De logaritme van een getal b met grondtal a is de exponent waarmee het getal a moet worden verhoogd om het getal b te verkrijgen.

Als, dan.

Logaritme - extreem belangrijk wiskundige hoeveelheid , aangezien logaritmische calculus het niet alleen mogelijk maakt exponentiële vergelijkingen op te lossen, maar ook met exponenten te werken, exponentiële en logaritmische functies te differentiëren, te integreren en naar een meer acceptabele te berekenen vorm te leiden.

Alle eigenschappen van logaritmen houden rechtstreeks verband met de eigenschappen van exponentiële functies. Het feit dat bijvoorbeeld betekent dat:

Opgemerkt moet worden dat bij het oplossen van specifieke problemen de eigenschappen van logaritmen belangrijker en nuttiger kunnen blijken te zijn dan de regels voor het werken met machten.

Laten we enkele identiteiten presenteren:

Hier zijn de fundamentele algebraïsche uitdrukkingen:

;

.

Aandacht! kan alleen bestaan ​​voor x>0, x≠1, y>0.

Laten we proberen de vraag te begrijpen wat natuurlijke logaritmen zijn. Speciale interesse in wiskunde vertegenwoordigen twee typen- de eerste heeft het getal “10” als grondtal en wordt de “decimale logaritme” genoemd. De tweede heet natuurlijk. De basis van de natuurlijke logaritme is het getal “e”. Dit is waar we in dit artikel uitgebreid over zullen praten.

Benamingen:

• lg x - decimaal;
• ln x - natuurlijk.

Met behulp van de identiteit kunnen we zien dat ln e = 1, evenals het feit dat lg 10=1.

Natuurlijke logaritmegrafiek

Laten we punt voor punt een grafiek van de natuurlijke logaritme maken met behulp van de klassieke standaardmethode. Als u wilt, kunt u controleren of wij de functie correct construeren door de functie te bekijken. Het is echter zinvol om te leren hoe u het "handmatig" kunt bouwen, zodat u weet hoe u de logaritme correct kunt berekenen.

Functie: y = lnx. Laten we een tabel met punten opschrijven waar de grafiek doorheen gaat:

Laten we uitleggen waarom we deze specifieke waarden van het argument x hebben gekozen. Het draait allemaal om identiteit: . Voor de natuurlijke logaritme ziet deze identiteit er als volgt uit:

Voor het gemak kunnen we vijf referentiepunten nemen:

;

;

.

;

.

Het berekenen van natuurlijke logaritmen is dus een vrij eenvoudige taak; bovendien vereenvoudigt het de berekeningen van bewerkingen met machten, waardoor ze worden omgezet in gewone vermenigvuldiging.

Door een grafiek punt voor punt uit te zetten, krijgen we een grafiek bij benadering:

Het domein van de definitie van de natuurlijke logaritme (d.w.z. alle geldige waarden van het argument X) zijn alle getallen groter dan nul.

Aandacht! Het domein van de definitie van de natuurlijke logaritme omvat alleen positieve getallen! Het toepassingsgebied van de definitie omvat niet x=0. Dit is onmogelijk op basis van de voorwaarden voor het bestaan ​​van de logaritme.

Het bereik van waarden (d.w.z. alle geldige waarden van de functie y = ln x) bestaat uit alle getallen in het interval.

Natuurlijke loglimiet

Als je de grafiek bestudeert, rijst de vraag: hoe gedraagt ​​de functie zich op y<0.

Het is duidelijk dat de grafiek van de functie de neiging heeft de y-as te kruisen, maar zal dit niet kunnen doen, aangezien de natuurlijke logaritme bij x<0 не существует.

Grens van natuurlijk loggen kan op deze manier worden geschreven:

Formule voor het vervangen van de basis van een logaritme

Behandelen natuurlijke logaritme veel eenvoudiger dan met een logaritme met een willekeurige grondtal. Daarom zullen we proberen te leren hoe we elke logaritme tot een natuurlijke kunnen herleiden, of hoe we deze via natuurlijke logaritmes tot een willekeurig grondtal kunnen uitdrukken.

Laten we beginnen met logaritmische identiteit:

Vervolgens kan elk getal of variabele y worden weergegeven als:

waarbij x een willekeurig getal is (positief volgens de eigenschappen van de logaritme).

Deze uitdrukking kan aan beide kanten logaritmisch worden opgevat. Laten we dit doen met behulp van een willekeurige grondtal z:

Laten we de eigenschap gebruiken (alleen in plaats van “c” hebben we de uitdrukking):

Vanaf hier krijgen we de universele formule:

.

In het bijzonder, als z=e, dan:

.

We konden een logaritme tot een willekeurig grondtal weergeven door de verhouding van twee natuurlijke logaritmen.

Wij lossen problemen op

Laten we, om natuurlijke logaritmen beter te begrijpen, naar voorbeelden van verschillende problemen kijken.

Probleem 1. Het is noodzakelijk om de vergelijking ln x = 3 op te lossen.

Oplossing: Gebruikmakend van de definitie van de logaritme: als , dan krijgen we:

Probleem 2. Los de vergelijking op (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Oplossing: Gebruikmakend van de definitie van de logaritme: als , dan krijgen we:

.

Laten we de definitie van een logaritme opnieuw gebruiken:

.

Dus:

.

U kunt het antwoord bij benadering berekenen, of u kunt het in dit formulier achterlaten.

Taak 3. Los de vergelijking op.

Oplossing: Laten we een substitutie uitvoeren: t = ln x. De vergelijking zal dan de volgende vorm aannemen:

.

We hebben een kwadratische vergelijking. Laten we de discriminant vinden:

Eerste wortel van de vergelijking:

.

Tweede wortel van de vergelijking:

.

Als we onthouden dat we de substitutie t = ln x hebben gemaakt, krijgen we:

In de statistiek en de waarschijnlijkheidstheorie worden logaritmische grootheden heel vaak aangetroffen. Dit is niet verrassend, omdat het getal e vaak de groeisnelheid van exponentiële grootheden weerspiegelt.

In de informatica, programmeren en computertheorie worden logaritmen vrij vaak aangetroffen, bijvoorbeeld om N bits in het geheugen op te slaan.

In de theorieën over fractals en dimensies worden voortdurend logaritmen gebruikt, omdat de dimensies van fractals alleen met hun hulp worden bepaald.

In mechanica en natuurkunde Er is geen sectie waar geen logaritmen zijn gebruikt. Barometrische distributie, alle principes van de statistische thermodynamica, de Tsiolkovsky-vergelijking, enz. Zijn processen die alleen wiskundig kunnen worden beschreven met behulp van logaritmen.

In de scheikunde worden logaritmen gebruikt in Nernst-vergelijkingen en beschrijvingen van redoxprocessen.

Verbazingwekkend genoeg worden zelfs in de muziek logaritmen gebruikt om het aantal delen van een octaaf te achterhalen.

Natuurlijke logaritme Functie y=ln x zijn eigenschappen

Bewijs van de belangrijkste eigenschap van de natuurlijke logaritme

Natuurlijke logaritme

Grafiek van de natuurlijke logaritmefunctie. De functie nadert langzaam de positieve oneindigheid naarmate deze groter wordt X en benadert snel de negatieve oneindigheid wanneer X neigt naar 0 (“langzaam” en “snel” vergeleken met welke vermogensfunctie dan ook X).

Natuurlijke logaritme is de logaritme ten opzichte van de basis , Waar e- een irrationele constante gelijk aan ongeveer 2,718281 828. De natuurlijke logaritme wordt gewoonlijk geschreven als ln( X), log e (X) of soms gewoon inloggen( X), als de basis e impliciet.

Natuurlijke logaritme van een getal X(geschreven als ln(x)) is de exponent waarmee het getal moet worden verhoogd e te krijgen X. Bijvoorbeeld, ln(7.389...) is gelijk aan 2 omdat e 2 =7,389... . Natuurlijke logaritme van het getal zelf e (ln(e)) is gelijk aan 1 omdat e 1 = e, en de natuurlijke logaritme is 1 ( ln(1)) is gelijk aan 0 omdat e 0 = 1.

De natuurlijke logaritme kan voor elk positief reëel getal worden gedefinieerd A als het gebied onder de curve j = 1/X van 1 tot A. De eenvoud van deze definitie, die consistent is met veel andere formules die de natuurlijke logaritme gebruiken, leidde tot de naam "natuurlijk". Deze definitie kan worden uitgebreid tot complexe getallen, zoals hieronder besproken.

Als we de natuurlijke logaritme beschouwen als een reële functie van een reële variabele, dan is het de inverse functie van de exponentiële functie, die tot de identiteiten leidt:

Zoals alle logaritmen, wijst de natuurlijke logaritme vermenigvuldiging toe aan optelling:

De logaritmische functie is dus een isomorfisme van de groep positieve reële getallen met betrekking tot vermenigvuldiging door de groep reële getallen met betrekking tot optelling, die kan worden weergegeven als een functie:

De logaritme kan worden gedefinieerd voor elke positieve grondtal anders dan 1, niet alleen e, maar logaritmen voor andere basen verschillen alleen van de natuurlijke logaritme door een constante factor, en worden gewoonlijk gedefinieerd in termen van de natuurlijke logaritme. Logaritmen zijn handig voor het oplossen van vergelijkingen waarbij onbekenden als exponenten voorkomen. Logaritmen worden bijvoorbeeld gebruikt om de vervalconstante voor een bekende halfwaardetijd te vinden, of om de vervaltijd te vinden bij het oplossen van radioactiviteitsproblemen. Ze spelen een belangrijke rol op veel gebieden van de wiskunde en toegepaste wetenschappen, en worden in de financiële wereld gebruikt om veel problemen op te lossen, waaronder het vinden van samengestelde rente.

Verhaal

De eerste vermelding van de natuurlijke logaritme werd gemaakt door Nicholas Mercator in zijn werk Logaritmotechniek, gepubliceerd in 1668, hoewel wiskundeleraar John Spidell in 1619 een tabel met natuurlijke logaritmen samenstelde. Het werd voorheen de hyperbolische logaritme genoemd omdat het overeenkomt met het gebied onder de hyperbool. Het wordt soms de Napier-logaritme genoemd, hoewel de oorspronkelijke betekenis van deze term enigszins anders was.

Aanwijzingsconventies

De natuurlijke logaritme wordt gewoonlijk aangegeven met “ln( X)", logaritme met grondtal 10 - via "lg( X)", en andere redenen worden meestal expliciet aangegeven met het symbool "log".

In veel werken over discrete wiskunde, cybernetica en informatica gebruiken auteurs de notatie “log( X)" voor logaritmen met grondtal 2, maar deze conventie wordt niet algemeen aanvaard en vereist verduidelijking in de lijst met gebruikte notaties of (bij gebrek aan een dergelijke lijst) door een voetnoot of commentaar bij het eerste gebruik.

Haakjes rond het argument van logaritmen (als dit niet leidt tot een foutieve lezing van de formule) worden meestal weggelaten, en bij het verheffen van een logaritme tot een macht wordt de exponent direct toegewezen aan het teken van de logaritme: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerikaans systeem

Wiskundigen, statistici en sommige ingenieurs gebruiken gewoonlijk de term ‘natuurlijke logaritme’ of ‘log( X)" of "ln( X)", en om de logaritme met grondtal 10 aan te duiden - "log 10 ( X)».

Sommige ingenieurs, biologen en andere specialisten schrijven altijd “ln( X)" (of af en toe "log e ( X)") wanneer ze de natuurlijke logaritme bedoelen, en de notatie "log( X)" ze bedoelen log 10 ( X).

loggen e is een "natuurlijke" logaritme omdat deze automatisch voorkomt en heel vaak voorkomt in de wiskunde. Beschouw bijvoorbeeld het probleem van de afgeleide van een logaritmische functie:

Als de basis B gelijk aan e, dan is de afgeleide eenvoudigweg 1/ X, en wanneer X= 1 Deze afgeleide is gelijk aan 1. Nog een reden waarom de basis e Het meest natuurlijke aan de logaritme is dat deze heel eenvoudig kan worden gedefinieerd in termen van een eenvoudige integraal of Taylorreeks, wat niet kan worden gezegd over andere logaritmes.

Verdere rechtvaardigingen voor natuurlijkheid houden geen verband met de notatie. Er zijn bijvoorbeeld verschillende eenvoudige reeksen met natuurlijke logaritmen. Pietro Mengoli en Nicholas Mercator noemden ze logaritme naturalis enkele decennia totdat Newton en Leibniz differentiaal- en integraalrekening ontwikkelden.

Definitie

Formeel ln( A) kan worden gedefinieerd als het gebied onder de curve van grafiek 1/ X van 1 tot A, dat wil zeggen als een integraal:

Het is echt een logaritme omdat het voldoet aan de fundamentele eigenschap van de logaritme:

Dit kan worden aangetoond door het volgende aan te nemen:

Numerieke waarde

Om de numerieke waarde van de natuurlijke logaritme van een getal te berekenen, kun je de Taylorreeksuitbreiding in de vorm gebruiken:

Om een ​​beter convergentiepercentage te krijgen, kunt u de volgende identiteit gebruiken:

Voor ln( X), Waar X> 1, hoe dichter de waarde X tot 1, hoe sneller de convergentiesnelheid. De identiteiten die aan de logaritme zijn gekoppeld, kunnen worden gebruikt om het doel te bereiken:

Deze methoden werden al vóór de komst van rekenmachines gebruikt, waarvoor numerieke tabellen werden gebruikt en manipulaties werden uitgevoerd die vergelijkbaar waren met die hierboven beschreven.

Hoge nauwkeurigheid

Voor het berekenen van de natuurlijke logaritme met een groot aantal nauwkeurige cijfers is de Taylor-reeks niet efficiënt omdat de convergentie langzaam is. Een alternatief is om de methode van Newton te gebruiken om te inverteren naar een exponentiële functie waarvan de reeks sneller convergeert.

Een alternatief voor een zeer hoge rekennauwkeurigheid is de formule:

Waar M geeft het rekenkundig-geometrische gemiddelde van 1 en 4/s aan, en

M zo gekozen P nauwkeurigheidskenmerken worden bereikt. (In de meeste gevallen is een waarde van 8 voor m voldoende.) Als deze methode wordt gebruikt, kan Newtons inverse van de natuurlijke logaritme worden toegepast om de exponentiële functie efficiënt te berekenen. (De constanten ln 2 en pi kunnen vooraf worden berekend tot de gewenste nauwkeurigheid met behulp van een van de bekende snel convergente reeksen.)

Computationele complexiteit

De computationele complexiteit van natuurlijke logaritmen (met behulp van het rekenkundig-geometrische gemiddelde) is O( M(N)ln N). Hier N is het aantal precisiecijfers waarvoor de natuurlijke logaritme moet worden geëvalueerd, en M(N) is de computationele complexiteit van het vermenigvuldigen van twee N-cijfers.

Vervolg breuken

Hoewel er geen eenvoudige kettingbreuken zijn die een logaritme weergeven, kunnen er verschillende gegeneraliseerde kettingbreuken worden gebruikt, waaronder:

Complexe logaritmen

De exponentiële functie kan worden uitgebreid tot een functie die een complex getal van de vorm geeft e X voor elk willekeurig complex getal X, in dit geval wordt het gebruikt eindeloze reeksen met uitgebreid X. Dit exponentiële functie kan worden omgekeerd om een ​​complexe logaritme te vormen, die de meeste eigenschappen van gewone logaritmes zal hebben. Er zijn echter twee problemen: die is er niet X, waarvoor e X= 0, en dat blijkt e 2πi = 1 = e 0 . Omdat de multiplicativiteitseigenschap dus geldig is voor een complexe exponentiële functie e z = e z+2nπi voor alle complexen z en heel N.

De logaritme kan niet over het hele complexe vlak worden gedefinieerd, en toch heeft hij meerdere waarden - elke complexe logaritme kan worden vervangen door een "equivalente" logaritme door een geheel veelvoud van 2 toe te voegen πi. De complexe logaritme kan alleen op een segment van het complexe vlak worden gewaardeerd. Bijvoorbeeld, ln i = 1/2 πi of 5/2 πi of −3/2 πi, enz., en hoewel i 4 = 1,4 logboek i kan worden gedefinieerd als 2 πi, of 10 πi of −6 πi, enzovoort.

Zie ook

• John Napier - uitvinder van logaritmen

Opmerkingen

1. Wiskunde voor fysische chemie. - 3e. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Uittreksel van pagina 9
2. JJO"Connor en EF Robertson Het nummer e. Het MacTutor History of Mathematics-archief (september 2001). Gearchiveerd
3. Cajori Florian Een geschiedenis van de wiskunde, 5e druk. - AMS Boekhandel, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flitsman, Martin Integralen schatten met behulp van polynomen. Gearchiveerd van het origineel op 12 februari 2012.

Wat is een logaritme?

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel erg...”)

Wat is een logaritme? Hoe logaritmes op te lossen? Deze vragen brengen veel afgestudeerden in verwarring. Traditioneel wordt het onderwerp logaritmen als complex, onbegrijpelijk en eng beschouwd. Vooral vergelijkingen met logaritmen.

Dit is absoluut niet waar. Absoluut! Geloof je mij niet? Prima. Nu kunt u in slechts 10 - 20 minuten:

1. Je zult het begrijpen wat is een logaritme.

2. Leer een hele klas op te lossen exponentiële vergelijkingen. Ook al heb je er niets over gehoord.

3. Leer eenvoudige logaritmen berekenen.

Bovendien hoef je hiervoor alleen de tafel van vermenigvuldiging te kennen en hoe je een getal tot een macht kunt verheffen...

Ik heb het gevoel dat je twijfelt... Nou, oké, let op de tijd! Laten we gaan!

Los eerst deze vergelijking in je hoofd op:

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

De logaritme van een positief getal b met grondtal a (a>0, a is niet gelijk aan 1) is een getal c zodat a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Merk op dat de logaritme van een niet-positief getal niet gedefinieerd is. Bovendien moet de basis van de logaritme zijn positief getal, niet gelijk aan 1. Als we bijvoorbeeld -2 kwadrateren, krijgen we het getal 4, maar dit betekent niet dat de logaritme met grondtal -2 van 4 gelijk is aan 2.

Fundamentele logaritmische identiteit

Het is belangrijk dat de reikwijdte van de definitie van de rechter- en linkerkant van deze formule verschillend is. De linkerkant is alleen gedefinieerd voor b>0, a>0 en a ≠ 1. De rechterkant is gedefinieerd voor elke b, en is helemaal niet afhankelijk van a. De toepassing van de fundamentele logaritmische ‘identiteit’ bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden kan dus leiden tot een verandering in de OD.

Twee voor de hand liggende gevolgen van de definitie van logaritme

Als we het getal a tot de eerste macht verheffen, krijgen we hetzelfde getal, en als we het tot de macht nul verheffen, krijgen we er één.

Logaritme van het product en logaritme van het quotiënt

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ik wil schoolkinderen waarschuwen voor het gedachteloos toepassen van deze formules bij het oplossen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden. Als je ze ‘van links naar rechts’ gebruikt, wordt de ODZ smaller, en als je van de som of het verschil van logaritmen naar de logaritme van het product of quotiënt gaat, wordt de ODZ groter.

De uitdrukking log a (f (x) g (x)) wordt in twee gevallen gedefinieerd: wanneer beide functies strikt positief zijn of wanneer f(x) en g(x) beide kleiner zijn dan nul.

Als we deze uitdrukking transformeren in de som log a f (x) + log a g (x), zijn we gedwongen ons alleen te beperken tot het geval waarin f(x)>0 en g(x)>0. Er is sprake van een verkleining van het gebied aanvaardbare waarden, en dit is categorisch onaanvaardbaar, omdat het kan leiden tot het verlies van oplossingen. Een soortgelijk probleem bestaat voor formule (6).

De graad kan uit het teken van de logaritme worden gehaald

En opnieuw zou ik willen oproepen tot nauwkeurigheid. Beschouw het volgende voorbeeld:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

De linkerkant van de gelijkheid is uiteraard gedefinieerd voor alle waarden van f(x) behalve nul. De rechterkant is alleen voor f(x)>0! Door de graad uit de logaritme te halen, verkleinen we de ODZ opnieuw. De omgekeerde procedure leidt tot een uitbreiding van het bereik van aanvaardbare waarden. Al deze opmerkingen gelden niet alleen voor macht 2, maar ook voor elke even macht.

Formule voor het verhuizen naar een nieuwe stichting

Dat zeldzame geval waarin de ODZ niet verandert tijdens transformatie. Als je basis c verstandig hebt gekozen (positief en niet gelijk aan 1), is de formule voor het verhuizen naar een nieuwe basis volkomen veilig.

Als we het getal b als de nieuwe grondtal c kiezen, krijgen we een belangrijk speciaal geval van formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Enkele eenvoudige voorbeelden met logaritmen

Voorbeeld 1. Bereken: log2 + log50.
Oplossing. log2 + log50 = log100 = 2. We gebruikten de som van de logaritmes-formule (5) en de definitie van de decimale logaritme.

Voorbeeld 2. Bereken: lg125/lg5.
Oplossing. log125/log5 = log 5 125 = 3. We gebruikten de formule voor het verplaatsen naar een nieuwe basis (8).

Tabel met formules gerelateerd aan logaritmen

De basiseigenschappen van de natuurlijke logaritme, grafiek, definitiedomein, reeks waarden, basisformules, afgeleide, integraal, uitbreiding van machtreeksen en weergave van de functie ln x met behulp van complexe getallen worden gegeven.

Definitie

Natuurlijke logaritme is de functie y = In x, het omgekeerde van het exponentiële, x = e y, en is de logaritme met de basis van het getal e: ln x = log e x.

De natuurlijke logaritme wordt veel gebruikt in de wiskunde omdat de afgeleide ervan de eenvoudigste vorm heeft: (lnx)′ = 1/x.

Gebaseerd op definities, is de basis van de natuurlijke logaritme het getal e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Grafiek van de functie y = In x.

Grafiek van natuurlijke logaritme (functies y = In x) wordt verkregen uit de exponentiële grafiek door spiegelreflectie ten opzichte van de rechte lijn y = x.

De natuurlijke logaritme wordt gedefinieerd op positieve waarden variabele x.

Het neemt monotoon toe in zijn domein van definitie. 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is minus oneindig (-∞).

Als x → + ∞ is de limiet van de natuurlijke logaritme plus oneindig (+ ∞). Voor grote x neemt de logaritme vrij langzaam toe. Elk machtsfunctie x a met een positieve exponent a groeit sneller dan de logaritme.

Eigenschappen van de natuurlijke logaritme

Domein van definitie, reeks waarden, extrema, toename, afname

De natuurlijke logaritme is een monotoon stijgende functie en heeft dus geen extremen. De belangrijkste eigenschappen van de natuurlijke logaritme worden weergegeven in de tabel.

In x-waarden

In 1 = 0

Basisformules voor natuurlijke logaritmes

Formules die volgen uit de definitie van de inverse functie:

De belangrijkste eigenschap van logaritmen en de gevolgen ervan

Basisvervangingsformule

Elke logaritme kan worden uitgedrukt in termen van natuurlijke logaritmen met behulp van de basissubstitutieformule:

Bewijzen van deze formules worden gepresenteerd in de sectie "Logaritme".

Inverse functie

De inverse van de natuurlijke logaritme is de exponent.

Als, dan

Als, dan.

Afgeleide ln x

Afgeleide van de natuurlijke logaritme:
.
Afgeleide van de natuurlijke logaritme van modulus x:
.
Afgeleide van de n-de orde:
.
Formules afleiden > > >

Integraal

De integraal wordt berekend door integratie in delen:
.
Dus,

Uitdrukkingen waarbij gebruik wordt gemaakt van complexe getallen

Beschouw de functie van de complexe variabele z:
.
Laten we de complexe variabele uitdrukken z via module R en betoog φ :
.
Met behulp van de eigenschappen van de logaritme hebben we:
.
Of
.
Het argument φ is niet uniek gedefinieerd. Als je zet
, waarbij n een geheel getal is,
het zal hetzelfde getal zijn voor verschillende n.

Daarom is de natuurlijke logaritme, als functie van een complexe variabele, geen functie met één waarde.

Uitbreiding van de machtreeksen

Wanneer de uitbreiding plaatsvindt:

Gebruikte literatuur:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handboek wiskunde voor ingenieurs en studenten, “Lan”, 2009.