Leer afgeleiden van functies te nemen. De afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een bepaald punt dat in de grafiek van deze functie ligt. In dit geval kan de grafiek een rechte of een gebogen lijn zijn. Dat wil zeggen, de afgeleide karakteriseert de veranderingssnelheid van een functie op een specifiek tijdstip. Herinneren algemene regels, waarmee derivaten worden genomen, en ga dan pas door naar de volgende stap.

• Lees het artikel.
• Hoe de eenvoudigste afgeleiden te nemen, bijvoorbeeld derivaat exponentiële vergelijking, beschreven. De berekeningen die in de volgende stappen worden gepresenteerd, zullen gebaseerd zijn op de daarin beschreven methoden.

Leer onderscheid te maken tussen taken waarin helling moet worden berekend via de afgeleide van de functie. Bij problemen wordt u niet altijd gevraagd de helling of afgeleide van een functie te vinden. U kunt bijvoorbeeld worden gevraagd om de veranderingssnelheid van een functie op punt A(x,y) te bepalen. Mogelijk wordt u ook gevraagd de helling van de raaklijn in punt A(x,y) te bepalen. In beide gevallen is het noodzakelijk om de afgeleide van de functie te nemen.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

In het vorige hoofdstuk werd aangetoond dat we, door een bepaald coördinatensysteem op het vlak te kiezen, de geometrische eigenschappen die de punten van de beschouwde lijn karakteriseren analytisch kunnen uitdrukken door een vergelijking tussen de huidige coördinaten. Zo krijgen we de vergelijking van de lijn. In dit hoofdstuk wordt gekeken naar vergelijkingen van rechte lijnen.

Om een ​​vergelijking voor een rechte lijn in cartesiaanse coördinaten te maken, moet je op de een of andere manier de voorwaarden instellen die de positie ervan ten opzichte van de coördinatenassen bepalen.

Eerst zullen we het concept van de hoekcoëfficiënt van een lijn introduceren, wat een van de grootheden is die de positie van een lijn in een vlak karakteriseert.

Laten we de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as de hoek noemen waarover de Ox-as moet worden gedraaid zodat deze samenvalt met de gegeven lijn (of evenwijdig daaraan is). Zoals gewoonlijk houden we rekening met de hoek, rekening houdend met het teken (het teken wordt bepaald door de draairichting: tegen de klok in of met de klok mee). Omdat een extra rotatie van de Ox-as over een hoek van 180° deze weer op één lijn brengt met de rechte lijn, kan de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de as niet eenduidig ​​worden gekozen (tot binnen een termijn een veelvoud van ).

De raaklijn van deze hoek wordt op unieke wijze bepaald (aangezien het veranderen van de hoek de raaklijn niet verandert).

De raaklijn van de hellingshoek van de rechte lijn aan de Ox-as wordt de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn genoemd.

De hoekcoëfficiënt karakteriseert de richting van de rechte lijn (hier maken we geen onderscheid tussen twee onderling tegengestelde richtingen van de rechte lijn). Als de helling recht is gelijk aan nul, dan is de rechte lijn evenwijdig aan de x-as. Bij een positieve hoekcoëfficiënt zal de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as acuut zijn (we beschouwen hier de kleinste positieve waarde kantelhoek) (Fig. 39); Bovendien, hoe groter de hoekcoëfficiënt, hoe groter de hoek van de helling ten opzichte van de Ox-as. Als de hoekcoëfficiënt negatief is, zal de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as stomp zijn (Fig. 40). Merk op dat een rechte lijn loodrecht op de Ox-as geen hoekcoëfficiënt heeft (de raaklijn van de hoek bestaat niet).

Het onderwerp "De hoekcoëfficiënt van een raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek" in het certificeringsexamen krijgt meerdere taken tegelijk. Afhankelijk van hun toestand kan van de afgestudeerde worden verlangd dat hij een volledig of een kort antwoord geeft. Bij de voorbereiding op het afleggen van het Unified State Exam in Mathematics moet de student zeker de taken herhalen waarbij het nodig is om de helling van een raaklijn te berekenen.

Het zal je helpen dit te doen educatief portaal"Sjkolkovo". Onze experts bereidden en presenteerden theoretische en praktisch materiaal zo toegankelijk mogelijk. Nadat ze ermee vertrouwd zijn geraakt, kunnen afgestudeerden van elk opleidingsniveau met succes problemen oplossen die verband houden met afgeleiden, waarbij het nodig is om de raaklijn van de raakhoek te vinden.

Hoogtepunten

Om de juiste en rationeel besluit Voor soortgelijke taken in het Unified State Exam moet u de basisdefinitie onthouden: de afgeleide vertegenwoordigt de mate van verandering van een functie; het is gelijk aan de raaklijn van de raakhoek die op een bepaald punt aan de grafiek van de functie wordt getrokken. Het is net zo belangrijk om de tekening te voltooien. Hiermee kunt u de juiste oplossing vinden voor GEBRUIK-problemen met de afgeleide, waarbij u de raaklijn van de raakhoek moet berekenen. Voor de duidelijkheid is het het beste om de grafiek in het OXY-vlak te tekenen.

Als u al vertrouwd bent geraakt met het basismateriaal over afgeleiden en klaar bent om te beginnen met het oplossen van problemen bij het berekenen van de raaklijn van de raaklijnhoek, zoals Unified State Exam-opdrachten, u kunt dit online doen. Voor elke taak, bijvoorbeeld problemen met het onderwerp 'Relatie van een afgeleide met de snelheid en versnelling van een lichaam', hebben we het juiste antwoord- en oplossingsalgoritme opgeschreven. Tegelijkertijd kunnen studenten oefenen met het uitvoeren van taken met verschillende niveaus van complexiteit. Indien nodig kan de oefening worden opgeslagen in de sectie “Favorieten”, zodat u de oplossing later met de docent kunt bespreken.

De figuur toont de hellingshoek van de rechte lijn en geeft de waarde van de helling aan verschillende opties de locatie van de lijn ten opzichte van het rechthoekige coördinatensysteem.

Het vinden van de helling van een rechte lijn met een bekende hellingshoek ten opzichte van de Ox-as levert geen problemen op. Om dit te doen, volstaat het om de definitie van de hoekcoëfficiënt in herinnering te brengen en de raaklijn van de hellingshoek te berekenen.

Voorbeeld.

Bepaal de helling van de rechte lijn als de hellingshoek ten opzichte van de abscis-as gelijk is aan .

Oplossing.

Volgens de voorwaarde. Vervolgens berekenen we per definitie de helling van een rechte lijn .

Antwoord:

De taak om de hellingshoek van een rechte lijn ten opzichte van de x-as met een bekende helling te vinden, is iets ingewikkelder. Hier is het noodzakelijk om rekening te houden met het teken van de helling. Wanneer de hellingshoek van de rechte lijn scherp is en wordt gevonden als . Wanneer de hellingshoek van de rechte lijn stomp is en kan worden bepaald met de formule .

Voorbeeld.

Bepaal de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de abscis-as als de helling gelijk is aan 3.

Oplossing.

Omdat de hoekcoëfficiënt per voorwaarde positief is, is de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as acuut. We berekenen het met behulp van de formule.

Antwoord:

Voorbeeld.

De helling van de rechte lijn is . Bepaal de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de Ox-as.

Oplossing.

Laten we aanduiden k is de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn, - de hellingshoek van deze rechte lijn ten opzichte van de positieve richting van de Ox-as. Omdat , dan gebruiken we de formule om de hellingshoek van de rechte lijn te vinden het volgende soort . We vervangen de gegevens uit de voorwaarde erin: .

Antwoord:

Vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt.

Vergelijking van een rechte lijn met helling heeft de vorm , waarbij k de helling van de lijn is, en b een reëel getal is. Met behulp van de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt kunt u elke rechte lijn specificeren die niet evenwijdig is aan de Oy-as (voor een rechte lijn evenwijdig aan de ordinaat-as is de hoekcoëfficiënt niet gedefinieerd).

Laten we eens kijken naar de betekenis van de zinsnede: “een rechte lijn op een vlak in vast systeem coördinaten wordt gegeven door een vergelijking met een hoekcoëfficiënt van de vorm ". Dit betekent dat aan de vergelijking wordt voldaan door de coördinaten van een willekeurig punt op de lijn en niet door de coördinaten van andere punten op het vlak. Dus als bij het vervangen van de coördinaten van een punt de juiste gelijkheid wordt verkregen, dan gaat de rechte lijn door dit punt. Anders ligt het punt niet op de lijn.

Voorbeeld.

De rechte lijn wordt gegeven door een vergelijking met een helling. Horen de punten ook bij deze lijn?

Oplossing.

Laten we de coördinaten van het punt vervangen door de oorspronkelijke vergelijking van de rechte lijn met de helling: . We hebben de juiste gelijkheid verkregen, daarom ligt punt M 1 op de lijn.

Wanneer we de coördinaten van een punt vervangen, krijgen we een onjuiste gelijkheid: . Punt M 2 ligt dus niet op een lijn.

Antwoord:

Punt M 1 behoort tot de lijn, M 2 niet.

Opgemerkt moet worden dat een rechte lijn gedefinieerd door de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt door het punt gaat, aangezien we, wanneer we de coördinaten ervan in de vergelijking vervangen, de juiste gelijkheid verkrijgen: .

De vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt definieert dus in het vlak een rechte lijn die door een punt gaat en een hoek vormt met de positieve richting van de x-as, en

Laten we als voorbeeld een rechte lijn weergeven, gedefinieerd door de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt van de vorm . Deze lijn gaat door een punt en heeft een helling radialen (60 graden) in de positieve richting van de Ox-as. De helling ervan is gelijk aan .

Vergelijking van een rechte lijn met helling die door een bepaald punt gaat.

Nu zullen we een heel belangrijk probleem oplossen: we zullen de vergelijking verkrijgen van een rechte lijn met een gegeven helling k en die door het punt gaat.

Omdat de lijn door het punt gaat, is de gelijkheid waar . We kennen het getal b niet. Om er vanaf te komen, trekken we respectievelijk de linker- en rechterkant van de laatste gelijkheid af van de linker- en rechterkant van de vergelijking van de rechte lijn met de hellingscoëfficiënt. In dit geval krijgen we . Deze gelijkheid is vergelijking van een rechte lijn met een gegeven helling k, die door een bepaald punt gaat.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Voorbeeld.

Schrijf de vergelijking van een lijn die door het punt gaat, de helling van deze lijn is -2.

Oplossing.

Van de toestand die we hebben . Dan zal de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt de vorm aannemen.

Antwoord:

Voorbeeld.

Schrijf de vergelijking van een rechte lijn als bekend is dat deze door een punt gaat en de hellingshoek ten opzichte van de positieve richting van de Ox-as gelijk is aan .

Oplossing.

Laten we eerst de helling berekenen van de lijn waarvan we de vergelijking zoeken (we hebben dit probleem opgelost in de vorige paragraaf van dit artikel). Per definitie . Nu hebben we alle gegevens om de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt op te schrijven:

Antwoord:

Voorbeeld.

Schrijf de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt die door een punt evenwijdig aan de lijn gaat.

Oplossing.

Het is duidelijk dat de hellingshoeken van evenwijdige lijnen ten opzichte van de Ox-as samenvallen (zie indien nodig het artikel evenwijdigheid van lijnen), daarom zijn de hoekcoëfficiënten van evenwijdige lijnen gelijk. Dan is de helling van de rechte lijn, waarvan we de vergelijking moeten verkrijgen, gelijk aan 2, aangezien de helling van de rechte lijn gelijk is aan 2. Nu kunnen we de vereiste vergelijking van een rechte lijn met een helling maken:

Antwoord:

Overgang van de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt naar andere soorten vergelijkingen van een lijn en vice versa.

Ondanks alle bekendheid is de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt niet altijd handig om te gebruiken bij het oplossen van problemen. In sommige gevallen zijn problemen gemakkelijker op te lossen als de vergelijking van een lijn in een andere vorm wordt gepresenteerd. Met de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt kunt u bijvoorbeeld niet onmiddellijk de coördinaten van de richtende vector van de rechte lijn of de coördinaten van de normaalvector van de rechte lijn opschrijven. Daarom moet je leren om van de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt naar andere soorten vergelijkingen van deze rechte lijn te gaan.

Uit de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt is het gemakkelijk om de canonieke vergelijking te verkrijgen van een rechte lijn op een vlak van de vorm . Om dit te doen, verplaatsen we de term b van de rechterkant van de vergelijking naar de linkerkant met het tegenovergestelde teken, en delen we vervolgens beide zijden van de resulterende gelijkheid door de helling k: . Deze acties leiden ons van de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt naar de canonieke vergelijking van een lijn.

Voorbeeld.

Geef de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt naar de canonieke vorm.

Oplossing.

Laten we de noodzakelijke transformaties uitvoeren: .

Antwoord:

Voorbeeld.

Een rechte lijn wordt gegeven door de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt. Is de vector een normaalvector van deze lijn?

Oplossing.

Om dit probleem op te lossen, gaan we van de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt naar de algemene vergelijking van deze rechte lijn: . We weten dat de coëfficiënten van de variabelen x en y in de algemene vergelijking van een lijn de overeenkomstige coördinaten zijn van de normaalvector van deze lijn, dat wil zeggen de normaalvector van de lijn . Het is duidelijk dat de vector collineair is ten opzichte van de vector, aangezien de relatie geldig is (zie indien nodig het artikel). De oorspronkelijke vector is dus ook een normaallijnvector , en is daarom een ​​normaalvector en de originele lijn.

Antwoord:

Ja, dat is zo.

En nu zullen we het omgekeerde probleem oplossen - het probleem van het reduceren van de vergelijking van een rechte lijn in een vlak tot de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt.

Uit de algemene rechtelijnvergelijking van de vorm , waarin het heel gemakkelijk is om naar een vergelijking met een hellingscoëfficiënt te gaan. Hiervoor heb je nodig algemene vergelijking directe oplossing met betrekking tot y. In dit geval krijgen we . De resulterende gelijkheid is een vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt gelijk aan .