Het onderwerp "De hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek" in het certificeringsexamen krijgt meerdere taken tegelijk. Afhankelijk van hun toestand kan van de afgestudeerde worden verlangd dat hij een volledig of een kort antwoord geeft. Bij de voorbereiding op het afleggen van het Unified State Exam in Mathematics moet de student zeker de taken herhalen waarin hij moet rekenen helling raaklijn.

Het zal je helpen dit te doen educatief portaal"Sjkolkovo". Onze experts bereidden en presenteerden theoretische en praktisch materiaal zo toegankelijk mogelijk. Nadat ze ermee vertrouwd zijn geraakt, kunnen afgestudeerden van elk opleidingsniveau met succes problemen oplossen die verband houden met afgeleiden, waarbij het nodig is om de raaklijn van de raakhoek te vinden.

Hoogtepunten

Om de juiste en rationeel besluit Voor soortgelijke taken in het Unified State Exam moet u de basisdefinitie onthouden: de afgeleide vertegenwoordigt de mate van verandering van een functie; het is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek die op een bepaald punt aan de grafiek van de functie wordt getrokken. Het is net zo belangrijk om de tekening te voltooien. Hiermee kunt u de juiste oplossing vinden voor GEBRUIK-problemen met de afgeleide, waarbij u de raaklijn van de raakhoek moet berekenen. Voor de duidelijkheid is het het beste om de grafiek in het OXY-vlak te tekenen.

Als u al vertrouwd bent geraakt met het basismateriaal over afgeleiden en klaar bent om te beginnen met het oplossen van problemen bij het berekenen van de raaklijn van de raaklijnhoek, zoals Unified State Exam-opdrachten, u kunt dit online doen. Voor elke taak, bijvoorbeeld problemen met het onderwerp 'Relatie van een afgeleide met de snelheid en versnelling van een lichaam', hebben we het juiste antwoord- en oplossingsalgoritme opgeschreven. Tegelijkertijd kunnen studenten oefenen met het uitvoeren van taken met verschillende niveaus van complexiteit. Indien nodig kan de oefening worden opgeslagen in de sectie “Favorieten”, zodat u de oplossing later met de docent kunt bespreken.

De helling is recht. In dit artikel zullen we kijken naar problemen die verband houden met het coördinatenvlak dat is opgenomen in het Unified State Examination in de wiskunde. Dit zijn taken voor:

— bepaling van de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn wanneer twee punten waar deze doorheen gaat bekend zijn;
— bepaling van de abscis of ordinaat van het snijpunt van twee rechte lijnen in een vlak.

Wat de abscis en de ordinaat van een punt zijn, werd in deze sectie beschreven. Daarin hebben we al verschillende problemen besproken die verband houden met het coördinatenvlak. Wat moet u weten voor het soort probleem dat u overweegt? Een beetje theorie.

De vergelijking van een rechte lijn op het coördinatenvlak heeft de vorm:

Waar k – dit is de helling van de lijn.

Volgende moment! De helling van een rechte lijn is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn. Dit is de hoek tussen een gegeven lijn en de asOh.

Het varieert van 0 tot 180 graden.

Dat wil zeggen, als we de vergelijking van een rechte lijn tot de vorm reduceren j = kx + B, dan kunnen we altijd de coëfficiënt k (hellingscoëfficiënt) bepalen.

Als we op basis van de voorwaarde de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn kunnen bepalen, zullen we daardoor de hoekcoëfficiënt vinden.

Volgende theoretische punt!Vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat.De formule ziet er als volgt uit:

Laten we eens kijken naar de taken (vergelijkbaar met de taken uit de open takenbank):

Bereken de helling van de lijn die door de punten gaat met de coördinaten (–6;0) en (0;6).

Bij dit probleem is de meest rationele manier om dit op te lossen het vinden van de raaklijn van de hoek tussen de x-as en de gegeven rechte lijn. Het is bekend dat het gelijk is aan de helling. Beschouw een rechthoekige driehoek gevormd door een rechte lijn en de assen x en oy:

Raaklijn van de hoek in rechthoekige driehoek is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde:

*Beide benen zijn gelijk aan zes (dit zijn hun lengtes).

Dit probleem kan natuurlijk worden opgelost met behulp van de formule voor het vinden van de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat. Maar dit zal een langere oplossing zijn.

Antwoord: 1

Bereken de helling van de lijn die door de punten met de coördinaten (5;0) en (0;5) gaat.

Onze punten hebben coördinaten (5;0) en (0;5). Middelen,

Laten we de formule in het formulier plaatsen j = kx + B

We ontdekten dat de helling k = – 1.

Antwoord: –1

Direct A gaat door punten met coördinaten (0;6) en (8;0). Direct B gaat door het punt met coördinaten (0;10) en is evenwijdig aan de lijn A B met as Oh.

In dit probleem kun je de vergelijking van de lijn vinden A, bepaal de helling ervoor. Op de rechte lijn B de helling zal hetzelfde zijn omdat ze parallel zijn. Vervolgens kun je de vergelijking van de lijn vinden B. En zoek dan de abscis door de waarde y = 0 erin te vervangen. MAAR!

In dit geval is het gemakkelijker om de eigenschap van gelijkenis van driehoeken te gebruiken.

Rechthoekige driehoeken gevormd door deze (parallelle) lijnen en coördinaatassen zijn gelijkvormig, wat betekent dat de verhoudingen van hun overeenkomstige zijden gelijk zijn.

De vereiste abscis is 40/3.

Antwoord: 40/3

Direct A gaat door punten met coördinaten (0;8) en (–12;0). Direct B gaat door het punt met coördinaten (0; –12) en loopt evenwijdig aan de lijn A. Zoek de abscis van het snijpunt van de lijn B met as Oh.

Voor dit probleem is de meest rationele manier om het op te lossen het gebruik van de eigenschap van gelijkenis van driehoeken. Maar we gaan het op een andere manier oplossen.

We kennen de punten waar de lijn doorheen gaat A. We kunnen een vergelijking schrijven voor een rechte lijn. De formule voor de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, heeft de vorm:

Per voorwaarde hebben de punten coördinaten (0;8) en (–12;0). Middelen,

Laten we het in gedachten houden j = kx + B:

Ik heb die hoek k = 2/3.

*De hoekcoëfficiënt kan worden gevonden via de raaklijn van de hoek in een rechthoekige driehoek met benen 8 en 12.

Het is bekend dat evenwijdige lijnen gelijke hoekcoëfficiënten hebben. Dit betekent dat de vergelijking van de rechte lijn die door het punt (0;-12) gaat, de vorm heeft:

Vind de waarde B we kunnen de abscis en ordinaat in de vergelijking vervangen:

De rechte lijn ziet er dus als volgt uit:

Om nu de gewenste abscis van het snijpunt van de lijn met de x-as te vinden, moet je y = 0 vervangen:

Antwoord: 18

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de as Oh en een lijn die door punt B(10;12) gaat en evenwijdig aan een lijn die door de oorsprong en punt A(10;24) gaat.

Laten we de vergelijking vinden van een rechte lijn die door punten gaat met de coördinaten (0;0) en (10;24).

De formule voor de vergelijking van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, heeft de vorm:

Onze punten hebben coördinaten (0;0) en (10;24). Middelen,

Laten we het in gedachten houden j = kx + B

De hoekcoëfficiënten van evenwijdige lijnen zijn gelijk. Dit betekent dat de vergelijking van de rechte lijn die door het punt B(10;12) gaat, de vorm heeft:

Betekenis B Laten we het volgende vinden door de coördinaten van punt B(10;12) in deze vergelijking te vervangen:

We hebben de vergelijking van de rechte lijn:

Om de ordinaat van het snijpunt van deze lijn met de as te vinden Oh moeten worden vervangen door de gevonden vergelijking X= 0:

*De eenvoudigste oplossing. Met behulp van parallelle vertaling verschuiven we deze lijn langs de as naar beneden Oh naar punt (10;12). De verschuiving vindt plaats met 12 eenheden, dat wil zeggen, punt A(10;24) “verplaatst” naar punt B(10;12), en punt O(0;0) “verplaatst” naar punt (0;–12). Dit betekent dat de resulterende rechte lijn de as zal snijden Oh op punt (0;–12).

De vereiste ordinaat is –12.

Antwoord: –12

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de lijn gegeven door de vergelijking

3x + 2у = 6, met as Oei.

Coördinaat van het snijpunt van een gegeven lijn met een as Oh heeft de vorm (0; bij). Laten we de abscis in de vergelijking vervangen X= 0, en zoek de ordinaat:

De ordinaat van het snijpunt van de lijn en de as Oh gelijk aan 3.

*Het systeem is opgelost:

Antwoord: 3

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de lijnen gegeven door de vergelijkingen

3x + 2j = 6 En y = – x.

Wanneer twee lijnen worden gegeven, en de vraag gaat over het vinden van de coördinaten van het snijpunt van deze lijnen, wordt een stelsel van deze vergelijkingen opgelost:

In de eerste vergelijking vervangen we - X in plaats van bij:

De ordinaat is gelijk aan min zes.

Antwoord: – 6

Bereken de helling van de lijn die door de punten gaat met de coördinaten (–2;0) en (0;2).

Bereken de helling van de lijn die door de punten met de coördinaten (2;0) en (0;2) gaat.

Lijn a loopt door punten met coördinaten (0;4) en (6;0). Lijn b gaat door het punt met coördinaten (0;8) en is evenwijdig aan lijn a. Zoek de abscis van het snijpunt van lijn b met de Ox-as.

Zoek de ordinaat van het snijpunt van de oy-as en een lijn die door punt B (6;4) gaat en evenwijdig is aan de lijn die door de oorsprong en punt A gaat (6;8).

1. Het is noodzakelijk om duidelijk te begrijpen dat de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn gelijk is aan de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn. Dit zal u helpen bij het oplossen van veel van dit soort problemen.

2. De formule voor het vinden van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, moet begrepen worden. Met zijn hulp kun je altijd de vergelijking van een lijn vinden als de coördinaten van de twee punten ervan zijn gegeven.

3. Onthoud dat de hellingen van evenwijdige lijnen gelijk zijn.

4. Zoals u begrijpt, is het bij sommige problemen handig om de driehoeksgelijkenisfunctie te gebruiken. Problemen worden praktisch mondeling opgelost.

5. Problemen waarbij twee lijnen zijn gegeven en het nodig is om de abscis of ordinaat van het snijpunt te vinden, kunnen grafisch worden opgelost. Dat wil zeggen, bouw ze op een coördinatenvlak (op een vel papier in een vierkant) en bepaal het snijpunt visueel. *Maar deze methode is niet altijd toepasbaar.

6. En als laatste. Als een rechte lijn en de coördinaten van de snijpunten met de coördinaatassen worden gegeven, dan is het bij dergelijke problemen handig om de hoekcoëfficiënt te vinden door de raaklijn van de hoek in de gevormde rechthoekige driehoek te vinden. Hoe u deze driehoek met verschillende locaties van rechte lijnen in het vlak kunt ‘zien’, wordt hieronder schematisch weergegeven:

>> Rechte hoek van 0 tot 90 graden<<

>> Rechte hoek van 90 tot 180 graden<<

Dat is alles. Veel geluk voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander.

P.S: Ik zou het op prijs stellen als je me over de site op sociale netwerken vertelt.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Leer afgeleiden van functies te nemen. De afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een bepaald punt dat in de grafiek van deze functie ligt. In dit geval kan de grafiek een rechte of een gebogen lijn zijn. Dat wil zeggen, de afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een specifiek tijdstip. Onthoud de algemene regels volgens welke derivaten worden genomen, en ga dan pas verder met de volgende stap.

• Lees het artikel.
• Er wordt beschreven hoe u de eenvoudigste afgeleiden kunt nemen, bijvoorbeeld de afgeleide van een exponentiële vergelijking. De berekeningen die in de volgende stappen worden gepresenteerd, zullen gebaseerd zijn op de daarin beschreven methoden.

Leer onderscheid te maken tussen problemen waarbij de helling moet worden berekend via de afgeleide van een functie. Bij problemen wordt u niet altijd gevraagd de helling of afgeleide van een functie te vinden. U kunt bijvoorbeeld worden gevraagd om de veranderingssnelheid van een functie op punt A(x,y) te bepalen. Mogelijk wordt u ook gevraagd de helling van de raaklijn in punt A(x,y) te bepalen. In beide gevallen is het noodzakelijk om de afgeleide van de functie te nemen.

De afgeleide van een functie is een van de lastige onderwerpen in het schoolcurriculum. Niet elke afgestudeerde zal de vraag beantwoorden wat een derivaat is.

In dit artikel wordt op een eenvoudige en duidelijke manier uitgelegd wat een derivaat is en waarom het nodig is.. We zullen nu niet streven naar wiskundige nauwkeurigheid in de presentatie. Het belangrijkste is om de betekenis te begrijpen.

Laten we de definitie onthouden:

De afgeleide is de snelheid waarmee een functie verandert.

De figuur toont grafieken van drie functies. Welke groeit volgens jou sneller?

Het antwoord ligt voor de hand: het derde. Het heeft de hoogste veranderingssnelheid, dat wil zeggen de grootste afgeleide.

Hier is nog een voorbeeld.

Kostya, Grisha en Matvey kregen tegelijkertijd een baan. Laten we eens kijken hoe hun inkomen gedurende het jaar veranderde:

De grafiek toont alles in één keer, nietwaar? Kostya’s inkomen is in zes maanden tijd meer dan verdubbeld. En het inkomen van Grisha steeg ook, maar slechts een klein beetje. En het inkomen van Matvey daalde tot nul. De startvoorwaarden zijn hetzelfde, maar dan wel de snelheid waarmee de functie verandert derivaat, - verschillend. Wat Matvey betreft, zijn inkomensderivaat is over het algemeen negatief.

Intuïtief schatten we gemakkelijk de mate van verandering van een functie. Maar hoe doen we dit?

Waar we echt naar kijken is hoe steil de grafiek van een functie omhoog (of omlaag) gaat. Met andere woorden: hoe snel verandert y als x verandert? Het is duidelijk dat dezelfde functie op verschillende punten verschillende afgeleide waarden kan hebben, dat wil zeggen dat deze sneller of langzamer kan veranderen.

De afgeleide van een functie wordt aangegeven.

We laten u zien hoe u het kunt vinden met behulp van een grafiek.

Van een bepaalde functie is een grafiek getekend. Laten we een punt nemen met een abscis erop. Laten we op dit punt een raaklijn tekenen aan de grafiek van de functie. We willen schatten hoe steil de functiegrafiek omhoog gaat. Een handige waarde hiervoor is raaklijn van de raakhoek.

De afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek die op dit punt aan de grafiek van de functie wordt getrokken.

Houd er rekening mee dat we als hellingshoek van de raaklijn de hoek tussen de raaklijn en de positieve richting van de as nemen.

Soms vragen leerlingen wat een raaklijn aan de grafiek van een functie is. Dit is een rechte lijn die één gemeenschappelijk punt heeft met de grafiek in deze sectie, zoals weergegeven in onze afbeelding. Het lijkt op een raaklijn aan een cirkel.

Laten we het vinden. We herinneren ons dat de raaklijn van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde. Van de driehoek:

We hebben de afgeleide gevonden met behulp van een grafiek zonder zelfs maar de formule van de functie te kennen. Dergelijke problemen worden vaak aangetroffen in het Unified State Examination in wiskunde onder het nummer.

Er is nog een belangrijke relatie. Bedenk dat de rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking

De hoeveelheid in deze vergelijking wordt genoemd helling van een rechte lijn. Het is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de as.

.

Dat snappen wij

Laten we deze formule onthouden. Het drukt de geometrische betekenis van de afgeleide uit.

De afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de helling van de raaklijn getrokken aan de grafiek van de functie op dat punt.

Met andere woorden, de afgeleide is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek.

We hebben al gezegd dat dezelfde functie op verschillende punten verschillende afgeleiden kan hebben. Laten we eens kijken hoe de afgeleide verband houdt met het gedrag van de functie.

Laten we een grafiek van een functie tekenen. Laat deze functie op sommige gebieden toenemen en op andere afnemen, en in verschillende snelheden. En laat deze functie maximale en minimale punten hebben.

Op een gegeven moment neemt de functie toe. Een raaklijn aan de in een punt getekende grafiek vormt een scherpe hoek; met positieve asrichting. Dit betekent dat de afgeleide op het punt positief is.

Op dat moment neemt onze functie af. De raaklijn vormt op dit punt een stompe hoek; met positieve asrichting. Omdat de raaklijn van een stompe hoek negatief is, is de afgeleide in het punt negatief.

Dit is wat er gebeurt:

Als een functie stijgend is, is de afgeleide ervan positief.

Als het afneemt, is de afgeleide ervan negatief.

Wat gebeurt er bij de maximale en minimale punten? We zien dat op de punten (maximumpunt) en (minimumpunt) de raaklijn horizontaal is. Daarom is de raaklijn van de raaklijn op deze punten nul, en de afgeleide is ook nul.

Punt - maximaal punt. Op dit punt wordt de toename van de functie vervangen door een afname. Bijgevolg verandert het teken van de afgeleide op het punt van “plus” naar “min”.

Op het punt - het minimumpunt - is de afgeleide ook nul, maar het teken verandert van "min" in "plus".

Conclusie: met behulp van de afgeleide kunnen we alles te weten komen wat ons interesseert over het gedrag van een functie.

Als de afgeleide positief is, neemt de functie toe.

Als de afgeleide negatief is, neemt de functie af.

Op het maximale punt is de afgeleide nul en verandert het teken van “plus” in “min”.

Op het minimumpunt is de afgeleide ook nul en verandert het teken van ‘min’ in ‘plus’.

Laten we deze conclusies in de vorm van een tabel schrijven:

Laten we twee kleine verduidelijkingen maken. U hebt er een nodig om het probleem op te lossen. Een andere - in het eerste jaar, met een serieuzere studie van functies en afgeleiden.

Het is mogelijk dat de afgeleide van een functie op een gegeven moment gelijk is aan nul, maar dat de functie op dit punt noch een maximum, noch een minimum heeft. Dit is de zgn :

Op een gegeven moment is de raaklijn aan de grafiek horizontaal en is de afgeleide nul. Vóór het punt nam de functie echter toe - en na het punt blijft deze toenemen. Het teken van de afgeleide verandert niet - het blijft positief zoals het was.

Het komt ook voor dat op het punt van maximum of minimum de afgeleide niet bestaat. In de grafiek komt dit overeen met een scherpe breuk, wanneer het onmogelijk is om op een bepaald punt een raaklijn te tekenen.

Hoe vind je de afgeleide als de functie niet door een grafiek wordt gegeven, maar door een formule? In dit geval is het van toepassing