Laten we ons de nodige informatie over complexe getallen herinneren.

Complex getal is een uitdrukking van de vorm A + bi, Waar A, B zijn reële getallen, en i- de zogenaamde denkbeeldige eenheid, een symbool waarvan het kwadraat gelijk is aan –1 i 2 = –1. Nummer A genaamd echt deel en het nummer B - denkbeeldig deel complex getal z = A + bi. Als B= 0, dan in plaats daarvan A + 0i ze schrijven gewoon A. Het is duidelijk dat reële getallen een speciaal geval zijn van complexe getallen.

Rekenkundige bewerkingen op complexe getallen zijn hetzelfde als op reële getallen: ze kunnen door elkaar worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld. Optellen en aftrekken gebeurt volgens de regel ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)i, en vermenigvuldiging volgt de regel ( A + bi) · ( C + di) = (ac – geb) + (advertentie + bc)i(hier wordt dat gebruikt i 2 = –1). Aantal = A – bi genaamd complex conjugaat Naar z = A + bi. Gelijkwaardigheid z · = A 2 + B Met 2 kunt u begrijpen hoe u een complex getal kunt delen door een ander (niet-nul) complex getal:

(Bijvoorbeeld, .)

Complexe getallen hebben een handige en visuele geometrische weergave: getal z = A + bi kan worden weergegeven door een vector met coördinaten ( A; B) op het cartesiaanse vlak (of, wat bijna hetzelfde is, een punt - het einde van een vector met deze coördinaten). In dit geval wordt de som van twee complexe getallen weergegeven als de som van de overeenkomstige vectoren (die kunnen worden gevonden met behulp van de parallellogramregel). Volgens de stelling van Pythagoras is de lengte van de vector met coördinaten ( A; B) is gelijk aan . Deze hoeveelheid wordt genoemd module complex getal z = A + bi en wordt aangegeven met | z|. De hoek die deze vector maakt met de positieve richting van de x-as (tegen de klok in geteld) wordt genoemd argument complex getal z en wordt aangegeven met Arg z. Het argument is niet uniek gedefinieerd, maar alleen tot de toevoeging van een veelvoud van 2 π radialen (of 360°, indien geteld in graden) - het is immers duidelijk dat een rotatie over een dergelijke hoek rond de oorsprong de vector niet zal veranderen. Maar als de vector van lengte R vormt een hoek φ met de positieve richting van de x-as, dan zijn de coördinaten gelijk aan ( R want φ ; R zonde φ ). Vanaf hier blijkt het trigonometrische notatie complex getal: z = |z| · (cos(Arg z) + i zonde (arg z)). Het is vaak handig om complexe getallen in deze vorm te schrijven, omdat dit de berekeningen enorm vereenvoudigt. Het vermenigvuldigen van complexe getallen in trigonometrische vorm is heel eenvoudig: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i zonde (arg z 1 + Arg z 2)) (bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen worden hun modules vermenigvuldigd en hun argumenten toegevoegd). Vanaf hier volgen De formules van Moivre: zn = |z|N· (omdat( N· (Arg z)) + i zonde( N· (Arg z))). Met behulp van deze formules kun je gemakkelijk leren hoe je wortels van welke graad dan ook uit complexe getallen kunt halen. Wortel nde graad vanaf nummer z- dit is een complex getal w, Wat w n = z. Dat is duidelijk , en , waar k kan elke waarde uit de set aannemen (0, 1, ..., N– 1). Dit betekent dat er altijd precies is N wortels N e graad van een complex getal (op het vlak bevinden ze zich op de hoekpunten van het reguliere getal N-gon).