Derivaat complexe functie. Voorbeelden van oplossingen

Op deze les wij zullen leren vinden afgeleide van een complexe functie. De les is een logisch vervolg op de les Hoe vind je de afgeleide?, waarin we de eenvoudigste derivaten onderzochten, en ook kennis maakten met de differentiatieregels en enkele technische technieken voor het vinden van derivaten. Dus als je niet zo goed bent met het afleiden van functies of als sommige punten in dit artikel niet helemaal duidelijk zijn, lees dan eerst de bovenstaande les. Kom alsjeblieft in een serieuze stemming - de stof is niet eenvoudig, maar ik zal toch proberen het eenvoudig en duidelijk te presenteren.

In de praktijk heb je heel vaak te maken met de afgeleide van een complexe functie, ik zou zelfs bijna altijd zeggen, als je opdrachten krijgt om afgeleiden te vinden.

We kijken naar de tabel bij de regel (nr. 5) voor het differentiëren van een complexe functie:

Laten we het uitzoeken. Laten we allereerst aandacht besteden aan de invoer. Hier hebben we twee functies – en , en de functie is, figuurlijk gesproken, genest in de functie . Een functie van dit type (wanneer de ene functie in een andere is genest) wordt een complexe functie genoemd.

Ik zal de functie aanroepen externe functie en de functie – interne (of geneste) functie.

! Deze definities zijn niet theoretisch en mogen niet voorkomen in het uiteindelijke ontwerp van opdrachten. Ik gebruik informele uitdrukkingen “externe functie”, “interne” functie alleen om het voor u gemakkelijker te maken de stof te begrijpen.

Om de situatie te verduidelijken, overweeg:

Voorbeeld 1

Zoek de afgeleide van een functie

Onder de sinus hebben we niet alleen de letter “X”, maar een hele uitdrukking, dus het zal niet werken om de afgeleide direct uit de tabel te vinden. We merken ook dat het hier onmogelijk is om de eerste vier regels toe te passen, er lijkt een verschil te zijn, maar feit is dat de sinus niet “in stukken gescheurd” kan worden:

IN in dit voorbeeld Uit mijn uitleg is het al intuïtief duidelijk dat een functie een complexe functie is, en dat de polynoom een ​​interne functie (inbedding) en een externe functie is.

Eerste stap wat u moet doen bij het vinden van de afgeleide van een complexe functie is: begrijpen welke functie intern is en welke extern.

In het geval van eenvoudige voorbeelden lijkt het duidelijk dat een polynoom onder de sinus is ingebed. Maar wat als niet alles vanzelfsprekend is? Hoe kun je nauwkeurig bepalen welke functie extern en welke intern is? Om dit te doen, stel ik voor om de volgende techniek te gebruiken, die mentaal of in een schets kan worden gedaan.

Laten we ons voorstellen dat we de waarde van de uitdrukking at op een rekenmachine moeten berekenen (in plaats van één kan er een willekeurig getal zijn).

Wat gaan we eerst berekenen? Allereerst je moet de volgende actie uitvoeren: , daarom zal de polynoom een ​​interne functie zijn:

Ten tweede zal moeten worden gevonden, dus sinus – zal een externe functie zijn:

Na wij UITVERKOCHT Bij interne en externe functies is het tijd om de regel van differentiatie van complexe functies toe te passen.

Laten we beginnen met beslissen. Uit de klas Hoe vind je de afgeleide? we herinneren ons dat het ontwerp van een oplossing voor elke afgeleide altijd als volgt begint: we plaatsen de uitdrukking tussen haakjes en zetten rechtsboven een streep:

In eerste instantie we vinden de afgeleide van de externe functie (sinus), kijken naar de tabel met afgeleiden van elementaire functies en merken op dat . Alle tabelformules zijn ook van toepassing als “x” wordt vervangen door een complexe uitdrukking, in dit geval:

Houd er rekening mee dat de innerlijke functie is niet veranderd, we raken het niet aan.

Nou, dat is heel duidelijk

Het uiteindelijke resultaat van het toepassen van de formule ziet er als volgt uit:

De constante factor wordt meestal aan het begin van de uitdrukking geplaatst:

Als er sprake is van een misverstand, schrijf de oplossing dan op papier en lees de uitleg nog eens door.

Voorbeeld 2

Zoek de afgeleide van een functie

Voorbeeld 3

Zoek de afgeleide van een functie

Zoals altijd schrijven we op:

Laten we eens kijken waar we een externe functie hebben en waar we een interne functie hebben. Om dit te doen, proberen we (mentaal of in een concept) de waarde van de uitdrukking op te berekenen. Wat moet je eerst doen? Allereerst moet je berekenen waar de basis gelijk aan is: daarom is de polynoom de interne functie:

En alleen dan wordt machtsverheffen uitgevoerd, daarom machtsfunctie is een externe functie:

Volgens de formule moet je eerst de afgeleide van de externe functie vinden, in dit geval de graad. We zoeken de benodigde formule in de tabel: . Wij herhalen nogmaals: elke tabelformule is niet alleen geldig voor “X”, maar ook voor een complexe uitdrukking. Het resultaat van het toepassen van de regel voor het differentiëren van een complexe functie is dus als volgt:

Ik benadruk nogmaals dat wanneer we de afgeleide van de externe functie nemen, onze interne functie niet verandert:

Nu hoeft u alleen nog maar een heel eenvoudige afgeleide van de interne functie te vinden en het resultaat een beetje aan te passen:

Voorbeeld 4

Zoek de afgeleide van een functie

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen (antwoord aan het einde van de les).

Om uw begrip van de afgeleide van een complexe functie te consolideren, zal ik een voorbeeld geven zonder commentaar, probeer het zelf uit te zoeken, redeneer waar de externe en waar de interne functie is, waarom worden de taken op deze manier opgelost?

Voorbeeld 5

a) Zoek de afgeleide van de functie

b) Vind de afgeleide van de functie

Voorbeeld 6

Zoek de afgeleide van een functie

Hier hebben we een wortel, en om de wortel te kunnen onderscheiden, moet deze als een macht worden weergegeven. Dus brengen we eerst de functie in de vorm die geschikt is voor differentiatie:

Als we de functie analyseren, komen we tot de conclusie dat de som van de drie termen een interne functie is, en het verheffen tot een macht een externe functie. We passen de regel van differentiatie van complexe functies toe:

We stellen de graad opnieuw voor als een radicaal (wortel), en voor de afgeleide van de interne functie passen we een eenvoudige regel toe om de som te differentiëren:

Klaar. Je kunt de uitdrukking ook reduceren tot een gemeenschappelijke noemer tussen haakjes en alles als één breuk opschrijven. Het is natuurlijk mooi, maar als je lastige lange afgeleiden krijgt, kun je dit beter niet doen (je raakt gemakkelijk in de war, maakt een onnodige fout en het zal lastig zijn voor de leraar om dit te controleren).

Voorbeeld 7

Zoek de afgeleide van een functie

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen (antwoord aan het einde van de les).

Het is interessant om op te merken dat je in plaats van de regel voor het differentiëren van een complexe functie soms de regel kunt gebruiken voor het differentiëren van een quotiënt , maar zo'n oplossing zal op een grappige perversie lijken. Hier is een typisch voorbeeld:

Voorbeeld 8

Zoek de afgeleide van een functie

Hier kunt u de differentiatieregel van het quotiënt gebruiken , maar het is veel winstgevender om de afgeleide te vinden via de differentiatieregel van een complexe functie:

We bereiden de functie voor op differentiatie - we verplaatsen de min uit het afgeleide teken en verhogen de cosinus naar de teller:

Cosinus is een interne functie, machtsverheffen is een externe functie.
Laten we onze regel gebruiken:

We vinden de afgeleide van de interne functie en resetten de cosinus weer naar beneden:

Klaar. In het beschouwde voorbeeld is het belangrijk om niet in de war te raken door de tekens. Probeer het trouwens op te lossen met behulp van de regel , de antwoorden moeten overeenkomen.

Voorbeeld 9

Zoek de afgeleide van een functie

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen (antwoord aan het einde van de les).

Tot nu toe hebben we gekeken naar gevallen waarin we slechts één nesting in een complexe functie hadden. Bij praktische taken kun je vaak afgeleiden vinden, waarbij, zoals het nesten van poppen, de een in de ander 3 of zelfs 4-5 functies tegelijk genest zijn.

Voorbeeld 10

Zoek de afgeleide van een functie

Laten we de bijlagen van deze functie begrijpen. Laten we proberen de uitdrukking te berekenen met behulp van de experimentele waarde. Hoe zouden we op een rekenmachine rekenen?

Eerst moet je vinden, wat betekent dat de boogsinus de diepste inbedding is:

Deze boogsinus van één moet dan worden gekwadrateerd:

En tenslotte verheffen we zeven tot een macht:

Dat wil zeggen, in dit voorbeeld hebben we drie verschillende functies en twee inbeddingen, terwijl de binnenste functie de boogsinus is en de buitenste functie de exponentiële functie.

Laten we beginnen met beslissen

Volgens de regel moet je eerst de afgeleide van de externe functie nemen. We kijken naar de tabel met afgeleiden en vinden de afgeleide van de exponentiële functie: het enige verschil is dat we in plaats van “x” complexe uitdrukking, wat de geldigheid van deze formule niet tenietdoet. Het resultaat van het toepassen van de regel voor het differentiëren van een complexe functie is dus als volgt:

Onder invloed hebben we weer een complexe functie! Maar het is al eenvoudiger. Het is gemakkelijk te verifiëren dat de binnenste functie de boogsinus is, en de buitenste functie de graad. Volgens de regel voor het differentiëren van een complexe functie moet je eerst de afgeleide van de macht nemen.

Sinds je hier bent gekomen, heb je deze formule waarschijnlijk al in het leerboek gezien

en maak een gezicht als dit:

Vriend, maak je geen zorgen! Eigenlijk is alles gewoon schandalig. Je zult zeker alles begrijpen. Slechts één verzoek: lees het artikel je tijd nemen Probeer elke stap te begrijpen. Ik heb zo eenvoudig en duidelijk mogelijk geschreven, maar je moet het idee nog steeds begrijpen. En zorg ervoor dat u de taken uit het artikel oplost.

Wat is een complexe functie?

Stel je voor dat je naar een ander appartement verhuist en daarom spullen in grote dozen verpakt. Stel dat u wat kleine spullen moet verzamelen, bijvoorbeeld schrijfmateriaal voor school. Als je ze gewoon in een grote doos gooit, raken ze onder andere kwijt. Om dit te voorkomen stop je ze eerst bijvoorbeeld in een zak, die je vervolgens in een grote doos doet, waarna je deze sluit. Dit “complexe” proces wordt weergegeven in het onderstaande diagram:

Het lijkt erop: wat heeft wiskunde ermee te maken? Ja, ondanks het feit dat een complexe functie op PRECIES DEZELFDE manier wordt gevormd! Alleen ‘pakken’ wij geen notitieboekjes en pennen in, maar \(x\), terwijl de ‘pakketten’ en ‘dozen’ verschillend zijn.

Laten we bijvoorbeeld x nemen en deze in een functie 'verpakken':

Als resultaat krijgen we natuurlijk \(\cos⁡x\). Dit is onze “tas vol spullen”. Laten we het nu in een "doos" stoppen - bijvoorbeeld in een kubieke functie.

Wat zal er uiteindelijk gebeuren? Ja, dat klopt, er zal een ‘zak met dingen in een doos’ zijn, dat wil zeggen ‘cosinus van X in blokjes’.

Het resulterende ontwerp is een complexe functie. Daarin verschilt het van de eenvoudige VERSCHILLENDE “invloeden” (pakketten) worden op één X achter elkaar toegepast en het blijkt “functie van functie” te zijn – “verpakking in verpakking”.

IN schoolcursus Er zijn maar heel weinig soorten van deze “pakketten”, slechts vier:

Laten we nu X eerst inpakken exponentiële functie met grondtal 7, en vervolgens in een trigonometrische functie. Wij krijgen:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Laten we X nu twee keer inpakken trigonometrische functies, eerst in en dan in:

\(x → zonde⁡x → cotg⁡ (zonde⁡x)\)

Simpel, toch?

Schrijf nu zelf de functies, waarbij x:
- eerst wordt het “verpakt” in een cosinus, en vervolgens in een exponentiële functie met grondtal \(3\);
- eerst tot de vijfde macht, en dan tot de raaklijn;
- eerst naar de logaritme naar de basis \(4\) , en vervolgens naar de macht \(-2\).

Vind de antwoorden op deze taak aan het einde van het artikel.

Kunnen we X niet twee, maar drie keer ‘inpakken’? Ja, geen probleem! En vier, en vijf, en vijfentwintig keer. Hier is bijvoorbeeld een functie waarin x \(4\) keer is "verpakt":

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Maar zulke formules zul je niet vinden in de schoolpraktijk (leerlingen hebben meer geluk – die van hen kan ingewikkelder zijn☺).

Een complexe functie "uitpakken".

Kijk nog eens naar de vorige functie. Kun jij de volgorde van ‘inpakken’ achterhalen? Waar X als eerste in werd gestopt, wat daarna, enzovoort tot het einde. Dat wil zeggen: welke functie is binnen welke genest? Neem een ​​vel papier en schrijf op wat je ervan vindt. Dit kun je doen met een ketting met pijlen zoals we hierboven schreven of op een andere manier.

Het juiste antwoord is nu: eerst werd x "verpakt" in de \(4\)de macht, daarna werd het resultaat in een sinus gepakt, en op zijn beurt werd het in de logaritme met de basis \(2\) geplaatst. , en uiteindelijk werd deze hele constructie in een power five gestopt.

Dat wil zeggen, u moet de reeks IN OMGEKEERDE VOLGORDE afwikkelen. En hier is een hint over hoe je het gemakkelijker kunt doen: kijk meteen naar de X – je moet ervan dansen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Hier is bijvoorbeeld de volgende functie: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). We kijken naar X - wat gebeurt er eerst mee? Van hem afgenomen. En dan? De tangens van het resultaat wordt genomen. De volgorde zal hetzelfde zijn:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Nog een voorbeeld: \(y=\cos⁡((x^3))\). Laten we analyseren: eerst hebben we X in de derde macht gebracht en vervolgens de cosinus van het resultaat genomen. Dit betekent dat de reeks er als volgt uitziet: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Let op, de functie lijkt op de allereerste (waar afbeeldingen staan). Maar dit is een heel andere functie: hier in de kubus is x (dat wil zeggen \(\cos⁡((x·x·x)))\), en daar in de kubus is de cosinus \(x\) ( dat wil zeggen, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Dit verschil komt voort uit verschillende "verpakkings"-sequenties.

Het laatste voorbeeld (met belangrijke informatie daarin): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Het is duidelijk dat ze hier eerst rekenkundige bewerkingen met x uitvoerden en vervolgens de sinus van het resultaat namen: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). En dit belangrijk punt: ondanks het feit dat rekenkundige bewerkingen op zichzelf geen functies zijn, fungeren ze hier ook als een manier van “inpakken”. Laten we wat dieper ingaan op deze subtiliteit.

Zoals ik hierboven al zei, wordt x in eenvoudige functies één keer "verpakt", en in complexe functies - twee of meer. Bovendien is elke combinatie van eenvoudige functies (dat wil zeggen hun som, verschil, vermenigvuldiging of deling) ook een eenvoudige functie. \(x^7\) is bijvoorbeeld een eenvoudige functie en dat geldt ook voor \(ctg x\). Dit betekent dat al hun combinaties eenvoudige functies zijn:

\(x^7+ ctg x\) - eenvoudig,
\(x^7· kinderbed x\) – eenvoudig,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – eenvoudig, enz.

Als er echter nog een functie op een dergelijke combinatie wordt toegepast, wordt het een complexe functie, aangezien er twee “pakketten” zullen zijn. Zie diagram:

Oké, ga je gang. Schrijf de reeks “wrapping” -functies:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
De antwoorden staan ​​opnieuw aan het einde van het artikel.

Interne en externe functies

Waarom moeten we het nesten van functies begrijpen? Wat levert dit ons op? Feit is dat we zonder een dergelijke analyse niet op betrouwbare wijze afgeleiden van de hierboven besproken functies zullen kunnen vinden.

En om verder te komen hebben we nog twee concepten nodig: interne en externe functies. Dit is erg simpel ding Bovendien hebben we ze hierboven al geanalyseerd: als we onze analogie helemaal aan het begin herinneren, dan is de interne functie een ‘pakket’ en de externe functie een ‘doos’. Die. waar X als eerste in ‘verpakt’ is, is een interne functie, en waar de interne functie in ‘verpakt’ is, is al extern. Nou, het is duidelijk waarom: ze is buiten, dat betekent extern.

In dit voorbeeld: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), is de functie \(\log_2⁡x\) intern, en
- extern.

En hierin: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) is intern, en
- extern.

Voltooi de laatste oefening van het analyseren van complexe functies, en laten we eindelijk verder gaan met waar we allemaal voor begonnen zijn: we zullen afgeleiden van complexe functies vinden:

Vul de lege plekken in de tabel in:

Afgeleide van een complexe functie

Bravo voor ons, we zijn eindelijk bij de 'baas' van dit onderwerp aangekomen - in feite de afgeleide van een complexe functie, en specifiek bij die verschrikkelijke formule uit het begin van het artikel.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Deze formule luidt als volgt:

De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van de externe functie met betrekking tot een constante interne functie en de afgeleide van de interne functie.

En kijk meteen naar het parseerdiagram, volgens de woorden, zodat je begrijpt wat je ermee moet doen:

Ik hoop dat de termen ‘derivaat’ en ‘product’ geen problemen veroorzaken. "Complexe functie" - we hebben het al uitgezocht. Het addertje onder het gras ligt in de ‘afgeleide van een externe functie met betrekking tot een constante interne functie’. Wat is het?

Antwoord: Dit is de gebruikelijke afgeleide van een externe functie, waarbij alleen de externe functie verandert en de interne hetzelfde blijft. Nog steeds niet duidelijk? Oké, laten we een voorbeeld gebruiken.

Laten we een functie \(y=\sin⁡(x^3)\) hebben. Het is duidelijk dat de interne functie hier \(x^3\) is, en de externe
. Laten we nu de afgeleide vinden van de buitenkant met betrekking tot het constante interieur.

Er worden voorbeelden gegeven van het berekenen van afgeleiden met behulp van de formule voor de afgeleide van een complexe functie.

Hier geven we voorbeelden van het berekenen van afgeleiden van de volgende functies:
; ; ; ; .

Als een functie kan worden weergegeven als een complexe functie in het volgende formulier:
,
dan wordt de afgeleide ervan bepaald door de formule:
.
In de onderstaande voorbeelden schrijven we deze formule als volgt:
.
Waar .
Hier duiden de subscripts of , gelegen onder het afgeleide teken, de variabelen aan waarmee differentiatie wordt uitgevoerd.

Gewoonlijk worden in tabellen met afgeleiden afgeleiden van functies van de variabele x gegeven. Maar x is dat wel formele parameter

. De variabele x kan worden vervangen door elke andere variabele. Daarom veranderen we, wanneer we een functie van een variabele onderscheiden, eenvoudigweg in de tabel met afgeleiden de variabele x in de variabele u.

Simpele voorbeelden

Voorbeeld 1
.

Zoek de afgeleide van een complexe functie

Oplossing Laten we het opschrijven gegeven functie
.
in gelijkwaardige vorm:
;
.

In de tabel met derivaten vinden we:
.
Volgens de formule voor de afgeleide van een complexe functie hebben we:

Hier .

Antwoord

Voorbeeld 2
.

Zoek de afgeleide van een complexe functie

Zoek de afgeleide
.

.
Volgens de formule voor de afgeleide van een complexe functie hebben we:

Hier .

We nemen de constante 5 uit het afgeleide teken en uit de tabel met afgeleiden vinden we:

Voorbeeld 3
.

Zoek de afgeleide van een complexe functie

Zoek de afgeleide -1 We nemen een constante
;
voor het teken van de afgeleide en uit de tabel met derivaten vinden we:
.

Uit de tabel met derivaten vinden we:
.
Volgens de formule voor de afgeleide van een complexe functie hebben we:

Hier .

We passen de formule toe voor de afgeleide van een complexe functie:

Complexere voorbeelden Meer complexe voorbeelden we passen de regel voor het differentiëren van een complexe functie meerdere keren toe. In dit geval berekenen we de afgeleide vanaf het einde. Dat wil zeggen, we splitsen de functie op in zijn samenstellende delen en vinden de afgeleiden van de eenvoudigste delen met behulp van tabel met derivaten . Wij gebruiken ook regels voor het differentiëren van bedragen

, producten en fracties. Vervolgens voeren we vervangingen uit en passen we de formule toe voor de afgeleide van een complexe functie.

Voorbeeld 3
.

Zoek de afgeleide van een complexe functie

Voorbeeld 4 Laten we het meest benadrukken eenvoudig onderdeel

.
formule en vind de afgeleide ervan. .
.

Hier hebben we de notatie gebruikt
.

Opnieuw passen we de regel van differentiatie van complexe functies toe.

.
Volgens de formule voor de afgeleide van een complexe functie hebben we:

Hier .

Voorbeeld 5

Zoek de afgeleide van de functie
.

Zoek de afgeleide van een complexe functie

Laten we het eenvoudigste deel van de formule selecteren en de afgeleide ervan vinden in de tabel met derivaten. .

We passen de regel van differentiatie van complexe functies toe.
.
Hier
.

En de stelling over de afgeleide van een complexe functie, waarvan de formulering als volgt is:

Stel dat 1) de functie $u=\varphi (x)$ op een gegeven moment $x_0$ de afgeleide $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ heeft, 2) de functie $y=f(u)$ hebben op het corresponderende punt $u_0=\varphi (x_0)$ de afgeleide $y_(u)"=f"(u)$. Dan zal de complexe functie $y=f\left(\varphi (x) \right)$ op het genoemde punt ook een afgeleide hebben gelijk aan het product van de afgeleiden van de functies $f(u)$ en $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

of, in kortere notatie: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

In de voorbeelden in deze sectie hebben alle functies de vorm $y=f(x)$ (dat wil zeggen, we beschouwen alleen functies van één variabele $x$). Dienovereenkomstig wordt in alle voorbeelden de afgeleide $y"$ genomen met betrekking tot de variabele $x$. Om te benadrukken dat de afgeleide wordt genomen met betrekking tot de variabele $x$, wordt vaak $y"_x$ geschreven in plaats van $y "$.

Voorbeelden nr. 1, nr. 2 en nr. 3 schetsen het gedetailleerde proces voor het vinden van de afgeleide van complexe functies. Voorbeeld nr. 4 is bedoeld voor een vollediger begrip van de afgeleide tabel en het is zinvol om er vertrouwd mee te raken.

Het is raadzaam om, na het bestuderen van de stof in de voorbeelden nr. 1-3, verder te gaan met het zelfstandig oplossen van de voorbeelden nr. 5, nr. 6 en nr. 7. Voorbeelden #5, #6 en #7 bevatten een korte oplossing zodat de lezer de juistheid van zijn resultaat kan controleren.

Voorbeeld nr. 1

Zoek de afgeleide van de functie $y=e^(\cos x)$.

We moeten de afgeleide vinden van een complexe functie $y"$. Omdat $y=e^(\cos x)$, dan $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. zoek de afgeleide $ \left(e^(\cos x)\right)"$ we gebruiken formule nr. 6 uit de tabel met derivaten. Om formule nr. 6 te kunnen gebruiken, moeten we er rekening mee houden dat in ons geval $u=\cos x$. De verdere oplossing bestaat uit het simpelweg vervangen van de uitdrukking $\cos x$ in plaats van $u$ in formule nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nu moeten we de waarde vinden van de uitdrukking $(\cos x)"$. We gaan weer naar de tabel met afgeleiden en kiezen daaruit formule nr. 10. Als we $u=x$ vervangen door formule nr. 10, krijgen we : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Laten we nu doorgaan met gelijkheid (1.1), en dit aanvullen met het gevonden resultaat:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Omdat $x"=1$ gaan we verder met gelijkheid (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dus uit gelijkheid (1.3) hebben we: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Uiteraard worden verklaringen en tussenliggende gelijkheden meestal overgeslagen, waarbij de uitkomst van de afgeleide in één regel wordt opgeschreven, zoals in de gelijkheid ( 1.3). Dus de afgeleide van de complexe functie is gevonden, het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven.

Antwoord: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Voorbeeld nr. 2

Zoek de afgeleide van de functie $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

We moeten de afgeleide $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ berekenen. Om te beginnen merken we op dat de constante (dat wil zeggen het getal 9) uit het afgeleide teken kan worden gehaald:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Laten we nu eens kijken naar de uitdrukking $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Om het gemakkelijker te maken de gewenste formule uit de tabel met afgeleiden te selecteren, zal ik de uitdrukking presenteren in kwestie in deze vorm: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nu is het duidelijk dat het noodzakelijk is om formule nr. 2 te gebruiken, d.w.z. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Laten we $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ en $\alpha=12$ vervangen door deze formule:

Als we gelijkheid (2.1) aanvullen met het verkregen resultaat, krijgen we:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

In deze situatie wordt vaak een fout gemaakt wanneer de oplosser bij de eerste stap de formule $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ kiest in plaats van de formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Het punt is dat de afgeleide van de externe functie op de eerste plaats moet komen. Om te begrijpen welke functie extern zal zijn aan de uitdrukking $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, stelt u zich voor dat u de waarde van de uitdrukking $\arctg^(12)(4\cdot 5^) berekent. x)$ met een bepaalde waarde $x$. Eerst bereken je de waarde van $5^x$ en vermenigvuldig je het resultaat vervolgens met 4, waardoor je $4\cdot 5^x$ krijgt. Nu nemen we de boogtangens uit dit resultaat en verkrijgen we $\arctg(4\cdot 5^x)$. Vervolgens verhogen we het resulterende getal tot de twaalfde macht en krijgen we $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. De laatste actie, d.w.z. verheffen tot de macht 12 zal een externe functie zijn. En hieruit zou je de afgeleide moeten gaan vinden, wat in gelijkheid werd gedaan (2.2).

Nu moeten we $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ vinden. We gebruiken formule nr. 19 van de derivatentabel, waarbij we $u=4\cdot \ln x$ daarin vervangen:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Laten we de resulterende uitdrukking een beetje vereenvoudigen, rekening houdend met $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Gelijkheid (2.2) wordt nu:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Rest ons nog $(4\cdot \ln x)"$ te vinden. Laten we de constante (d.w.z. 4) uit het afgeleide teken halen: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. For Om $(\ln x)"$ te vinden gebruiken we formule nr. 8, waarbij we $u=x$ vervangen: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Aangezien $x"=1$, dan $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $. Door het verkregen resultaat in formule (2.3) te vervangen, verkrijgen we:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x) $

Laat me je eraan herinneren dat de afgeleide van een complexe functie meestal op één regel wordt gevonden, zoals geschreven in de laatste gelijkheid. Daarom moet u bij het opstellen van standaardberekeningen of testen Het is helemaal niet nodig om de oplossing zo gedetailleerd te beschrijven.

Antwoord: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Voorbeeld nr. 3

Zoek $y"$ van de functie $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Laten we eerst de functie $y$ een beetje transformeren, waarbij we de wortel (wortel) als een macht uitdrukken: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Laten we nu beginnen met het vinden van de afgeleide. Aangezien $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, dan:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Laten we formule nr. 2 uit de tabel met afgeleiden gebruiken en $u=\sin(5\cdot 9^x)$ en $\alpha=\frac(3)(7)$ daarin vervangen:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Laten we gelijkheid (3.1) voortzetten met behulp van het verkregen resultaat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nu moeten we $(\sin(5\cdot 9^x))"$ vinden. Hiervoor gebruiken we formule nr. 9 uit de tabel met derivaten, waarbij we $u=5\cdot 9^x$ vervangen:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Nadat we gelijkheid (3.2) hebben aangevuld met het verkregen resultaat, hebben we:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Nu moeten we nog $(5\cdot 9^x)"$ vinden. Laten we eerst de constante (het getal $5$) buiten het afgeleide teken nemen, d.w.z. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Om de afgeleide $(9^x)"$ te vinden, past u formule nr. 5 van de tabel met derivaten toe, waarbij u $a=9$ en $u=x$ erin vervangt: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Omdat $x"=1$, dan $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nu kunnen we doorgaan met gelijkheid (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

We kunnen opnieuw terugkeren van machten naar radicalen (d.w.z. wortels), door $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ te schrijven in de vorm $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Vervolgens wordt de afgeleide in deze vorm geschreven:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Antwoord: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Voorbeeld nr. 4

Laat zien dat formules nr. 3 en nr. 4 van de tabel met derivaten een speciaal geval zijn van formule nr. 2 van deze tabel.

Formule nr. 2 van de tabel met afgeleiden bevat de afgeleide van de functie $u^\alpha$. Als we $\alpha=-1$ vervangen door formule nr. 2, krijgen we:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Omdat $u^(-1)=\frac(1)(u)$ en $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, kan gelijkheid (4.1) als volgt worden herschreven: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Dit is formule nr. 3 van de derivatentabel.

Laten we opnieuw naar formule nr. 2 van de tabel met derivaten kijken. Laten we $\alpha=\frac(1)(2)$ erin vervangen:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Sinds $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ en $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, dan kan gelijkheid (4.2) als volgt worden herschreven:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

De resulterende gelijkheid $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ is formule nr. 4 van de tabel met afgeleiden. Zoals u kunt zien, worden formules nr. 3 en nr. 4 van de afgeleidetabel verkregen uit formule nr. 2 door de overeenkomstige waarde $\alpha$ te vervangen.

In dit artikel zullen we het hebben over zo'n belangrijk wiskundig concept als een complexe functie, en leren hoe we de afgeleide van een complexe functie kunnen vinden.

Voordat we leren de afgeleide van een complexe functie te vinden, moeten we eerst het concept van een complexe functie begrijpen, wat het is, 'waarmee het wordt gegeten' en 'hoe we het op de juiste manier kunnen koken'.

Beschouw een willekeurige functie, bijvoorbeeld deze:

Merk op dat het argument aan de rechter- en linkerkant van de functievergelijking hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking is.

In plaats van een variabele kunnen we bijvoorbeeld de volgende uitdrukking plaatsen: . En dan krijgen we de functie

Laten we de uitdrukking een tussenargument noemen, en de functie een uiterlijke functie. Dit zijn geen strikte wiskundige concepten, maar ze helpen de betekenis van het concept van een complexe functie te begrijpen.

Een strikte definitie van het concept van een complexe functie klinkt als volgt:

Laat een functie gedefinieerd worden op een set en wees de set waarden van deze functie. Laat de verzameling (of de deelverzameling ervan) het domein zijn van de definitie van de functie. Laten we aan elk van hen een nummer toekennen. De functie wordt dus op de set gedefinieerd. Het wordt functiesamenstelling of complexe functie genoemd.

In deze definitie is, als we onze terminologie gebruiken, een externe functie een tussenargument.

De afgeleide van een complexe functie wordt gevonden volgens de volgende regel:

Om het duidelijker te maken, schrijf ik deze regel als volgt:

In deze uitdrukking duidt gebruiken een tussenfunctie aan.

Dus. Om de afgeleide van een complexe functie te vinden, heb je nodig

1. Bepaal welke functie extern is en zoek de bijbehorende afgeleide uit de tabel met afgeleiden.

2. Definieer een tussenargument.

Bij deze procedure is de grootste moeilijkheid het vinden van de externe functie. Hiervoor wordt een eenvoudig algoritme gebruikt:

A. Schrijf de vergelijking van de functie op.

B. Stel je voor dat je de waarde van een functie moet berekenen voor een bepaalde waarde van x. Om dit te doen, vervangt u deze x-waarde in de functievergelijking en voert u berekeningen uit. De laatste actie die u doet is de externe functie.

Bijvoorbeeld in de functie

De laatste actie is machtsverheffing.

Laten we de afgeleide van deze functie vinden. Om dit te doen, schrijven we een tussenargument