Lestype: uitleg van nieuwe stof. Er wordt in groepen gewerkt. Elke groep heeft een deskundige die het werk van de studenten monitort en begeleidt. Helpt zwakke leerlingen in zichzelf te geloven bij het oplossen van deze vergelijkingen.

Downloaden:

Voorbeeld:

Les over het onderwerp

" Homogene trigonometrische vergelijkingen"

(10e leerjaar)

Doel:

1. het concept van homogene trigonometrische vergelijkingen van graad I en II introduceren;
2. een algoritme formuleren en uitwerken voor het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen van graad I en II;
3. leerlingen leren homogene trigonometrische vergelijkingen van graad I en II op te lossen;
4. het vermogen ontwikkelen om patronen te identificeren en te generaliseren;
5. de belangstelling voor het onderwerp stimuleren, een gevoel van solidariteit en een gezonde concurrentie ontwikkelen.

Lestype : een les in de vorming van nieuwe kennis.

Vorm van gedrag: werken in groepen.

Voorzieningen: computer, multimedia-installatie

Lesvoortgang

I. Organisatorisch moment

In de les een beoordelingssysteem voor het beoordelen van kennis (de leraar legt het systeem voor het beoordelen van kennis uit, door het beoordelingsblad in te vullen door een onafhankelijke deskundige die door de leraar uit de leerlingen is geselecteerd). De les gaat gepaard met een presentatie. Bijlage 1.

Scoreblad nr.

II. Update achtergrondkennis..

We blijven het onderwerp bestuderen “ Trigonometrische vergelijkingen" Vandaag laten we je in de les kennismaken met een ander type trigonometrische vergelijkingen en methoden om ze op te lossen, en daarom zullen we herhalen wat we hebben geleerd. Bij het oplossen van alle soorten trigonometrische vergelijkingen worden ze teruggebracht tot het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Laten we ons de belangrijkste typen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen herinneren. Gebruik de pijlen om de uitdrukkingen te matchen.

III. Motivatie om te leren.

Er is werk aan de winkel om de kruiswoordpuzzel op te lossen. Nadat we het hebben opgelost, zullen we de naam ontdekken van een nieuw type vergelijkingen dat we vandaag in de klas zullen leren oplossen.

Vragen worden op het bord geprojecteerd. Studenten raden, en een onafhankelijke deskundige noteert de scores van de studenten die antwoorden op het scoreblad.

Nadat ze de kruiswoordpuzzel hebben opgelost, lezen de kinderen het woord 'homogeen'.

Kruiswoordraadsel.

Als je binnenkomt ware woorden, dan krijg je de naam van een van de soorten trigonometrische vergelijkingen.

1.De waarde van de variabele die de vergelijking waar maakt? (Wortel)

2. Eenheid van hoeken? (radiaal)

3.Numerieke factor in het product? (Coëfficiënt)

4. Tak van de wiskunde die trigonometrische functies bestudeert? (Trigonometrie)

5. Welk wiskundig model is nodig voor introductie trigonometrische functies? (Cirkel)

6. Welke trigonometrische functie is even? (Cosinus)

7. Hoe wordt echte gelijkheid genoemd? (Identiteit)

8.Gelijkheid met een variabele? (Vergelijking)

9. Vergelijkingen met dezelfde wortels? (equivalent)

10. Hoeveel wortels heeft een vergelijking? (Oplossing)

IV. Uitleg van nieuw materiaal.

Het onderwerp van de les is ‘Homogene trigonometrische vergelijkingen’. (Presentatie)

Voorbeelden:

1. zonde x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. zonde 4x = cos 4x
4. 2sin 2 x + 3 zonde x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 zonde 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 zonde 2x
9. zonde 2x + 2cos 2x = 1

V. Zelfstandig werk

Doelstellingen: de kennis van studenten uitgebreid testen bij het oplossen van alle soorten goniometrische vergelijkingen, studenten stimuleren tot zelfanalyse en zelfcontrole.
Er wordt van de leerlingen gevraagd om gedurende 10 minuten een schriftelijk werk af te ronden.
De leerlingen werken op blanco stukjes papier om te kopiëren. Na verloop van tijd worden de toppen van zelfstandig werk verzameld en kunnen de leerlingen de oplossingen kopiëren.
Controle van zelfstandig werk (3 min) gebeurt door onderlinge controle.
. De leerlingen gebruiken een gekleurde pen om te controleren geschreven werken uw buurman en noteer de naam van de inspecteur. Vervolgens overhandigen zij de papieren.

Vervolgens dragen zij het over aan een onafhankelijke deskundige.

Optie 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sinx – 2sinxcos x = 1

4) zonde 2x⁄sin x =0

Optie 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + zonde 2 x = 2 zonde x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. De les samenvattend

VII. Huiswerk:

Huiswerk – 12 punten (3 vergelijkingen 4 x 3 = 12 werden toegewezen als huiswerk)

Studentenactiviteit – 1 antwoord – 1 punt (maximaal 4 punten)

Vergelijkingen oplossen 1 punt

Zelfstandig werk – 4 punten

Staatsbegrotingsprofessional onderwijsinstelling Teeli dorp, Republiek Tyva

Ontwikkeling van een les wiskunde

Lesonderwerp:

"Homogene trigonometrische vergelijkingen"

Docent: Oorzhak

Ailana Michajlovna

Les onderwerp : “Homogene trigonometrische vergelijkingen”(volgens het leerboek van A.G. Mordkovich)

Groep : Master in de plantenteelt, 1e jaar

Lestype: Een les in het leren van nieuw materiaal.

Lesdoelen:

2. Ontwikkel logisch denken, het vermogen om conclusies te trekken, het vermogen om de resultaten van ondernomen acties te evalueren

3. Leerlingen nauwkeurigheid, verantwoordelijkheidsgevoel en de ontwikkeling van positieve leermotieven bijbrengen

Lesmateriaal: laptop, projector, scherm, kaarten, posters over trigonometrie: betekenissen van trigonometrische functies, basisformules voor trigonometrie.

Lesduur: 45 minuten.

Lesstructuur:

Voortgang van de les.

1. Organisatiemoment (1 min)

Controleer de bereidheid van studenten voor de les, luister naar de dienstdoende groep.

2. Basiskennis bijwerken (3 min)

2.1. Huiswerk controleren.

Drie studenten lossen op bord nr. 18.8 (c, d); Nr. 18.19. De overige studenten doen een peer review.

3. Nieuw materiaal leren (13 min)

3.1. Motivatie van studenten.

Leerlingen wordt gevraagd vergelijkingen te noemen die ze kennen en kunnen oplossen (dia nr. 1)

1) 3 cos 2 x – 3 cos x = 0;

2) cos(x – 1) = ;

3) 2 zonde 2 x + 3 zonde x = 0;

4) 6 zonde 2 x – 5 cos x + 5 = 0; 1 2

5) sin x cos x + cos²x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x – 3cos x = 0;

8) zonde 2 x + cos 2 x = 0;

9) sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0.

De leerlingen kunnen de oplossing van vergelijkingen 7-9 niet benoemen.

3.2. Uitleg van een nieuw onderwerp.

Leraar: Vergelijkingen die je niet kon oplossen, komen in de praktijk vrij vaak voor. Ze worden homogene trigonometrische vergelijkingen genoemd. Schrijf het onderwerp van de les op: “Homogene trigonometrische vergelijkingen.” (dia nummer 2)

Op de schermdefinitie van de projector homogene vergelijkingen. (dia nummer 3)

Beschouw een methode voor het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen (dia nr. 4, 5)

Analyseer de oplossingen voor de voorbeelden

Voorbeeld 1. Los vergelijking 2sin op x – 3cos x = 0; (dia nummer 6)

Dit is een homogene vergelijking van de eerste graad. Laten we beide zijden van de vergelijkingsterm delen door cos x, we krijgen:

2tg x – 3 = 0

tg x =

x = arctan + πn, n Z.

Antwoord: x = arctan + π n, n Z.

Voorbeeld 2 . Los sin 2-vergelijking op x + cos2 x = 0; (dia nummer 7)

Dit is een homogene vergelijking van de eerste graad. Laten we beide zijden van de vergelijkingsterm delen door cos 2 x, we krijgen:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2x = arctan (-1)+ πn, n Z.

2x = - + πn, nZ.

x = - +, nZ.

Antwoord: x = - +, n Z.

Voorbeeld 3 . Los de vergelijking sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0 op. (dia nummer 8)

Elke term in de vergelijking heeft dezelfde graad. Dit is een homogene vergelijking van de tweede graad. Laten we beide zijden van de vergelijking term voor term delen door cos 2 x ≠ 0, we krijgen:

tg 2 x-3tg x+2 = 0. Laten we een nieuwe variabele z = tan x introduceren, die we krijgen

z 2 – 3z + 2 =0

z1 = 1, z2 = 2

dit betekent tg x = 1 of tg x = 2

4. Consolidatie van het bestudeerde materiaal (10 min)

De leraar analyseert gedetailleerd voorbeelden met zwakke leerlingen op het bord, sterke leerlingen lossen zelfstandig op in hun schrift.

5. Gedifferentieerd zelfstandig werken (15 min)

De leraar deelt kaarten uit met taken van drie niveaus: basis (A), gemiddeld (B), gevorderd (C). De leerlingen kiezen zelf welk niveau van voorbeelden ze gaan oplossen.

6. Samenvattend. Reflectie op leeractiviteiten in de klas (2 min)

Beantwoord de vragen:

Welke soorten trigonometrische vergelijkingen hebben we geleerd?

Hoe los je een homogene vergelijking van de eerste graad op?

Hoe los je een homogene vergelijking van de tweede graad op?

Ik kwam erachter...

Ik heb geleerd...

Markering goed werk geef in de les van individuele leerlingen cijfers.

7. Huiswerk. (1 min)

Informeer de leerlingen over hun huiswerk en geef korte instructies over hoe ze het moeten maken.

Nr. 18.12 (c, d), nr. 18.24 (c, d), nr. 18.27 (a)

Gebruikte literatuur:

Dia 2

"Homogene trigonometrische vergelijkingen"

1. Een vergelijking van de vorm a sin x + b cos x = 0, waarbij a ≠0, b ≠0 een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad wordt genoemd. 2. Een vergelijking van de vorm a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0, waarbij a ≠0, b ≠0, c ≠0 een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad wordt genoemd. Definitie:

Ik graad a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Laten we beide zijden van de vergelijking term voor term delen door cosx ≠ 0. We krijgen: a tanx + b = 0 tgx = -b /a de eenvoudigste trigonometrische vergelijking Bij het delen van een homogene vergelijking a sinx + b cosx = 0 door cos x ≠ 0, de wortels van deze vergelijking zijn niet verloren. Methode voor het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) als a ≠ 0, deel beide zijden van de vergelijkingsterm door cos ² x ≠0 We krijgen: a tan ² x + b tanx + c = 0, los op door introductie een nieuwe variabele z = tgx 2) als a = 0, dan krijgen we: b sinx cosx + c cos ² x =0, oplossen door factorisatiemethode / Bij het delen van de homogene vergelijking a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x = 0 bij cos 2 x ≠ 0 gaan de wortels van deze vergelijking niet verloren. II graad

Dit is een homogene vergelijking van de eerste graad. Laten we beide zijden van de vergelijking term voor term delen door cos x, we krijgen: Voorbeeld 1. Los de vergelijking 2 sin x – 3 cos x = 0 op

Dit is een homogene vergelijking van de eerste graad. Laten we beide zijden van de vergelijkingsterm delen door cos 2 x, we krijgen: Voorbeeld 2. Los de vergelijking sin 2 x + cos 2 x = 0 op

Elke term in de vergelijking heeft dezelfde graad. Dit is een homogene vergelijking van de tweede graad. Laten we beide zijden van de vergelijking term voor term delen met os 2 x ≠ 0, we krijgen: Voorbeeld 3. Los de vergelijking sin ² x – 3 sin x cos x+2 cos ² x = 0 op

Beantwoord de vragen: - Welke soorten goniometrische vergelijkingen hebben we bestudeerd? -Hoe los je een homogene vergelijking van de eerste graad op? - Hoe los je een homogene vergelijking van de tweede graad op? Samenvattend

Ik heb geleerd... - Ik heb geleerd... Reflectie

Nr. 18.12 (c, d), nr. 18.24 (c, d), nr. 18.27 (a) Huiswerk.

Bedankt voor de les! Goed gedaan!

Voorbeeld:

Zelfanalyse van een wiskundeles door leraar Oorzhak A.M.

Groep : Master in de plantenteelt, 1e jaar.

Les onderwerp : Homogene trigonometrische vergelijkingen.

Lestype : Een les in het leren van nieuw materiaal.

Lesdoelen:

1. De vaardigheden van leerlingen ontwikkelen in het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen, methoden overwegen voor het oplossen van homogene vergelijkingen van basis- en hoger niveau complexiteit.

2. Ontwikkel logisch denken, het vermogen om conclusies te trekken en het vermogen om de resultaten van uitgevoerde acties te evalueren.

3. Leerlingen nauwkeurigheid, verantwoordelijkheidsgevoel en de ontwikkeling van positieve leermotieven bijbrengen.

De les werd gegeven volgens thematische planning. Het onderwerp van de les weerspiegelt de theoretische en praktische delen van de les en is begrijpelijk voor studenten. Alle fasen van de les waren gericht op het bereiken van deze doelen, rekening houdend met de kenmerken van de groep.

Lesstructuur.

1. Het organisatorische moment omvatte de voorbereidende organisatie van de groep, het mobiliserende begin van de les, het creëren van psychologisch comfort en de voorbereiding van studenten op de actieve en bewuste assimilatie van nieuw materiaal. De voorbereiding van de groep en iedere leerling werd door mij visueel gecontroleerd. Didactische taak van het podium: Ppositieve houding ten opzichte van de les.

2. De volgende fase is het actualiseren van de basiskennis van de leerlingen. De hoofdtaak van deze fase is: herstel in het geheugen van de leerlingen van de kennis die nodig is voor het leren van nieuwe stof. De actualisatie vond plaats in de vorm van het nakijken van het huiswerk op het bord.

3. (Hoofdfase van de les) Vorming van nieuwe kennis. In dit stadium werden de volgende didactische taken geïmplementeerd: Zorgen voor perceptie, begrip en primaire memorisatie van kennis en handelingsmethoden, verbindingen en relaties in het studieobject.

Dit werd mogelijk gemaakt door: het creëren van een probleemsituatie, de wijze van gesprek in combinatie met het gebruik van ICT. Een indicator voor de effectiviteit van de assimilatie van nieuwe kennis door studenten is de juistheid van antwoorden, zelfstandig werk, actieve deelname studenten aan het werk.

4. De volgende fase is de primaire consolidatie van het materiaal. Het doel hiervan is om te installeren feedback om informatie te verkrijgen over de mate van begrip van nieuw materiaal, de volledigheid, de juistheid van de assimilatie ervan en voor de tijdige correctie van gedetecteerde fouten. Hiervoor gebruikte ik: het oplossen van eenvoudige homogene trigonometrische vergelijkingen. Hierbij werd gebruik gemaakt van taken uit het leerboek die corresponderen met de vereiste leerresultaten. Primaire consolidatie materiaal werd uitgevoerd in een sfeer van goede wil en samenwerking. In dit stadium werkte ik met zwakke studenten, de rest besliste zelf, gevolgd door zelftesten van het bestuur.

5. Het volgende moment van de les was de primaire controle van kennis. Didactische taak van het podium: het identificeren van de kwaliteit en het niveau van beheersing van kennis en actiemethoden, en het waarborgen van de correctie ervan. Hier implementeerde ze een gedifferentieerde benadering van leren en bood ze de kinderen een keuze uit taken op drie niveaus: basis (A), gemiddeld (B) en gevorderd (C). Ik maakte een ronde en noteerde de leerlingen die het basisniveau kozen. Deze leerlingen voerden het werk uit onder toezicht van de docent.

6. In de volgende fase - samengevat, werden de taken van het analyseren en beoordelen van het succes van het bereiken van het doel opgelost. Terwijl ik de les samenvatte, dacht ik tegelijkertijd na over de leeractiviteit. Studenten leerden manieren om homogene trigonometrische vergelijkingen op te lossen. Er werden cijfers gegeven.

7. Laatste fase- huiswerkopdracht. Didactische taak: Ervoor zorgen dat leerlingen de inhoud en methoden van het maken van huiswerk begrijpen. Gaf korte instructies over het maken van huiswerk.

Tijdens de les heb ik les-, ontwikkelings- en onderwijsdoelen kunnen realiseren. Ik denk dat dit werd vergemakkelijkt door het feit dat de kinderen vanaf de eerste minuten van de les activiteit vertoonden. Ze waren klaar om een ​​nieuw onderwerp te accepteren. De sfeer in de groep was psychologisch gunstig.




Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Het laatste detail, hoe taken C1 van het Unified State Examination in wiskunde kunnen worden opgelost - het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen. Hoe je ze kunt oplossen, vertellen we je in deze laatste les.

Wat zijn deze vergelijkingen? Laten we ze opschrijven algemeen beeld.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

waarbij `a` en `b` enkele constanten zijn. Deze vergelijking wordt een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad genoemd.

Homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad

Om zo'n vergelijking op te lossen, moet je deze delen door `\cos x`. Dan zal het de vorm aannemen

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Het antwoord op een dergelijke vergelijking kan eenvoudig worden geschreven met behulp van de boogtangens.

Merk op dat `\cos x ≠0`. Om dit te verifiëren, vervangen we nul in plaats van cosinus in de vergelijking en ontdekken dat de sinus ook zou moeten zijn gelijk aan nul. Ze kunnen echter niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, wat betekent dat de cosinus niet nul is.

Sommige vragen op het echte examen van dit jaar hadden betrekking op een homogene trigonometrische vergelijking. Volg de link naar. We zullen een enigszins vereenvoudigde versie van het probleem nemen.

Eerste voorbeeld. Oplossing van een homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Delen door `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Ik herhaal, een soortgelijke taak was op het Unified State Exam :) natuurlijk moet je nog steeds de wortels selecteren, maar dit zou ook geen speciale problemen moeten veroorzaken.

Laten we nu verder gaan met het volgende type vergelijking.

Homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

Over het algemeen ziet het er zo uit:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

waarbij `a, b, c` enkele constanten zijn.

Dergelijke vergelijkingen worden opgelost door te delen door `\cos^2 x` (wat wederom niet nul is). Laten we meteen naar een voorbeeld kijken.

Tweede voorbeeld. Oplossing van een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Delen door `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Laten we `t = \tg x` vervangen.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Omgekeerde vervanging

$$\tg x = 3, \text( of ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( of ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Het antwoord is ontvangen.

Derde voorbeeld. Oplossing van een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Alles zou in orde zijn, maar deze vergelijking is niet homogeen - de `-2` aan de rechterkant hindert ons. Wat te doen? Laten we basis gebruiken trigonometrische identiteit en gebruik het om `-2` te schrijven.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Delen door `\cos^2 x`.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Vervanging `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Als we de omgekeerde substitutie uitvoeren, krijgen we:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( of ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Dit laatste voorbeeld in deze les.

Zoals gewoonlijk wil ik je eraan herinneren: training is alles voor ons. Hoe briljant iemand ook is, vaardigheden zullen zich niet ontwikkelen zonder training. Tijdens het examen gaat dit gepaard met angst, fouten en tijdverlies (vervolg deze lijst zelf). Ga zeker studeren!

Opleidingstaken

Los de vergelijkingen op:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Dit is een taak uit het echte Unified State Exam 2013. Niemand heeft de kennis van de eigenschappen van graden geannuleerd, maar als je het vergeten bent, kijk dan eens;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. De formule uit les zeven komt goed van pas.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Dat is alles. En zoals gewoonlijk, ten slotte: stel vragen in de reacties, bekijk video's, leer hoe u het Unified State Exam oplost.

Niet-lineaire vergelijkingen met twee onbekenden

Definitie 1. Laat A een beetje zijn reeks getallenparen (X; j). Ze zeggen dat de verzameling A gegeven is numerieke functie z uit twee variabelen

x en y , als er een regel wordt gespecificeerd met behulp waarvan elk paar getallen uit set A bij een bepaald getal hoort. Het specificeren van een numerieke functie z van twee variabelen x en y is vaak duiden

Dus: Waar (X , j) F

Waar (X , j) = – elke andere functie dan een functie ,

bijl+door+c

waarbij a, b, c getallen zijn. Vergelijking oplossen (2) bel een paar nummers ( X; j), waarvoor formule (2) een echte gelijkheid is.

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op

Omdat het kwadraat van elk getal niet-negatief is, volgt uit formule (4) dat de onbekenden x en y voldoen aan het stelsel van vergelijkingen



de oplossing hiervoor is een paar getallen (6; 3).

Antwoord: (6; 3)

Voorbeeld 2. Los de vergelijking op

Daarom is de oplossing voor vergelijking (6). oneindig aantal paren getallen vriendelijk

(1 + j ; j) ,

waarbij y een willekeurig getal is.

lineair

Definitie 4. Een stelsel vergelijkingen oplossen



bel een paar nummers ( X; j), wanneer ze in elk van de vergelijkingen van dit systeem worden vervangen, wordt de juiste gelijkheid verkregen.

Stelsels van twee vergelijkingen, waarvan er één lineair is, hebben de vorm



G(X , j)

Voorbeeld 4. Systeem van vergelijkingen oplossen

Oplossing . Laten we de onbekende y uit de eerste vergelijking van systeem (7) uitdrukken via de onbekende x en de resulterende uitdrukking vervangen door de tweede vergelijking van het systeem:





De vergelijking oplossen

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Vandaar,

j 1 = 8 - X 1 = 9 ,
j 2 = 8 - X 2 = - 1 .





Stelsels van twee vergelijkingen, waarvan er één homogeen is

Systemen van twee vergelijkingen, waarvan er één homogeen is, hebben de vorm



waarbij a, b, c getallen krijgen, en G(X , j) – functie van twee variabelen x en y.

Voorbeeld 6. Systeem van vergelijkingen oplossen

Oplossing . Laten we de homogene vergelijking oplossen

3X 2 + 2xy - j 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10j 2 = 0 ,

het behandelen als een kwadratische vergelijking met betrekking tot de onbekende x:

.

In het geval dat X = - 5j, uit de tweede vergelijking van systeem (11) verkrijgen we de vergelijking

5j 2 = - 20 ,

die geen wortels heeft.

In het geval dat

uit de tweede vergelijking van systeem (11) verkrijgen we de vergelijking

,

waarvan de wortels getallen zijn j 1 = 3 , j 2 = - 3 . Als we voor elk van deze waarden y de overeenkomstige waarde x vinden, krijgen we twee oplossingen voor het systeem: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Antwoord: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Voorbeelden van het oplossen van stelsels van vergelijkingen van andere typen

Voorbeeld 8. Een stelsel vergelijkingen oplossen (MIPT)

Oplossing . Laten we nieuwe onbekenden u en v introduceren, die worden uitgedrukt via x en y volgens de formules:

Om systeem (12) te herschrijven in termen van nieuwe onbekenden, drukken we eerst de onbekenden x en y uit in termen van u en v. Uit systeem (13) volgt dat

Laten we het lineaire systeem (14) oplossen door de variabele x uit de tweede vergelijking van dit systeem te elimineren.

• Hiervoor voeren we de volgende transformaties uit op systeem (14):
• We laten de eerste vergelijking van het systeem ongewijzigd;

van de tweede vergelijking trekken we de eerste vergelijking af en vervangen we de tweede vergelijking van het systeem door het resulterende verschil.



Als gevolg hiervan wordt systeem (14) getransformeerd in een gelijkwaardig systeem

waaruit we vinden

De eerste vergelijking van systeem (16) is lineair, dus we kunnen daaruit de onbekende u tot en met de onbekende v uitdrukken en deze uitdrukking in de tweede vergelijking van het systeem vervangen.

Lees ook over het onderwerp:

1. Welke zetpillen voor aambeien tijdens de zwangerschap zijn beter en effectiever?
2. Welke zetpillen voor aambeien kunnen in verschillende stadia van de zwangerschap worden gebruikt?
3. Urolithiasis Nierstenen bij pasgeborenen
4. Hoe Unified State Exam-scores per regio verschillen: studentenresultaten en regionale ongelijkheid