In de wiskunde is een van de parameters die de positie van een lijn op het cartesiaanse coördinatenvlak beschrijft: helling deze rechte lijn. Deze parameter karakteriseert de helling van de rechte lijn naar de abscis-as. Om te begrijpen hoe u de helling kunt vinden, moet u eerst de algemene vorm van de vergelijking van een rechte lijn in het XY-coördinatensysteem in gedachten houden.

IN algemeen beeld elke rechte lijn kan worden weergegeven met de uitdrukking ax+by=c, waarbij a, b en c willekeurige reële getallen zijn, maar altijd a 2 + b 2 ≠ 0.

Met behulp van eenvoudige transformaties kan een dergelijke vergelijking in de vorm y=kx+d worden gebracht, waarin k en d reële getallen zijn. Het getal k is de helling, en de vergelijking van een lijn van dit type wordt een vergelijking met een helling genoemd. Het blijkt dat je, om de helling te vinden, eenvoudigweg de oorspronkelijke vergelijking hoeft terug te brengen tot de hierboven aangegeven vorm. Overweeg een specifiek voorbeeld voor een vollediger begrip:

Probleem: Zoek de helling van de lijn gegeven door de vergelijking 36x - 18y = 108

Oplossing: Laten we de oorspronkelijke vergelijking transformeren.

Antwoord: De vereiste helling van deze lijn is 2.

Als we tijdens de transformatie van de vergelijking een uitdrukking als x = const hebben ontvangen en als gevolg daarvan kunnen we y niet weergeven als een functie van x, dan hebben we te maken met een rechte lijn evenwijdig aan de X-as een rechte lijn is gelijk aan oneindig.

Voor lijnen die worden uitgedrukt door een vergelijking als y = const, is de helling nul. Dit is typisch voor rechte lijnen evenwijdig aan de abscis-as. Bijvoorbeeld:

Probleem: Vind de helling van de lijn gegeven door de vergelijking 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Oplossing: Laten we de oorspronkelijke vergelijking in zijn algemene vorm brengen

24x + 12j - 12j + 28 = 4

Het is onmogelijk om y uit te drukken uit de resulterende uitdrukking, daarom is de hoekcoëfficiënt van deze lijn gelijk aan oneindig, en zal de lijn zelf evenwijdig zijn aan de Y-as.

Geometrische betekenis

Laten we voor een beter begrip naar de afbeelding kijken:

In de figuur zien we een grafiek van een functie als y = kx. Laten we, ter vereenvoudiging, de coëfficiënt c = 0 nemen. In de driehoek OAB zal de verhouding van zijde BA tot AO gelijk zijn aan de hoekcoëfficiënt k. Tegelijkertijd is de verhouding VA/AO de tangens van de scherpe hoek α in rechthoekige driehoek OAV. Het blijkt dat de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn gelijk is aan de raaklijn van de hoek die deze rechte lijn maakt met de abscis-as van het coördinatenrooster.

Als we het probleem oplossen van het vinden van de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn, vinden we de raaklijn van de hoek tussen deze en de X-as van het coördinatenraster. Grensgevallen, wanneer de betreffende lijn evenwijdig is aan de coördinaatassen, bevestig het bovenstaande. Voor een rechte lijn beschreven door de vergelijking y=const, de hoek tussen deze lijn en de abscis-as gelijk aan nul. De raaklijn van de nulhoek is ook nul en de helling is ook nul.

Voor rechte lijnen loodrecht op de x-as en beschreven door de vergelijking x=const, is de hoek tussen deze lijnen en de X-as 90 graden. Raaklijn rechte hoek is gelijk aan oneindig, en de hoekcoëfficiënt van soortgelijke rechte lijnen is ook gelijk aan oneindig, wat bevestigt wat hierboven is geschreven.

Raaklijn helling

Een veel voorkomende taak die je in de praktijk vaak tegenkomt, is ook het vinden van de helling van een raaklijn aan de grafiek van een functie op een bepaald punt. Een raaklijn is een rechte lijn, daarom is het concept van helling er ook op van toepassing.

Om erachter te komen hoe we de helling van een raaklijn kunnen vinden, moeten we ons het concept van de afgeleide herinneren. De afgeleide van elke functie op een bepaald punt is een constante numeriek gelijk aan de raaklijn van de hoek die wordt gevormd tussen de raaklijn op het opgegeven punt aan de grafiek van deze functie en de abscis-as. Het blijkt dat we, om de hoekcoëfficiënt van de raaklijn op punt x 0 te bepalen, de waarde van de afgeleide van de oorspronkelijke functie op dit punt k = f"(x 0) moeten berekenen. Laten we eens naar een voorbeeld kijken:

Probleem: Zoek de helling van de lijn die raakt aan de functie y = 12x 2 + 2xe x bij x = 0,1.

Oplossing: Vind de afgeleide van de oorspronkelijke functie in algemene vorm

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Antwoord: De vereiste helling op punt x = 0,1 is 4,831

De rechte lijn y=f(x) raakt de grafiek in de figuur in punt x0 als deze door het punt met coördinaten (x0; f(x0)) gaat en een hoekcoëfficiënt f"(x0) heeft. zo'n coëfficiënt. Het kennen van de kenmerken van een raaklijn is niet moeilijk.

Je zult nodig hebben

• - wiskundig naslagwerk;
• - een eenvoudig potlood;
• - notitieboekje;
• - gradenboog;
• - kompas;
• - pen.

Instructies

Als de waarde f‘(x0) niet bestaat, is er ofwel geen raaklijn, ofwel loopt deze verticaal. Met het oog hierop is de aanwezigheid van een afgeleide van de functie op het punt x0 te wijten aan het bestaan ​​van een niet-verticale raaklijn die raakt aan de grafiek van de functie op het punt (x0, f(x0)). In dit geval zal de hoekcoëfficiënt van de raaklijn gelijk zijn aan f "(x0). Zo wordt de geometrische betekenis van de afgeleide duidelijk: de berekening van de hoekcoëfficiënt van de raaklijn.

Teken extra raaklijnen die in contact zouden komen met de grafiek van de functie op de punten x1, x2 en x3, en markeer ook de hoeken gevormd door deze raaklijnen met de x-as (deze hoek wordt geteld in de positieve richting vanaf de as naar de raaklijn). De hoek, dat wil zeggen α1, zal bijvoorbeeld scherp zijn, de tweede (α2) zal stomp zijn en de derde (α3) zal nul zijn, aangezien de raaklijn evenwijdig is aan de OX-as. In dit geval tangens stompe hoek– negatief: de raaklijn van de scherpe hoek is positief, en bij tg0 is het resultaat nul.

Let op

Bepaal correct de hoek gevormd door de raaklijn. Gebruik hiervoor een gradenboog.

Nuttig advies

Twee hellende lijnen zullen evenwijdig zijn als hun hoekcoëfficiënten gelijk zijn aan elkaar; loodrecht als het product van de hoekcoëfficiënten van deze raaklijnen gelijk is aan -1.

Bronnen:

• Raaklijn aan de grafiek van een functie

Cosinus wordt, net als sinus, geclassificeerd als een “directe” trigonometrische functie. Tangens (samen met cotangens) wordt geclassificeerd als een ander paar dat “derivaten” wordt genoemd. Er zijn verschillende definities van deze functies die het mogelijk maken om de raaklijn gegeven door te vinden bekende waarde cosinus van dezelfde waarde.

Instructies

Trek het eenheidsquotiënt af met de waarde verheven tot de cosinus van de gegeven hoek, en extraheer de vierkantswortel uit het resultaat - dit zal de tangenswaarde van de hoek zijn, uitgedrukt door zijn cosinus: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Houd er rekening mee dat in de formule de cosinus in de noemer van de breuk staat. De onmogelijkheid om door nul te delen sluit het gebruik van deze uitdrukking uit voor hoeken gelijk aan 90°, evenals voor hoeken die van deze waarde verschillen door getallen die veelvouden zijn van 180° (270°, 450°, -90°, enz.).

Er is een alternatieve manier om de raaklijn te berekenen op basis van een bekende cosinuswaarde. Het kan worden gebruikt als er geen beperking is op het gebruik van anderen. Om deze methode te implementeren, bepaalt u eerst de hoekwaarde op basis van een bekende cosinuswaarde - dit kan worden gedaan met behulp van de boogcosinusfunctie. Bereken vervolgens eenvoudig de raaklijn voor de hoek van de resulterende waarde. In het algemeen kan dit algoritme als volgt worden geschreven: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Er is ook een exotische optie waarbij de definitie van cosinus en tangens door wordt gebruikt scherpe hoeken rechthoekige driehoek. In deze definitie komt cosinus overeen met de verhouding tussen de lengte van het been grenzend aan de beschouwde hoek en de lengte van de hypotenusa. Als u de waarde van de cosinus kent, kunt u de overeenkomstige lengtes van deze twee zijden selecteren. Als bijvoorbeeld cos(α) = 0,5, dan kan het aangrenzende gelijk worden gesteld aan 10 cm, en de hypotenusa - 20 cm. De specifieke cijfers doen er hier niet toe - u krijgt dezelfde en correcte cijfers met alle waarden die hetzelfde hebben. Bepaal vervolgens met behulp van de stelling van Pythagoras de lengte van de ontbrekende zijde - het tegenovergestelde been. Het zal gelijk zijn vierkantswortel uit het verschil tussen de lengtes van de vierkante hypotenusa en het bekende been: √(20²-10²)=√300. Per definitie komt de tangens overeen met de verhouding van de lengtes van de tegenoverliggende en aangrenzende benen (√300/10) - bereken het en verkrijg de gevonden tangenswaarde met behulp van de klassieke definitie van cosinus.

Bronnen:

• cosinus tot tangensformule

Een van trigonometrische functies, meestal aangeduid met de letters tg, hoewel de aanduiding tan ook voorkomt. De eenvoudigste manier om de raaklijn weer te geven is als een sinusverhouding hoek naar zijn cosinus. Dit is een oneven periodieke en niet-continue functie, waarvan elke cyclus gelijk is aan het getal Pi, en het breekpunt overeenkomt met de helft van dit getal.

De helling is recht. In dit artikel zullen we kijken naar problemen die verband houden met het coördinatenvlak dat is opgenomen in het Unified State Examination in de wiskunde. Dit zijn taken voor:

— bepaling van de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn wanneer twee punten waar deze doorheen gaat bekend zijn;
— bepaling van de abscis of ordinaat van het snijpunt van twee rechte lijnen in een vlak.

Wat de abscis en de ordinaat van een punt zijn, werd in deze sectie beschreven. Daarin hebben we al verschillende problemen besproken die verband houden met het coördinatenvlak. Wat moet u weten voor het soort probleem dat u overweegt? Een beetje theorie.

De vergelijking van een rechte lijn op het coördinatenvlak heeft de vorm:

Waar k – dit is de helling van de lijn.

Volgende moment! Directe helling gelijk aan tangens hellingshoek van een rechte lijn. Dit is de hoek tussen een gegeven lijn en de asOh.

Het varieert van 0 tot 180 graden.

Dat wil zeggen, als we de vergelijking van de lijn terugbrengen tot de vorm j = kx + B, dan kunnen we altijd de coëfficiënt k (hellingscoëfficiënt) bepalen.

Als we op basis van de voorwaarde de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn kunnen bepalen, zullen we daardoor de hoekcoëfficiënt vinden.

Volgende theoretische punt!Vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat.De formule ziet er als volgt uit:

Laten we eens kijken naar de taken (vergelijkbaar met de taken uit de open takenbank):

Bereken de helling van de lijn die door de punten gaat met de coördinaten (–6;0) en (0;6).

Bij dit probleem is de meest rationele manier om dit op te lossen het vinden van de raaklijn van de hoek tussen de x-as en de gegeven rechte lijn. Het is bekend dat het gelijk is aan de helling. Beschouw een rechthoekige driehoek gevormd door een rechte lijn en de assen x en oy:

De raaklijn van een hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde:

*Beide benen zijn gelijk aan zes (dit zijn hun lengtes).

Dit probleem kan natuurlijk worden opgelost met behulp van de formule voor het vinden van de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat. Maar dit zal een langere oplossing zijn.

Antwoord: 1

Bereken de helling van de lijn die door de punten met de coördinaten (5;0) en (0;5) gaat.

Onze punten hebben coördinaten (5;0) en (0;5). Middelen,

Laten we de formule in het formulier plaatsen j = kx + B

We ontdekten dat de helling k = – 1.

Antwoord: –1

Direct A gaat door punten met coördinaten (0;6) en (8;0). Direct B gaat door het punt met coördinaten (0;10) en is evenwijdig aan de lijn A B met as Oh.

In dit probleem kun je de vergelijking van de lijn vinden A, bepaal de helling ervoor. Op de rechte lijn B de helling zal hetzelfde zijn omdat ze parallel zijn. Vervolgens kun je de vergelijking van de lijn vinden B. En zoek dan de abscis door de waarde y = 0 erin te vervangen. MAAR!

In dit geval is het gemakkelijker om de eigenschap van gelijkenis van driehoeken te gebruiken.

Rechthoekige driehoeken gevormd door deze (parallelle) lijnen en coördinaatassen zijn gelijkvormig, wat betekent dat de verhoudingen van hun overeenkomstige zijden gelijk zijn.

De vereiste abscis is 40/3.

Antwoord: 40/3

Direct A gaat door punten met coördinaten (0;8) en (–12;0). Direct B gaat door het punt met coördinaten (0; –12) en loopt evenwijdig aan de lijn A. Zoek de abscis van het snijpunt van de lijn B met as Oh.

Voor dit probleem is de meest rationele manier om het op te lossen het gebruik van de eigenschap van gelijkenis van driehoeken. Maar we gaan het op een andere manier oplossen.

We kennen de punten waar de lijn doorheen gaat A. We kunnen een vergelijking schrijven voor een rechte lijn. De formule voor de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, heeft de vorm:

Per voorwaarde hebben de punten coördinaten (0;8) en (–12;0). Middelen,

Laten we het in gedachten houden j = kx + B:

Ik heb die hoek k = 2/3.

*De hoekcoëfficiënt kan worden gevonden via de raaklijn van de hoek in een rechthoekige driehoek met benen 8 en 12.

Het is bekend dat evenwijdige lijnen gelijke hoekcoëfficiënten hebben. Dit betekent dat de vergelijking van de rechte lijn die door het punt (0;-12) gaat, de vorm heeft:

Vind de waarde B we kunnen de abscis en ordinaat in de vergelijking vervangen:

De rechte lijn ziet er dus als volgt uit:

Om nu de gewenste abscis van het snijpunt van de lijn met de x-as te vinden, moet je y = 0 vervangen:

Antwoord: 18

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de as Oh en een lijn die door punt B(10;12) gaat en evenwijdig aan een lijn die door de oorsprong en punt A(10;24) gaat.

Laten we de vergelijking vinden van een rechte lijn die door punten gaat met de coördinaten (0;0) en (10;24).

De formule voor de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, heeft de vorm:

Onze punten hebben coördinaten (0;0) en (10;24). Middelen,

Laten we het in gedachten houden j = kx + B

De hoekcoëfficiënten van evenwijdige lijnen zijn gelijk. Dit betekent dat de vergelijking van de rechte lijn die door punt B(10;12) gaat, de vorm heeft:

Betekenis B Laten we het volgende vinden door de coördinaten van punt B(10;12) in deze vergelijking te vervangen:

We hebben de vergelijking van de rechte lijn:

Om de ordinaat van het snijpunt van deze lijn met de as te vinden Oh moeten worden vervangen door de gevonden vergelijking X= 0:

*De eenvoudigste oplossing. Met behulp van parallelle vertaling verschuiven we deze lijn langs de as naar beneden Oh naar punt (10;12). De verschuiving vindt plaats met 12 eenheden, dat wil zeggen, punt A(10;24) “verplaatst” naar punt B(10;12), en punt O(0;0) “verplaatst” naar punt (0;–12). Dit betekent dat de resulterende rechte lijn de as zal snijden Oh op punt (0;–12).

De vereiste ordinaat is –12.

Antwoord: –12

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de lijn gegeven door de vergelijking

3x + 2у = 6, met as Oei.

Coördinaat van het snijpunt van een gegeven lijn met een as Oh heeft de vorm (0; bij). Laten we de abscis in de vergelijking vervangen X= 0, en zoek de ordinaat:

De ordinaat van het snijpunt van de lijn en de as Oh gelijk aan 3.

*Het systeem is opgelost:

Antwoord: 3

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de lijnen gegeven door de vergelijkingen

3x + 2j = 6 En y = – x.

Wanneer twee lijnen worden gegeven, en de vraag gaat over het vinden van de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen, wordt een stelsel van deze vergelijkingen opgelost:

In de eerste vergelijking vervangen we - X in plaats van bij:

De ordinaat is gelijk aan min zes.

Antwoord: – 6

Bereken de helling van de lijn die door de punten gaat met de coördinaten (–2;0) en (0;2).

Bereken de helling van de lijn die door de punten met de coördinaten (2;0) en (0;2) gaat.

Lijn a loopt door punten met coördinaten (0;4) en (6;0). Lijn b gaat door het punt met coördinaten (0;8) en is evenwijdig aan lijn a. Zoek de abscis van het snijpunt van lijn b met de Ox-as.

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de oy-as en de lijn die door punt B (6;4) gaat en evenwijdig aan de lijn die door de oorsprong en punt A gaat (6;8).

1. Het is noodzakelijk om duidelijk te begrijpen dat de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn gelijk is aan de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn. Dit zal u helpen bij het oplossen van veel van dit soort problemen.

2. De formule voor het vinden van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, moet begrepen worden. Met zijn hulp kun je altijd de vergelijking van een lijn vinden als de coördinaten van de twee punten ervan zijn gegeven.

3. Onthoud dat de hellingen van evenwijdige lijnen gelijk zijn.

4. Zoals u begrijpt, is het bij sommige problemen handig om de driehoeksgelijkenistest te gebruiken. Problemen worden praktisch mondeling opgelost.

5. Problemen waarbij twee lijnen zijn gegeven en het nodig is om de abscis of ordinaat van het snijpunt te vinden, kunnen grafisch worden opgelost. Dat wil zeggen, bouw ze op een coördinatenvlak (op een vel papier in een vierkant) en bepaal het snijpunt visueel. *Maar deze methode is niet altijd toepasbaar.

6. En als laatste. Als een rechte lijn en de coördinaten van de snijpunten met de coördinaatassen worden gegeven, dan is het bij dergelijke problemen handig om de hoekcoëfficiënt te vinden door de raaklijn van de hoek in de gevormde rechthoekige driehoek te vinden. Hoe u deze driehoek met verschillende locaties van rechte lijnen in het vlak kunt ‘zien’, wordt hieronder schematisch weergegeven:

>> Rechte hoek van 0 tot 90 graden<<

>> Rechte hoek van 90 tot 180 graden<<

Dat is alles. Veel geluk voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander.

P.S: Ik zou het op prijs stellen als je me over de site op sociale netwerken vertelt.

De afgeleide van een functie is een van de lastige onderwerpen in het schoolcurriculum. Niet elke afgestudeerde zal de vraag beantwoorden wat een derivaat is.

In dit artikel wordt op een eenvoudige en duidelijke manier uitgelegd wat een derivaat is en waarom het nodig is.. We zullen nu niet streven naar wiskundige nauwkeurigheid in de presentatie. Het belangrijkste is om de betekenis te begrijpen.

Laten we de definitie onthouden:

De afgeleide is de snelheid waarmee een functie verandert.

De figuur toont grafieken van drie functies. Welke groeit volgens jou sneller?

Het antwoord ligt voor de hand: het derde. Het heeft de hoogste veranderingssnelheid, dat wil zeggen de grootste afgeleide.

Hier is nog een voorbeeld.

Kostya, Grisha en Matvey kregen tegelijkertijd een baan. Laten we eens kijken hoe hun inkomen gedurende het jaar veranderde:

De grafiek toont alles in één keer, nietwaar? Kostya’s inkomen is in zes maanden tijd meer dan verdubbeld. En het inkomen van Grisha steeg ook, maar slechts een klein beetje. En het inkomen van Matvey daalde tot nul. De startvoorwaarden zijn hetzelfde, maar dan wel de snelheid waarmee de functie verandert derivaat, - verschillend. Wat Matvey betreft, zijn inkomensderivaat is over het algemeen negatief.

Intuïtief schatten we gemakkelijk de mate van verandering van een functie. Maar hoe doen we dit?

Waar we echt naar kijken is hoe steil de grafiek van een functie omhoog (of omlaag) gaat. Met andere woorden: hoe snel verandert y als x verandert? Het is duidelijk dat dezelfde functie op verschillende punten verschillende afgeleide waarden kan hebben, dat wil zeggen dat deze sneller of langzamer kan veranderen.

De afgeleide van een functie wordt aangegeven.

We laten u zien hoe u het kunt vinden met behulp van een grafiek.

Van een bepaalde functie is een grafiek getekend. Laten we een punt nemen met een abscis erop. Laten we op dit punt een raaklijn tekenen aan de grafiek van de functie. We willen schatten hoe steil de grafiek van een functie omhoog gaat. Een handige waarde hiervoor is raaklijn van de raakhoek.

De afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek die op dit punt aan de grafiek van de functie wordt getrokken.

Houd er rekening mee dat we als hellingshoek van de raaklijn de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de as nemen.

Soms vragen leerlingen wat een raaklijn aan de grafiek van een functie is. Dit is een rechte lijn die één gemeenschappelijk punt heeft met de grafiek in deze sectie, zoals weergegeven in onze afbeelding. Het lijkt op een raaklijn aan een cirkel.

Laten we het vinden. We herinneren ons dat de raaklijn van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde. Van de driehoek:

We hebben de afgeleide gevonden met behulp van een grafiek zonder zelfs maar de formule van de functie te kennen. Dergelijke problemen worden vaak aangetroffen in het Unified State Examination in wiskunde onder het nummer.

Er is nog een belangrijke relatie. Bedenk dat de rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking

De hoeveelheid in deze vergelijking wordt genoemd helling van een rechte lijn. Het is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de as.

.

Dat snappen wij

Laten we deze formule onthouden. Het drukt de geometrische betekenis van de afgeleide uit.

De afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de helling van de raaklijn getrokken aan de grafiek van de functie op dat punt.

Met andere woorden, de afgeleide is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek.

We hebben al gezegd dat dezelfde functie op verschillende punten verschillende afgeleiden kan hebben. Laten we eens kijken hoe de afgeleide verband houdt met het gedrag van de functie.

Laten we een grafiek van een functie tekenen. Laat deze functie op sommige gebieden toenemen en op andere afnemen, en in verschillende snelheden. En laat deze functie maximale en minimale punten hebben.

Op een gegeven moment neemt de functie toe. Een raaklijn aan de in een punt getekende grafiek vormt een scherpe hoek; met positieve asrichting. Dit betekent dat de afgeleide op het punt positief is.

Op dat moment neemt onze functie af. De raaklijn vormt op dit punt een stompe hoek; met positieve asrichting. Omdat de raaklijn van een stompe hoek negatief is, is de afgeleide in het punt negatief.

Dit is wat er gebeurt:

Als een functie stijgend is, is de afgeleide ervan positief.

Als het afneemt, is de afgeleide ervan negatief.

Wat gebeurt er bij de maximale en minimale punten? We zien dat op de punten (maximumpunt) en (minimumpunt) de raaklijn horizontaal is. Daarom is de raaklijn van de raaklijn op deze punten nul, en de afgeleide is ook nul.

Punt - maximaal punt. Op dit punt wordt de toename van de functie vervangen door een afname. Bijgevolg verandert het teken van de afgeleide op het punt van “plus” naar “min”.

Op het punt - het minimumpunt - is de afgeleide ook nul, maar het teken verandert van "min" in "plus".

Conclusie: met behulp van de afgeleide kunnen we alles te weten komen wat ons interesseert over het gedrag van een functie.

Als de afgeleide positief is, neemt de functie toe.

Als de afgeleide negatief is, neemt de functie af.

Op het maximale punt is de afgeleide nul en verandert het teken van “plus” in “min”.

Op het minimumpunt is de afgeleide ook nul en verandert het teken van ‘min’ in ‘plus’.

Laten we deze conclusies in de vorm van een tabel schrijven:

Laten we twee kleine verduidelijkingen maken. U hebt er een nodig om het probleem op te lossen. Een andere - in het eerste jaar, met een serieuzere studie van functies en afgeleiden.

Het is mogelijk dat de afgeleide van een functie op een gegeven moment gelijk is aan nul, maar dat de functie op dit punt noch een maximum, noch een minimum heeft. Dit is de zgn :

Op een gegeven moment is de raaklijn aan de grafiek horizontaal en is de afgeleide nul. Vóór het punt nam de functie echter toe - en na het punt blijft deze toenemen. Het teken van de afgeleide verandert niet - het blijft positief zoals het was.

Het komt ook voor dat op het punt van maximum of minimum de afgeleide niet bestaat. In de grafiek komt dit overeen met een scherpe breuk, wanneer het onmogelijk is om op een bepaald punt een raaklijn te tekenen.

Hoe vind je de afgeleide als de functie niet door een grafiek wordt gegeven, maar door een formule? In dit geval is het van toepassing