De vierkantswortel van een getal extraheren enkele operatie, die met dit wiskundige fenomeen kan worden geproduceerd. Net als gewone cijfers, vierkantswortels optellen en aftrekken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regels voor het optellen en aftrekken van vierkantswortels

Bewerkingen zoals het optellen en aftrekken van vierkantswortels zijn alleen mogelijk als de worteluitdrukking hetzelfde is.

Voorbeeld 1

U kunt uitdrukkingen 2 3 optellen of aftrekken en 6 3, maar niet 5 6 En 9 4. Als het mogelijk is om de uitdrukking te vereenvoudigen en terug te brengen tot wortels met dezelfde wortel, vereenvoudig dan en voeg vervolgens toe of trek af.

Acties met wortels: basis

6 50 - 2 8 + 5 12

Actie-algoritme:

1. Vereenvoudig de radicale uitdrukking. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de radicale uitdrukking op te splitsen in twee factoren, waarvan er één een vierkant getal is (het getal waaruit de hele vierkantswortel wordt geëxtraheerd, bijvoorbeeld 25 of 9).
2. Dan moet je de wortel eruit halen vierkant getal en schrijf de resulterende waarde vóór het wortelteken. Houd er rekening mee dat de tweede factor wordt ingevoerd onder het teken van de wortel.
3. Na het vereenvoudigingsproces is het noodzakelijk om de wortels te benadrukken met dezelfde radicale uitdrukkingen - alleen zij kunnen worden opgeteld en afgetrokken.
4. Voor wortels met dezelfde radicale uitdrukkingen is het noodzakelijk om de factoren die vóór het wortelteken verschijnen op te tellen of af te trekken. De radicale uitdrukking blijft ongewijzigd. Je kunt geen radicale getallen optellen of aftrekken!

Tip 1

Als u een voorbeeld heeft met een groot aantal identieke worteluitdrukkingen, onderstreep dergelijke uitdrukkingen dan met enkele, dubbele en drievoudige lijnen om het berekeningsproces te vergemakkelijken.

Voorbeeld 3

Laten we dit voorbeeld proberen op te lossen:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Eerst moet je 50 ontbinden in 2 factoren 25 en 2, dan de wortel van 25 nemen, wat gelijk is aan 5, en 5 onder de wortel vandaan halen. Hierna moet je 5 bij 6 vermenigvuldigen (de factor in de wortel) en 30 2 krijgen.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Eerst moet je 8 ontbinden in 2 factoren: 4 en 2. Neem vervolgens de wortel van 4, die gelijk is aan 2, en haal er 2 onder de wortel vandaan. Hierna moet je 2 bij 2 vermenigvuldigen (de factor in de wortel) en 4 2 krijgen.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Eerst moet je 12 ontbinden in 2 factoren: 4 en 3. Extraheer vervolgens de wortel van 4, die gelijk is aan 2, en verwijder deze onder de wortel vandaan. Hierna moet je 2 bij 5 vermenigvuldigen (de factor in de wortel) en 10 3 krijgen.

Vereenvoudigingsresultaat: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Als resultaat zagen we hoeveel identieke radicale uitdrukkingen er in zitten in dit voorbeeld. Laten we nu oefenen met andere voorbeelden.

Voorbeeld 4

• Laten we (45) vereenvoudigen. Factor 45: (45) = (9×5) ;
• We halen er 3 onder de wortel vandaan (9 = 3): 45 = 3 5;
• Voeg de factoren bij de wortels toe: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Voorbeeld 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Laten we 6 40 vereenvoudigen. We factoriseren 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• We nemen 2 onder de wortel vandaan (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• We vermenigvuldigen de factoren die voor de wortel verschijnen: 12 10 ;
• We schrijven de uitdrukking in een vereenvoudigde vorm: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Omdat de eerste twee termen dezelfde radicale getallen hebben, kunnen we ze aftrekken: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Voorbeeld 6

Zoals we zien is het niet mogelijk om radicale getallen te vereenvoudigen, dus zoeken we naar termen met dezelfde radicale getallen in het voorbeeld, voeren wiskundige bewerkingen uit (optellen, aftrekken, enz.) en schrijven het resultaat:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Advies:

• Voordat u optelt of aftrekt, is het noodzakelijk om de radicale uitdrukkingen (indien mogelijk) te vereenvoudigen.
• Het optellen en aftrekken van wortels met verschillende radicale uitdrukkingen is ten strengste verboden.
• Je mag geen geheel getal of wortel aftrekken of optellen: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Wanneer u bewerkingen met breuken uitvoert, moet u een getal vinden dat deelbaar is door elke noemer, vervolgens de breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen, vervolgens de tellers optellen en de noemers ongewijzigd laten.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Vierkantswortel van een getal X gebeld nummer A, die zich tijdens het vermenigvuldigen met zichzelf ( A*A) kan een getal geven X.
Die. EEN * EEN = EEN 2 = X, En √X = EEN.

Boven vierkantswortels ( √x), net als andere getallen, kunt u rekenkundige bewerkingen uitvoeren, zoals aftrekken en optellen. Om wortels af te trekken en toe te voegen, moeten ze worden verbonden met behulp van tekens die overeenkomen met deze acties (bijvoorbeeld √x — √j ).
En breng dan de wortels naar hen toe eenvoudigste vorm- als er vergelijkbare tussen hen zijn, is het noodzakelijk om een ​​reductie door te voeren. Het bestaat uit het nemen van de coëfficiënten van soortgelijke termen met de tekens van de overeenkomstige termen, deze vervolgens tussen haakjes te plaatsen en de gemeenschappelijke wortel buiten de haakjes van de factor af te leiden. De coëfficiënt die we hebben verkregen, is vereenvoudigd volgens de gebruikelijke regels.

Stap 1: Vierkantswortels extraheren

Om vierkantswortels toe te voegen, moet je eerst deze wortels extraheren. Dit kan worden gedaan als de getallen onder het wortelteken perfecte vierkanten zijn. Neem bijvoorbeeld de gegeven uitdrukking √4 + √9 . Eerste nummer 4 is het kwadraat van het getal 2 . Tweede nummer 9 is het kwadraat van het getal 3 . We kunnen dus de volgende gelijkheid verkrijgen: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Dat is alles, het voorbeeld is opgelost. Maar dat gebeurt niet altijd zo gemakkelijk.

Stap 2. Haal de vermenigvuldiger van het getal onder de wortel vandaan

Als er geen perfecte vierkanten onder het wortelteken staan, kunt u proberen de vermenigvuldiger van het getal onder het wortelteken te verwijderen. Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking nemen √24 + √54 .

Factor de cijfers:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Te midden van 24 we hebben een vermenigvuldiger 4 , kan het onder het vierkantswortelteken vandaan worden gehaald. Te midden van 54 we hebben een vermenigvuldiger 9 .

We krijgen gelijkheid:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Als we dit voorbeeld in ogenschouw nemen, verkrijgen we de verwijdering van de vermenigvuldiger onder het wortelteken, waardoor de gegeven uitdrukking wordt vereenvoudigd.

Stap 3: De noemer verkleinen

Beschouw de volgende situatie: de som van twee vierkantswortels is de noemer van de breuk, bijvoorbeeld A/(√a + √b).
Nu staan ​​we voor de taak om ‘de irrationaliteit in de noemer weg te werken’.
Laten we de volgende methode gebruiken: vermenigvuldig de teller en de noemer van de breuk met de uitdrukking √a - √b.

We krijgen nu de verkorte vermenigvuldigingsformule in de noemer:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Op dezelfde manier, als de noemer een wortelverschil heeft: √a - √b, worden de teller en de noemer van de breuk vermenigvuldigd met de uitdrukking √a + √b.

Laten we de breuk als voorbeeld nemen:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Voorbeeld van complexe noemerreductie

Laten we nu genoeg overwegen complex voorbeeld het wegwerken van irrationaliteit in de noemer.

Laten we bijvoorbeeld een breuk nemen: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Je moet de teller en de noemer nemen en vermenigvuldigen met de uitdrukking √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Stap 4. Bereken de geschatte waarde op de rekenmachine

Als u alleen een geschatte waarde nodig heeft, kunt u dit op een rekenmachine doen door de waarde van de vierkantswortels te berekenen. Voor elk getal wordt de waarde afzonderlijk berekend en met de vereiste nauwkeurigheid opgeschreven, die wordt bepaald door het aantal decimalen. Vervolgens worden alle vereiste bewerkingen uitgevoerd, zoals bij gewone getallen.

Voorbeeld van het berekenen van een geschatte waarde

Het is noodzakelijk om de geschatte waarde van deze uitdrukking te berekenen √7 + √5 .

Als resultaat krijgen we:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Let op: je mag in geen geval vierkantswortels als priemgetallen toevoegen; dit is volkomen onaanvaardbaar. Dat wil zeggen, als we de vierkantswortel van vijf en de vierkantswortel van drie optellen, kunnen we niet de vierkantswortel van acht krijgen.

Handig advies: als u besluit een getal in factoren te ontbinden, moet u, om het kwadraat van onder het wortelteken af ​​te leiden, een omgekeerde controle uitvoeren, dat wil zeggen alle factoren vermenigvuldigen die uit de berekeningen voortkwamen, en het eindresultaat hiervan wiskundige berekening zou het getal moeten zijn dat ons oorspronkelijk werd gegeven.

Regels voor het aftrekken van wortels

1. De wortel van een graad uit een product van niet-negatieve getallen is gelijk aan het product van wortels van dezelfde graad uit factoren: waar (de regel voor het extraheren van een wortel uit een product).

2. Als , dan y (de regel voor het extraheren van de wortel van een breuk).

3. Als dan (de regel voor het extraheren van een wortel uit een wortel).

4. Als dan de regel voor het verheffen van de wortel tot een macht).

5. Als dan, d.w.z. de exponent van de wortel en de exponent van de worteluitdrukking met hetzelfde getal kunnen worden vermenigvuldigd.

6. Als dan 0 is, d.w.z. een grotere positieve radicaaluitdrukking komt overeen met een grotere waarde van de wortel.

7. Alle bovenstaande formules worden vaak in omgekeerde volgorde toegepast (dat wil zeggen van rechts naar links). Bijvoorbeeld,

(regel van vermenigvuldiging van wortels);

(regel van wortelverdeling);

8. De regel voor het verwijderen van de vermenigvuldiger onder het wortelteken. Bij

9. Het omgekeerde probleem is het introduceren van een vermenigvuldiger onder het teken van de wortel. Bijvoorbeeld,

10. Eliminatie van irrationaliteit in de noemer van een breuk.

Laten we eens kijken naar enkele typische gevallen.

• Betekenis van het woord Leg de betekenis uit van de woorden: wet, woekeraar, slavenschuldenaar. Leg de betekenis uit van de woorden: wet, woekeraar, slavenschuldenaar. HEERLIJKE AARDBEIEN (Gast)scholen Vragen over het onderwerp 1. Welke 3 soorten kunnen worden onderverdeeld […]
• Heb je toestemming nodig om een ​​radio in een auto te gebruiken? waar kan ik het lezen? U moet uw radiostation in ieder geval registreren. Walkietalkies die werken op een frequentie van 462 MHz zijn, als u geen vertegenwoordiger bent van het Ministerie van Binnenlandse Zaken, geen […]
• Enkelvoudig belastingtarief - 2018 Het enkelvoudige belastingtarief - 2018 voor ondernemers-individuen van de eerste en tweede groep wordt berekend als een percentage van de kosten van levensonderhoud en het minimumloon vastgesteld vanaf 1 januari […]
• Avto verzekering GARANTIE VAN WETTIGHEID. Heeft u besloten zelf een OSAGO e-mailadres aan te maken, maar komt er niets uit? Geen paniek! !!Ik zal alle benodigde gegevens voor u in de elektronische verzekeringsaanvraag invoeren […]
• De procedure voor het berekenen en betalen van accijnzen Accijnzen zijn een van de indirecte belastingen op goederen en diensten, die in de kosten ervan zijn inbegrepen. Accijnzen verschillen van BTW doordat zij worden geheven op […]
• Sollicitatie. Regels voor landgebruik en ontwikkeling van de stad Rostov aan de Don Bijlage bij het besluit van de stadsdoema van 17 juni 2008 N 405 Regels voor landgebruik en ontwikkeling van de stad Rostov aan de Don Zoals gewijzigd en [… ]

Bijvoorbeeld,

11. Toepassing van verkorte vermenigvuldigingsidentiteiten op bewerkingen met rekenkundige wortels:

12. De factor vóór de wortel wordt de coëfficiënt genoemd. Hier is bijvoorbeeld 3 de coëfficiënt.

13. Wortels (radicalen) worden vergelijkbaar genoemd als ze dat hebben dezelfde indicatoren wortels en dezelfde radicale uitdrukkingen, maar verschillen alleen in de coëfficiënt. Om te beoordelen of deze wortels (radicalen) op elkaar lijken of niet, moet je ze terugbrengen tot hun eenvoudigste vorm.

Bijvoorbeeld, en zijn vergelijkbaar, sindsdien

OEFENINGEN MET OPLOSSINGEN

1. Vereenvoudig uitdrukkingen:

Oplossing. 1) Het heeft geen zin om de worteluitdrukking te vermenigvuldigen, aangezien elk van de factoren het kwadraat van een geheel getal vertegenwoordigt. Laten we de regel gebruiken voor het extraheren van de root van een product:

In de toekomst zullen we dergelijke acties mondeling uitvoeren.

2) Laten we, indien mogelijk, proberen de radicale uitdrukking voor te stellen als een product van factoren, waarvan elk de derde macht is van een geheel getal, en de regel over de wortel van het product toepassen:

2. Zoek de waarde van de uitdrukking:

Oplossing. 1) Volgens de regel voor het extraheren van de wortel van een breuk hebben we:

3) Transformeer de radicale uitdrukkingen en extraheer de wortel:

3. Vereenvoudig wanneer

Oplossing. Bij het extraheren van een wortel uit een wortel worden de indicatoren van de wortels vermenigvuldigd, maar de radicale uitdrukking blijft ongewijzigd

Als er een coëfficiënt vóór de wortel staat die zich onder de wortel bevindt, voer dan voordat u de bewerking van het extraheren van de wortel uitvoert, deze coëfficiënt in onder het teken van de radicaal waarvoor deze verschijnt.

Laten we op basis van de bovenstaande regels de laatste twee wortels extraheren:

4. Verhef tot een macht:

Oplossing. Wanneer je een wortel tot een macht verheft, blijft de exponent van de wortel ongewijzigd en worden de exponenten van de worteluitdrukking vermenigvuldigd met de exponent.

(sindsdien gedefinieerd, dan);

Als een bepaalde wortel een coëfficiënt heeft, wordt deze coëfficiënt afzonderlijk tot een macht verheven en wordt het resultaat geschreven als de coëfficiënt van de wortel.

Hier hebben we de regel gebruikt dat de indicator van de wortel en de indicator van de worteluitdrukking met hetzelfde getal kunnen worden vermenigvuldigd (we vermenigvuldigd met, d.w.z. gedeeld door 2).

Bijvoorbeeld, of

4) De uitdrukking tussen haakjes, die de som van twee verschillende radicalen weergeeft, is in de kubusvorm en vereenvoudigd:

Aangezien we:

5. Elimineer irrationaliteit in de noemer:

Oplossing. Om de irrationaliteit in de noemer van een breuk te elimineren (vernietigen), moet je de eenvoudigste uitdrukking vinden, die in een product met een noemer een rationele uitdrukking oplevert, en de teller en de noemer van deze breuk vermenigvuldigen met de gevonden factor.

Als de noemer van een breuk bijvoorbeeld een binomiaal bevat, moeten de teller en de noemer van de breuk worden vermenigvuldigd met de uitdrukking die is geconjugeerd aan de noemer, dat wil zeggen dat de som moet worden vermenigvuldigd met het overeenkomstige verschil en omgekeerd.

Meer moeilijke gevallen Ze vernietigen de irrationaliteit niet onmiddellijk, maar in verschillende stappen.

1) De expressie moet bevatten

Als we de teller en de noemer van de breuk vermenigvuldigen met, krijgen we:

2) Door de teller en de noemer van de breuk te vermenigvuldigen met het gedeeltelijke kwadraat van de som, krijgen we:

3) Laten we de breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Bij het oplossen van dit voorbeeld moeten we er rekening mee houden dat elke breuk een betekenis heeft, dat wil zeggen dat de noemer van elke breuk niet nul is. Daarnaast,

Bij het converteren van uitdrukkingen die radicalen bevatten, worden vaak fouten gemaakt. Ze worden veroorzaakt door het onvermogen om het concept (definitie) van een rekenkundige wortel en absolute waarde correct toe te passen.

Regels voor het aftrekken van wortels

Bereken de waarde van een uitdrukking

Oplossing.

Uitleg.
Om de radicale uitdrukking te laten verdwijnen, stel je het getal 31 in de tweede factor in zijn radicale uitdrukking voor als de som van 15+16. (regel 2)

Na de transformatie is het duidelijk dat de som in de tweede worteluitdrukking kan worden weergegeven als het kwadraat van de som met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformules. (regel 3)

Stel je nu elke wortel voor van dit werk zoals een diploma. (regel 4)

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen (regel 5)

Omdat de graad van het product gelijk is aan het product van de graden van elk van de factoren, geven we het dienovereenkomstig weer (regel 6)

Zoals je kunt zien, hebben we met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformules het verschil tussen de kwadraten van twee getallen. Van daaruit berekenen we de waarde van de uitdrukking (regel 7)

Bereken de waarde van de uitdrukking.

Oplossing.

Uitleg.

We gebruiken de eigenschappen van de wortel dat de wortel van een willekeurige macht van een quotiënt van getallen gelijk is aan het quotiënt van de wortels van deze getallen (regel 2)

De wortel van een willekeurige macht van een getal van dezelfde macht is gelijk aan dit getal (regel 3)

Laten we de min uit de haakjes van de eerste factor halen. In dit geval veranderen alle tekens binnen de haak naar het tegenovergestelde (regel 4)

Laten we breukreductie uitvoeren (regel 5)

Laten we ons het getal 729 voorstellen als het kwadraat van het getal 27, en het getal 27 als de derde macht van het getal 3. Van daaruit krijgen we de waarde van de worteluitdrukking.

Vierkantswortel. Instapniveau.

Wil je je kracht testen en erachter komen hoe klaar je bent voor het Unified State Exam of Unified State Exam?

1. Inleiding tot het concept van rekenkundige vierkantswortel

De vierkantswortel (rekenkundige vierkantswortel) van een niet-negatief getal is zo'n niet-negatief negatief getal, waarvan het kwadraat gelijk is aan.
.

Het getal of de uitdrukking onder het wortelteken moet niet-negatief zijn

2. Tabel met vierkanten

3. Eigenschappen van rekenkundige vierkantswortel

Inleiding tot het concept van rekenkundige vierkantswortel

Laten we proberen erachter te komen wat voor soort concept deze 'wortel' is en 'waarmee hij wordt gegeten'. Laten we, om dit te doen, eens kijken naar voorbeelden die u al in de klas bent tegengekomen (nou ja, of u staat op het punt dit tegen te komen).

We hebben bijvoorbeeld een vergelijking. Wat is de oplossing van deze vergelijking? Welke getallen kunnen worden gekwadrateerd en verkregen? Als je de tafel van vermenigvuldiging onthoudt, kun je gemakkelijk het antwoord geven: en (als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, krijg je tenslotte een positief getal)! Ter vereenvoudiging introduceerden wiskundigen een speciaal concept van de vierkantswortel en gaven deze een speciaal symbool.

Laten we de rekenkundige vierkantswortel definiëren.

Waarom moet het getal niet-negatief zijn? Waar is het bijvoorbeeld gelijk aan? Nou ja, laten we proberen er één uit te kiezen. Misschien drie? Laten we eens kijken: , niet. Misschien, ? Opnieuw controleren wij: . Nou, het past niet? Dit is te verwachten, want er zijn geen getallen die, wanneer ze worden gekwadrateerd, een negatief getal opleveren!

Je hebt echter waarschijnlijk al gemerkt dat de definitie zegt dat de oplossing van de vierkantswortel van “een getal een niet-negatief getal is waarvan het kwadraat gelijk is aan .” En helemaal aan het begin hebben we het voorbeeld geanalyseerd, getallen geselecteerd die kunnen worden gekwadrateerd en verkregen, het antwoord was en, maar hier hebben we het over een soort "niet-negatief getal"! Deze opmerking is zeer terecht. Hier hoeft u alleen maar onderscheid te maken tussen de concepten van kwadratische vergelijkingen en de rekenkundige vierkantswortel van een getal. Is bijvoorbeeld niet gelijk aan de uitdrukking.

En daar volgt het uit.

Dit is natuurlijk erg verwarrend, maar het is noodzakelijk om te onthouden dat de tekens het resultaat zijn van het oplossen van de vergelijking, omdat we bij het oplossen van de vergelijking alle X-en moeten opschrijven, die, wanneer ze in de oorspronkelijke vergelijking worden vervangen, de uitkomst zullen geven juiste resultaat. Beide passen in onze kwadratische vergelijking.

Echter, als je simpelweg de wortel van iets neemt, krijg je altijd één niet-negatief resultaat.

Probeer nu deze vergelijking op te lossen. Alles is niet meer zo eenvoudig en soepel, toch? Probeer de cijfers eens door te nemen, misschien komt er iets uit?

Laten we bij het begin beginnen - helemaal opnieuw: - past niet, ga verder; – minder dan drie, we wijzen het ook af, maar wat als? Laten we eens kijken: – past ook niet, omdat dat zijn er meer dan drie. Het is hetzelfde verhaal met negatieve getallen. Dus wat moeten we nu doen? Heeft de zoektocht werkelijk niets opgeleverd? Helemaal niet, nu weten we zeker dat het antwoord een getal tussen en zal zijn, maar ook tussen en. Bovendien zullen de oplossingen uiteraard geen gehele getallen zijn. Bovendien zijn ze niet rationeel. Dus wat nu? Laten we de functie grafisch weergeven en de oplossingen erop markeren.

Laten we proberen het systeem voor de gek te houden en het antwoord te vinden met behulp van een rekenmachine! Laten we de wortel eruit halen! Oh-oh-oh, het blijkt dat dit aantal nooit eindigt. Hoe kun je dit onthouden, aangezien er geen rekenmachine op het examen staat!? Alles is heel eenvoudig, u hoeft het niet te onthouden, u hoeft alleen maar de geschatte waarde te onthouden (of snel te kunnen schatten). en de antwoorden zelf. Dergelijke getallen worden irrationeel genoemd; om het schrijven van zulke getallen te vereenvoudigen werd het concept van een vierkantswortel geïntroduceerd.
Laten we naar een ander voorbeeld kijken om dit te versterken. Laten we eens kijken naar het volgende probleem: je moet een vierkant veld oversteken met een zijde van km diagonaal, hoeveel km moet je afleggen?

Het meest voor de hand liggende is om de driehoek afzonderlijk te beschouwen en de stelling van Pythagoras te gebruiken: . Dus, . Wat is hier de vereiste afstand? Uiteraard kan de afstand niet negatief zijn, dat begrijpen we. De wortel van twee is ongeveer gelijk, maar, zoals we eerder opmerkten, - is al een volledig antwoord.

Wortelextractie

Om voorbeelden met wortels op te lossen zonder problemen te veroorzaken, moet je ze zien en herkennen. Om dit te doen, moet je in ieder geval de kwadraten van getallen van tot kennen en ze ook kunnen herkennen.

Dat wil zeggen, je moet weten wat gelijk is aan een vierkant, en omgekeerd ook, wat gelijk is aan een vierkant. In eerste instantie zal deze tabel u helpen bij het extraheren van de wortel.

Zodra je voldoende voorbeelden hebt opgelost, verdwijnt de behoefte eraan automatisch.
Probeer zelf de wortel te vinden van de volgende uitdrukkingen:

Hoe is het afgelopen? Laten we nu eens naar deze voorbeelden kijken:

Eigenschappen van rekenkundige vierkantswortel

Nu je weet hoe je wortels moet extraheren, is het tijd om meer te leren over de eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel. Er zijn er maar 3:

• vermenigvuldiging;
• divisie;
• machtsverheffen.

Ze zijn gewoon heel gemakkelijk te onthouden met behulp van deze tabel en natuurlijk training:

Hoe te beslissen
kwadratische vergelijkingen

In eerdere lessen hebben we gekeken naar 'Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen', dat wil zeggen vergelijkingen van de eerste graad. In deze les gaan we kijken wat een kwadratische vergelijking wordt genoemd en hoe je het kunt oplossen.

Wat is een kwadratische vergelijking?

De graad van de vergelijking wordt bepaald door in de grootste mate, die het onbekende bevat.

Als de maximale macht waarin het onbekende “2” is, dan heb je een kwadratische vergelijking.

Voorbeelden van kwadratische vergelijkingen

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Om “a”, “b” en “c” te vinden, moet je je vergelijking vergelijken met de algemene vorm van de kwadratische vergelijking “ax 2 + bx + c = 0”.

Laten we oefenen met het identificeren van de coëfficiënten "a", "b" en "c" in kwadratische vergelijkingen.

• een = 5
• b = −14
• c = 17

• a = −7
• b = −13
• c = 8

• een = −1
• b = 1

• een = 1
• b=0,25
• c = 0

• een = 1
• b = 0
• c = −8

Hoe kwadratische vergelijkingen op te lossen

In tegenstelling tot lineaire vergelijkingen om kwadratische vergelijkingen op te lossen, een special formule voor het vinden van wortels.

Om een ​​kwadratische vergelijking op te lossen heb je nodig:

• reduceer de kwadratische vergelijking tot algemene uitstraling"bijl 2 + bx + c = 0". Dat wil zeggen dat alleen “0” aan de rechterkant mag blijven;
• gebruik formule voor wortels:

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van hoe u de formule kunt gebruiken om de wortels van een kwadratische vergelijking te vinden. Laten we een kwadratische vergelijking oplossen.

De vergelijking “x 2 − 3x − 4 = 0” is al teruggebracht tot de algemene vorm “ax 2 + bx + c = 0” en vereist geen verdere vereenvoudigingen. Om het op te lossen, hoeven we alleen maar een aanvraag in te dienen formule voor het vinden van de wortels van een kwadratische vergelijking.

Laten we de coëfficiënten "a", "b" en "c" voor deze vergelijking bepalen.

• een = 1
• b = −3
• c = −4

Laten we ze in de formule vervangen en de wortels vinden.

Zorg ervoor dat u de formule voor het vinden van wortels onthoudt.

Het kan worden gebruikt om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Laten we eens kijken naar een ander voorbeeld van een kwadratische vergelijking.

In deze vorm is het vrij moeilijk om de coëfficiënten "a", "b" en "c" te bepalen. Laten we eerst de vergelijking reduceren tot de algemene vorm “ax 2 + bx + c = 0”.

Nu kunt u de formule voor de wortels gebruiken.

Er zijn momenten waarop kwadratische vergelijkingen geen wortels hebben. Deze situatie doet zich voor wanneer de formule een negatief getal onder de wortel bevat.

We herinneren ons uit de definitie van een vierkantswortel dat het onmogelijk is om de vierkantswortel van een negatief getal te nemen.

Beschouw een voorbeeld van een kwadratische vergelijking zonder wortels.

We hebben dus een situatie waarin de wortel een negatief getal heeft. Dit betekent dat de vergelijking geen wortels heeft. Daarom schreven we als antwoord: “Er zijn geen echte wortels.”

Wat betekenen de woorden ‘geen echte wortels’? Waarom kun je niet gewoon "geen wortels" schrijven?

In feite zijn er wortels in dergelijke gevallen, maar binnen het raamwerk schoolcurriculum ze kunnen niet worden doorgegeven, dus als antwoord schrijven we op dat er geen wortels zijn tussen de reële getallen. Met andere woorden: "Er zijn geen echte wortels."

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Soms zijn er kwadratische vergelijkingen waarin de coëfficiënten “b” en/of “c” expliciet ontbreken. In deze vergelijking geldt bijvoorbeeld:

Dergelijke vergelijkingen worden onvolledig genoemd kwadratische vergelijkingen. Hoe je ze oplost, wordt besproken in de les “Onvolledige kwadratische vergelijkingen”.

Optellen en aftrekken van wortels- een van de meest voorkomende “struikelblokken” voor degenen die wiskunde (algebra) cursussen volgen op de middelbare school. Het is echter erg belangrijk om ze correct te leren optellen en aftrekken, omdat voorbeelden over de som of het verschil van wortels zijn opgenomen in het programma van de basis Unified Staatsexamen in de discipline "wiskunde".

Om het oplossen van dergelijke voorbeelden onder de knie te krijgen, heb je twee dingen nodig: de regels begrijpen, en ook oefenen. Nadat hij een of twee dozijn typische voorbeelden heeft opgelost, zal de student deze vaardigheid automatiseren, en dan zal hij niets meer te vrezen hebben op het Unified State Exam. Het wordt aanbevolen om rekenkundige bewerkingen met optellen onder de knie te krijgen, omdat het optellen iets gemakkelijker is dan het aftrekken ervan.

De eenvoudigste manier om dit uit te leggen is door de vierkantswortel als voorbeeld te gebruiken. In de wiskunde bestaat er een gevestigde term ‘kwadrateren’. ‘Kwadrateren’ betekent het één keer vermenigvuldigen van een specifiek getal met zichzelf.. Als je bijvoorbeeld het kwadraat van 2 neemt, krijg je 4. Als je het kwadraat van 7 neemt, krijg je 49. Het kwadraat van 9 is 81. Dus de wortel van 4 is 2, van 49 is 7, en van 81 is 9.

In de regel begint het onderwijzen van dit onderwerp in de wiskunde met vierkantswortels. Om dit onmiddellijk te bepalen, moet de student middelbare school moet de tafel van vermenigvuldiging uit zijn hoofd kennen. Degenen die deze tabel niet goed kennen, moeten hints gebruiken. Meestal wordt het proces van het extraheren van het wortelvierkant van een getal gegeven in de vorm van een tabel op de omslagen van veel wiskundeschriften op school.

Wortels zijn van de volgende typen:

• vierkant;
• kubisch (of zogenaamde derde graad);
• vierde graad;
• vijfde graad.

Toevoegingsregels

Om een ​​typisch voorbeeld met succes op te lossen, is het noodzakelijk om in gedachten te houden dat niet alle wortelgetallen bestaan kunnen met elkaar gestapeld worden. Om ze samen te kunnen stellen, moeten ze tot één patroon worden gebracht. Als dit onmogelijk is, heeft het probleem geen oplossing. Dergelijke problemen worden ook vaak in wiskundeboeken aangetroffen als een soort valkuil voor leerlingen.

Optelling is niet toegestaan ​​bij taken waarbij de radicale uitdrukkingen van elkaar verschillen. Dit kan worden geïllustreerd met een duidelijk voorbeeld:

• De leerling staat voor de taak: tel de wortel van 4 en 9 op;
• een onervaren student die de regel niet kent, schrijft meestal: “wortel van 4 + wortel van 9 = wortel van 13.”
• Het is heel gemakkelijk om te bewijzen dat deze oplossing onjuist is. Om dit te doen, moet je de vierkantswortel van 13 vinden en controleren of het voorbeeld correct is opgelost;
• met behulp van een microcalculator kun je bepalen dat het ongeveer 3,6 is. Nu hoeft u alleen nog maar de oplossing te controleren;
• wortel van 4=2, en wortel van 9=3;
• De som van de getallen ‘twee’ en ‘drie’ is gelijk aan vijf. Dus, dit algoritme beslissingen kunnen als onjuist worden beschouwd.

Als de wortels dat hebben dezelfde graad, maar anders numerieke uitdrukkingen, wordt het uit de haakjes gehaald en tussen haakjes gezet som van twee radicale uitdrukkingen. Het is dus al uit dit bedrag gehaald.

Toevoeging algoritme

Om het eenvoudigste probleem correct op te lossen, moet u:

1. Bepaal wat precies moet worden toegevoegd.
2. Ontdek of het mogelijk is om waarden aan elkaar toe te voegen, geleid door bestaande regels in de wiskunde.
3. Als ze niet opvouwbaar zijn, moet je ze transformeren zodat ze kunnen worden opgevouwen.
4. Nadat u alle noodzakelijke transformaties heeft uitgevoerd, moet u de optelling uitvoeren en het voltooide antwoord opschrijven. U kunt de optelling in uw hoofd uitvoeren of een microcalculator gebruiken, afhankelijk van de complexiteit van het voorbeeld.

Wat zijn vergelijkbare wortels

Om een ​​optelvoorbeeld correct op te lossen, moet je eerst nadenken over hoe je het kunt vereenvoudigen. Om dit te doen, moet je basiskennis hebben van wat gelijkenis is.

De mogelijkheid om vergelijkbare voorbeelden te identificeren helpt om vergelijkbare toevoegingsvoorbeelden snel op te lossen, waardoor ze in een vereenvoudigde vorm worden gebracht. Om een ​​typisch optelvoorbeeld te vereenvoudigen, moet u:

1. Zoek soortgelijke en scheid ze in één groep (of meerdere groepen).
2. Herschrijf het bestaande voorbeeld zo dat de wortels die dezelfde indicator hebben elkaar duidelijk volgen (dit wordt “groeperen” genoemd).
3. Vervolgens moet je de uitdrukking opnieuw schrijven, dit keer op zo'n manier dat soortgelijke uitdrukkingen (die dezelfde indicator en dezelfde wortelfiguur hebben) elkaar ook volgen.

Zodra dit is gebeurd, is het vereenvoudigde voorbeeld meestal eenvoudig op te lossen.

Om elk optellingsvoorbeeld correct op te lossen, moet je de basisregels voor optelling duidelijk begrijpen, en ook weten wat een wortel is en wat deze kan zijn.

Soms lijken dergelijke problemen op het eerste gezicht erg moeilijk, maar meestal kunnen ze gemakkelijk worden opgelost door soortgelijke problemen te groeperen. Het allerbelangrijkste is oefenen, en dan zal de leerling ‘problemen als noten gaan kraken’. Het toevoegen van wortels is een van de belangrijkste onderdelen van de wiskunde, dus leraren moeten er voldoende tijd aan besteden.

Video

Deze video helpt je vergelijkingen met vierkantswortels te begrijpen.

De vierkantswortel van een getal x is een getal a, dat, vermenigvuldigd met zichzelf, het getal x oplevert: a * a = a^2 = x, ?x = a. Zoals bij alle getallen kunt u rekenkundige bewerkingen van optellen en aftrekken uitvoeren met vierkantswortels.

Instructies

1. Probeer eerst bij het toevoegen van vierkantswortels die wortels te extraheren. Dit is acceptabel als de getallen onder het wortelteken perfecte vierkanten zijn. Laten we zeggen dat de gegeven uitdrukking ?4 + ?9 is. Het eerste getal 4 is het kwadraat van het getal 2. Het tweede getal 9 is het kwadraat van het getal 3. Zo blijkt: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Als er geen volledige vierkanten onder het wortelteken staan, probeer dan de vermenigvuldiger van het getal onder het wortelteken te verplaatsen. Laten we zeggen dat de uitdrukking is gegeven:?24 +?54. Ontbind de getallen in factoren: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Het getal 24 heeft een factor 4, degene die kan worden overgedragen van onder het vierkantswortelteken. Het getal 54 heeft een factor 9. Het blijkt dus dat: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . In dit voorbeeld was het, als resultaat van het verwijderen van de vermenigvuldiger onder het wortelteken, mogelijk om de gegeven uitdrukking te vereenvoudigen.

3. Laat de som van 2 vierkantswortels de noemer zijn van een breuk, bijvoorbeeld A / (?a + ?b). En laat het jouw taak zijn ‘om zich te ontdoen van de irrationaliteit in de noemer’. Dan kunt u de volgende methode gebruiken. Vermenigvuldig de teller en de noemer van de breuk met de uitdrukking ?a - ?b. De noemer zal dus de verkorte vermenigvuldigingsformule bevatten: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Naar analogie, als het verschil tussen de wortels wordt gegeven in de noemer: ?a - ?b, dan moeten de teller en de noemer van de breuk worden vermenigvuldigd met de uitdrukking ?a + ?b. Stel bijvoorbeeld dat de breuk 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Beschouw een complexer voorbeeld van het wegwerken van irrationaliteit in de noemer. Laat de breuk 12 / (?2 + ?3 + ?5) gegeven worden. U moet de teller en de noemer van de breuk vermenigvuldigen met de uitdrukking?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. En tot slot, als u slechts een geschatte waarde nodig heeft, kunt u de vierkantswortels berekenen met een rekenmachine. Bereken de waarden afzonderlijk voor het gehele getal en noteer deze met de vereiste nauwkeurigheid (bijvoorbeeld twee decimalen). En voer daarna de vereiste rekenkundige bewerkingen uit, zoals bij gewone cijfers. Stel dat u de geschatte waarde van de uitdrukking ?7 + ?5 ? moet weten. 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video over het onderwerp

Let op!
In geen geval kunnen vierkantswortels als primitieve getallen worden opgeteld, d.w.z. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Nuttig advies
Als u een getal in factoren ontbindt om het vierkant onder het wortelteken te verplaatsen, voer dan de omgekeerde controle uit: vermenigvuldig alle resulterende factoren en verkrijg het oorspronkelijke getal.

Inhoud:

Je kunt alleen vierkantswortels optellen en aftrekken als ze dezelfde worteluitdrukking hebben, dat wil zeggen: je kunt 2√3 en 4√3 optellen of aftrekken, maar niet 2√3 en 2√5. Je kunt worteluitdrukkingen vereenvoudigen door ze terug te brengen tot wortels met dezelfde worteluitdrukkingen (en deze vervolgens op te tellen of af te trekken).

Stappen

Deel 1 De basis begrijpen

1. 1 (uitdrukking onder het wortelteken). Om dit te doen, ontbindt u het wortelgetal in twee factoren, waarvan er één een kwadraatgetal is (een getal waaruit u een hele wortel kunt nemen, bijvoorbeeld 25 of 9). Extraheer hierna de wortel van het kwadraat en schrijf de gevonden waarde vóór het wortelteken (de tweede factor blijft onder het wortelteken). Bijvoorbeeld 6√50 - 2√8 + 5√12. De getallen vóór het wortelteken zijn de factoren van de overeenkomstige wortels, en de getallen onder het wortelteken zijn radicale getallen (uitdrukkingen). U kunt dit probleem als volgt oplossen:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Hier factoreer je 50 in de factoren 25 en 2; dan haal je uit 25 de wortel gelijk aan 5, en haal je 5 onder de wortel vandaan. Vermenigvuldig vervolgens 5 met 6 (de vermenigvuldiger in de wortel) en krijg 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Hier factoreer je 8 in de factoren 4 en 2; dan neem je vanaf 4 de wortel gelijk aan 2, en haal je 2 onder de wortel vandaan. Vermenigvuldig vervolgens 2 met 2 (de factor in de wortel) en krijg 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Hier factoreer je 12 in de factoren 4 en 3; dan neem je vanaf 4 de wortel gelijk aan 2, en haal je 2 onder de wortel vandaan. Vervolgens vermenigvuldig je 2 met 5 (de vermenigvuldiger in de wortel) en je krijgt 10√3.
2. 2 Onderstreep de wortels waarvan de radicale uitdrukkingen hetzelfde zijn. In ons voorbeeld ziet de vereenvoudigde uitdrukking er als volgt uit: 30√2 - 4√2 + 10√3. Daarin moet je de eerste en tweede term onderstrepen ( 30√2 En 4√2 ), omdat ze hetzelfde wortelgetal 2 hebben. Alleen zulke wortels kun je optellen en aftrekken.
3. 3 Als u een uitdrukking krijgt met een groot aantal termen, waarvan vele dezelfde radicale uitdrukkingen hebben, gebruik dan enkele, dubbele of drievoudige onderstrepingstekens om dergelijke termen aan te duiden, zodat het oplossen van de uitdrukking gemakkelijker wordt.
4. 4 Voor wortels waarvan de worteluitdrukkingen hetzelfde zijn, telt u de factoren vóór het wortelteken op of trekt u ze af, en laat u de worteluitdrukking hetzelfde (geen wortelgetallen optellen of aftrekken!). Het idee is om te laten zien hoeveel wortels met een bepaalde radicale uitdrukking in een bepaalde uitdrukking voorkomen.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Deel 2 Laten we oefenen met voorbeelden

1. 1 Voorbeeld 1: √(45) + 4√5.
   • Vereenvoudig √(45). Factor 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Haal 3 onder de wortel vandaan (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Voeg nu de factoren bij de wortels toe: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Voorbeeld 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Vereenvoudig 6√(40). Factor 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Neem 2 onder de wortel vandaan (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Vermenigvuldig de factoren vóór de wortel en krijg 12√10.
   • Nu kan de uitdrukking worden geschreven als 12√10 - 3√(10) + √5. Omdat de eerste twee termen hetzelfde wortelteken hebben, kun je de tweede term van de eerste aftrekken en de eerste ongewijzigd laten.
   • Je krijgt: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Voorbeeld 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Hier kan geen van de radicale uitdrukkingen in factoren worden ontbonden, dus deze uitdrukking kan niet worden vereenvoudigd. Je kunt de derde term van de eerste aftrekken (aangezien ze dezelfde radicalen hebben) en de tweede term ongewijzigd laten. Je krijgt dan: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Voorbeeld 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Nu kun je eenvoudig 3 + 2 optellen om 5 te krijgen.
   • Eindantwoord: 5 - 3√2.
5. 5 Voorbeeld 5. Los een uitdrukking op die wortels en breuken bevat. Je kunt alleen breuken optellen en berekenen die een gemeenschappelijke (dezelfde) noemer hebben. De uitdrukking (√2)/4 + (√2)/2 wordt gegeven.
   • Zoek de kleinste gemene deler van deze breuken. Dit is een getal dat deelbaar is door elke noemer. In ons voorbeeld is het getal 4 deelbaar door 4 en 2.
   • Vermenigvuldig nu de tweede breuk met 2/2 (om deze tot een gemeenschappelijke noemer te brengen; de eerste breuk is hier al tot gereduceerd): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Voeg de tellers van de breuken toe en laat de noemer hetzelfde: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Zorg ervoor dat u (indien mogelijk) de worteluitdrukkingen vereenvoudigt voordat u wortels optelt of aftrekt.

Waarschuwingen

• Voeg nooit wortels toe of trek ze niet af met verschillende radicale uitdrukkingen.
• Som of trek nooit een geheel getal en een wortel af, b.v. 3 + (2x) 1/2 .
  • Opmerking: "x" tot de tweede macht en de vierkantswortel van "x" zijn hetzelfde (dat wil zeggen x 1/2 = √x).