5. Het vinden van het oppervlak van rotatielichamen

Laat de curve AB de grafiek zijn van de functie y = f(x) ≥ 0, waarbij x [a; b], en de functie y = f(x) en zijn afgeleide y" = f"(x) zijn continu op dit segment.

Laten we het gebied S vinden van het oppervlak dat wordt gevormd door de rotatie van de curve AB rond de Ox-as (Fig. 8).

Laten we schema II toepassen (differentiële methode).

Door een willekeurig punt x [a; b] teken een vlak P loodrecht op de Ox-as. Vlak П snijdt het rotatieoppervlak in een cirkel met straal y – f(x). De grootte S van het oppervlak van het deel van de omwentelingsfiguur dat links van het vlak ligt, is een functie van x, d.w.z. s = s(x) (s(a) = 0 en s(b) = S).

Laten we het argument x een verhoging geven Δx = dx. Door het punt x + dx [a; b] we tekenen ook een vlak loodrecht op de Ox-as. De functie s = s(x) krijgt een toename van Δs, in de figuur weergegeven als een “riem”.

Laten we het differentiële gebied ds vinden door de figuur gevormd tussen de secties te vervangen door een afgeknotte kegel, waarvan de beschrijvende gelijk is aan dl, en de stralen van de bases gelijk zijn aan y en y + dу. De oppervlakte van het zijoppervlak is gelijk aan: = 2ydl + dydl.

Als we het product dу d1 verwerpen als een oneindig klein getal van een hogere orde dan ds, verkrijgen we ds = 2уdl, of, aangezien d1 = dx.

Door de resulterende gelijkheid in het bereik van x = a tot x = b te integreren, verkrijgen we

Als de curve AB wordt gegeven door de parametervergelijkingen x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, dan heeft de formule voor het omwentelingsoppervlak de vorm

S=2 dt.

Voorbeeld: Zoek de oppervlakte van een bal met straal R.

S=2 =

6. Het vinden van de arbeid van een variabele kracht

Variabele krachtarbeid

Laat het materiële punt M langs de Ox-as bewegen onder invloed van een variabele kracht F = F(x) die evenwijdig aan deze as is gericht. De arbeid die een kracht verricht bij het verplaatsen van punt M van positie x = a naar positie x = b (a

Hoeveel arbeid moet er worden verricht om de veer 0,05 m uit te rekken als een kracht van 100 N de veer 0,01 m uitrekt?

Volgens de wet van Hooke is de elastische kracht die de veer uitrekt evenredig met deze rek x, d.w.z. F = kх, waarbij k de evenredigheidscoëfficiënt is. Volgens de omstandigheden van het probleem strekt een kracht F = 100 N de veer uit met x = 0,01 m; daarom 100 = k 0,01, vandaar k = 10.000; daarom F = 10000x.

Vereist werk op basis van formule

EEN=

Bereken de hoeveelheid werk die nodig is om vloeistof over de rand te pompen vanuit een verticale cilindrische tank met een hoogte N m en een basisradius R m (Fig. 13).

De arbeid die wordt besteed aan het optillen van een gewicht p naar een hoogte h is gelijk aan p N. Maar de verschillende vloeistoflagen in de tank bevinden zich op verschillende diepten en de hoogte van de stijging (tot aan de rand van de tank) van de verschillende lagen zijn niet hetzelfde.

Om het probleem op te lossen passen we schema II toe (differentiële methode). Laten we een coördinatensysteem introduceren.

1) De arbeid die wordt besteed aan het wegpompen van een vloeistoflaag met dikte x (0 ≤ x ≤ H) uit een reservoir is een functie van x, d.w.z. A = A(x), waarbij (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Vind het grootste deel van de toename ΔA wanneer x verandert met de hoeveelheid Δx = dx, d.w.z. we vinden de differentiële dA van de functie A(x).

Vanwege de kleinheid van dx gaan we ervan uit dat de “elementaire” vloeistoflaag zich op dezelfde diepte x bevindt (vanaf de rand van het reservoir). Dan is dA = dрх, waarbij dр het gewicht van deze laag is; het is gelijk aan g АV, waarbij g de versnelling van de zwaartekracht is, de dichtheid van de vloeistof, dv het volume is van de "elementaire" vloeistoflaag (deze is gemarkeerd in de figuur), d.w.z. dр = g. Het volume van de aangegeven vloeistoflaag is uiteraard gelijk aan , waarbij dx de hoogte van de cilinder (laag) is, het gebied van de basis, d.w.z. dv = .

Dus dр = . En

3) Als we de resulterende gelijkheid integreren in het bereik van x = 0 tot x = H, vinden we

A

8. Berekening van integralen met behulp van het MathCAD-pakket

Bij het oplossen van sommige toegepaste problemen is het noodzakelijk om de werking van symbolische integratie te gebruiken. In dit geval kan het MathCad-programma nuttig zijn, zowel in de beginfase (het is goed om het antwoord van tevoren te weten of te weten dat het bestaat) als in de laatste fase (het is goed om het resultaat te controleren met behulp van een antwoord uit een andere bron of de oplossing van iemand anders).

Wanneer u een groot aantal problemen oplost, kunt u enkele kenmerken opmerken van het oplossen van problemen met behulp van het MathCad-programma. Laten we met verschillende voorbeelden proberen te begrijpen hoe dit programma werkt, de oplossingen analyseren die met zijn hulp zijn verkregen en deze oplossingen vergelijken met oplossingen die met andere methoden zijn verkregen.

De belangrijkste problemen bij het gebruik van het MathCad-programma zijn als volgt:

a) het programma geeft het antwoord niet in de vorm van bekende elementaire functies, maar in de vorm van speciale functies die niet bij iedereen bekend zijn;

b) in sommige gevallen “weigert” een antwoord te geven, ook al bestaat er een oplossing voor het probleem;

c) soms is het onmogelijk om het verkregen resultaat te gebruiken vanwege de omslachtigheid ervan;

d) het probleem niet volledig oplost en de oplossing niet analyseert.

Om deze problemen op te lossen, is het noodzakelijk om de sterke en zwakke punten van het programma te benutten.

Met zijn hulp is het gemakkelijk en eenvoudig om integralen van fractionele rationale functies te berekenen. Daarom wordt aanbevolen om de variabele vervangingsmethode te gebruiken, d.w.z. Bereid de integraal voor op de oplossing. Voor deze doeleinden kunnen de hierboven besproken vervangingen worden gebruikt. Er moet ook rekening mee worden gehouden dat de verkregen resultaten moeten worden onderzocht op het samenvallen van de definitiedomeinen van de oorspronkelijke functie en het verkregen resultaat. Bovendien vereisen sommige van de verkregen oplossingen aanvullend onderzoek.

Het MathCad-programma bevrijdt de student of onderzoeker van routinewerk, maar kan hem niet bevrijden van aanvullende analyses, zowel bij het stellen van een probleem als bij het verkrijgen van resultaten.

Dit artikel onderzocht de belangrijkste bepalingen met betrekking tot de studie van toepassingen van een bepaalde integraal in een wiskundecursus.

– er is een analyse uitgevoerd van de theoretische basis voor het oplossen van integralen;

– het materiaal werd gesystematiseerd en gegeneraliseerd.

Tijdens het voltooien van het cursuswerk werden voorbeelden van praktische problemen op het gebied van natuurkunde, meetkunde en mechanica overwogen.

Conclusie

De hierboven besproken voorbeelden van praktijkproblemen geven ons een duidelijk beeld van de betekenis bepaalde integraal vanwege hun solvabiliteit.

Het is moeilijk een wetenschappelijk gebied te noemen waarin de methoden van integraalrekening in het algemeen, en de eigenschappen van de bepaalde integraal in het bijzonder, niet zouden worden gebruikt. Dus tijdens het voltooien van het cursuswerk onderzochten we voorbeelden van praktische problemen op het gebied van natuurkunde, meetkunde, mechanica, biologie en economie. Uiteraard is dit verre van een uitputtende lijst van wetenschappen die de integrale methode gebruiken om te zoeken naar een gevestigde waarde bij het oplossen van een specifiek probleem en het vaststellen van theoretische feiten.

De bepaalde integraal wordt ook gebruikt om de wiskunde zelf te bestuderen. Bijvoorbeeld bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen, die op hun beurt een onvervangbare bijdrage leveren aan het oplossen van praktische problemen. We kunnen zeggen dat een bepaalde integraal een zekere basis vormt voor de studie van wiskunde. Vandaar het belang om te weten hoe je ze kunt oplossen.

Uit al het bovenstaande is het duidelijk waarom kennismaking met de bepaalde integraal plaatsvindt in het kader van de middelbare school, waar leerlingen niet alleen het concept van de integraal en zijn eigenschappen bestuderen, maar ook enkele van zijn toepassingen.

Literatuur

1. Volkov E.A. Numerieke methoden. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Differentiaal- en integraalrekening. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Hogere wiskunde. M., Hogere School, 1990.

Oppervlakte van revolutie- een oppervlak gevormd door rotatie rond een rechte lijn (oppervlakte-as) van een willekeurige lijn (rechte, vlakke of ruimtelijke curve). Als een rechte lijn bijvoorbeeld de rotatie-as snijdt, wordt een conisch oppervlak verkregen als het evenwijdig is aan de as; revolutie zal worden verkregen. Hetzelfde oppervlak kan worden verkregen door een grote verscheidenheid aan bochten te roteren. Het gebied van het omwentelingsoppervlak gevormd door de rotatie van een vlakke kromme van eindige lengte rond een as die in het vlak van de kromme ligt maar de kromme niet snijdt, is gelijk aan het product van de lengte van de kromme en de lengte van een cirkel met een straal gelijk aan de afstand van de as tot het massamiddelpunt van de curve. Deze bewering wordt de tweede stelling van Gylden of de zwaartepuntstelling van Pappus genoemd.

Met de formule kan het oppervlak van het omwentelingsoppervlak worden berekend dat wordt gevormd door de rotatie van een curve rond een as

Voor het geval dat de curve wordt gespecificeerd in het polaire coördinatensysteem, is de formule geldig

Mechanische toepassingen van de bepaalde integraal (krachtarbeid, statische momenten, zwaartepunt).

Berekening van krachtenarbeid

Een materieel punt beweegt langs een continu differentieerbare curve, terwijl er een kracht op inwerkt die tangentieel op het traject in de bewegingsrichting is gericht. Totaal werk verricht door kracht F(s):

Als de positie van een punt op het bewegingstraject wordt beschreven door een andere parameter, dan heeft de formule de vorm:

Berekening van statische momenten en zwaartepunt
Laat op het coördinatenvlak Oxy wat massa M verdeeld zijn met dichtheid p = p(y) op een bepaald stel punten S (dit kan een boog van een curve zijn of een begrensd vlak figuur). Laten we s(y) aanduiden - de maat van de gespecificeerde set (booglengte of oppervlakte).

Definitie 2. Aantal wordt het k-de moment van massa M ten opzichte van de Ox-as genoemd.
Bij k = 0 M 0 = M - massa,
k = 1 M 1 - statisch moment,
k = 2 M 2 - traagheidsmoment.

Momenten rond de Oy-as worden op dezelfde manier geïntroduceerd. In de ruimte worden de concepten van massamomenten ten opzichte van coördinaatvlakken op een vergelijkbare manier geïntroduceerd.
Als p = 1, worden de overeenkomstige momenten geometrisch genoemd. De coördinaten van het zwaartepunt van een homogeen (p - const) vlak figuur worden bepaald door de formules:

waarbij M 1 y, M 1 x de geometrische statische momenten van de figuur zijn ten opzichte van de Oy- en Ox-assen; S is het gebied van de figuur.

Als de curve wordt gegeven door parametervergelijkingen, wordt het oppervlak dat wordt verkregen door deze curve rond de as te draaien, berekend met de formule . In dit geval is de “tekenrichting” van de lijn, waarover zoveel kopieën in het artikel zijn gebroken, onverschillig. Maar net als in de vorige paragraaf is het belangrijk dat de curve zich bevindt hoger abscis-as - anders zal de functie "verantwoordelijk voor de spellen" negatieve waarden aannemen en moet je een "minteken" voor de integraal plaatsen.

Voorbeeld 3

Bereken de oppervlakte van een bol die wordt verkregen door een cirkel rond de as te draaien.

Oplossing: uit het artikel over oppervlakte en volume voor een parametrisch gegeven lijn je weet dat de vergelijkingen een cirkel definiëren met een middelpunt op de oorsprong van straal 3.

Goed gebied , voor degenen die het vergeten zijn: dit is het oppervlak bal(of bolvormig oppervlak).

Wij houden ons aan het vastgestelde oplossingsschema. Laten we afgeleiden vinden:

Laten we de wortel van de “formule” samenstellen en vereenvoudigen:

Onnodig te zeggen dat het snoep bleek te zijn. Kijk ter vergelijking hoe Fichtenholtz de kop opstak met het gebied ellipsoïde van revolutie.

Volgens de theoretische opmerking beschouwen we de bovenste halve cirkel. Het wordt “getekend” wanneer de parameterwaarde binnen de limieten verandert (dat is gemakkelijk te zien). op dit interval), dus:

Antwoord:

Als je het probleem in algemene vorm oplost, krijg je precies de schoolformule voor de oppervlakte van een bol, waar de straal ligt.

Het was zo'n pijnlijk eenvoudige taak, ik schaamde me er zelfs voor... Ik stel voor dat je deze bug oplost =)

Voorbeeld 4

Bereken de oppervlakte die wordt verkregen door de eerste boog van de cycloïde rond de as te draaien.

De taak is creatief. Probeer de formule af te leiden of intuïtief te raden voor het berekenen van de oppervlakte die wordt verkregen door een curve rond de ordinaat-as te draaien. En natuurlijk moet opnieuw het voordeel van parametervergelijkingen worden opgemerkt: ze hoeven op geen enkele manier te worden gewijzigd; het is niet nodig om andere integratiegrenzen te zoeken.

De cycloïdegrafiek kan op de pagina worden bekeken Oppervlakte en volume, als de lijn parametrisch is opgegeven. Het rotatieoppervlak zal lijken op... ik weet niet eens waarmee ik het moet vergelijken... iets onaards - rond van vorm met een puntige verdieping in het midden. In het geval van rotatie van een cycloïde rond een as kwam er meteen een associatie in me op: een langwerpige rugbybal.

De oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

We sluiten onze boeiende recensie af met de casus polaire coördinaten. Ja, gewoon een recensie, als je naar leerboeken over wiskundige analyse kijkt (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, andere auteurs), kun je een tiental (of zelfs veel meer) standaardvoorbeelden krijgen, waaronder misschien wel het probleem dat je nodig hebt .

Hoe het oppervlak van de revolutie te berekenen,
als de lijn in een polair coördinatensysteem wordt gegeven?

Als de curve is opgegeven polaire coördinaten vergelijking, en de functie heeft een continue afgeleide op een bepaald interval, dan wordt het oppervlak dat wordt verkregen door deze curve rond de polaire as te draaien, berekend met de formule , waar zijn de hoekwaarden die overeenkomen met de uiteinden van de curve.

In overeenstemming met de geometrische betekenis van het probleem, de integrandfunctie , en dit wordt alleen bereikt onder de voorwaarde (en is uiteraard niet-negatief). Daarom is het noodzakelijk om hoekwaarden uit het bereik te overwegen, met andere woorden, de curve moet worden gelokaliseerd hoger poolas en de voortzetting ervan. Zoals je kunt zien hetzelfde verhaal als in de twee voorgaande paragrafen.

Voorbeeld 5

Bereken het oppervlak dat wordt gevormd door het roteren van de cardioïde rond de poolas.

Oplossing: de grafiek van deze curve is te zien in voorbeeld 6 van les over polair coördinatensysteem. De cardioïde is symmetrisch rond de poolas, dus we beschouwen de bovenste helft ervan in het interval (wat in feite te wijten is aan de bovenstaande opmerking).

Het rotatieoppervlak zal op een roos lijken.

De oplossingstechniek is standaard. Laten we de afgeleide vinden met betrekking tot "phi":

Laten we de wortel samenstellen en vereenvoudigen:

Ik hoop met regelmatig trigonometrische formules niemand had problemen.

Wij gebruiken de formule:

Tussendoor , vandaar: (Ik heb in het artikel gedetailleerd gesproken over hoe je op de juiste manier van de root af kunt komen Curve booglengte).

Antwoord:

Een interessante en korte taak die u zelf kunt oplossen:

Voorbeeld 6

Bereken het gebied van de bolvormige riem,

Wat is een ballengordel? Zet een ronde, ongeschilde sinaasappel op tafel en pak een mes. Maak er twee parallel gesneden, waardoor het fruit in 3 delen van willekeurige grootte wordt verdeeld. Neem nu het midden, waar aan beide kanten sappig vruchtvlees zichtbaar is. Dit lichaam heet bolvormige laag, en het oppervlak dat het begrenst (sinaasappelschil) – bal riem.

Lezers bekend mee polaire coördinaten, konden we gemakkelijk een tekening van het probleem presenteren: de vergelijking specificeert een cirkel met een middelpunt op de pool met straal , van waaruit stralen afgesneden minder boog. Deze boog roteert rond de poolas en produceert zo een bolvormige band.

Nu kun je met een zuiver geweten en een licht hart een sinaasappel eten, en met deze smakelijke noot beëindigen we de les, bederf je eetlust niet met andere voorbeelden =)

Oplossingen en antwoorden:

Voorbeeld 2:Oplossing : bereken de oppervlakte gevormd door de rotatie van de bovenste tak rond de abscis-as. Wij gebruiken de formule .
In dit geval: ;

Dus:


Antwoord:

Voorbeeld 4:Oplossing : gebruik de formule . De eerste boog van de cycloïde wordt op het segment gedefinieerd .
Laten we afgeleiden vinden:

Laten we de wortel samenstellen en vereenvoudigen:

Het rotatieoppervlak is dus:

Tussendoor , Daarom

Eerste integraalin delen integreren :

In de tweede integraal gebruiken wetrigonometrische formule .


Antwoord:

Voorbeeld 6:Oplossing : gebruik de formule:


Antwoord:

Hogere wiskunde voor correspondentiestudenten en meer >>>

(Ga naar de hoofdpagina)

Hoe een bepaalde integraal te berekenen
met behulp van de trapeziumformule en de methode van Simpson?

Numerieke methoden vormen een vrij groot deel van de hogere wiskunde en serieuze leerboeken over dit onderwerp bevatten honderden pagina's. In de praktijk, nl testen Traditioneel wordt voorgesteld sommige problemen op te lossen met behulp van numerieke methoden, en een van de veel voorkomende problemen is de berekening bij benadering bepaalde integralen. In dit artikel zal ik twee methoden bekijken voor de geschatte berekening van de bepaalde integraal: trapezium methode En Simpson-methode.

Wat moet je weten om deze methoden onder de knie te krijgen? Het klinkt misschien grappig, maar het kan zijn dat je helemaal geen integralen kunt nemen. En je begrijpt niet eens wat integralen zijn. Van technische middelen heb je een microcalculator nodig. Ja, ja, routinematige schoolberekeningen wachten op ons. Beter nog: download de mijne semi-automatische rekenmachine voor de trapeziummethode en de Simpson-methode. De rekenmachine is geschreven in Excel en verkort de tijd die nodig is voor het oplossen en voltooien van problemen met tientallen keren. Voor Excel-dummies wordt een videohandleiding meegeleverd! Overigens de eerste video-opname met mijn stem.

Laten we ons eerst eens afvragen: waarom hebben we überhaupt berekeningen bij benadering nodig? Het lijkt erop dat je het kunt vinden primitief van functie en gebruik de Newton-Leibniz-formule om te berekenen exacte waarde bepaalde integraal. Laten we, om de vraag te beantwoorden, meteen naar een demovoorbeeld met een afbeelding kijken.

Bereken de bepaalde integraal

Alles zou goed komen, maar in dit voorbeeld de integraal kan niet worden genomen - voor je ligt een niet-genomen integraal, de zogenaamde integrale logaritme. Bestaat deze integraal überhaupt? Laten we in de tekening de grafiek van de integrandfunctie weergeven:

Alles is in orde. Integrand continu op het segment en de definitieve integraal is numeriek gelijk aan het gearceerde gebied. Er is slechts één probleem: de integraal kan niet worden genomen. En in dergelijke gevallen komen numerieke methoden te hulp. In dit geval doet het probleem zich voor in twee formuleringen:

1) Bereken bij benadering de bepaalde integraal , waarbij het resultaat wordt afgerond op een bepaald decimaal. Bijvoorbeeld maximaal twee decimalen, maximaal drie decimalen, enz. Laten we aannemen dat het geschatte antwoord 5,347 is. In feite is het misschien niet helemaal juist (in werkelijkheid is het nauwkeurigere antwoord bijvoorbeeld 5,343). Onze taak is alleen dat om het resultaat af te ronden op drie decimalen.

2) Bereken bij benadering de definitieve integraal, met een zekere nauwkeurigheid. Bereken bijvoorbeeld een bepaalde integraal met een nauwkeurigheid van ongeveer 0,001. Wat betekent het? Dit betekent dat als het geschatte antwoord 5,347 is, dan Alle de cijfers moeten van gewapend beton zijn juist. Om precies te zijn, het antwoord 5.347 zou in absolute waarde (in de ene of andere richting) niet meer dan 0,001 van de waarheid moeten verschillen.

Er zijn verschillende basismethoden voor de geschatte berekening van de bepaalde integraal die voorkomt in problemen:

Rechthoekmethode. Het integratiesegment is opgedeeld in verschillende delen en er is een stapfiguur gemaakt ( histogram), dat qua gebied dichtbij het gewenste gebied ligt:

Beoordeel niet strikt op basis van de tekeningen, de nauwkeurigheid is niet ideaal - ze helpen alleen om de essentie van de methoden te begrijpen.

In dit voorbeeld is het integratiesegment verdeeld in drie segmenten:
. Het is duidelijk dat hoe frequenter de verdeling plaatsvindt (meer kleinere tussensegmenten), hoe hoger de nauwkeurigheid. De rechthoekmethode geeft een ruwe benadering van het gebied, wat blijkbaar de reden is dat deze in de praktijk zeer zelden wordt aangetroffen (ik herinner me er maar één praktisch voorbeeld). In dit opzicht zal ik de rechthoekmethode niet overwegen, en ik zal zelfs geen eenvoudige formule geven. Niet omdat ik lui ben, maar vanwege het principe van mijn werkboek: wat uiterst zeldzaam is bij praktische problemen, wordt buiten beschouwing gelaten.

Trapeziummethode. Het idee is vergelijkbaar. Het integratiesegment is verdeeld in verschillende tussensegmenten, en de grafiek van de integrandfunctie nadert gebroken lijn lijn:

Ons gebied (blauwe arcering) wordt dus benaderd door de som van de gebieden van de trapeziums (rood). Vandaar de naam van de methode. Het is gemakkelijk in te zien dat de trapeziummethode een veel betere benadering geeft dan de rechthoekmethode (met hetzelfde aantal partitiesegmenten). En uiteraard geldt dat hoe meer kleinere tussensegmenten we in beschouwing nemen, hoe hoger de nauwkeurigheid zal zijn. De trapeziummethode wordt van tijd tot tijd aangetroffen bij praktische taken, en in dit artikel zullen verschillende voorbeelden worden besproken.

Simpson's methode (paraboolmethode). Dit is een meer geavanceerde methode: de grafiek van de integrand wordt niet benaderd door een stippellijn, maar door kleine parabolen. Er zijn evenveel kleine parabolen als er tussensegmenten zijn. Als we dezelfde drie segmenten nemen, zal de methode van Simpson een nog nauwkeurigere benadering opleveren dan de rechthoekmethode of de trapeziummethode.

Ik zie het nut niet in van het bouwen van een tekening, omdat de visuele benadering over de grafiek van de functie heen wordt gelegd (de onderbroken lijn van de vorige paragraaf - en zelfs toen viel deze bijna samen).

Het probleem van het berekenen van een bepaalde integraal met behulp van de formule van Simpson is in de praktijk de meest populaire taak. En de paraboolmethode zal veel aandacht krijgen.

Deze formule wordt de formule genoemd voor het volume van een lichaam op basis van het oppervlak van parallelle secties.

Voorbeeld. Zoek het volume van de ellipsoïde x 2 + y 2 + z 2 = 1. een 2b 2c 2

Door de ellipsoïde te snijden met een vlak evenwijdig aan het Oyz-vlak en op afstanden daarvan (-а ≤х ≤а), verkrijgen we een ellips (zie figuur 15):

De oppervlakte van deze ellips is

Daarom hebben we volgens formule (16).

Berekening van het oppervlak van de revolutie

Laat de AB-curve een grafiek zijn van de functie y = f (x) ≥ 0, waarbij x [a,b], een functie y = f (x) en zijn afgeleide y" = f" (x) hierop continu zijn segment.

Vervolgens wordt het gebied S van het oppervlak gevormd door de rotatie van curve AB rond de Ox-as berekend met de formule

Als de AB-curve wordt gegeven door de parametervergelijkingen х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, dan heeft de formule voor het rotatieoppervlak de vorm

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Voorbeeld Zoek de oppervlakte van een bal met straal R. Oplossing:

We kunnen aannemen dat het oppervlak van de bal wordt gevormd door de rotatie van de halve cirkel y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, rond de Ox-as. Met behulp van formule (19) vinden we

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Voorbeeld. Gegeven een cycloïde x = a (t - sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− kosten),

Zoek het oppervlak dat wordt gevormd door het rond de Ox-as te draaien. Oplossing:

Wanneer de helft van de cycloïde boog rond de Ox-as draait, is het rotatieoppervlak gelijk aan

Berekening van de booglengte van een vlakke curve

Rechthoekige coördinaten

Laten we een boog maken, wanneer het aantal schakels van de stippellijn oneindig toeneemt, en de lengte van de grootste rechthoekige coördinaten een vlakke curve AB krijgt, waarvan de vergelijking y = f(x) is, waarbij a ≤ x ≤ b .

De lengte van de boog AB wordt opgevat als de grens waarheen de lengte van de in deze verbinding ingeschreven stippellijn naar nul neigt. Laten we aantonen dat als de functie y = f(x) en zijn afgeleide y′ = f′ (x) continu zijn op het segment [a ,b ], de curve AB een lengte heeft gelijk aan

Als de vergelijking van de AB-curve in parametrische vorm wordt gegeven

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

waar x (t) en y (t) continue functies zijn met continue afgeleiden en x (α) = a, x (β) = b, dan wordt de lengte l van curve AB gevonden met de formule

Dit betekent l = 2π R. Als de vergelijking van een cirkel in parametrische vorm wordt geschreven = R cost, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), dan

Polaire coördinaten

Laat de curve AB gegeven worden door de vergelijking in poolcoördinaten r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Laten we aannemen dat r (ϕ) en r" (ϕ ) continu zijn op het interval [α, β ].

Als in de gelijkheden x = r cosϕ, y = r sinϕ, die polaire en cartesiaanse coördinaten verbindt,

de hoek ϕ wordt als een parameter beschouwd, dan kan de curve AB parametrisch worden ingesteldx = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Door formule (15) toe te passen, verkrijgen we l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Voorbeeld Zoek de lengte van de cardioïde r =a (1 + cosϕ ). Oplossing:

De cardioïde r =a (1 + cosϕ) heeft de vorm zoals weergegeven in figuur 14. Hij is symmetrisch rond de polaire as. Laten we de helft van de lengte van de cardioïde vinden:

Dus 1 2 l = 4 a. Dit betekent l = 8a.