Les en presentatie over het onderwerp: "Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Handleidingen en simulatoren in de Integral online winkel voor graad 10 vanaf 1C
Problemen in de meetkunde oplossen. Interactieve taken voor het bouwen in de ruimte
Softwareomgeving "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Wat gaan we bestuderen:
1. Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?

3. Twee hoofdmethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.
4. Homogene trigonometrische vergelijkingen.
5. Voorbeelden.

Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?

Jongens, we hebben arcsinus, arccosinus, arctangens en arccotangens al bestudeerd. Laten we nu eens kijken naar trigonometrische vergelijkingen in het algemeen.

Trigonometrische vergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een variabele zich bevindt onder het teken van een trigonometrische functie.

Laten we de vorm van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen herhalen:

1)Als |a|≤ 1, dan heeft de vergelijking cos(x) = a een oplossing:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Als |a|≤ 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a een oplossing:

3) Als |a| > 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a en cos(x) = a geen oplossingen 4) De vergelijking tg(x)=a heeft een oplossing: x=arctg(a)+ πk

5) De vergelijking ctg(x)=a heeft een oplossing: x=arcctg(a)+ πk

Voor alle formules is k een geheel getal

De eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen hebben de vorm: T(kx+m)=a, T is een trigonometrische functie.

Los de vergelijkingen op: a) sin(3x)= √3/2

Oplossing:

A) Laten we 3x=t aangeven, dan herschrijven we onze vergelijking in de vorm:

De oplossing voor deze vergelijking is: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Uit de waardentabel krijgen we: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Laten we terugkeren naar onze variabele: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dan x= ((-1)^n)×π/9+πn/3

Antwoord: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, waarbij n een geheel getal is. (-1)^n – min één tot de macht n.

Meer voorbeelden van trigonometrische vergelijkingen.

Oplossing:

A) Laten we deze keer direct beginnen met het berekenen van de wortels van de vergelijking:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dan x/5= πk => x=5πk

Antwoord: x=5πk, waarbij k een geheel getal is.

B) We schrijven het in de vorm: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. We weten dat: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwoord: x=2π/9 + πk/3, waarbij k een geheel getal is.

Los de vergelijkingen op: cos(4x)= √2/2. En vind alle wortels in het segment.

Oplossing:

Wij beslissen binnen algemeen beeld onze vergelijking: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Laten we nu eens kijken welke wortels in ons segment vallen. Bij k Bij k=0, x= π/16 bevinden we ons in het gegeven segment.
Met k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 slaan we opnieuw.
Voor k=2 is x= π/16+ π=17π/16, maar hier hebben we niet geslagen, wat betekent dat we voor grote k uiteraard ook niet zullen raken.

Antwoord: x= π/16, x= 9π/16

Twee belangrijke oplossingsmethoden.

Laten we de vergelijking oplossen:

Oplossing:
Om onze vergelijking op te lossen, zullen we de methode gebruiken om een ​​nieuwe variabele te introduceren, die aangeeft: t=tg(x).

Als resultaat van de vervanging krijgen we: t 2 + 2t -1 = 0

Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden: t=-1 en t=1/3

Dan tg(x)=-1 en tg(x)=1/3, we hebben de eenvoudigste trigonometrische vergelijking, laten we de wortels ervan vinden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwoord: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Een voorbeeld van het oplossen van een vergelijking

Los vergelijkingen op: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Oplossing:

Laten we de identiteit gebruiken: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Onze vergelijking zal de vorm aannemen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Laten we de vervanging t=cos(x) introduceren: 2t 2 -3t - 2 = 0

De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=2 en t=-1/2

Dan is cos(x)=2 en cos(x)=-1/2.

Omdat cosinus kan geen waarden groter dan één aannemen, dan heeft cos(x)=2 geen wortels.

Voor cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwoord: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische vergelijkingen.

Vergelijkingen van de vorm

homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad.

Om een ​​homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad op te lossen, deelt u deze door cos(x): Je kunt niet delen door cosinus als dit het geval is gelijk aan nul, laten we ervoor zorgen dat dit niet het geval is:
Stel cos(x)=0, dan asin(x)+0=0 => sin(x)=0, maar sinus en cosinus zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul, we krijgen een tegenspraak, dus we kunnen veilig delen door nul.

Los de vergelijking op:
Voorbeeld: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Oplossing:

Laten we de gemeenschappelijke factor eruit halen: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dan moeten we twee vergelijkingen oplossen:

Cos(x)=0 en cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 bij x= π/2 + πk;

Beschouw de vergelijking cos(x)+sin(x)=0 Deel onze vergelijking door cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwoord: x= π/2 + πk en x= -π/4+πk

Hoe homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad op te lossen?
Jongens, volg altijd deze regels!

1. Kijk wat coëfficiënt is gelijk en als a=0 dan zal onze vergelijking de vorm aannemen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), waarvan een voorbeeld op de vorige dia staat

2. Als a≠0, dan moet je beide kanten van de vergelijking delen door het kwadraat van de cosinus, dan krijgen we:

We veranderen de variabele t=tg(x) en krijgen de vergelijking:

Los voorbeeld nr.:3 op

Laten we beide zijden van de vergelijking delen door het cosinusvierkant:

We veranderen de variabele t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Laten we de wortels van de kwadratische vergelijking vinden: t=-3 en t=1

Dan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwoord: x=-arctg(3) + πk en x= π/4+ πk

Los voorbeeld nr.:4 op

Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:

We kunnen dergelijke vergelijkingen oplossen: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk

Antwoord: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk

Los voorbeeld nr.:5 op

Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:

Laten we de vervanging tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 introduceren

De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=-2 en t=1/2

Dan krijgen we: tg(2x)=-2 en tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= boogtg(1/2) + πk => x=boogtg(1/2)/2+ πk/2

Antwoord: x=-arctg(2)/2 + πk/2 en x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemen voor onafhankelijke oplossing.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Los de vergelijkingen op: sin(3x)= √3/2. En vind alle wortels op het segment [π/2; π].

3) Los de vergelijking op: kinderbed 2 (x) + 2 kinderbed (x) + 1 =0

4) Los de vergelijking op: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Los de vergelijking op: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Los de vergelijking op: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een verzoek indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres e-mail enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig, in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen

Inleiding 2

Methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen 5

Algebraïsch 5

Vergelijkingen oplossen met behulp van de gelijknamige voorwaarde van gelijkheid trigonometrische functies 7

Factorisatie 8

Reductie tot homogene vergelijking 10

Introductie van hulphoek 11

Converteer het product naar som 14

Universele vervanging 14

Conclusie 17

Invoering

Tot de tiende klas is de volgorde van acties van veel oefeningen die naar het doel leiden in de regel duidelijk gedefinieerd. Bijvoorbeeld lineaire en kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden, breukvergelijkingen en vergelijkingen die herleidbaar zijn tot kwadratische vergelijkingen, enz. Zonder het principe van het oplossen van elk van de genoemde voorbeelden in detail te onderzoeken, merken we de algemene zaken op die nodig zijn voor een succesvolle oplossing.

In de meeste gevallen moet u vaststellen wat voor soort taak de taak is, de volgorde van acties onthouden die naar het doel leiden, en deze acties uitvoeren. Het is duidelijk dat het succes of falen van een student bij het beheersen van technieken voor het oplossen van vergelijkingen vooral afhangt van de mate waarin hij in staat is het type vergelijking correct te bepalen en de volgorde van alle fasen van de oplossing ervan te onthouden. Uiteraard wordt er van uitgegaan dat de student over de vaardigheden beschikt om identieke transformaties en berekeningen uit te voeren.

Een heel andere situatie doet zich voor wanneer een schoolkind trigonometrische vergelijkingen tegenkomt. Bovendien is het niet moeilijk om vast te stellen dat de vergelijking trigonometrisch is. Er doen zich moeilijkheden voor bij het vinden van een handelwijze die tot een positief resultaat zou leiden. En hier wordt de student geconfronteerd met twee problemen. Door verschijning vergelijkingen zijn moeilijk om het type te bepalen. En zonder het type te kennen, is het vrijwel onmogelijk om uit de tientallen beschikbare formules de gewenste formule te selecteren.

Om leerlingen te helpen hun weg te vinden door het complexe doolhof van goniometrische vergelijkingen, maken ze eerst kennis met vergelijkingen die worden gereduceerd tot kwadratische vergelijkingen wanneer een nieuwe variabele wordt geïntroduceerd. Vervolgens lossen ze homogene vergelijkingen op en de vergelijkingen die daartoe herleidbaar zijn. Alles eindigt in de regel met vergelijkingen, om op te lossen waarvoor het nodig is om de linkerkant te ontbinden en vervolgens elk van de factoren gelijk te stellen aan nul.

De leraar beseft dat de twaalf en een half vergelijkingen die in de lessen worden besproken duidelijk niet voldoende zijn om de leerling op een onafhankelijke reis door de trigonometrische ‘zee’ te laten gaan, en voegt nog een paar aanbevelingen toe.

Om een ​​trigonometrische vergelijking op te lossen, moet je het volgende proberen:

Breng alle functies in de vergelijking naar “dezelfde hoeken”;

Reduceer de vergelijking tot “identieke functies”;

Factor de linkerkant van de vergelijking, enz.

Maar ondanks dat ze de basistypes van goniometrische vergelijkingen en verschillende principes voor het vinden van hun oplossing kennen, worden veel studenten nog steeds met stomheid geslagen door elke vergelijking die enigszins afwijkt van de eerder opgeloste vergelijkingen. Het blijft onduidelijk waar je naar moet streven als je een of andere vergelijking hebt, waarom het in het ene geval nodig is om dubbele-hoekformules te gebruiken, in een ander - halve hoek en in een derde - optelformules, enz.

Definitie 1. Een trigonometrische vergelijking is een vergelijking waarin het onbekende is opgenomen onder het teken van trigonometrische functies.

Definitie 2. Er wordt gezegd dat een trigonometrische vergelijking gelijke hoeken heeft als alle trigonometrische functies die erin zijn opgenomen gelijke argumenten hebben. Er wordt gezegd dat een goniometrische vergelijking identieke functies heeft als deze slechts één van de goniometrische functies bevat.

Definitie 3. De macht van een monomial die trigonometrische functies bevat, is de som van de exponenten van de machten van de trigonometrische functies die erin zijn opgenomen.

Definitie 4. Een vergelijking wordt homogeen genoemd als alle daarin opgenomen monomialen dezelfde graad hebben. Deze graad wordt de volgorde van de vergelijking genoemd.

Definitie 5. Trigonometrische vergelijking die alleen functies bevat zonde En want, wordt homogeen genoemd als alle monomialen met betrekking tot trigonometrische functies hebben dezelfde graad, en de trigonometrische functies zelf hebben gelijke hoeken en het aantal monomials is 1 groter dan de orde van de vergelijking.

Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Het oplossen van trigonometrische vergelijkingen bestaat uit twee fasen: het transformeren van de vergelijking om de eenvoudigste vorm te verkrijgen en het oplossen van de resulterende eenvoudigste trigonometrische vergelijking. Er zijn zeven basismethoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

I. Algebraïsche methode. Deze methode is bekend uit de algebra. (Methode voor variabele vervanging en substitutie).

Vergelijkingen oplossen.

1)

Laten we de notatie introduceren X=2 zonde3 T, wij krijgen

Als we deze vergelijking oplossen, krijgen we:
of

die. kan worden opgeschreven

Bij het registreren van de resulterende oplossing vanwege de aanwezigheid van tekenen rang
het heeft geen zin om het op te schrijven.

Antwoord:

Laten we aanduiden

Wij krijgen kwadratische vergelijking
. De wortels ervan zijn cijfers
En
. Daarom wordt deze vergelijking teruggebracht tot de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen
En
. Als we ze oplossen, vinden we dat
of
.

Antwoord:
;
.

Laten we aanduiden

voldoet niet aan de voorwaarde

Middelen

Antwoord:

Laten we de linkerkant van de vergelijking transformeren:

Deze initiële vergelijking kan dus worden geschreven als:

, d.w.z.

Na aangewezen te hebben
, wij krijgen
Als we deze kwadratische vergelijking oplossen, krijgen we:

voldoet niet aan de voorwaarde

We noteren de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking:

Antwoord:

Vervanging
reduceert deze vergelijking tot een kwadratische vergelijking
. De wortels ervan zijn cijfers
En
. Omdat
, dan heeft de gegeven vergelijking geen wortels.

Antwoord: geen wortels.

II. Vergelijkingen oplossen met behulp van de voorwaarde van gelijkheid van trigonometrische functies met dezelfde naam.

A)
, Als

B)
, Als

V)
, Als

Gebruik deze voorwaarden en overweeg om de volgende vergelijkingen op te lossen:

6)

Met behulp van wat er in deel a) is gezegd, ontdekken we dat de vergelijking een oplossing heeft als en slechts dan als
.

Als we deze vergelijking oplossen, vinden we
.

We hebben twee groepen oplossingen:

.

7) Los de vergelijking op:
.

Met behulp van de voorwaarde van item b) leiden we dat af
.

Als we deze kwadratische vergelijkingen oplossen, krijgen we:

.

8) Los de vergelijking op
.

Uit deze vergelijking leiden we dat af. Als we deze kwadratische vergelijking oplossen, vinden we dat

.

III. Factorisatie.

We beschouwen deze methode met voorbeelden.

9) Los de vergelijking op
.

Oplossing. Laten we alle termen van de vergelijking naar links verplaatsen: .

Laten we de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking transformeren en ontbinden in factoren:
.

.

.

1)
2)

Omdat
En
accepteer de waarde nul niet

tegelijkertijd, dan verdelen we beide delen

vergelijkingen voor
,

Antwoord:

10) Los de vergelijking op:

Oplossing.

of

Antwoord:

11) Los de vergelijking op

Oplossing:

1)
2)
3)

,

Antwoord:

IV. Reductie tot een homogene vergelijking.

Om te beslissen homogene vergelijking nodig:

Verplaats al zijn leden naar de linkerkant;

Plaats alle gemeenschappelijke factoren tussen haakjes;

Stel alle factoren en haakjes gelijk aan nul;

Haakjes gelijk aan nul geven een homogene vergelijking van mindere graad, die moet worden gedeeld door
(of
) in de hogere graad;

Los het resultaat op algebraïsche vergelijking relatief
.

Laten we naar voorbeelden kijken:

12) Los de vergelijking op:

Oplossing.

Laten we beide kanten van de vergelijking delen door
,

Introductie van aanduidingen
, naam

wortels van deze vergelijking:

vandaar 1)
2)

Antwoord:

13) Los de vergelijking op:

Oplossing. Dubbele hoekformules en basis gebruiken trigonometrische identiteit, reduceren we deze vergelijking tot een half argument:

Na het reduceren van vergelijkbare termen hebben we:

De homogene laatste vergelijking delen door
, wij krijgen

Ik zal het aangeven
, krijgen we een kwadratische vergelijking
, waarvan de wortels getallen zijn

Dus

Uitdrukking
gaat naar nul bij
, d.w.z. bij
,
.

De oplossing voor de vergelijking die we hebben verkregen, omvat deze getallen niet.

Antwoord:
, .

V. Introductie van een hulphoek.

Beschouw een vergelijking van de vorm

Waar a, b, c- coëfficiënten, X- onbekend.

Laten we beide zijden van deze vergelijking delen door

Nu hebben de coëfficiënten van de vergelijking de eigenschappen van sinus en cosinus, namelijk: de modulus van elk van hen is niet groter dan één, en de som van hun kwadraten is gelijk aan 1.

Dan kunnen wij ze dienovereenkomstig aanwijzen
(Hier - hulphoek) en onze vergelijking heeft de vorm: .

Dan

En zijn besluit

Merk op dat de geïntroduceerde notaties onderling uitwisselbaar zijn.

14) Los de vergelijking op:

Oplossing. Hier
, dus delen we beide kanten van de vergelijking door

Antwoord:

15) Los de vergelijking op

Oplossing. Omdat
, dan is deze vergelijking equivalent aan de vergelijking

Omdat
, dan is er een hoek zodanig dat
,
(die.
).

Wij hebben

Omdat
, dan krijgen we uiteindelijk:

.

Merk op dat vergelijkingen van de vorm een ​​oplossing hebben als en slechts dan als

16) Los de vergelijking op:

Om deze vergelijking op te lossen, groeperen we trigonometrische functies met dezelfde argumenten

Deel beide zijden van de vergelijking door twee

Laten we de som van trigonometrische functies omzetten in een product:

Antwoord:

VI. Een product omzetten in een som.

Hier worden de overeenkomstige formules gebruikt.

17) Los de vergelijking op:

Oplossing. Laten we de linkerkant in een som transformeren:

VII.Universele vervanging.

,

deze formules gelden voor iedereen

Vervanging
universeel genoemd.

18) Los de vergelijking op:

Oplossing: Vervang en
tot hun expressie door
en aanduiden
.

Wij krijgen rationele vergelijking
, wat wordt omgezet in vierkant
.

De wortels van deze vergelijking zijn de getallen
.

Daarom werd het probleem teruggebracht tot het oplossen van twee vergelijkingen
.

Dat vinden wij
.

Waarde bekijken
voldoet niet aan de oorspronkelijke vergelijking, die wordt gecontroleerd door te controleren - substitutie gegeven waarde T in de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord:
.

Opmerking. Vergelijking 18 had op een andere manier opgelost kunnen worden.

Laten we beide zijden van deze vergelijking delen door 5 (d.w.z. door
):
.

Omdat
, dan is er zo'n nummer
, Wat
En
. Daarom heeft de vergelijking de vorm:
of
. Vanaf hier vinden we dat
Waar
.

19) Los de vergelijking op
.

Oplossing. Sinds de functies
En
hebben hoogste waarde, gelijk aan 1, dan is hun som 2 als
En
tegelijkertijd, dat wil zeggen
.

Antwoord:
.

Bij het oplossen van deze vergelijking werd gebruik gemaakt van de begrensdheid van de functies en.

Conclusie.

Bij het werken aan het onderwerp 'Trigonometrische vergelijkingen oplossen' is het voor elke docent nuttig om de volgende aanbevelingen op te volgen:

Systematiseer methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

Kies zelf de stappen voor het uitvoeren van een analyse van de vergelijking en tekenen van de wenselijkheid van het gebruik van een bepaalde oplossingsmethode.

Denk na over manieren om uw activiteiten bij de implementatie van de methode zelf te controleren.

Leer hoe u “uw eigen” vergelijkingen kunt opstellen voor elk van de onderzochte methoden.

Bijlage nr. 1

Homogene of herleidbaar tot homogene vergelijkingen oplossen.

Vereist kennis van de basisformules van trigonometrie - de som van de kwadraten van sinus en cosinus, de uitdrukking van de raaklijn door sinus en cosinus, en andere. Voor degenen die ze zijn vergeten of niet kennen, raden we aan het artikel "" te lezen.
We kennen dus de basistrigonometrische formules, het is tijd om ze in de praktijk te gebruiken. Trigonometrische vergelijkingen oplossen met de juiste aanpak is het een behoorlijk spannende bezigheid, zoals bijvoorbeeld het oplossen van een Rubiks kubus.

Op basis van de naam zelf is het duidelijk dat een trigonometrische vergelijking een vergelijking is waarin het onbekende onder het teken van de trigonometrische functie staat.
Er zijn zogenaamde eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Zo zien ze eruit: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Laten we eens overwegen hoe dergelijke trigonometrische vergelijkingen op te lossen Voor de duidelijkheid zullen we de reeds bekende trigonometrische cirkel gebruiken.

zonde = een

cos x = een

bruin x = een

kinderbedje x = een

Elke trigonometrische vergelijking wordt in twee fasen opgelost: we reduceren de vergelijking tot de eenvoudigste vorm en lossen deze vervolgens op als een eenvoudige trigonometrische vergelijking.
Er zijn zeven hoofdmethoden waarmee trigonometrische vergelijkingen worden opgelost.

1. Variabele substitutie en substitutiemethode

Los de vergelijking 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 op

Met behulp van de reductieformules krijgen we:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Vervang cos(x + /6) door y om te vereenvoudigen en de gebruikelijke kwadratische vergelijking te krijgen:

2j 2 – 3j + 1 + 0

De wortels hiervan zijn y 1 = 1, y 2 = 1/2

Laten we nu in omgekeerde volgorde te werk gaan

We vervangen de gevonden waarden van y en krijgen twee antwoordopties:

2. Trigonometrische vergelijkingen oplossen door factorisatie

Hoe de vergelijking sin x + cos x = 1 op te lossen?

Laten we alles naar links verplaatsen zodat 0 aan de rechterkant blijft:

sin x + cos x – 1 = 0

Laten we de hierboven besproken identiteiten gebruiken om de vergelijking te vereenvoudigen:

zonde x - 2 zonde 2 (x/2) = 0

Laten we factoriseren:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 zonde 2 (x/2) = 0

2zonde(x/2) * = 0

We krijgen twee vergelijkingen

3. Reductie tot een homogene vergelijking

Een vergelijking is homogeen met betrekking tot sinus en cosinus als al zijn termen relatief zijn ten opzichte van de sinus en cosinus van dezelfde macht van dezelfde hoek. Ga als volgt te werk om een ​​homogene vergelijking op te lossen:

a) breng al zijn leden over naar de linkerkant;

b) haal alle gemeenschappelijke factoren tussen haakjes;

c) stel alle factoren en haakjes gelijk aan 0;

d) tussen haakjes wordt een homogene vergelijking van een lagere graad verkregen, die op zijn beurt is verdeeld in een sinus of cosinus van een hogere graad;

e) los de resulterende vergelijking voor tg op.

Los de vergelijking 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 op

Laten we de formule sin 2 x + cos 2 x = 1 gebruiken en de open twee aan de rechterkant wegwerken:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

zonde 2 x + 4 zonde x cos x + 3 cos 2 x = 0

Delen door cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Vervang tan x door y en verkrijg een kwadratische vergelijking:

y 2 + 4y +3 = 0, waarvan de wortels y 1 =1, y 2 = 3 zijn

Vanaf hier vinden we twee oplossingen voor de oorspronkelijke vergelijking:

x 2 = arctan 3 + k

4. Vergelijkingen oplossen via de overgang naar een halve hoek

Los de vergelijking 3sin x – 5cos x = 7 op

Laten we verder gaan met x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Laten we alles naar links verplaatsen:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Delen door cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introductie van hulphoek

Laten we ter overweging een vergelijking nemen in de vorm: a sin x + b cos x = c,

waarbij a, b, c enkele willekeurige coëfficiënten zijn, en x onbekend is.

Laten we beide zijden van de vergelijking delen door:



Nu de coëfficiënten van de vergelijking volgens trigonometrische formules hebben de eigenschappen sin en cos, namelijk: hun modulus is niet meer dan 1 en de som van de kwadraten = 1. Laten we ze respectievelijk aanduiden als cos en sin, waarbij - dit de zogenaamde hulphoek is. Dan zal de vergelijking de vorm aannemen:

cos * zonde x + zonde * cos x = C

of zonde(x + ) = C

De oplossing voor deze eenvoudigste trigonometrische vergelijking is:

x = (-1) k * boogsin C - + k, waarbij



Opgemerkt moet worden dat de notaties cos en sin uitwisselbaar zijn.

Los de vergelijking sin 3x – cos 3x = 1 op

De coëfficiënten in deze vergelijking zijn:

a = , b = -1, dus deel beide zijden door = 2