Helemaal niet slecht, toch? Terwijl wiskundigen naar woorden zoeken om je een lange, verwarrende definitie te geven, laten we deze eenvoudige en duidelijke definitie eens nader bekijken.

Het getal e betekent groei

Het getal e betekent continue groei. Zoals we in het vorige voorbeeld hebben gezien, stelt e x ons in staat om rente en tijd te koppelen: 3 jaar bij 100% groei is hetzelfde als 1 jaar bij 300%, uitgaande van "samengestelde rente".

U kunt elk percentage en tijdwaarden vervangen (50% voor 4 jaar), maar het is beter om het percentage voor het gemak in te stellen op 100% (het blijkt 100% voor 2 jaar). Door naar 100% te gaan, kunnen we ons uitsluitend op de tijdcomponent concentreren:

e x = e procent * tijd = e 1,0 * tijd = e tijd

Uiteraard betekent e x:

• hoeveel zal mijn bijdrage groeien na x tijdseenheden (uitgaande van 100% continue groei).
• na 3 tijdsintervallen ontvang ik bijvoorbeeld e 3 = 20,08 keer meer “dingen”.

e x is een schaalfactor die laat zien naar welk niveau we over x tijdsperiode zullen groeien.

Natuurlijke logaritme betekent tijd

De natuurlijke logaritme is het omgekeerde van e, een mooie term voor het tegenovergestelde. Over eigenaardigheden gesproken; in het Latijn heet het logarithmus naturali, vandaar de afkorting ln.

En wat betekent deze omkering of het tegenovergestelde?

• e x stelt ons in staat tijd te vervangen en groei te verkrijgen.
• Met ln(x) kunnen we groei of inkomen nemen en ontdekken hoeveel tijd het kost om dit te genereren.

Bijvoorbeeld:

• e3 is gelijk aan 20,08. Na drie perioden zullen we 20,08 keer meer hebben dan waar we mee begonnen.
• ln(08/20) zou ongeveer 3 zijn. Als u geïnteresseerd bent in een groei van 20,08 keer, heeft u 3 tijdsperioden nodig (opnieuw, uitgaande van 100% continue groei).

Nog steeds aan het lezen? De natuurlijke logaritme geeft de tijd weer die nodig is om het gewenste niveau te bereiken.

Deze niet-standaard logaritmische telling

Heb je logaritmen doorgenomen - het zijn vreemde wezens. Hoe zijn ze erin geslaagd om vermenigvuldiging om te zetten in optelling? Hoe zit het met de verdeling in aftrekken? Laten we eens kijken.

Waar is ln(1) gelijk aan? Intuïtief is de vraag: hoe lang moet ik wachten voordat ik 1x meer krijg dan wat ik heb?

Nul. Nul. Helemaal niet. Je hebt het al een keer gehad. Het duurt niet lang om van niveau 1 naar niveau 1 te gaan.

• ln(1) = 0

Oké, hoe zit het met de fractiewaarde? Hoe lang duurt het voordat we nog 1/2 van de beschikbare hoeveelheid over hebben? We weten dat bij 100% continue groei ln(2) de tijd betekent die nodig is om te verdubbelen. Als wij laten we de tijd terugdraaien(dat wil zeggen, wacht een negatieve hoeveelheid tijd), dan krijgen we de helft van wat we hebben.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisch, toch? Als we teruggaan (tijd terug) naar 0,693 seconden, vinden we de helft van het beschikbare bedrag. Over het algemeen kun je de breuk omdraaien en nemen negatieve waarde: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Dit betekent dat als we teruggaan in de tijd naar 1,09 keer, we slechts een derde van het huidige aantal zullen vinden.

Oké, hoe zit het met de logaritme van een negatief getal? Hoe lang duurt het om een ​​bacteriekolonie van 1 naar -3 te laten ‘groeien’?

Dit is onmogelijk! Je kunt toch geen negatief aantal bacteriën krijgen, toch? Je kunt een maximum (eh...minimum) van nul krijgen, maar je kunt op geen enkele manier een negatief getal krijgen van deze kleine beestjes. Een negatief aantal bacteriën heeft simpelweg geen zin.

• ln(negatief getal) = ongedefinieerd

'Ongedefinieerd' betekent dat er geen tijd is die hoeft te wachten voordat een negatieve waarde wordt verkregen.

Logaritmische vermenigvuldiging is gewoon hilarisch

Hoe lang zal het duren om te verviervoudigen? Je kunt natuurlijk ook gewoon ln(4) nemen. Maar dit is te simpel, we gaan de andere kant op.

Je kunt viervoudige groei beschouwen als een verdubbeling (waarvoor ln(2) tijdseenheden nodig zijn) en vervolgens weer verdubbelen (waarvoor nog eens ln(2) tijdseenheden nodig zijn):

• Tijd om 4 keer te groeien = ln(4) = Tijd om te verdubbelen en dan opnieuw te verdubbelen = ln(2) + ln(2)

Interessant. Elk groeipercentage, zeg 20, kan direct na een tienvoudige stijging als een verdubbeling worden beschouwd. Of groei met 4 keer, en dan met 5 keer. Of verdrievoudigen en dan 6,666 keer verhogen. Zie je het patroon?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

De logaritme van A maal B is log(A) + log(B). Deze relatie is meteen logisch als je ze bekijkt in termen van groei.

Als je geïnteresseerd bent in 30x groei, kun je in één keer op ln(30) wachten, of op ln(3) wachten tot de verdrievoudiging, en dan nog een ln(10) voor 10x. Het eindresultaat is hetzelfde, dus de tijd moet natuurlijk constant blijven (en dat is ook zo).

Hoe zit het met de verdeling? Concreet betekent ln(5/3): hoe lang duurt het om 5 keer te groeien en dan 1/3 daarvan te krijgen?

Geweldig, vijf keer groeien is ln(5). Een toename van 1/3 keer kost -ln(3) tijdseenheden. Dus,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Dit betekent: laat het 5 keer groeien, en ga dan “terug in de tijd” tot het punt waarop nog maar een derde van dat bedrag overblijft, zodat je 5/3 groei krijgt. Over het algemeen blijkt het

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Ik hoop dat de vreemde rekenkunde van logaritmen je begint te begrijpen: het vermenigvuldigen van groeipercentages wordt het optellen van groeitijdseenheden, en delen wordt het aftrekken van tijdseenheden. Het is niet nodig om de regels uit het hoofd te leren, probeer ze te begrijpen.

Gebruik van de natuurlijke logaritme voor willekeurige groei

Nou, natuurlijk”, zegt u, “dit is allemaal goed als de groei 100% is, maar hoe zit het met de 5% die ik ontvang?”

Geen probleem. De "tijd" die we berekenen met ln() is feitelijk een combinatie van rente en tijd, dezelfde X uit de ex-vergelijking. We hebben zojuist besloten om het percentage eenvoudigheidshalve op 100% te zetten, maar we zijn vrij om elk getal te gebruiken.

Laten we zeggen dat we 30x groei willen bereiken: neem ln(30) en krijg 3,4. Dit betekent:

• e x = hoogte
• e3,4 = 30

Het is duidelijk dat deze vergelijking betekent dat "100% rendement over 3,4 jaar 30x groei oplevert." We kunnen deze vergelijking als volgt schrijven:

• e x = e tarief*tijd
• e 100% * 3,4 jaar = 30

We kunnen de waarden van “inzet” en “tijd” wijzigen, zolang de inzet * tijd 3.4 blijft. Als we bijvoorbeeld geïnteresseerd zijn in een groei van 30x, hoe lang zullen we dan moeten wachten bij een rente van 5%?

• ln(30) = 3,4
• tarief * tijd = 3,4
• 0,05 * tijd = 3,4
• tijd = 3,4 / 0,05 = 68 jaar

Ik redeneer als volgt: "ln(30) = 3,4, dus bij 100% groei duurt het 3,4 jaar. Als ik de groeisnelheid verdubbel, wordt de benodigde tijd gehalveerd."

• 100% gedurende 3,4 jaar = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% in 1,7 jaar = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% voor 6,8 jaar = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% ouder dan 68 jaar = 0,05 * 68 = 3,4.

Geweldig, toch? De natuurlijke logaritme kan bij elke rentevoet en tijd worden gebruikt, omdat hun product constant blijft. U kunt variabele waarden zoveel verplaatsen als u wilt.

Cool voorbeeld: Regel van tweeënzeventig

De Regel van Tweeënzeventig is een wiskundige techniek waarmee u kunt schatten hoe lang het duurt voordat uw geld verdubbelt. Nu zullen we het afleiden (ja!), En bovendien zullen we proberen de essentie ervan te begrijpen.

Hoe lang duurt het om uw geld te verdubbelen tegen een jaarlijkse rente van 100%?

Oeps. We gebruikten de natuurlijke logaritme voor het geval van continue groei, en nu heb je het over jaarlijkse samenstellingen? Zou deze formule in een dergelijk geval niet ongeschikt worden? Ja, dat zal zo zijn, maar bij reële rentetarieven van 5%, 6% of zelfs 15% zal het verschil tussen jaarlijkse renteverhogingen en continue groei klein zijn. Dus de ruwe schatting werkt grofweg, dus we zullen doen alsof we een volledig continue opbouw hebben.

De vraag is nu simpel: hoe snel kun je verdubbelen met 100% groei? ln(2) = 0,693. Het kost 0,693 tijdseenheden (in ons geval jaren) om ons bedrag te verdubbelen met een continue stijging van 100%.

Dus wat als de rente niet 100% is, maar bijvoorbeeld 5% of 10%?

Gemakkelijk! Omdat inzet * tijd = 0,693, verdubbelen we het bedrag:

• tarief * tijd = 0,693
• tijd = 0,693 / inzet

Het blijkt dat als de groei 10% bedraagt, het 0,693 / 0,10 = 6,93 jaar zal duren om te verdubbelen.

Om de berekeningen te vereenvoudigen, laten we beide zijden met 100 vermenigvuldigen, dan kunnen we "10" zeggen in plaats van "0,10":

• tijd om te verdubbelen = 69,3/inzet, waarbij de inzet wordt uitgedrukt als een percentage.

Nu is het tijd om te verdubbelen met een snelheid van 5%, 69,3 / 5 = 13,86 jaar. 69,3 is echter niet het handigste dividend. Laten we een dicht getal kiezen, 72, wat handig is om te delen door 2, 3, 4, 6, 8 en andere getallen.

• tijd om te verdubbelen = 72 / inzet

dat is de regel van tweeënzeventig. Alles is bedekt.

Als je de tijd moet vinden om te verdrievoudigen, kun je ln(3) ~ 109.8 gebruiken en krijgen

• tijd om te verdrievoudigen = 110 / inzet

Wat is een ander nuttige regel. Op hoogte is de ‘Regel van 72’ van toepassing rentetarieven, bevolkingsgroei, bacterieculturen en alles wat exponentieel groeit.

Wat is het volgende?

Ik hoop dat de natuurlijke logaritme nu logisch voor je is - het laat zien hoe lang het duurt voordat een getal exponentieel groeit. Ik denk dat het natuurlijk wordt genoemd omdat e een universele maatstaf voor groei is, dus ln kan worden overwogen op een universele manier bepalen hoe lang het duurt om te groeien.

Elke keer dat je ln(x) ziet, onthoud dan "de tijd die nodig is om X keer te groeien". In een volgend artikel zal ik e en ln in samenhang beschrijven, zodat de frisse geur van wiskunde de lucht zal vullen.

Addendum: Natuurlijke logaritme van e

Snelle quiz: wat is ln(e)?

• een wiskunderobot zal zeggen: aangezien ze gedefinieerd zijn als het omgekeerde van elkaar, is het duidelijk dat ln(e) = 1.
• begripvolle persoon: ln(e) is het aantal keren dat nodig is om "e" keer te groeien (ongeveer 2,718). Het getal e zelf is echter een maatstaf voor de groei met een factor 1, dus ln(e) = 1.

Denk helder na.

Logaritme gegeven nummer wordt de exponent genoemd waartoe een ander getal moet worden verhoogd, genaamd basis logaritme om dit getal te verkrijgen. De logaritme met grondtal 10 van 100 is bijvoorbeeld 2. Met andere woorden: 10 moet worden gekwadrateerd om 100 te krijgen (10 2 = 100). Als N– een bepaald getal, B– basis en l– logaritme dus b l = n. Nummer N ook wel basis-antilogaritme genoemd B cijfers l. De antilogaritme van 2 tot grondtal 10 is bijvoorbeeld gelijk aan 100. Dit kan worden geschreven in de vorm van het relatielogboek b n = l en antilog b l = N.

Basiseigenschappen van logaritmen:

Elk positief getal, behalve eenheid, kan dienen als basis voor logaritmen, maar helaas blijkt dat als B En N zijn rationale getallen, dan is er in zeldzame gevallen zo’n rationeel getal l, Wat b l = n. Het is echter mogelijk om een ​​irrationeel getal te definiëren l bijvoorbeeld zodanig dat 10 l= 2; dit is een irrationeel getal l kan met elke vereiste nauwkeurigheid worden benaderd rationale getallen. Dat blijkt uit het gegeven voorbeeld l is ongeveer gelijk aan 0,3010, en deze benadering van de logaritme met grondtal 10 van 2 is te vinden in tabellen met vier cijfers decimale logaritmes. Logaritmen met grondtal 10 (of logaritmen met grondtal 10) worden zo vaak gebruikt in berekeningen dat ze heten normaal logaritmen en geschreven als log2 = 0,3010 of log2 = 0,3010, waarbij de expliciete indicatie van de logaritmebasis wordt weggelaten. Logaritmen naar de basis e, een transcendentaal getal dat ongeveer gelijk is aan 2,71828, worden genoemd natuurlijk logaritmen. Ze zijn vooral te vinden in werken op wiskundige analyse en de toepassingen ervan in verschillende wetenschappen. Natuurlijke logaritmen worden ook geschreven zonder expliciet het grondtal aan te geven, maar met behulp van de speciale notatie ln: bijvoorbeeld ln2 = 0,6931, omdat e 0,6931 = 2.

Tabellen met gewone logaritmen gebruiken.

De reguliere logaritme van een getal is een exponent waartoe 10 moet worden verhoogd om een ​​bepaald getal te verkrijgen. Omdat 10 0 = 1, 10 1 = 10 en 10 2 = 100, krijgen we onmiddellijk log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, enz. voor toenemende gehele machten 10. Op dezelfde manier geldt 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 en dus log0,1 = –1, log0,01 = –2, enz. voor alle gehele getallen negatieve krachten 10. De gebruikelijke logaritmen van de overige getallen bevinden zich tussen de logaritmen van de dichtstbijzijnde gehele machten van het getal 10; log2 moet tussen 0 en 1 liggen, log20 moet tussen 1 en 2 liggen, en log0.2 moet tussen -1 en 0 liggen. De logaritme bestaat dus uit twee delen, een geheel getal en een decimaal, tussen 0 en 1. geheel getal genoemd karakteristiek logaritme en wordt bepaald door het getal zelf, het fractionele deel wordt genoemd mantisse en kan worden gevonden in tabellen. Ook geldt: log20 = log(2×10) = log2 + log10 = (log2) + 1. De logaritme van 2 is 0,3010, dus log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Op dezelfde manier geldt log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Na aftrekken krijgen we log0,2 = – 0,6990. Het is echter handiger om log0.2 weer te geven als 0,3010 – 1 of als 9,3010 – 10; kan worden geformuleerd en algemene regel: alle getallen verkregen uit een gegeven getal door vermenigvuldiging met een macht van 10 hebben dezelfde mantisse, gelijk aan de mantisse van het gegeven getal. De meeste tabellen tonen de mantissen met getallen in het bereik van 1 tot 10, aangezien de mantissen van alle andere getallen kunnen worden verkregen uit de mantissen in de tabel.

De meeste tabellen geven logaritmen met vier of vijf decimalen, hoewel er zevencijferige tabellen zijn en tabellen met nog meer decimalen. De eenvoudigste manier om dergelijke tabellen te leren gebruiken is met voorbeelden. Om log3.59 te vinden, merken we allereerst op dat het getal 3.59 tussen 10 0 en 10 1 ligt, dus het kenmerk ervan is 0. We vinden het getal 35 (aan de linkerkant) in de tabel en gaan langs de rij naar de kolom met bovenaan het getal 9; het snijpunt van deze kolom en rij 35 is 5551, dus log3,59 = 0,5551. Om de mantisse van een getal met vier significante cijfers te vinden, moet u interpolatie gebruiken. In sommige tabellen wordt interpolatie vergemakkelijkt door de verhoudingen die zijn gegeven in de laatste negen kolommen aan de rechterkant van elke pagina van de tabellen. Laten we nu log736.4 vinden; het getal 736.4 ligt tussen 10 2 en 10 3, daarom is het kenmerk van de logaritme 2. In de tabel vinden we een rij aan de linkerkant waarvan 73 staat en kolom 6. Op het snijpunt van deze rij en deze kolom staat het getal 8669. Onder de lineaire delen vinden we kolom 4. Op het snijpunt van rij 73 en kolom 4 staat het getal 2. Door 2 op te tellen bij 8669 krijgen we de mantisse - deze is gelijk aan 8671. Dus log736.4. = 2,8671.

Natuurlijke logaritmes.

De tabellen en eigenschappen van natuurlijke logaritmen zijn vergelijkbaar met de tabellen en eigenschappen van gewone logaritmen. Het belangrijkste verschil tussen beide is dat het gehele deel bestaat natuurlijke logaritme is niet significant bij het bepalen van de positie van de komma, en daarom speelt het onderscheid tussen de mantisse en het kenmerk geen speciale rol. Natuurlijke logaritmes van getallen 5.432; 54,32 en 543,2 zijn respectievelijk gelijk aan 1,6923; 3,9949 en 6,2975. De relatie tussen deze logaritmen zal duidelijk worden als we de verschillen ertussen in ogenschouw nemen: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; laatste nummer is niets meer dan de natuurlijke logaritme van het getal 10 (zo geschreven: ln10); log543.2 – log5.432 = 4,6052; het laatste getal is 2ln10. Maar 543,2 = 10 54,32 = 10 2 5,432. Dus volgens de natuurlijke logaritme van een bepaald getal A je kunt de natuurlijke logaritmes van getallen vinden die gelijk zijn aan de producten van het getal A voor welke graad dan ook N nummers 10 als naar ln A voeg ln10 vermenigvuldigd met toe N, d.w.z. ln( Aґ10N) = logboek A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Bijvoorbeeld ln0,005432 = ln(5,432×10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3´2,3026) = – 5,2155. Daarom bevatten tabellen met natuurlijke logaritmen, net als tabellen met gewone logaritmen, meestal alleen logaritmen van getallen van 1 tot 10. In het systeem van natuurlijke logaritmen kun je praten over antilogaritmen, maar vaker praten ze over exponentiële functie of over de exposant. Als X= loggen j, Dat j = ex, En j de exponent van genoemd X(voor typografisch gemak schrijven ze vaak j= exp X). De exponent speelt de rol van de antilogaritme van het getal X.

Met behulp van tabellen met decimale en natuurlijke logaritmen kunt u tabellen met logaritmen maken met elk grondtal behalve 10 en e. Als log b een = X, Dat bx = A, en dus loggen cbx= loggen c een of X loggen c b= loggen c een, of X= loggen c een/loggen c b= loggen b een. Gebruik daarom deze inversieformule uit de basislogaritmetabel C je kunt tabellen met logaritmen in elk ander grondtal bouwen B. Vermenigvuldiger 1/logboek c b genaamd overgangsmodule vanaf de basis C naar de basis B. Niets belet bijvoorbeeld het gebruik van de inversieformule of de overgang van het ene systeem van logaritmen naar het andere, het vinden van natuurlijke logaritmen uit de tabel met gewone logaritmen of het maken van de omgekeerde overgang. Log105.432 = log e 5,432/logboek e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 0,4343 = 0,7350. Het getal 0,4343, waarmee de natuurlijke logaritme van een bepaald getal moet worden vermenigvuldigd om een ​​gewone logaritme te verkrijgen, is de modulus van de overgang naar het systeem van gewone logaritmes.

Speciale tafels.

Logaritmen zijn oorspronkelijk zo uitgevonden dat ze met behulp van hun eigenschappen kunnen loggen ab= loggen A+ logboek B en loggen A/B= loggen A–logboek B, verander producten in sommen en quotiënten in verschillen. Met andere woorden, als log A en loggen B bekend zijn, kunnen we met behulp van optellen en aftrekken gemakkelijk de logaritme van het product en het quotiënt vinden. In de astronomie worden echter vaak logwaarden gegeven A en loggen B moet log vinden ( A + B) of log( A – B). Natuurlijk zou je dit eerst kunnen vinden uit tabellen met logaritmen A En B, voer vervolgens de aangegeven optelling of aftrekking uit en zoek, opnieuw verwijzend naar de tabellen, de vereiste logaritmen, maar voor een dergelijke procedure zou het drie keer nodig zijn om naar de tabellen te verwijzen. Z. Leonelli publiceerde in 1802 tabellen van de zogenaamde. Gaussiaanse logaritmen– logaritmen voor het optellen van sommen en verschillen – waardoor het mogelijk werd zich te beperken tot één toegang tot tabellen.

In 1624 stelde I. Kepler tabellen met proportionele logaritmen voor, d.w.z. logaritmes van getallen A/X, Waar A– een positieve constante waarde. Deze tabellen worden voornamelijk gebruikt door astronomen en navigators.

Proportionele logaritmes op A= 1 worden gebeld door logaritmen en worden gebruikt bij berekeningen als men met producten en quotiënten te maken heeft. Cologaritme van een getal N gelijk aan de logaritme wederkerig nummer; die. coloog N= log1/ N= – loggen N. Als log2 = 0,3010, dan colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Het voordeel van het gebruik van cologaritmen is dat bij het berekenen van de waarde van de logaritme van uitdrukkingen als p.q/R drievoudige som van positieve decimalen log P+ logboek Q+colog R is gemakkelijker te vinden dan het gemengde som- en verschillogboek P+ logboek Q–logboek R.

Verhaal.

Het principe dat ten grondslag ligt aan elk systeem van logaritmen is al heel lang bekend en kan worden teruggevoerd op de oude Babylonische wiskunde (circa 2000 voor Christus). In die tijd werd interpolatie tussen tabelwaarden van positieve gehele machten van gehele getallen gebruikt om de samengestelde rente te berekenen. Veel later gebruikte Archimedes (287–212 v.Chr.) Machten van 108 om een ​​bovengrens te vinden voor het aantal zandkorrels dat nodig was om het toen bekende heelal volledig te vullen. Archimedes vestigde de aandacht op de eigenschap van exponenten die ten grondslag ligt aan de effectiviteit van logaritmen: het product van machten komt overeen met de som van de exponenten. Aan het einde van de Middeleeuwen en het begin van de moderne tijd begonnen wiskundigen zich steeds meer te richten op de relatie tussen geometrische en rekenkundige progressies. M. Stiefel in zijn essay Rekenkunde met gehele getallen(1544) gaf een tabel met positieve en negatieve machten van het getal 2:

Stiefel merkte op dat de som van de twee getallen in de eerste rij (de exponentrij) gelijk is aan de exponent van twee, overeenkomend met het product van de twee overeenkomstige getallen in de onderste rij (de exponentrij). In verband met deze tabel formuleerde Stiefel vier regels die gelijkwaardig zijn aan vier moderne regels bewerkingen op exponenten of vier regels voor bewerkingen op logaritmen: de som op de bovenste regel komt overeen met het product op de onderste regel; aftrekken op de bovenste regel komt overeen met delen op de onderste regel; vermenigvuldiging op de bovenste regel komt overeen met machtsverheffen op de onderste regel; de verdeling op de bovenste regel komt overeen met het rooten op de onderste regel.

Blijkbaar brachten regels die vergelijkbaar waren met de regels van Stiefel ertoe dat J. Naper het eerste systeem van logaritmen formeel in zijn werk introduceerde Beschrijving van de verbazingwekkende tabel met logaritmen, gepubliceerd in 1614. Maar Napiers gedachten waren bezig met het probleem van het omzetten van producten in bedragen sinds Napier, ruim tien jaar vóór de publicatie van zijn werk, nieuws uit Denemarken ontving dat zijn assistenten bij het Tycho Brahe Observatorium een ​​methode hadden waarmee hij het is mogelijk om producten om te zetten in sommen. De methode vermeld in het bericht dat Napier ontving was gebaseerd op het gebruik trigonometrische formules type

daarom bestonden de tabellen van Naper voornamelijk uit logaritmen trigonometrische functies. Hoewel het concept van grondtal niet expliciet was opgenomen in de door Napier voorgestelde definitie, werd de rol die gelijkwaardig was aan het grondtal van het systeem van logaritmen in zijn systeem gespeeld door het getal (1 – 10 –7) 10 7, ongeveer gelijk aan 1/ e.

Onafhankelijk van Naper en bijna gelijktijdig met hem werd een systeem van logaritmen, dat qua type vrij gelijkaardig was, uitgevonden en gepubliceerd door J. Bürgi in Praag, gepubliceerd in 1620 Rekenkundige en geometrische progressietabellen. Dit waren tabellen met antilogaritmes met het grondtal (1 + 10 –4) ԑ10 4, een redelijk goede benadering van het getal e.

In het Naper-systeem werd de logaritme van het getal 10 7 als nul beschouwd, en naarmate de getallen afnamen, namen de logaritmes toe. Toen G. Briggs (1561–1631) Napier bezocht, waren beiden het erover eens dat het handiger zou zijn om het getal 10 als grondtal te gebruiken en de logaritme van één te nemen. gelijk aan nul. Naarmate de getallen toenamen, zouden hun logaritmen toenemen. Dus we kregen modern systeem decimale logaritmen, een tabel waarvan Briggs in zijn werk publiceerde Logaritmische rekenkunde(1620). Logaritmen naar de basis e, hoewel niet precies degene die door Naper zijn geïntroduceerd, worden ze vaak Naper's genoemd. De termen "karakteristiek" en "mantisse" werden voorgesteld door Briggs.

Eerste logaritmes van kracht historische redenen gebruikte benaderingen van de getallen 1/ e En e. Iets later begon het idee van natuurlijke logaritmen geassocieerd te worden met de studie van gebieden onder een hyperbool xy= 1 (Fig. 1). In de 17e eeuw Er werd aangetoond dat het gebied dat door deze curve wordt begrensd, de as is X en ordinaten X= 1 en X = A(in figuur 1 is dit gebied bedekt met dikkere en dunnere stippen) neemt toe rekenkundige progressie, Wanneer A stijgt in geometrische progressie. Het is precies deze afhankelijkheid die ontstaat in de regels voor bewerkingen met exponenten en logaritmen. Dit gaf aanleiding tot het noemen van Naperiaanse logaritmen ‘hyperbolische logaritmen’.

Logaritmische functie.

Er was een tijd dat logaritmen uitsluitend als rekenmiddel werden beschouwd, maar in de 18e eeuw werd, vooral dankzij het werk van Euler, het concept van een logaritmische functie gevormd. Grafiek van een dergelijke functie j= loggen X, waarvan de ordinaten toenemen in een rekenkundige progressie, terwijl de abscis toeneemt in een geometrische progressie, wordt weergegeven in Fig. 2, A. Grafiek van een inverse of exponentiële functie y = e x, waarvan de ordinaat toeneemt in geometrische progressie, en abscis - in rekenkundige progressie, wordt respectievelijk weergegeven in Fig. 2, B. (curven j= loggen X En j = 10X qua vorm vergelijkbaar met rondingen j= loggen X En j = ex.) Er zijn ook alternatieve definities van de logaritmische functie voorgesteld, b.v.

kpi; en op dezelfde manier zijn de natuurlijke logaritmes van het getal -1 complexe getallen van de vorm (2 k + 1)pi, Waar k– een geheel getal. Soortgelijke uitspraken gelden voor algemene logaritmen of andere systemen van logaritmen. Bovendien kan de definitie van logaritmen worden gegeneraliseerd met behulp van de identiteiten van Euler om complexe logaritmen van complexe getallen op te nemen.

Een alternatieve definitie van de logaritmische functie geeft functionele analyse. Als F(X) – continue functie van een reëel getal X, met de volgende drie eigenschappen: F (1) = 0, F (B) = 1, F (uv) = F (u) + F (v), Dat F(X) wordt gedefinieerd als de logaritme van het getal X gebaseerd op B. Deze definitie heeft een aantal voordelen ten opzichte van de definitie die aan het begin van dit artikel wordt gegeven.

Toepassingen.

Logaritmen werden oorspronkelijk uitsluitend gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen, en deze toepassing is nog steeds een van de belangrijkste. De berekening van producten, quotiënten, machten en wortels wordt niet alleen vergemakkelijkt door de ruime beschikbaarheid van gepubliceerde tabellen met logaritmen, maar ook door het gebruik van de zogenaamde. rekenliniaal - een rekeninstrument waarvan het werkingsprincipe is gebaseerd op de eigenschappen van logaritmen. De liniaal is uitgerust met logaritmische schalen, d.w.z. afstand van nummer 1 tot een willekeurig nummer X gekozen om gelijk te zijn aan log X; Door de ene schaal ten opzichte van de andere te verschuiven, is het mogelijk om de sommen of verschillen van logaritmen uit te zetten, waardoor het mogelijk wordt om direct van de schaal de producten of quotiënten van de overeenkomstige getallen af ​​te lezen. U kunt ook profiteren van de voordelen van het weergeven van getallen in logaritmische vorm. logaritmisch papier voor het plotten van grafieken (papier met logaritmische schalen erop gedrukt op beide coördinatenassen). Als een functie voldoet aan een machtswet van de vorm y = kxn, dan ziet de logaritmische grafiek eruit als een rechte lijn, omdat loggen j= loggen k + N loggen X– vergelijking lineair ten opzichte van log j en loggen X. Integendeel, als de logaritmische grafiek van een functionele afhankelijkheid op een rechte lijn lijkt, dan is deze afhankelijkheid een machtswet. Semi-logboekpapier (waarbij de y-as een logaritmische schaal heeft en de x-as een uniforme schaal) is handig wanneer u exponentiële functies moet identificeren. Vergelijkingen van de vorm y = kb rx vindt plaats wanneer een hoeveelheid, zoals een populatie, een hoeveelheid radioactief materiaal of een banksaldo, afneemt of toeneemt met een snelheid die evenredig is aan de beschikbare hoeveelheid. op dit moment aantal inwoners, radioactieve stof of geld. Als een dergelijke afhankelijkheid op semi-logaritmisch papier wordt uitgezet, ziet de grafiek eruit als een rechte lijn.

De logaritmische functie ontstaat in verband met een grote verscheidenheid aan natuurlijke vormen. Bloemen in zonnebloembloeiwijzen zijn gerangschikt in logaritmische spiralen, weekdierschelpen zijn gedraaid Nautilus, bergschapenhoorns en papegaaiensnavels. Al deze natuurlijke vormen kan dienen als voorbeeld van een curve die bekend staat als een logaritmische spiraal, omdat de vergelijking ervan in een polair coördinatensysteem gelijk is r = ae bq, of ln R= loggen A + bq. Een dergelijke curve wordt beschreven door een bewegend punt, waarvan de afstand tot de pool toeneemt in geometrische progressie, en de hoek die wordt beschreven door zijn straalvector toeneemt in rekenkundige progressie. De alomtegenwoordigheid van een dergelijke curve, en dus van de logaritmische functie, wordt goed geïllustreerd door het feit dat deze voorkomt in zulke verre en totaal verschillende gebieden als de contouren van een excentrische nok en de baan van sommige insecten die naar het licht vliegen.

Rijst. 16. Gedrag van de functie f(x) = x4 4x3

Bij het passeren van het punt x = 0 verandert de afgeleide niet van teken: de functie neemt af zowel op het interval (1; 0] als op het interval. Daarom is het punt x = 0 een zadelpunt van de functie.

Maar bij het passeren van het punt x = 3 verandert de afgeleide van teken van () naar (+). Tussendoor (\ displaystyle ). De eenvoud van deze definitie, die consistent is met veel andere formules die deze logaritme gebruiken, verklaart de oorsprong van de naam "natuurlijk".

Als we de natuurlijke logaritme beschouwen als een reële functie van een reële variabele, dan is het de inverse functie van de exponentiële functie, die tot de identiteiten leidt:

Zoals alle logaritmen, wijst de natuurlijke logaritme vermenigvuldiging toe aan optelling:

Natuurlijke logaritme

Grafiek van de natuurlijke logaritmefunctie. De functie nadert langzaam de positieve oneindigheid naarmate deze groter wordt X en benadert snel de negatieve oneindigheid wanneer X neigt naar 0 (“langzaam” en “snel” vergeleken met welke andere dan ook). machtsfunctie van X).

Natuurlijke logaritme is de logaritme ten opzichte van de basis , Waar e- een irrationele constante gelijk aan ongeveer 2,718281 828. De natuurlijke logaritme wordt gewoonlijk geschreven als ln( X), log e (X) of soms gewoon inloggen( X), als de basis e impliciet.

Natuurlijke logaritme van een getal X(geschreven als ln(x)) is de exponent waarmee het getal moet worden verhoogd e te krijgen X. Bijvoorbeeld, ln(7.389...) is gelijk aan 2 omdat e 2 =7,389... . Natuurlijke logaritme van het getal zelf e (ln(e)) is gelijk aan 1 omdat e 1 = e, en de natuurlijke logaritme is 1 ( ln(1)) is gelijk aan 0 omdat e 0 = 1.

De natuurlijke logaritme kan voor elk positief reëel getal worden gedefinieerd A als het gebied onder de curve j = 1/X van 1 tot A. De eenvoud van deze definitie, die consistent is met veel andere formules die de natuurlijke logaritme gebruiken, leidde tot de naam "natuurlijk". Deze definitie kan worden uitgebreid tot complexe getallen, zoals hieronder besproken.

Als we de natuurlijke logaritme beschouwen als een reële functie van een reële variabele, dan is het de inverse functie van de exponentiële functie, die tot de identiteiten leidt:

Zoals alle logaritmen, wijst de natuurlijke logaritme vermenigvuldiging toe aan optelling:

De logaritmische functie is dus een isomorfisme van de groep positieve reële getallen met betrekking tot vermenigvuldiging door de groep reële getallen met betrekking tot optelling, die kan worden weergegeven als een functie:

De logaritme kan worden gedefinieerd voor elke positieve grondtal anders dan 1, niet alleen e, maar logaritmen voor andere basen verschillen alleen van de natuurlijke logaritme door een constante factor, en worden gewoonlijk gedefinieerd in termen van de natuurlijke logaritme. Logaritmen zijn handig voor het oplossen van vergelijkingen waarbij onbekenden als exponenten voorkomen. Logaritmen worden bijvoorbeeld gebruikt om de vervalconstante voor een bekende halfwaardetijd te vinden, of om de vervaltijd te vinden bij het oplossen van radioactiviteitsproblemen. Ze spelen belangrijke rol in veel gebieden van de wiskunde en toegepaste wetenschappen worden ze in de financiële wereld gebruikt om veel problemen op te lossen, waaronder het vinden van samengestelde rente.

Verhaal

De eerste vermelding van de natuurlijke logaritme werd gemaakt door Nicholas Mercator in zijn werk Logaritmotechniek, gepubliceerd in 1668, hoewel wiskundeleraar John Spidell in 1619 een tabel met natuurlijke logaritmen samenstelde. Het werd voorheen de hyperbolische logaritme genoemd omdat het overeenkomt met het gebied onder de hyperbool. Het wordt soms de Napier-logaritme genoemd, hoewel de oorspronkelijke betekenis van deze term enigszins anders was.

Aanwijzingsconventies

De natuurlijke logaritme wordt gewoonlijk aangegeven met “ln( X)", logaritme met grondtal 10 - via "lg( X)", en andere redenen worden meestal expliciet aangegeven met het symbool "log".

In veel werken over discrete wiskunde, cybernetica en informatica gebruiken auteurs de notatie “log( X)" voor logaritmen met grondtal 2, maar deze conventie wordt niet algemeen aanvaard en vereist verduidelijking in de lijst met gebruikte notaties of (bij gebrek aan een dergelijke lijst) door een voetnoot of commentaar bij het eerste gebruik.

Haakjes rond het argument van logaritmen (als dit niet leidt tot een foutieve lezing van de formule) worden meestal weggelaten, en bij het verheffen van een logaritme tot een macht wordt de exponent direct toegewezen aan het teken van de logaritme: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerikaans systeem

Wiskundigen, statistici en sommige ingenieurs gebruiken gewoonlijk de term ‘natuurlijke logaritme’ of ‘log( X)" of "ln( X)", en om de logaritme met grondtal 10 aan te duiden - "log 10 ( X)».

Sommige ingenieurs, biologen en andere specialisten schrijven altijd “ln( X)" (of af en toe "log e ( X)") wanneer ze de natuurlijke logaritme bedoelen, en de notatie "log( X)" ze bedoelen log 10 ( X).

loggen e is een "natuurlijke" logaritme omdat deze automatisch voorkomt en heel vaak voorkomt in de wiskunde. Beschouw bijvoorbeeld het probleem van de afgeleide van een logaritmische functie:

Als de basis B gelijk aan e, dan is de afgeleide eenvoudigweg 1/ X, en wanneer X= 1 Deze afgeleide is gelijk aan 1. Nog een reden waarom de basis e Het meest natuurlijke aan de logaritme is dat deze heel eenvoudig kan worden gedefinieerd in termen van een eenvoudige integraal of Taylorreeks, wat niet kan worden gezegd over andere logaritmes.

Verdere rechtvaardigingen voor natuurlijkheid houden geen verband met de notatie. Er zijn bijvoorbeeld verschillende eenvoudige reeksen met natuurlijke logaritmen. Pietro Mengoli en Nicholas Mercator noemden ze logaritme naturalis enkele decennia totdat Newton en Leibniz differentiaal- en integraalrekening ontwikkelden.

Definitie

Formeel ln( A) kan worden gedefinieerd als het gebied onder de curve van grafiek 1/ X van 1 tot A, dat wil zeggen als een integraal:

Het is echt een logaritme omdat het voldoet aan de fundamentele eigenschap van de logaritme:

Dit kan worden aangetoond door het volgende aan te nemen:

Numerieke waarde

Om de numerieke waarde van de natuurlijke logaritme van een getal te berekenen, kun je de Taylorreeksuitbreiding in de vorm gebruiken:

Om te krijgen betere snelheid convergentie kunnen we de volgende identiteit gebruiken:

Voor ln( X), Waar X> 1, hoe dichter de waarde X tot 1, hoe sneller de convergentiesnelheid. De identiteiten die aan de logaritme zijn gekoppeld, kunnen worden gebruikt om het doel te bereiken:

Deze methoden werden al vóór de komst van rekenmachines gebruikt, waarvoor numerieke tabellen werden gebruikt en manipulaties werden uitgevoerd die vergelijkbaar waren met die hierboven beschreven.

Hoge nauwkeurigheid

Voor het berekenen van de natuurlijke logaritme met een groot aantal nauwkeurige cijfers is de Taylor-reeks niet efficiënt omdat de convergentie langzaam is. Een alternatief is om de methode van Newton te gebruiken om te inverteren naar een exponentiële functie waarvan de reeks sneller convergeert.

Een alternatief voor een zeer hoge rekennauwkeurigheid is de formule:

Waar M geeft het rekenkundig-geometrische gemiddelde van 1 en 4/s aan, en

M zo gekozen P nauwkeurigheidskenmerken worden bereikt. (In de meeste gevallen is een waarde van 8 voor m voldoende.) Als deze methode wordt gebruikt, kan Newtons inverse van de natuurlijke logaritme worden toegepast om de exponentiële functie efficiënt te berekenen. (De constanten ln 2 en pi kunnen vooraf worden berekend tot de gewenste nauwkeurigheid met behulp van een van de bekende snel convergente reeksen.)

Computationele complexiteit

De computationele complexiteit van natuurlijke logaritmen (met behulp van het rekenkundig-geometrische gemiddelde) is O( M(N)ln N). Hier N is het aantal precisiecijfers waarvoor de natuurlijke logaritme moet worden geëvalueerd, en M(N) is de computationele complexiteit van het vermenigvuldigen van twee N-cijfers.

Vervolg breuken

Hoewel er geen eenvoudige kettingbreuken zijn die een logaritme weergeven, kunnen er verschillende gegeneraliseerde kettingbreuken worden gebruikt, waaronder:

Complexe logaritmen

De exponentiële functie kan worden uitgebreid tot een functie die een complex getal van de vorm geeft e X voor elke willekeurige complex getal X, in dit geval wordt het gebruikt eindeloze reeksen met uitgebreid X. Dit exponentiële functie kan worden omgekeerd om een ​​complexe logaritme te vormen, die de meeste eigenschappen van gewone logaritmes zal hebben. Er zijn echter twee problemen: die is er niet X, waarvoor e X= 0, en dat blijkt e 2πi = 1 = e 0 . Omdat de multiplicativiteitseigenschap dus geldig is voor een complexe exponentiële functie e z = e z+2nπi voor alle complexen z en heel N.

De logaritme kan niet over het hele complexe vlak worden gedefinieerd, en toch heeft hij meerdere waarden - elke complexe logaritme kan worden vervangen door een "equivalente" logaritme door een geheel veelvoud van 2 toe te voegen πi. De complexe logaritme kan alleen op een segment van het complexe vlak worden gewaardeerd. Bijvoorbeeld, ln i = 1/2 πi of 5/2 πi of −3/2 πi, enz., en hoewel i 4 = 1,4 logboek i kan worden gedefinieerd als 2 πi, of 10 πi of −6 πi, enzovoort.

Zie ook

• John Napier - uitvinder van logaritmen

Opmerkingen

1. Wiskunde voor fysische chemie. - 3e. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Uittreksel van pagina 9
2. JJO"Connor en EF Robertson Het nummer e. Het MacTutor History of Mathematics-archief (september 2001). Gearchiveerd
3. Cajori Florian Een geschiedenis van de wiskunde, 5e druk. - AMS Boekhandel, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flitsman, Martin Integralen schatten met behulp van polynomen. Gearchiveerd van het origineel op 12 februari 2012.