Inhoud:

Het hoekpunt van een parabool is het hoogste of laagste punt. Om het hoekpunt van een parabool te vinden, kun je een speciale formule of de kwadratenoptellingmethode gebruiken. Hieronder ziet u hoe u dit kunt doen.

Stappen

1 Formule voor het vinden van het hoekpunt

1. 1 Zoek de waarden van a, b en c. In een kwadratische vergelijking is de coëfficiënt at x 2 = A, bij X= b, constant (coëfficiënt zonder variabele) = C. Neem bijvoorbeeld de vergelijking: j = x 2 + 9x + 18. Hier A = 1, B= 9, en C = 18.
2. 2 Gebruik de formule om de x-coördinaatwaarde van een hoekpunt te berekenen. Het hoekpunt is ook het symmetriepunt van de parabool. Formule voor het vinden van de x-coördinaat van een parabool: x = -b/2a. Vervang de juiste waarden erin om te berekenen X.
   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 3 Vervang de gevonden x-waarde door de oorspronkelijke vergelijking om de y-waarde te berekenen. Nu je de waarde van x kent, vul je deze eenvoudig in de oorspronkelijke vergelijking in om y te vinden. De formule voor het vinden van het hoekpunt van een parabool kan dus als een functie worden geschreven: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. Dit betekent dat om y te vinden, je eerst x moet vinden met behulp van de formule en vervolgens de waarde van x in de oorspronkelijke vergelijking moet vervangen. Zo werkt het:
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
   • j = 81/4 -81/2 + 18
   • j = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81 - 162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 4 Schrijf de x- en y-waarden als een paar coördinaten. Nu je weet dat x = -9/2 en y = -9/4, schrijf je ze op als coördinaten in de vorm: (-9/2, -9/4). Het hoekpunt van de parabool bevindt zich op de coördinaten (-9/2, -9/4). Als je deze parabool moet tekenen, ligt het hoekpunt ervan op het onderste punt, omdat de coëfficiënt van x 2 positief is.

2 Aanvulling op een perfect vierkant

1. 1 Schrijf de vergelijking op. Het voltooien van een perfect vierkant is een andere manier om het hoekpunt van een parabool te vinden. Door deze methode te gebruiken, vindt u meteen de x- en y-coördinaten, zonder dat u x in de oorspronkelijke vergelijking hoeft te vervangen. Gegeven de vergelijking: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 Deel elke coëfficiënt door de coëfficiënt x 2 . In ons geval is de coëfficiënt van x 2 1, dus we kunnen deze stap overslaan. Delen door 1 verandert niets.
3. 3 Verplaats de constante naar de rechterkant van de vergelijking. Constant is een coëfficiënt zonder variabele. Hier is het "1". Verplaats 1 naar rechts door 1 af te trekken van beide kanten van de vergelijking. Hier leest u hoe u het moet doen:
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 Vul de linkerkant van de vergelijking in om er een perfect vierkant van te maken. Om dit te doen, hoeft u alleen maar te zoeken (b/2) 2 en tel het resultaat op aan beide kanten van de vergelijking. Vervang "4" voor B, aangezien "4x" de coëfficiënt b van onze vergelijking is.
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Voeg nu 4 toe aan beide kanten van de vergelijking en je krijgt:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 Laten we de linkerkant van de vergelijking vereenvoudigen. We zien dat x 2 + 4x + 4 een perfect vierkant is. Het kan worden geschreven als: (x + 2) 2 = 3
6. 6 Gebruik het om de x- en y-coördinaten te vinden. Je kunt x vinden door simpelweg (x + 2) 2 gelijk te stellen aan 0. Nu (x + 2) 2 = 0, berekenen we x: x = -2. De y-coördinaat is een constante aan de rechterkant van een perfect vierkant. Dus y = 3. Het hoekpunt van de parabool van de vergelijking is x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

• Identificeer a, b en c correct.
• Voorlopige berekeningen vastleggen. Dit helpt niet alleen tijdens het werkproces, maar zorgt er ook voor dat u kunt zien waar er fouten zijn gemaakt.
• Verstoor de volgorde van berekeningen niet.

Waarschuwingen

• Controleer je antwoord!
• Zorg ervoor dat je weet hoe je de coëfficiënten a, b en c bepaalt. Als je het niet weet, is het antwoord fout.
• Nee – het oplossen van dergelijke problemen vereist oefening.

Een parabool is een van de krommen van de tweede orde; de ​​punten ervan zijn geconstrueerd volgens een kwadratische vergelijking. Het belangrijkste bij het construeren van deze curve is vinden bovenkant parabolen. Dit kan op verschillende manieren.

Instructies

Om de coördinaten van een hoekpunt te vinden parabolen, gebruik dan de volgende formule: x=-b/2a, waarbij a de coëfficiënt van x in het kwadraat is, en b de coëfficiënt van x. Voer uw waarden in en bereken de waarde ervan. Vervang vervolgens de resulterende waarde voor x in de vergelijking en bereken de ordinaat van het hoekpunt. Als je bijvoorbeeld de vergelijking y=2x^2-4x+5 krijgt, zoek dan de abscis als volgt: x=-(-4)/2*2=1. Vervang x=1 in de vergelijking en bereken de y-waarde voor het hoekpunt parabolen: y=2*1^2-4*1+5=3. De bovenkant dus parabolen heeft coördinaten (1-3).

De waarde van de ordinaat parabolen kan worden gevonden zonder eerst de abscis te berekenen. Gebruik hiervoor de formule y=-b^2/4ac+c.

Als u bekend bent met het concept van afgeleide, zoek dan bovenkant parabolen gebruikmakend van afgeleiden, gebruikmakend van de volgende eigenschap van elke functie: de eerste afgeleide van een functie, gelijk aan nul, geeft extreme punten aan. Sinds de bovenkant parabolen, ongeacht of de takken naar boven of naar beneden gericht zijn, een extreem punt is, bereken de afgeleide voor je functie. IN algemeen beeld het ziet er zo uit: f(x)=2ax+b. Stel het gelijk aan nul en bepaal de coördinaten van het hoekpunt parabolen, overeenkomend met uw functie.

Probeer te vinden bovenkant parabolen, waarbij gebruik wordt gemaakt van zijn eigenschappen, zoals symmetrie. Om dit te doen, zoekt u de snijpunten parabolen met de x-as, waarbij de functie gelijk wordt gesteld aan nul (ter vervanging van y = 0). Na besloten te hebben kwadratische vergelijking, je zult x1 en x2 vinden. Omdat de parabool symmetrisch is ten opzichte van de doorgaande richtlijn bovenkant, zullen deze punten op gelijke afstand van de abscis van het hoekpunt liggen. Om dit te vinden deelt u de afstand tussen de punten doormidden: x=(Ix1-x2I)/2.

Als een van de coëfficiënten gelijk aan nul(behalve a), bereken de coördinaten van het hoekpunt parabolen gebruik van vereenvoudigde formules. Als b=0 bijvoorbeeld de vergelijking de vorm y=ax^2+c heeft, dan ligt het hoekpunt op de oy-as en zijn de coördinaten gelijk aan (0-c). Als niet alleen de coëfficiënt b=0, maar ook c=0, dan het hoekpunt parabolen bevindt zich bij de oorsprong, punt (0-0).

De parabool is aanwezig in de wereld van de wiskunde, natuurkunde en andere wetenschappen. Kunstmatige satellieten bewegen zich langs het traject van een parabool en hebben de neiging de ruimte te verlaten zonnestelsel, beschrijft de bal bij het volleyballen ook zijn traject. Je moet een parabool kunnen construeren. En om dit gemakkelijk te maken, moet je weten hoe je het hoekpunt van een parabool kunt vinden.

De grafiek van de functie y = ax 2 + bx + c, waarbij a de eerste coëfficiënt is, b de tweede coëfficiënt, c de vrije term is, wordt een parabool genoemd. Maar let op het feit dat een ≠0.

Elk punt van de parabool heeft symmetrisch daarmee, met uitzondering van één punt, en dit punt wordt een hoekpunt genoemd. Om een ​​punt te vinden dat een hoekpunt is, moet je beslissen wat een punt in de grafiek is. Een punt in een grafiek is een specifieke coördinaat langs de abscis en de ordinaat-as. Het wordt aangegeven als (x; y). Laten we uitzoeken hoe we de dierbare cijfers kunnen vinden.

Eerste manier

Als je wilt weten hoe je de coördinaten van een hoekpunt correct kunt berekenen, hoef je alleen maar de formule x0 = -b/2a te leren. Als we het resulterende getal in de functie vervangen, krijgen we y0.

Bijvoorbeeld: y =x 2 –8 x +15;

vind de eerste, tweede coëfficiënten en vrije term;

• a = 1, b = -8, c = 15;

vervang de waarden van a en b in de formule;

• x0=8/2=4;

y-waarden berekenen;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Dit betekent dat het hoekpunt zich op punt (4;-1) bevindt.

De takken van de parabool zijn symmetrisch rond de symmetrieas, die door de top van de parabool gaat. Als u de wortels van de vergelijking kent, kunt u eenvoudig de abscis van het hoekpunt van de parabool berekenen. Laten we aannemen dat k en n de wortels zijn van een kwadratische vergelijking. Dan ligt punt x0 op gelijke afstand van de punten k en n, en kan het worden berekend met de formule: x0 = (k + n)/2.

Laten we naar het voorbeeld y =x 2 –6x+5 kijken

1) Gelijk aan nul:

• x 2 –6x+5=0.

2) Vind de discriminant met behulp van de formule: D = b 2 –4 ac:

• D =36–20=16.

3) Vind de wortels van de vergelijking met behulp van de formule (-b±√ D)/2a:

• 1 - eerste wortel;
• 5 is de tweede wortel.

4) Bereken:

• x0 =(5+1)/2=3

Tweede manier

Het invullen van een volledig vierkant is een goede manier om erachter te komen waar het hoekpunt zich bevindt. Met deze methode kunt u de punten x en y tegelijkertijd berekenen, zonder dat u x in het oorspronkelijke voorbeeld hoeft te vervangen. Laten we deze methode bekijken met behulp van het functievoorbeeld: y=x 2 +8 x +10.

1. Eerst moet je de uitdrukking gelijkstellen aan de variabele aan 0. Verplaats vervolgens c naar rechterkant met het tegenovergestelde teken, dat wil zeggen, we krijgen de uitdrukking x 2 + 8x = -10.

2. Nu moet je aan de linkerkant een compleet vierkant maken. Om dit te doen, berekent u (b/2) 2 en verhoogt u beide zijden van het vergelijkingsresultaat. In dit geval moet u 8 vervangen in plaats van b.

We krijgen 16. Voeg nu dit getal toe aan beide kanten van de vergelijking:

x 2 + 8x +16= 6.

3. Het is duidelijk dat de resulterende uitdrukking een perfect vierkant is. Het kan worden weergegeven in de vorm: (x + 4) 2 = 6.

4. Gebruik deze uitdrukking om de coördinaten van het hoekpunt van een parabool te vinden. Om x te berekenen, moet je het gelijkstellen aan 0. We krijgen x = -4. De y-coördinaat is gelijk aan wat zich aan de rechterkant bevindt, dat wil zeggen y =6. Het hoekpunt van de parabool van deze vergelijking is (-4, 6).

Derde manier

Als je weet wat een afgeleide is, dan is er een andere formule voor je. Ongeacht waar de ‘hoorns’ van de parabool wijzen, de top is het uiterste punt. Voor deze methode moet u het volgende algoritme toepassen:

1. Vind de eerste afgeleide met behulp van de formule f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. De afgeleide gelijkstellen aan 0. Als resultaat krijg je 0 = 2ax + b, vanaf hier kunnen we vinden wat ons interesseert.

Laten we deze methode in meer detail bekijken.

Gegeven de functie y = 4x²+16x-17;

• We schrijven de afgeleide op en stellen deze gelijk aan nul.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Het moeilijkste bij het construeren is om de punten van de functie correct te vinden. Voor een gedetailleerde constructie moet u 5-7 punten berekenen (voor schoolcursus dat is genoeg). Om dit te doen, selecteert u een waarde x en vervangt u deze door deze functie. Het resultaat van de berekeningen is het aantal punten langs de ordinaatas. Hierna plaatsen we de verkregen punten op het coördinatenvlak. Als resultaat krijgen we een parabool.

Laten we de kwestie van het vinden van de punten die moeten worden gemarkeerd eens nader bekijken. Laten we bijvoorbeeld de functie y =-x 2 +11 x -24 nemen met het hoekpunt op het punt (5,5;-6,25).

1) Bouw een tafel

Vind de kansen correct.

Schrijf tussentijdse berekeningen op papier. Dit maakt het niet alleen gemakkelijker om de top te vinden, maar helpt je ook om je fouten te vinden.

Doe alles stap voor stap. Volg het algoritme.

Houd er rekening mee dat:

• U moet controleren of uw beslissing juist is.
• Je moet kalmeren. Het oplossen van elk wiskundig probleem vereist ervaring. Moet het gewoon uitwerken dit onderwerp, en dan zul je zeker slagen.

Video

In deze video leert u hoe u het hoekpunt van een parabool kunt vinden

Heeft u geen antwoord gekregen op uw vraag? Stel een onderwerp voor aan de auteurs.

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, wiskundeleraar aan het MAOU “Lyceum nr. 1” in de stad Berezniki.

Project algebrales in groep 9(humanitair profiel).

“Het diepste spoor wordt achtergelaten door wat iemand zelf heeft ontdekt.” (D. Poya.)

Lesonderwerp:"Afleiding van formules voor het berekenen van de coördinaten van de top van een parabool."

Lesdoelstellingen: leerzaam :

Verwacht resultaat:

- bewustzijn, acceptatie en oplossing van het probleem door studenten;

Vorming van manieren om nieuwe kennis te verkrijgen door het vergelijken en naast elkaar plaatsen van feiten, een methode van het bijzondere naar het algemene;

Leer formules voor het vinden van de coördinaten van het hoekpunt en de symmetrieas van een parabool voor functies van de vorm y = ax 2 +bx+c.

Lestype: stage les educatieve taak. Lesmethoden– visueel en illustratief, verbaal, samenwerkend leren, probleemgestuurd, elementen van technologie kritisch denken.

Apparatuur: computer, multimediaprojector, demonstratiescherm, presentatiedia's over het onderwerp: "Formule voor het vinden van de coördinaten van de top van een parabool"; A3-vellen; gekleurde markeringen.

Technologie- systeem-activiteitsbenadering.

Lesstappen:

Psychologische stemming (motivatie).

Update achtergrondkennis(het creëren van een successituatie).

Verklaring van het probleem.

Het formuleren van het onderwerp en het doel van de les.

Het probleem oplossen.

Analyse van de voortgang van het oplossen van het probleem.

Toepassing van de resultaten van het oplossen van het probleem in volgende activiteiten.

De les samenvatten (de samenvatting door de “ogen” van de leerling, de samenvatting door de “ogen” van de leraar).

Huiswerk.

Lesvoortgang:

Psychische stemming.

Taak: Leert een veelvoorkomend probleem op te lossen en in teamverband te werken (werk in groepen van 5 personen).

Jongens, de afgelopen vier lessen hebben we gestudeerd kwadratische functie, maar onze kennis is nog niet helemaal compleet, dus we blijven de kwadratische functie bestuderen om iets nieuws over deze functie te leren.

Leerlingen motiveren om zelfstandig het onderwerp en het doel van de les te bepalen.

Naarmate de les vordert, wordt de tabel ingevuld.

Het actualiseren van de basiskennis en vaardigheden van studenten.Opwarmen. 1. Plaats de hoogste coëfficiënt tussen haakjes: 5x 2 + 25x -5; bijl 2 + bx + c. 2. Selecteer het dubbele product: ab; bijl; z/a. 3. Kwadraat: b/2; c2/a; 2a/3b. 4. Presenteer in het formulier algebraïsche som: a – c; x –(-b/2a).

Leg uit hoe, waarbij je het type grafiek van de functie kentj =ƒ( X ) , grafieken van functies bouwen:

A ) j =ƒ(X - A) , - met behulp van parallelle vertaling met een eenheid naar rechts langs de as X;

B) j =ƒ(X) + B, - met behulp van parallelle translatie b eenheden omhoog langs de as j;

V) j =ƒ(X- een) +B, ↔ aan A eenheden, ↕ door B eenheden;

d) Hoe u een functie kunt tekenen j = (X - 2) 2 + 3 ? Wat is haar schema?

Noem het hoekpunt van de parabool.
De grafiek is een parabool j = X 2 met hoekpunt in punt (2; 3 ).

Geef de coördinaten van het hoekpunt van de parabool: y=x - 4x + 5 ( probleem). Waarom is het onmogelijk om de coördinaten van de top van een parabool te bepalen op basis van het type functie?(de kwadratische functie heeft een andere vorm).

Studentenactiviteiten:

Construeer spraakstructuren met behulp van functionele terminologie.

Bespreking van antwoorden. Ze vergelijken, vergelijken met eerder bestudeerde functies, selecteren en schrijven op het bord de kennis en vaardigheden die ze mogelijk nodig hebben om het probleem op te lossen in de kolom ‘IK WEET’:

2.

3.

4.

In de kolom “Ik wil het weten”: hoekpunt, symmetrieas van een parabool
.

Studenten kunnen functies schrijven in de kolommen “IK WEET” en “WIL HET WETEN” zowel in het algemeen als in speciale gevallen. Verklaring van het onderwijsprobleem: vind de coördinaten van het hoekpunt van de parabool als de kwadratische functie in algemene vorm wordt gegeven j = bijl + bx + C. De leerlingen formuleren en noteren het onderwerp en het doel van de les in een notitieboekje.(Formules afleiden voor het berekenen van de coördinaten van de top van een parabool. Leer de coördinaten van de top van een parabool op een nieuwe manier vinden - met behulp van formules).

Het probleem oplossen.

Studentenactiviteiten: Bij het vergelijken van ‘oude’ kennis met nieuwe kennis wordt de leerlingen gevraagd een volledig vierkant te markeren. Op specifieke voorbeelden
;
en dienovereenkomstig ontvangen
;
. Vind de coördinaten van het hoekpunt en de vergelijking van de symmetrieas. Ze begrijpen dat ze de taak hebben volbracht, omdat gebracht nieuwe functie voor een vertrouwde uitstraling.

De leerlingen identificeren een volledig vierkant voor de functie.
; , vergelijk het verkregen resultaat, trek een conclusie op basis van deze functie. Zoek de coördinaten van het hoekpunt en de symmetrieas.

Kun je het hoekpunt en de as van een parabool benoemen als de functie in algemene vorm wordt gegeven?
zonder het volledige vierkant te markeren? Hoe zult u in dit geval handelen? En hoe kunt u uw eerdere ervaring met het vinden van het hoekpunt en de as van een parabool toepassen?

Studentenactiviteiten:

Op basis van bestaande kennis en ervaring beginnen studenten te begrijpen dat ze verder moeten gaan, van het specifieke naar het algemene, en bewijzen in een algemene vorm moeten uitvoeren.

Er verschijnen nieuwe moeilijkheden. Er verschijnt een oplossing in de groepen: . Analyse van de voortgang van het oplossen van het probleem. Van elke groep wordt één vertegenwoordiger gehoord.

Vergelijk en analyseer records
En
, opgeschreven in een notitieboekje algemene oplossing de taak die voorhanden is - formules voor de coördinaten van de top van een parabool
.

De leerlingen trekken een conclusie: de coördinaten van het hoekpunt en de as van de parabool voor de functie
op een rationele manier gevonden kan worden.

Toepassing van de resultaten van het oplossen van het probleem in volgende activiteiten.

Studentenactiviteiten:

Problemen oplossen uit leerboek nr. 121; 123. Vind de coördinaten van de top van de parabool op een nieuwe rationele manier. Schrijf de vergelijking op van de rechte lijn, die de symmetrieas van de parabool is.

Samenvattend (reflectie op leeractiviteiten in de les).

Laten we terugkeren naar de tabel en de kolom “GELEERD” invullen.

Samenvatting van de les door de ogen van de leerlingen:

Het resultaat “door de ogen van een leraar”:

Het doel van de les is bereikt.

De leerlingen beseften, accepteerden en losten het probleem op.

Tijdens het oplossen van een onderwijsprobleem verwierven studenten niet alleen nieuwe kennis: de afhankelijkheid van de coëfficiënten van een kwadratische trinominale en de coördinaten van de top van een parabool, de vergelijking van de symmetrieas, maar het allerbelangrijkste in de De les is de vorming van algemene manieren om nieuwe kennis te verwerven, het probleem onafhankelijk te analyseren en het onbekende te vinden.

Huiswerk: artikel 7 nr. 122;127(b);128.

P.S. De gepresenteerde les werd gehouden op 15 oktober 2014 als onderdeel van een stadsseminarie voor wiskundeleraren over het onderwerp "Vorming van UDL in wiskundelessen."

In de fase ‘De resultaten toepassen…’ bij het oplossen van problemen uit het leerboek begonnen sommige leerlingen de waarde van hun ‘ontdekking’ te begrijpen: meer eenvoudige manier het vinden van de coördinaten van het hoekpunt en de vergelijking van de symmetrieas, terwijl anderen hun vreugde niet verborgen hielden, omdat het niet nodig was om te "lijden" met het isoleren van een compleet vierkant. Maar het belangrijkste is dat we alles zelf hebben gedaan!