Voor elke wiskundige actie is er een omgekeerde actie. Voor de actie van differentiatie (het vinden van afgeleiden van functies) is er ook een omgekeerde actie: integratie. Door integratie wordt een functie gevonden (gereconstrueerd) op basis van de gegeven afgeleide of differentiaal. De gevonden functie wordt aangeroepen primitief.

Definitie. Differentieerbare functie F(x) wordt de primitief van de functie genoemd f(x) op een bepaald interval, als dat voor iedereen geldt X vanaf dit interval geldt de volgende gelijkheid: F′(x)=f(x).

Voorbeelden. Vind primitieve woorden voor de functies: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Omdat (x²)′=2x, zal de functie F (x)=x² per definitie een primitieve afgeleide zijn van de functie f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Als we f (x)=3cos3x en F (x)=sin3x aanduiden, dan geldt per definitie van een primitief: F′(x)=f (x), en daarom is F (x)=sin3x een primitief voor f ( x) = 3cos3x.

Merk op dat (sin3x +5 )′= 3cos3x, en (zonde3x -8,2 )′= 3cos3x, ... in algemene vorm kunnen we schrijven: (sin3x +C)′= 3cos3x, Waar MET- een constante waarde. Deze voorbeelden geven de dubbelzinnigheid aan van de integratieactie, in tegenstelling tot de actie van differentiatie, wanneer elke differentieerbare functie één enkele afgeleide heeft.

Definitie. Als de functie F(x) is een primitief van de functie f(x) op een bepaald interval heeft de verzameling van alle primitieve waarden van deze functie de vorm:

F(x)+C, waarbij C een reëel getal is.

De verzameling van alle primitieve getallen F (x)+C van de functie f (x) op het beschouwde interval wordt de onbepaalde integraal genoemd en wordt aangegeven met het symbool ∫ (integraal teken). Schrijf op: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Uitdrukking ∫f(x)dx lees: “integrale ef van x tot de x.”

f(x)dx- integrand-expressie,

f(x)— integrandfunctie,

X is de integratievariabele.

F(x)- primitief van een functie f(x),

MET- een constante waarde.

Nu kunnen de beschouwde voorbeelden als volgt worden geschreven:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Wat betekent het teken d?

D- differentieel teken - heeft een tweeledig doel: ten eerste scheidt dit teken de integrand van de integratievariabele; ten tweede wordt alles wat na dit teken komt standaard gedifferentieerd en vermenigvuldigd met de integrand.

Voorbeelden. Zoek de integralen: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Na het differentieelpictogram D kosten XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Vergelijk met voorbeeld 1).

Laten we een controle doen. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Na het differentieelpictogram D kosten R. Dit betekent dat de integratievariabele R en de vermenigvuldiger X moet als een constante waarde worden beschouwd.

∫ 2хрдр=р²х+С. Vergelijk met voorbeelden 1) En 3).

Laten we een controle doen. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Doel:

• Vorming van het concept van primitief.
• Voorbereiding op de perceptie van de integraal.
• Vorming van computervaardigheden.
• Het cultiveren van een gevoel voor schoonheid (het vermogen om schoonheid in het ongewone te zien).

Wiskundige analyse is een reeks takken van de wiskunde die zich toeleggen op de studie van functies en hun generalisaties door middel van differentiaal- en integraalrekening.

Tot nu toe hebben we een tak van de wiskundige analyse bestudeerd die differentiaalrekening wordt genoemd en waarvan de essentie de studie is van een functie in het ‘kleine’.

Die. studie van een functie in voldoende kleine buurten van elk definitiepunt. Een van de bewerkingen van differentiatie is het vinden van de afgeleide (differentieel) en deze toepassen op de studie van functies.

Het omgekeerde probleem is niet minder belangrijk. Als het gedrag van een functie in de buurt van elk punt van zijn definitie bekend is, hoe kan men dan de functie als geheel reconstrueren, d.w.z. binnen de gehele reikwijdte van de definitie ervan. Dit probleem is het onderwerp van studie van de zogenaamde integraalrekening.

Integratie is de omgekeerde werking van differentiatie. Of het herstellen van de functie f(x) uit een gegeven afgeleide f`(x). Het Latijnse woord ‘integro’ betekent herstel.

Voorbeeld nr. 1.

Stel (x)`=3x 2.
Laten we f(x) vinden.

Oplossing:

Op basis van de differentiatieregel is het niet moeilijk te raden dat f(x) = x 3, omdat (x 3)` = 3x 2
U kunt echter gemakkelijk merken dat f(x) niet uniek wordt gevonden.
Als f(x) kunnen we nemen
f(x)=x3+1
f(x)=x3+2
f(x)= x 3 -3, enz.

Omdat de afgeleide van elk van hen gelijk is aan 3x 2. (De afgeleide van een constante is 0). Al deze functies verschillen van elkaar door een constante term. Dat is waarom algemene oplossing het probleem kan worden geschreven in de vorm f(x)= x 3 +C, waarbij C een constant reëel getal is.

Elk van de gevonden functies f(x) wordt aangeroepen PRIMODIUM voor de functie F`(x)= 3x 2

Definitie. Een functie F(x) wordt primitief genoemd voor een functie f(x) op een gegeven interval J als voor alle x uit dit interval F`(x)= f(x). De functie F(x)=x 3 is dus primitief voor f(x)=3x 2 op (- ∞ ; ∞).
Omdat voor alle x ~R de gelijkheid geldt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Zoals we al hebben opgemerkt, heeft deze functie een oneindig aantal primitieve waarden (zie voorbeeld nr. 1).

Voorbeeld nr. 2. De functie F(x)=x is primitief voor alle f(x)= 1/x op het interval (0; +), omdat voor alle x uit dit interval geldt gelijkheid.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Voorbeeld nr. 3. De functie F(x)=tg3x is een primitieve afgeleide voor f(x)=3/cos3x op het interval (-n/ 2; P/ 2),
omdat F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Voorbeeld nr. 4. De functie F(x)=3sin4x+1/x-2 is een primitieve afgeleide voor f(x)=12cos4x-1/x 2 op het interval (0;∞)
omdat F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Lezing 2.

Onderwerp: Antiderivaat. De belangrijkste eigenschap van een primitieve functie.

Bij het bestuderen van de primitief zullen we ons baseren op de volgende verklaring. Teken van constantheid van een functie: Als op het interval J de afgeleide Ψ(x) van de functie gelijk is aan 0, dan is op dit interval de functie Ψ(x) constant.

Deze bewering kan geometrisch worden aangetoond.

Het is bekend dat Ψ`(x)=tgα, γde α de hellingshoek is van de raaklijn aan de grafiek van de functie Ψ(x) in het punt met de abscis x 0. Als Ψ`(υ)=0 op enig punt in het interval J, dan is tanα=0 δvoor elke raaklijn aan de grafiek van de functie Ψ(x). Dit betekent dat de raaklijn aan de grafiek van de functie op elk punt evenwijdig is aan de abscis-as. Daarom valt op het aangegeven interval de grafiek van de functie Ψ(x) samen met het rechte lijnsegment y=C.

De functie f(x)=c is dus constant op het interval J als f`(x)=0 op dit interval.

Voor een willekeurige x 1 en x 2 uit het interval J kunnen we, met behulp van de stelling over de gemiddelde waarde van een functie, schrijven:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), omdat f`(c)=0, dan f(x 2)= f(x 1)

Stelling: (De belangrijkste eigenschap van de primitieve functie)

Als F(x) een van de primitieve getallen is voor de functie f(x) op het interval J, dan heeft de verzameling van alle primitieve getallen van deze functie de vorm: F(x)+C, waarbij C een willekeurig reëel getal is.

Bewijs:

Zij F`(x) = f (x), dan (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), voor x Є J.
Stel dat er Φ(x) bestaat - een andere primitieve voor f (x) op het interval J, d.w.z. Φ`(x) = f(x),
dan (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, voor x Є J.
Dit betekent dat Φ(x) - F(x) constant is op het interval J.
Daarom geldt Φ(x) - F(x) = C.
Vanaf waar Φ(x)= F(x)+C.
Dit betekent dat als F(x) een primitief is voor een functie f (x) op het interval J, de verzameling van alle primitieve getallen van deze functie de vorm heeft: F(x)+C, waarbij C een willekeurig reëel getal is.
Bijgevolg verschillen elke twee primitieve functies van een bepaalde functie van elkaar met een constante term.

Voorbeeld: Zoek set primitieve functies f(x) = cosx. Teken grafieken van de eerste drie.

Oplossing: Sin x is een van de primitieve waarden voor de functie f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – de verzameling van alle primitieve getallen.

F 1 (x) = Zonde x-1
F 2 (x) = Zonde x
F3 (x) = Zonde x+1

Geometrische illustratie: De grafiek van elke primitieve F(x)+C kan worden verkregen uit de grafiek van de primitieve F(x) met behulp van parallelle overdracht van r (0;c).

Voorbeeld: Zoek voor de functie f (x) = 2x een primitief waarvan de grafiek door t.M (1;4) gaat

Oplossing: F(x)=x 2 +C – de verzameling van alle primitieve getallen, F(1)=4 - volgens de voorwaarden van het probleem.
Daarom 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x2+3

Deze les is de eerste in een reeks video's over integratie. Daarin zullen we analyseren wat een primitief van een functie is, en ook de elementaire methoden bestuderen voor het berekenen van deze primitief.

In feite is hier niets ingewikkelds: in wezen komt het allemaal neer op het concept van afgeleide, waar je al bekend mee zou moeten zijn :)

Ik zal dit meteen opmerken, aangezien dit de allereerste les van ons is nieuw onderwerp, die zal er vandaag niet zijn complexe berekeningen en formules, maar wat we vandaag zullen bestuderen zal de basis vormen voor veel complexere berekeningen en constructies bij het berekenen van complexe integralen en gebieden.

Bovendien gaan we er bij het begin van de studie van integratie en integralen in het bijzonder impliciet van uit dat de student op zijn minst al bekend is met de concepten van afgeleiden en op zijn minst basisvaardigheden heeft in het berekenen ervan. Zonder een duidelijk begrip hiervan is er absoluut niets te doen op het gebied van integratie.

Hier ligt echter een van de meest voorkomende en verraderlijke problemen. Feit is dat veel studenten, wanneer ze beginnen met het berekenen van hun eerste primitieve afgeleiden, deze verwarren met afgeleiden. Als gevolg hiervan, bij examens en zelfstandig werk Er worden domme en beledigende fouten gemaakt.

Daarom zal ik nu geen duidelijke definitie van een primitief geven. In ruil daarvoor stel ik voor dat u ziet hoe het wordt berekend aan de hand van een eenvoudig concreet voorbeeld.

Wat is een primitief en hoe wordt deze berekend?

Deze formule kennen we:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Deze afgeleide wordt eenvoudig berekend:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Laten we zorgvuldig naar de resulterende uitdrukking kijken en $((x)^(2))$ uitdrukken:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Maar we kunnen het op deze manier schrijven, volgens de definitie van een afgeleide:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

En nu opgelet: wat we zojuist hebben opgeschreven is de definitie van een primitief. Maar om het correct te schrijven, moet je het volgende schrijven:

Laten we de volgende uitdrukking op dezelfde manier schrijven:

Als we deze regel generaliseren, kunnen we de volgende formule afleiden:

\[((x)^(n))\naar \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nu kunnen we een duidelijke definitie formuleren.

Een primitief van een functie is een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Vragen over de primitieve functie

Het lijkt een vrij eenvoudige en begrijpelijke definitie. Bij het horen ervan zal de aandachtige student echter onmiddellijk een aantal vragen hebben:

1. Laten we zeggen: oké, deze formule is correct. In dit geval hebben we echter, met $n=1$, problemen: er verschijnt “nul” in de noemer, en we kunnen niet delen door “nul”.
2. De formule is beperkt tot alleen graden. Hoe u de primitief kunt berekenen, bijvoorbeeld van sinus, cosinus en elke andere trigonometrie, evenals constanten.
3. Existentiële vraag: is het altijd mogelijk om een ​​primitief te vinden? Zo ja, hoe zit het dan met de primitief van de som, het verschil, het product, enz.?

Op laatste vraag Ik zal meteen antwoorden. Helaas wordt het primitief, in tegenstelling tot de afgeleide, niet altijd in overweging genomen. Er bestaat geen universele formule waarmee we uit een initiële constructie een functie zullen verkrijgen die gelijk is aan deze soortgelijke constructie. Wat machten en constanten betreft, daar zullen we het nu over hebben.

Problemen met stroomfuncties oplossen

\[((x)^(-1))\naar \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Zoals u kunt zien, werkt deze formule voor $((x)^(-1))$ niet. De vraag rijst: wat werkt dan? Kunnen we $((x)^(-1))$ niet tellen? Natuurlijk kunnen we dat. Laten we dit eerst onthouden:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Laten we nu eens nadenken: de afgeleide van welke functie is gelijk aan $\frac(1)(x)$. Het is duidelijk dat elke student die dit onderwerp op zijn minst een beetje heeft bestudeerd, zich zal herinneren dat deze uitdrukking gelijk is aan de afgeleide van de natuurlijke logaritme:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Daarom kunnen we vol vertrouwen het volgende schrijven:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\naar \ln x\]

Je moet deze formule kennen, net als de afgeleide van een machtsfunctie.

Dus wat we tot nu toe weten:

• Voor een machtsfunctie - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Voor een constante - $=const\to \cdot x$
• Een speciaal geval van een machtsfunctie is $\frac(1)(x)\to \ln x$

En als we de eenvoudigste functies gaan vermenigvuldigen en delen, hoe kunnen we dan de primitief van een product of quotiënt berekenen? Helaas werken analogieën met de afgeleide van een product of quotiënt hier niet. Er bestaat geen standaardformule. Voor sommige gevallen zijn er lastige speciale formules - we zullen er in toekomstige videolessen kennis mee maken.

Onthoud echter: er is geen algemene formule die lijkt op de formule voor het berekenen van de afgeleide van een quotiënt en een product.

Echte problemen oplossen

Taak nr. 1

Laten we elk macht functies Laten we afzonderlijk berekenen:

\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]

Terugkerend naar onze uitdrukking, schrijven we de algemene constructie:

Probleem nr. 2

Zoals ik al zei, worden prototypes van werken en bijzonderheden “to the point” niet in aanmerking genomen. Hier kunt u echter het volgende doen:

We hebben de breuk opgesplitst in de som van twee breuken.

Laten we de wiskunde doen:

Het goede nieuws is dat als je de formules voor het berekenen van primitieve formules kent, je al complexere structuren kunt berekenen. Laten we echter verder gaan en onze kennis nog wat uitbreiden. Feit is dat veel constructies en uitdrukkingen, die op het eerste gezicht niets met $((x)^(n))$ te maken hebben, kunnen worden weergegeven als een macht met een rationale exponent, namelijk:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Al deze technieken kunnen en moeten gecombineerd worden. Krachtuitdrukkingen Kan

• vermenigvuldigen (graden optellen);
• delen (graden worden afgetrokken);
• vermenigvuldigen met een constante;
• enz.

Machtsuitdrukkingen oplossen met rationele exponent

Voorbeeld #1

Laten we elke wortel afzonderlijk berekenen:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

In totaal kan onze gehele constructie als volgt worden geschreven:

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Daarom krijgen we:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

In totaal kunnen we, door alles in één uitdrukking te verzamelen, schrijven:

Voorbeeld nr. 3

Om te beginnen merken we op dat we $\sqrt(x)$ al hebben berekend:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Laten we herschrijven:

Ik hoop dat ik niemand zal verbazen als ik zeg dat wat we zojuist hebben bestudeerd slechts de eenvoudigste berekeningen van primitieve getallen zijn, de meest elementaire constructies. Laten we nu wat verder kijken complexe voorbeelden, waarin je naast de tabellarische primitieve woorden ook moet onthouden schoolcurriculum, namelijk verkorte vermenigvuldigingsformules.

Complexere voorbeelden oplossen

Taak nr. 1

Laten we ons de formule voor het kwadraat van het verschil herinneren:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Laten we onze functie herschrijven:

We moeten nu het prototype van een dergelijke functie vinden:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Laten we alles samenbrengen in een gemeenschappelijke structuur:

Probleem nr. 2

In dit geval moeten we de verschilkubus uitbreiden. Laten we het volgende onthouden:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Als we dit feit in aanmerking nemen, kunnen we het als volgt schrijven:

Laten we onze functie een beetje transformeren:

Wij tellen zoals altijd – voor elke termijn afzonderlijk:

\[((x)^(-3))\naar \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\naar \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\naar \ln x\]

Laten we de resulterende constructie schrijven:

Probleem nr. 3

Bovenaan hebben we het kwadraat van de som, laten we deze uitbreiden:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Laten we de uiteindelijke oplossing schrijven:

Nu aandacht! Erg belangrijk ding, wat gepaard gaat met het leeuwendeel van de fouten en misverstanden. Feit is dat we tot nu toe, bij het tellen van primitieve waarden met behulp van afgeleiden en het aanbrengen van transformaties, niet hebben nagedacht over waar de afgeleide van een constante gelijk aan is. Maar de afgeleide van een constante is gelijk aan “nul”. Dit betekent dat u de volgende opties kunt schrijven:

1. $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Dit is heel belangrijk om te begrijpen: als de afgeleide van een functie altijd hetzelfde is, dan heeft dezelfde functie een oneindig aantal primitieve getallen. We kunnen eenvoudigweg alle constante getallen aan onze primitieve getallen toevoegen en nieuwe krijgen.

Het is geen toeval dat er in de uitleg van de problemen die we zojuist hebben opgelost stond: 'Schrijf op algemeen beeld primitieven." Die. Op voorhand wordt er al van uitgegaan dat er niet één van hen is, maar een hele menigte. Maar in feite verschillen ze alleen in de constante $C$ aan het einde. Daarom zullen we bij onze taken corrigeren wat we niet hebben voltooid.

Opnieuw herschrijven we onze constructies:

In dergelijke gevallen moet u eraan toevoegen dat $C$ een constante is - $C=const$.

In onze tweede functie krijgen we de volgende constructie:

En de laatste:

En nu hebben we werkelijk gekregen wat er van ons werd verlangd in de oorspronkelijke toestand van het probleem.

Problemen oplossen bij het vinden van primitieve woorden met een bepaald punt

Nu we iets weten over constanten en de eigenaardigheden van het schrijven van primitieve woorden, is het heel logisch dat het volgende type probleem zich voordoet wanneer het, uit de verzameling van alle primitieve woorden, nodig is om de enige echte te vinden die door een bepaald punt gaat. . Wat is deze taak?

Feit is dat alle primitieve functies van een bepaalde functie alleen verschillen doordat ze verticaal met een bepaald getal zijn verschoven. En dit betekent dat, ongeacht welk punt op het coördinatenvlak we nemen, er zeker één primitief zal passeren, en bovendien slechts één.

De problemen die we nu zullen oplossen, zijn dus als volgt geformuleerd: zoek niet alleen de primitieve functie, ken de formule van de oorspronkelijke functie, maar kies precies degene die door het gegeven punt gaat, waarvan de coördinaten in het probleem zullen worden gegeven stelling.

Voorbeeld #1

Laten we eerst eenvoudig elke term tellen:

\[((x)^(4))\naar \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\naar \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nu vervangen we deze uitdrukkingen in onze constructie:

Deze functie moet door het punt $M\left(-1;4 \right)$ gaan. Wat betekent het dat het door een punt gaat? Dit betekent dat als we in plaats van $x$ overal $-1$ plaatsen, en in plaats van $F\left(x \right)$ - $-4$, we de juiste numerieke gelijkheid zouden moeten krijgen. Laten we dit doen:

We zien dat we een vergelijking hebben voor $C$, dus laten we proberen deze op te lossen:

Laten we de oplossing opschrijven waarnaar we op zoek waren:

Voorbeeld nr. 2

Allereerst is het noodzakelijk om het kwadraat van het verschil te onthullen met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule:

\[((x)^(2))\naar \frac(((x)^(3)))(3)\]

De oorspronkelijke constructie zal als volgt worden geschreven:

Laten we nu $C$ vinden: vervang de coördinaten van punt $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Wij drukken $C$ uit:

Het blijft nodig om de uiteindelijke uitdrukking weer te geven:

Trigonometrische problemen oplossen

Als laatste hand aan wat we zojuist hebben besproken, stel ik voor om twee complexere problemen te bespreken die met trigonometrie te maken hebben. Daarin moet je op dezelfde manier primitieve functies voor alle functies vinden en vervolgens uit deze set de enige selecteren die door het punt $M$ op het coördinatenvlak gaat.

Vooruitkijkend zou ik willen opmerken dat de techniek die we nu zullen gebruiken om primitieve afgeleiden van te vinden trigonometrische functies is in feite een universele techniek voor zelftesten.

Taak nr. 1

Laten we de volgende formule onthouden:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Op basis hiervan kunnen we schrijven:

Laten we de coördinaten van punt $M$ vervangen door onze uitdrukking:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Laten we de uitdrukking herschrijven, rekening houdend met dit feit:

Probleem nr. 2

Dit zal iets moeilijker zijn. Nu zul je zien waarom.

Laten we deze formule onthouden:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Om van de "min" af te komen, moet je het volgende doen:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Hier is ons ontwerp

Laten we de coördinaten van punt $M$ vervangen:

In totaal noteren we de uiteindelijke constructie:

Dat is alles wat ik je vandaag wilde vertellen. We hebben de term primitief bestudeerd, hoe je deze kunt berekenen op basis van elementaire functies, en ook hoe je een primitief kunt vinden die door een specifiek punt op het coördinatenvlak gaat.

Ik hoop dat deze les je op zijn minst een beetje zal helpen dit te begrijpen complex onderwerp. In ieder geval zijn het op primitieve getallen die onbepaalde en onbepaalde integralen construeren, dus het is absoluut noodzakelijk om ze te berekenen. Dat is alles voor mij. Tot ziens!

Functie F(X ) genaamd primitief voor functie F(X) op een bepaald interval, als dat voor iedereen geldt X vanaf dit interval geldt de gelijkheid

F"(X ) = F(X ) .

De functie bijvoorbeeld F(x) = x 2 F(X ) = 2X , omdat

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

De belangrijkste eigenschap van het primitief

Als F(x) - primitief van een functie f(x) op een bepaald interval, dan de functie f(x) heeft oneindig veel primitieve woorden, en al deze primitieve woorden kunnen in de vorm worden geschreven F(x) + C, Waar MET is een willekeurige constante.

Regels voor het berekenen van primitieve woorden

1. Als F(x) - primitief voor f(x) , A G(x) - primitief voor g(x) , Dat F(x) + G(x) - primitief voor f(x) + g(x) . Met andere woorden, de primitief van de som is gelijk aan de som van de primitieven .
2. Als F(x) - primitief voor f(x) , En k - constant dus k · F(x) - primitief voor k · f(x) . Met andere woorden, de constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald .
3. Als F(x) - primitief voor f(x) , En k,B- constant, en k ≠ 0 , Dat 1 / k F( k x+ B ) - primitief voor F(k x+ B) .

Onbepaalde integraal

Niet bepaalde integraal vanuit functie f(x) expressie genoemd F(x) + C, dat wil zeggen, de verzameling van alle primitieve waarden van een bepaalde functie f(x) . De onbepaalde integraal wordt als volgt aangegeven:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- ze bellen integrand-functie ;

f(x)dx- ze bellen integrand ;

X - ze bellen integratievariabele ;

F(x) - een van de primitieve functies f(x) ;

MET is een willekeurige constante.

Bijvoorbeeld, ∫ 2 x dx =X 2 + MET , ∫ wantx dx = zonde X + MET enzovoort. ◄

Het woord ‘integraal’ komt van het Latijnse woord geheel getal , wat 'hersteld' betekent. Gezien de onbepaalde integraal van 2 X, het lijkt erop dat we de functie herstellen X 2 , waarvan de afgeleide gelijk is aan 2 X. Het herstellen van een functie uit zijn afgeleide, of, wat hetzelfde is, het vinden van een onbepaalde integraal over een gegeven integrand, wordt genoemd integratie deze functie. Integratie is de omgekeerde bewerking van differentiatie. Om te controleren of de integratie correct is uitgevoerd, volstaat het om het resultaat te differentiëren en de integrand te verkrijgen.

Basiseigenschappen van de onbepaalde integraal

1. De afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. De constante factor van de integrand kan uit het integraalteken worden gehaald:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Integraal van de som (verschil) van functies gelijk aan de som(verschillen) van integralen van deze functies:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Als k,B- constant, en k ≠ 0 , Dat

∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .

Tabel met primitieve waarden en onbepaalde integralen

Bepaalde integraal

Tussendoor laten [A; B] er wordt een continue functie gegeven y = f(x) , Dan bepaalde integraal van a naar b functies f(x) wordt de increment van het primitief genoemd F(x) deze functie, dat is

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Nummers A En B worden dienovereenkomstig genoemd lager En bovenkant grenzen van de integratie.

Basisregels voor het berekenen van een bepaalde integraal

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) waarbij k - constant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), waarbij f(x) — gelijkmatige functie;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), waarbij f(x) is een vreemde functie.

Opmerking . In alle gevallen wordt aangenomen dat de integranden integreerbaar zijn op numerieke intervallen, waarvan de grenzen de integratiegrenzen zijn.

Geometrische en fysieke betekenis van de bepaalde integraal

Geometrische betekenis bepaalde integraal	Fysieke betekenis bepaalde integraal
Vierkant S kromlijnig trapezium (een figuur beperkt door de grafiek van een continu positief op het interval [A; B] functies f(x) , as Os en recht x=een , x=b ) wordt berekend met de formule $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Pad S, die het materiële punt heeft overwonnen, rechtlijnig bewegend met een snelheid die varieert volgens de wet v(t) , voor een bepaalde tijd a ; B] , dan het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de grafieken van deze functies en rechte lijnen x = een , x = b , berekend met de formule $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Bijvoorbeeld. Laten we het gebied van de figuur berekenen dat wordt begrensd door lijnen y = x 2 En j = 2- X . Laten we de grafieken van deze functies schematisch weergeven en in een andere kleur de figuur markeren waarvan het gebied moet worden gevonden. Om de grenzen van integratie te vinden, lossen we de vergelijking op: X 2 = 2- X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volume van een lichaam van revolutie

	Als een lichaam wordt verkregen als resultaat van rotatie om een ​​as Os kromlijnig trapezium begrensd door een continue en niet-negatieve grafiek op het interval [A; B] functies y = f(x) en recht x = een En x = b , dan heet het lichaam van rotatie . Het volume van een rotatielichaam wordt berekend met de formule $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Als een omwentelingslichaam wordt verkregen als resultaat van de rotatie van een figuur die boven en onder wordt begrensd door grafieken van functies y = f(x) En y = g(x) , dienovereenkomstig dan $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Bijvoorbeeld. Laten we het volume van een kegel met straal berekenen R en hoogte H . Laten we de kegel in een rechthoekig coördinatensysteem plaatsen, zodat zijn as samenvalt met de as Os , en het midden van de basis bevond zich in de oorsprong. Rotatie van de generator AB definieert een kegel. Sinds de vergelijking AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
en voor het volume van de kegel die we hebben $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄