Instructies

Als de straal (R) van de cirkel en de lengte van de boog (L) die overeenkomt met de gewenste centrale hoek (θ) bekend zijn, kan deze zowel in graden als in radialen worden berekend. Het totaal wordt bepaald door de formule 2*π*R en komt overeen met een centrale hoek van 360° of twee Pi-getallen, als radialen worden gebruikt in plaats van graden. Ga daarom uit van de verhouding 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Express er van centrale hoek in radialen θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R of graden θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) en bereken met de resulterende formule.

Gebaseerd op de lengte van het akkoord (m) dat de punten verbindt die de centrale hoek (θ) bepalen, kan de waarde ervan ook worden berekend als de straal (R) van de cirkel bekend is. Om dit te doen, beschouwen we een driehoek gevormd door twee stralen en . Dit is een gelijkbenige driehoek, iedereen is bekend, maar je moet de hoek tegenover de basis vinden. De sinus van de helft is gelijk aan de verhouding van de lengte van de basis - het akkoord - tot tweemaal de lengte van de zijde - de straal. Gebruik daarom voor berekeningen de inverse sinusfunctie - boogsinus: θ = 2*boogsin(½*m/R).

De centrale hoek kan worden opgegeven in fracties van een omwenteling of vanuit een geroteerde hoek. Als u bijvoorbeeld de centrale hoek wilt vinden die overeenkomt met een kwart van een volledige omwenteling, deelt u 360° door vier: θ = 360°/4 = 90°. Dezelfde waarde in radialen moet 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57 zijn. De uitgevouwen hoek is gelijk aan een halve volledige omwenteling, daarom zal de centrale hoek die overeenkomt met een kwart ervan bijvoorbeeld de helft zijn van de hierboven berekende waarden in zowel graden als radialen.

De inverse van de sinus wordt een trigonometrische functie genoemd boogsinus. Het kan waarden aannemen binnen de helft van het getal Pi, zowel positief als negatief. negatieve kant gemeten in radialen. Gemeten in graden zullen deze waarden respectievelijk in het bereik van -90° tot +90° liggen.

Instructies

Sommige “ronde” waarden hoeven niet te worden berekend; ze zijn gemakkelijker te onthouden. Bijvoorbeeld: - als het functieargument gelijk aan nul, dan is de waarde van de boogsinus ervan ook nul; - vanaf 1/2 is gelijk aan 30° of 1/6 Pi, indien gemeten; 6 van het getal Pi in; - boogsinus van 1 is gelijk aan 90° of 1/2 van Pi in radialen;

Om de waarden van deze functie op basis van andere argumenten te meten, is de eenvoudigste manier om een ​​standaard Windows-rekenmachine te gebruiken, als je die bij de hand hebt. Om te beginnen opent u het hoofdmenu met de knop "Start" (of door op de WIN-toets te drukken), gaat u naar het gedeelte "Alle programma's" en vervolgens naar de subsectie "Accessoires" en klikt u op "Calculator".

Schakel de rekenmachineinterface naar de bedieningsmodus waarin u kunt rekenen trigonometrische functies. Om dit te doen, opent u het gedeelte "Beeld" in het menu en selecteert u "Techniek" of "Wetenschappelijk" (afhankelijk van het gebruikte besturingssysteem).

Voer de waarde in van het argument waaruit de boogtangens moet worden berekend. Dit kunt u doen door met de muis op de interfaceknoppen van de rekenmachine te klikken, of door op de toetsen op te drukken, of door de waarde (CTRL + C) te kopiëren en deze vervolgens (CTRL + V) in het invoerveld van de rekenmachine te plakken.

Selecteer de meeteenheden waarin u het resultaat van de functieberekening wilt verkrijgen. Onder het invoerveld bevinden zich drie opties, waaruit u (door erop te klikken met de muis) één -, radialen of rads moet selecteren.

Schakel het selectievakje in dat de functies omkeert die op de interfaceknoppen van de rekenmachine worden aangegeven. Ernaast staat een korte inscriptie Inv.

Klik op de zondeknop. De rekenmachine keert de bijbehorende functie om, voert de berekening uit en presenteert u het resultaat in de opgegeven eenheden.

Video over het onderwerp

Een van de veel voorkomende geometrische problemen is het berekenen van de oppervlakte van een cirkelsegment - het deel van de cirkel dat wordt begrensd door een akkoord en het overeenkomstige akkoord door een cirkelboog.

Het gebied van een cirkelvormig segment is gelijk aan het verschil tussen het gebied van de overeenkomstige cirkelsector en het gebied van de driehoek gevormd door de stralen van de sector die overeenkomt met het segment en het akkoord dat het segment begrenst.

Voorbeeld 1

De lengte van het akkoord dat de cirkel omspant, is gelijk aan de waarde a. De graadmaat van de boog die overeenkomt met het akkoord is 60°. Zoek het gebied van het cirkelsegment.

Oplossing

Een driehoek gevormd door twee stralen en een akkoord is gelijkbenig, dus de hoogte getrokken van het hoekpunt van de centrale hoek naar de zijde van de driehoek gevormd door het akkoord zal ook de bissectrice zijn van de centrale hoek, die deze in tweeën deelt, en de mediaan, waarbij het akkoord in tweeën wordt gedeeld. Wetende dat de sinus van de hoek gelijk is aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa, kunnen we de straal berekenen:

Zonde 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, waarbij h de hoogte is vanaf het hoekpunt van de centrale hoek tot het akkoord. Volgens de stelling van Pythagoras h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Dienovereenkomstig is S▲=√3/4*a².

De oppervlakte van het segment, berekend als Sreg = Sc - S▲, is gelijk aan:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Vervanging numerieke waarde In plaats van de waarde a kunt u eenvoudig de numerieke waarde van het segmentoppervlak berekenen.

Voorbeeld 2

De straal van de cirkel is gelijk aan a. De graadmaat van de boog die overeenkomt met het segment is 60°. Zoek het gebied van het cirkelsegment.

Oplossing:

Het gebied van de sector dat overeenkomt met een bepaalde hoek kan worden berekend met behulp van de volgende formule:

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,

Het gebied van de driehoek die overeenkomt met de sector wordt als volgt berekend:

S▲=1/2*ah, waarbij h de hoogte is vanaf het hoekpunt van de centrale hoek tot het akkoord. Volgens de stelling van Pythagoras h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Dienovereenkomstig is S▲=√3/4*a².

En tenslotte is de oppervlakte van het segment, berekend als Sreg = Sc - S▲, gelijk aan:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

De oplossingen zijn in beide gevallen vrijwel identiek. We kunnen dus concluderen dat om de oppervlakte van een segment in het eenvoudigste geval te berekenen, het voldoende is om de waarde te kennen van de hoek die overeenkomt met de boog van het segment en een van de twee parameters: de straal van de cirkel of de lengte van het akkoord dat de boog van de cirkel omvat die het segment vormt.

Bronnen:

• Segment - geometrie

Meestal begint het voorbereidingsproces voor het Unified State Exam in Mathematics met een herhaling van basisdefinities, formules en stellingen, inclusief over het onderwerp 'Centrale en ingeschreven hoeken in een cirkel'. In de regel wordt dit deel van de planimetrie bestudeerd middelbare school. Het is niet verrassend dat veel studenten worden geconfronteerd met de noodzaak om basisconcepten en stellingen over het onderwerp "Centrale hoek van een cirkel" te herzien. Nadat ze het algoritme voor het oplossen van dergelijke problemen hebben begrepen, kunnen schoolkinderen erop rekenen dat ze competitieve scores ontvangen op basis van de resultaten van het behalen van het uniforme staatsexamen.

Hoe kunt u zich eenvoudig en effectief voorbereiden op het behalen van de certificeringstest?

Studeren voordat je de single haalt staatsexamen, veel middelbare scholieren worden geconfronteerd met het probleem van het vinden noodzakelijke informatie over het onderwerp “Centrale en ingeschreven hoeken in een cirkel.” Het is niet altijd zo dat er een schoolboek bij de hand is. En het zoeken naar formules op internet kost soms veel tijd.

Ons team zal u helpen uw vaardigheden te “oppompen” en uw kennis te verbeteren in zo’n moeilijk onderdeel van de meetkunde als planimetrie educatief portaal. “Shkolkovo” biedt middelbare scholieren en hun leraren een nieuwe manier om het proces van voorbereiding op het uniforme staatsexamen op te bouwen. Al het basismateriaal wordt door onze specialisten in de meest toegankelijke vorm gepresenteerd. Na het lezen van de informatie in het gedeelte ‘Theoretische achtergrond’ leren de leerlingen welke eigenschappen de centrale hoek van een cirkel heeft, hoe ze de waarde ervan kunnen vinden, enz.

Om vervolgens de verworven kennis te consolideren en vaardigheden te oefenen, raden we aan passende oefeningen uit te voeren. Een grote selectie aan taken voor het vinden van de grootte van een hoek ingeschreven in een cirkel en andere parameters wordt gepresenteerd in de sectie "Catalogus". Voor elke oefening schreven onze experts een gedetailleerde oplossing uit en gaven het juiste antwoord aan. De takenlijst op de site wordt voortdurend aangevuld en bijgewerkt.

Middelbare scholieren kunnen zich voorbereiden op het Unified State Exam door oefeningen te oefenen, bijvoorbeeld om de grootte van een centrale hoek en de lengte van een boog van een cirkel online te vinden, vanuit elke Russische regio.

Indien nodig kan de voltooide taak worden opgeslagen in het gedeelte “Favorieten” om er later naar terug te keren en het principe van de oplossing opnieuw te analyseren.

Het concept van ingeschreven en centrale hoek

Laten we eerst het concept van een centrale hoek introduceren.

Opmerking 1

Merk dat op de graadmaat van een centrale hoek is gelijk aan de graadmaat van de boog waarop deze rust.

Laten we nu het concept van een ingeschreven hoek introduceren.

Definitie 2

Een hoek waarvan de top op een cirkel ligt en waarvan de zijden dezelfde cirkel snijden, wordt een ingeschreven hoek genoemd (figuur 2).

Figuur 2. Ingeschreven hoek

Ingeschreven hoekstelling

Stelling 1

De graadmaat van een ingeschreven hoek is gelijk aan de helft van de graadmaat van de boog waarop deze rust.

Bewijs.

Laten we een cirkel geven met het middelpunt in punt $O$. Laten we de ingeschreven hoek $ACB$ aangeven (Fig. 2). De volgende drie gevallen zijn mogelijk:

• Straal $CO$ valt samen met elke kant van de hoek. Laat dit de zijde $CB$ zijn (Fig. 3).

Figuur 3.

In dit geval is de boog $AB$ kleiner dan $(180)^(()^\circ )$, vandaar de centrale hoek $AOB$ gelijk aan boog$AB$. Omdat $AO=OC=r$, is de driehoek $AOC$ gelijkbenig. Dit betekent dat de basishoeken $CAO$ en $ACO$ gelijk zijn aan elkaar. Volgens de stelling over de uitwendige hoek van een driehoek hebben we:

• Ray $CO$ verdeelt een binnenhoek in twee hoeken. Laat het de cirkel snijden in punt $D$ (Fig. 4).

Figuur 4.

Wij krijgen

• Straal $CO$ verdeelt de binnenhoek niet in twee hoeken en valt niet samen met een van de zijden ervan (Fig. 5).

Figuur 5.

Laten we de hoeken $ACD$ en $DCB$ afzonderlijk bekijken. Volgens wat werd bewezen in punt 1, krijgen we

Wij krijgen

De stelling is bewezen.

Laten we geven gevolgen uit deze stelling.

Gevolg 1: Ingeschreven hoeken die op dezelfde boog rusten, zijn gelijk aan elkaar.

Gevolg 2: Een ingeschreven hoek die een diameter insluit, is een rechte hoek.