Trapeze wordt een vierhoek genoemd waarvan slechts twee de zijkanten zijn evenwijdig aan elkaar.

Ze worden de basis van de figuur genoemd, de overige worden de zijkanten genoemd. Parallellogrammen worden beschouwd als speciale gevallen van de figuur. Er is ook een gebogen trapezium, waarin de grafiek van een functie is opgenomen. Formules voor het gebied van een trapezium omvatten bijna alle elementen ervan, en beste oplossing wordt geselecteerd afhankelijk van de opgegeven waarden.
De hoofdrollen in het trapezium worden gegeven aan hoogte en middellijn. Middelste lijn- Dit is een lijn die de middelpunten van de zijkanten verbindt. Hoogte Het trapezium is loodrecht getekend vanaf de bovenhoek naar de basis.
Het oppervlak van een trapezium door zijn hoogte is gelijk aan het product van de helft van de som van de lengtes van de bases vermenigvuldigd met de hoogte:

Als de gemiddelde lijn bekend is volgens de voorwaarden, dan is deze formule aanzienlijk vereenvoudigd, omdat deze gelijk is aan de helft van de som van de lengtes van de bases:

Als, volgens de voorwaarden, de lengtes van alle zijden worden gegeven, kunnen we een voorbeeld overwegen van het berekenen van de oppervlakte van een trapezium met behulp van deze gegevens:

Stel dat we een trapezium krijgen met basis a = 3 cm, b = 7 cm en zijkanten c = 5 cm, d = 4 cm. Laten we de oppervlakte van de figuur bepalen:

Gebied van een gelijkbenig trapezium

Een gelijkbenig trapezium, of, zoals het ook wordt genoemd, een gelijkbenig trapezium, wordt als een apart geval beschouwd.
Een speciaal geval is het vinden van het gebied van een gelijkbenige (gelijkzijdige) trapezium. De formule is afgeleid op verschillende manieren– door diagonalen, door hoeken grenzend aan de basis en de straal van de ingeschreven cirkel.
Als de lengte van de diagonalen is gespecificeerd volgens de voorwaarden en de hoek daartussen bekend is, kunt u de volgende formule gebruiken:

Onthoud die diagonalen gelijkbenig trapezium gelijk aan elkaar!

Dat wil zeggen, als u een van hun bases, zijkant en hoek kent, kunt u eenvoudig het gebied berekenen.

Gebied van een gebogen trapezium

Een speciaal geval is gebogen trapezium. Het bevindt zich op de coördinatenas en wordt begrensd door de grafiek van een continue positieve functie.

De basis bevindt zich op de X-as en is beperkt tot twee punten:
Integralen helpen bij het berekenen van de oppervlakte gebogen trapezium.
De formule is als volgt geschreven:

Laten we een voorbeeld bekijken van het berekenen van het gebied van een gebogen trapezium. De formule vereist bepaalde kennis om met bepaalde integralen te kunnen werken. Laten we eerst eens kijken naar de waarde van de bepaalde integraal:

Hier is F(a) de waarde antiderivatieve functie f(x) op punt a, F(b) is de waarde van dezelfde functie f(x) op punt b.

Laten we nu het probleem oplossen. De figuur toont een gebogen trapezium begrensd door de functie. Functie
We moeten het gebied van de geselecteerde figuur vinden, een kromlijnig trapezium dat hierboven wordt begrensd door de grafiek, aan de rechterkant door de rechte lijn x =(-8), aan de linkerkant door de rechte lijn x =(-10 ) en de OX-as hieronder.
We berekenen de oppervlakte van deze figuur met behulp van de formule:

De voorwaarden van het probleem geven ons een functie. Als we het gebruiken, zullen we de waarden van de primitief op elk van onze punten vinden:


Nu
Antwoord: Het gebied van een gegeven gebogen trapezium is 4.

Er is niets ingewikkelds aan het berekenen van deze waarde. Het enige dat belangrijk is, is uiterste zorgvuldigheid bij de berekeningen.

Uit de praktijk van het Unified State Exam en State Examination van vorig jaar blijkt dat geometrieproblemen voor veel schoolkinderen problemen opleveren. Je kunt er gemakkelijk mee omgaan als je alle noodzakelijke formules uit je hoofd leert en oefent met het oplossen van problemen.

In dit artikel ziet u formules voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium, evenals voorbeelden van problemen met oplossingen. Het kan zijn dat je dezelfde tegenkomt in KIM’s tijdens certificeringsexamens of op Olympiades. Behandel ze daarom zorgvuldig.

Wat moet je weten over het trapezium?

Laten we dat om te beginnen niet vergeten trapezium wordt een vierhoek genoemd waarin twee tegenoverliggende zijden, ook wel bases genoemd, evenwijdig zijn, en de andere twee niet.

Bij een trapezium kan de hoogte (loodrecht op de basis) ook verlaagd worden. De middelste lijn wordt getrokken - dit is een rechte lijn die evenwijdig loopt aan de bases en gelijk is aan de helft van hun som. Evenals diagonalen die elkaar kunnen kruisen en scherpe en scherpe vormen kunnen vormen stompe hoeken. Of, in sommige gevallen, in een rechte hoek. Als het trapezium bovendien gelijkbenig is, kan er een cirkel in worden ingeschreven. En beschrijf er een cirkel omheen.

Formules voor trapeziumoppervlakken

Laten we eerst eens kijken naar de standaardformules voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium. We zullen hieronder manieren overwegen om het gebied van gelijkbenige en kromlijnige trapeziums te berekenen.

Stel je dus voor dat je een trapezium hebt met basis a en b, waarbij de hoogte h wordt verlaagd naar de grotere basis. Het berekenen van de oppervlakte van een figuur is in dit geval net zo eenvoudig als het pellen van peren. Je hoeft alleen maar de som van de lengtes van de bases door twee te delen en het resultaat te vermenigvuldigen met de hoogte: S = 1/2(a + b)*h.

Laten we een ander geval nemen: stel dat er in een trapezium, naast de hoogte, een middellijn m is. We kennen de formule om de lengte van de middelste lijn te vinden: m = 1/2(a + b). Daarom kunnen we met recht de formule voor de oppervlakte van een trapezium vereenvoudigen het volgende soort: S = m*u. Met andere woorden, om de oppervlakte van een trapezium te vinden, moet je de middellijn vermenigvuldigen met de hoogte.

Laten we een andere optie overwegen: het trapezium bevat diagonalen d 1 en d 2, die elkaar niet kruisen onder een rechte hoek α. Om de oppervlakte van zo'n trapezium te berekenen, moet je het product van de diagonalen door twee delen en het resultaat vermenigvuldigen met de zonde van de hoek ertussen: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Beschouw nu de formule voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium als er niets over bekend is behalve de lengtes van alle zijden: a, b, c en d. Het is omvangrijk en complexe formule, maar het is handig om het te onthouden, voor het geval dat: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Overigens gelden de bovenstaande voorbeelden ook voor het geval dat u de gebiedsformule nodig heeft rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium, waarvan de zijkant in een rechte hoek aansluit op de bases.

Gelijkbenig trapezium

Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende opties voor de gebiedsformule overwegen gelijkbenig trapezium.

Eerste optie: voor het geval waarin een cirkel met straal r is ingeschreven in een gelijkbenig trapezium, en de zijkant en de grotere basisvorm scherpe hoekα. Een cirkel kan in een trapezium worden ingeschreven, op voorwaarde dat de som van de lengtes van de basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium wordt als volgt berekend: vermenigvuldig het kwadraat van de straal van de ingeschreven cirkel met vier en deel het geheel door sinα: S = 4r 2 /sinα. Een andere oppervlakteformule is een speciaal geval voor de optie wanneer de hoek tussen de grote basis en de zijkant 30 0 is: S = 8r2.

Tweede optie: deze keer nemen we een gelijkbenige trapezium, waarin bovendien de diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend, evenals de hoogte h. Als de diagonalen van een trapezium onderling loodrecht staan, is de hoogte de helft van de som van de basissen: h = 1/2(a + b). Als je dit weet, is het gemakkelijk om de formule voor het gebied van een trapezium, die je al kent, in deze vorm om te zetten: S = u2.

Formule voor de oppervlakte van een gebogen trapezium

Laten we beginnen met uitzoeken wat een gebogen trapezium is. Stel je een coördinatenas voor en een grafiek van een continue en niet-negatieve functie f die niet van teken verandert binnen een bepaald segment op de x-as. Een kromlijnig trapezium wordt gevormd door de grafiek van de functie y = f(x) - bovenaan bevindt de x-as zich onderaan (segment), en aan de zijkanten - rechte lijnen getrokken tussen de punten a en b en de grafiek van de functie.

Het is onmogelijk om het gebied van zo'n niet-standaard figuur te berekenen met behulp van de bovenstaande methoden. Hier moet je solliciteren wiskundige analyse en gebruik de integraal. Namelijk: de Newton-Leibniz-formule - S = ∫ b een f(x)dx = F(x)│ b een = F(b) – F(a). In deze formule is F de primitief van onze functie op het geselecteerde segment. En het gebied van een kromlijnig trapezium komt overeen met de toename van de primitief op een bepaald segment.

Voorbeelden van problemen

Om al deze formules begrijpelijker te maken in je hoofd, volgen hier enkele voorbeelden van problemen bij het vinden van de oppervlakte van een trapezium. Het beste is als u eerst zelf probeert de problemen op te lossen, en pas daarna het antwoord dat u krijgt vergelijkt met de kant-en-klare oplossing.

Taak #1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. Het trapezium heeft diagonalen, één 12 cm lang, de tweede 9 cm.

Oplossing: Construeer een trapeziumvormige AMRS. Trek een rechte lijn РХ door hoekpunt P, zodat deze evenwijdig is aan de diagonaal MC en de rechte lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt een driehoek APХ.

We zullen twee figuren bekijken die als resultaat van deze manipulaties zijn verkregen: driehoek APX en parallellogram CMRX.

Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MR = 4 cm. Van waaruit we de zijde AX van de driehoek ARX kunnen berekenen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

We kunnen ook bewijzen dat de driehoek APX rechthoekig is (pas hiervoor de stelling van Pythagoras toe - AX 2 = AP 2 + PX 2). En bereken de oppervlakte: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Vervolgens moet je bewijzen dat de driehoeken AMP en PCX even groot zijn. De basis zal de gelijkheid van de partijen MR en CX zijn (hierboven al bewezen). En ook de hoogtes die je aan deze zijkanten laat zakken - deze zijn gelijk aan de hoogte van het AMRS-trapezium.

Dit alles zal je toelaten om te zeggen dat S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Taak #2: De trapezium-KRMS wordt gegeven. Op de zijkanten bevinden zich punten O en E, terwijl OE en KS evenwijdig zijn. Het is ook bekend dat de oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE een verhouding van 1:5 hebben. RM = a en KS = b. Je moet OE vinden.

Oplossing: Trek een lijn evenwijdig aan de RK door punt M, en geef het snijpunt met OE aan als T. A is het snijpunt van de lijn getrokken door punt E evenwijdig aan de RK met de basis KS.

Laten we nog een notatie introduceren: OE = x. En ook de hoogte h 1 voor de driehoek TME en de hoogte h 2 voor de driehoek AEC (je kunt de gelijkenis van deze driehoeken onafhankelijk bewijzen).

We nemen aan dat b > a. De oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE hebben de verhouding 1:5, wat ons het recht geeft om de volgende vergelijking te maken: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Laten we transformeren en krijgen: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Omdat de driehoeken TME en AEC gelijkvormig zijn, geldt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Laten we beide waarden combineren en zo krijgen: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Dus OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusie

Meetkunde is niet de gemakkelijkste wetenschappen, maar je kunt de examenvragen zeker aan. Het is voldoende om tijdens de voorbereiding een beetje doorzettingsvermogen te tonen. En onthoud natuurlijk alle noodzakelijke formules.

We hebben geprobeerd alle formules voor het berekenen van de oppervlakte van een trapezium op één plek te verzamelen, zodat je ze kunt gebruiken bij het voorbereiden op examens en het herzien van de stof.

Zorg ervoor dat je je klasgenoten en vrienden over dit artikel vertelt. sociale netwerken. Laat er maar meer goede cijfers komen voor het Unified State Examination en State Examinations!

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Instructies

Om beide methoden begrijpelijker te maken, kunnen we een paar voorbeelden geven.

Voorbeeld 1: de lengte van de middellijn van het trapezium is 10 cm, de oppervlakte is 100 cm². Om de hoogte van dit trapezium te vinden, moet je het volgende doen:

h = 100/10 = 10 cm

Antwoord: de hoogte van dit trapezium is 10 cm

Voorbeeld 2: de oppervlakte van het trapezium is 100 cm², de lengtes van de basissen zijn 8 cm en 12 cm. Om de hoogte van dit trapezium te vinden, moet je de volgende actie uitvoeren:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Antwoord: de hoogte van dit trapezium is 20 cm

Let op

Er zijn verschillende soorten trapeziums:
Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn aan elkaar.
Een rechthoekig trapezium is een trapezium waarvan een van de binnenhoeken 90 graden bedraagt.
Het is vermeldenswaard dat in een rechthoekig trapezium de hoogte samenvalt met de lengte van de zijkant rechte hoek.
Je kunt een cirkel rond een trapezium beschrijven, of deze in een bepaalde figuur passen. Je kunt een cirkel alleen inschrijven als de som van de bases gelijk is aan de som van de tegenoverliggende zijden. Een cirkel kan alleen worden beschreven rond een gelijkbenig trapezium.

Nuttig advies

Een parallellogram is een speciaal geval van een trapezium, omdat de definitie van een trapezium niet in tegenspraak is met de definitie van een parallellogram. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar zijn. Voor een trapezium heeft de definitie alleen betrekking op een paar zijden. Daarom is elk parallellogram ook een trapezium. De omgekeerde bewering is niet waar.

Bronnen:

• hoe je het gebied van een trapeziumformule kunt vinden

Tip 2: Hoe de hoogte van een trapezium te vinden als het gebied bekend is

Een trapezium is een vierhoek waarvan twee van de vier zijden evenwijdig aan elkaar zijn. De evenwijdige zijden zijn de basis van de gegeven zijde, de andere twee zijn de zijkanten van de gegeven zijde. trapeziums. Vinden hoogte trapeziums, indien bekend vierkant, het zal heel gemakkelijk zijn.

Instructies

Je moet uitzoeken hoe je moet berekenen vierkant origineel trapeziums. Hiervoor bestaan ​​verschillende formules, afhankelijk van de initiële gegevens: S = ((a+b)*h)/2, waarbij a en b basen zijn trapeziums, en h is de hoogte (Height trapeziums- loodrecht, neergelaten vanaf één basis trapeziums naar een ander);
S = m*h, waarbij m lijn is trapeziums(De middelste lijn is een segment met bases trapeziums en het verbinden van de middelpunten van de zijkanten).

Om het duidelijker te maken, kunnen soortgelijke problemen worden overwogen: Voorbeeld 1: Gegeven een trapezium met vierkant 68 cm², waarvan de middelste lijn 8 cm is, moet je vinden hoogte gegeven trapeziums. Om dit probleem op te lossen, moet je de eerder afgeleide formule gebruiken:
h = 68/8 = 8,5 cm Antwoord: hoogte hiervan trapeziums is 8,5 cmVoorbeeld 2: Laat y trapeziums vierkant is gelijk aan 120 cm², de lengte van de basis hiervan trapeziums 8 cm en 12 cm respectievelijk moet je vinden hoogte dit trapeziums. Om dit te doen, moet u een van de afgeleide formules toepassen:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmAntwoord: gegeven hoogte trapeziums gelijk aan 12cm

Video over het onderwerp

Let op

Elke trapezium heeft een aantal eigenschappen:

De middellijn van een trapezium is gelijk aan de helft van de som van zijn bases;

Het segment dat de diagonalen van een trapezium verbindt, is gelijk aan de helft van het verschil tussen de basissen;

Als een rechte lijn door de middelpunten van de bases wordt getrokken, zal deze het snijpunt van de diagonalen van het trapezium snijden;

Een cirkel kan in een trapezium worden ingeschreven als de som van de basissen van het trapezium gelijk is aan de som van de zijden.

Gebruik deze eigenschappen bij het oplossen van problemen.

Tip 3: Hoe de oppervlakte van een trapezium te vinden als de bases bekend zijn

Volgens geometrische definitie is een trapezium een ​​vierhoek met slechts één paar zijden evenwijdig. Deze kanten zijn van haar redenen. Afstand tussen redenen hoogte genoemd trapeziums. Vinden vierkant trapeziums mogelijk met behulp van geometrische formules.

Instructies

Meet de basis en trapeziums ABCD. Meestal worden ze gegeven in taken. Laat binnen in dit voorbeeld taken stichting AD (a) trapeziums zal gelijk zijn aan 10 cm, basis BC (b) - 6 cm, hoogte trapeziums BK (h) - 8 cm. Gebruik geometrisch om het gebied te vinden trapeziums, als de lengtes van de basis en de hoogte bekend zijn - S= 1/2 (a+b)*h, waarbij: - a - de grootte van de basis AD trapeziums ABCD, - b - de waarde van de basis BC, - h - de waarde van de hoogte BK.

Uit de praktijk van het Unified State Exam en State Examination van vorig jaar blijkt dat geometrieproblemen voor veel schoolkinderen problemen opleveren. Je kunt er gemakkelijk mee omgaan als je alle noodzakelijke formules uit je hoofd leert en oefent met het oplossen van problemen.

In dit artikel ziet u formules voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium, evenals voorbeelden van problemen met oplossingen. Het kan zijn dat je dezelfde tegenkomt in KIM’s tijdens certificeringsexamens of op Olympiades. Behandel ze daarom zorgvuldig.

Wat moet je weten over het trapezium?

Laten we dat om te beginnen niet vergeten trapezium wordt een vierhoek genoemd waarin twee tegenoverliggende zijden, ook wel bases genoemd, evenwijdig zijn, en de andere twee niet.

Bij een trapezium kan de hoogte (loodrecht op de basis) ook verlaagd worden. De middelste lijn wordt getrokken - dit is een rechte lijn die evenwijdig loopt aan de bases en gelijk is aan de helft van hun som. Evenals diagonalen die elkaar kunnen kruisen en scherpe en stompe hoeken vormen. Of, in sommige gevallen, in een rechte hoek. Als het trapezium bovendien gelijkbenig is, kan er een cirkel in worden ingeschreven. En beschrijf er een cirkel omheen.

Formules voor trapeziumoppervlakken

Laten we eerst eens kijken naar de standaardformules voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium. We zullen hieronder manieren overwegen om het gebied van gelijkbenige en kromlijnige trapeziums te berekenen.

Stel je dus voor dat je een trapezium hebt met basis a en b, waarbij de hoogte h wordt verlaagd naar de grotere basis. Het berekenen van de oppervlakte van een figuur is in dit geval net zo eenvoudig als het pellen van peren. Je hoeft alleen maar de som van de lengtes van de bases door twee te delen en het resultaat te vermenigvuldigen met de hoogte: S = 1/2(a + b)*h.

Laten we een ander geval nemen: stel dat er in een trapezium, naast de hoogte, een middellijn m is. We kennen de formule om de lengte van de middelste lijn te vinden: m = 1/2(a + b). Daarom kunnen we met recht de formule voor de oppervlakte van een trapezium vereenvoudigen tot de volgende vorm: S = m*u. Met andere woorden, om de oppervlakte van een trapezium te vinden, moet je de middellijn vermenigvuldigen met de hoogte.

Laten we een andere optie overwegen: het trapezium bevat diagonalen d 1 en d 2, die elkaar niet kruisen onder een rechte hoek α. Om de oppervlakte van zo'n trapezium te berekenen, moet je het product van de diagonalen door twee delen en het resultaat vermenigvuldigen met de zonde van de hoek ertussen: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Beschouw nu de formule voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium als er niets over bekend is behalve de lengtes van alle zijden: a, b, c en d. Dit is een omslachtige en complexe formule, maar het is handig om deze te onthouden voor het geval dat: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Overigens gelden de bovenstaande voorbeelden ook voor het geval dat je de formule nodig hebt voor de oppervlakte van een rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium, waarvan de zijkant in een rechte hoek aansluit op de bases.

Gelijkbenig trapezium

Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende opties overwegen voor de formule voor het gebied van een gelijkbenig trapezium.

Eerste optie: voor het geval waarin een cirkel met straal r is ingeschreven in een gelijkbenige trapezium, en de zijkant en de grotere basis een scherpe hoek α vormen. Een cirkel kan in een trapezium worden ingeschreven, op voorwaarde dat de som van de lengtes van de basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium wordt als volgt berekend: vermenigvuldig het kwadraat van de straal van de ingeschreven cirkel met vier en deel het geheel door sinα: S = 4r 2 /sinα. Een andere oppervlakteformule is een speciaal geval voor de optie wanneer de hoek tussen de grote basis en de zijkant 30 0 is: S = 8r2.

Tweede optie: deze keer nemen we een gelijkbenige trapezium, waarin bovendien de diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend, evenals de hoogte h. Als de diagonalen van een trapezium onderling loodrecht staan, is de hoogte de helft van de som van de basissen: h = 1/2(a + b). Als je dit weet, is het gemakkelijk om de formule voor het gebied van een trapezium, die je al kent, in deze vorm om te zetten: S = u2.

Formule voor de oppervlakte van een gebogen trapezium

Laten we beginnen met uitzoeken wat een gebogen trapezium is. Stel je een coördinatenas voor en een grafiek van een continue en niet-negatieve functie f die niet van teken verandert binnen een bepaald segment op de x-as. Een kromlijnig trapezium wordt gevormd door de grafiek van de functie y = f(x) - bovenaan bevindt de x-as zich onderaan (segment), en aan de zijkanten - rechte lijnen getrokken tussen de punten a en b en de grafiek van de functie.

Het is onmogelijk om het gebied van zo'n niet-standaard figuur te berekenen met behulp van de bovenstaande methoden. Hier moet u wiskundige analyse toepassen en de integraal gebruiken. Namelijk: de Newton-Leibniz-formule - S = ∫ b een f(x)dx = F(x)│ b een = F(b) – F(a). In deze formule is F de primitief van onze functie op het geselecteerde segment. En het gebied van een kromlijnig trapezium komt overeen met de toename van de primitief op een bepaald segment.

Voorbeelden van problemen

Om al deze formules begrijpelijker te maken in je hoofd, volgen hier enkele voorbeelden van problemen bij het vinden van de oppervlakte van een trapezium. Het beste is als u eerst zelf probeert de problemen op te lossen, en pas daarna het antwoord dat u krijgt vergelijkt met de kant-en-klare oplossing.

Taak #1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. Het trapezium heeft diagonalen, één 12 cm lang, de tweede 9 cm.

Oplossing: Construeer een trapeziumvormige AMRS. Trek een rechte lijn РХ door hoekpunt P, zodat deze evenwijdig is aan de diagonaal MC en de rechte lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt een driehoek APХ.

We zullen twee figuren bekijken die als resultaat van deze manipulaties zijn verkregen: driehoek APX en parallellogram CMRX.

Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MR = 4 cm. Van waaruit we de zijde AX van de driehoek ARX kunnen berekenen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

We kunnen ook bewijzen dat de driehoek APX rechthoekig is (pas hiervoor de stelling van Pythagoras toe - AX 2 = AP 2 + PX 2). En bereken de oppervlakte: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Vervolgens moet je bewijzen dat de driehoeken AMP en PCX even groot zijn. De basis zal de gelijkheid van de partijen MR en CX zijn (hierboven al bewezen). En ook de hoogtes die je aan deze zijkanten laat zakken - deze zijn gelijk aan de hoogte van het AMRS-trapezium.

Dit alles zal je toelaten om te zeggen dat S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Taak #2: De trapezium-KRMS wordt gegeven. Op de zijkanten bevinden zich punten O en E, terwijl OE en KS evenwijdig zijn. Het is ook bekend dat de oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE een verhouding van 1:5 hebben. RM = a en KS = b. Je moet OE vinden.

Oplossing: Trek een lijn evenwijdig aan de RK door punt M, en geef het snijpunt met OE aan als T. A is het snijpunt van de lijn getrokken door punt E evenwijdig aan de RK met de basis KS.

Laten we nog een notatie introduceren: OE = x. En ook de hoogte h 1 voor de driehoek TME en de hoogte h 2 voor de driehoek AEC (je kunt de gelijkenis van deze driehoeken onafhankelijk bewijzen).

We nemen aan dat b > a. De oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE hebben de verhouding 1:5, wat ons het recht geeft om de volgende vergelijking te maken: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Laten we transformeren en krijgen: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Omdat de driehoeken TME en AEC gelijkvormig zijn, geldt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Laten we beide waarden combineren en zo krijgen: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Dus OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusie

Meetkunde is niet de gemakkelijkste wetenschappen, maar je kunt de examenvragen zeker aan. Het is voldoende om tijdens de voorbereiding een beetje doorzettingsvermogen te tonen. En onthoud natuurlijk alle noodzakelijke formules.

We hebben geprobeerd alle formules voor het berekenen van de oppervlakte van een trapezium op één plek te verzamelen, zodat je ze kunt gebruiken bij het voorbereiden op examens en het herzien van de stof.

Zorg ervoor dat je je klasgenoten en vrienden op sociale netwerken over dit artikel vertelt. Laat er maar meer goede cijfers komen voor het Unified State Examination en State Examinations!

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

In de wiskunde zijn verschillende soorten vierhoeken bekend: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram. Onder hen is een trapezium - een soort convexe vierhoek waarin twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet. De parallelle tegenoverliggende zijden worden de bases genoemd, en de andere twee worden de zijkanten van het trapezium genoemd. Het segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt, wordt de middellijn genoemd. Er zijn verschillende soorten trapeziums: gelijkbenig, rechthoekig, gebogen. Voor elk type trapezium zijn er formules om het gebied te vinden.

Gebied van trapezium

Om het gebied van een trapezium te vinden, moet je de lengte van de basis en de hoogte kennen. De hoogte van een trapezium is een segment loodrecht op de basis. Laat de bovenste basis a zijn, de onderste basis b en de hoogte h. Vervolgens kun je de oppervlakte S berekenen met de formule:

S = ½ * (a+b) * h

die. neem de helft van de som van de bases vermenigvuldigd met de hoogte.

Het zal ook mogelijk zijn om de oppervlakte van de trapezium te berekenen als de hoogte en de middellijn bekend zijn. Laten we de middelste lijn aangeven - m. Dan

Laten we een ingewikkelder probleem oplossen: de lengtes van de vier zijden van de trapezium zijn bekend: a, b, c, d. Vervolgens wordt het gebied gevonden met behulp van de formule:

Als de lengtes van de diagonalen en de hoek daartussen bekend zijn, wordt het gebied als volgt doorzocht:

S = ½ * d1 * d2 * zonde α

waarbij d met indices 1 en 2 diagonalen zijn. In deze formule wordt de sinus van de hoek gegeven in de berekening.

Gegeven de bekende lengtes van de bases a en b en twee hoeken aan de onderste basis, wordt de oppervlakte als volgt berekend:

S = ½ * (b2 - a2) * (zonde α * zonde β / zonde(α + β))

Gebied van een gelijkbenig trapezium

Een gelijkbenig trapezium is een speciaal geval van een trapezium. Het verschil is dat zo'n trapezium een ​​convexe vierhoek is met een symmetrieas die door de middelpunten van twee tegenoverliggende zijden loopt. De zijkanten zijn gelijk.

Er zijn verschillende manieren om het gebied van een gelijkbenig trapezium te vinden.

• Door de lengtes van drie zijden. In dit geval zullen de lengtes van de zijkanten samenvallen, daarom worden ze aangegeven met één waarde - c, en a en b - de lengtes van de bases:

• Als de lengte van de bovenste basis, de zijkant en de hoek bij de onderste basis bekend zijn, wordt de oppervlakte als volgt berekend:

S = c * zonde α * (a + c * cos α)

waarbij a de bovenste basis is, en c de zijkant.

• Als in plaats van de bovenste basis de lengte van de onderste bekend is - b, wordt het gebied berekend met behulp van de formule:

S = c * zonde α * (b – c * cos α)

• Als, wanneer twee basissen en de hoek bij de onderste basis bekend zijn, de oppervlakte wordt berekend via de raaklijn van de hoek:

S = ½ * (b2 – a2) * bruin α

• Het gebied wordt ook berekend via de diagonalen en de hoek ertussen. In dit geval zijn de diagonalen even lang, dus geven we ze allemaal aan met de letter d zonder subscripts:

S = ½ * d2 * zonde α

• Laten we de oppervlakte van het trapezium berekenen, waarbij we de lengte van de zijkant, de middellijn en de hoek aan de onderkant kennen.

Stel dat de zijde c is, de middellijn m en de hoek a, dan:

S = m * c * zonde α

Soms kun je een cirkel inschrijven in een gelijkzijdige trapezium, waarvan de straal r is.

Het is bekend dat een cirkel in elk trapezium kan worden ingeschreven als de som van de lengtes van de bases gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden. Vervolgens kan het gebied worden gevonden via de straal van de ingeschreven cirkel en de hoek aan de onderkant:

S = 4r2 / zonde α

Dezelfde berekening wordt gemaakt met behulp van de diameter D van de ingeschreven cirkel (deze valt trouwens samen met de hoogte van het trapezium):

Als u de basis en de hoek kent, wordt het gebied van een gelijkbenig trapezium als volgt berekend:

S = a * b / zonde α

(deze en volgende formules zijn alleen geldig voor trapeziums met een ingeschreven cirkel).

Met behulp van de bases en straal van de cirkel wordt het gebied als volgt gevonden:

Als alleen de bases bekend zijn, wordt de oppervlakte berekend met behulp van de formule:

Via de bases en de zijlijn wordt het gebied van de trapezium met de ingeschreven cirkel en door de bases en de middellijn - m als volgt berekend:

Gebied van een rechthoekig trapezium

Een trapezium wordt rechthoekig genoemd als een van de zijden loodrecht op de basis staat. In dit geval valt de lengte van de zijkant samen met de hoogte van het trapezium.

Een rechthoekig trapezium bestaat uit een vierkant en een driehoek. Nadat je de oppervlakte van elk van de figuren hebt gevonden, tel je de resultaten bij elkaar op en krijg je de totale oppervlakte van de figuur.

Ook zijn algemene formules voor het berekenen van de oppervlakte van een trapezium geschikt voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekig trapezium.

• Als de lengtes van de bases en de hoogte (of de loodrechte zijkant) bekend zijn, wordt de oppervlakte berekend met behulp van de formule:

S = (a + b) * h / 2

De zijkant c kan fungeren als h (hoogte). Dan ziet de formule er als volgt uit:

S = (a + b) * c / 2

• Een andere manier om de oppervlakte te berekenen is door de lengte van de middellijn te vermenigvuldigen met de hoogte:

of door de lengte van de laterale loodrechte zijde:

• De volgende manier om te berekenen is door de helft van het product van de diagonalen en de sinus van de hoek daartussen:

S = ½ * d1 * d2 * zonde α

Als de diagonalen loodrecht staan, wordt de formule vereenvoudigd tot:

S = ½ * d1 * d2

• Een andere manier om te berekenen is via de halve omtrek (de som van de lengtes van twee tegenoverliggende zijden) en de straal van de ingeschreven cirkel.

Deze formule geldt voor basen. Als we de lengtes van de zijden nemen, is een ervan gelijk aan tweemaal de straal. De formule ziet er als volgt uit:

S = (2r + c) * r

• Als een cirkel in een trapezium is ingeschreven, wordt het gebied op dezelfde manier berekend:

waarbij m de lengte van de middellijn is.

Gebied van een gebogen trapezium

Een gebogen trapezium is dat wel plat figuur, beperkt door de grafiek van een niet-negatieve continue functie y = f(x), gedefinieerd op het segment , de abscis-as en de rechte lijnen x = a, x = b. In wezen zijn twee van de zijden evenwijdig aan elkaar (de basissen), de derde zijde staat loodrecht op de basissen en de vierde is een curve die overeenkomt met de grafiek van de functie.

Het gebied van een kromlijnig trapezium wordt gezocht via de integraal met behulp van de Newton-Leibniz-formule:

Zo worden oppervlakten berekend verschillende soorten trapezium. Maar naast de eigenschappen van de zijkanten hebben trapeziums dezelfde eigenschappen van hoeken. Zoals alle bestaande vierhoeken is de som van de binnenhoeken van een trapezium 360 graden. En de som van de hoeken grenzend aan de zijkant is 180 graden.