Het lijkt erop dat het omzetten van een decimale breuk in een regelmatige breuk een elementair onderwerp is, maar veel studenten begrijpen het niet! Daarom zullen we vandaag gedetailleerd kijken naar verschillende algoritmen tegelijk, met behulp waarvan je eventuele breuken in slechts een seconde zult begrijpen.

Laat me je eraan herinneren dat er minstens twee manieren zijn om dezelfde breuk te schrijven: gewone en decimale. Decimale breuken zijn allerlei constructies van de vorm 0,75; 1,33; en zelfs −7,41. Hier zijn voorbeelden van gewone breuken die dezelfde getallen uitdrukken:

Laten we het nu eens uitzoeken: hoe kunnen we van decimale notatie naar reguliere notatie gaan? En vooral: hoe doe je dit zo snel mogelijk?

Basisalgoritme

In feite zijn er minstens twee algoritmen. En we zullen nu naar beide kijken. Laten we beginnen met de eerste: de eenvoudigste en meest begrijpelijke.

Om een ​​decimaal naar een breuk om te zetten, moet je drie stappen volgen:

Belangrijke opmerking over negatieve getallen. Als er in het originele voorbeeld een minteken voor de decimale breuk staat, dan moet er in de uitvoer ook een minteken voor de gewone breuk staan. Hier zijn nog enkele voorbeelden:

Aan het laatste voorbeeld wil ik bijzondere aandacht besteden. Zoals je ziet bevat de breuk 0,0025 veel nullen achter de komma. Daarom moet je de teller en de noemer maar liefst vier keer met 10 vermenigvuldigen. Is het in dit geval mogelijk om het algoritme op de een of andere manier te vereenvoudigen?

Natuurlijk kan dat. En nu zullen we naar een alternatief algoritme kijken - het is iets moeilijker te begrijpen, maar na een beetje oefenen werkt het veel sneller dan het standaardalgoritme.

Snellere manier

IN dit algoritme ook 3 stappen. Ga als volgt te werk om een ​​breuk uit een decimaal getal te halen:

1. Tel hoeveel cijfers er achter de komma staan. De breuk 1,75 heeft bijvoorbeeld twee van dergelijke cijfers en 0,0025 heeft er vier. Laten we deze hoeveelheid aanduiden met de letter $n$.
2. Herschrijf het oorspronkelijke getal als een breuk van de vorm $\frac(a)(((10)^(n)))$, waarbij $a$ alle cijfers van de oorspronkelijke breuk zijn (zonder de “beginnende” nullen op de links, indien aanwezig), en $n$ is hetzelfde aantal cijfers achter de komma dat we in de eerste stap hebben berekend. Met andere woorden: je moet de cijfers van de oorspronkelijke breuk delen door één, gevolgd door $n$ nullen.
3. Verklein indien mogelijk de resulterende fractie.

Dat is het! Op het eerste gezicht is dit schema ingewikkelder dan het vorige. Maar in feite is het zowel eenvoudiger als sneller. Oordeel zelf:

Zoals je kunt zien, staan ​​er in de breuk 0,64 twee cijfers achter de komma: 6 en 4. Daarom is $n=2$. Als we de komma en de nullen aan de linkerkant verwijderen (in dit geval slechts één nul), krijgen we het getal 64. Laten we verder gaan met de tweede stap: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, dus de noemer is precies honderd. Dan hoef je alleen nog maar de teller en de noemer te verkleinen.

Nog een voorbeeld:

Hier is alles een beetje ingewikkelder. Ten eerste staan ​​er al 3 cijfers achter de komma, d.w.z. $n=3$, dus je moet delen door $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Ten tweede, als we de komma uit de decimale notatie verwijderen, krijgen we dit: 0,004 → 0004. Onthoud dat de nullen aan de linkerkant moeten worden verwijderd, dus in feite hebben we het getal 4. Dan is alles eenvoudig: delen, verminderen en krijgen het antwoord.

Tenslotte het laatste voorbeeld:

De eigenaardigheid van deze fractie is de aanwezigheid van een heel deel. Daarom is de output die we krijgen een onechte fractie van 47/25. Je kunt natuurlijk proberen 47 door 25 te delen met een rest en zo het hele deel weer te isoleren. Maar waarom zou je je leven ingewikkelder maken als dit al in de fase van transformatie kan gebeuren? Laten we het uitzoeken.

Wat te doen met het hele onderdeel

In feite is alles heel eenvoudig: als we een goede breuk willen krijgen, moeten we tijdens de transformatie het hele deel ervan verwijderen, en als we het resultaat krijgen, moeten we het opnieuw toevoegen aan de rechterkant vóór de breuklijn. .

Neem bijvoorbeeld hetzelfde getal: 1,88. Laten we met één scoren (het hele deel) en kijken naar de breuk 0,88. Het kan eenvoudig worden omgezet:

Dan herinneren we ons de "verloren" eenheid en voegen deze aan de voorkant toe:

\[\frac(22)(25)\naar 1\frac(22)(25)\]

Dat is het! Het antwoord bleek hetzelfde als nadat ik de vorige keer het hele onderdeel had geselecteerd. Nog een paar voorbeelden:

\[\begin(uitlijnen)& 2.15\naar 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\naar 2\frac(3)(20); \\& 13.8\naar 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\naar 13\frac(4)(5). \\\eind(uitlijnen)\]

Dit is het mooie van wiskunde: welke kant je ook opgaat, als alle berekeningen correct zijn uitgevoerd, zal het antwoord altijd hetzelfde zijn :)

Tot slot zou ik nog een techniek willen overwegen die velen helpt.

Transformaties "op gehoor"

Laten we eens nadenken over wat een decimaal zelfs is. Om precies te zijn, hoe we het lezen. Het getal 0,64 lezen we bijvoorbeeld als "nul komma 64 honderdsten", toch? Nou ja, of gewoon “64 honderdsten”. Het sleutelwoord hier is ‘honderdsten’, d.w.z. nummer 100.

Hoe zit het met 0,004? Dit is “nul komma 4 duizendste” of simpelweg “vier duizendste”. Op de een of andere manier, trefwoord- “duizendsten”, d.w.z. 1000.

Dus wat is het probleem? En het feit is dat het deze getallen zijn die uiteindelijk in de noemers in de tweede fase van het algoritme ‘opduiken’. Die. 0,004 is “vierduizendsten” of “4 gedeeld door 1000”:

Probeer jezelf te oefenen - het is heel eenvoudig. Het belangrijkste is om de originele breuk correct te lezen. 2,5 is bijvoorbeeld “2 hele, 5 tienden”, dus

En zo’n 1,125 is “1 hele, 125 duizendste”, dus

IN laatste voorbeeld Natuurlijk zal iemand bezwaar maken en zeggen dat het niet voor iedere leerling duidelijk is dat 1000 deelbaar is door 125. Maar hier moet je onthouden dat 1000 = 10 3, en 10 = 2 ∙ 5, dus

\[\begin(uitlijnen)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(uitlijnen)\]

Elke macht van tien wordt dus alleen ontleed in de factoren 2 en 5 - het zijn deze factoren waarnaar in de teller moet worden gezocht, zodat uiteindelijk alles wordt gereduceerd.

Hiermee wordt de les afgesloten. Laten we verder gaan met een complexere omgekeerde bewerking - zie "

Decimale getallen zoals 0,2; 1,05; 3.017, enz. zoals ze gehoord worden, zo worden ze geschreven. Nul komma twee, we krijgen een breuk. Eén komma vijfhonderdste, we krijgen een breuk. Drie komma zeventien duizendste, we krijgen de breuk. De cijfers vóór de komma vormen het hele deel van de breuk. Het getal achter de komma is de teller van de toekomstige breuk. Als er een getal van één cijfer achter de komma staat, is de noemer 10, als er een getal van twee cijfers is - 100, een getal van drie cijfers - 1000, enz. Sommige resulterende fracties kunnen worden verminderd. In onze voorbeelden

Een breuk omzetten naar een decimaal

Dit is het omgekeerde van de vorige transformatie. Wat is het kenmerk van een decimale breuk? De noemer is altijd 10, of 100, of 1000, of 10.000, enzovoort. Als uw gemeenschappelijke breuk een noemer als deze heeft, is er geen probleem. Bijvoorbeeld, of

Als de breuk bijvoorbeeld . In dit geval is het noodzakelijk om de basiseigenschap van een breuk te gebruiken en de noemer te transformeren naar 10 of 100, of 1000... Als we in ons voorbeeld de teller en de noemer met 4 vermenigvuldigen, krijgen we een breuk die kan worden geschreven in de vorm decimaal getal 0,12.

Sommige breuken zijn gemakkelijker te delen dan de noemer om te zetten. Bijvoorbeeld,

Sommige breuken kunnen niet naar decimalen worden omgezet!
Bijvoorbeeld,

Een gemengde breuk omzetten in een onechte breuk

Een gemengde breuk kan bijvoorbeeld eenvoudig worden omgezet in een onechte breuk. Om dit te doen, moet je het hele deel vermenigvuldigen met de noemer (onder) en optellen met de teller (boven), waarbij je de noemer (onder) ongewijzigd laat. Dat is

Bij het converteren gemengde fractie naar de verkeerde, kun je onthouden dat je breuken kunt optellen

Een onechte breuk omzetten in een gemengde breuk (het hele deel markeren)

Een onechte breuk kan worden omgezet in een gemengde breuk door het hele gedeelte te markeren. Laten we eens kijken naar een voorbeeld. We bepalen hoeveel gehele getallen maal “3” in “23” passen. Of deel 23 door 3 op een rekenmachine, het hele getal tot op de komma is het gewenste getal. Dit is "7". Vervolgens bepalen we de teller van de toekomstige breuk: we vermenigvuldigen de resulterende “7” met de noemer “3” en trekken het resultaat af van de teller “23”. Het is alsof we het extra vinden dat overblijft van de teller “23” als we het maximale aantal van “3” verwijderen. We laten de noemer ongewijzigd. Alles is gedaan, noteer het resultaat

Druk vervolgens op de knoppen en de taak is voltooid. Het resultaat is een geheel getal of een decimale breuk. Een decimale breuk kan een lange rest hebben na . In dit geval moet de breuk worden afgerond op het specifieke cijfer dat u nodig heeft, met behulp van afronding (getallen tot en met 5 worden naar beneden afgerond, vanaf 5 en meer - in grote kant).

Als je geen rekenmachine bij de hand hebt, zul je dat toch moeten doen. Schrijf de teller van de breuk met de noemer, met een hoek ertussen die aangeeft . Converteer bijvoorbeeld de breuk 10/6 naar een getal. Deel eerst 10 door 6. Je krijgt 1. Schrijf het resultaat in een hoek. Vermenigvuldig 1 met 6, je krijgt 6. Trek 6 af van 10. Je krijgt een rest van 4. De rest moet weer gedeeld worden door 6. Tel het getal 0 bij 4 op, en deel 40 door 6. Je krijgt 6. Schrijf 6 in het resultaat, na de komma. Vermenigvuldig 6 met 6. Je krijgt 36. Trek 36 af van 40. De rest is weer 4. Je hoeft niet verder verder te gaan, omdat het duidelijk wordt dat het resultaat het getal 1,66(6) zal zijn. Rond deze breuk af op het gewenste cijfer. Bijvoorbeeld 1,67. Dit is het eindresultaat.

Gerelateerd artikel

Bronnen:

• Breuken omzetten naar hele getallen

Breuken worden gebruikt om getallen weer te geven die uit een of meer delen van een eenheid bestaan. De term 'fractie' komt van het Latijnse fractura, wat 'verpletteren, breken' betekent. Er zijn verschillen tussen gewone en decimale breuken. Bovendien kan een eenheid in gewone breuken in een willekeurig aantal delen worden verdeeld, en in een decimaal moet deze hoeveelheid een veelvoud van 10 zijn. Elke breuk kan gewoon of decimaal zijn.

Je zult nodig hebben

• Om het resultaat te berekenen heeft u een rekenmachine of een vel papier en een pen nodig.

Instructies

Neem dus eerst een gewone breuk en verdeel deze in delen. Bijvoorbeeld 2 1\8, waarbij 2 een geheel getal is en 1\8 een breuk. Hieruit kun je zien dat het getal door 8 werd gedeeld, maar dat er maar één werd ingenomen. Het genomen deel is de teller en het aantal delen gedeeld door de noemer.

Let op

Er zijn vaak breuken die niet volledig naar decimalen kunnen worden omgezet. In dit geval komt afronding te hulp. Als je wilt afronden op het dichtstbijzijnde duizendtal, kijk dan naar het vierde decimaal. Als het minder dan 5 is, noteer dan het antwoord, met de eerste drie cijfers achter de komma, zonder wijzigingen, in anders Er moet één worden opgeteld bij het laatste cijfer van drie. 0,89643123 kan bijvoorbeeld worden geschreven als 0,896, maar 0,89663123 kan worden geschreven als 0,897.

Nuttig advies

Als u het resultaat handmatig berekent, is het beter om, voordat u de breuk deelt, deze zo veel mogelijk te verkleinen en er ook hele delen van te scheiden.

Bronnen:

• hoe breuken om te rekenen

Fractie is een van de elementen van formules die u in de Word-tekstverwerker kunt invoeren. Er is een Microsoft-vergelijkingstool. Hiermee kunt u complexe wiskundige of fysieke formules, vergelijkingen en andere elementen invoeren die speciale tekens bevatten.

Instructies

Om de Microsoft Equation-tool te starten, moet u naar: "Invoegen" -> "Object" gaan, in het dialoogvenster dat wordt geopend, op het eerste tabblad van de lijst moet u Microsoft Equation selecteren en op "Ok" klikken of dubbelklikken klik op het geselecteerde item. Nadat u de editor hebt gestart, wordt er een werkbalk voor u geopend en wordt een invoerveld weergegeven: een gestippelde rechthoek. De werkbalk is onderverdeeld in secties, die elk een reeks actiesymbolen of uitdrukkingen bevatten. Wanneer u op een van de secties klikt, wordt een lijst met tools daarin uitgevouwen. Selecteer in de lijst die wordt geopend het gewenste symbool en klik erop. Eenmaal geselecteerd, verschijnt het opgegeven symbool in de geselecteerde rechthoek in het document.

Het gedeelte met elementen voor het schrijven van breuken bevindt zich op de tweede regel van de werkbalk. Als u er met uw muis overheen beweegt, ziet u de tooltip “Patronen van breuken en radicalen”. Klik één keer op de sectie en vouw de lijst uit. Het vervolgkeuzemenu bevat sjablonen voor horizontale en schuine breuken. Uit de opties die verschijnen, kunt u degene kiezen die bij uw taak past. Klik op de gewenste optie. Na het klikken verschijnen in het invoerveld dat in het document wordt geopend een breuksymbool en plaatsen voor het invoeren van de teller en de noemer, omlijst stippellijn. De standaardcursor wordt automatisch in het tellerinvoerveld geplaatst. Voer de teller in. Naast cijfers kunt u ook symbolen, letters of actietekens invoeren. Ze kunnen worden ingevoerd via het toetsenbord of via de overeenkomstige secties van de Microsoft Equation-werkbalk. Druk na de teller op de TAB-toets om naar de noemer te gaan. U kunt ook naar het veld gaan door in het veld te klikken om de noemer in te voeren. Eenmaal geschreven, klikt u met de muisaanwijzer ergens in het document. De werkbalk wordt gesloten en het invoeren van de breuk is voltooid. Om te bewerken dubbelklikt u erop met de linkermuisknop.

Als u, wanneer u het menu "Invoegen" -> "Object" opent, de Microsoft Equation-tool niet in de lijst vindt, moet u deze installeren. Start de installatieschijf, schijfkopie of Word-distributiebestand. In het installatievenster dat verschijnt, selecteert u 'Onderdelen toevoegen of verwijderen. Voeg afzonderlijke componenten toe of verwijder deze" en klik op "Volgende". Vink in het volgende venster de optie “Geavanceerde applicatie-instellingen” aan. Klik op Volgende. Zoek in het volgende venster het lijstitem "Office Tools" en klik op het plusteken aan de linkerkant. In de uitgebreide lijst zijn we geïnteresseerd in het item “Formule-editor”. Klik op het pictogram naast ‘Formule-editor’ en klik in het menu dat wordt geopend op ‘Uitvoeren vanaf computer’. Klik daarna op “Update” en wacht tot het vereiste onderdeel is geïnstalleerd.

Materialen over breuken en opeenvolgend studeren. Hieronder voor jou gedetailleerde informatie met voorbeelden en uitleg.

1. Gemengd getal in een gewone breuk.Laten we het opschrijven algemeen beeld nummer:

We herinneren ons een eenvoudige regel: we vermenigvuldigen het hele deel met de noemer en voegen de teller toe, dat wil zeggen:

Voorbeelden:

2. Integendeel, een gewone breuk in een gemengd getal. *Dit kan uiteraard alleen met een onechte breuk (als de teller groter is dan de noemer).

Bij ‘kleine’ getallen hoeft er over het algemeen geen actie te worden ondernomen; het resultaat is bijvoorbeeld direct ‘zichtbaar’: breuken:

*Meer details:

15:13 = 1 rest 2

4:3 = 1 rest 1

9:5 = 1 rest 4

Maar als de cijfers groter zijn, dan kun je niet zonder berekeningen. Alles is hier eenvoudig: deel de teller door de noemer met een hoek totdat de rest kleiner is dan de deler. Verdelingsschema:

Bijvoorbeeld:

*Onze teller is het deeltal, de noemer is de deler.

We krijgen het hele deel (onvolledig quotiënt) en de rest. We noteren een geheel getal en vervolgens een breuk (de teller bevat de rest, maar de noemer blijft hetzelfde):

3. Converteer decimaal naar gewoon.

Gedeeltelijk in de eerste paragraaf, waar we het hadden over decimale breuken, hebben we dit al besproken. We schrijven het op zoals we het horen. Bijvoorbeeld - 0,3; 0,45; 0,008; 4,38; 10.00015

We hebben de eerste drie breuken zonder geheel getal. En de vierde en vijfde hebben het, laten we ze omzetten in gewone, we weten al hoe we dit moeten doen:

*We zien dat breuken ook kunnen worden verkleind, bijvoorbeeld 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 en andere, maar dat gaan we hier niet doen. Wat betreft reductie vindt u hieronder een aparte paragraaf, waarin we alles in detail zullen analyseren.

4. Converteer gewoon naar decimaal.

Het is niet zo eenvoudig. Bij sommige breuken is het meteen duidelijk en duidelijk wat je ermee moet doen zodat het een decimaal wordt, bijvoorbeeld:

We gebruiken onze prachtige basiseigenschap van een breuk: we vermenigvuldigen de teller en de noemer met respectievelijk 5, 25, 2, 5, 4, 2, en we krijgen:

Als er een heel onderdeel is, dan is er ook niets ingewikkelds:

We vermenigvuldigen het fractionele deel met respectievelijk 2, 25, 2 en 5 en krijgen:

En er zijn er waarvoor het zonder ervaring onmogelijk is om te bepalen dat ze in decimalen kunnen worden omgezet, bijvoorbeeld:

Met welke getallen moeten we de teller en de noemer vermenigvuldigen?

Ook hier komt een beproefde methode te hulp: delen met een hoek, een universele methode, gebruikt voor vertaling gemeenschappelijke fractie Je kunt altijd decimalen gebruiken:

Zo kun je altijd bepalen of een breuk wordt omgezet naar een decimaal. Feit is dat niet elke gewone breuk naar een decimaal getal kan worden geconverteerd, zoals 1/9, 3/7, 7/26 worden niet geconverteerd. Wat is dan de breuk die wordt verkregen bij het delen van 1 door 9, 3 door 7, 5 door 11? Mijn antwoord is oneindig decimaal (we hebben erover gesproken in paragraaf 1). Laten we verdelen:

Dat is alles! Veel geluk voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh.

Het komt voor dat je voor het gemak van berekeningen een gewone breuk naar een decimaal moet converteren en omgekeerd. Hoe u dit kunt doen, zullen we in dit artikel bespreken. Laten we eens kijken naar de regels voor het converteren van gewone breuken naar decimalen en omgekeerd, en ook voorbeelden geven.

Yandex.RTB R-A-339285-1

We zullen overwegen gewone breuken om te zetten in decimalen, volgens een bepaalde volgorde. Laten we eerst eens kijken hoe gewone breuken met een noemer die een veelvoud van 10 is, worden omgezet in decimalen: 10, 100, 1000, enz. Breuken met dergelijke noemers zijn in feite een omslachtiger notatie van decimale breuken.

Vervolgens zullen we kijken hoe we gewone breuken met welke noemer dan ook, en niet alleen veelvouden van 10, kunnen omzetten in decimale breuken. Merk op dat bij het omzetten van gewone breuken naar decimalen niet alleen eindige decimalen worden verkregen, maar ook oneindige periodieke decimale breuken.

Laten we beginnen!

Vertaling van gewone breuken met noemers 10, 100, 1000, enz. naar decimalen

Laten we allereerst zeggen dat sommige breuken enige voorbereiding vereisen voordat ze naar decimale vorm worden omgezet. Wat is het? Vóór het getal in de teller moet je zoveel nullen toevoegen, zodat het aantal cijfers in de teller gelijk wordt aan het aantal nullen in de noemer. Voor de breuk 3100 moet bijvoorbeeld het getal 0 één keer links van de 3 in de teller worden opgeteld. Fractie 610 behoeft, volgens de hierboven genoemde regel, geen wijziging.

Laten we nog een voorbeeld bekijken, waarna we een regel zullen formuleren die in eerste instantie vooral handig is om te gebruiken, terwijl er niet veel ervaring is met het converteren van breuken. Dus de breuk 1610000 na het toevoegen van nullen in de teller ziet er uit als 001510000.

Hoe een gewone breuk met een noemer van 10, 100, 1000, enz. te converteren naar decimaal?

Regel voor het omzetten van gewone juiste breuken naar decimalen

1. Schrijf 0 op en zet er een komma achter.
2. We noteren het getal van de teller dat werd verkregen na het toevoegen van nullen.

Laten we nu verder gaan met voorbeelden.

Voorbeeld 1: Breuken omzetten naar decimalen

Laten we de breuk 39.100 omzetten naar een decimaal getal.

Eerst kijken we naar de breuk en zien dat er geen voorbereidende acties nodig zijn: het aantal cijfers in de teller valt samen met het aantal nullen in de noemer.

Volgens de regel schrijven we 0, plaatsen er een decimaalteken achter en schrijven het getal uit de teller. We krijgen de decimale breuk 0,39.

Laten we eens kijken naar de oplossing voor een ander voorbeeld over dit onderwerp.

Voorbeeld 2. Breuken omzetten naar decimalen

Laten we de breuk 105 10000000 als decimaal schrijven.

Het aantal nullen in de noemer is 7 en de teller bestaat uit slechts drie cijfers. Laten we nog vier nullen toevoegen vóór het getal in de teller:

0000105 10000000

Nu schrijven we 0 op, zetten er een decimaalteken achter en noteren het getal van de teller. We krijgen de decimale breuk 0,0000105.

De fracties die in alle voorbeelden worden beschouwd, zijn gewone fracties juiste breuken. Maar hoe converteer je een onechte breuk naar een decimaal getal? Laten we meteen zeggen dat er geen voorbereiding nodig is bij het toevoegen van nullen voor dergelijke breuken. Laten we een regel formuleren.

Regel voor het omzetten van gewone onechte breuken naar decimalen

1. Schrijf het getal op dat in de teller staat.
2. We gebruiken een decimaalteken om zoveel cijfers aan de rechterkant te scheiden als er nullen staan ​​in de noemer van de oorspronkelijke breuk.

Hieronder ziet u een voorbeeld van hoe u deze regel kunt gebruiken.

Voorbeeld 3. Breuken omzetten naar decimalen

Laten we de breuk 56888038009 100000 omzetten van een gewone onregelmatige breuk naar een decimaal getal.

Laten we eerst het getal uit de teller opschrijven:

Nu scheiden we aan de rechterkant vijf cijfers met een decimaalpunt (het aantal nullen in de noemer is vijf). Wij krijgen:

De volgende vraag die natuurlijk opkomt is: hoe zet je een gemengd getal om in een decimale breuk als de noemer van het breukdeel het getal 10, 100, 1000, enz. is. Om zo'n getal om te zetten in een decimale breuk, kun je de volgende regel gebruiken.

Regel voor het omzetten van gemengde getallen naar decimalen

1. Indien nodig bereiden we het fractionele deel van het getal voor.
2. We schrijven het hele deel van het originele nummer op en zetten er een komma achter.
3. We noteren het getal uit de teller van het gebroken deel samen met de toegevoegde nullen.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Voorbeeld 4: Gemengde getallen omzetten naar decimalen

Laten we het gemengde getal 23 17 10000 omzetten naar een decimale breuk.

In het fractionele deel hebben we de uitdrukking 17 10000. Laten we het voorbereiden en nog twee nullen toevoegen aan de linkerkant van de teller. Wij krijgen: 0017 10000.

Nu schrijven we het hele deel van het getal op en zetten er een komma achter: 23, . .

Schrijf na de komma het getal van de teller op, samen met nullen. We krijgen het resultaat:

23 17 10000 = 23 , 0017

Gewone breuken omzetten in eindige en oneindige periodieke breuken

Natuurlijk kunt u decimalen en gewone breuken omzetten met een noemer die niet gelijk is aan 10, 100, 1000, enz.

Vaak kan een breuk gemakkelijk worden herleid tot een nieuwe noemer, en dan de regel gebruiken die in de eerste paragraaf van dit artikel wordt uiteengezet. Het is bijvoorbeeld voldoende om de teller en de noemer van de breuk 25 met 2 te vermenigvuldigen, en we krijgen de breuk 410, die gemakkelijk kan worden omgezet in de decimale vorm 0,4.

Deze methode om een ​​breuk naar een decimaal getal om te zetten, kan echter niet altijd worden gebruikt. Hieronder zullen we bekijken wat we moeten doen als het onmogelijk is om de overwogen methode toe te passen.

Een fundamenteel nieuwe manier om een ​​breuk naar een decimaal getal om te zetten, is door de teller te delen door de noemer met een kolom. Deze bewerking lijkt sterk op het delen van natuurlijke getallen met een kolom, maar heeft zijn eigen kenmerken.

Bij het delen wordt de teller weergegeven als een decimale breuk: er wordt een komma rechts van het laatste cijfer van de teller geplaatst en er worden nullen toegevoegd. In het resulterende quotiënt wordt een decimaalpunt geplaatst wanneer de deling van het gehele deel van de teller eindigt. Hoe deze methode precies werkt, zal duidelijk worden na het bekijken van de voorbeelden.

Voorbeeld 5. Breuken omzetten naar decimalen

Laten we de gewone breuk 621 4 omzetten naar decimale vorm.

Laten we het getal 621 uit de teller weergeven als een decimale breuk, waarbij een paar nullen achter de komma worden toegevoegd. 621 = 621,00

Laten we nu 621,00 delen door 4 met behulp van een kolom. De eerste drie stappen bij het delen zullen hetzelfde zijn als bij het delen van natuurlijke getallen, en dat zullen we krijgen.

Wanneer we de komma in het deeltal bereiken en de rest verschilt van nul, plaatsen we een decimaalpunt in het quotiënt en gaan we verder met delen, waarbij we niet langer letten op de komma in het deeltal.

Als resultaat krijgen we de decimale breuk 155, 25, die het resultaat is van het omkeren van de gewone breuk 621 4

621 4 = 155 , 25

Laten we een ander voorbeeld bekijken om het materiaal te versterken.

Voorbeeld 6. Breuken omzetten naar decimalen

Laten we de gewone breuk 21 800 omdraaien.

Om dit te doen, deelt u de breuk 21.000 in een kolom door 800. De deling van het hele deel eindigt bij de eerste stap, dus onmiddellijk daarna plaatsen we een decimaalteken in het quotiënt en gaan we door met de deling, waarbij we geen aandacht besteden aan de komma in het deeltal totdat we een rest gelijk aan nul krijgen.

Als resultaat kregen we: 21.800 = 0,02625.

Maar wat als we bij het delen nog steeds geen rest 0 krijgen? In dergelijke gevallen kan de deling voor onbepaalde tijd worden voortgezet. Vanaf een bepaalde stap zullen de residuen echter periodiek worden herhaald. Dienovereenkomstig worden de getallen in het quotiënt herhaald. Dit betekent dat een gewone breuk wordt omgezet in een decimale oneindige periodieke breuk. Laten we dit illustreren met een voorbeeld.

Voorbeeld 7. Breuken omzetten naar decimalen

Laten we de gewone breuk 19 44 omzetten naar een decimaal. Om dit te doen, voeren we deling per kolom uit.

We zien dat tijdens de deling de resten 8 en 36 worden herhaald. In dit geval worden de getallen 1 en 8 herhaald in het quotiënt. Dit is de periode in decimale breuk. Bij het opnemen worden deze cijfers tussen haakjes geplaatst.

Zo wordt de oorspronkelijke gewone breuk omgezet in een oneindige periodieke decimale breuk.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Laten we een onherleidbare gewone breuk hebben. Welke vorm zal het aannemen? Welke gewone breuken worden omgezet in eindige decimalen, en welke worden omgezet in oneindige periodieke breuken?

Laten we eerst zeggen dat als een breuk kan worden herleid tot een van de noemers 10, 100, 1000..., deze de vorm zal hebben van een laatste decimale breuk. Om een ​​breuk tot een van deze noemers te kunnen herleiden, moet de noemer ervan een deler zijn van ten minste één van de getallen 10, 100, 1000, enz. Uit de regels voor het ontbinden van getallen in priemfactoren volgt dat de deler van getallen 10, 100, 1000, enz. is. moet, wanneer deze in priemfactoren wordt verwerkt, alleen de getallen 2 en 5 bevatten.

Laten we samenvatten wat er is gezegd:

1. Een gewone breuk kan worden herleid tot een einddecimaal als de noemer ervan kan worden verwerkt in de priemfactoren 2 en 5.
2. Als er naast de getallen 2 en 5 nog andere priemgetallen aanwezig zijn in de uitbreiding van de noemer, wordt de breuk gereduceerd tot de vorm van een oneindige periodieke decimale breuk.

Laten we een voorbeeld geven.

Voorbeeld 8. Breuken omzetten naar decimalen

Welke van deze breuken 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 wordt omgezet in een laatste decimale breuk, en welke - alleen in een periodieke breuk. Laten we deze vraag beantwoorden zonder een breuk rechtstreeks naar een decimaal getal om te zetten.

De breuk 47 20 wordt, zoals gemakkelijk te zien is, door de teller en de noemer met 5 te vermenigvuldigen, teruggebracht tot een nieuwe noemer 100.

47 20 = 235 100. Hieruit concluderen we dat deze breuk wordt omgezet in een laatste decimale breuk.

Het ontbinden van de noemer van de breuk 7 12 geeft 12 = 2 · 2 · 3. Omdat de priemfactor 3 verschilt van 2 en 5, kan deze breuk niet worden weergegeven als een eindige decimale breuk, maar zal deze de vorm hebben van een oneindige periodieke breuk.

Ten eerste moet de fractie 21 56 worden verkleind. Na reductie met 7 verkrijgen we de irreducibele breuk 3 8, waarvan de noemer wordt ontbonden in factoren, zodat 8 = 2 · 2 · 2 ontstaat. Daarom is het een eindige decimale breuk.

In het geval van de breuk 31 17 is het ontbinden van de noemer het priemgetal 17 zelf. Dienovereenkomstig kan deze breuk worden omgezet in een oneindige periodieke decimale breuk.

Een gewone breuk kan niet worden omgezet in een oneindige en niet-periodieke decimale breuk

Hierboven hadden we het alleen over eindige en oneindige periodieke breuken. Maar kan elke gewone breuk worden omgezet in een oneindige niet-periodieke breuk?

Wij antwoorden: nee!

Belangrijk!

Bij het omzetten van een oneindige breuk naar een decimaal getal is het resultaat een eindig decimaal getal of een oneindig periodiek decimaal getal.

De rest van een deling is altijd kleiner dan de deler. Met andere woorden, volgens de deelbaarheidsstelling, als we iets delen natuurlijk getal door het getal q, dan kan de rest van de deling in ieder geval niet groter zijn dan q-1. Nadat de deling is voltooid, is een van de volgende situaties mogelijk:

1. We krijgen een rest van 0, en dit is waar de deling eindigt.
2. We krijgen een rest, die bij volgende deling wordt herhaald, wat resulteert in een oneindige periodieke breuk.

Er zijn geen andere opties bij het omzetten van een breuk naar een decimaal getal. Laten we ook zeggen dat de lengte van de punt (aantal cijfers) in een oneindige periodieke breuk altijd kleiner is dan het aantal cijfers in de noemer van de overeenkomstige gewone breuk.

Decimalen omzetten in breuken

Nu is het tijd om te kijken naar het omgekeerde proces van het omzetten van een decimale breuk in een gewone breuk. Laten we een vertaalregel formuleren die drie fasen omvat. Hoe converteer je een decimale breuk naar een gewone breuk?

Regel voor het omzetten van decimale breuken naar gewone breuken

1. In de teller schrijven we het getal uit de oorspronkelijke decimale breuk, waarbij we de komma en alle nullen aan de linkerkant weggooien, indien aanwezig.
2. In de noemer schrijven we één, gevolgd door zoveel nullen als er cijfers achter de komma staan ​​in de oorspronkelijke decimale breuk.
3. Verklein indien nodig de resulterende gewone fractie.

Laten we de toepassing bekijken van deze regel met voorbeelden.

Voorbeeld 8. Decimale breuken omzetten naar gewone breuken

Laten we ons het getal 3,025 voorstellen als een gewone breuk.

1. We schrijven de decimale breuk zelf in de teller, waarbij we de komma weglaten: 3025.
2. In de noemer schrijven we één, en daarna drie nullen - dit is precies hoeveel cijfers er in de oorspronkelijke breuk achter de komma staan: 3025 1000.
3. De resulterende fractie 3025 1000 kan met 25 worden verminderd, wat resulteert in: 3025 1000 = 121 40.

Voorbeeld 9. Decimale breuken omzetten naar gewone breuken

Laten we de breuk 0,0017 omzetten van decimaal naar gewoon.

1. In de teller schrijven we de breuk 0, 0017, waarbij we de komma en nullen aan de linkerkant weggooien. Het zullen er 17 blijken te zijn.
2. We schrijven één in de noemer, en daarna schrijven we vier nullen: 17 10000. Deze fractie is irreducibel.

Als een decimale breuk een geheel getal heeft, kan zo'n breuk onmiddellijk worden omgezet in een gemengd getal. Hoe dit te doen?

Laten we nog een regel formuleren.

Regel voor het omzetten van decimale breuken naar gemengde getallen.

1. Het getal vóór de komma in de breuk wordt geschreven als het gehele deel van het gemengde getal.
2. In de teller schrijven we het getal achter de komma in de breuk, waarbij we de nullen aan de linkerkant weggooien, als die er zijn.
3. In de noemer van het breukgedeelte voegen we één toe en zoveel nullen als er cijfers achter de komma in het breukgedeelte staan.

Laten we een voorbeeld nemen

Voorbeeld 10: Een decimaal getal omzetten in een gemengd getal

Laten we ons de breuk 155, 06005 voorstellen als een gemengd getal.

1. We schrijven het getal 155 als een geheel getal.
2. In de teller schrijven we de getallen achter de komma, waarbij we de nul weggooien.
3. We schrijven één en vijf nullen in de noemer

Laten we een gemengd getal leren: 155 6005 100000

Het fractionele deel kan met 5 worden verminderd. We verkorten het en krijgen het eindresultaat:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Oneindige periodieke decimalen omzetten in breuken

Laten we eens kijken naar voorbeelden van hoe periodieke decimale breuken in gewone breuken kunnen worden omgezet. Voordat we beginnen, laten we het verduidelijken: elke periodieke decimale breuk kan worden omgezet in een gewone breuk.

Het eenvoudigste geval is de breukperiode gelijk aan nul. Een periodieke breuk met een nulpunt wordt vervangen door een laatste decimale breuk, en het proces van het omkeren van een dergelijke breuk wordt teruggebracht tot het omkeren van de laatste decimale breuk.

Voorbeeld 11. Een periodieke decimale breuk omzetten in een gewone breuk

Laten we de periodieke breuk 3, 75 (0) omkeren.

Als we de nullen aan de rechterkant elimineren, krijgen we de laatste decimale breuk 3,75.

Als we deze breuk omzetten naar een gewone breuk met behulp van het algoritme dat in de vorige paragrafen is besproken, verkrijgen we:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Wat als de periode van de breuk verschillend is van nul? Het periodieke deel moet worden beschouwd als de som van de termen van een geometrische progressie, die afneemt. Laten we dit uitleggen met een voorbeeld:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Er is een formule voor de som van termen van een oneindig afnemende geometrische progressie. Als de eerste term van de progressie b is en de noemer q zodanig is dat 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Laten we een paar voorbeelden bekijken waarbij deze formule wordt gebruikt.

Voorbeeld 12. Een periodieke decimale breuk omzetten in een gewone breuk

Laten we hebben periodieke breuk 0 , (8) en we moeten het naar gewoon converteren.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Hier hebben we een oneindige afname geometrische progressie met de eerste term 0, 8 en de noemer 0, 1.

Laten we de formule toepassen:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Dit is de vereiste gewone breuk.

Om het materiaal te consolideren, overweeg een ander voorbeeld.

Voorbeeld 13. Een periodieke decimale breuk omzetten in een gewone breuk

Laten we de breuk 0, 43 (18) omkeren.

Eerst schrijven we de breuk als een oneindige som:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Laten we eens kijken naar de termen tussen haakjes. Deze geometrische progressie kan als volgt worden weergegeven:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

We voegen het resultaat toe aan de laatste breuk 0, 43 = 43 100 en krijgen het resultaat:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Na het optellen van deze breuken en het verminderen, krijgen we het uiteindelijke antwoord:

0 , 43 (18) = 19 44

Ter afsluiting van dit artikel zullen we zeggen dat niet-periodieke oneindige decimale breuken niet kunnen worden omgezet in gewone breuken.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter