Laten we eerst het geval bekijken waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal variabelen, d.w.z. m = n. Dan is de matrix van het systeem vierkant en wordt de determinant ervan de determinant van het systeem genoemd.

Inverse matrixmethode

Laten we in algemene vorm het stelsel vergelijkingen AX = B bekijken met een niet-gedegenereerde vierkante matrix A. In dit geval is er een inverse matrix A -1. Laten we beide zijden vermenigvuldigen met A -1 aan de linkerkant. We krijgen A -1 AX = A -1 B. Dus EX = A -1 B en

De laatste gelijkheid is een matrixformule voor het vinden van oplossingen voor dergelijke stelsels vergelijkingen. Het gebruik van deze formule wordt de inverse matrixmethode genoemd

Laten we deze methode bijvoorbeeld gebruiken om het volgende systeem op te lossen:

;

Aan het einde van het oplossen van het systeem kunt u dit controleren door de gevonden waarden in de systeemvergelijkingen te vervangen. Daarbij moeten ze veranderen in echte gelijkheid.

Laten we voor het beschouwde voorbeeld het volgende controleren:

Methode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen met een vierkante matrix met behulp van de formules van Cramer

Stel n= 2:

Als we beide zijden van de eerste vergelijking vermenigvuldigen met a 22, en beide zijden van de tweede met (-a 12), en vervolgens de resulterende vergelijkingen optellen, dan elimineren we de variabele x 2 uit het systeem. Op dezelfde manier kunt u de variabele x 1 elimineren (door beide zijden van de eerste vergelijking te vermenigvuldigen met (-a 21), en beide zijden van de tweede met 11). Als resultaat krijgen we het systeem:

De uitdrukking tussen haakjes is de determinant van het systeem

Laten we aanduiden

Het systeem zal dan de vorm aannemen:

Uit het resulterende systeem volgt dat als de determinant van het systeem 0 is, het systeem consistent en definitief zal zijn. De enige oplossing kan worden berekend met behulp van de formules:

Als = 0, a 1 0 en/of  2 0, dan zullen de systeemvergelijkingen de vorm aannemen 0*x 1 = 2 en/of 0*x 1 = 2. In dit geval zal het systeem inconsistent zijn.

In het geval dat = 1 = 2 = 0, zal het systeem consistent en onbepaald zijn (zal een oneindig aantal oplossingen hebben), aangezien het de vorm zal aannemen:

De stelling van Cramer(we laten het bewijs achterwege). Als de determinant van de matrix van een systeem van n vergelijkingen dat niet is gelijk aan nul, dan heeft het systeem een ​​unieke oplossing, bepaald door de formules:

,

waarbij  j de determinant is van de matrix die wordt verkregen uit matrix A door de j-de kolom te vervangen door een kolom met vrije termen.

De bovenstaande formules worden genoemd Cramer-formules.

Laten we als voorbeeld deze methode gebruiken om een ​​systeem op te lossen dat eerder werd opgelost met behulp van de inverse matrixmethode:

Nadelen van de overwogen methoden:

1) significante arbeidsintensiteit (determinanten berekenen en de inverse matrix vinden);

2) beperkte reikwijdte (voor systemen met een vierkante matrix).

Echte economische situaties worden vaak gemodelleerd door systemen waarin het aantal vergelijkingen en variabelen behoorlijk groot is, en er meer vergelijkingen zijn dan variabelen. Daarom is de volgende methode in de praktijk gebruikelijker.

Gaussiaanse methode (methode voor opeenvolgende eliminatie van variabelen)

Deze methode wordt gebruikt om een ​​stelsel van m lineaire vergelijkingen met n variabelen op te lossen algemeen beeld. De essentie ervan ligt in het toepassen van een systeem van gelijkwaardige transformaties op de uitgebreide matrix, met behulp waarvan het systeem van vergelijkingen wordt getransformeerd naar een vorm waarin de oplossingen ervan gemakkelijk te vinden worden (indien aanwezig).

Dit is het soort waarin links bovenste deel De matrix van het systeem zal een getrapte matrix zijn. Dit wordt bereikt met behulp van dezelfde technieken die werden gebruikt om een ​​stappenmatrix te verkrijgen om de rangorde te bepalen. In dit geval worden elementaire transformaties toegepast op de uitgebreide matrix, waardoor een gelijkwaardig systeem van vergelijkingen kan worden verkregen. Hierna zal de uitgebreide matrix de vorm aannemen:

Het verkrijgen van zo’n matrix heet rechtdoor Gauss-methode.

Het vinden van de waarden van variabelen uit het overeenkomstige stelsel van vergelijkingen wordt genoemd omgekeerd Gauss-methode. Laten we het overwegen.

Merk op dat de laatste (m – r) vergelijkingen de vorm zullen aannemen:

Als ten minste één van de cijfers
niet gelijk is aan nul, dan zal de overeenkomstige gelijkheid onwaar zijn en zal het hele systeem inconsistent zijn.

Daarom voor elk gezamenlijk systeem
. In dit geval zijn de laatste (m – r) vergelijkingen voor alle waarden van de variabelen de identiteit 0 = 0, en deze kunnen worden genegeerd bij het oplossen van het systeem (gooi eenvoudigweg de overeenkomstige rijen weg).

Hierna ziet het systeem er als volgt uit:

Laten we eerst het geval bekijken waarin r=n. Het systeem zal dan de vorm aannemen:

Uit de laatste vergelijking van het systeem kan xr op unieke wijze worden gevonden.

Als we x r kennen, kunnen we er ondubbelzinnig x r -1 uit uitdrukken. Vervolgens kunnen we, uitgaande van de vorige vergelijking, x r en x r -1 kennen, x r -2 uitdrukken, enz. tot x1.

In dit geval zal het systeem dus gezamenlijk en vastberaden zijn.

Beschouw nu het geval waarin r eenvoudig(hoofd), en al de rest - niet-fundamenteel(niet-kern, gratis). De laatste vergelijking van het systeem zal zijn:

Uit deze vergelijking kunnen we de basisvariabele x r uitdrukken in termen van niet-basisvariabelen:

De voorlaatste vergelijking ziet er als volgt uit:

Door de resulterende uitdrukking daarin te vervangen in plaats van x r, zal het mogelijk zijn de basisvariabele x r -1 uit te drukken in termen van niet-basisvariabelen. Enz. naar variabelex 1 . Om een ​​oplossing voor het systeem te verkrijgen, kunt u niet-basisvariabelen gelijkstellen aan willekeurige waarden en vervolgens de basisvariabelen berekenen met behulp van de resulterende formules. In dit geval zal het systeem dus consistent en onbepaald zijn (een oneindig aantal oplossingen hebben).

Laten we bijvoorbeeld het stelsel vergelijkingen oplossen:

We zullen de verzameling basisvariabelen noemen basis systemen. We zullen hiervoor ook de reeks kolommen met coëfficiënten noemen basis(basiskolommen), of basis minor systeemmatrices. De oplossing van het systeem waarin alle niet-basisvariabelen gelijk zijn aan nul wordt aangeroepen basisoplossing.

In het vorige voorbeeld is de basisoplossing (4/5; -17/5; 0; 0) (de variabelen x 3 en x 4 (c 1 en c 2) zijn ingesteld op nul, en de basisvariabelen x 1 en x 2 worden hierdoor berekend). Om een ​​voorbeeld te geven van een niet-basisoplossing, moeten we x 3 en x 4 (c 1 en c 2) gelijkstellen aan willekeurige getallen die niet tegelijkertijd nul zijn, en de resterende variabelen daardoor berekenen. Met c 1 = 1 en c 2 = 0 krijgen we bijvoorbeeld een niet-basisoplossing - (4/5; -12/5; 1; 0). Door substitutie is het gemakkelijk om te verifiëren dat beide oplossingen correct zijn.

Het is duidelijk dat er in een onbepaald systeem een ​​oneindig aantal niet-basisoplossingen kan zijn. Hoeveel basisoplossingen zijn er mogelijk? Elke rij van de getransformeerde matrix moet overeenkomen met één basisvariabele. Er zijn n variabelen in het probleem, en r basislijnen. Daarom kan het aantal van alle mogelijke sets basisvariabelen niet groter zijn dan het aantal combinaties van n bij 2. Het kan minder zijn dan , omdat het niet altijd mogelijk is om het systeem in een zodanige vorm te transformeren dat deze specifieke reeks variabelen de basis vormt.

Wat voor soort is dit? Dit is het type waarbij de matrix gevormd uit kolommen met coëfficiënten voor deze variabelen getrapt zal zijn en tegelijkertijd uit r rijen zal bestaan. Die. de rangorde van de coëfficiëntenmatrix voor deze variabelen moet gelijk zijn aan r. Het kan niet groter zijn, omdat het aantal kolommen gelijk is. Als deze kleiner blijkt te zijn dan r, duidt dit op een lineaire afhankelijkheid van de kolommen van de variabelen. Dergelijke kolommen kunnen geen basis vormen.

Laten we eens kijken welke andere basisoplossingen er in het hierboven besproken voorbeeld te vinden zijn. Om dit te doen, overweeg alle mogelijke combinaties van vier variabelen, elk twee basisvariabelen. Er zullen dergelijke combinaties zijn
, en een daarvan (x 1 en x 2) is al overwogen.

Laten we de variabelen x 1 en x 3 nemen. Laten we de rangorde van de matrix van coëfficiënten voor hen vinden:

Omdat het gelijk is aan twee, kunnen ze eenvoudig zijn. Laten we de niet-basisvariabelen x 2 en x 4 gelijkstellen aan nul: x 2 = x 4 = 0. Dan volgt uit de formule x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 dat x 1 = 4 /5, en uit de formule x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 volgt dat x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. We krijgen dus de basisoplossing (4/5; 0; 17/5; 0).

Op dezelfde manier kunt u basisoplossingen verkrijgen voor de basisvariabelen x 1 en x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 en x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 en x 4 – (0; 0; 9; 4).

De variabelen x 2 en x 3 in dit voorbeeld kunnen niet als basisvariabelen worden beschouwd, aangezien de rangorde van de overeenkomstige matrix gelijk is aan één, d.w.z. minder dan twee:

.

Een andere benadering om te bepalen of het al dan niet mogelijk is om op basis van bepaalde variabelen een basis te construeren, is ook mogelijk. Bij het oplossen van het voorbeeld, als resultaat van het transformeren van de systeemmatrix naar een stapsgewijze vorm, nam het de vorm aan:

Door paren variabelen te selecteren, was het mogelijk om de overeenkomstige minoren van deze matrix te berekenen. Het is gemakkelijk te verifiëren dat ze voor alle paren behalve x 2 en x 3 niet gelijk zijn aan nul, d.w.z. de kolommen zijn lineair onafhankelijk. En alleen voor kolommen met variabelen x 2 en x 3
, wat hun lineaire afhankelijkheid aangeeft.

Laten we naar een ander voorbeeld kijken. Laten we het stelsel vergelijkingen oplossen

De vergelijking die overeenkomt met de derde rij van de laatste matrix is ​​dus tegenstrijdig - deze resulteerde in de onjuiste gelijkheid 0 = -1, daarom is dit systeem inconsistent.

Jordan-Gauss-methode 3 is een ontwikkeling van de Gaussische methode. De essentie ervan is dat de uitgebreide matrix van het systeem wordt getransformeerd naar een vorm waarin de coëfficiënten van de variabelen een identiteitsmatrix vormen tot aan de permutatie van rijen of kolommen 4 (waarbij r de rangorde van de systeemmatrix is).

Laten we het systeem oplossen met behulp van deze methode:

Beschouw de uitgebreide matrix van het systeem:

In deze matrix selecteren we een eenheidselement. De coëfficiënt voor x 2 in de derde beperking is bijvoorbeeld 5. Laten we ervoor zorgen dat de resterende rijen in deze kolom nullen bevatten, d.w.z. laten we de kolom enkelvoudig maken. Tijdens het transformatieproces zullen we dit noemen kolomtolerant(leidend, sleutel). De derde beperking (derde lijn) wij bellen ook tolerant. Mezelf element, dat op het snijpunt van de oplossende rij en kolom staat (hier is het er één), wordt ook wel genoemd tolerant.

De eerste regel bevat nu de coëfficiënt (-1). Om een ​​nul op zijn plaats te krijgen, vermenigvuldigt u de derde regel met (-1) en trekt u het resultaat af van de eerste regel (dat wil zeggen: u voegt eenvoudigweg de eerste regel toe aan de derde).

De tweede regel bevat de coëfficiënt 2. Om nul op zijn plaats te krijgen, vermenigvuldigt u de derde regel met 2 en trekt u het resultaat af van de eerste regel.

Het resultaat van de transformatie ziet er als volgt uit:

Uit deze matrix is ​​duidelijk zichtbaar dat een van de eerste twee beperkingen kan worden geschrapt (de overeenkomstige rijen zijn proportioneel, dat wil zeggen dat deze vergelijkingen uit elkaar volgen). Laten we bijvoorbeeld de tweede doorstrepen:

Het nieuwe systeem heeft dus twee vergelijkingen. Er wordt een eenheidskolom (tweede) verkregen, en de eenheid verschijnt hier in de tweede rij. Laten we niet vergeten dat de tweede vergelijking van het nieuwe systeem zal overeenkomen met de basisvariabele x 2.

Laten we een basisvariabele voor de eerste rij kiezen. Dit kan elke variabele zijn behalve x 3 (omdat voor x 3 de eerste beperking een coëfficiënt nul heeft, d.w.z. de reeks variabelen x 2 en x 3 kan hier niet fundamenteel zijn). U kunt de eerste of de vierde variabele nemen.

Laten we x 1 kiezen. Het oplossende element is dan 5, en beide zijden van de oplossende vergelijking moeten door vijf worden gedeeld om er één in de eerste kolom van de eerste rij te krijgen.

Laten we ervoor zorgen dat de resterende rijen (dat wil zeggen de tweede rij) nullen hebben in de eerste kolom. Omdat de tweede regel nu niet nul bevat, maar 3, moeten we van de tweede regel de elementen van de getransformeerde eerste regel aftrekken, vermenigvuldigd met 3:

Uit de resulterende matrix kan men rechtstreeks één basisoplossing extraheren, waarbij niet-basisvariabelen gelijk worden gesteld aan nul, en basisvariabelen aan vrije termen in de overeenkomstige vergelijkingen: (0,8; -3,4; 0; 0). Je kunt ook algemene formules afleiden die basisvariabelen uitdrukken via niet-basisvariabelen: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Deze formules beschrijven de volledige oneindige reeks oplossingen voor het systeem (door x 3 en x 4 gelijk te stellen aan willekeurige getallen, kun je x 1 en x 2 berekenen).

Merk op dat de essentie van de transformaties in elke fase van de Jordan-Gauss-methode als volgt was:

1) de resolutielijn werd gedeeld door het resolutie-element om in plaats daarvan een eenheid te verkrijgen,

2) van alle andere rijen werd de getransformeerde resolutie afgetrokken, vermenigvuldigd met het element dat zich in de gegeven rij in de resolutiekolom bevond, om een ​​nul te krijgen in plaats van dit element.

Laten we opnieuw de getransformeerde uitgebreide matrix van het systeem bekijken:

Uit dit record blijkt duidelijk dat de rangorde van de matrix van systeem A gelijk is aan r.

In de loop van onze redenering hebben we vastgesteld dat het systeem alleen dan coöperatief zal zijn als
. Dit betekent dat de uitgebreide matrix van het systeem er als volgt uit zal zien:

Door nul rijen weg te gooien, verkrijgen we dat de rangorde van de uitgebreide matrix van het systeem ook gelijk is aan r.

Stelling van Kronecker-Capelli. Een systeem van lineaire vergelijkingen is consistent als en slechts als de rangorde van de matrix van het systeem gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix van dit systeem.

Bedenk dat de rangorde van een matrix gelijk is aan het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen. Hieruit volgt dat als de rangorde van de uitgebreide matrix kleiner is dan het aantal vergelijkingen, de vergelijkingen van het systeem lineair afhankelijk zijn en dat een of meer daarvan uit het systeem kunnen worden uitgesloten (aangezien ze lineair zijn). combinatie van de anderen). Een stelsel vergelijkingen zal alleen lineair onafhankelijk zijn als de rangorde van de uitgebreide matrix gelijk is aan het aantal vergelijkingen.

Bovendien kan voor gelijktijdige systemen van lineaire vergelijkingen worden beargumenteerd dat als de rangorde van de matrix gelijk is aan het aantal variabelen, het systeem een ​​unieke oplossing heeft, en als deze kleiner is dan het aantal variabelen, dan het systeem is onbepaald en heeft oneindig veel oplossingen.

1 Stel dat er bijvoorbeeld vijf rijen in de matrix zijn (de oorspronkelijke rijvolgorde is 12345). We moeten de tweede regel en de vijfde veranderen. Om ervoor te zorgen dat de tweede regel de plaats van de vijfde inneemt en naar beneden "beweegt", veranderen we achtereenvolgens de aangrenzende lijnen drie keer: de tweede en derde (13245), de tweede en vierde (13425) en de tweede en vijfde (13452). ). Om ervoor te zorgen dat de vijfde rij de plaats van de tweede in de oorspronkelijke matrix inneemt, is het vervolgens noodzakelijk om de vijfde rij naar boven te “verschuiven” met slechts twee opeenvolgende wijzigingen: de vijfde en vierde rij (13542) en de vijfde en derde. (15342).

2Aantal combinaties van n tot r ze noemen het aantal van alle verschillende r-element-subsets van een n-element-set (degenen met verschillende samenstellingen van elementen worden als verschillende sets beschouwd; de volgorde van selectie is niet belangrijk). Het wordt berekend met behulp van de formule:
.
0!=1.)

Laten we ons de betekenis van het teken “!” herinneren (faculteit):

3 Omdat deze methode gebruikelijker is dan de eerder besproken Gaussische methode, en in wezen een combinatie is van de voorwaartse en achterwaartse stappen van de Gaussische methode, wordt deze ook wel de Gaussische methode genoemd, waarbij het eerste deel van de naam wordt weggelaten.
.

4Bijvoorbeeld

1. 5Als er geen eenheden in de systeemmatrix zouden zijn, zou het bijvoorbeeld mogelijk zijn om beide zijden van de eerste vergelijking door twee te delen, en dan zou de eerste coëfficiënt eenheid worden; of iets dergelijks Vervangingsmethode

: vanuit elke vergelijking van het systeem drukken we de ene onbekende uit via de andere en vervangen deze in de tweede vergelijking van het systeem. Taak.

Los het stelsel vergelijkingen op: Oplossing. Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken bij door X en vervang het in de tweede vergelijking van het systeem. Laten we het systeem pakken

gelijk aan de originele.

Nadat vergelijkbare termen zijn geïntroduceerd, zal het systeem de volgende vorm aannemen: Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken = 2 - 2door Uit de tweede vergelijking vinden we: . Deze waarde in de vergelijking vervangen Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken, wij krijgen

2. = 3. Daarom is de oplossing voor dit systeem een ​​paar getallen.: Door twee vergelijkingen toe te voegen, krijg je een vergelijking met één variabele.

: vanuit elke vergelijking van het systeem drukken we de ene onbekende uit via de andere en vervangen deze in de tweede vergelijking van het systeem. Los de systeemvergelijking op:

Los het stelsel vergelijkingen op: Door beide zijden van de tweede vergelijking met 2 te vermenigvuldigen, krijgen we het systeem gelijk aan de originele. Door de twee vergelijkingen van dit systeem op te tellen, komen we bij het systeem

Na het introduceren van soortgelijke termen, zal dit systeem de vorm aannemen: Uit de tweede vergelijking vinden we . Deze waarde vervangen door vergelijking 3 door + 4Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken= 5, krijgen we , waar . Daarom is de oplossing voor dit systeem een ​​paar getallen.

3. Methode voor het introduceren van nieuwe variabelen: we zijn op zoek naar enkele herhalende uitdrukkingen in het systeem, die we zullen aanduiden met nieuwe variabelen, waardoor het uiterlijk van het systeem wordt vereenvoudigd.

: vanuit elke vergelijking van het systeem drukken we de ene onbekende uit via de andere en vervangen deze in de tweede vergelijking van het systeem. Taak.

Los het stelsel vergelijkingen op: Laten we dit systeem anders schrijven:

Laten x + y = jij, xy = v. Dan krijgen we het systeem

Laten we het oplossen met behulp van de substitutiemethode. Vanaf de eerste vergelijking van het systeem dat we uitdrukken u door v en vervang het in de tweede vergelijking van het systeem. Laten we het systeem pakken die.

Uit de tweede vergelijking van het systeem vinden we v 1 = 2, v 2 = 3.

Deze waarden in de vergelijking vervangen u = 5 - v Uit de tweede vergelijking vinden we: . Deze waarde in de vergelijking vervangen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dan hebben we twee systemen

Als we het eerste systeem oplossen, krijgen we twee paar getallen (1; 2), (2; 1). Het tweede systeem heeft geen oplossingen.

Oefeningen voor zelfstandig werken

1. Los stelsels vergelijkingen op met behulp van de substitutiemethode.

Laten we eerst de definitie in herinnering brengen van een oplossing voor een stelsel vergelijkingen met twee variabelen.

Definitie 1

Een paar getallen wordt een oplossing genoemd voor een stelsel vergelijkingen in twee variabelen als het vervangen ervan in de vergelijking resulteert in een echte gelijkheid.

In de toekomst zullen we systemen van twee vergelijkingen met twee variabelen overwegen.

Er zijn vier basismanieren om stelsels vergelijkingen op te lossen: substitutiemethode, optelmethode, grafische methode, methode voor het behouden van nieuwe variabelen. Laten we deze methoden bekijken aan de hand van specifieke voorbeelden. Om het principe van het gebruik van de eerste drie methoden te beschrijven, zullen we een systeem van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden beschouwen:

Vervangingsmethode

De substitutiemethode is als volgt: neem een ​​van deze vergelijkingen en druk $y$ uit in termen van $x$, dan wordt $y$ gesubstitueerd in de systeemvergelijking, van waaruit de variabele $x wordt gevonden.$ Hierna kunnen we bereken eenvoudig de variabele $y.$

Voorbeeld 1

Laten we $y$ uit de tweede vergelijking uitdrukken in termen van $x$:

Laten we de eerste vergelijking vervangen en $x$ vinden:

\ \ \

Laten we $y$ vinden:

Antwoord: $(-2,\ 3)$

Toevoeging methode.

Laten we deze methode bekijken aan de hand van een voorbeeld:

Voorbeeld 2

\[\left\( \begin(matrix)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(matrix) \right.\]

Als we de tweede vergelijking met 3 vermenigvuldigen, krijgen we:

\[\left\( \begin(matrix)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(matrix) \right.\]

Laten we nu beide vergelijkingen bij elkaar optellen:

\ \ \

Laten we $y$ vinden uit de tweede vergelijking:

\[-6-y=-9\] \

Antwoord: $(-2,\ 3)$

Opmerking 1

Merk op dat het bij deze methode nodig is om één of beide vergelijkingen met zulke getallen te vermenigvuldigen dat tijdens het optellen een van de variabelen "verdwijnt".

Grafische methode

De grafische methode is als volgt: beide vergelijkingen van het systeem worden afgebeeld op het coördinatenvlak en het snijpunt wordt gevonden.

Voorbeeld 3

\[\left\( \begin(matrix)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(matrix) \right.\]

Laten we $y$ uit beide vergelijkingen uitdrukken in termen van $x$:

\[\left\( \begin(matrix)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(matrix) \right.\]

Laten we beide grafieken in hetzelfde vlak weergeven:

Figuur 1.

Antwoord: $(-2,\ 3)$

Methode voor het introduceren van nieuwe variabelen

Laten we deze methode bekijken aan de hand van het volgende voorbeeld:

Voorbeeld 4

\[\left\( \begin(matrix)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(matrix) \right .\]

Los het stelsel vergelijkingen op:

Dit systeem is gelijkwaardig aan het systeem

\[\left\( \begin(matrix)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(matrix) \ rechts.\]

Stel $2^x=u\ (u>0)$, en $3^y=v\ (v>0)$, we krijgen:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Laten we het resulterende systeem oplossen met behulp van de optelmethode. Laten we de vergelijkingen optellen:

\ \

Dan halen we dat uit de tweede vergelijking

Terugkerend naar de vervanging, krijgen we nieuw systeem exponentiële vergelijkingen:

\[\left\( \begin(matrix)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(matrix) \right.\]

Wij krijgen:

\[\left\( \begin(matrix)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(matrix) \right.\]

1. Het systeem oplossen met behulp van de substitutiemethode.
2. Het systeem oplossen door de systeemvergelijkingen term voor term op te tellen (aftrekken).

Om het stelsel vergelijkingen op te lossen via substitutiemethode je moet een eenvoudig algoritme volgen:
1. Express. Uit elke vergelijking drukken we één variabele uit.
2. Vervanger. We vervangen de resulterende waarde in een andere vergelijking in plaats van de uitgedrukte variabele.
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele. Wij vinden een oplossing voor het systeem.

Om te beslissen systeem door term-voor-term optellen (aftrekken) methode moet:
1. Selecteer een variabele waarvoor we identieke coëfficiënten gaan maken.
2. We voegen vergelijkingen toe of trekken ze af, wat resulteert in een vergelijking met één variabele.
3. Los de resulterende lineaire vergelijking op. Wij vinden een oplossing voor het systeem.

De oplossing voor het systeem zijn de snijpunten van de functiegrafieken.

Laten we de oplossing van systemen in detail bekijken met behulp van voorbeelden.

Voorbeeld #1:

Laten we het oplossen via de substitutiemethode

2x+5y=1 (1 vergelijking)
x-10y=3 (2e vergelijking)

1. Express
Het is te zien dat er in de tweede vergelijking een variabele x is met een coëfficiënt van 1, wat betekent dat het het gemakkelijkst is om de variabele x uit de tweede vergelijking uit te drukken.
x=3+10j

2. Nadat we het hebben uitgedrukt, vervangen we 3+10y in de eerste vergelijking in plaats van de variabele x.
2(3+10j)+5j=1

3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele.
2(3+10y)+5y=1 (open de haakjes)
6+20j+5j=1
25j=1-6
25j=-5 |: (25)
j=-5:25
y=-0,2

De oplossing voor het vergelijkingssysteem zijn de snijpunten van de grafieken, daarom moeten we x en y vinden, omdat het snijpunt bestaat uit x en y. Laten we x vinden, in het eerste punt waar we het uitdrukten, vervangen we daar y .
x=3+10j
x=3+10*(-0,2)=1

Het is gebruikelijk om punten te schrijven, in de eerste plaats schrijven we de variabele x, en in de tweede plaats de variabele y.
Antwoord: (1; -0,2)

Voorbeeld #2:

Laten we het oplossen met behulp van de term-voor-term optelling (aftrekking) methode.

3x-2y=1 (1 vergelijking)
2x-3y=-10 (2e vergelijking)

1. We kiezen een variabele, laten we zeggen dat we x kiezen. In de eerste vergelijking heeft de variabele x een coëfficiënt van 3, in de tweede - 2. We moeten de coëfficiënten hetzelfde maken, hiervoor hebben we het recht om de vergelijkingen te vermenigvuldigen of te delen door een willekeurig getal. We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met 2 en de tweede met 3 en krijgen een totale coëfficiënt van 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trek de tweede van de eerste vergelijking af om de variabele x weg te werken lineaire vergelijking.
__6x-4y=2

5j=32 | :5
j=6,4

3. Zoek x. We vervangen de gevonden y in een van de vergelijkingen, laten we zeggen in de eerste vergelijking.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Het snijpunt zal x=4,6 zijn; j=6,4
Antwoord: (4,6; 6,4)

Wil jij je gratis voorbereiden op examens? Bijlesdocent online gratis. Geen grap.

Los het systeem op met twee onbekenden - dit betekent het vinden van alle paren variabele waarden die aan elk van de gegeven vergelijkingen voldoen. Elk dergelijk paar wordt geroepen systeem oplossing.

Voorbeeld:
Het waardenpaar \(x=3\);\(y=-1\) is een oplossing voor het eerste systeem, omdat bij het vervangen van deze drieën en min-enen in het systeem in plaats van \(x\) en \ (y\), beide vergelijkingen worden de juiste gelijkheden \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( gevallen)\)

Maar \(x=1\); \(y=-2\) - is geen oplossing voor het eerste systeem, omdat na substitutie de tweede vergelijking “niet convergeert” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Merk op dat dergelijke paren vaak korter worden geschreven: in plaats van "\(x=3\); \(y=-1\)" schrijven ze als volgt: \((3;-1)\).

Hoe los je een stelsel lineaire vergelijkingen op?

Er zijn drie manieren om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen:

1. Vervangingsmethode.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Pijl naar rechts\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Pijl-links-rechts\)

Vervang de resulterende uitdrukking in plaats van deze variabele in een andere vergelijking van het systeem.

\(\Pijl naar rechts\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Pijl naar rechts\)

1. \(\begin(gevallen)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(gevallen)\)

   In de tweede vergelijking is elke term even, dus vereenvoudigen we de vergelijking door deze te delen door \(2\).
   

   \(\begin(hoofdletters)13x+9y=17\\6x-y=13\end(hoofdletters)\)

   Dit systeem kan op een van de volgende manieren worden opgelost, maar het lijkt mij dat de vervangingsmethode hier het handigst is. Laten we y uitdrukken uit de tweede vergelijking.
   

   \(\begin(gevallen)13x+9y=17\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Laten we \(6x-13\) vervangen door \(y\) in de eerste vergelijking.
   

   \(\begin(gevallen)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   De eerste vergelijking veranderde in een gewone. Laten we het oplossen.

   Laten we eerst de haakjes openen.
   

   \(\begin(gevallen)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Laten we \(117\) naar rechts verplaatsen en vergelijkbare termen presenteren.

   \(\begin(gevallen)67x=134\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Laten we beide zijden van de eerste vergelijking delen door \(67\).

   \(\begin(gevallen)x=2\\y=6x-13\end(gevallen)\)

   Hoera, we hebben \(x\) gevonden! Laten we de waarde ervan in de tweede vergelijking vervangen en \(y\) vinden.

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Pijl naar rechts\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Laten we het antwoord opschrijven.