S van het zijoppervlak van de kegel. Gebied van het laterale en totale oppervlak van de kegel

Terug Vooruit

Aandacht! Diavoorbeelden zijn alleen voor informatieve doeleinden en vertegenwoordigen mogelijk niet alle kenmerken van de presentatie. Als je geïnteresseerd bent dit werk, download dan de volledige versie.

Lestype: een les in het leren van nieuw materiaal met behulp van elementen van een probleemgebaseerde ontwikkelingslesmethode.

Lesdoelen:

leerzaam:
- vertrouwd raken met een nieuw wiskundig concept;
- vorming van nieuwe opleidingscentra;
- vorming van praktische probleemoplossende vaardigheden.
ontwikkelen:
- ontwikkeling van het onafhankelijke denken van studenten;
- ontwikkeling van vaardigheden juiste toespraak schoolkinderen.
leerzaam:
- het ontwikkelen van teamvaardigheden.

Lesmateriaal: magneetbord, computer, scherm, multimediaprojector, kegelmodel, lespresentatie, hand-outs.

Lesdoelstellingen (voor studenten):

maak kennis met een nieuw geometrisch concept: kegel;
leid een formule af voor het berekenen van de oppervlakte van een kegel;
de opgedane kennis leren toepassen bij het oplossen van praktische problemen.

Lesvoortgang

Fase I. Organisatorisch.

Notitieboekjes terugbrengen van huis proefwerk over het behandelde onderwerp.

De leerlingen worden uitgenodigd om het onderwerp van de komende les te ontdekken door de puzzel op te lossen (dia 1):

Figuur 1.

Aankondiging van het onderwerp en de doelstellingen van de les aan de leerlingen (dia 2).

Fase II. Uitleg van nieuw materiaal.

1) Lezing van de leraar.

Op het bord staat een tafel met een afbeelding van een kegel. Nieuw materiaal wordt uitgelegd samen met het programmamateriaal “Stereometrie”. Er verschijnt een driedimensionaal beeld van een kegel op het scherm. De leraar geeft de definitie van een kegel en vertelt over de elementen ervan. (dia 3). Er wordt gezegd dat een kegel een lichaam is dat wordt gevormd door de rotatie van een rechthoekige driehoek ten opzichte van een been. (dia's 4, 5). Er verschijnt een afbeelding van een scan van het zijoppervlak van de kegel. (dia 6)

2) Praktisch werk.

Update achtergrondkennis: herhaal de formules voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel, de oppervlakte van een sector, de lengte van een cirkel, de lengte van een cirkelboog. (dia's 7–10)

De klas wordt in groepen verdeeld. Elke groep krijgt een scan van het zijoppervlak van de uit papier gesneden kegel (een sector van een cirkel met een toegewezen nummer). Studenten voeren de nodige metingen uit en berekenen de oppervlakte van de resulterende sector. Instructies voor het uitvoeren van werkzaamheden, vragen - probleemstellingen - verschijnen op het scherm (dia's 11–14). Een vertegenwoordiger van elke groep schrijft de resultaten van de berekeningen op in een tabel op het bord. Deelnemers in elke groep lijmen een model van een kegel aan elkaar volgens het patroon dat ze hebben. (dia 15)

3) Verklaring en oplossing van het probleem.

Hoe bereken je het manteloppervlak van een kegel als alleen de straal van de basis en de lengte van de generatrix van de kegel bekend zijn? (dia 16)

Elke groep voert de nodige metingen uit en probeert met behulp van de beschikbare gegevens een formule af te leiden voor het berekenen van de benodigde oppervlakte. Wanneer ze dit werk doen, moeten studenten merken dat de omtrek van de basis van de kegel gelijk is aan de lengte van de boog van de sector - de ontwikkeling van het zijoppervlak van deze kegel. (dia's 17–21) Met behulp van de benodigde formules wordt de gewenste formule afgeleid. De argumenten van studenten zouden er ongeveer zo uit moeten zien:

De sector-sweepradius is gelijk aan ik, graadmaat voor boog – φ. Het gebied van de sector wordt berekend met de formule: de lengte van de boog die deze sector begrenst is gelijk aan de straal van de basis van de kegel R. De lengte van de cirkel die aan de basis van de kegel ligt is C = 2πR . Merk op dat, aangezien het gebied van het zijoppervlak van de kegel gelijk is aan het ontwikkelingsgebied van zijn zijoppervlak,

Het oppervlak van het zijoppervlak van de kegel wordt dus berekend met de formule S BZV = πRl.

Na het berekenen van het oppervlak van het zijoppervlak van het kegelmodel met behulp van een onafhankelijk afgeleide formule, schrijft een vertegenwoordiger van elke groep het resultaat van de berekeningen in een tabel op het bord in overeenstemming met de modelnummers. De berekeningsresultaten op elke regel moeten gelijk zijn. Op basis hiervan bepaalt de leraar de juistheid van de conclusies van elke groep. De resultatentabel zou er als volgt uit moeten zien:

Modelnr.	Ik taak	II-taak

	(125/3)π~41,67π

	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π~59,89π

Modelparameters:

l=12cm, φ=120°
l=10cm, φ=150°
l=15cm, φ=120°
l=10cm, φ=170°
l=14cm, φ=110°

De benadering van berekeningen gaat gepaard met meetfouten.

Na controle van de resultaten verschijnt de uitvoer van de formules voor de gebieden van de laterale en totale oppervlakken van de kegel op het scherm (dia's 22-26), studenten houden aantekeningen bij in notitieboekjes.

Fase III. Consolidatie van het bestudeerde materiaal.

1) Studenten worden aangeboden taken voor mondelinge beslissing op voltooide tekeningen.

Zoek de gebieden van de volledige oppervlakken van de kegels die in de figuren worden weergegeven (dia's 27-32).

2) Vraag: Zijn de oppervlakken van de kegels, gevormd door het roteren van een rechthoekige driehoek om verschillende benen, gelijk? De leerlingen bedenken een hypothese en testen deze. De hypothese wordt getest door problemen op te lossen en door de student op het bord geschreven.

Gegeven:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" - rotatielichamen.

Vinden: SPPK 1, SPPK 2.

Figuur 5. (dia 33)

Oplossing:

1) R=BC = een; S PPK 1 = S BOD 1 + S hoofd 1 = π een c + π een 2 = π een (a + c).

2) R=AC = geb; S PPK 2 = S BZV 2 + S basis 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Als S PPK 1 = S PPK 2, dan a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Omdat a, b, c – positieve getallen (de lengtes van de zijden van de driehoek), is de gelijkheid alleen waar als een =B.

Conclusie: De oppervlakten van twee kegels zijn alleen gelijk als de zijden van de driehoek gelijk zijn. (dia 34)

3) Het probleem oplossen uit het leerboek: nr. 565.

Fase IV. De les samenvattend.

Huiswerk: paragrafen 55, 56; nr. 548, nr. 561. (dia 35)

Bekendmaking van toegekende cijfers.

Conclusies tijdens de les, herhaling van de belangrijkste informatie die tijdens de les is ontvangen.

Literatuur (dia 36)

Meetkundeklassen 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008.
« Wiskundige puzzels en charades” – N.V. Udaltsova, bibliotheek “Eerste september”, serie “WISKUNDE”, nummer 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Het oppervlak van een kegel (of eenvoudigweg het oppervlak van een kegel) is gelijk aan de som van de oppervlakken van het basis- en zijoppervlak.

Het oppervlak van het zijoppervlak van de kegel wordt berekend met de formule: S = πR l, waarbij R de straal is van de basis van de kegel, en l- het vormen van een kegel.

Omdat de oppervlakte van de basis van de kegel gelijk is aan πR 2 (als de oppervlakte van een cirkel), zal de oppervlakte van de totale oppervlakte van de kegel gelijk zijn aan: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Het verkrijgen van de formule voor het oppervlak van het zijoppervlak van een kegel kan worden verklaard door de volgende redenering. Laat de tekening de ontwikkeling van het zijoppervlak van een kegel weergeven. Laten we de boog AB verdelen in mogelijk groter aantal gelijke delen en verbind alle verdeelpunten met het midden van de boog, en aangrenzende punten met elkaar door akkoorden.

We krijgen een serie gelijke driehoeken. De oppervlakte van elke driehoek is Ah / 2 waar A- lengte van de basis van de driehoek, a H- de hoogte.

De som van de oppervlakten van alle driehoeken is: Ah / 2 N = anh / 2 waar N- aantal driehoeken.

Bij groot aantal divisies, de som van de gebieden van de driehoeken komt zeer dicht bij het gebied van de ontwikkeling, d.w.z. het gebied van het zijoppervlak van de kegel. De som van de bases van de driehoeken, d.w.z. een, komt zeer dicht bij de lengte van de boog AB, dat wil zeggen bij de omtrek van de basis van de kegel. De hoogte van elke driehoek komt heel dicht bij de straal van de boog, dat wil zeggen bij de beschrijvende lijn van de kegel.

Als we kleine verschillen in de grootte van deze grootheden verwaarlozen, verkrijgen we de formule voor het oppervlak van het zijoppervlak van de kegel (S):

S=C l / 2, waarbij C de omtrek van de basis van de kegel is, l- het vormen van een kegel.

Wetende dat C = 2πR, waarbij R de straal is van de cirkel van de basis van de kegel, verkrijgen we: S = πR l.

Opmerking. In de formule S = C l / 2 Er is een teken van exacte en niet van benaderende gelijkheid, hoewel we op basis van de bovenstaande redenering deze gelijkheid als benaderend zouden kunnen beschouwen. Maar op de middelbare school middelbare school het is bewezen dat de gelijkheid

S=C l / 2 is exact, niet bij benadering.

Stelling. Het manteloppervlak van de kegel is gelijk aan het product van de omtrek van de basis en de helft van de generatrix.

Laten we wat in de kegel (Fig.) schrijven juiste piramide en aanduiden met letters R En l getallen die de lengte van de omtrek van de basis en het apothema van deze piramide uitdrukken.

Dan wordt het zijoppervlak uitgedrukt door het product 1/2 R l .

Laten we nu aannemen dat het aantal zijden van de veelhoek ingeschreven in de basis onbeperkt toeneemt. Dan de omtrek R zal neigen naar de limiet die wordt genomen als de lengte C van de basisomtrek, en de apothema l zal als limiet de generatrix van de kegel hebben (aangezien ΔSAK volgt dat SA - SK
1 / 2 R l, neigt naar de limiet van 1/2 C L. Deze limiet wordt genomen als de grootte van het zijoppervlak van de kegel. Na aangewezen te hebben zijvlak kegel met de letter S, kunnen we schrijven:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Gevolgen.
1) Omdat C = 2 π R, dan wordt het zijoppervlak van de kegel uitgedrukt door de formule:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) We verkrijgen het volledige oppervlak van de kegel als we het zijoppervlak toevoegen aan het gebied van de basis; daarom, door het volledige oppervlak aan te duiden met T, zullen we hebben:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Stelling. Het zijoppervlak van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product van de helft van de som van de lengtes van de cirkels van de bases en de generator.

Laten we wat regelmatig in de afgeknotte kegel (Fig.) schrijven afgeknotte piramide en aanduiden met letters r, r 1 en l getallen die in identieke lineaire eenheden de lengtes van de omtrekken van de onderste en bovenste basis en het apothema van deze piramide weergeven.

Dan is het zijoppervlak van de ingeschreven piramide gelijk aan 1/2 ( p + p 1) l

Met een onbeperkte toename van het aantal zijvlakken van de ingeschreven piramide, de omtrekken R En R 1 neigen naar de grenzen die worden genomen als de lengtes C en C 1 van de basiscirkels, en de apothema l heeft als limiet de generator L van een afgeknotte kegel. Bijgevolg neigt de grootte van het zijoppervlak van de ingeschreven piramide naar een limiet gelijk aan (C + C 1) L. Deze limiet wordt genomen als de grootte van het zijoppervlak van de afgeknotte kegel. Door het zijoppervlak van de afgeknotte kegel aan te duiden met de letter S, hebben we:

S = 1 / 2 (C + C 1) L

Gevolgen.
1) Als R en R 1 de stralen van de cirkels van de onderste en bovenste basis betekenen, dan zal het zijoppervlak van de afgeknotte kegel zijn:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R1) L= π (R + R 1) L.

2) Als we in de trapezium OO 1 A 1 A (Fig.), uit de rotatie waarvan een afgeknotte kegel wordt verkregen, tekenen middellijn BC, dan krijgen we:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R1 = 2VS.

Vandaar,

S=2 π BC L,

d.w.z. het manteloppervlak van een afgeknotte kegel is gelijk aan het product van de omtrek van het middengedeelte en de generatrix.

3) Het totale oppervlak T van een afgeknotte kegel wordt als volgt uitgedrukt:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

We weten wat een kegel is, laten we proberen de oppervlakte ervan te vinden. Waarom moet je zo’n probleem oplossen? U moet bijvoorbeeld begrijpen hoeveel deeg er nodig is voor het maken van een wafelkegel? Of hoeveel stenen zijn er nodig om een bakstenen kasteeldak te maken?

Het meten van het zijoppervlak van een kegel is eenvoudigweg niet mogelijk. Maar laten we ons dezelfde hoorn voorstellen, gewikkeld in stof. Om het gebied van een stuk stof te vinden, moet je het knippen en op tafel leggen. Het zal lukken plat figuur, kunnen we het gebied vinden.

Rijst. 1. Doorsnede van een kegel langs de generatrix

Laten we hetzelfde doen met de kegel. Laten we bijvoorbeeld het zijoppervlak langs een willekeurige generatrix “snijden” (zie figuur 1).

Laten we nu het zijoppervlak op een vlak "ontspannen". We krijgen een sector. Het middelpunt van deze sector is het hoekpunt van de kegel, de straal van de sector is gelijk aan de beschrijvende lijn van de kegel, en de lengte van zijn boog valt samen met de omtrek van de basis van de kegel. Deze sector wordt de ontwikkeling van het zijoppervlak van de kegel genoemd (zie figuur 2).

Rijst. 2. Ontwikkeling van het zijoppervlak

Rijst. 3. Hoekmeting in radialen

Laten we proberen het gebied van de sector te vinden met behulp van de beschikbare gegevens. Laten we eerst de notatie introduceren: laat de hoek bij het hoekpunt van de sector in radialen zijn (zie figuur 3).

Bij problemen zullen we vaak te maken krijgen met de hoek aan de bovenkant van de sweep. Laten we voorlopig proberen de vraag te beantwoorden: kan deze hoek niet meer dan 360 graden blijken te zijn? Dat wil zeggen: zou het niet blijken dat de sweep zichzelf zou overlappen? Natuurlijk niet. Laten we dit wiskundig bewijzen. Laat de scan over zichzelf heen ‘superponeren’. Dit betekent dat de lengte van de zwaaiboog groter is dan de lengte van de straalcirkel. Maar zoals reeds vermeld is de lengte van de zwaaiboog de lengte van de straalcirkel. En de straal van de basis van de kegel is natuurlijk kleiner dan die van de generatrix, bijvoorbeeld omdat het been van een rechthoekige driehoek kleiner is dan de hypotenusa

Laten we dan twee formules uit de cursus planimetrie onthouden: booglengte. Sectorgebied: .

In ons geval wordt de rol gespeeld door de generator , en de lengte van de boog is gelijk aan de omtrek van de basis van de kegel. Wij hebben:

Tenslotte krijgen we: .

Naast het zijoppervlak kan ook het totale oppervlak worden gevonden. Om dit te doen, voegt u het gebied van de basis toe aan het gebied van het zijoppervlak. Maar de basis is een straalcirkel, waarvan de oppervlakte volgens de formule gelijk is aan .

Eindelijk hebben we: , waar is de straal van de basis van de cilinder, is de generatrix.

Laten we een aantal problemen oplossen met behulp van de gegeven formules.

Rijst. 4. Vereiste hoek

Voorbeeld 1. De ontwikkeling van het zijoppervlak van de kegel is een sector met een hoek aan de top. Zoek deze hoek als de hoogte van de kegel 4 cm is en de straal van de basis 3 cm is (zie figuur 4).

Rijst. 5. Rechterdriehoek die een kegel vormt

Bij de eerste actie vinden we, volgens de stelling van Pythagoras, de generator: 5 cm (zie figuur 5). Vervolgens weten we dat .

Voorbeeld 2. Het axiale dwarsdoorsnedeoppervlak van de kegel is gelijk aan , de hoogte is gelijk aan . Bereken de totale oppervlakte (zie figuur 6).

Het meten van het zijoppervlak van een kegel is eenvoudigweg niet mogelijk. Maar laten we ons dezelfde hoorn voorstellen, gewikkeld in stof. Om het gebied van een stuk stof te vinden, moet je het uitknippen en op tafel leggen. Het resultaat is een plat figuur, we kunnen de oppervlakte ervan vinden.