden van het argument nauwkeurig te bepalen. Het heeft echter een groot voordeel ten opzichte van andere methoden: zichtbaarheid. In techniek en natuurkunde wordt vaak een grafische methode gebruikt om een ​​functie te specificeren, en hiervoor is een grafiek de enige beschikbare manier.

Om de grafische toewijzing van een functie vanuit wiskundig oogpunt volledig correct te laten zijn, is het noodzakelijk om het exacte geometrische ontwerp van de grafiek aan te geven, dat meestal wordt gespecificeerd door een vergelijking. Dit leidt tot de volgende manier om een ​​functie te specificeren.

Analytische methode. Meestal wordt de wet die het verband legt tussen een argument en een functie gespecificeerd door middel van formules. Deze methode voor het specificeren van een functie wordt analytisch genoemd.

Deze methode maakt het voor elke numerieke waarde van het argument x mogelijk om de corresponderende numerieke waarde van de functie y exact of met enige nauwkeurigheid te vinden.

Als de relatie tussen x en y wordt gegeven door een formule die is opgelost met betrekking tot y, d.w.z. de vorm y = f(x) heeft, dan zeggen we dat de functie van x expliciet gegeven is.

Als de waarden x en y gerelateerd zijn door een vergelijking van de vorm F(x,y) = 0, d.w.z. de formule wordt niet opgelost ten opzichte van y, wat betekent dat de functie y = f(x) impliciet wordt gegeven.

Een functie kan worden gedefinieerd door verschillende formules in verschillende delen van zijn domein.

De analytische methode is de meest gebruikelijke manier om functies te specificeren. Compactheid, beknoptheid, het vermogen om de waarde van een functie te berekenen voor een willekeurige waarde van het argument uit het definitiedomein, het vermogen om het apparaat op een gegeven functie toe te passen wiskundige analyse- de belangrijkste voordelen van de analytische methode voor het specificeren van een functie. De nadelen zijn onder meer het gebrek aan zichtbaarheid, dat wordt gecompenseerd door de mogelijkheid om een ​​grafiek op te bouwen en de noodzaak om soms zeer omslachtige berekeningen uit te voeren.

Verbale methode. Deze methode bestaat erin functionele afhankelijkheid in woorden uit te drukken.

Voorbeeld 1: functie E(x) is het gehele deel van x. Over het algemeen geeft E(x) = [x] het grootste gehele getal aan dat x niet overschrijdt. Met andere woorden, als x = r + q, waarbij r een geheel getal is (kan negatief zijn) en q tot het interval = r behoort. De functie E(x) = [x] is constant op het interval = r.

Voorbeeld 2: functie y = (x) is het fractionele deel van een getal. Nauwkeuriger gezegd: y =(x) = x - [x], waarbij [x] het gehele deel van het getal x is. Deze functie is gedefinieerd voor alle x. Als x een willekeurig getal is, representeer het dan als x = r + q (r = [x]), waarbij r een geheel getal is en q in het interval ligt.

Voorbeeld 2. Zoek het domein van de definitie van de functie.

Oplossing. Het domein van de definitie bestaat uiteraard uit twee oneindige intervallen, aangezien de uitdrukking geen betekenis heeft wanneer en voor alle andere waarden wordt gedefinieerd.

De lezer kan nu gemakkelijk zien dat voor een functie het definitiedomein de gehele numerieke as zal zijn, en voor een functie een oneindig interval.

Opgemerkt moet worden dat het onmogelijk is om een ​​functie en de formule waarmee deze functie wordt gespecificeerd te identificeren. Met dezelfde formule kunt u verschillende functies definiëren. In paragraaf 2 hebben we een functie met een definitiedomein beschouwd; in paragraaf 3 werd een grafiek gebouwd voor een functie met een definitiedomein. En tot slot hebben we zojuist gekeken naar een functie die alleen wordt gedefinieerd door een formule, zonder aanvullende voorwaarden. Het domein van deze functie is de gehele getallenlijn. Deze drie functies zijn verschillend omdat ze verschillende definities hebben. Maar ze worden gespecificeerd met dezelfde formule.

Het tegenovergestelde geval is ook mogelijk, wanneer één functie in verschillende delen van zijn definitiedomein wordt gegeven verschillende formules. Beschouw bijvoorbeeld een functie y die voor alle niet-negatieve waarden als volgt is gedefinieerd: for for i.e.

Deze functie wordt gedefinieerd door twee analytische uitdrukkingen die in verschillende delen van het definitiedomein werkzaam zijn. De grafiek van deze functie wordt getoond in Fig. 18.

Tabellarische methode voor het specificeren van een functie. Bij het opgeven van een functie in een tabel wordt er een tabel samengesteld waarin een aantal argumentwaarden en bijbehorende functiewaarden worden aangegeven. Logaritmische tabellen, waardentabellen zijn algemeen bekend trigonometrische functies en vele anderen. Heel vaak is het nodig om tabellen met functiewaarden te gebruiken die rechtstreeks uit ervaring zijn verkregen. De onderstaande tabel toont de resultaten verkregen uit ervaring. weerstanden koper (in cm - centimeter) bij verschillende temperaturen t (in graden):

Grafische manier om een ​​functie te specificeren. In een grafische taak wordt een grafiek van een functie gegeven, en de waarden die overeenkomen met bepaalde waarden van het argument worden rechtstreeks uit deze grafiek gevonden. In veel gevallen worden dergelijke grafieken getekend met behulp van opnameapparatuur.