Laten we kennis maken met rationele en fractionele rationale vergelijkingen, hun definitie geven, voorbeelden geven en ook de meest voorkomende soorten problemen analyseren.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rationele vergelijking: definitie en voorbeelden

Kennismaking met rationele uitdrukkingen begint in de 8e klas van de school. Op dit moment komen leerlingen tijdens algebralessen steeds vaker opdrachten tegen met vergelijkingen die rationele uitdrukkingen in hun aantekeningen bevatten. Laten we ons geheugen opfrissen over wat het is.

Definitie 1

Rationele vergelijking is een vergelijking waarin beide zijden rationele uitdrukkingen bevatten.

In diverse handleidingen kun je een andere formulering vinden.

Definitie 2

Rationele vergelijking- dit is een vergelijking waarvan de linkerkant een rationele uitdrukking bevat en de rechterkant nul.

De definities die we gaven voor rationale vergelijkingen zijn gelijkwaardig, omdat ze over hetzelfde gaan. De juistheid van onze woorden wordt bevestigd door het feit dat voor alle rationele uitdrukkingen P En Q vergelijkingen P = Q En P − Q = 0 zullen gelijkwaardige uitdrukkingen zijn.

Laten we nu naar de voorbeelden kijken.

Voorbeeld 1

Rationele vergelijkingen:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - een (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationele vergelijkingen kunnen, net als andere typen vergelijkingen, een willekeurig aantal variabelen van 1 tot meerdere bevatten. Eerst gaan we kijken eenvoudige voorbeelden, waarin de vergelijkingen slechts één variabele bevatten. En dan zullen we de taak geleidelijk beginnen te compliceren.

Rationele vergelijkingen zijn in tweeën verdeeld grote groepen: gehele getallen en breuken. Laten we eens kijken welke vergelijkingen op elk van de groepen van toepassing zijn.

Definitie 3

Een rationele vergelijking is een geheel getal als de linker- en rechterkant volledige rationele uitdrukkingen bevatten.

Definitie 4

Een rationale vergelijking is fractioneel als een of beide delen ervan een breuk bevatten.

Fractionele rationale vergelijkingen bevatten noodzakelijkerwijs deling door een variabele of de variabele is aanwezig in de noemer. Er is geen dergelijke verdeling bij het schrijven van hele vergelijkingen.

Voorbeeld 2

3 x + 2 = 0 En (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– hele rationale vergelijkingen. Hier worden beide zijden van de vergelijking weergegeven door geheeltallige uitdrukkingen.

1 x - 1 = x 3 en x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 zijn fractioneel rationale vergelijkingen.

Hele rationale vergelijkingen omvatten lineaire en kwadratische vergelijkingen.

Hele vergelijkingen oplossen

Het oplossen van dergelijke vergelijkingen komt meestal neer op het omzetten ervan in gelijkwaardige algebraïsche vergelijkingen. Dit kan worden bereikt door equivalente transformaties van vergelijkingen uit te voeren in overeenstemming met het volgende algoritme:

• eerst krijgen we nul aan de rechterkant van de vergelijking. Om dit te doen, moeten we de uitdrukking aan de rechterkant van de vergelijking naar de linkerkant verplaatsen en het teken veranderen;
• vervolgens transformeren we de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking in een polynoom met standaardvorm.

We moeten een algebraïsche vergelijking verkrijgen. Deze vergelijking zal equivalent zijn aan de oorspronkelijke vergelijking. Met eenvoudige gevallen kunnen we de hele vergelijking terugbrengen tot een lineaire of kwadratische vergelijking om het probleem op te lossen. Over het algemeen lossen we een algebraïsche graadvergelijking op N.

Voorbeeld 3

Het is noodzakelijk om de wortels van de hele vergelijking te vinden 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Oplossing

Laten we de oorspronkelijke uitdrukking transformeren om een ​​equivalente algebraïsche vergelijking te verkrijgen. Om dit te doen, zullen we de uitdrukking aan de rechterkant van de vergelijking overbrengen naar de linkerkant en het teken vervangen door het tegenovergestelde. Als resultaat krijgen we: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Laten we nu de uitdrukking aan de linkerkant transformeren in een polynoom in standaardvorm en de nodige acties uitvoeren met deze polynoom:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

We zijn erin geslaagd de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking te reduceren tot de oplossing van een kwadratische vergelijking van de vorm x 2 − 5 x − 6 = 0. De discriminant van deze vergelijking is positief: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Dit betekent dat er twee echte wortels zullen zijn. Laten we ze vinden met behulp van de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 of x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 of x 2 = - 1

Laten we de juistheid controleren van de wortels van de vergelijking die we tijdens de oplossing hebben gevonden. Hiervoor vervangen we de getallen die we hebben ontvangen in de oorspronkelijke vergelijking: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 En 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. In het eerste geval 63 = 63 , in de tweede 0 = 0 . Wortels x=6 En x = − 1 zijn inderdaad de wortels van de vergelijking die in de voorbeeldvoorwaarde wordt gegeven.

Antwoord: 6 , − 1 .

Laten we eens kijken naar wat 'graad van een hele vergelijking' betekent. We zullen deze term vaak tegenkomen in gevallen waarin we een volledige vergelijking in algebraïsche vorm moeten weergeven. Laten we het concept definiëren.

Definitie 5

Mate van de hele vergelijking- dit is de graad algebraïsche vergelijking, gelijk aan de oorspronkelijke geheeltallige vergelijking.

Als je naar de vergelijkingen uit het bovenstaande voorbeeld kijkt, kun je vaststellen: de graad van deze hele vergelijking is tweede.

Als onze cursus zich zou beperken tot het oplossen van vergelijkingen van de tweede graad, dan zou de discussie over het onderwerp daar kunnen eindigen. Maar zo eenvoudig is het niet. Het oplossen van vergelijkingen van de derde graad is beladen met moeilijkheden. En voor vergelijkingen boven de vierde graad bestaan ​​er helemaal geen algemene wortelformules. In dit opzicht vereist het oplossen van volledige vergelijkingen van de derde, vierde en andere graden dat we een aantal andere technieken en methoden moeten gebruiken.

De meest gebruikte benadering voor het oplossen van volledige rationale vergelijkingen is gebaseerd op de factorisatiemethode. Het algoritme van acties in dit geval is als volgt:

• we verplaatsen de uitdrukking van de rechterkant naar links zodat nul aan de rechterkant van de record overblijft;
• We stellen de uitdrukking aan de linkerkant voor als een product van factoren en gaan dan verder met een reeks eenvoudigere vergelijkingen.

Zoek de oplossing van de vergelijking (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Oplossing

We verplaatsen de uitdrukking van de rechterkant van de plaat naar links met het tegenovergestelde teken: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Het omzetten van het linkerlid naar een polynoom van de standaardvorm is ongepast omdat dit ons een algebraïsche vergelijking van de vierde graad oplevert: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Het gemak van de conversie rechtvaardigt niet alle moeilijkheden bij het oplossen van een dergelijke vergelijking.

Het is veel gemakkelijker om de andere kant op te gaan: laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten x 2 − 10 x + 13 . We komen dus tot een vergelijking van de vorm (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Laten we nu de resulterende vergelijking vervangen door een set van twee kwadratische vergelijkingen x 2 − 10 x + 13 = 0 En x 2 − 2 x − 1 = 0 en vind hun wortels via de discriminant: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Antwoord: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Op dezelfde manier kunnen we de methode gebruiken om een ​​nieuwe variabele te introduceren. Met deze methode kunnen we overgaan naar equivalente vergelijkingen met graden lager dan de graden in de oorspronkelijke geheeltallige vergelijking.

Voorbeeld 5

Heeft de vergelijking wortels? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Oplossing

Als we nu proberen het geheel te brengen rationele vergelijking naar algebraïsch verkrijgen we een vergelijking van graad 4 die geen rationele wortels heeft. Daarom zal het gemakkelijker voor ons zijn om de andere kant op te gaan: een nieuwe variabele y introduceren, die de uitdrukking in de vergelijking zal vervangen x 2 + 3 x.

Nu gaan we met de hele vergelijking werken (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Laten we de rechterkant van de vergelijking naar links verplaatsen met het tegenovergestelde teken en de nodige transformaties uitvoeren. Wij krijgen: j 2 + 4 j + 3 = 0. Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden: y = − 1 En y = − 3.

Laten we nu de omgekeerde vervanging uitvoeren. We krijgen twee vergelijkingen x 2 + 3 x = − 1 En x 2 + 3 · x = − 3 . Laten we ze herschrijven als x 2 + 3 x + 1 = 0 en x 2 + 3 x + 3 = 0. We gebruiken de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking om de wortels van de eerste vergelijking te vinden uit de verkregen formules: - 3 ± 5 2. De discriminant van de tweede vergelijking is negatief. Dit betekent dat de tweede vergelijking geen echte wortels heeft.

Antwoord:- 3 ± 5 2

Hele vergelijkingen van hoge graden komen nogal eens voor in problemen. Het is niet nodig om bang voor ze te zijn. Je moet klaar zijn om te solliciteren niet-standaard methode hun oplossingen, waaronder een aantal kunstmatige transformaties.

Het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen

We beginnen onze beschouwing van dit subonderwerp met een algoritme voor het oplossen van fractioneel rationale vergelijkingen van de vorm p (x) q (x) = 0, waarbij p(x) En q(x)– hele rationele uitdrukkingen. De oplossing van andere fractioneel rationale vergelijkingen kan altijd worden gereduceerd tot de oplossing van vergelijkingen van het aangegeven type.

De meest gebruikte methode voor het oplossen van de vergelijkingen p (x) q (x) = 0 is gebaseerd op de volgende stelling: numerieke breuk jij v, Waar v– dit is een getal dat verschilt van nul, alleen gelijk aan nul in die gevallen waarin de teller van de breuk staat gelijk aan nul. Door de logica van de bovenstaande verklaring te volgen, kunnen we beweren dat de oplossing van de vergelijking p (x) q (x) = 0 kan worden teruggebracht tot het voldoen aan twee voorwaarden: p(x)=0 En q(x) ≠ 0. Dit is de basis voor de constructie van een algoritme voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen van de vorm p (x) q (x) = 0:

• vind de oplossing van de gehele rationele vergelijking p(x)=0;
• we controleren of aan de voorwaarde is voldaan voor de wortels die tijdens de oplossing zijn gevonden q(x) ≠ 0.

Als aan deze voorwaarde is voldaan, dan is de gevonden wortel. Zo niet, dan is de wortel geen oplossing voor het probleem.

Voorbeeld 6

Laten we de wortels van de vergelijking 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 vinden.

Oplossing

We hebben te maken met een fractionele rationale vergelijking van de vorm p (x) q (x) = 0, waarin p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Laten we beginnen met het oplossen van de lineaire vergelijking 3 x − 2 = 0. De wortel van deze vergelijking zal zijn x = 2 3.

Laten we de gevonden wortel controleren om te zien of deze aan de voorwaarde voldoet 5 x 2 − 2 ≠ 0. Om dit te doen, laten we vervangen numerieke waarde tot uitdrukking komen. We krijgen: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Er is aan de voorwaarde voldaan. Dit betekent dat x = 2 3 is de wortel van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: 2 3 .

Er is nog een andere optie voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen p (x) q (x) = 0. Bedenk dat deze vergelijking equivalent is aan de hele vergelijking p(x)=0 in de regio aanvaardbare waarden variabele x van de oorspronkelijke vergelijking. Hierdoor kunnen we het volgende algoritme gebruiken bij het oplossen van de vergelijkingen p (x) q (x) = 0:

• los de vergelijking op p(x)=0;
• vind het bereik van toegestane waarden van de variabele x;
• we nemen de wortels die binnen het bereik van toegestane waarden van de variabele x liggen als de gewenste wortels van de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking.

Los de vergelijking x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 op.

Oplossing

Laten we eerst de kwadratische vergelijking oplossen x 2 − 2 x − 11 = 0. Om de wortels te berekenen, gebruiken we de wortelsformule voor de even tweede coëfficiënt. Wij krijgen D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 en x = 1 ± 2 3 .

Nu kunnen we de ODZ van variabele x vinden voor de oorspronkelijke vergelijking. Dit zijn alle cijfers waarvoor x 2 + 3 x ≠ 0. Het is hetzelfde als x(x+3) ≠ 0, vanwaar x ≠ 0, x ≠ − 3.

Laten we nu controleren of de wortels x = 1 ± 2 3 verkregen in de eerste fase van de oplossing binnen het bereik van toegestane waarden van de variabele x vallen. We zien ze binnenkomen. Dit betekent dat de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking twee wortels x = 1 ± 2 3 heeft.

Antwoord: x = 1 ± 2 3

De tweede beschreven oplossingsmethode is eenvoudiger dan de eerste in gevallen waarin het bereik van toegestane waarden van de variabele x gemakkelijk kan worden gevonden en de wortels van de vergelijking p(x)=0 irrationeel. Bijvoorbeeld 7 ± 4 · 26 9. De wortels kunnen rationeel zijn, maar met een grote teller of noemer. Bijvoorbeeld, 127 1101 En − 31 59 . Dit bespaart tijd bij het controleren van de toestand q(x) ≠ 0: Het is veel gemakkelijker om wortels uit te sluiten die volgens de ODZ niet geschikt zijn.

In gevallen waarin de wortels van de vergelijking p(x)=0 gehele getallen zijn, is het handiger om de eerste van de beschreven algoritmen te gebruiken voor het oplossen van vergelijkingen van de vorm p (x) q (x) = 0. Vind sneller de wortels van een hele vergelijking p(x)=0 en controleer vervolgens of voor hen aan de voorwaarde is voldaan q(x) ≠ 0, in plaats van de ODZ te vinden en vervolgens de vergelijking op te lossen p(x)=0 op deze OZ. Dit komt doordat het in dergelijke gevallen meestal gemakkelijker is om te controleren dan om de DZ te vinden.

Voorbeeld 8

Vind de wortels van de vergelijking (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Oplossing

Laten we beginnen met naar de hele vergelijking te kijken (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 en het vinden van zijn wortels. Om dit te doen, passen we de methode toe om vergelijkingen op te lossen door middel van factorisatie. Het blijkt dat de oorspronkelijke vergelijking equivalent is aan een reeks van vier vergelijkingen 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, waarvan er drie lineair zijn en één is kwadratisch. Wortels vinden: vanaf de eerste vergelijking x = 1 2, vanaf de tweede – x=6, vanaf de derde – x = 7 , x = − 2 , vanaf de vierde – x = − 1.

Laten we de verkregen wortels controleren. Het is voor ons in dit geval moeilijk om de ODZ te bepalen, omdat we hiervoor een algebraïsche vergelijking van de vijfde graad zullen moeten oplossen. Het zal gemakkelijker zijn om de voorwaarde te controleren volgens welke de noemer van de breuk, die zich aan de linkerkant van de vergelijking bevindt, niet naar nul mag gaan.

Laten we om de beurt de wortels vervangen door de variabele x in de uitdrukking x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 en bereken de waarde ervan:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

De uitgevoerde verificatie stelt ons in staat vast te stellen dat de wortels van de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking 1 2, 6 en zijn − 2 .

Antwoord: 1 2 , 6 , - 2

Voorbeeld 9

Zoek de wortels van de fractionele rationale vergelijking 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Oplossing

Laten we met de vergelijking gaan werken (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Laten we de wortels ervan vinden. Het is gemakkelijker voor ons om deze vergelijking voor te stellen als een reeks kwadratische en lineaire vergelijkingen 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 En x − 2 = 0.

We gebruiken de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking om de wortels te vinden. We verkrijgen uit de eerste vergelijking twee wortels x = 7 ± 69 10, en uit de tweede x = 2.

Het zal voor ons behoorlijk moeilijk zijn om de waarde van de wortels in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen om de omstandigheden te controleren. Het zal gemakkelijker zijn om de ODZ van de variabele x te bepalen. In dit geval bestaat de ODZ van de variabele x uit alle getallen, behalve die waarvoor aan de voorwaarde is voldaan x 2 + 5 x − 14 = 0. We krijgen: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Laten we nu eens kijken of de gevonden wortels tot het bereik van toegestane waarden van de variabele x behoren.

De wortels x = 7 ± 69 10 - behoren daarom tot de wortels van de oorspronkelijke vergelijking, en x = 2- hoort er niet bij, daarom is het een vreemde wortel.

Antwoord: x = 7 ± 69 10 .

Laten we afzonderlijk de gevallen onderzoeken waarin de teller van een fractionele rationale vergelijking van de vorm p (x) q (x) = 0 een getal bevat. Als in dergelijke gevallen de teller een ander getal dan nul bevat, heeft de vergelijking geen wortels. Als dit getal gelijk is aan nul, dan is de wortel van de vergelijking een willekeurig getal uit de ODZ.

Voorbeeld 10

Los de fractionele rationale vergelijking op - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Oplossing

Deze vergelijking heeft geen wortels, omdat de teller van de breuk aan de linkerkant van de vergelijking een getal bevat dat niet nul is. Dit betekent dat bij geen enkele waarde van x de waarde van de breuk in de probleemstelling gelijk zal zijn aan nul.

Antwoord: geen wortels.

Voorbeeld 11

Los de vergelijking 0 x 4 + 5 x 3 = 0 op.

Oplossing

Omdat de teller van de breuk nul bevat, zal de oplossing van de vergelijking elke waarde x uit de ODZ van de variabele x zijn.

Laten we nu de ODZ definiëren. Het bevat alle waarden van x waarvoor x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Oplossingen voor de vergelijking x 4 + 5 x 3 = 0 Zijn 0 En − 5 , aangezien deze vergelijking equivalent is aan de vergelijking x3 (x+5) = 0, en dit is op zijn beurt equivalent aan de combinatie van twee vergelijkingen x 3 = 0 en x + 5 = 0, waar deze wortels zichtbaar zijn. We komen tot de conclusie dat het gewenste bereik van acceptabele waarden elke x is, behalve x = 0 En x = − 5.

Het blijkt dat de fractionele rationale vergelijking 0 x 4 + 5 x 3 = 0 een oneindig aantal oplossingen heeft, dit zijn alle andere getallen dan nul en - 5.

Antwoord: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Laten we het nu hebben over fractionele rationale vergelijkingen van willekeurige vorm en methoden om ze op te lossen. Ze kunnen worden geschreven als r(x) = s(x), Waar r(x) En s(x)– rationele uitdrukkingen, en minstens één daarvan is fractioneel. Het oplossen van dergelijke vergelijkingen komt neer op het oplossen van vergelijkingen van de vorm p (x) q (x) = 0.

We weten al dat we een equivalente vergelijking kunnen verkrijgen door een uitdrukking van de rechterkant van de vergelijking naar links over te brengen met het tegenovergestelde teken. Dit betekent dat de vergelijking r(x) = s(x) is gelijk aan de vergelijking r(x) − s(x) = 0. We hebben ook al manieren besproken om een ​​rationele uitdrukking om te zetten in een rationele breuk. Dankzij dit kunnen we de vergelijking gemakkelijk transformeren r(x) − s(x) = 0 in een identieke rationale breuk van de vorm p (x) q (x) .

We gaan dus af van de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking r(x) = s(x) naar een vergelijking van de vorm p (x) q (x) = 0, die we al hebben leren oplossen.

Er moet rekening mee worden gehouden dat bij het maken van overgangen van r(x) − s(x) = 0 naar p(x)q(x) = 0 en dan naar p(x)=0 we mogen geen rekening houden met de uitbreiding van het bereik van toegestane waarden van de variabele x.

Het is heel goed mogelijk dat de oorspronkelijke vergelijking r(x) = s(x) en vergelijking p(x)=0 als resultaat van de transformaties zullen ze niet langer gelijkwaardig zijn. Dan de oplossing van de vergelijking p(x)=0 kan ons wortels geven die vreemd zijn r(x) = s(x). In dit opzicht is het in elk geval noodzakelijk om verificatie uit te voeren met behulp van een van de hierboven beschreven methoden.

Om het voor u gemakkelijker te maken het onderwerp te bestuderen, hebben we alle informatie samengevat in een algoritme voor het oplossen van een fractionele rationale vergelijking van de vorm r(x) = s(x):

• we brengen de uitdrukking over van de rechterkant met het tegenovergestelde teken en krijgen nul aan de rechterkant;
• de oorspronkelijke uitdrukking transformeren in een rationale breuk p (x) q (x) , waarbij u achtereenvolgens bewerkingen met breuken en polynomen uitvoert;
• los de vergelijking op p(x)=0;
• We identificeren externe wortels door te controleren of ze tot de ODZ behoren of door vervanging in de oorspronkelijke vergelijking.

Visueel ziet de reeks acties er als volgt uit:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminatie EXTERNE WORTELS

Voorbeeld 12

Los de fractionele rationale vergelijking x x + 1 = 1 x + 1 op.

Oplossing

Laten we verder gaan met de vergelijking x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Laten we de fractionele rationale uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking transformeren naar de vorm p (x) q (x) .

Om dit te doen, zullen we rationale breuken moeten herleiden tot een gemeenschappelijke noemer en de uitdrukking moeten vereenvoudigen:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Om de wortels van de vergelijking te vinden - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, moeten we de vergelijking oplossen − 2 x − 1 = 0. We krijgen één wortel x = - 1 2.

Het enige wat we hoeven te doen is het controleren met behulp van een van de methoden. Laten we ze allebei bekijken.

Laten we de resulterende waarde vervangen door de oorspronkelijke vergelijking. We krijgen - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. We zijn tot de juiste numerieke gelijkheid gekomen − 1 = − 1 . Dit betekent dat x = − 1 2 is de wortel van de oorspronkelijke vergelijking.

Laten we nu eens kijken via de ODZ. Laten we het bereik van toegestane waarden van de variabele x bepalen. Dit zal de hele reeks getallen zijn, met uitzondering van − 1 en 0 (bij x = − 1 en x = 0 verdwijnen de noemers van de breuken). De wortel die we hebben verkregen x = − 1 2 behoort tot ODZ. Dit betekent dat het de wortel is van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: − 1 2 .

Voorbeeld 13

Zoek de wortels van de vergelijking x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Oplossing

We hebben te maken met een fractionele rationale vergelijking. Daarom zullen we handelen volgens het algoritme.

Laten we de uitdrukking van de rechterkant naar links verplaatsen met het tegenovergestelde teken: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Laten we de nodige transformaties uitvoeren: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

We komen tot de vergelijking x = 0. De wortel van deze vergelijking is nul.

Laten we eens kijken of deze wortel vreemd is aan de oorspronkelijke vergelijking. Laten we de waarde vervangen door de oorspronkelijke vergelijking: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Zoals u kunt zien, slaat de resulterende vergelijking nergens op. Dit betekent dat 0 een externe wortel is en dat de oorspronkelijke fractionele rationale vergelijking geen wortels heeft.

Antwoord: geen wortels.

Als we geen andere equivalente transformaties in het algoritme hebben opgenomen, betekent dit niet dat ze niet kunnen worden gebruikt. Het algoritme is universeel, maar is ontworpen om te helpen en niet om te beperken.

Voorbeeld 14

Los de vergelijking op 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Oplossing

De eenvoudigste manier is om de gegeven fractionele rationale vergelijking op te lossen volgens het algoritme. Maar er is een andere manier. Laten we het overwegen.

Trek 7 af van de rechter- en linkerkant en we krijgen: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Hieruit kunnen we concluderen dat de uitdrukking in de noemer aan de linkerkant gelijk moet zijn aan het omgekeerde van het getal aan de rechterkant, dat wil zeggen 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Trek van beide kanten 3 af: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Naar analogie: 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, vanwaar 1 5 - x 2 = 1 3, en dan 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Laten we een controle uitvoeren om te bepalen of de gevonden wortels de wortels zijn van de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: x = ± 2

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een verzoek indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

We hebben al geleerd hoe we kwadratische vergelijkingen kunnen oplossen. Laten we nu de bestudeerde methoden uitbreiden naar rationale vergelijkingen.

Wat is een rationele uitdrukking? Dit concept zijn we al tegengekomen. Rationele uitdrukkingen zijn uitdrukkingen die zijn samengesteld uit getallen, variabelen, hun bevoegdheden en symbolen van wiskundige bewerkingen.

Dienovereenkomstig zijn rationale vergelijkingen vergelijkingen in de vorm: , waar - rationele uitdrukkingen.

Voorheen hebben we alleen die rationale vergelijkingen overwogen die tot lineaire vergelijkingen kunnen worden gereduceerd. Laten we nu eens kijken naar de rationale vergelijkingen die kunnen worden gereduceerd tot kwadratische vergelijkingen.

Voorbeeld 1

Los de vergelijking op: .

Oplossing:

Een breuk is gelijk aan 0 als en slechts als de teller gelijk is aan 0 en de noemer niet gelijk is aan 0.

We krijgen het volgende systeem:

De eerste vergelijking van het systeem is een kwadratische vergelijking. Voordat we het oplossen, delen we alle coëfficiënten door 3. We krijgen:

We krijgen twee wortels: ; .

Omdat 2 nooit gelijk is aan 0, moet aan twee voorwaarden worden voldaan: . Omdat geen van de wortels van de hierboven verkregen vergelijking samenvalt met de ongeldige waarden van de variabele die zijn verkregen bij het oplossen van de tweede ongelijkheid, zijn het beide oplossingen voor deze vergelijking.

Antwoord:.

Laten we dus een algoritme formuleren voor het oplossen van rationale vergelijkingen:

1. Verplaats alle termen naar de linkerkant, zodat de rechterkant op 0 eindigt.

2. Transformeer en vereenvoudig de linkerkant, breng alle breuken naar een gemeenschappelijke noemer.

3. Stel de resulterende breuk gelijk aan 0 met behulp van het volgende algoritme: .

4. Schrijf de wortels op die in de eerste vergelijking zijn verkregen en voldoe in het antwoord aan de tweede ongelijkheid.

Laten we naar een ander voorbeeld kijken.

Voorbeeld 2

Los de vergelijking op: .

Oplossing

Helemaal aan het begin verplaatsen we alle termen naar links zodat 0 aan de rechterkant blijft.

Laten we nu de linkerkant van de vergelijking naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Deze vergelijking is equivalent aan het systeem:

De eerste vergelijking van het systeem is een kwadratische vergelijking.

Coëfficiënten van deze vergelijking: . We berekenen de discriminant:

We krijgen twee wortels: ; .

Laten we nu de tweede ongelijkheid oplossen: het product van factoren is niet gelijk aan 0 als en slechts als geen van de factoren gelijk is aan 0.

Er moet aan twee voorwaarden worden voldaan: . We vinden dat van de twee wortels van de eerste vergelijking er maar één geschikt is: 3.

Antwoord:.

In deze les herinnerden we ons wat een rationele uitdrukking is, en leerden we ook hoe we rationele vergelijkingen konden oplossen, die herleidbaar zijn tot kwadratische vergelijkingen.

In de volgende les zullen we rationale vergelijkingen bekijken als modellen van reële situaties, en ook naar bewegingsproblemen.

Referenties

1. Bashmakov M.I. Algebra, groep 8. - M.: Onderwijs, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. en anderen. - M.: Onderwijs, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, groep 8. Leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs. - M.: Onderwijs, 2006.

1. Festival pedagogische ideeën "Open les" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Huiswerk

In dit artikel laat ik het je zien algoritmen voor het oplossen van zeven soorten rationale vergelijkingen, die kan worden teruggebracht tot kwadratisch door variabelen te veranderen. In de meeste gevallen zijn de transformaties die tot vervanging leiden zeer niet triviaal, en het is vrij moeilijk om er zelf naar te raden.

Voor elk type vergelijking zal ik uitleggen hoe je de variabele daarin kunt wijzigen, en vervolgens een gedetailleerde oplossing laten zien in de bijbehorende video-tutorial.

Je hebt de mogelijkheid om zelf verder te gaan met het oplossen van de vergelijkingen en vervolgens je oplossing te controleren met de videoles.

Dus laten we beginnen.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Merk op dat er aan de linkerkant van de vergelijking een product van vier haakjes staat, en aan de rechterkant een getal.

1. Laten we de haakjes per twee groeperen, zodat de som van de vrije termen hetzelfde is.

2. Vermenigvuldig ze.

3. Laten we een verandering van variabele introduceren.

In onze vergelijking groeperen we het eerste haakje met de derde, en de tweede met de vierde, aangezien (-1)+(-4)=(-7)+2:

Op dit punt wordt de vervanging van de variabele duidelijk:

We krijgen de vergelijking

Antwoord:

2 .

Een vergelijking van dit type is vergelijkbaar met de vorige, met één verschil: aan de rechterkant van de vergelijking staat het product van het getal en . En het wordt op een heel andere manier opgelost:

1. We groeperen de haakjes per twee, zodat het product van de vrije termen hetzelfde is.

2. Vermenigvuldig elk paar haakjes.

3. We nemen x uit elke factor.

4. Deel beide zijden van de vergelijking door .

5. We introduceren een verandering van variabele.

In deze vergelijking groeperen we het eerste haakje met het vierde, en het tweede met het derde, aangezien:

Merk op dat in elke haak de coëfficiënt en de vrije term hetzelfde zijn. Laten we een factor uit elke haak nemen:

Omdat x=0 geen wortel is van de oorspronkelijke vergelijking, delen we beide zijden van de vergelijking door . Wij krijgen:

We krijgen de vergelijking:

Antwoord:

3 .

Merk op dat de noemers van beide breuken kwadratische trinomialen bevatten, waarin de leidende coëfficiënt en de vrije term hetzelfde zijn. Laten we x uit de haak halen, zoals in de vergelijking van het tweede type. Wij krijgen:

Deel de teller en de noemer van elke breuk door x:

Nu kunnen we een variabele vervanging introduceren:

We verkrijgen een vergelijking voor de variabele t:

4 .

Merk op dat de coëfficiënten van de vergelijking symmetrisch zijn ten opzichte van de centrale. Deze vergelijking wordt genoemd retourneerbaar .

Om het op te lossen,

1. Verdeel beide zijden van de vergelijking door (We kunnen dit doen omdat x=0 geen wortel van de vergelijking is.) We krijgen:

2. Laten we de termen op deze manier groeperen:

3. Laten we in elke groep de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten:

4. Laten we de vervanging introduceren:

5. Druk via t de uitdrukking uit:

Vanaf hier

We krijgen de vergelijking voor t:

Antwoord:

5. Homogene vergelijkingen.

Vergelijkingen met een homogene structuur kunnen voorkomen bij het oplossen van exponentiële, logaritmische en goniometrische vergelijkingen, dus je moet het kunnen herkennen.

Homogene vergelijkingen hebben de volgende structuur:

In deze gelijkheid zijn A, B en C getallen, en geven het vierkant en de cirkel aan identieke uitdrukkingen. Dat wil zeggen, aan de linkerkant van een homogene vergelijking staat een som van monomialen met dezelfde graad (in dit geval is de graad van monomialen 2), en er is geen vrije term.

Om te beslissen homogene vergelijking, deel beide zijden door

Aandacht! Wanneer u de rechter- en linkerkant van een vergelijking deelt door een uitdrukking die een onbekende bevat, kunt u wortels verliezen. Daarom is het noodzakelijk om te controleren of de wortels van de uitdrukking waarmee we beide zijden van de vergelijking delen, de wortels zijn van de oorspronkelijke vergelijking.

Laten we de eerste weg gaan. We krijgen de vergelijking:

Nu introduceren we variabele vervanging:

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen en een bikwadratische vergelijking voor t verkrijgen:

Antwoord: of

7 .

Deze vergelijking heeft de volgende structuur:

Om dit op te lossen, moet je een volledig vierkant aan de linkerkant van de vergelijking selecteren.

Om een ​​volledig vierkant te selecteren, moet u tweemaal het product toevoegen of aftrekken. Dan krijgen we het kwadraat van de som of het verschil. Dit is cruciaal voor een succesvolle vervanging van variabelen.

Laten we beginnen met het tweemaal vinden van het product. Dit is de sleutel tot het vervangen van de variabele. In onze vergelijking is tweemaal het product gelijk aan

Laten we nu eens kijken wat handiger voor ons is: het kwadraat van de som of het verschil. Laten we eerst de som van uitdrukkingen bekijken:

Geweldig! Deze uitdrukking is precies gelijk aan tweemaal het product. Om vervolgens het kwadraat van de som tussen haakjes te krijgen, moet je het dubbele product optellen en aftrekken:

Smirnova Anastasia Yurievna

Lestype: les in het leren van nieuw materiaal.

Vorm van organisatie van educatieve activiteiten: frontaal, individueel.

Het doel van de les: een nieuw type vergelijkingen introduceren - fractionele rationale vergelijkingen, een idee geven van het algoritme voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen.

Lesdoelstellingen.

Educatief:

• vorming van het concept van een fractionele rationale vergelijking;
• overweeg een algoritme voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen, inclusief de voorwaarde dat de breuk gelijk is aan nul;
• leer het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen met behulp van een algoritme.

Ontwikkelingsgericht:

• voorwaarden creëren voor het ontwikkelen van vaardigheden bij het toepassen van verworven kennis;
• de ontwikkeling van de cognitieve interesse van studenten in het onderwerp bevorderen;
• het ontwikkelen van het vermogen van studenten om te analyseren, vergelijken en conclusies te trekken;
• ontwikkeling van vaardigheden op het gebied van wederzijdse controle en zelfbeheersing, aandacht, geheugen, orale en schrijven, onafhankelijkheid.

Opleiden:

• het bevorderen van cognitieve interesse in het onderwerp;
• het bevorderen van de onafhankelijkheid bij het nemen van beslissingen educatieve taken;
• het koesteren van de wil en het doorzettingsvermogen om uiteindelijke resultaten te bereiken.

Apparatuur: leerboek, schoolbord, kleurpotloden.

Leerboek "Algebra 8". Yu.N Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Moskou "Verlichting". 2010

Op dit onderwerp Er wordt vijf uur uitgetrokken. Deze les is de eerste. Het belangrijkste is om het algoritme voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen te bestuderen en dit algoritme in oefeningen te oefenen.

Lesvoortgang

1. Organisatorisch moment.

Hallo jongens! Vandaag wil ik onze les beginnen met een kwatrijn:
Om het leven voor iedereen gemakkelijker te maken,
Wat zou er besloten worden, wat zou mogelijk zijn,
Glimlach, veel geluk voor iedereen,
Zodat er geen problemen zijn,
We lachten naar elkaar en creëerden goed humeur en begon te werken.

Er staan ​​vergelijkingen op het bord, bekijk ze aandachtig. Kun jij al deze vergelijkingen oplossen? Welke niet en waarom?

Vergelijkingen waarin de linker- en rechterkant fractionele rationale uitdrukkingen zijn, worden fractionele rationale vergelijkingen genoemd. Wat denk je dat we vandaag in de klas gaan bestuderen? Formuleer het onderwerp van de les. Open dus je notitieboekje en noteer het onderwerp van de les 'Oplossen van fractionele rationale vergelijkingen'.

2. Kennis actualiseren. Frontaal onderzoek, mondeling werk met de klas.

En nu zullen we het belangrijkste theoretische materiaal herhalen dat we moeten bestuderen nieuw onderwerp. Beantwoord de volgende vragen:

1. Wat is een vergelijking? ( Gelijkheid met een variabele of variabelen.)
2. Wat is de naam van vergelijking nummer 1? ( Lineair.) Oplossing lineaire vergelijkingen. (Verplaats alles met het onbekende naar de linkerkant van de vergelijking, alle getallen naar rechts. Geef vergelijkbare termen. Zoek onbekende factor).
3. Wat is de naam van vergelijking nummer 3? ( Vierkant.) Methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. (P over formules)
4. Wat is proportie? ( Gelijkheid van twee verhoudingen.) De belangrijkste eigenschap van proportie. ( Als de verhouding correct is, is het product van de extreme termen gelijk aan het product van de middelste termen.)
5. Welke eigenschappen worden gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen? ( 1. Als je een term in een vergelijking van het ene deel naar het andere verplaatst en het teken ervan verandert, krijg je een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking. 2. Als beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, krijg je een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.)
6. Wanneer is een breuk gelijk aan nul? ( Een breuk is gelijk aan nul als de teller nul is en de noemer niet nul..)

3. Uitleg van nieuw materiaal.

Los vergelijking nr. 2 op in je notitieboekje en op het bord.

Antwoord: 10.

Welke fractionele rationale vergelijking kun je proberen op te lossen met behulp van de basiseigenschap van proportie? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Los vergelijking nr. 4 op in je notitieboekje en op het bord.

Antwoord: 1,5.

Welke fractionele rationale vergelijking kun je proberen op te lossen door beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen met de noemer? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Antwoord: 3;4.

In de volgende lessen zullen we kijken naar het oplossen van vergelijkingen zoals vergelijking nr. 7.

Leg uit waarom dit gebeurde? Waarom zijn er in het ene geval drie wortels en in het andere geval twee? Welke getallen zijn de wortels van deze fractionele rationale vergelijking?

Tot nu toe zijn studenten het concept van een vreemde wortel nog niet tegengekomen; het is inderdaad erg moeilijk voor hen om te begrijpen waarom dit gebeurde. Als niemand in de klas een duidelijke uitleg kan geven over deze situatie, stelt de leerkracht suggestieve vragen.

• Hoe verschillen vergelijkingen nr. 2 en 4 van vergelijkingen nr. 5 en 6? ( In vergelijkingen nr. 2 en 4 staan ​​getallen in de noemer, nr. 5-6 - uitdrukkingen met een variabele.)
• Wat is de wortel van een vergelijking? ( De waarde van de variabele waarbij de vergelijking waar wordt.)
• Hoe kom je erachter of een getal de wortel van een vergelijking is? ( Voer een cheque uit.)

Bij het toetsen merken sommige leerlingen dat ze door nul moeten delen. Ze concluderen dat de getallen 0 en 5 niet de wortels van deze vergelijking zijn. De vraag rijst: is er een manier om fractionele rationale vergelijkingen op te lossen waarmee we deze fout kunnen elimineren? Ja, deze methode is gebaseerd op de voorwaarde dat de breuk gelijk is aan nul.

Laten we proberen een algoritme te formuleren voor het op deze manier oplossen van fractionele rationale vergelijkingen. Kinderen formuleren het algoritme zelf.

Algoritme voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen:

1. Verplaats alles naar de linkerkant.
2. Herleid breuken tot een gemeenschappelijke noemer.
3. Creëer een systeem: een breuk is gelijk aan nul als de teller gelijk is aan nul en de noemer niet gelijk is aan nul.
4. Los de vergelijking op.
5. Controleer de ongelijkheid om externe wortels uit te sluiten.
6. Schrijf het antwoord op.

4. Initieel begrip van nieuw materiaal.

Werk in paren. De leerlingen kiezen zelf hoe ze de vergelijking oplossen, afhankelijk van het type vergelijking. Opdrachten uit het leerboek “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b,c); Nr. 601(a,e). De leraar houdt toezicht op de voltooiing van de taak, beantwoordt eventuele vragen en biedt hulp aan slecht presterende leerlingen. Zelftest: de antwoorden worden op het bord geschreven.

b) 2 - vreemde wortel. Antwoord: 3.

c) 2 - vreemde wortel. Antwoord: 1.5.

a) Antwoord: -12,5.

5. Huiswerk opgeven.

1. Lees paragraaf 25 uit het leerboek, analyseer voorbeelden 1-3.
2. Leer een algoritme voor het oplossen van fractionele rationale vergelijkingen.
3. Los op in notitieboekjes nr. 600 (d, d); Nr. 601(g,u).

6. De les samenvatten.

Dus vandaag hebben we in de les kennis gemaakt met fractionele rationale vergelijkingen en geleerd hoe we deze vergelijkingen kunnen oplossen op verschillende manieren. Ongeacht hoe u fractionele rationale vergelijkingen oplost, waar moet u rekening mee houden? Wat is de ‘sluwheid’ van fractionele rationale vergelijkingen?

Bedankt allemaal, de les is voorbij.