Wat het belangrijkste punt formules?

Met deze formule kunt u vinden elk OP ZIJN NUMMER " N" .

Natuurlijk moet je ook de eerste term kennen een 1 en progressieverschil D Nou ja, zonder deze parameters kun je geen specifieke progressie opschrijven.

Het onthouden (of onthouden) van deze formule is niet voldoende. Je moet de essentie ervan begrijpen en de formule bij verschillende problemen toepassen. En ook niet te vergeten op het juiste moment, ja...) Hoe vergeet het niet- Ik weet het niet. Maar hoe te onthouden Indien nodig zal ik je zeker adviseren. Voor degenen die de les tot het einde voltooien.)

Laten we dus eens kijken naar de formule voor de n-de term rekenkundige progressie.

Wat is een formule in het algemeen? Neem trouwens eens een kijkje als je het nog niet hebt gelezen. Alles is daar eenvoudig. Het blijft om erachter te komen wat het is nde termijn.

Vooruitgang binnen algemeen beeld kan worden geschreven als een reeks getallen:

een 1, een 2, een 3, een 4, een 5,.....

een 1- geeft de eerste term van een rekenkundige progressie aan, een 3- derde lid, een 4- de vierde, enzovoort. Als we geïnteresseerd zijn in de vijfde termijn, laten we zeggen dat we ermee samenwerken een 5, als honderdtwintigste - s een 120.

Hoe kunnen we het in algemene termen definiëren? elk term van een rekenkundige progressie, met elk nummer? Heel eenvoudig! Zoals dit:

een

Dit is het nde term van een rekenkundige progressie. De letter n verbergt alle lidnummers tegelijk: 1, 2, 3, 4, enzovoort.

En wat levert zo’n record ons op? Denk je eens in: in plaats van een getal hebben ze een letter opgeschreven...

Deze notatie geeft ons een krachtig hulpmiddel voor het werken met rekenkundige progressie. De notatie gebruiken een, kunnen we snel vinden elk lid elk rekenkundige progressie. En los een heleboel andere voortgangsproblemen op. Je zult het zelf verder zien.

In de formule voor de n-de term van een rekenkundige progressie:

een 1- de eerste term van een rekenkundige progressie;

N- lidnummer.

De formule verbindt de belangrijkste parameters van elke voortgang: een ; een 1; D En N. Alle progressieproblemen draaien om deze parameters.

De n-de termformule kan ook worden gebruikt om een ​​specifieke progressie te schrijven. Het probleem kan bijvoorbeeld inhouden dat de voortgang wordt gespecificeerd door de voorwaarde:

een n = 5 + (n-1) 2.

Zo'n probleem kan een doodlopende weg zijn... Er is noch een reeks, noch een verschil... Maar als je de toestand met de formule vergelijkt, is het gemakkelijk te begrijpen dat in deze progressie a1=5, en d=2.

En het kan nog erger zijn!) Als we dezelfde voorwaarde hanteren: een n = 5 + (n-1) 2, Ja, de haakjes openen en soortgelijke meenemen? We krijgen een nieuwe formule:

een n = 3 + 2n.

Dit Niet algemeen, maar voor een specifieke progressie. Dit is waar de valkuil op de loer ligt. Sommige mensen denken dat de eerste term een ​​drie is. Hoewel de eerste term in werkelijkheid vijf is... Iets lager zullen we met zo'n aangepaste formule werken.

Bij progressieproblemen is er een andere notatie: een n+1. Dit is, zoals je al geraden had, de “n plus eerste” term van de progressie. De betekenis ervan is eenvoudig en onschadelijk.) Dit is een lid van de progressie waarvan het aantal groter is dan nummer n met één. Als we bijvoorbeeld een probleem hebben een vijfde termijn dus een n+1 zal het zesde lid zijn. En dergelijke.

Meestal de aanduiding een n+1 gevonden in herhalingsformules. Wees hier niet bang voor verschrikkelijk woord!) Dit is eenvoudigweg een manier om een ​​lid van een rekenkundige progressie uit te drukken via de vorige. Laten we zeggen dat we een rekenkundige progressie in deze vorm krijgen, met behulp van een terugkerende formule:

een n+1 = een n+3

een 2 = een 1 + 3 = 5+3 = 8

een 3 = een 2 + 3 = 8+3 = 11

De vierde - tot en met de derde, de vijfde - tot en met de vierde, enzovoort. Hoe kunnen we bijvoorbeeld meteen de twintigste term tellen? een 20? Maar dat kan niet!) Totdat we de 19e termijn kennen, kunnen we de 20e niet tellen. Dit is het fundamenteel verschil terugkerende formule uit de formule van de n-de term. Terugkerend werkt alleen door vorig term, en de formule van de n-de term is 'door' Eerst en staat toe meteen Vind elk lid op basis van zijn nummer. Zonder de hele reeks getallen op volgorde te berekenen.

In een rekenkundige reeks is het gemakkelijk om van een terugkerende formule een reguliere formule te maken. Tel een paar opeenvolgende termen en bereken het verschil D, zoek, indien nodig, de eerste term een 1, schrijf de formule in de gebruikelijke vorm en werk ermee. Dergelijke taken komen vaak voor in de Staatsacademie van Wetenschappen.

Toepassing van de formule voor de n-de term van een rekenkundige progressie.

Laten we eerst eens kijken directe toepassing formules. Aan het einde van de vorige les was er een probleem:

Er wordt een rekenkundige progressie (a n) gegeven. Zoek een 121 als a 1 =3 en d=1/6.

Dit probleem kan zonder formules worden opgelost, eenvoudigweg gebaseerd op de betekenis van een rekenkundige progressie. Toevoegen en toevoegen... Een uur of twee.)

En volgens de formule duurt de oplossing minder dan een minuut. Je kunt het timen.) Laten we beslissen.

De voorwaarden bevatten alle gegevens voor het gebruik van de formule: a1 =3, d=1/6. Het blijft de vraag wat gelijk is N. Geen vraag! We moeten vinden een 121. Dus wij schrijven:

Let alstublieft op! In plaats van een index N er verscheen een specifiek getal: 121. Dat is heel logisch.) We zijn geïnteresseerd in het lid van de rekenkundige progressie nummer honderdeenentwintig. Dit zal de onze zijn N. Dit is de betekenis N= 121 zullen we verder in de formule vervangen, tussen haakjes. We vervangen alle getallen in de formule en berekenen:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Dat is het. Net zo snel kon je de vijfhonderdtienste term vinden, en de duizend en derde, welke dan ook. Wij plaatsen in plaats daarvan N het gewenste nummer in de index van de letter " A" en tussen haakjes, en wij tellen.

Laat me je aan het punt herinneren: met deze formule kun je vinden elk rekenkundige progressieterm OP ZIJN NUMMER " N" .

Laten we het probleem op een sluwere manier oplossen. Laten we het volgende probleem tegenkomen:

Zoek de eerste term van de rekenkundige progressie (a n), als a 17 =-2; d=-0,5.

Als u problemen ondervindt, zal ik u de eerste stap vertellen. Schrijf de formule op voor de n-de term van een rekenkundige progressie! Ja, ja. Schrijf met je handen op, rechtstreeks in je notitieboekje:

En nu, kijkend naar de letters van de formule, begrijpen we welke gegevens we hebben en wat er ontbreekt? Beschikbaar d=-0,5, er is een zeventiende lid... Is dat het? Als je denkt dat dat het is, dan los je het probleem niet op, ja...

Wij hebben nog steeds een nummer N! In staat een 17 =-2 verborgen twee parameters. Dit is zowel de waarde van de zeventiende term (-2) als het getal ervan (17). Die. n=17. Dit ‘kleinigheidje’ glipt vaak langs het hoofd, en zonder dit (zonder het ‘kleinigheidje’, niet het hoofd!) kan het probleem niet worden opgelost. Hoewel... en ook zonder hoofd.)

Nu kunnen we onze gegevens eenvoudigweg op een stomme manier in de formule vervangen:

een 17 = een 1 + (17-1)·(-0,5)

O ja, een 17 we weten dat het -2 is. Oké, laten we het vervangen:

-2 = een 1 + (17-1)·(-0,5)

Dat is eigenlijk alles. Rest ons nog de eerste term van de rekenkundige progressie uit de formule uit te drukken en deze te berekenen. Het antwoord zal zijn: een 1 = 6.

Deze techniek – het opschrijven van een formule en het simpelweg vervangen van bekende gegevens – is een grote hulp bij eenvoudige taken. Natuurlijk moet je een variabele uit een formule kunnen uitdrukken, maar wat moet je doen!? Zonder deze vaardigheid kan wiskunde helemaal niet bestudeerd worden...

Nog een populaire puzzel:

Zoek het verschil van de rekenkundige progressie (a n), als a 1 =2; een 15=12.

Wat zijn we aan het doen? Je zult verrast zijn, wij schrijven de formule!)

Laten we eens kijken wat we weten: een 1 =2; a 15 = 12; en (ik zal het vooral benadrukken!) n=15. Voel je vrij om dit in de formule te vervangen:

12=2 + (15-1)d

Wij doen het rekenwerk.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Dit is het juiste antwoord.

Dus de taken voor een n, een 1 En D besloten. Het enige dat overblijft is om te leren hoe u het nummer kunt vinden:

Het getal 99 is lid van de rekenkundige progressie (een n), waarbij a 1 =12; d=3. Zoek het nummer van dit lid.

We vervangen de ons bekende hoeveelheden in de formule van de n-de term:

een n = 12 + (n-1) 3

Op het eerste gezicht zijn er hier twee onbekende hoeveelheden: een n en n. Maar een- dit is een lid van de progressie met een nummer N...En we kennen dit lid van de progressie! Het is 99. We weten het nummer niet. N, Dus dit nummer is wat je moet vinden. We vervangen de term van de progressie 99 in de formule:

99 = 12 + (n-1) 3

We drukken uit vanuit de formule N, denken wij. Wij krijgen het antwoord: n=30.

En nu een probleem over hetzelfde onderwerp, maar creatiever):

Bepaal of het getal 117 lid is van de rekenkundige progressie (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Laten we de formule opnieuw schrijven. Wat, zijn er geen parameters? Hm... Waarom krijgen we ogen?) Zien we de eerste term van de voortgang? Wij zien. Dit is -3,6. Je kunt veilig schrijven: een 1 = -3,6. Verschil D Herken je het uit de serie? Het is gemakkelijk als je weet wat het verschil is van een rekenkundige progressie:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dus hebben we het eenvoudigste gedaan. Het blijft om het onbekende nummer af te handelen N en het onbegrijpelijke getal 117. In het vorige probleem was in ieder geval bekend dat het de term van de progressie was die werd gegeven. Maar hier weten we het niet eens... Wat moeten we doen!? Nou, hoe te zijn, hoe te zijn... Zet je creatieve vaardigheden aan!)

Wij veronderstellen dat 117 tenslotte deel uitmaakt van onze vooruitgang. Met een onbekend nummer N. En laten we, net als in het vorige probleem, proberen dit nummer te vinden. Die. we schrijven de formule (ja, ja!)) en vervangen onze cijfers:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opnieuw drukken we uit vanuit de formuleN, we tellen en krijgen:

Oeps! Het nummer bleek fractioneel! Honderd en een half. En fractionele getallen in progressies gebeurt niet. Welke conclusie kunnen we trekken? Ja! Nummer 117 niet lid van onze vooruitgang. Het ligt ergens tussen de honderdeerste en honderdtweede term. Als het getal natuurlijk bleek te zijn, d.w.z. een positief geheel getal is, dan zou het getal lid zijn van de progressie met het gevonden getal. En in ons geval zal het antwoord op het probleem zijn: Nee.

Een taak gebaseerd op een echte versie van de GIA:

De rekenkundige progressie wordt gegeven door de voorwaarde:

een n = -4 + 6,8 n

Zoek de eerste en tien termen van de progressie.

Hier wordt de voortgang op een ongebruikelijke manier vastgelegd. Een soort formule... Het gebeurt.) Deze formule (zoals ik hierboven schreef) - ook de formule voor de n-de term van een rekenkundige progressie! Ze staat het ook toe vind elk lid van de progressie op basis van zijn nummer.

Wij zijn op zoek naar het eerste lid. Degene die denkt. dat de eerste term min vier is, is een fatale vergissing!) Omdat de formule in het probleem is gewijzigd. De eerste term van de rekenkundige progressie daarin verborgen. Het is oké, we zullen het nu vinden.)

Net als bij eerdere problemen vervangen we n=1 in deze formule:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Hier! De eerste term is 2,8, niet -4!

We zoeken op dezelfde manier naar de tiende term:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Dat is het.

En nu, voor degenen die deze regels hebben gelezen, de beloofde bonus.)

Stel dat je in een moeilijke gevechtssituatie van het Staatsexamen of het Unified State Examination de bruikbare formule voor de n-de term van een rekenkundige progressie bent vergeten. Ik herinner me iets, maar op de een of andere manier onzeker... Or N daar, of n+1, of n-1... Hoe te zijn!?

Kalm! Deze formule is eenvoudig af te leiden. Het is niet erg strikt, maar het is zeker genoeg voor vertrouwen en de juiste beslissing!) Om een ​​conclusie te trekken, volstaat het om de elementaire betekenis van een rekenkundige progressie te onthouden en een paar minuten de tijd te hebben. Je hoeft alleen maar een tekening te maken. Voor de duidelijkheid.

Teken een getallenlijn en markeer de eerste daarop. tweede, derde, enz. leden. En wij merken het verschil D tussen leden. Zoals dit:

We kijken naar het plaatje en denken: wat is de tweede term? Seconde een D:

A 2 =een 1+ 1 D

Wat is de derde termijn? Derde termijn is gelijk aan eerste termijn plus twee D.

A 3 =een 1+ 2 D

Snap je het? Het is niet voor niets dat ik enkele woorden vetgedrukt markeer. Oké, nog een stap).

Wat is de vierde term? Vierde termijn is gelijk aan eerste termijn plus drie D.

A 4 =een 1+ 3 D

Het is tijd om te beseffen dat het aantal gaten, d.w.z. D, Altijd één minder dan het nummer van het lid dat u zoekt N. Dat wil zeggen, naar het nummer n, aantal spaties zullen n-1. Daarom zal de formule zijn (zonder variaties!):

Over het algemeen zijn visuele afbeeldingen zeer nuttig bij het oplossen van veel problemen in de wiskunde. Verwaarloos de foto's niet. Maar als het moeilijk is om een ​​tekening te maken, dan... alleen een formule!) Bovendien kun je met de formule van de n-de term het hele krachtige arsenaal van de wiskunde aan de oplossing koppelen: vergelijkingen, ongelijkheden, systemen, enz. Je kunt geen afbeelding in de vergelijking invoegen...

Taken voor onafhankelijke oplossing.

Om op te warmen:

1. In rekenkundige progressie (a n) a 2 =3; een 5 =5,1. Zoek een 3.

Tip: volgens de afbeelding kan het probleem in 20 seconden worden opgelost... Volgens de formule blijkt het moeilijker. Maar voor het beheersen van de formule is het nuttiger.) In sectie 555 wordt dit probleem opgelost met behulp van zowel het plaatje als de formule. Voel het verschil!)

En dit is niet langer een opwarmertje.)

2. In rekenkundige progressie (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Zoek een 3 .

Wat, wil je geen tekening maken?) Natuurlijk! Beter volgens de formule, ja...

3. De rekenkundige progressie wordt gegeven door de voorwaarde:een 1 = -5,5; een n+1 = een n+0,5. Zoek de honderdvijfentwintigste term van deze progressie.

Bij deze taak wordt de voortgang op terugkerende wijze gespecificeerd. Maar tellend tot de honderdvijfentwintigste term... Niet iedereen is tot zo'n prestatie in staat.) Maar de formule van de nde term ligt binnen de macht van iedereen!

4. Gegeven een rekenkundige progressie (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Zoek het getal van de kleinste positieve term van de progressie.

5. Vind, volgens de voorwaarden van taak 4, de som van de kleinste positieve en grootste negatieve termen van de progressie.

6. Het product van de vijfde en twaalfde term van een toenemende rekenkundige progressie is -2,5, en de som van de derde en elfde term is nul. Zoek een 14.

Niet de gemakkelijkste taak, ja...) De “vingertop”-methode werkt hier niet. Je zult formules moeten schrijven en vergelijkingen moeten oplossen.

Antwoorden (in wanorde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Heeft het gewerkt? Het is leuk!)

Niet alles lukt? Gebeurt. Er zit trouwens één subtiel punt in de laatste taak. Zorgvuldigheid is geboden bij het lezen van het probleem. En logica.

De oplossing voor al deze problemen wordt in detail besproken in sectie 555. En het element van fantasie voor de vierde, en het subtiele punt voor de zesde, en algemene benaderingen voor het oplossen van problemen waarbij de formule van de n-de term betrokken is - alles wordt beschreven. Ik raad het aan.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Voordat we beginnen met beslissen rekenkundige progressieproblemen Laten we eens kijken wat een getallenreeks is, aangezien een rekenkundige progressie een speciaal geval is nummerreeks.

Een nummerreeks is een getallenset, waarvan elk element een eigen serienummer heeft. De elementen van deze set worden leden van de reeks genoemd. Het serienummer van een sequentie-element wordt aangegeven door een index:

Het eerste element van de reeks;

Vijfde element van de reeks;

- het “n-de” element van de reeks, d.w.z. element "in wachtrij staan" op nummer n.

Er bestaat een relatie tussen de waarde van een reekselement en zijn volgnummer. Daarom kunnen we een reeks beschouwen als een functie waarvan het argument het rangtelwoord is van het element van de reeks. Met andere woorden: we kunnen dat zeggen de reeks is een functie van het natuurlijke argument:

De volgorde kan op drie manieren worden ingesteld:

1 . De volgorde kan worden gespecificeerd met behulp van een tabel. In dit geval stellen we eenvoudigweg de waarde van elk lid van de reeks in.

Iemand besloot bijvoorbeeld persoonlijk tijdmanagement te gaan doen en om te beginnen te tellen hoeveel tijd hij gedurende de week aan VKontakte besteedt. Door de tijd in de tabel vast te leggen, krijgt hij een reeks die uit zeven elementen bestaat:

De eerste regel van de tabel geeft het nummer van de dag van de week aan, de tweede - de tijd in minuten. We zien dat, dat wil zeggen, op maandag iemand 125 minuten op VKontakte heeft doorgebracht, dat wil zeggen op donderdag - 248 minuten, en dat wil zeggen op vrijdag slechts 15.

2 . De reeks kan worden gespecificeerd met behulp van de n-de termformule.

In dit geval wordt de afhankelijkheid van de waarde van een reekselement van zijn aantal rechtstreeks uitgedrukt in de vorm van een formule.

Bijvoorbeeld als , dan

Om de waarde van een reekselement met een bepaald getal te vinden, vervangen we het elementnummer in de formule van de n-de term.

We doen hetzelfde als we de waarde van een functie moeten vinden als de waarde van het argument bekend is. We vervangen de waarde van het argument in de functievergelijking:

Als je bijvoorbeeld , Dat

Ik wil nogmaals opmerken dat in een reeks het argument, in tegenstelling tot een willekeurige numerieke functie, alleen een natuurlijk getal kan zijn.

3 . De reeks kan worden gespecificeerd met behulp van een formule die de afhankelijkheid uitdrukt van de waarde van het reekslidnummer n van de waarden van de voorgaande leden.

In dit geval is het niet voldoende dat we alleen het nummer van het lid van de reeks kennen om de waarde ervan te vinden. We moeten het eerste lid of de eerste paar leden van de reeks specificeren. ,

Denk bijvoorbeeld eens aan de volgorde We kunnen de waarden van reeksleden vindenéén voor één

, vanaf de derde: Dat wil zeggen dat we elke keer dat we de waarde van de n-de term van de reeks willen vinden, terugkeren naar de vorige twee. Deze methode voor het specificeren van een reeks wordt genoemd terugkerend , van het Latijnse woord terugkerend

- kom terug.

Nu kunnen we een rekenkundige progressie definiëren. Een rekenkundige progressie is een eenvoudig speciaal geval van een getallenreeks. Rekenkundige progressie

is een numerieke reeks waarvan elk lid, beginnend bij het tweede, gelijk is aan het vorige opgeteld bij hetzelfde getal. Het nummer wordt gebeld verschil in rekenkundige progressie

. Het verschil van een rekenkundige progressie kan positief, negatief of gelijk aan nul zijn.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Als title="d>0.

toenemend

Bijvoorbeeld 2; 5; 8; 11;... Als , dan is elke term van een rekenkundige progressie kleiner dan de vorige, en de progressie is dat ook.

afnemend

Bijvoorbeeld 2; -1; -4; -7;... Als , dan zijn alle termen van de progressie gelijk aan hetzelfde getal, en de progressie is dat ook.

stationair

Bijvoorbeeld 2;2;2;2;...

De belangrijkste eigenschap van een rekenkundige progressie:

Laten we naar de foto kijken.

Wij zien dat

, en tegelijkertijd

.

Als we deze twee gelijkheden optellen, krijgen we:

Laten we beide zijden van de gelijkheid delen door 2:

Dus elk lid van de rekenkundige progressie, beginnend bij de tweede, is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de twee aangrenzende:

Wij zien dat

Bovendien, sinds

, Dat

, en daarom">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Elke term van een rekenkundige progressie, beginnend met title="k>l

Formule van de e term.

We zien dat de voorwaarden van de rekenkundige progressie aan de volgende relaties voldoen:

en tenslotte Wij hebben

formule van de nde term. Elk lid van een rekenkundige progressie kan worden uitgedrukt via en. Als u de eerste term en het verschil van een rekenkundige reeks kent, kunt u alle termen ervan vinden.

De som van n termen van een rekenkundige progressie.

In een willekeurige rekenkundige progressie zijn de sommen van termen op gelijke afstand van de extremen gelijk aan elkaar:

Beschouw een rekenkundige progressie met n termen. Laat de som van n termen van deze progressie gelijk zijn aan .

Laten we de voorwaarden van de voortgang eerst in oplopende volgorde van getallen rangschikken en vervolgens in aflopende volgorde:

Laten we in paren toevoegen:

De som tussen elke haak is , het aantal paren is n.

Wij krijgen:

Dus, de som van n termen van een rekenkundige progressie kan worden gevonden met behulp van de formules:

Laten we eens overwegen het oplossen van rekenkundige progressieproblemen.

1 . De reeks wordt gegeven door de formule van de n-de term: . Bewijs dat deze rij een rekenkundige progressie is.

Laten we bewijzen dat het verschil tussen twee aangrenzende termen van de reeks gelijk is aan hetzelfde getal.

We ontdekten dat het verschil tussen twee aangrenzende leden van de reeks niet afhankelijk is van hun aantal en een constante is. Daarom is deze reeks per definitie een rekenkundige progressie.

2 . Gegeven een rekenkundige progressie -31; -27;...

a) Zoek 31 termen van de progressie.

b) Bepaal of het getal 41 in deze reeks is opgenomen.

A) Wij zien dat;

Laten we de formule voor de n-de term voor onze voortgang opschrijven.

In het algemeen

In ons geval , Daarom

Nu kunnen we een rekenkundige progressie definiëren. Een rekenkundige progressie is een eenvoudig speciaal geval van een getallenreeks. een reeks getallen benoemen (termen van een progressie)

Waarbij elke volgende term verschilt van de vorige door een nieuwe term, die ook wel wordt genoemd stap- of progressieverschil.

Door dus de voortgangsstap en de eerste term ervan op te geven, kunt u elk element ervan vinden met behulp van de formule

Eigenschappen van een rekenkundige progressie

1) Elk lid van een rekenkundige reeks, beginnend bij het tweede getal, is het rekenkundig gemiddelde van het vorige en volgende lid van de reeks

Het omgekeerde is ook waar. Als het rekenkundig gemiddelde van aangrenzende oneven (even) termen van een reeks gelijk is aan de term die ertussen staat, dan is deze reeks getallen een rekenkundige reeks. Met behulp van deze verklaring is het heel eenvoudig om elke reeks te controleren.

Door de eigenschap van rekenkundige progressie kan de bovenstaande formule ook als volgt worden gegeneraliseerd

Dit is eenvoudig te verifiëren als u de termen rechts van het gelijkteken schrijft

Het wordt in de praktijk vaak gebruikt om berekeningen bij problemen te vereenvoudigen.

2) De som van de eerste n termen van een rekenkundige progressie wordt berekend met behulp van de formule

Onthoud goed de formule voor de som van een rekenkundige reeks; deze is onmisbaar bij berekeningen en wordt vaak aangetroffen in eenvoudige levenssituaties.

3) Als u niet de hele som wilt vinden, maar een deel van de reeks, beginnend bij de k-de term, dan is de volgende somformule nuttig voor u

4) Van praktisch belang is het vinden van de som van n termen van een rekenkundige progressie, beginnend bij het k-de getal. Gebruik hiervoor de formule

Hiermee is het theoretische materiaal afgerond en wordt verdergegaan met het oplossen van veelvoorkomende problemen in de praktijk.

Voorbeeld 1. Zoek de veertigste term van de rekenkundige reeks 4;7;...

Oplossing:

Volgens de toestand die we hebben

Laten we de voortgangsstap bepalen

Door bekende formule zoek de veertigste term van de progressie

Voorbeeld 2.

Oplossing:

Een rekenkundige progressie wordt gegeven door de derde en zevende term. Zoek de eerste term van de progressie en de som van tien.

Laten we de gegeven elementen van de progressie opschrijven met behulp van de formules

We trekken de eerste af van de tweede vergelijking, als resultaat vinden we de progressiestap

We vervangen de gevonden waarde in een van de vergelijkingen om de eerste term van de rekenkundige progressie te vinden

We berekenen de som van de eerste tien termen van de progressie Zonder te solliciteren complexe berekeningen

We hebben alle benodigde hoeveelheden gevonden.

Oplossing:

Voorbeeld 3. Een rekenkundige progressie wordt gegeven door de noemer en een van de termen ervan. Zoek de eerste term van de progressie, de som van de 50 termen beginnend bij 50 en de som van de eerste 100.

Laten we de formule voor het honderdste element van de progressie opschrijven

en zoek de eerste

Op basis van de eerste vinden we de 50e term van de progressie

Het vinden van de som van het deel van de progressie

en de som van de eerste 100

Het progressiebedrag is 250.

Voorbeeld 4.

Zoek het aantal termen van een rekenkundige progressie als:

Oplossing:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Laten we de vergelijkingen schrijven in termen van de eerste term en de voortgangsstap en deze bepalen

We vervangen de verkregen waarden in de somformule om het aantal termen in de som te bepalen

Wij voeren vereenvoudigingen door

en los de kwadratische vergelijking op

Van de twee gevonden waarden voldoet alleen het getal 8 aan de probleemvoorwaarden. De som van de eerste acht termen van de progressie is dus 111.

Voorbeeld 5.

Los de vergelijking op

1+3+5+...+x=307.

Oplossing: Deze vergelijking is de som van een rekenkundige progressie. Laten we de eerste term opschrijven en het verschil in progressie vinden

Theoretische informatie

	Theoretische informatie	Rekenkundige progressie
Geometrische progressie	Definitie een Rekenkundige progressie D (D is een reeks waarin elk lid, beginnend bij het tweede, gelijk is aan het vorige lid toegevoegd aan hetzelfde getal	- progressieverschil) Geometrische progressie is een reeks getallen die niet nul zijn, waarvan elke term, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige term, vermenigvuldigd met hetzelfde getal Q (Q- noemer van progressie)
Herhalingsformule	Voor elke natuurlijke N een n + 1 = een n + d	Voor elke natuurlijke N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formule nde term	een n = een 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristiek pand
Som van de eerste n termen

Voorbeelden van taken met commentaar

Taak 1

In rekenkundige progressie ( een) een 1 = -6, een 2

Volgens de formule van de nde term:

een 22 = een 1+ d(22 - 1) = een 1+ 21 d

Volgens de voorwaarde:

een 1= -6, dus een 22= -6 + 21 dagen.

Het is noodzakelijk om het verschil in progressie te vinden:

d = een 2 – een 1 = -8 – (-6) = -2

een 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Antwoord : een 22 = -48.

Taak 2

Zoek de vijfde term van de geometrische progressie: -3; 6;.....

1e methode (met behulp van de n-term-formule)

Volgens de formule voor de n-de term van een geometrische progressie:

b5 = b1 ∙q5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Omdat b1 = -3,

2e methode (met behulp van terugkerende formule)

Omdat de noemer van de progressie -2 is (q = -2), geldt:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Antwoord : b5 = -48.

Taak 3

In rekenkundige progressie ( een n ) een 74 = 34; een 76= 156. Zoek de vijfenzeventigste term van deze progressie.

Voor een rekenkundige progressie heeft de karakteristieke eigenschap de vorm .

Hieruit volgt:

.

Laten we de gegevens in de formule vervangen:

Antwoord: 95.

Taak 4

In rekenkundige progressie ( een n) een n= 3n - 4. Vind de som van de eerste zeventien termen.

Om de som van de eerste n termen van een rekenkundige progressie te vinden, worden twee formules gebruikt:

.

Welke van hen is in dit geval handiger om te gebruiken?

Per voorwaarde is de formule voor de n-de term van de oorspronkelijke progressie bekend ( een) een= 3n - 4. Je kunt onmiddellijk en vinden een 1, En een 16 zonder het vinden van d. Daarom zullen we de eerste formule gebruiken.

Antwoord: 368.

Taak 5

In rekenkundige progressie( een) een 1 = -6; een 2= -8. Zoek de tweeëntwintigste term van de progressie.

Volgens de formule van de nde term:

een 22 = een 1 + d (22 – 1) = een 1+ 21d.

Op voorwaarde, als een 1= -6, dus een 22= -6 + 21d. Het is noodzakelijk om het verschil in progressie te vinden:

d = een 2 – een 1 = -8 – (-6) = -2

een 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Antwoord : een 22 = -48.

Taak 6

Er zijn verschillende opeenvolgende termen van de geometrische progressie geschreven:

Zoek de term van de progressie met het label x.

Bij het oplossen gebruiken we de formule voor de n-de term b n = b 1 ∙ q n - 1 Voor geometrische progressies. De eerste termijn van de progressie. Om de noemer van de progressie q te vinden, moet je een van de gegeven termen van de progressie nemen en delen door de vorige. In ons voorbeeld kunnen we nemen en delen door. We verkrijgen dat q = 3. In plaats van n vervangen we 3 in de formule, omdat het nodig is om de derde term van een gegeven geometrische progressie te vinden.

Als we de gevonden waarden in de formule vervangen, krijgen we:

.

Antwoord : .

Taak 7

Selecteer uit de rekenkundige progressies gegeven door de formule van de n-de term degene waarvoor aan de voorwaarde is voldaan een 27 > 9:

Omdat aan de gegeven voorwaarde moet worden voldaan voor de 27e term van de progressie, vervangen we 27 in plaats van n in elk van de vier progressies. In de 4e progressie krijgen we:

.

Antwoord: 4.

Taak 8

In rekenkundige progressie een 1= 3, d= -1,5. Specificeer hoogste waarde n waarvoor de ongelijkheid geldt een > -6.

Het concept van een getallenreeks houdt in dat elk natuurlijk getal overeenkomt met een bepaalde reële waarde. Zo'n reeks getallen kan willekeurig zijn of bepaalde eigenschappen hebben: een progressie. IN het laatste geval elk volgend element (lid) van de reeks kan worden berekend met behulp van het vorige.

Rekenkundige progressie - reeks numerieke waarden, waarin de aangrenzende leden met hetzelfde aantal van elkaar verschillen (alle elementen van de reeks, beginnend vanaf de 2e, hebben een vergelijkbare eigenschap). Dit nummer– het verschil tussen de vorige en volgende termen is constant en wordt het progressieverschil genoemd.

Voortgangsverschil: definitie

Beschouw een reeks bestaande uit j-waarden A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j behoort tot de verzameling natuurlijke getallen N. Rekenkundige progressie is volgens de definitie een reeks waarin a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. De waarde d is het gewenste verschil van deze progressie.

d = a(j) – a(j-1).

Hoogtepunt:

• Een toenemende progressie, waarbij d > 0. Voorbeeld: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Afnemende progressie, dan d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Verschilprogressie en zijn willekeurige elementen

Als er 2 willekeurige termen van de progressie bekend zijn (i-de, k-de), dan kan het verschil voor een gegeven reeks worden bepaald op basis van de relatie:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, wat d = (a(i) – a(k))/(i-k) betekent.

Verschil in progressie en de eerste termijn

Deze uitdrukking helpt alleen bij het bepalen van een onbekende waarde in gevallen waarin het nummer van het reekselement bekend is.

Voortgangsverschil en de som ervan

De som van een progressie is de som van de voorwaarden ervan. Gebruik de juiste formule om de totale waarde van de eerste j-elementen te berekenen:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, maar sindsdien a(j) = a(1) + d(j – 1), dan S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.