– er zullen zeker taken op het gebied van trigonometrie zijn. Trigonometrie heeft vaak een hekel aan de noodzaak om een ​​groot aantal moeilijke formules te proppen, vol sinussen, cosinussen, raaklijnen en cotangensen. De site gaf al eens advies over hoe je een vergeten formule kunt onthouden, aan de hand van het voorbeeld van de Euler- en Peel-formules.

En in dit artikel zullen we proberen aan te tonen dat het voldoende is om slechts vijf eenvoudige trigonometrische formules goed te kennen, en de rest te kennen algemeen idee en breng ze naar buiten als je gaat. Het is net als met DNA: het molecuul bewaart niet de volledige blauwdrukken van een voltooid levend wezen. In plaats daarvan bevat het instructies om het samen te stellen uit beschikbare aminozuren. Dus in trigonometrie, een paar weten algemene principes, we zullen alle benodigde formules verkrijgen uit een kleine reeks formules die in gedachten moeten worden gehouden.

We zullen vertrouwen op de volgende formules:

Uit de formules voor sinus- en cosinussommen, wetende over de pariteit van de cosinusfunctie en de eigenaardigheid van de sinusfunctie, door -b te vervangen in plaats van b, verkrijgen we formules voor verschillen:

1. Sinus van het verschil: zonde(a-b) = zondeAwant(-B)+wantAzonde(-B) = zondeAwantB-wantAzondeB
2. Cosinus van het verschil: want(a-b) = wantAwant(-B)-zondeAzonde(-B) = wantAwantB+zondeAzondeB

Door a = b in dezelfde formules te plaatsen, verkrijgen we de formules voor sinus en cosinus van dubbele hoeken:

1. Sinus van dubbele hoek: zonde2a = zonde(een+een) = zondeAwantA+wantAzondeA = 2zondeAwantA
2. Cosinus van dubbele hoek: want2a = want(een+een) = wantAwantA-zondeAzondeA = want2 een-zonde2 een

De formules voor andere meervoudige hoeken worden op dezelfde manier verkregen:

1. Sinus van een drievoudige hoek: zonde3a = zonde(2a+a) = zonde2awantA+want2azondeA = (2zondeAwantA)wantA+(want2 een-zonde2 een)zondeA = 2zondeAwant2 een+zondeAwant2 een-zonde 3 een = 3 zondeAwant2 een-zonde 3 een = 3 zondeA(1-zonde2 een)-zonde 3 een = 3 zondeA-4zonde 3a
2. Cosinus van drievoudige hoek: want3a = want(2a+a) = want2awantA-zonde2azondeA = (want2 een-zonde2 een)wantA-(2zondeAwantA)zondeA = want 3 een- zonde2 eenwantA-2zonde2 eenwantA = want 3 a-3 zonde2 eenwantA = want 3 a-3(1- want2 een)wantA = 4want 3 a-3 wantA

Voordat we verder gaan, laten we eerst een probleem bekijken.
Gegeven: de hoek is scherp.
Vind de cosinus als
Oplossing gegeven door één leerling:
Omdat , Dat zondeA= 3,een wantA = 4.
(Van wiskundehumor)

De definitie van tangens relateert deze functie dus aan zowel sinus als cosinus. Maar je kunt een formule krijgen die de raaklijn alleen relateert aan de cosinus. Om dit af te leiden, nemen we de belangrijkste trigonometrische identiteit: zonde 2 A+want 2 A= 1 en deel het door want 2 A. Wij krijgen:

De oplossing voor dit probleem zou dus zijn:

(Omdat de hoek scherp is, wordt bij het extraheren van de wortel het +-teken genomen)

De formule voor de tangens van een som is ook een formule die moeilijk te onthouden is. Laten we het als volgt uitvoeren:

Onmiddellijk weergegeven en

Uit de cosinusformule voor een dubbele hoek kun je de sinus- en cosinusformules voor een halve hoek halen. Om dit te doen, past u het volgende toe op de linkerkant van de cosinusformule met dubbele hoek:
want2 A = want 2 A-zonde 2 A
we voegen er één toe, en aan de rechterkant - een trigonometrische eenheid, d.w.z. de som van de kwadraten van sinus en cosinus.
want2a+1 = want2 een-zonde2 een+want2 een+zonde2 een
2want 2 A = want2 A+1
Uiten wantA door want2 A en door een verandering van variabelen uit te voeren, krijgen we:

Het bord wordt afhankelijk van het kwadrant genomen.

Op dezelfde manier krijgen we, als we één van de linkerkant van de gelijkheid aftrekken en de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van rechts:
want2a-1 = want2 een-zonde2 een-want2 een-zonde2 een
2zonde 2 A = 1-want2 A

En ten slotte gebruiken we de volgende techniek om de som van trigonometrische functies in een product om te zetten. Laten we zeggen dat we de som van sinussen als product moeten weergeven zondeA+zondeB. Laten we variabelen x en y introduceren zodat a = x+y, b+x-y. Dan
zondeA+zondeB = zonde(x+y)+ zonde(x-y) = zonde X want j+ want X zonde j+ zonde X want j- want X zonde j=2 zonde X want j. Laten we nu x en y uitdrukken in termen van a en b.

Omdat a = x+y, b = x-y, dan . Dat is waarom

U kunt zich onmiddellijk terugtrekken

1. Formule voor partitie producten van sinus en cosinus V hoeveelheid: zondeAwantB = 0.5(zonde(a+b)+zonde(a-b))

Wij raden u aan om zelf formules te oefenen en af ​​te leiden voor het omrekenen van het verschil van sinussen en de som en het verschil van cosinussen in het product, en voor het delen van de producten van sinussen en cosinussen in de som. Nadat u deze oefeningen hebt voltooid, beheerst u de vaardigheid van het afleiden van trigonometrische formules grondig en zult u zelfs bij de moeilijkste test, olympiade of testen niet verdwalen.

Een van de gebieden van de wiskunde waar leerlingen het meest mee worstelen is trigonometrie. Het is niet verrassend: om dit kennisgebied vrijelijk onder de knie te krijgen, heb je ruimtelijk denken nodig, het vermogen om sinussen, cosinussen, raaklijnen, cotangensen te vinden met behulp van formules, uitdrukkingen te vereenvoudigen en het getal pi te kunnen gebruiken in berekeningen. Bovendien moet je trigonometrie kunnen gebruiken bij het bewijzen van stellingen, en dit vereist een ontwikkeld wiskundig geheugen of het vermogen om complexe logische ketens af te leiden.

Oorsprong van trigonometrie

Kennismaken met deze wetenschap zou moeten beginnen met de definitie van sinus, cosinus en tangens van een hoek, maar eerst moet je begrijpen wat trigonometrie in het algemeen doet.

Historisch gezien waren rechthoekige driehoeken het belangrijkste studieobject in deze tak van de wiskundige wetenschap. De aanwezigheid van een hoek van 90 graden maakt het mogelijk om verschillende bewerkingen uit te voeren waarmee je de waarden van alle parameters van de figuur in kwestie kunt bepalen met behulp van twee zijden en één hoek of twee hoeken en één zijde. In het verleden merkten mensen dit patroon op en begonnen het actief te gebruiken bij de constructie van gebouwen, navigatie, astronomie en zelfs in de kunst.

Beginfase

Aanvankelijk spraken mensen over de relatie tussen hoeken en zijden uitsluitend aan de hand van het voorbeeld van rechthoekige driehoeken. Toen werden er speciale formules ontdekt die het mogelijk maakten de grenzen van het gebruik te verleggen het dagelijks leven deze tak van de wiskunde.

De studie van trigonometrie op school begint vandaag met rechthoekige driehoeken, waarna studenten de opgedane kennis in de natuurkunde gebruiken en abstracte problemen oplossen. goniometrische vergelijkingen, werk waarmee begint op de middelbare school.

Sferische trigonometrie

Later, toen de wetenschap naar buiten kwam volgende niveau Ontwikkeling begonnen formules met sinus, cosinus, raaklijn en cotangens te worden gebruikt in de sferische meetkunde, waar verschillende regels van toepassing zijn en de som van de hoeken in een driehoek altijd meer dan 180 graden is. Dit gedeelte wordt niet op school bestudeerd, maar het is in ieder geval noodzakelijk om op de hoogte te zijn van het bestaan ​​ervan aardoppervlak, en het oppervlak van elke andere planeet is convex, wat betekent dat elke oppervlaktemarkering “boogvormig” zal zijn in de driedimensionale ruimte.

Neem de wereldbol en de draad. Bevestig de draad aan twee willekeurige punten op de wereldbol, zodat deze strak staat. Let op: het heeft de vorm van een boog aangenomen. Sferische geometrie houdt zich bezig met dergelijke vormen, die worden gebruikt in de geodesie, astronomie en andere theoretische en toegepaste velden.

Rechte driehoek

Nadat we iets hebben geleerd over de manieren om trigonometrie te gebruiken, gaan we terug naar de basistrigonometrie om beter te begrijpen wat sinus, cosinus en tangens zijn, welke berekeningen met hun hulp kunnen worden uitgevoerd en welke formules we moeten gebruiken.

De eerste stap is het begrijpen van de concepten die verband houden met een rechthoekige driehoek. Ten eerste is de hypotenusa de zijde tegenover de hoek van 90 graden. Het is de langste. We herinneren ons dat volgens de stelling van Pythagoras de numerieke waarde ervan gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de andere twee zijden.

Als de twee zijden bijvoorbeeld respectievelijk 3 en 4 centimeter zijn, is de lengte van de hypotenusa 5 centimeter. Trouwens, de oude Egyptenaren wisten hiervan ongeveer vier en een half duizend jaar geleden.

De twee overige zijden, die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd. Bovendien moeten we niet vergeten dat de som van de hoeken in een driehoek in een rechthoekig coördinatensysteem gelijk is aan 180 graden.

Definitie

Ten slotte kan men, met een goed begrip van de geometrische basis, zich wenden tot de definitie van sinus, cosinus en tangens van een hoek.

De sinus van een hoek is de verhouding van de tegenoverliggende zijde (d.w.z. de tegenoverliggende zijde). gewenste hoek) naar de hypotenusa. De cosinus van een hoek is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de hypotenusa.

Bedenk dat noch sinus noch cosinus groter kan zijn dan één! Waarom? Omdat de hypotenusa standaard het langst is. Hoe lang het been ook is, het zal korter zijn dan de hypotenusa, wat betekent dat hun verhouding altijd kleiner zal zijn dan één. Dus als je in je antwoord op een probleem een ​​sinus of cosinus krijgt met een waarde groter dan 1, zoek dan naar een fout in de berekeningen of redenering. Dit antwoord is duidelijk onjuist.

Ten slotte is de raaklijn van een hoek de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde. Het delen van de sinus door de cosinus geeft hetzelfde resultaat. Kijk: volgens de formule delen we de lengte van de zijde door de hypotenusa, delen we vervolgens door de lengte van de tweede zijde en vermenigvuldigen we met de hypotenusa. We krijgen dus dezelfde relatie als in de definitie van raaklijn.

Cotangens is dienovereenkomstig de verhouding tussen de zijde grenzend aan de hoek en de tegenoverliggende zijde. We krijgen hetzelfde resultaat door één te delen door de raaklijn.

We hebben dus gekeken naar de definities van wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, en we kunnen verder gaan met formules.

De eenvoudigste formules

In trigonometrie kun je niet zonder formules - hoe vind je sinus, cosinus, tangens, cotangens zonder hen? Maar dit is precies wat nodig is bij het oplossen van problemen.

De eerste formule die je moet kennen als je begint met het bestuderen van trigonometrie, zegt dat de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van een hoek gelijk is aan één. Deze formule is een direct gevolg van de stelling van Pythagoras, maar het bespaart tijd als je de grootte van de hoek moet weten in plaats van de zijkant.

Veel studenten kunnen zich de tweede formule niet herinneren, die ook erg populair is bij het oplossen van schoolproblemen: de som van één en het kwadraat van de raaklijn van een hoek is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus van de hoek. Kijk eens goed: dit is dezelfde verklaring als in de eerste formule, alleen werden beide zijden van de identiteit gedeeld door het kwadraat van de cosinus. Het blijkt dat een eenvoudige wiskundige bewerking de trigonometrische formule volledig onherkenbaar maakt. Onthoud: als u weet wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, transformatieregels en verschillende basisformules, kunt u op elk moment zelfstandig de vereiste meer afleiden. complexe formules op een stuk papier.

Formules voor dubbele hoeken en optelling van argumenten

Nog twee formules die je moet leren, hebben betrekking op de waarden van sinus en cosinus voor de som en het verschil van hoeken. Ze worden weergegeven in de onderstaande figuur. Houd er rekening mee dat in het eerste geval sinus en cosinus beide keren worden vermenigvuldigd, en in het tweede geval het paarsgewijze product van sinus en cosinus wordt opgeteld.

Er zijn ook formules die verband houden met dubbele-hoekargumenten. Ze zijn volledig afgeleid van de vorige - probeer ze als training zelf te bemachtigen door de alfa-hoek te nemen gelijk aan de hoek bèta.

Merk ten slotte op dat formules met dubbele hoeken kunnen worden herschikt om de kracht van sinus, cosinus en tangens alfa te verminderen.

Stellingen

De twee belangrijkste stellingen in de basistrigonometrie zijn de sinusstelling en de cosinusstelling. Met behulp van deze stellingen kun je gemakkelijk begrijpen hoe je de sinus, cosinus en tangens kunt vinden, en dus de oppervlakte van de figuur, en de grootte van elke zijde, enz.

De sinusstelling stelt dat het delen van de lengte van elke zijde van een driehoek door de tegenovergestelde hoek resulteert in hetzelfde getal. Bovendien zal dit getal gelijk zijn aan twee stralen van de omgeschreven cirkel, dat wil zeggen de cirkel die alle punten van een bepaalde driehoek bevat.

De cosinusstelling generaliseert de stelling van Pythagoras en projecteert deze op alle driehoeken. Het blijkt dat je van de som van de vierkanten van de twee zijden hun product aftrekt, vermenigvuldigd met de dubbele cosinus van de aangrenzende hoek - de resulterende waarde zal gelijk zijn aan het kwadraat van de derde zijde. De stelling van Pythagoras blijkt dus een speciaal geval van de cosinusstelling te zijn.

Onzorgvuldige fouten

Zelfs als je weet wat sinus, cosinus en tangens zijn, kun je gemakkelijk een fout maken vanwege verstrooidheid of een fout in de eenvoudigste berekeningen. Laten we, om dergelijke fouten te voorkomen, eens kijken naar de meest populaire.

Ten eerste moet u breuken niet omzetten in decimalen totdat u het eindresultaat heeft; u kunt het antwoord laten staan ​​als gemeenschappelijke fractie, tenzij anders vermeld in de voorwaarden. Een dergelijke transformatie kan geen vergissing worden genoemd, maar er moet aan worden herinnerd dat in elke fase van het probleem nieuwe wortels kunnen verschijnen, die volgens het idee van de auteur moeten worden verminderd. In dit geval verspilt u uw tijd aan onnodige wiskundige bewerkingen. Dit geldt vooral voor waarden als de wortel van drie of de wortel van twee, omdat deze bij elke stap in problemen voorkomen. Hetzelfde geldt voor het afronden van ‘lelijke’ getallen.

Merk verder op dat de cosinusstelling van toepassing is op elke driehoek, maar niet op de stelling van Pythagoras! Als u per ongeluk vergeet tweemaal het product van de zijden af ​​te trekken, vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek ertussen, krijgt u niet alleen een volledig verkeerd resultaat, maar geeft u ook blijk van een volledig gebrek aan begrip van het onderwerp. Dit is erger dan een onzorgvuldige fout.

Ten derde: verwar de waarden voor hoeken van 30 en 60 graden niet voor sinussen, cosinussen, raaklijnen, cotangensen. Onthoud deze waarden, omdat de sinus van 30 graden gelijk is aan de cosinus van 60, en omgekeerd. Het is gemakkelijk om ze te verwarren, waardoor je onvermijdelijk een foutief resultaat krijgt.

Sollicitatie

Veel studenten hebben geen haast om trigonometrie te gaan studeren, omdat ze de praktische betekenis ervan niet begrijpen. Wat is sinus, cosinus, tangens voor een ingenieur of astronoom? Dit zijn concepten die het mogelijk maken om de afstand tot verre sterren te berekenen, de val van een meteoriet te voorspellen of een onderzoekssonde naar een andere planeet te sturen. Zonder hen is het onmogelijk om een ​​gebouw te bouwen, een auto te ontwerpen, de belasting op een oppervlak of het traject van een object te berekenen. En dit zijn nog maar de meest voor de hand liggende voorbeelden! Trigonometrie in een of andere vorm wordt immers overal gebruikt, van muziek tot medicijnen.

Tot slot

Dus je bent sinus, cosinus, tangens. Je kunt ze gebruiken bij berekeningen en schoolproblemen met succes oplossen.

Het hele punt van trigonometrie komt neer op het feit dat je met behulp van de bekende parameters van een driehoek de onbekenden moet berekenen. Er zijn in totaal zes parameters: lengte drie kanten en de afmetingen van de drie hoeken. Het enige verschil in de taken is dat er verschillende invoergegevens worden opgegeven.

Je weet nu hoe je sinus, cosinus, tangens kunt vinden op basis van de bekende lengtes van de benen of hypotenusa. Aangezien deze termen niets meer betekenen dan een verhouding, en een verhouding een breuk is, hoofddoel Het trigonometrische probleem wordt het vinden van de wortels van een gewone vergelijking of een stelsel van vergelijkingen. En hier zal de reguliere schoolwiskunde je helpen.

Voorbeelden:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argumentatie en betekenis

Cosinus van een scherpe hoek

Cosinus van een scherpe hoek kan worden bepaald met behulp van een rechthoekige driehoek - deze is gelijk aan de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

Voorbeeld :

1) Laat een hoek gegeven worden en we moeten de cosinus van deze hoek bepalen.

2) Laten we een willekeurige rechthoekige driehoek op deze hoek voltooien.

3) Nadat we de vereiste zijden hebben gemeten, kunnen we de cosinus berekenen.

Cosinus van een getal

Met de getallencirkel kun je de cosinus van elk getal bepalen, maar meestal vind je de cosinus van getallen op de een of andere manier gerelateerd aan: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Voor het getal \(\frac(π)(6)\) - zal de cosinus bijvoorbeeld gelijk zijn aan \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . En voor het getal \(-\)\(\frac(3π)(4)\) is dit gelijk aan \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ongeveer \ (-0,71\)).

Voor cosinus voor andere getallen die je in de praktijk vaak tegenkomt, zie.

De cosinuswaarde ligt altijd in het bereik van \(-1\) tot \(1\). In dit geval kan de cosinus voor absoluut elke hoek en elk getal worden berekend.

Cosinus van elke hoek

Dankzij de getallencirkel kun je niet alleen de cosinus bepalen scherpe hoek, maar ook bot, negatief en zelfs groter dan \(360°\) (volledige omwenteling). Hoe je dit doet, is gemakkelijker één keer te zien dan \(100\) keer te horen, dus kijk naar de afbeelding.

Nu een uitleg: stel dat we de cosinus van de hoek moeten bepalen KOA met gradenmaat in \(150°\). Het punt combineren OVER met het middelpunt van de cirkel en de zijkant OK– met de \(x\)-as. Zet hierna \(150°\) tegen de klok in opzij. Dan de ordinaat van het punt A zal ons de cosinus van deze hoek laten zien.

Als we geïnteresseerd zijn in een hoek met een graadmaat, bijvoorbeeld in \(-60°\) (angle KOV), doen we hetzelfde, maar we stellen \(60°\) met de klok mee.

En ten slotte is de hoek groter dan \(360°\) (hoek CBS) - alles is vergelijkbaar met de domme, alleen nadat we een volledige draai met de klok mee hebben gemaakt, gaan we naar de tweede cirkel en "krijgen we het gebrek aan graden". Concreet wordt in ons geval de hoek \(405°\) uitgezet als \(360° + 45°\).

Het is gemakkelijk te raden dat om een ​​hoek in bijvoorbeeld \(960°\) te plotten, je twee bochten moet maken (\(360°+360°+240°\)), en voor een hoek in \(2640 °\) - hele zeven.

Zoals je zou kunnen vervangen, worden zowel de cosinus van een getal als de cosinus van een willekeurige hoek vrijwel identiek gedefinieerd. Alleen de manier waarop het punt op de cirkel wordt gevonden, verandert.

Cosinustekens met kwartalen

Met behulp van de cosinus-as (dat wil zeggen de abscis-as, rood gemarkeerd in de figuur), is het eenvoudig om de tekens van de cosinus langs de numerieke (trigonometrische) cirkel te bepalen:

Waar de waarden op de as van \(0\) tot \(1\) liggen, zal de cosinus een plusteken hebben (I en IV kwartalen - groen gebied),
- waar de waarden op de as van \(0\) tot \(-1\) liggen, zal de cosinus een minteken hebben (kwarten II en III - paars gebied).

Relatie met andere trigonometrische functies:

Oplossing van de vergelijking \(\cos⁡x=a\)

De oplossing voor de vergelijking \(\cos⁡x=a\), waarbij \(a\) een getal is dat niet groter is dan \(1\) en niet kleiner dan \(-1\), d.w.z. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Als \(a>1\) of \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Laten we de vergelijking oplossen met behulp van de getallencirkel. Om dit te doen:
1) Laten we de bijlen bouwen.
2) Laten we een cirkel construeren.
3) Markeer op de cosinus-as (as \(y\)) het punt \(\frac(1)(2)\) .
4) Trek door dit punt een loodlijn op de cosinus-as.
5) Markeer de snijpunten van de loodlijn en de cirkel.
6) Laten we de waarden van deze punten ondertekenen: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Laten we alle waarden die overeenkomen met deze punten opschrijven met behulp van de formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Antwoord: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Functie \(y=\cos(x)\)

Als we de hoeken in radialen langs de \(x\)-as uitzetten, en de cosinuswaarden die overeenkomen met deze hoeken langs de \(y\)-as, krijgen we de volgende grafiek:

Deze grafiek wordt genoemd en heeft de volgende eigenschappen:

Het definitiedomein is elke waarde van x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- bereik van waarden – van \(-1\) tot en met \(1\): \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- zelfs: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodiek met periode \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- snijpunten met coördinaatassen:
abscis-as: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), waarbij \(n ϵ Z\)
Y-as: \((0;1)\)
- intervallen van constantheid van teken:
de functie is positief op de intervallen: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), waarbij \(n ϵ Z\)
de functie is negatief op de intervallen: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), waarbij \(n ϵ Z\)
- intervallen van stijging en daling:
de functie neemt toe op de intervallen: \((π+2πn;2π+2πn)\), waarbij \(n ϵ Z\)
de functie neemt af op de intervallen: \((2πn;π+2πn)\), waarbij \(n ϵ Z\)
- maxima en minima van de functie:
de functie heeft een maximale waarde \(y=1\) op punten \(x=2πn\), waarbij \(n ϵ Z\)
de functie heeft een minimumwaarde \(y=-1\) op punten \(x=π+2πn\), waarbij \(n ϵ Z\).

Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen.

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen van elk niveau van complexiteit komt uiteindelijk neer op het oplossen van de eenvoudigste goniometrische vergelijkingen. En hierin blijkt de trigonometrische cirkel opnieuw de beste assistent.

Laten we de definities van cosinus en sinus in herinnering brengen.

De cosinus van een hoek is de abscis (dat wil zeggen de coördinaat langs de as) van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met een rotatie over een gegeven hoek.

De sinus van een hoek is de ordinaat (dat wil zeggen de coördinaat langs de as) van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met een rotatie over een bepaalde hoek.

De positieve bewegingsrichting op de trigonometrische cirkel is tegen de klok in. Een rotatie van 0 graden (of 0 radialen) komt overeen met een punt met coördinaten (1;0)

We gebruiken deze definities om eenvoudige trigonometrische vergelijkingen op te lossen.

1. Los de vergelijking op

Aan deze vergelijking wordt voldaan door alle waarden van de rotatiehoek die overeenkomen met punten op de cirkel waarvan de ordinaat gelijk is aan .

Laten we een punt markeren met de ordinaat op de ordinaatas:

Teken een horizontale lijn evenwijdig aan de x-as totdat deze de cirkel snijdt. We krijgen twee punten die op de cirkel liggen en een ordinaat hebben. Deze punten komen overeen met rotatiehoeken in en radialen:

Als we, uitgaande van het punt dat overeenkomt met de rotatiehoek per radiaal, een volledige cirkel rondgaan, dan komen we op een punt dat overeenkomt met de rotatiehoek per radiaal en dat dezelfde ordinaat heeft. Dat wil zeggen, deze rotatiehoek voldoet ook aan onze vergelijking. We kunnen zoveel “inactieve” revoluties maken als we willen, terugkerend naar hetzelfde punt, en al deze hoekwaarden zullen aan onze vergelijking voldoen. Het aantal “inactieve” omwentelingen wordt aangegeven met de letter (of). Omdat we deze revoluties in zowel positieve als negatieve richtingen kunnen maken, (of) alle gehele waarden kunnen aannemen.

Dat wil zeggen, de eerste reeks oplossingen voor de oorspronkelijke vergelijking heeft de vorm:

, , - set gehele getallen (1)

Op dezelfde manier heeft de tweede reeks oplossingen de vorm:

, Waar , . (2)

Zoals je misschien al geraden hebt, is deze reeks oplossingen gebaseerd op het punt op de cirkel dat overeenkomt met de rotatiehoek van .

Deze twee reeksen oplossingen kunnen worden gecombineerd in één item:

Als we dit item (dat wil zeggen zelfs) nemen, krijgen we de eerste reeks oplossingen.

Als we (dat wil zeggen, vreemd) in deze invoer nemen, krijgen we de tweede reeks oplossingen.

2. Laten we nu de vergelijking oplossen

Omdat dit de abscis is van een punt op de eenheidscirkel, verkregen door over een hoek te roteren, markeren we het punt met de abscis op de as:

Teken een verticale lijn evenwijdig aan de as totdat deze de cirkel snijdt. We krijgen twee punten die op de cirkel liggen en een abscis hebben. Deze punten komen overeen met rotatiehoeken in en radialen. Bedenk dat wanneer we met de klok mee bewegen we een negatieve rotatiehoek krijgen:

Laten we twee reeksen oplossingen opschrijven:

,

,

(We bereiken het gewenste punt door vanuit de volledige hoofdcirkel te gaan.

Laten we deze twee series combineren in één item:

3. Los de vergelijking op

De raaklijn gaat door het punt met de coördinaten (1,0) van de eenheidscirkel evenwijdig aan de OY-as

Laten we er een punt op markeren met een ordinaat gelijk aan 1 (we zoeken naar de raaklijn waarvan de hoeken gelijk zijn aan 1):

Laten we dit punt verbinden met de oorsprong van de coördinaten met een rechte lijn en de snijpunten van de lijn markeren met de eenheidscirkel. De snijpunten van de rechte lijn en de cirkel komen overeen met de rotatiehoeken op en:

Omdat de punten die overeenkomen met de rotatiehoeken die aan onze vergelijking voldoen, op een afstand van radialen van elkaar liggen, kunnen we de oplossing als volgt schrijven:

4. Los de vergelijking op

De lijn van cotangensen gaat door het punt met de coördinaten van de eenheidscirkel evenwijdig aan de as.

Laten we een punt markeren met abscis -1 op de coraaklijn:

Laten we dit punt verbinden met de oorsprong van de rechte lijn en doorgaan totdat deze de cirkel snijdt. Deze rechte lijn snijdt de cirkel op punten die overeenkomen met de rotatiehoeken in en radialen:

Omdat deze punten van elkaar gescheiden zijn door een afstand gelijk aan , kunnen we de algemene oplossing van deze vergelijking als volgt schrijven:

In de gegeven voorbeelden die de oplossing van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen illustreren, werden tabelwaarden van trigonometrische functies gebruikt.

Als de rechterkant van de vergelijking echter een niet-tabelvormige waarde bevat, vervangen we de waarde in de algemene oplossing van de vergelijking:

SPECIALE OPLOSSINGEN:

Laten we de punten op de cirkel markeren waarvan de ordinaat 0 is:

Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de ordinaat 1 is:

Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de ordinaat gelijk is aan -1:

Omdat het gebruikelijk is om waarden aan te geven die het dichtst bij nul liggen, schrijven we de oplossing als volgt:

Laten we de punten op de cirkel markeren waarvan de abscis gelijk is aan 0:

5.
Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de abscis gelijk is aan 1:

Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de abscis gelijk is aan -1:

En iets complexere voorbeelden:

1.

De sinus is gelijk aan één als het argument gelijk is aan

Het argument van onze sinus is gelijk, dus we krijgen:

Verdeel beide zijden van de gelijkheid door 3:

Antwoord:

2.

Cosinus is nul als het argument van cosinus dat is

Het argument van onze cosinus is gelijk aan , dus we krijgen:

Laten we zeggen dat we hiervoor eerst naar rechts gaan met het tegenovergestelde teken:

Laten we de rechterkant vereenvoudigen:

Verdeel beide zijden door -2:

Merk op dat het teken vóór de term niet verandert, aangezien k elke gehele waarde kan aannemen.

Antwoord:

En tot slot, bekijk de videoles “Het selecteren van wortels in een trigonometrische vergelijking met behulp van een trigonometrische cirkel”

Dit is het einde van ons gesprek over het oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen. De volgende keer zullen we praten over hoe we moeten beslissen.