Studenten komen het concept van een piramide tegen lang voordat ze geometrie studeren. De fout ligt bij de beroemde grote Egyptische wereldwonderen. Daarom stellen de meeste studenten zich dit al duidelijk voor als ze dit prachtige veelvlak beginnen te bestuderen. Alle bovengenoemde attracties hebben de juiste vorm. Wat is er gebeurd reguliere piramide, en welke eigenschappen het heeft, zal verder worden besproken.

Definitie

Er zijn nogal wat definities van een piramide. Sinds de oudheid is het erg populair.

Euclides definieerde het bijvoorbeeld als een lichaamsfiguur die bestaat uit vlakken die, beginnend bij één, op een bepaald punt samenkomen.

Heron zorgde voor een preciezere formulering. Hij hield vol dat dit het cijfer was dat heeft een basis en vlakken in de vorm van driehoeken, op één punt samenkomen.

Gebaseerd op de moderne interpretatie wordt de piramide weergegeven als een ruimtelijk veelvlak, bestaande uit een bepaalde k-hoek en k platte driehoekige figuren, met één gemeenschappelijk punt.

Laten we het in meer detail bekijken, uit welke elementen bestaat het:

• De k-gon wordt beschouwd als de basis van de figuur;
• 3-hoekige vormen steken uit als de randen van het zijdeel;
• het bovenste deel waaruit de zijelementen afkomstig zijn, wordt de top genoemd;
• alle segmenten die een hoekpunt verbinden, worden randen genoemd;
• als een rechte lijn vanuit het hoekpunt naar het vlak van de figuur wordt verlaagd onder een hoek van 90 graden, dan wordt het deel ervan omsloten door interne ruimte— hoogte van de piramide;
• in elk lateraal element kan een loodlijn, een apothema genoemd, naar de zijkant van ons veelvlak worden getrokken.

Het aantal randen wordt berekend met behulp van de formule 2*k, waarbij k het aantal zijden van de k-hoek is. Hoeveel vlakken een veelvlak zoals een piramide heeft, kun je bepalen met de uitdrukking k+1.

Belangrijk! Een piramide met een regelmatige vorm is een stereometrische figuur waarvan het basisvlak een k-hoek is met gelijke zijden.

Basiseigenschappen

Juiste piramide heeft veel eigenschappen, die uniek voor haar zijn. Laten we ze opsommen:

1. De basis is een figuur met de juiste vorm.
2. De randen van de piramide die de zijelementen begrenzen, hebben gelijke numerieke waarden.
3. De zijelementen zijn gelijkbenige driehoeken.
4. De basis van de hoogte van de figuur valt in het midden van de veelhoek, terwijl het tegelijkertijd het centrale punt is van de ingeschreven en omgeschreven.
5. Alle zijribben hellen onder dezelfde hoek ten opzichte van het vlak van de basis.
6. Alle zijvlakken hebben dezelfde hellingshoek ten opzichte van de basis.

Dankzij alle genoemde eigenschappen is het uitvoeren van elementberekeningen veel eenvoudiger. Op basis van bovenstaande eigenschappen letten wij op twee tekens:

1. In het geval dat de polygoon in een cirkel past, hebben de zijvlakken de basis gelijke hoeken.
2. Bij het beschrijven van een cirkel rond een veelhoek zullen alle randen van de piramide die uit het hoekpunt komen, gelijke lengtes en gelijke hoeken hebben met de basis.

De basis is een vierkant

Regelmatige vierhoekige piramide - een veelvlak waarvan de basis een vierkant is.

Het heeft vier zijvlakken, die qua uiterlijk gelijkbenig zijn.

Een vierkant wordt afgebeeld op een vlak, maar is gebaseerd op alle eigenschappen van een regelmatige vierhoek.

Als het bijvoorbeeld nodig is om de zijde van een vierkant te relateren aan de diagonaal, gebruik dan de volgende formule: de diagonaal is gelijk aan het product van de zijde van het vierkant en de vierkantswortel van twee.

Het is gebaseerd op een regelmatige driehoek

Juist driehoekige piramide– een veelvlak waarvan de basis een regelmatige driehoek is.

Als de basis een regelmatige driehoek is en de zijkanten gelijk zijn aan de randen van de basis, dan is zo'n figuur een tetraëder genoemd.

Alle vlakken van een tetraëder zijn gelijkzijdige driehoeken. In dit geval moet u enkele punten kennen en er geen tijd aan verspillen bij het berekenen:

• de hellingshoek van de ribben ten opzichte van elke basis is 60 graden;
• de grootte van alle interne vlakken is ook 60 graden;
• elk gezicht kan als basis dienen;
• , getekend in de figuur, zijn dit gelijke elementen.

Secties van een veelvlak

In elk veelvlak zijn er meerdere soorten secties vlak. Vaak binnen schoolcursus geometrieën werken met twee:

• axiaal;
• parallel aan de basis.

Een axiale doorsnede wordt verkregen door een veelvlak te snijden met een vlak dat door de top, de zijranden en de as loopt. In dit geval is de as de hoogte vanaf het hoekpunt. Het snijvlak wordt begrensd door de snijlijnen met alle vlakken, wat resulteert in een driehoek.

Aandacht! In een regelmatige piramide is de axiale doorsnede een gelijkbenige driehoek.

Als het snijvlak parallel loopt aan de basis, is het resultaat de tweede optie. In dit geval hebben we een dwarsdoorsnede die lijkt op de basis.

Als er bijvoorbeeld een vierkant aan de basis is, zal het gedeelte evenwijdig aan de basis ook een vierkant zijn, maar dan met kleinere afmetingen.

Bij het oplossen van problemen onder deze voorwaarde gebruiken ze tekens en eigenschappen van gelijkenis van figuren, gebaseerd op de stelling van Thales. Allereerst is het noodzakelijk om de gelijkeniscoëfficiënt te bepalen.

Als het vlak parallel aan de basis wordt getrokken en afsnijdt bovenste deel veelvlak, dan wordt in het onderste gedeelte een regelmatige afgeknotte piramide verkregen. Dan wordt gezegd dat de basis van een afgeknot veelvlak soortgelijke veelhoeken zijn. In dit geval zijn de zijvlakken gelijkbenige trapeziums. De axiale doorsnede is eveneens gelijkbenig.

Om de hoogte van een afgeknot veelvlak te bepalen, is het noodzakelijk om de hoogte in het axiale gedeelte te tekenen, dat wil zeggen in het trapezium.

Oppervlaktegebieden

De belangrijkste geometrische problemen die moeten worden opgelost in een meetkundecursus op school zijn: het vinden van de oppervlakte en het volume van een piramide.

Er zijn twee soorten oppervlaktewaarden:

• gebied van de zijelementen;
• oppervlakte van het gehele oppervlak.

Uit de naam zelf blijkt duidelijk waar we het over hebben. Het zijoppervlak omvat alleen de zijelementen. Hieruit volgt dat om het te vinden, je eenvoudigweg de gebieden van de laterale vlakken hoeft op te tellen, dat wil zeggen de gebieden van gelijkbenige 3-hoeken. Laten we proberen de formule af te leiden voor het oppervlak van de zijelementen:

1. De oppervlakte van een gelijkbenige 3-hoek is gelijk aan Str=1/2(aL), waarbij a de zijde van de basis is, L de apothema.
2. Het aantal zijvlakken hangt af van het type k-hoek aan de basis. Een regelmatige vierhoekige piramide heeft bijvoorbeeld vier zijvlakken. Daarom is het noodzakelijk om toe te voegen gebied van vier cijfers Szijde=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. De uitdrukking wordt op deze manier vereenvoudigd omdat de waarde 4a = Rosn, waarbij Rosn de omtrek van de basis is. En de uitdrukking 1/2*Rosn is de halve omtrek ervan.
3. We concluderen dus dat het oppervlak van de laterale elementen van een regelmatige piramide gelijk is aan het product van de halve omtrek van de basis en de apothema: Sside = Rosn * L.

De oppervlakte van de totale oppervlakte van de piramide bestaat uit de som van de oppervlakten van de zijvlakken en de basis: Sp.p = Sside + Sbas.

Wat het gebied van de basis betreft, hier wordt de formule gebruikt afhankelijk van het type polygoon.

Volume van een regelmatige piramide gelijk aan het product van de oppervlakte van het basisvlak en de hoogte gedeeld door drie: V=1/3*Sbas*H, waarbij H de hoogte van het veelvlak is.

Wat is een regelmatige piramide in de meetkunde?

Eigenschappen van het juiste vierhoekige piramide

Definitie

Piramide is een veelvlak bestaande uit een veelhoek \(A_1A_2...A_n\) en \(n\) driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt \(P\) (niet liggend in het vlak van de veelhoek) en zijden er tegenover, die samenvallen met de zijden van de veelhoek.
Benaming: \(PA_1A_2...A_n\) .
Voorbeeld: vijfhoekige piramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Driehoeken \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), enz. worden genoemd zijvlakken piramides, segmenten \(PA_1, PA_2\), enz. – laterale ribben, veelhoek \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – basis, punt \(P\) – bovenkant.

Hoogte piramides zijn een loodlijn die afdaalt van de top van de piramide naar het vlak van de basis.

Een piramide met een driehoek aan de basis wordt genoemd tetraëder.

De piramide heet juist, als de basis ervan ligt regelmatige veelhoek en er is voldaan aan een van de voorwaarden:

\((a)\) de zijkanten van de piramide zijn gelijk;

\((b)\) de hoogte van de piramide gaat door het middelpunt van de omgeschreven cirkel nabij de basis;

\((c)\) de zijribben hellen onder dezelfde hoek ten opzichte van het vlak van de basis.

\((d)\) de zijvlakken hellen onder dezelfde hoek ten opzichte van het vlak van de basis.

Regelmatige tetraëder is een driehoekige piramide, waarvan alle vlakken gelijke gelijkzijdige driehoeken zijn.

Stelling

Voorwaarden \((a), (b), (c), (d)\) zijn gelijkwaardig.

Bewijs

Laten we de hoogte van de piramide \(PH\) vinden. Laat \(\alpha\) het vlak van de basis van de piramide zijn.

1) Laten we bewijzen dat \((a)\) \((b)\) impliceert. Stel \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Omdat \(PH\perp \alpha\), dan staat \(PH\) loodrecht op elke lijn die in dit vlak ligt, wat betekent dat de driehoeken rechthoekig zijn. Dit betekent dat deze driehoeken gelijk zijn in gemeenschappelijk been \(PH\) en hypotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Dit betekent \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Dit betekent dat de punten \(A_1, A_2, ..., A_n\) zich op dezelfde afstand van het punt \(H\) bevinden en daarom op dezelfde cirkel liggen met de straal \(A_1H\) . Deze cirkel wordt per definitie omschreven rond de veelhoek \(A_1A_2...A_n\) .

2) Laten we bewijzen dat \((b)\) \((c)\) impliceert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechthoekig en gelijk op twee poten. Dit betekent dat hun hoeken ook gelijk zijn, dus \(\hoek PA_1H=\hoek PA_2H=...=\hoek PA_nH\).

3) Laten we bewijzen dat \((c)\) \((a)\) impliceert.

Vergelijkbaar met het eerste punt, driehoeken \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechthoekig en langs het been en scherpe hoek. Dit betekent dat hun hypotenussen ook gelijk zijn, dat wil zeggen: \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Laten we bewijzen dat \((b)\) \((d)\) impliceert.

Omdat in een regelmatige veelhoek vallen de middelpunten van de omgeschreven en ingeschreven cirkel samen (in het algemeen wordt dit punt het middelpunt van een regelmatige veelhoek genoemd), dan is \(H\) het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Laten we loodlijnen tekenen vanaf het punt \(H\) naar de zijkanten van de basis: \(HK_1, HK_2\), enz. Dit zijn de stralen van de ingeschreven cirkel (per definitie). Dan zijn volgens TTP (\(PH\) loodrecht op het vlak, \(HK_1, HK_2\), etc. projecties loodrecht op de zijkanten) hellend \(PK_1, PK_2\), etc. loodrecht op de zijkanten \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectievelijk. Per definitie dus \(\hoek PK_1H, \hoek PK_2H\) gelijk aan de hoeken tussen de zijvlakken en de basis. Omdat driehoeken \(PK_1H, PK_2H, ...\) gelijk zijn (als rechthoekig aan twee zijden), dan zijn de hoeken \(\hoek PK_1H, \hoek PK_2H, ...\) zijn gelijk.

5) Laten we bewijzen dat \((d)\) \((b)\) impliceert.

Net als bij het vierde punt zijn de driehoeken \(PK_1H, PK_2H, ...\) gelijk (als rechthoekig langs het been en scherpe hoek), wat betekent dat de segmenten \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) gelijkwaardig. Dit betekent per definitie dat \(H\) het middelpunt is van een cirkel die in de basis is ingeschreven. Maar omdat Voor regelmatige veelhoeken vallen de middelpunten van de ingeschreven en de omgeschreven cirkel samen, en dan is \(H\) het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Chtd.

Gevolg

De zijvlakken van een regelmatige piramide zijn gelijke gelijkbenige driehoeken.

Definitie

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema.
De apothema's van alle zijvlakken van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar en zijn ook medianen en bissectrices.

Belangrijke opmerkingen

1. De hoogte van een regelmatige driehoekige piramide valt op het snijpunt van de hoogten (of bissectrices of medianen) van de basis (de basis is een regelmatige driehoek).

2. De hoogte van een regelmatige vierhoekige piramide valt op het snijpunt van de diagonalen van de basis (de basis is een vierkant).

3. De hoogte van een regelmatige zeshoekige piramide valt op het snijpunt van de diagonalen van de basis (de basis is een regelmatige zeshoek).

4. De hoogte van de piramide staat loodrecht op elke rechte lijn die aan de basis ligt.

Definitie

De piramide heet rechthoekig, als een van de zijkanten loodrecht staat op het vlak van de basis.

Belangrijke opmerkingen

1. U rechthoekige piramide de rand loodrecht op de basis is de hoogte van de piramide. Dat wil zeggen: \(SR\) is de hoogte.

2. Omdat \(SR\) staat dus loodrecht op een lijn vanaf de basis \(\driehoek SRM, \driehoek SRP\)– rechthoekige driehoeken.

3. Driehoeken \(\driehoek SRN, \driehoek SRK\)- ook rechthoekig.
Dat wil zeggen dat elke driehoek gevormd door deze rand en de diagonaal die uit het hoekpunt van deze rand komt en aan de basis ligt, rechthoekig zal zijn.

\[(\Large(\text(Volume en oppervlakte van de piramide)))\]

Stelling

Het volume van de piramide is gelijk aan een derde van het product van de oppervlakte van de basis en de hoogte van de piramide: \

Gevolgen

Laat \(a\) de zijkant van de basis zijn, \(h\) de hoogte van de piramide.

1. Het volume van een regelmatige driehoekige piramide is \(V_(\text(rechthoekige driehoek.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Het volume van een regelmatige vierhoekige piramide is \(V_(\text(rechts.vier.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Het volume van een regelmatige zeshoekige piramide is \(V_(\text(rechts.zes.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Het volume van een regelmatige tetraëder is \(V_(\text(rechter tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Stelling

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het halve product van de omtrek van de basis en de apothema.

\[(\Groot(\text(Frustum)))\]

Definitie

Beschouw een willekeurige piramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Laten we een vlak evenwijdig aan de basis van de piramide tekenen door een bepaald punt dat op de zijkant van de piramide ligt. Dit vliegtuig zal de piramide in twee veelvlakken splitsen, waarvan er één een piramide is (\(PB_1B_2...B_n\) ), en de andere heet afgeknotte piramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

De afgeknotte piramide heeft twee bases - polygonen \(A_1A_2...A_n\) en \(B_1B_2...B_n\) die op elkaar lijken.

De hoogte van een afgeknotte piramide is een loodlijn van een bepaald punt van de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis.

Belangrijke opmerkingen

1. Alle zijvlakken van een afgeknotte piramide zijn trapeziums.

2. Het segment dat de middelpunten van de bases van een regelmatige afgeknotte piramide verbindt (dat wil zeggen een piramide verkregen door een dwarsdoorsnede van een regelmatige piramide) is de hoogte.

Hier vindt u basisinformatie over piramides en gerelateerde formules en concepten. Ze worden allemaal bestudeerd bij een wiskundeleraar ter voorbereiding op het Unified State Exam.

Beschouw een vlak, een veelhoek , erin liggend en een punt S, die er niet in ligt. Laten we S verbinden met alle hoekpunten van de veelhoek. Het resulterende veelvlak wordt een piramide genoemd. De segmenten worden zijribben genoemd. De veelhoek wordt de basis genoemd en punt S is de top van de piramide. Afhankelijk van het getal n wordt de piramide driehoekig (n=3), vierhoekig (n=4), vijfhoekig (n=5) enzovoort genoemd. Een alternatieve naam voor een driehoekige piramide is tetraëder. De hoogte van een piramide is de loodlijn die afdaalt van de top naar het vlak van de basis.

Een piramide heet regelmatig als een regelmatige veelhoek, en de basis van de hoogte van de piramide (de basis van de loodlijn) is het middelpunt.

Commentaar van de docent:
Verwar de begrippen ‘regelmatige piramide’ en ‘regelmatige tetraëder’ niet. In een regelmatige piramide zijn de zijranden niet noodzakelijkerwijs gelijk aan de randen van de basis, maar in een regelmatige tetraëder zijn alle zes de randen gelijk. Dit is zijn definitie. Het is gemakkelijk te bewijzen dat de gelijkheid impliceert dat het middelpunt P van de veelhoek samenvalt met een basishoogte, dus een regelmatige tetraëder is een regelmatige piramide.

Wat is een apothema?
Het apothema van een piramide is de hoogte van de zijkant. Als de piramide regelmatig is, zijn al zijn apothema's gelijk. Het omgekeerde is niet waar.

Een wiskundeleraar over zijn terminologie: 80% van het werk met piramides is opgebouwd uit twee soorten driehoeken:
1) Bevat apothema SK en hoogte SP
2) Bevat de zijrand SA en zijn uitsteeksel PA

Om verwijzingen naar deze driehoeken te vereenvoudigen, is het handiger voor een wiskundeleraar om de eerste ervan te noemen apothemisch, en de tweede ribben. Helaas zul je deze terminologie in geen van de leerboeken tegenkomen en moet de leraar deze eenzijdig introduceren.

Formule voor piramidevolume:
1) , waar is de oppervlakte van de basis van de piramide, en de hoogte van de piramide
2), waar is de straal van de ingeschreven bol, en is de oppervlakte van het totale oppervlak van de piramide.
3) , waarbij MN de afstand is tussen twee kruisende randen, en het gebied is van het parallellogram dat wordt gevormd door de middelpunten van de vier resterende randen.

Eigenschap van de basis van de hoogte van een piramide:

Punt P (zie figuur) valt samen met het middelpunt van de ingeschreven cirkel aan de basis van de piramide als aan een van de volgende voorwaarden is voldaan:
1) Alle apothema's zijn gelijk
2) Alle zijvlakken zijn even hellend ten opzichte van de basis
3) Alle apothemen zijn even hellend ten opzichte van de hoogte van de piramide
4) De hoogte van de piramide is even hellend naar alle zijvlakken

Commentaar van de wiskundeleraar: Houd er rekening mee dat alle punten één ding gemeen hebben algemeen bezit: op de een of andere manier zijn er overal zijvlakken bij betrokken (apothemen zijn hun elementen). Daarom kan de docent een minder nauwkeurige, maar handiger voor het leren, formulering bieden: punt P valt samen met het middelpunt van de ingeschreven cirkel, de basis van de piramide, als er enige gelijke informatie is over de zijvlakken ervan. Om dit te bewijzen is het voldoende om aan te tonen dat alle apothema-driehoeken gelijk zijn.

Punt P valt samen met het middelpunt van een cirkel die wordt omschreven nabij de basis van de piramide als aan een van de volgende drie voorwaarden is voldaan:
1) Alle zijranden zijn gelijk
2) Alle zijribben zijn gelijk hellend ten opzichte van de basis
3) Alle zijribben zijn gelijk hellend ten opzichte van de hoogte

Piramide. Afgeknotte piramide

Piramide is een veelvlak, waarvan één zijde een veelhoek is ( baseren ), en alle andere vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt ( zijvlakken ) (Afb. 15). De piramide heet juist , als de basis een regelmatige veelhoek is en de top van de piramide in het midden van de basis wordt geprojecteerd (Fig. 16). Een driehoekige piramide waarvan alle randen gelijk zijn, wordt genoemd tetraëder .

Laterale rib van een piramide is de zijde van het zijvlak die niet tot de basis behoort Hoogte piramide is de afstand van de top tot het vlak van de basis. Alle zijranden van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar, alle zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken. De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema . Diagonaal gedeelte wordt een doorsnede van een piramide genoemd door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Zijoppervlak piramide is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Totale oppervlakte wordt de som van de oppervlakten van alle zijvlakken en de basis genoemd.

Stellingen

1. Als in een piramide alle zijranden even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van de omgeschreven cirkel nabij de basis.

2. Als in een piramide alle zijranden dezelfde lengte hebben, wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die nabij de basis wordt omgeschreven.

3. Als alle vlakken in een piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, wordt de top van de piramide geprojecteerd in het midden van een cirkel die in de basis is ingeschreven.

Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de juiste formule:

Waar V- volume;

S-basis– basisoppervlakte;

H– hoogte van de piramide.

Voor een gewone piramide zijn de volgende formules correct:

Waar P– basisomtrek;

h een– apothema;

H- hoogte;

S vol

S-kant

S-basis– basisoppervlakte;

V– volume van een regelmatige piramide.

Afgeknotte piramide Dit wordt het deel van de piramide genoemd dat is ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide (Fig. 17). Regelmatige afgeknotte piramide is het deel van een regelmatige piramide, ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide.

Redenen afgeknotte piramide - vergelijkbare veelhoeken. Zijkanten – trapeziums. Hoogte van een afgeknotte piramide is de afstand tussen de bases. Diagonaal een afgeknotte piramide is een segment dat de hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen. Diagonaal gedeelte is een doorsnede van een afgeknotte piramide door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Voor een afgeknotte piramide gelden de volgende formules:

(4)

Waar S 1 , S 2 – gebieden van de bovenste en onderste basis;

S vol– totale oppervlakte;

S-kant– zijoppervlak;

H- hoogte;

V– volume van een afgeknotte piramide.

Voor een regelmatige afgeknotte piramide is de formule correct:

Waar P 1 , P 2 – omtrekken van de bases;

h een– apothema van een regelmatige afgeknotte piramide.

Voorbeeld 1. In een regelmatige driehoekige piramide is de tweevlakshoek aan de basis 60 graden. Zoek de raaklijn van de hellingshoek van de zijkant met het vlak van de basis.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 18).

De piramide is correct, dat wil zeggen aan de basis gelijkzijdige driehoek en alle zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken. De tweevlakshoek aan de basis is de hellingshoek van het zijvlak van de piramide ten opzichte van het vlak van de basis. De lineaire hoek is de hoek A tussen twee loodlijnen: enz. De top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de driehoek (het midden van de omgeschreven cirkel en de ingeschreven cirkel van de driehoek abc). De hellingshoek van de zijkant (bijv S.B.) is de hoek tussen de rand zelf en de projectie ervan op het vlak van de basis. Voor de rib S.B. deze hoek zal de hoek zijn SBD. Om de raaklijn te vinden, moet je de benen kennen DUS En O.B.. Laten we de lengte van het segment bepalen BD gelijk aan 3 A. Punt OVER segment BD is verdeeld in delen: en Van vinden we DUS: Van vinden we:

Antwoord:

Voorbeeld 2. Vind het volume van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide als de diagonalen van de basis gelijk zijn aan cm en cm, en de hoogte 4 cm is.

Oplossing. Om het volume van een afgeknotte piramide te vinden, gebruiken we formule (4). Om de oppervlakte van de basissen te vinden, moet je de zijden van de basisvierkanten vinden, waarbij je hun diagonalen kent. De zijkanten van de bases zijn respectievelijk gelijk aan 2 cm en 8 cm. Dit betekent de oppervlakte van de bases en door alle gegevens in de formule te vervangen, berekenen we het volume van de afgeknotte piramide:

Antwoord: 112cm3.

Voorbeeld 3. Zoek het gebied van het zijvlak van een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide, waarvan de zijkanten van de basis 10 cm en 4 cm zijn, en de hoogte van de piramide 2 cm.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 19).

Het zijvlak van deze piramide is gelijkbenig trapezium. Om de oppervlakte van een trapezium te berekenen, moet je de basis en hoogte kennen. De basissen worden gegeven volgens de staat, alleen de hoogte blijft onbekend. We zullen haar vinden waar vandaan A 1 E loodrecht op een punt A 1 op het vlak van de onderste basis, A 1 D– loodrecht vanaf A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, aangezien dit de hoogte van de piramide is. Te vinden DE Laten we een extra tekening maken die het bovenaanzicht laat zien (Fig. 20). Punt OVER– projectie van de middelpunten van de bovenste en onderste basis. sinds (zie figuur 20) en aan de andere kant OK– straal ingeschreven in de cirkel en OM– straal ingeschreven in een cirkel:

MK = DE.

Volgens de stelling van Pythagoras uit

Zijvlak:

Antwoord:

Voorbeeld 4. Aan de basis van de piramide ligt een gelijkbenige trapezium, waarvan de basis is A En B (A> B). Elk zijvlak vormt een hoek gelijk aan het vlak van de basis van de piramide J. Zoek de totale oppervlakte van de piramide.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 21). Totale oppervlakte van de piramide SABCD gelijk aan de som van de gebieden en het gebied van het trapezium ABCD.

Laten we de stelling gebruiken dat als alle vlakken van de piramide even hellend zijn ten opzichte van het vlak van de basis, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven. Punt OVER– hoekpuntprojectie S aan de voet van de piramide. Driehoek ZODE is de orthogonale projectie van de driehoek CSD naar het vlak van de basis. Volgens de stelling over het gebied van orthogonale projectie plat figuur wij krijgen:

Zo betekent het ook Het probleem werd dus beperkt tot het vinden van het gebied van de trapezium ABCD. Laten we een trapezium tekenen ABCD afzonderlijk (Afb. 22). Punt OVER– het middelpunt van een cirkel ingeschreven in een trapezium.

Omdat een cirkel in een trapezium kan worden ingeschreven, hebben we volgens de stelling van Pythagoras

Deze video-tutorial helpt gebruikers een idee te krijgen van het Pyramid-thema. Juiste piramide. In deze les maken we kennis met het concept van een piramide en geven we er een definitie aan. Laten we eens kijken wat een gewone piramide is en welke eigenschappen deze heeft. Vervolgens bewijzen we de stelling over het mantelvlak van een regelmatige piramide.

In deze les maken we kennis met het concept van een piramide en geven we er een definitie aan.

Beschouw een veelhoek Een 1 Een 2...Een, die in het α-vlak ligt, en het punt P, die niet in het α-vlak ligt (Fig. 1). Laten we de punten verbinden P met pieken Een 1, een 2, een 3, … Een. Wij krijgen N driehoeken: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R enzovoort.

Definitie. Veelvlak RA 1 A 2 ...Een n, bestaande uit N-vierkant Een 1 Een 2...Een En N driehoeken RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n Een n-1 wordt gebeld N-kolenpiramide. Rijst. 1.

Rijst. 1

Beschouw een vierhoekige piramide PABCD(Afb. 2).

R- de top van de piramide.

ABCD- de basis van de piramide.

RA- zijrib.

AB- basisrib.

Vanaf het punt R laten we de loodlijn laten vallen RN naar het basisvlak ABCD. De getekende loodlijn is de hoogte van de piramide.

Rijst. 2

Volledige oppervlakte De piramide bestaat uit een zijoppervlak, dat wil zeggen het gebied van alle zijvlakken, en het gebied van de basis:

S vol = S-zijde + S hoofd

Een piramide wordt correct genoemd als:

• de basis is een regelmatige veelhoek;
• het segment dat de bovenkant van de piramide met het midden van de basis verbindt, is de hoogte.

Uitleg aan de hand van het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide

Beschouw een regelmatige vierhoekige piramide PABCD(Afb. 3).

R- de top van de piramide. Basis van de piramide ABCD- een regelmatige vierhoek, dat wil zeggen een vierkant. Punt OVER, het snijpunt van de diagonalen, is het middelpunt van het vierkant. Middelen, RO is de hoogte van de piramide.

Rijst. 3

Uitleg: in de juiste N In een driehoek vallen het middelpunt van de ingeschreven cirkel en het middelpunt van de omgeschreven cirkel samen. Dit centrum wordt het centrum van de veelhoek genoemd. Soms zeggen ze dat het hoekpunt in het midden wordt geprojecteerd.

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, getrokken vanaf het hoekpunt, wordt genoemd apothema en wordt aangewezen h een.

1. alle zijkanten van een regelmatige piramide zijn gelijk;

2. De zijvlakken zijn gelijke gelijkbenige driehoeken.

We zullen een bewijs van deze eigenschappen geven aan de hand van het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide.

Gegeven: PABCD- regelmatige vierhoekige piramide,

ABCD- vierkant,

RO- hoogte van de piramide.

Bewijzen:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Zie afb. 4.

Rijst. 4

Bewijs.

RO- hoogte van de piramide. Dat wil zeggen: recht RO loodrecht op het vlak abc en dus direct JSC, VO, SO En DOEN erin liggen. Driehoeken dus ROA, ROV, ROS, ROD- rechthoekig.

Denk eens aan een vierkant ABCD. Uit de eigenschappen van een vierkant volgt dat AO = VO = CO = DOEN.

Dan de rechthoekige driehoeken ROA, ROV, ROS, ROD been RO- algemeen en benen JSC, VO, SO En DOEN zijn gelijk, wat betekent dat deze driehoeken aan twee zijden gelijk zijn. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt de gelijkheid van segmenten, RA = PB = RS = PD. Punt 1 is bewezen.

Segmenten AB En Zon zijn gelijk omdat ze zijden zijn van hetzelfde vierkant, RA = PB = RS. Driehoeken dus AVR En VSR- gelijkbenig en aan drie zijden gelijk.

Op een vergelijkbare manier vinden we die driehoeken ABP, VCP, CDP, DAP zijn gelijkbenig en gelijk, zoals moet worden bewezen in paragraaf 2.

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan de helft van het product van de omtrek van de basis en de apothema:

Laten we, om dit te bewijzen, een regelmatige driehoekige piramide kiezen.

Gegeven: RAVS- regelmatige driehoekige piramide.

AB = BC = AC.

RO- hoogte.

Bewijzen: . Zie afb. 5.

Rijst. 5

Bewijs.

RAVS- regelmatige driehoekige piramide. Dat is AB= AC = BC. Laten OVER- middelpunt van de driehoek abc, Dan RO is de hoogte van de piramide. Aan de basis van de piramide ligt een gelijkzijdige driehoek abc. Merk dat op .

Driehoeken RAV, RVS, RSA- gelijke gelijkbenige driehoeken (op eigenschap). Een driehoekige piramide heeft drie zijvlakken: RAV, RVS, RSA. Dit betekent dat het oppervlak van het zijoppervlak van de piramide is:

S-zijde = 3S RAW

De stelling is bewezen.

De straal van een cirkel ingeschreven aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide is 3 m, de hoogte van de piramide is 4 m. Zoek de oppervlakte van het zijoppervlak van de piramide.

Gegeven: regelmatige vierhoekige piramide ABCD,

ABCD- vierkant,

R= 3 meter,

RO- hoogte van de piramide,

RO= 4 meter.

Vinden: S-kant. Zie afb. 6.

Rijst. 6

Oplossing.

Volgens de bewezen stelling, .

Laten we eerst de zijkant van de basis vinden AB. We weten dat de straal van een cirkel ingeschreven aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide 3 meter bedraagt.

Dan, m.

Zoek de omtrek van het vierkant ABCD met een zijde van 6 m:

Beschouw een driehoek BCD. Laten M- midden van de zijkant gelijkstroom. Omdat OVER- midden BD, Dat (M).

Driehoek DPC- gelijkbenig. M- midden gelijkstroom. Dat wil zeggen, RM- mediaan, en dus hoogte in de driehoek DPC. Dan RM- apothema van de piramide.

RO- hoogte van de piramide. Dan, rechtdoor RO loodrecht op het vlak abc en dus direct OM, erin liggen. Laten we de apothema vinden RM van rechthoekige driehoek ROM.

Nu kunnen we het vinden zijvlak piramides:

Antwoord: 60 m2.

De straal van de cirkel rond de basis van een regelmatige driehoekige piramide is gelijk aan m. Zoek de lengte van de apothema.

Gegeven: ABCP- regelmatige driehoekige piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

Z-zijde = 18 m2.

Vinden: . Zie afb. 7.

Rijst. 7

Oplossing.

In een rechthoekige driehoek abc De straal van de omgeschreven cirkel wordt gegeven. Laten we een kant zoeken AB deze driehoek met behulp van de wet van de sinussen.

Als we de zijde van een regelmatige driehoek (m) kennen, vinden we de omtrek ervan.

Volgens de stelling over het manteloppervlak van een regelmatige piramide, waar h een- apothema van de piramide. Dan:

Antwoord: 4 meter.

We hebben dus gekeken naar wat een piramide is, wat een regelmatige piramide is, en we hebben de stelling over het manteloppervlak van een regelmatige piramide bewezen. In de volgende les zullen we kennis maken met de afgeknotte piramide.

Referenties

1. Geometrie. Groepen 10-11: leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs (basis- en profiel niveaus) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e druk, herz. en extra - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Groep 10-11: Leerboek voor algemeen vormend onderwijs onderwijsinstellingen/ Sharygin I.F. - M.: Trap, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Graad 10: Leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs met een diepgaande en gespecialiseerde studie van wiskunde /E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e druk, stereotype. - M.: Trap, 008. - 233 p.: ill.

1. Internetportaal "Yaklass" ()
2. Internetportaal "Festival pedagogische ideeën"Eerste september" ()
3. Internetportaal “Slideshare.net” ()

Huiswerk

1. Kan een regelmatige veelhoek de basis zijn van een onregelmatige piramide?
2. Bewijs dat onsamenhangende randen van een regelmatige piramide loodrecht staan.
3. Vind de waarde tweevlakshoek aan de zijkant van de basis van een regelmatige vierhoekige piramide, als de apothema van de piramide gelijk is aan de zijkant van de basis.
4. RAVS- regelmatige driehoekige piramide. Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoek aan de basis van de piramide.