Definitie. Prisma is een veelvlak, waarvan alle hoekpunten zich in twee evenwijdige vlakken bevinden, en in deze zelfde twee vlakken liggen twee vlakken van het prisma, die gelijke veelhoeken zijn met overeenkomstig evenwijdige zijden, en alle randen die niet in deze vlakken liggen, zijn evenwijdig.

Er worden twee gelijke gezichten genoemd prisma-basissen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle andere vlakken van het prisma worden opgeroepen zijvlakken(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle zijvlakken vormen zich zijvlak van het prisma .

Alle zijvlakken van het prisma zijn parallellogrammen .

De randen die niet aan de basis liggen, worden de laterale randen van het prisma genoemd ( AA 1, BB1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal is een segment waarvan de uiteinden twee hoekpunten van een prisma zijn die niet op hetzelfde vlak liggen (AD 1).

De lengte van het segment dat de bases van het prisma verbindt en tegelijkertijd loodrecht op beide bases staat, wordt genoemd prisma hoogte .

Aanduiding:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Eerst worden, in volgorde van doorkruisen, de hoekpunten van één basis aangegeven, en vervolgens, in dezelfde volgorde, de hoekpunten van een andere; de ​​uiteinden van elke zijrand worden aangegeven met dezelfde letters, alleen de hoekpunten liggen in één basis worden aangegeven met letters zonder index, en in de andere - met een index)

De naam van het prisma wordt geassocieerd met het aantal hoeken in de figuur die aan de basis ligt. In figuur 1 is er bijvoorbeeld een vijfhoek aan de basis, dus het prisma wordt genoemd vijfhoekig prisma. Maar omdat zo'n prisma heeft 7 gezichten, dan is het zevenëder(2 vlakken - de basis van het prisma, 5 vlakken - parallellogrammen, - de zijvlakken)

Onder de rechte prisma's valt een bepaald type op: gewone prisma's.

Een recht prisma wordt genoemd juist, als de gronden dat zijn regelmatige veelhoeken.

Parallellepipedum

Rechthoekig parallellepipedum- een rechter parallellepipedum waarvan de basis een rechthoek is.

Eigenschappen en stellingen:

,

waarbij d de diagonaal van het vierkant is;
a is de zijde van het vierkant.

Een idee van een prisma wordt gegeven door:

• verschillende architectonische constructies;
• kinderspeelgoed;
• verpakkingsdozen;
• designerartikelen enz.

Het gebied van het totale en laterale oppervlak van het prisma

S vol = S-zijde + 2S hoofd,

Waar S vol- totale oppervlakte, S-kant-zijoppervlak, S-basis- basisoppervlak

Het laterale oppervlak van een recht prisma is gelijk aan het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het prisma.

S-kant= P basis * h,

Waar S-kant-gebied van het zijoppervlak van een recht prisma,

P hoofd - omtrek van de basis van een recht prisma,

h is de hoogte van het rechte prisma, gelijk aan de zijkant.

Prisma-volume

Het volume van een prisma is gelijk aan het product van de oppervlakte van de basis en de hoogte.

Definitie 1. Prismatisch oppervlak
Stelling 1. Op evenwijdige doorsneden van een prismatisch oppervlak
Definitie 2. Loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak
Definitie 3. Prisma
Definitie 4. Prismahoogte
Definitie 5. Rechterprisma
Stelling 2. Zijoppervlak van het prisma

Parallellepipedum:
Definitie 6. Parallellepipedum
Stelling 3. Op het snijpunt van de diagonalen van een parallellepipedum
Definitie 7. Rechter parallellepipedum
Definitie 8. Rechthoekig parallellepipedum
Definitie 9. Metingen van een parallellepipedum
Definitie 10. Kubus
Definitie 11. Rhomboëder
Stelling 4. Op de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum
Stelling 5. Volume van een prisma
Stelling 6. Volume van een recht prisma
Stelling 7. Volume van een rechthoekig parallellepipedum

Prisma is een veelvlak waarvan de twee vlakken (bases) in evenwijdige vlakken liggen, en de randen die niet in deze vlakken liggen evenwijdig aan elkaar.
Andere gezichten dan de bases worden genoemd lateraal.
De zijkanten van de zijvlakken en bases worden genoemd prisma ribben, worden de uiteinden van de randen genoemd de hoekpunten van het prisma. Laterale ribben randen die niet tot de bases behoren, worden genoemd. De vereniging van zijvlakken wordt genoemd zijvlak van het prisma, en de vereniging van alle gezichten wordt genoemd het volledige oppervlak van het prisma. Prisma hoogte heet de loodlijn die valt van het punt van de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis of de lengte van deze loodlijn. Direct prisma een prisma genoemd waarvan de zijribben loodrecht op de vlakken van de basis staan. Juist een recht prisma genoemd (Fig. 3), aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt.

Benamingen:
l - zijrib;
P - basisomtrek;
S o - basisgebied;
H - hoogte;
P^ - loodrechte doorsnedeomtrek;
Sb - lateraal oppervlak;
V-volume;
Sp is de oppervlakte van het totale oppervlak van het prisma.

Definitie 2 . Een loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak is een doorsnede van dit oppervlak door een vlak loodrecht op de randen ervan. Gebaseerd op de vorige stelling zullen alle loodrechte secties van hetzelfde prismatische oppervlak gelijke polygonen zijn.

Definitie 3 . Een prisma is een veelvlak dat wordt begrensd door een prismatisch oppervlak en twee vlakken evenwijdig aan elkaar (maar niet evenwijdig aan de randen van het prismatische oppervlak)
De gezichten die in deze laatste vlakken liggen, worden opgeroepen prisma-basissen; vlakken die tot het prismatische oppervlak behoren - zijvlakken; randen van het prismatische oppervlak - zijribben van het prisma. Op grond van de vorige stelling is de basis van het prisma dat gelijke veelhoeken. Alle zijvlakken van het prisma - parallellogrammen; alle zijribben zijn gelijk aan elkaar.
Als de basis van het prisma ABCDE en een van de randen AA" in grootte en richting worden gegeven, is het uiteraard mogelijk een prisma te construeren door de randen BB", CC", ... gelijk en evenwijdig aan de rand AA" te tekenen. .

Definitie 4 . De hoogte van een prisma is de afstand tussen de vlakken van zijn basis (HH").

Definitie 5 . Een prisma wordt recht genoemd als de basis ervan loodrechte delen van het prismatische oppervlak zijn. In dit geval is de hoogte van het prisma natuurlijk de hoogte ervan zijrib; de zijranden zullen zijn rechthoeken.
Prisma's kunnen worden geclassificeerd op basis van het aantal zijvlakken dat gelijk is aan het aantal zijden van de veelhoek die als basis dient. Prisma's kunnen dus driehoekig, vierhoekig, vijfhoekig, enz. zijn.

Stelling 2 . Het oppervlak van het zijoppervlak van het prisma is gelijk aan het product van de zijrand en de omtrek van het loodrechte gedeelte.
Laat ABCDEA"B"C"D"E" een gegeven prisma zijn en abcde de loodrechte doorsnede ervan, zodat de segmenten ab, bc, .. loodrecht op de zijranden staan. Het vlak ABA"B" is een parallellogram; de oppervlakte ervan is gelijk aan het product van de basis AA " tot een hoogte die samenvalt met ab; het gebied van het gezicht ВСВ "С" is gelijk aan het product van de basis ВВ" door de hoogte bc, enz. Bijgevolg, zijvlak(d.w.z. de som van de oppervlakten van de zijvlakken) is gelijk aan het product van de zijrand, met andere woorden, de totale lengte van de segmenten AA", BB", .., met de som ab+bc+cd +de+ea.

Veelhoeken ABCDE en FHKMP die in evenwijdige vlakken liggen, worden de basis van het prisma genoemd, de loodlijn OO 1 die van een willekeurig punt van de basis naar het vlak van een ander punt wordt verlaagd, wordt de hoogte van het prisma genoemd. Parallellogrammen ABHF, BCKH, enz. worden de zijvlakken van het prisma genoemd, en hun zijden SC, DM, enz., die de overeenkomstige hoekpunten van de bases verbinden, worden zijranden genoemd. In een prisma zijn alle zijranden gelijk aan elkaar als segmenten van evenwijdige rechte lijnen, ingesloten tussen evenwijdige vlakken.
Een prisma wordt een rechte lijn genoemd ( Afb. 282, b) of schuin ( Afb.282,c) afhankelijk van het feit of de zijribben loodrecht of hellend ten opzichte van de basis staan. Een recht prisma heeft rechthoekige zijvlakken. De zijrand kan worden genomen als de hoogte van een dergelijk prisma.
Een recht prisma wordt regelmatig genoemd als de basis ervan regelmatige veelhoeken is. In zo'n prisma zijn alle zijvlakken gelijke rechthoeken.
Om een ​​prisma in een complexe tekening weer te geven, moet je de elementen waaruit het bestaat (een punt, een rechte lijn, een platte figuur) kennen en kunnen weergeven.
en hun afbeelding in de complexe tekening (Fig. 283, a - i)

a) Complexe tekening van een prisma. De basis van het prisma bevindt zich op het projectievlak P1; één van de zijvlakken van het prisma is evenwijdig aan het projectievlak P 2.
b) Dichtbij de basis van het prisma DEF - plat figuur- regelmatige driehoek gelegen in vlak P1; zijde van driehoek DE is evenwijdig aan de x-as 12 - De horizontale projectie gaat over in de gegeven basis en is daar dus gelijk aan natuurlijke grootte; De frontale projectie gaat over in de x 12-as en is gelijk aan de zijkant van de basis van het prisma.
c) De bovenste basis van het ABC-prisma is een platte figuur: een driehoek in een horizontaal vlak. De horizontale projectie versmelt met de projectie van de onderste basis en bedekt deze, aangezien het prisma recht is; frontale projectie - recht, evenwijdig aan de x 12-as, op een afstand van de hoogte van het prisma.
d) Het zijvlak van het ABED-prisma is een platte figuur - een rechthoek die in het frontale vlak ligt. Frontale projectie - een rechthoek gelijk aan de natuurlijke grootte van het gezicht; horizontale projectie is een rechte lijn gelijk aan de zijkant van de basis van het prisma.
e) en f) De zijvlakken van de ACFD- en CBEF-prisma's zijn platte figuren - rechthoeken die in horizontale projectievlakken liggen en zich onder een hoek van 60° bevinden ten opzichte van het projectievlak P 2. Horizontale projecties zijn rechte lijnen, gelegen op de x 12-as onder een hoek van 60°, en zijn gelijk aan de natuurlijke grootte van de zijkanten van de basis van het prisma; frontale projecties zijn rechthoeken waarvan de afbeeldingen kleiner zijn dan levensgroot: twee zijden van elke rechthoek zijn gelijk aan de hoogte van het prisma.
g) Rand AD van het prisma is een rechte lijn, loodrecht op het projectievlak P 1. Horizontale projectie - punt; frontaal - recht, loodrecht op de x 12-as, gelijk aan de zijkant van het prisma (prismahoogte).
h) Zijde AB van de bovenste basis is recht, evenwijdig aan de vlakken P 1 en P 2. Horizontale en frontale projecties - recht, evenwijdig aan de x 12-as en gelijk aan de zijkant deze grondslag prisma's. De frontale projectie bevindt zich op een afstand van de x-as 12 op een afstand gelijk aan de hoogte van het prisma.
i) De hoekpunten van het prisma. Punt E - de bovenkant van de onderste basis bevindt zich op het vlak P 1. De horizontale projectie valt samen met het punt zelf; frontaal - ligt op de x 12-as. Punt C - de bovenkant van de bovenste basis - bevindt zich in de ruimte. Horizontale projectie heeft diepte; frontaal - hoogte gelijk aan de hoogte van dit prisma.
Hieruit volgt: Bij het ontwerpen van een veelvlak moet je het mentaal in zijn samenstellende elementen verdelen en de volgorde van hun weergave bepalen, bestaande uit opeenvolgende grafische bewerkingen. Figuren 284 en 285 tonen voorbeelden van opeenvolgende grafische bewerkingen bij het uitvoeren van een complexe tekening en visuele weergave (axonometrie) van prisma's.
(Afb. 284).

Gegeven:
1. De basis bevindt zich op het projectievlak P 1.
2. Geen van beide zijden van de basis is evenwijdig aan de x-as 12.
I. Complexe tekening.
ik, een.
ik, geb.
We ontwerpen de bovenste basis - een veelhoek gelijk aan de onderste basis met zijden die overeenkomstig evenwijdig zijn aan de onderste basis, op een afstand van de onderste basis met de hoogte H van het gegeven prisma.
ik, c.
We ontwerpen de zijranden van het prisma - parallel gelegen segmenten; hun horizontale projecties zijn punten die samenvloeien met de projecties van de hoekpunten van de bases; frontaal - segmenten (parallel) verkregen door het verbinden met rechte lijnen van de projecties van de hoekpunten van de gelijknamige basis. De frontale projecties van de ribben, getrokken uit de projecties van de hoekpunten B en C van de onderbasis, worden weergegeven door stippellijnen, alsof ze onzichtbaar zijn.
ik, g. Gegeven: horizontale projectie F 1 van punt F op de bovenbasis en frontale projectie K 2 van punt K op het zijvlak. Het is vereist om de locaties van hun tweede projecties te bepalen.
Voor punt F. De tweede (frontale) projectie F2 van punt F zal samenvallen met de projectie van de bovenste basis, als een punt dat in het vlak van deze basis ligt; zijn plaats wordt bepaald door de verticale communicatielijn. Voor punt K - De tweede (horizontale) projectie K 1 van punt K zal samenvallen met de horizontale projectie van het zijvlak, als een punt dat in het vlak van het vlak ligt; zijn plaats wordt bepaald door de verticale communicatielijn.
II. Ontwikkeling van het prismaoppervlak - een platte figuur bestaande uit zijvlakken - rechthoeken, waarbij twee zijden gelijk zijn aan de hoogte van het prisma, en de andere twee gelijk zijn aan de overeenkomstige zijden van de basis, en van twee basen die gelijk zijn aan elkaar - onregelmatige veelhoeken . De natuurlijke afmetingen van de basis en zijkanten van de vlakken die nodig zijn voor de constructie van de ontwikkeling worden onthuld op de projecties; wij bouwen erop; Op een rechte lijn tekenen we achtereenvolgens de zijden AB, BC, CD, DE en EA van de veelhoek - de basis van het prisma genomen vanaf
horizontale projectie
. Op de loodlijnen getrokken vanuit de punten A, B, C, D, E en A, zetten we de hoogte H van dit prisma uit, genomen vanuit de frontale projectie, en trekken we een rechte lijn door de markeringen. Als resultaat verkrijgen we een scan van de zijvlakken van het prisma.
Als we de basis van het prisma aan deze ontwikkeling koppelen, verkrijgen we een ontwikkeling over het volledige oppervlak van het prisma. De basis van het prisma moet met behulp van de triangulatiemethode aan het overeenkomstige zijvlak worden bevestigd.
Op de bovenste basis van het prisma bepalen we met behulp van de stralen R en R 1 de locatie van punt F, en aan de zijkant bepalen we met behulp van de stralen R 3 en H 1 het punt K.
III, geb.
We geven de bovenste basis weer evenwijdig aan de onderste, op afstand ervan door de hoogte H van het prisma.
III, c.
We geven de zijranden weer door de overeenkomstige hoekpunten van de bases met rechte lijnen te verbinden. We bepalen de zichtbare en onzichtbare elementen van het prisma en schetsen ze met de bijbehorende lijnen,
III, d We bepalen de punten F en K op het oppervlak van het prisma - Punt F - op de bovenste basis wordt bepaald met behulp van de afmetingen i en e; punt K - op de zijkant met behulp van i 1 en H".

Gegeven:
Voor een isometrische afbeelding van het prisma en het bepalen van de locaties van de punten F en K moet dezelfde volgorde worden gevolgd.
Afb.285).
1. De basis bevindt zich op het vlak P 1.
I. Complexe tekening.
2. De zijribben zijn evenwijdig aan het P2-vlak.
3. Geen van beide zijden van de basis is evenwijdig aan de x 12-as
ik, een.
We ontwerpen volgens deze voorwaarde: de onderste basis is een veelhoek die in het P1-vlak ligt, en de zijrand is een segment evenwijdig aan het P2-vlak en hellend ten opzichte van het P1-vlak.
ik, geb.
We ontwerpen de resterende zijranden - segmenten gelijk aan en evenwijdig aan de eerste rand SE.
ik, c.
We ontwerpen de bovenste basis van het prisma als een veelhoek, gelijk aan en evenwijdig aan de onderste basis, en verkrijgen een complexe tekening van het prisma.
Wij identificeren onzichtbare elementen op projecties. De frontale projectie van de rand van de VM en de horizontale projectie van de zijkant van de basis-CD worden door stippellijnen weergegeven als onzichtbaar.
b) met een straal R (gelijk aan de zijkant van de basis CD), maken we een inkeping op het punt D op een rechte hulplijn getrokken vanuit punt D2; door de rechte punten C 2 en D met elkaar te verbinden en rechte lijnen te tekenen evenwijdig aan E 2 C 2 en C 2 D, verkrijgen we het zijvlak CEFD;
c) door vervolgens de volgende zijvlakken op soortgelijke wijze te rangschikken, verkrijgen we een ontwikkeling van de zijvlakken van het prisma. Om een ​​volledige ontwikkeling van het oppervlak van dit prisma te verkrijgen, bevestigen we het aan de overeenkomstige vlakken van de basis.
III. Een visuele weergave van een prisma in isometrie.
III, een.