Als twee cijfers A En B bij het delen door een getal M geven we identieke resten, dan zeggen we dat a vergelijkbaar is met b modulo m. Schrijf het zo op a ≡ b (mod m)

Als a>b, dan de grootste gemene deler A En B gelijk aan de grootste gemene deler a-b En B.

Laten we deze eigenschappen in overweging nemen bij het oplossen van problemen:

1. Hoeveel natuurlijke getallen zijn er minder dan 1000 die niet deelbaar zijn door 5 of 7?

Oplossing: Van 999 getallen kleiner dan 1000 schrappen we getallen die een veelvoud zijn van 5: er zijn er 199 (999/5 = 199). Vervolgens schrappen we getallen die een veelvoud van 7 zijn: er zijn er 142 (999/7 = 142). Maar onder de getallen die een veelvoud van 7 zijn, zijn er 28 (999/35 = 28) getallen die ook een veelvoud van 5 zijn; ze worden twee keer doorgestreept. In totaal moeten we 199 + 142 – 28 = 313 cijfers doorstrepen.

Dan blijven er 999 – 313 = 686 over. Antwoord: 686 nummers.

2. Zoek de rest van 2009⋅2010⋅2011+2012 gedeeld door 2 bij 7.

Probleem oplossing

Gezien het feit dat 2009⋮7 zal de rest gelijk zijn aan 2012 2 ≡ 3 2 ≡ 2(mod7)

3. Het is bekend dat de rest van het getal aa gedeeld door 19 gelijk is aan 7, en dat het getal b door 19 gelijk is aan 11. Vind de rest van het getal ab(a+b)(a−b) gedeeld door 19 .

Probleem oplossing

Merk op dat ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) ≡ 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) =−224 = −228+4 ≡ 4(mod19)

4. Bewijs dat de som van de kwadraten van drie gehele getallen bij deling door 8 geen rest van 7 kan opleveren.

Oplossing

Elk geheel getal dat door 8 wordt gedeeld, heeft een rest van een van de volgende acht getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dus het kwadraat van een geheel getal heeft een rest als het door 8 wordt gedeeld, een van drie cijfers 0, 1, 4. Om ervoor te zorgen dat de som van de kwadraten van drie getallen een rest van 7 heeft bij deling door 8, is het noodzakelijk dat een van de twee gevallen waar is: een van de kwadraten, of alle drie bij deling bij 8 hebben oneven resten.

In het eerste geval is de oneven rest 1, en de som van twee even resten is 0, 2, 4, dat wil zeggen dat de som van alle resten 1, 3, 5 is. De rest 7 kan in dit geval niet worden verkregen. In het tweede geval zijn drie oneven resten drie 1-en, en de rest van de gehele som is 3. 7 kan dus geen rest zijn als de som van de kwadraten van drie gehele getallen door 8 wordt gedeeld.

5. Zijn er natuurlijke nn zodanig dat n 2 +n+1 is deelbaar door 2014?

Merk op dat n 2 + n = n(n+1) deelbaar is door 2, aangezien het het product is van twee opeenvolgende getallen, wat betekent dat n 2 + n+1 altijd oneven is (dit kan ook opgemerkt worden met behulp van de kleine stelling van Fermat: n 2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod. 2).

Omdat het getal 2014 even is, bestaat er geen n zodat het getal n 2 +n+1 deelbaar is door 2014 (als zo'n n zou bestaan, zou dit in tegenspraak zijn met het feit dat n 2 +n+1 oneven is).

6. C Bestaat er een getal van tien cijfers, deelbaar door 11, waarin elk cijfer één keer voorkomt?

Methode I Wanneer u getallen van drie cijfers opschrijft die deelbaar zijn door 11, kunt u er drie getallen onder vinden, waarvan de opname alle getallen van 0 tot 9 bevat. Bijvoorbeeld 275, 396.418. Hiermee kunt u een getal van tien cijfers maken dat deelbaar is door 11. Bijvoorbeeld:

2753964180 = 275 107 + 396 107 + 418 10 = 11 (25 107 + 36 104 + 38 10).

II-methode. Om het vereiste getal te vinden, zullen we de test van deelbaarheid door 11 gebruiken, volgens welke de getallen n = a 1 a 2 a 3 ...a 10 (in dit geval zijn a i geen factoren, maar cijfers in de notatie van getal n) en S(n) = a 1 –a 2 +a 3 –…–a 10 zijn tegelijkertijd deelbaar door 11.

Laat A de som zijn van de cijfers in S(n) met een “+” teken, B – de som van de cijfers in S(n) met een “–” teken. Het getal A – B moet, afhankelijk van de voorwaarden van het probleem, deelbaar zijn door 11. Laten we B – A = 11 stellen, daarnaast uiteraard A + B = 1+2+3+…+9 = 45. Als we het resulterende systeem B – A =11, A + B = 45 oplossen, vinden we A = 17, B = 28. Laten we een groep van vijf verschillende getallen selecteren met een som van 17. Bijvoorbeeld: 1+2+3+ 5+6 = 17. Laten we deze getallen nemen als getallen met oneven cijfers. Als even cijfers nemen we de overige cijfers: 4, 7, 8, 9, 0.

We zien dat bijvoorbeeld het getal 1427385960 voldoet aan de voorwaarden van het probleem.

7. Zoek de kleinste natuurlijk getal, wat dezelfde rest geeft als het wordt gedeeld door 25 als het getal 1234.

Oplossing

Laten we de rest bekijken bij het delen van het getal 1234 door 25. Alle getallen die kleiner zijn dan deze geven andere resten, aangezien ze zelf hun eigen resten zijn. De rest bij het delen van 1234 door 25 is 9, aangezien 1234=49⋅25+9 het antwoord zal zijn.

8. Na een slecht cijfer voor aardrijkskunde te hebben behaald, besloot Vasya uit elkaar te gaan geografische kaart aan stukken. Elk stukje dat in zijn handen valt, scheurt hij in vier stukken. Kan hij ooit precies 2012-stukken krijgen? 2013 stukken? 2014 stuks? 2015 stuks?

Probleem oplossing

Merk op dat Vasya elke keer het aantal stukken met 3 verhoogt, aangezien hij één stuk in vier verandert. Daarom krijgt hij getallen van de vorm 1+3N, waarbij N het aantal stukken is dat hij in stukken heeft gescheurd. Het getal 2014 heeft deze vorm, dus het zal 2014-stukken bevatten, maar andere kunnen niet in deze vorm worden weergegeven (hun resten, gedeeld door 3, zijn 0 of 2).

9. Zoek het kleinste natuurlijke getal dat de volgende resten geeft: 1 - bij deling door 2, 2 - bij deling door 3, 3 - bij deling door 4, 4 - bij deling door 5, 5 - bij deling door 6.

Probleem oplossing

Beschouw het gewenste aantal verhoogd met één. Het is deelbaar door 2,3,4,5,6, omdat het geeft resten die één kleiner zijn dan de delers zelf. We moeten het minimale getal vinden, daarom is het vereiste getal het kleinste gemene veelvoud van de getallen 2,3,4,5,6 min 1. Het kleinste gemene veelvoud van 2,3,4,5,6 is 2 2 ⋅3⋅5=60, omdat in de getallen 2,3,4,5,6 zijn er slechts 3 priemdelers, drie en vijf vallen hoogstens in de eerste macht, en twee in de tweede (in het getal 4). Dit betekent dat het vereiste aantal 60−1 = 59 is.

Optie nr. 4557112

Wanneer u taken met een kort antwoord voltooit, voert u in het antwoordveld het getal in dat overeenkomt met het nummer van het juiste antwoord, of een getal, een woord, een reeks letters (woorden) of cijfers. Het antwoord moet zonder spaties of extra tekens worden geschreven. Scheid het breukgedeelte van de hele komma. Het is niet nodig om maateenheden te schrijven.

Als de optie door de docent is aangegeven, kunt u antwoorden op taken met een gedetailleerd antwoord in het systeem invoeren of uploaden. De docent ziet de resultaten van het voltooien van taken met een kort antwoord en kan de gedownloade antwoorden op taken met een lang antwoord beoordelen. De door de docent toegekende scores verschijnen in je statistieken.

De getallen worden op een rij uitgeschreven: de tekens , , …, , “+” en “-” worden willekeurig tussen de tekens geplaatst en de resulterende som wordt gevonden.

Kan dit bedrag gelijk zijn aan:

a) −4, als ?

b) 0 als ?

c) 0 als ?

d) −3, als ?

De lengtes van de zijden van een rechthoek zijn natuurlijke getallen en de omtrek is 200. Het is bekend dat de lengte van één zijde van een rechthoek gelijk is aan N N– ook een natuurlijk getal.

N>100.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn verschillende (niet noodzakelijkerwijs verschillende) natuurlijke getallen bedacht. Deze getallen en al hun mogelijke bedragen (2, 3, enz.) worden in niet-aflopende volgorde op het bord geschreven. Als een aantal N op het bord geschreven, meerdere keren herhaald, waarna één zo’n nummer op het bord blijft staan N, en de overige getallen zijn gelijk N, worden gewist. Als de cijfers bijvoorbeeld 1, 3, 3, 4 zijn, wordt de set 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 op het bord geschreven.

a) Geef een voorbeeld van geplande getallen waarvoor de set 2, 4, 6, 8, 10 op het bord zal worden geschreven.

b) Is er een voorbeeld van dergelijke bedachte getallen waarvoor de set 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22 op het bord zou worden geschreven? bord?

c) Geef alle voorbeelden van bedachte getallen waarvoor de set 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41 op het bord zal worden geschreven.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

De lengtes van de zijden van een rechthoek zijn natuurlijke getallen en de omtrek is 4000. Het is bekend dat de lengte van één zijde van een rechthoek gelijk is aan N% van de lengte van de andere zijde, waar N- ook een natuurlijk getal.

a) Wat is de grootste waarde die de oppervlakte van een rechthoek kan aannemen?

b) Welke kleinste waarde kan de oppervlakte van een rechthoek aannemen?

c) Vind alle mogelijke waarden die de oppervlakte van een rechthoek kan aannemen, als dat bovendien bekend is N

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn 8 kaarten. Elk van de getallen 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 wordt er één voor één op geschreven. Op hun blanco zijden worden elk van de getallen 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 opnieuw één voor één geschreven. Hierna worden de nummers op elke kaart opgeteld, en het resultaat acht sommen worden vermenigvuldigd.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn verschillende gehele getallen bedacht. Een reeks van deze getallen en al hun mogelijke sommen (2, 3, enz.) worden in niet-aflopende volgorde op het bord geschreven. Als de cijfers bijvoorbeeld 2, 3, 5 zijn, wordt de set 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 op het bord geschreven.

a) De set -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6 staat op het bord. Welke nummers waren gepland?

b) Voor sommige verschillende bedachte getallen in de set die op het bord staat, komt het getal 0 precies 4 keer voor. Wat is het kleinste aantal getallen dat kan worden bedacht?

c) Voor sommige geplande getallen wordt een set op het bord geschreven. Is het altijd mogelijk om uit deze set de beoogde aantallen eenduidig ​​te bepalen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Vóór elk van de getallen 14, 15, . . ., 20 en 4, 5, . . ., 8, een plus- of minteken wordt willekeurig geplaatst, waarna elk van de resulterende getallen van de tweede set wordt afgetrokken van elk van de resulterende getallen van de eerste set, en vervolgens worden alle 35 verkregen resultaten opgeteld. Wat is de kleinste modulo en wat is de grootste som die uiteindelijk kan worden verkregen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn 8 kaarten. Schrijf elk van de cijfers één voor één op:

De kaarten worden omgedraaid en geschud. Op hun blanco zijden schrijven ze opnieuw een van de cijfers:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Hierna worden de cijfers op elke kaart opgeteld en de resulterende acht sommen worden vermenigvuldigd.

a) Kan het resultaat 0 zijn?

b) Zou het resultaat 117 kunnen zijn?

c) Wat is het kleinste niet-negatieve gehele getal dat kan resulteren?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Het getal is zodanig dat elke representatie als een som van positieve termen, die elk deze termen niet overschrijden, in twee groepen kan worden verdeeld, zodat elke term in slechts één groep valt en de som van de termen in elke groep niet overschrijden

a) Kan het getal gelijk zijn?

b) Kan het aantal groter zijn?

c) Vind de maximaal mogelijke waarde

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er wordt een rekenkundige progressie (met een ander verschil dan nul) gegeven, bestaande uit natuurlijke getallen waarvan de decimale notatie niet het getal 9 bevat.

a) Kan een dergelijke progressie tien termijnen hebben?

b) Bewijs dat het aantal leden kleiner is dan 100.

c) Bewijs dat het aantal termen van een dergelijke progressie niet meer dan 72 bedraagt.

d) Geef een voorbeeld van een dergelijke progressie met 72 termen

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Elk van de getallen 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 wordt één voor één op 8 kaarten geschreven. De kaarten worden omgedraaid en geschud. Op hun blanco zijden wordt elk van de getallen 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 opnieuw één voor één geschreven. Hierna worden de nummers op elke kaart opgeteld, en het resultaat acht sommen worden vermenigvuldigd.

a) Kan het resultaat 0 zijn?

b) Kan het resultaat 1 zijn?

c) Wat is het kleinste niet-negatieve gehele getal dat kan resulteren?

zal het lukken?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Het getal 7 wordt op het bord geschreven. Eén keer per minuut voegt Vasya één getal toe aan het bord: óf tweemaal de waarde van een van de getallen op het bord, óf gelijk aan de som ongeveer twee nummers die op het bord zijn geschreven (dus na een minuut verschijnt het tweede nummer op het bord, na twee - het derde, enz.).

a) Zou het getal 2012 ooit op het bord kunnen verschijnen?

b) Kan de som van alle getallen op het bord op een gegeven moment gelijk zijn aan 63?

c) Binnen welke kortste tijd kan het getal 784 op het bord verschijnen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Vind alle priemgetallen B, voor elk daarvan is er een geheel getal A waarmee de fractie kan worden verminderd B.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

De natuurlijke getallen van 1 tot en met 20 zijn verdeeld in vier groepen, die elk minimaal twee getallen bevatten. Zoek voor elke groep de som van de getallen in deze groep. Zoek voor elk paar groepen de modulus van het verschil van de gevonden sommen en tel de resulterende 6 getallen bij elkaar op.

a) Kan het resultaat 0 zijn?

b) Kan het resultaat 1 zijn?

c) Wat is de kleinst mogelijke waarde van het verkregen resultaat?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Vóór elk van de cijfers 3, 4, 5, . . . 11 en 14, 15, . . . 18 plaatsen willekeurig een plus- of minteken, waarna elk van de resulterende getallen van de eerste set wordt opgeteld bij elk van de resulterende getallen van de tweede set, en vervolgens worden alle 45 verkregen resultaten opgeteld. Wat is de kleinste modulosom en wat is de grootste som die uiteindelijk kan worden verkregen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

De getallen 10 tot en met 21 worden één keer in een bepaalde volgorde in een cirkel geschreven. Voor elk van de twaalf paren aangrenzende getallen wordt hun grootste gemene deler gevonden.

a) Kan het gebeuren dat alle grootste gemene delers gelijk zijn aan 1?

b) Zou het kunnen gebeuren dat alle grootste gemene delers paarsgewijs verschillend zijn?

c) Wat is het grootste aantal paarsgewijs verschillende grootste gemene delers dat zou kunnen resulteren?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Elk van de getallen 5, 6, . . ., 9 wordt vermenigvuldigd met elk van de getallen 12, 13, . . ., 17 en voor elk willekeurig beeld wordt een plus- of minteken geplaatst, waarna alle 30 verkregen resultaten worden opgeteld. Wat is de kleinste modulosom en wat is de grootste som die uiteindelijk kan worden verkregen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Natuurlijke getallen van 1 tot en met 21 werden op de een of andere manier op een cirkel geplaatst (elk getal werd één keer geplaatst). Vervolgens vonden we voor elk paar aangrenzende getallen het verschil tussen de grotere en kleinere getallen.

a) Kunnen alle resulterende verschillen minstens 11 zijn?

b) Kunnen alle resulterende verschillen minstens 10 zijn?

c) Naast de verkregen verschillen vonden we voor elk paar getallen gescheiden door één het verschil tussen de grotere en de kleinere. Want wat is het grootste gehele getal k je kunt de cijfers zo rangschikken dat alle verschillen niet minder zijn k?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn verschillende gehele getallen bedacht. Een reeks van deze getallen en al hun mogelijke sommen (2, 3, enz.) worden in niet-aflopende volgorde op het bord geschreven. Als de cijfers bijvoorbeeld 2, 3, 5 zijn, wordt de set 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 op het bord geschreven.

a) De verzameling −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11 staat op het bord. Welke getallen waren er gepland?

b) Voor sommige verschillende bedachte getallen in de set die op het bord staat, komt het getal 0 precies 7 keer voor. Wat is het kleinste aantal getallen dat kan worden bedacht?

c) Voor sommige geplande getallen wordt een set op het bord geschreven. Is het altijd mogelijk om uit deze set de beoogde aantallen eenduidig ​​te bepalen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

N N N

a) Geef een voorbeeld van geplande getallen waarvoor de set 2, 4, 6, 8 op het bord zal worden geschreven.

b) Is er een voorbeeld van dergelijke bedachte getallen waarvoor de set 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22 op het bord zou worden geschreven? bord?

c) Geef alle voorbeelden van bedachte getallen waarvoor de set 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52 op het bord zal worden geschreven.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Zoek een irreducibele breuk zodanig dat

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

a) Wat is het aantal manieren om het getal 1292 te schrijven in de vorm waarin de getallen gehele getallen zijn,

b) Zijn er 10 verschillende getallen zodat ze op precies 130 manieren kunnen worden weergegeven in de vorm waarin de getallen gehele getallen zijn?

c) Hoeveel getallen N zijn er zodat ze op precies 130 manieren kunnen worden weergegeven in de vorm waarin de getallen gehele getallen zijn?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn verschillende (niet noodzakelijkerwijs verschillende) natuurlijke getallen bedacht. Deze getallen en al hun mogelijke bedragen (2, 3, enz.) worden in niet-aflopende volgorde op het bord geschreven. Als een aantal N op het bord geschreven, meerdere keren herhaald, waarna één zo’n nummer op het bord blijft staan N, en de overige getallen zijn gelijk N, worden gewist. Als de cijfers bijvoorbeeld 1, 3, 3, 4 zijn, wordt de set 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 op het bord geschreven.

a) Geef een voorbeeld van geplande getallen waarvoor de set 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 op het bord zal worden geschreven.

b) Is er een voorbeeld van dergelijke bedachte getallen waarvoor de set 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 op het bord zou worden geschreven? bord?

c) Geef alle voorbeelden van bedachte getallen waarvoor de set 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41 op het bord zal worden geschreven.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Kolya vermenigvuldigde een bepaald natuurlijk getal met een aangrenzend natuurlijk getal en kreeg een product gelijk aan M. Vova vermenigvuldigde een even natuurlijk getal met een aangrenzend even natuurlijk getal en verkreeg een product gelijk aan N.

M En N gelijk aan 6?

M En N gelijk aan 13?

M En N?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Te midden van gewone breuken met positieve noemers tussen de getallen en zoek degene waarvan de noemer minimaal is.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Elk lid van de groep studenten ging naar de bioscoop of het theater, en het is mogelijk dat sommigen van hen zowel naar de bioscoop als het theater konden gaan. Het is bekend dat er in het theater niet meer jongens waren dan totaal aantal studenten in de groep die het theater bezochten, en in de bioscoop waren er niet meer jongens dan het totale aantal studenten in de groep die de bioscoop bezochten.

a) Kunnen er 9 jongens in de groep zitten, als bovendien bekend is dat er in totaal 20 studenten in de groep zaten?

b) Welke grootste aantal KUNNEN er jongens in de groep zitten als bovendien bekend is dat er in totaal 20 leerlingen in de groep zaten?

c) Wat is het kleinste aandeel dat meisjes zouden kunnen uitmaken van het totale aantal leerlingen in de groep zonder de aanvullende voorwaarde van de punten a en b?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Gegeven een natuurlijk getal van drie cijfers (het getal kan niet vanaf nul beginnen), niet een veelvoud van 100.

a) Kan het quotiënt van dit getal en de som van de cijfers gelijk zijn aan 82?

b) Kan het quotiënt van dit getal en de som van de cijfers gelijk zijn aan 83?

c) Wat is de grootste natuurlijke waarde die het quotiënt van een bepaald getal en de som van zijn cijfers kan hebben?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Het volgende systeem is geïnstalleerd in het land Dolphinia inkomstenbelasting(valutaeenheid van Delphinia - goud):

a) De twee broers verdienden in totaal 1000 goud. Hoe kunnen zij dit geld het beste onder elkaar verdelen, zodat zoveel mogelijk in de familie blijft? meer geld na belasting? Bij het delen ontvangt iedereen een geheel aantal goudstukken.

b) Wat is de meest winstgevende manier om dezelfde 1000 goudstukken onder drie broers te verdelen, op voorwaarde dat ieder ook een heel aantal goudstukken ontvangt?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Petya vermenigvuldigde een natuurlijk getal met een aangrenzend natuurlijk getal en kreeg een product gelijk aan A. Vasya vermenigvuldigde een even natuurlijk getal met een aangrenzend even natuurlijk getal en verkreeg een product gelijk aan B.

a) Kan de modulus van het verschil in getallen zijn A En B gelijk aan 8?

b) Kan de modulus van het verschil in getallen zijn A En B gelijk aan 11?

c) Welke waarden kan de modulus van het verschil in getallen aannemen? A En B?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Vind alle paren natuurlijke getallen en zodanig dat als je de decimale notatie van het getal rechts optelt bij de decimale notatie van het getal, je een getal krijgt dat groter is dan het product van de getallen en door

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er staan ​​meer dan 40 maar minder dan 48 gehele getallen op het bord. Het rekenkundig gemiddelde van deze getallen is −3, het rekenkundig gemiddelde van alle positieve getallen is 4, en het rekenkundig gemiddelde van alle negatieve getallen is −8.

a) Hoeveel cijfers staan ​​er op het bord?

b) Welke getallen worden vaker geschreven: positief of negatief?

c) Wat is het grootste getal positieve cijfers misschien tussen hen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er zijn steenblokken: 50 stuks van 800 kg elk, 60 stuks van 1.000 kg elk en 60 stuks van 1.500 kg elk (de blokken zijn niet splijtbaar).

a) Is het mogelijk om al deze blokken tegelijkertijd te vervoeren op 60 vrachtwagens, elk met een laadvermogen van 5 ton, ervan uitgaande dat de geselecteerde blokken in de vrachtwagen passen?

b) Is het mogelijk om al deze blokken tegelijkertijd te vervoeren op 38 vrachtwagens, elk met een laadvermogen van 5 ton, ervan uitgaande dat de geselecteerde blokken in de vrachtwagen passen?

c) Wat is het kleinste aantal vrachtwagens, elk met een laadvermogen van 5 ton, dat nodig is om al deze blokken tegelijkertijd te verwijderen, ervan uitgaande dat de geselecteerde blokken in de vrachtwagen passen?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Gegeven een natuurlijk getal van drie cijfers (het getal kan niet vanaf nul beginnen), niet een veelvoud van 100.

a) Kan het quotiënt van dit getal en de som van de cijfers gelijk zijn aan 90?

b) Kan het quotiënt van dit getal en de som van de cijfers gelijk zijn aan 88?

c) Wat is de grootste natuurlijke waarde die het quotiënt van een bepaald getal en de som van de cijfers ervan kan hebben?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Er staan ​​meer dan 40 maar minder dan 48 gehele getallen op het bord. Het rekenkundig gemiddelde van deze getallen is −3, het rekenkundig gemiddelde van alle positieve getallen is 4, en het rekenkundig gemiddelde van alle negatieve getallen is −8.

a) Hoeveel cijfers staan ​​er op het bord?

b) Welke getallen worden vaker geschreven: positief of negatief?

c) Wat is het grootste aantal positieve getallen dat daartussen kan zitten?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Dans N verschillende natuurlijke getallen waaruit ze bestaan rekenkundige progressie

a) Kan de som van al deze getallen gelijk zijn aan 14?

b) Wat is de grootste waarde N, als de som van alle gegeven getallen kleiner is dan 900?

c) Vind alle mogelijke waarden N, als de som van alle gegeven getallen 123 is.

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Kun je een voorbeeld geven van vijf verschillende natuurlijke getallen waarvan het product 1512 is en?

b) vier;

vormen ze een geometrische progressie?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Zoek alle priemgetallen waarvoor er voor elk een geheel getal bestaat, zodat de breuk kan worden verkleind

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Gegeven een reeks natuurlijke getallen, verschilt elke volgende term 10 of 6 keer van de vorige. De som van alle termen van de reeks is 257.

a) Welke kleinste aantal leden kunnen in deze volgorde staan?

b) Wat is het grootste aantal termen dat deze reeks kan hebben?

Oplossingen voor taken met lange antwoorden worden niet automatisch gecontroleerd.
Op de volgende pagina wordt u gevraagd deze zelf te controleren.

Een van de meest charismatische en prominente kunstenaars van de Russische cinema in de laatste tijd leek uit het publieke zicht te verdwijnen. Er wordt zo weinig over Alexander Domogarov gehoord dat zijn vele fans zouden kunnen denken dat de acteur zich van de wereld heeft afgesloten. Hij herinnert zichzelf echter regelmatig aan zichzelf op sociale netwerken, waar een paar uur geleden een alarmerende post verscheen.

Laten we niet vergeten dat de 53-jarige Volkskunstenaar Naast het filmen van films speelt Rusland met plezier en trots in het theater. Sinds 1995 heeft Domogarov gediend in het Mossovet Theater van de hoofdstad, waar hij rollen speelde in vele uitvoeringen, waarvan er drie deel uitmaken van het huidige repertoire. De acteur wordt beschouwd als de ster van dit theater, foto's van Domogarov op het podium sieren de ingang, veel fans gaan met zijn deelname naar uitvoeringen.

Maar in zijn publicatie in Alexander Yurievich zei hij dat hij “uit de uitvoeringen was verwijderd” en “dit is zeer ernstig.”

Verwijderd uit optredens! Dus verdraag het! Ik voel me rustiger dan naar binnen lopen en hallo zeggen tegen “collega’s” die in de rug spugen! - schrijft de kunstenaar. - Ik sta niet langer toe dat je om wat voor reden dan ook ontslaat en benoemd, ontslaat en terugkeert, op tournee gaat of niet. ...Maar toen ik van alle optredens werd verwijderd, werd er, tot grote vreugde van mijn ‘collega’s’, een verklaring geschreven. Geschreven op 9 januari. Het is nog niet ondertekend. Maar, beste collega's, het zal ondertekend worden, zelfs puur juridisch. Al onze afspraken met het theater zullen van mijn kant worden nagekomen, dus soms zullen jullie mij “collega’s” moeten tolereren als ik mijn spullen moet ophalen in de kleedkamer, en in de toekomst zal het theater het vergeten, net zoals jullie het vergeten zijn de optredens die 10-12 jaar duurden, hallen verzamelen, en je zult vergeten hoe je ze hebt vernietigd. Leef, God is jouw rechter. Tot ziens "collega's".

We bereikten Alexander Domogarov met het verzoek om commentaar te geven op de situatie.

Lees mijn berichten niet, want er zit een kern van waarheid in en slechts enkele. Maar in principe komt het overeen met de werkelijkheid”, antwoordde Alexander Domogarov en hing op.

Laten we niet vergeten dat Alexander Domogarov officieel drie keer getrouwd was. Zijn eerste vrouw, Natalya Sagoyan, beviel van zijn zoon Dmitry. Tien jaar geleden stierf de eerstgeborene van de acteur bij een ongeval. Van zijn tweede vrouw Irina Gunenkova heeft de acteur een zoon, Alexander Domogarov, die ook acteur werd. De derde vrouw, actrice Natalya Gromushkina, woonde vier jaar met hem in het huwelijk. Drie jaar geleden zei de acteur in: “Mijn zoon kwam om bij een auto-ongeluk, ik vond geen afsluiting, maar ik werd niet boos op het land! Over de hele wereld is het zo: er zijn sterke en onkwetsbare. Maar ik zal en zal mijn probleem zelf oplossen. En ik zal het oplossen, en ik zal niet zeuren over de kracht en macht van degenen die aan de macht zijn. Ik zal beslissen en beslissen. En het land geeft mij deze kans.”

Deze verklaring is een teken van deelbaarheid door getallen die kunnen worden weergegeven als het product van twee relatief priemgetallen.

Omdat 6 = 2∙3 en D (2, 3) = 1, verkrijgen we bijvoorbeeld een test voor deelbaarheid door 6. Om een ​​natuurlijk getal deelbaar te maken door 6, is het noodzakelijk en voldoende dat het deelbaar is door zowel 2 als 3.

Houd er rekening mee dat deze functie meerdere keren kan worden gebruikt.

c) De quotiënten verkregen door twee gegeven getallen te delen en
hun grootste gemene deler is coprime
cijfers.

Deze eigenschap kan worden gebruikt bij het controleren van de juistheid van de gevonden grootste gemene deler van gegeven getallen. Laten we bijvoorbeeld eens kijken of het getal 12 de grootste gemene deler is van de getallen 24 en 36. Om dit te doen, delen we volgens de laatste verklaring 24 en 36 door 12. We krijgen respectievelijk de getallen 2 en 3, die zijn coprime. Vandaar,

D(24, 36) = 12.

Oefeningen

1. Gegeven de nummers 36 en 45.

a) Vind alles gemeenschappelijke delers deze cijfers.

b) Is het mogelijk om al hun gemene veelvouden te noemen?

c) Zoek drie getallen van drie cijfers die een gemeenschappelijk veelvoud zijn van de gegeven getallen.

d) Wat zijn de waarden van D(36, 45) en K(36, 45)? Hoe controleer ik de juistheid van de ontvangen antwoorden?

2. Zijn de gegevens correct:

a) D(32, 8) = 8 en K(32,8) = 32;

b) D(17,35)= 1 en K(17,35) = 595;

c) D(255.306) = 17 en K(255.306),= 78030,

3. Vind K(a, b) als bekend is dat:

a) a = 47,b=105 en D(47,105)= 1;

b) a = 315, b = 385 en D (315.385) = 35.

4. Formuleer de criteria voor deelbaarheid door 12,15,18,36,45,75.

5. Schrijf uit de reeks getallen 1032, 2964,5604,8910, 7008 de getallen op die deelbaar zijn door 12.

6. Zijn de getallen 548 en 942 deelbaar door 18?

7. Tel links en rechts het getal 15 op; één cijfer zodat het resulterende getal deelbaar is door 15.

8. Zoek de getallen a en 6 van het getal 72, als je weet dat dit getal deelbaar is door 45.

9 Bepaal, zonder te vermenigvuldigen of te delen met een hoek, welke van de volgende producten deelbaar zijn door 30:

a) 105∙20; 6)47∙12∙5; c) 85∙33∙7.

10. Bepaal, zonder optellen of aftrekken, welke uitdrukkingen deelbaar zijn door 36.

a) 72 + 180 + 252; c) 180 + 252 + 100;

b) 612-432; d) 180 + 250 + 200.

91. Priemgetallen

Priemgetallen spelen een grote rol in de wiskunde; in essentie zijn het de ‘stenen’ waaruit samengestelde principes worden opgebouwd. Dit wordt vermeld in een stelling die de fundamentele stelling van de rekenkunde met natuurlijke getallen wordt genoemd en die zonder bewijs wordt gegeven:

Stelling: Elk samengesteld getal kan op unieke wijze worden weergegeven als een product van priemfactoren.

De notatie 110 = 2∙5∙11 is bijvoorbeeld een weergave van het getal 110 als een product van priemfactoren of de ontbinding ervan in priemfactoren.

Twee ontbindingen van een getal in priemfactoren worden als hetzelfde beschouwd als ze alleen van elkaar verschillen in de volgorde van de factoren. Daarom is het weergeven van het getal 110 als een product van 2∙5∙11 of een product van 5∙2∙11 in essentie dezelfde ontleding van het getal 110 in priemfactoren.

Bij het ontleden van getallen in priemfactoren gebruiken ze de tekenen van deelbaarheid door 2, 3, 5, enz. Laten we ons een van de manieren herinneren om de ontbinding van getallen in priemfactoren te schrijven. Laten we bijvoorbeeld het getal 90 ontbinden in factoren. Het getal 90 is deelbaar door 2. Dit betekent dat 2 een van de priemfactoren is bij de ontbinding van het getal 90. Deel 90 door 2. We schrijven het getal 2 naar rechts van het gelijkteken, en het quotiënt 45 - onder het getal 90. Getal Deel 45 door het priemgetal 3, we krijgen 15. Deel 15 door 3, we krijgen 5. Het getal 5 is een priemgetal, gedeeld door 5 krijgen we 1 De factorisatie is voltooid.

90 = 2∙3∙3∙5

Bij het ontleden van een getal in priemfactoren wordt het product van identieke factoren weergegeven als een macht: 90 = 2∙3 2 ∙5; 60 = 2 2 ∙3∙5; 72 = 2 3 ∙3 2 . Deze ontleding van een getal in priemfactoren wordt canoniek genoemd.

In verband met de mogelijkheid om elk samengesteld getal als een product van priemfactoren voor te stellen, wordt het noodzakelijk om te bepalen of dit het geval is gegeven nummer enkelvoudig of samengesteld. De oude Griekse wiskundigen, die veel eigenschappen van priemgetallen kenden, waren in staat dit probleem op te lossen. Zo vond Eratosthenes (3e eeuw voor Christus) een methode uit om priemgetallen te verkrijgen die het natuurlijke getal a niet overschrijden. Laten we het gebruiken om alle priemgetallen tot 50 te vinden.

Laten we alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 50 opschrijven en het getal 1 doorstrepen; het is geen priemgetal. Het getal 2 is een priemgetal, laten we het omcirkelen. Hierna streept u elk tweede getal na 2 door, d.w.z. nummers 4,6,8,...

Het eerste getal 3 dat niet is doorgestreept, is een priemgetal. Laten we het omcirkelen. En streep elk derde getal na 3 door, d.w.z. nummers 9, 15,... (nummers 6,12, etc. eerder doorgestreept).

Het eerste getal 5 dat niet is doorgestreept, is een priemgetal; we zullen het ook omcirkelen. Schrap elk vijfde getal na 5, enz.

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

De getallen die overblijven na vier verwijderingen (exclusief de getallen 2,3,5 en 7) zijn niet deelbaar door 2, 3, 5 of 7. In de rekenkunde is bewezen dat als een natuurlijk getal a groter is dan één , dus niet deelbaar door een van de priemgetallen waarvan het kwadraat niet groter is dan o A het getal is een priemgetal. Sinds 7 2 = 49 en 49< 50, то все оставшиеся числа - простые.

Priemgetallen die niet groter zijn dan 50 zijn dus 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

De beschreven methode voor het verkrijgen van priemgetallen wordt de zeef van Eratosthenes genoemd, omdat je hiermee samengestelde getallen één voor één kunt uitfilteren.

Met behulp van de door Eratosthenes voorgestelde methode kan men alle priemgetallen vinden die een bepaald getal a niet overschrijden. Maar het geeft geen antwoord op de vraag of de reeks priemgetallen eindig is of niet, aangezien het zou kunnen blijken dat alle getallen, beginnend bij een bepaald getal, samengesteld zijn en de reeks priemgetallen eindig is. Een andere Griekse wiskundige, Euclides, werkte aan de oplossing van dit probleem. Hij bewees dat de reeks priemgetallen oneindig is.

Laten we aannemen dat de reeks priemgetallen eindig is en beperkt is tot de getallen 2, 3, 5, 7, 7 - het grootste priemgetal. Laten we alle priemgetallen vermenigvuldigen en hun product aanduiden met a. Laten we 1 bij dit getal optellen. Wat zal het resulterende getal zijn?

a + 1 - eenvoudig of samengesteld?

Priemgetal A+1 kan niet waar zijn, omdat het groter is dan het grootste priemgetal, en door aan te nemen dat dergelijke getallen niet bestaan. Maar het kan ook niet samengesteld zijn: als A+ 1 .composite, dan moet het minstens één priemdeler hebben Q. Sinds het nummer

a = 2∙3∙5∙...∙ R ook deelbaar is door dit priemgetal q, dan is het verschil ( A + 1) - A, d.w.z. het getal 1 is deelbaar door q, wat onmogelijk is.

Het getal a is dus noch een priemgetal, noch een samengesteld getal, maar dit kan ook niet het geval zijn: elk getal behalve 1 is een priemgetal of een samengesteld getal. Daarom is ons voorstel dat de reeks priemgetallen eindig is en het grootste priemgetal is, onjuist, en daarom is de reeks priemgetallen oneindig.

Oefeningen

1. Noteer priemgetallen uit de reeks getallen 13, 27, 29, 51, 67
getallen, en ontbind de samengestelde getallen in priemfactoren.

2. Bewijs dat het getal 819 geen priemgetal is.

3. Factor de getallen 124.588.2700.3780 in priemfactoren.

4. Welk nummer heeft de uitbreiding:

a) 2 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; b) 2 2 ∙ 3∙5 3 ?