Laten we begrijpen wat de reductie van breuken is, waarom en hoe we breuken kunnen verkleinen, we zullen de regel geven voor het verkleinen van breuken en voorbeelden van het gebruik ervan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wat is "breuken verkleinen"

Een breuk verkleinen is het delen van de teller en de noemer door een gemeenschappelijke factor die positief is en verschilt van één.

Als resultaat van deze actie wordt een breuk met een nieuwe teller en noemer verkregen, gelijk aan de oorspronkelijke breuk.

Laten we bijvoorbeeld de gewone breuk 6 24 nemen en deze verkleinen. Deel de teller en de noemer door 2, wat resulteert in 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. In dit voorbeeld hebben we de oorspronkelijke breuk met 2 verminderd.

Breuken reduceren tot onherleidbare vorm

In het vorige voorbeeld hebben we de breuk 6 24 met 2 verkleind, wat resulteerde in de breuk 3 12. Het is gemakkelijk in te zien dat deze fractie verder kan worden verminderd. Het doel van het verkleinen van fracties is doorgaans om te eindigen met een onherleidbare fractie. Hoe herleid je een breuk tot zijn onherleidbare vorm?

Dit kan worden gedaan door de teller en de noemer te verminderen met hun grootste gemene deler (GGD). Vervolgens door de eigenschap van de grootste gemeenschappelijke deler, zullen de teller en de noemer onderling priemgetallen zijn, en zal de breuk onherleidbaar zijn.

een b = een ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Een breuk reduceren tot een onherleidbare vorm

Om een ​​breuk terug te brengen tot een onherleidbare vorm, moet je de teller en de noemer delen door hun ggd.

Laten we terugkeren naar de breuk 6 24 uit het eerste voorbeeld en deze in zijn onherleidbare vorm brengen. De grootste gemene deler van de getallen 6 en 24 is 6. Laten we de breuk verkleinen:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Het verkleinen van breuken is handig in gebruik om niet mee te werken in grote aantallen. Over het algemeen bestaat er in de wiskunde een onuitgesproken regel: als je een uitdrukking kunt vereenvoudigen, dan moet je dat ook doen. Het reduceren van een breuk betekent meestal het reduceren tot een onherleidbare vorm, en niet simpelweg het reduceren van de breuk met de gemeenschappelijke deler van de teller en de noemer.

Regel voor het verkleinen van breuken

Om breuken te verkleinen, onthoud gewoon de regel, die uit twee stappen bestaat.

Regel voor het verkleinen van breuken

Om een ​​breuk te verkleinen heb je nodig:

1. Zoek de ggd van de teller en de noemer.
2. Deel de teller en de noemer door hun ggd.

Laten we eens kijken naar praktische voorbeelden.

Voorbeeld 1. Laten we de breuk verkleinen.

Gegeven de breuk 182 195. Laten we het inkorten.

Laten we de ggd van de teller en de noemer vinden. Om dit te doen, is het in dit geval het handigst om het Euclidische algoritme te gebruiken.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Deel de teller en de noemer door 13. Wij krijgen:

182 195 = 182 13 195 13 = 14 15

Klaar. We hebben een onherleidbare breuk verkregen die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk.

Hoe kun je anders breuken verkleinen? In sommige gevallen is het handig om de teller en de noemer in priemfactoren te ontbinden en vervolgens alle gemeenschappelijke factoren uit het bovenste en onderste deel van de breuk te verwijderen.

Voorbeeld 2. Verklein de breuk

Gegeven de breuk 360 2940. Laten we het inkorten.

Om dit te doen, stelt u zich de oorspronkelijke breuk voor in de vorm:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Laten we de gemeenschappelijke factoren in de teller en de noemer wegwerken, wat resulteert in:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Laten we tot slot eens kijken naar een andere manier om breuken te verkleinen. Dit is de zogenaamde sequentiële reductie. Met behulp van deze methode wordt de reductie in verschillende fasen uitgevoerd, waarbij de fractie telkens wordt verminderd door een voor de hand liggende gemeenschappelijke factor.

Voorbeeld 3. Verklein de breuk

Laten we de breuk 2000 4400 verkleinen.

Het is meteen duidelijk dat de teller en de noemer een gemeenschappelijke deler 100 hebben. We verminderen de breuk met 100 en krijgen:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

We verminderen het resulterende resultaat opnieuw met 2 en verkrijgen een onherleidbare breuk:

10 22 = 10 2 22 2 = 5 11

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Veel leerlingen maken dezelfde fouten bij het werken met breuken. En dat allemaal omdat ze de basisregels vergeten rekenkundig. Vandaag zullen we deze regels herhalen voor specifieke taken die ik in mijn lessen geef.

Dit is de taak die ik aan iedereen aanbied die zich voorbereidt op het Unified State Examen in de wiskunde:

Taak. Een bruinvis eet 150 gram voedsel per dag. Maar ze groeide op en begon 20% meer te eten. Hoeveel gram voer eet het varken nu?

Verkeerde beslissing. Dit is een percentageprobleem dat neerkomt op de volgende vergelijking:

Velen (heel veel) verminderen het getal 100 in de teller en de noemer van een breuk:

Dit is de fout die mijn student maakte op de dag dat hij dit artikel schreef. Getallen die zijn afgekapt, zijn rood gemarkeerd.

Het behoeft geen betoog dat het antwoord verkeerd was. Oordeel zelf: het varken at 150 gram, maar begon 3150 gram te eten. De stijging is niet 20%, maar 21 keer, d.w.z. met 2000%.

Om dergelijke misverstanden te voorkomen, onthoud de basisregel:

Alleen vermenigvuldigers kunnen worden verminderd. De voorwaarden kunnen niet worden verlaagd!

De juiste oplossing voor het vorige probleem ziet er dus als volgt uit:

Getallen die in de teller en de noemer zijn afgekort, zijn rood gemarkeerd. Zoals je kunt zien, is de teller het product, de noemer is gewoon nummer. Daarom is de verlaging volkomen legaal.

Werken met verhoudingen

Een ander probleemgebied is proporties. Vooral als de variabele aan beide kanten staat. Bijvoorbeeld:

Taak. Los de vergelijking op:

Verkeerde oplossing - sommige mensen staan ​​letterlijk te trappelen om alles met m in te korten:

Gereduceerde variabelen worden in rood weergegeven. De uitdrukking 1/4 = 1/5 blijkt complete onzin, deze getallen zijn nooit gelijk.

En nu - de juiste beslissing. In wezen is het gewoon lineaire vergelijking . Het kan worden opgelost door alle elementen naar één kant te verplaatsen, of door de basiseigenschap van proportie:

Veel lezers zullen tegenwerpen: “Waar zit de fout in de eerste oplossing?” Laten we het uitzoeken. Laten we de regel voor het werken met vergelijkingen onthouden:

Elke vergelijking kan worden gedeeld en vermenigvuldigd met een willekeurig getal, niet-nul.

Heb je de truc gemist? Je kunt alleen delen door getallen niet-nul. In het bijzonder kun je alleen delen door een variabele m als m != 0. Maar wat als m = 0? Laten we vervangen en controleren:

We hebben de juiste numerieke gelijkheid ontvangen, d.w.z. m = 0 is de wortel van de vergelijking. Voor de overige m != 0 krijgen we een uitdrukking van de vorm 1/4 = 1/5, wat uiteraard onjuist is. Er zijn dus geen niet-nulwortels.

Conclusie: alles op een rijtje

Op te lossen dus fractionele rationale vergelijkingen onthoud drie regels:

1. Alleen vermenigvuldigers kunnen worden verminderd. Toevoegingen zijn niet toegestaan. Leer daarom de teller en de noemer in factoren te ontbinden;
2. De belangrijkste eigenschap van proportie: het product van de extreme elementen is gelijk aan het product van de middelste;
3. Vergelijkingen kunnen alleen worden vermenigvuldigd en gedeeld door andere getallen k dan nul. Het geval k = 0 moet afzonderlijk worden gecontroleerd.

Onthoud deze regels en maak geen fouten.

De vorige keer hebben we een plan gemaakt, waarna je leert hoe je breuken snel kunt verkleinen. Laten we nu eens overwegen specifieke voorbeelden reductie van breuken.

Voorbeelden.

Laten we eens kijken of het grotere getal deelbaar is door het kleinere getal (teller door noemer of noemer door teller)? Ja, in alle drie deze voorbeelden wordt het grotere getal gedeeld door het kleinere getal. We verminderen dus elke breuk met het kleinste getal (door de teller of door de noemer). Wij hebben:

Laten we eens kijken of het grotere getal deelbaar is door het kleinere getal? Nee, het wordt niet gedeeld.

Dan gaan we verder met het controleren van het volgende punt: eindigt de invoer van zowel de teller als de noemer met één, twee of meer nullen? In het eerste voorbeeld eindigen de teller en de noemer op nul, in het tweede voorbeeld op twee nullen en in het derde op drie nullen. Dit betekent dat we de eerste breuk met 10 verminderen, de tweede met 100 en de derde met 1000:

We hebben onherleidbare breuken.

Een groter getal kan niet worden gedeeld door een kleiner getal, en getallen eindigen niet op nullen.

Laten we nu eens kijken of de teller en de noemer in dezelfde kolom in de tafel van vermenigvuldiging staan? 36 en 81 zijn beide deelbaar door 9, 28 en 63 zijn deelbaar door 7, en 32 en 40 zijn deelbaar door 8 (ze zijn ook deelbaar door 4, maar als er een keuze is, verkleinen we altijd met een grotere). Zo komen we tot de antwoorden:

Alle verkregen getallen zijn onherleidbare breuken.

Een groter getal kan niet gedeeld worden door een kleiner getal. Maar het record van zowel de teller als de noemer eindigt op nul. Dus verminderen we de breuk met 10:

Deze fractie kan nog worden verlaagd. We controleren de tafel van vermenigvuldiging: zowel 48 als 72 zijn deelbaar door 8. We verminderen de breuk met 8:

We kunnen de resulterende breuk ook met 3 verminderen:

Deze fractie is irreducibel.

Het grotere getal is niet deelbaar door het kleinere getal. De teller en de noemer eindigen op nul. Dit betekent dat we de breuk met 10 verminderen.

We controleren de getallen die zijn verkregen in de teller en de noemer voor en. Omdat de som van de cijfers van zowel 27 als 531 deelbaar is door 3 en 9, kan deze breuk worden verminderd met 3 of 9. We kiezen de grootste en verminderen met 9. Het resulterende resultaat is een onherleidbare breuk.

In dit artikel zullen we gedetailleerd bekijken hoe breuken verkleinen. Laten we eerst bespreken wat het reduceren van een breuk wordt genoemd. Laten we het hierna hebben over het reduceren van een reduceerbare fractie tot een onherleidbare vorm. Vervolgens zullen we de regel voor het verkleinen van breuken verkrijgen en ten slotte voorbeelden bekijken van de toepassing van deze regel.

Paginanavigatie.

Wat betekent het om een ​​breuk te verkleinen?

We weten dat gewone breuken zijn onderverdeeld in reduceerbare en onherleidbare breuken. Uit de namen kun je raden dat reduceerbare breuken kunnen worden gereduceerd, maar onherleidbare breuken niet.

Wat betekent het om een ​​breuk te verkleinen? Een fractie verkleinen- dit betekent dat de teller en de noemer worden gedeeld door hun positief en verschillend van eenheid. Het is duidelijk dat als gevolg van het verkleinen van een breuk een nieuwe breuk wordt verkregen met een kleinere teller en noemer, en vanwege de basiseigenschap van de breuk is de resulterende breuk gelijk aan de oorspronkelijke breuk.

Laten we bijvoorbeeld verminderen gemeenschappelijke fractie 8/24 door de teller en de noemer te delen door 2. Met andere woorden, laten we de breuk 8/24 met 2 verkleinen. Omdat 8:2=4 en 24:2=12 resulteert deze reductie in de breuk 4/12, die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk 8/24 (zie gelijke en ongelijke breuken). Als gevolg daarvan hebben wij.

Het reduceren van gewone breuken tot een onherleidbare vorm

Het uiteindelijke doel van het verkleinen van een fractie is doorgaans het verkrijgen van een onherleidbare fractie die gelijk is aan de oorspronkelijke reduceerbare fractie. Dit doel kan worden bereikt door de oorspronkelijke reduceerbare breuk te verminderen met de teller en de noemer. Door een dergelijke reductie ontstaat steeds een irreducibele fractie. Een fractie inderdaad is onherleidbaar, omdat dat bekend is En - . Hier zullen we zeggen dat de grootste gemene deler van de teller en de noemer van een breuk is het grootste aantal, waarmee deze fractie kan worden verminderd.

Dus, het reduceren van een gewone breuk tot een onherleidbare vorm bestaat uit het delen van de teller en de noemer van de oorspronkelijke reduceerbare breuk door hun ggd.

Laten we naar een voorbeeld kijken, waarvoor we terugkeren naar de breuk 8/24 en deze verminderen met de grootste gemene deler van de getallen 8 en 24, die gelijk is aan 8. Omdat 8:8=1 en 24:8=3 komen we bij de irreducibele breuk 1/3. Dus, .

Merk op dat de zinsnede “een breuk reduceren” vaak betekent dat de oorspronkelijke breuk wordt gereduceerd tot zijn onherleidbare vorm. Met andere woorden: het verkleinen van een breuk verwijst vaak naar het delen van de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler (in plaats van door een gemeenschappelijke deler).

Hoe een breuk verkleinen? Regels en voorbeelden van het verkleinen van breuken

Het enige dat overblijft is kijken naar de regel voor het verkleinen van breuken, die uitlegt hoe je een bepaalde breuk kunt verkleinen.

Regel voor het verkleinen van breuken bestaat uit twee stappen:

• eerst wordt de ggd van de teller en de noemer van de breuk gevonden;
• ten tweede worden de teller en de noemer van de breuk gedeeld door hun ggd, wat een onherleidbare breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk.

Laten we het uitzoeken voorbeeld van het verkleinen van een breuk volgens de gestelde regel.

Voorbeeld.

Verklein de breuk 182/195.

Oplossing.

Laten we beide stappen uitvoeren die zijn voorgeschreven door de regel voor het verkleinen van een breuk.

Eerst vinden we GCD(182, 195) . Het handigst is om het Euclidische algoritme te gebruiken (zie): 195=182·1+13, 182=13·14, dat wil zeggen GCD(182, 195)=13.

Nu delen we de teller en de noemer van de breuk 182/195 door 13, en we krijgen de onherleidbare breuk 14/15, die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk. Hiermee is de reductie van de fractie voltooid.

In het kort kan de oplossing als volgt worden geschreven: .

Antwoord:

Dit is waar we het verkleinen van breuken kunnen voltooien. Maar om het plaatje compleet te maken, laten we nog twee manieren bekijken om breuken te verkleinen, die meestal in eenvoudige gevallen worden gebruikt.

Soms zijn de teller en de noemer van de breuk die wordt gereduceerd niet moeilijk. Het verkleinen van een breuk is in dit geval heel eenvoudig: je hoeft alleen maar alle gemeenschappelijke factoren uit de teller en de noemer te verwijderen.

Het is vermeldenswaard dat deze methode rechtstreeks voortvloeit uit de regel van het reduceren van breuken, aangezien het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren van de teller en de noemer gelijk is aan hun grootste gemene deler.

Laten we eens kijken naar de oplossing van het voorbeeld.

Voorbeeld.

Verklein de fractie 360/2 940.

Oplossing.

Laten we de teller en de noemer ontbinden in eenvoudige factoren: 360=2·2·2·3·3·5 en 2.940=2·2·3·5·7·7. Dus, .

Nu laten we voor het gemak de gemeenschappelijke factoren in de teller en de noemer achterwege; we schrappen ze gewoon: .

Ten slotte vermenigvuldigen we de resterende factoren: , en de reductie van de breuk is voltooid.

Hier is een korte samenvatting van de oplossing: .

Antwoord:

Laten we eens kijken naar een andere manier om een ​​breuk te verkleinen, namelijk sequentiële reductie. Hier wordt de breuk bij elke stap verminderd met een gemeenschappelijke deler van de teller en de noemer, die voor de hand liggend is of eenvoudig kan worden bepaald met behulp van

Breuken en hun reductie is een ander onderwerp dat begint in het 5e leerjaar. Hier wordt de basis van deze actie gevormd, en vervolgens worden deze vaardigheden via een draad naar de hogere wiskunde getrokken. Als de student het niet begrijpt, heeft hij mogelijk problemen met de algebra. Daarom is het beter om een ​​paar regels voor eens en voor altijd te begrijpen. En onthoud ook één verbod en overtreed het nooit.

Breuk en de reductie ervan

Iedere leerling weet wat het is. Elke twee cijfers die zich tussen een horizontale lijn bevinden, worden onmiddellijk als een breuk gezien. Niet iedereen begrijpt echter dat elk nummer het kan worden. Als het een geheel getal is, kan het altijd door één worden gedeeld, en dan krijg je een onechte breuk. Maar daarover later meer.

Het begin is altijd eenvoudig. Eerst moet je uitzoeken hoe je een juiste breuk kunt verkleinen. Dat wil zeggen: een getal waarin de teller kleiner is dan de noemer. Om dit te doen, moet u de basiseigenschap van een breuk onthouden. Het stelt dat wanneer de teller en de noemer tegelijkertijd met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd (en gedeeld), een gelijkwaardige breuk wordt verkregen.

Verdeelacties die op dit perceel worden uitgevoerd en resulteren in een reductie. Dat wil zeggen, om het zo veel mogelijk te vereenvoudigen. Een fractie kan worden verminderd zolang er gemeenschappelijke factoren boven en onder de lijn zijn. Als ze er niet meer zijn, is reductie onmogelijk. En ze zeggen dat deze fractie onherleidbaar is.

Twee manieren

1.Stap voor stap reductie. Er wordt gebruik gemaakt van een schattingsmethode waarbij beide getallen worden gedeeld door de minimale gemene deler die de leerling opmerkt. Als na de eerste wee duidelijk is dat dit niet het einde is, gaat de deling door. Totdat de breuk onherleidbaar wordt.

2. Het vinden van de grootste gemene deler van de teller en de noemer. Dit is de meest rationele manier om breuken te verkleinen. Het gaat om het ontbinden van de teller en de noemer in priemfactoren. Onder hen moet je dan allemaal dezelfde kiezen. Hun product zal de grootste gemene deler opleveren waarmee de fractie wordt verminderd.

Beide methoden zijn gelijkwaardig. De student wordt aangemoedigd om ze onder de knie te krijgen en degene te gebruiken die hij het leukst vindt.

Wat als er letters en optel- en aftrekkingsbewerkingen zijn?

Het eerste deel van de vraag is min of meer duidelijk. Letters kunnen net als cijfers worden afgekort. Het belangrijkste is dat ze als vermenigvuldigers fungeren. Maar veel mensen hebben problemen met de tweede.

Belangrijk om te onthouden! Je kunt alleen getallen reduceren die factoren zijn. Als het sommaties zijn, is dat onmogelijk.

Om te begrijpen hoe u fracties van de vorm kunt verkleinen algebraïsche uitdrukking, je moet de regel leren. Druk eerst de teller en de noemer uit als een product. Vervolgens kunt u verminderen als er gemeenschappelijke factoren optreden. Om het in de vorm van vermenigvuldigers weer te geven, zijn de volgende technieken nuttig:

• groepering;
• beugels;
• toepassing van verkorte vermenigvuldigingsidentiteiten.

Bovendien maakt deze laatste methode het mogelijk om de termen onmiddellijk in de vorm van vermenigvuldigers te verkrijgen. Daarom moet het altijd worden gebruikt als een bekend patroon zichtbaar is.

Maar dit is nog niet eng, dan verschijnen er taken met graden en wortels. Dat is het moment waarop je moed moet verzamelen en een paar nieuwe regels moet leren.

Expressie met graad

Fractie. De teller en de noemer vormen het product. Er zijn letters en cijfers. En ze worden ook tot een macht verheven, die ook uit termen of factoren bestaat. Er is iets om bang voor te zijn.

Om te begrijpen hoe je breuken met machten kunt verkleinen, moet je twee dingen leren:

• als de exponent een som bevat, kan deze worden ontleed in factoren, waarvan de machten de oorspronkelijke termen zijn;
• als het verschil het deeltal en de deler is, zal de eerste het minteken van de macht hebben, de tweede de aftrekker.

Na het voltooien van deze stappen worden de totale vermenigvuldigers zichtbaar. In dergelijke voorbeelden is het niet nodig om alle machten te berekenen. Het is voldoende om eenvoudigweg de bevoegdheden te verminderen dezelfde indicatoren en redenen.

Om eindelijk onder de knie te krijgen hoe je breuken met machten kunt verkleinen, heb je veel oefening nodig. Na verschillende vergelijkbare voorbeelden worden acties automatisch uitgevoerd.

Wat moet ik doen als de uitdrukking een wortel bevat?

Het kan ook worden ingekort. Alleen dan weer volgens de regels. Bovendien zijn al die hierboven beschreven waar. Als de vraag is hoe je een breuk met wortels kunt verkleinen, moet je over het algemeen delen.

Het kan ook worden onderverdeeld in irrationele uitdrukkingen. Dat wil zeggen, als de teller en de noemer identieke factoren hebben, omsloten door het teken van de wortel, dan kunnen ze veilig worden gereduceerd. Dit zal de uitdrukking vereenvoudigen en de taak voltooien.

Als na de reductie de irrationaliteit onder de breuklijn blijft, dan moet je er vanaf komen. Met andere woorden, vermenigvuldig de teller en de noemer ermee. Als er na deze operatie gemeenschappelijke factoren optreden, moeten deze opnieuw worden verminderd.

Dat gaat waarschijnlijk allemaal over het verkleinen van breuken. Er zijn weinig regels, maar slechts één verbod. Verkort de termijnen nooit!